八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同）

c a

b

图1

C

P A B

a

b

c 图2

P C

B

A

a

b

c 图3

C

B

P

A

a b

c

图4

P

C

O 2

B A

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

2

2

2

)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下：

如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连

接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥， BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，

同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，

∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥，

∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互垂直，

36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴外接球的表面积是π36

(3)题-1

H

E

D

A

S

(3)题-2

M

N A

S

（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒

AB AC SA BAC 则该四面体的外接

球的表面积为（ ）

π11.A π7.B π310.

C π3

40

.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，

则该几何体外接球的体积为

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：

第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；

第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半

径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 2

1

1=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2

22)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=

；

②2

12

2OO r R +=⇔2

12OO r R +=

图5

2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔ 三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点

图6

P

A

D

O 1

O

C

B

图7-1

P

A

O 1O C

B

图7-2

P

A

O 1

O C

B

图8

P

A

O 1

O

C

B

图8-1

D

P

O

O 2

A

B

C

图8-2

P

O

O 2A

B

C

图8-3

D

P

O

O 2

A

B

解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线； 第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：2

1212O O A O OA +=⇒2

2

2

)(r R h R +-=，解出R .

方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 A ．π3 B ．π2 C ．

3

16π

D ．以上都不对

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

图9-1

A

C

B

P

图9-2

A

O 1

O

C

B

P

图9-3

P

A

O 1

O

C

B

图9-4

A

O 1

O

C

B

P

1．题设：如图9-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）

第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，求出R 。