期权定价的二项式方法 (ppt 40页)
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期权定价.ppt
$ 4,495 40,770 45,265
4-31 套期保值看跌期权组合带来的利润
看跌期权价值作为股票价格的函数:隐含波动性 = 35%
股价
89
90
91
看跌期权价格
$5.254 $4.785 $4.347
每一看跌期权的利润(亏损) .759
.290
(.148)
套期保值看跌期权组合的价值和利润
股价
89
.44
.6700
4-20
从标准正态分布表查概率
N (.18) = .5714
表 17.2
d
N(d)
.16
.5636
.18
.5714
.20
.5793
4-21
看涨期权价值
Co = SoN(d1) － Xe-rTN(d2) Co = 100 X .6664 － 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70 隐含的波动性
投资组合是能实现完美的套期保值
股票价值
50
200
看涨期权所得 0
-150
净收益
50
50
因此 100 - 2C = 46.30 或 C = 26.85
4-11
两状态方法的推广
假定我们将一年分成两个六个月的时期。 在每个六个月的时期，股价将增长10%或下降5%。 假定初始股价为每股100。 可能的结果：
期权弹性
期权价格变动百分比与股票价格变动百分 比的比值。
4-26
资产组合保险－防止股价的下降
买看跌期权-用无限制的上升潜力来防止 股价下降。
局限
- 如果用指数的看跌期权，会产生追踪误差。 - 看跌期权到期日或许太短。 - 套期保值率或得尔塔随股价的改变而改变。
期权定价二项式模型
二项期权定价模型二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。
模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。
对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。
二项式期权定价模型概述1973年，布莱克和休尔斯(Blackand Scholes)提出了布莱克-休尔斯期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。
随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。
1976年，罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。
1979年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。
二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。
二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。
二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。
虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。
随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。
二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。
财务管理第三章期权定价简明教程PPT课件
(1 r )T
S C S K
(1 r )T
CS
看涨期权的价格区间（两虚线之间为定价区域）
掩护性看涨期权的损益图
跨式期权
称同价对敲，是指投资者同时买入具有相同执
行价格与到期时间的同一种股票的看涨期权与 看跌期权，就建立了一种“对敲策略”。
跨式期权组合的损益图
无风险收益组合
组合S＋P－C=B的损益图
3.1.5 公司股东权益是一项看涨期权
股东权益和风险性债券 任何风险性投资组合均可由四种最基本资 产交易组成 S P B C S Max(0,V D) 在到期日，股东的财富S： 风险性资产的价值，即有负债公司的价值 可以分解为两个部分。权益部分S，它是看 涨期权，以及风险性债务头寸，其数值就 等于无风险负债的现值减去欧式看跌期权 的价值P。在到期日，债券持有人可以获得：
B P Min(V , D)
3.1.6 看涨—看跌期权平价
如果我们已知以某资产为标的物的欧式看 涨期权的价格，则我们可以很简单地确定 出以相同资产为标的物的欧式看跌期权的 价格。 资产组合的初始价值是期权到期执行价格 （K）的无风险贴现现值。 K
S P C
1 rf
CP 1 rf
看涨一看跌期权平价公式的等量连续的复利公式 为：
C P S e
rf T
K
主要内容
3.1期权的基本概念 3.2期权价格及价格区间 3.3期权定价模型
3.2期权价格及价格区间
3.2.1 期权价值的构成 3.2.2 期权价格区间
3.2.1 期权价值的构成
约规定的期限或在某一特定的日期按协定价格 购买规定数量基础资产的权利。 卖方期权也称看跌期权，是指赋予投资者在合 约规定的期限或在某一特定的日期按协定价格 出售规定数量基础资产的权利。
二项式期权定价课件
0△+6， 得△=6／10=0.6。
• 第三步：投资组合的价值 到期时价值：30×0.6=20×0.6+6=18美元 当前价值：18×exp(-0.1×0.25)=17.56美 元
• 第四步：卖权的价值 根据p+25 △ =17.56 得p=17.56-25×0.6=2.56美元
二项式期权定价
• 上述投资组合既然是无风险的，在不存在套利 机会的情况下，其回报率一定等于无风险利率。
二项式期权定价
假定无风险利率为10％， 投资组合的期初价值为： 8美元×exp(-0.1×0.25)=8美元×0.975=7.8
美元 而投资组合的期初价值又等于25△-c 所以，25△-c=7.8美元 从而： C=25△-7.8美元=25×0.4-7.8美元=2.2美元 这个买权的价值或价格应该为2.2美元
尽管3个月时期权不能执行，但可以出售， 而其价格或价值根据一期的二项树模型可以从6个 月买权价值推出。 • 注意，我们仍以T代表一期即3个月的时间，因而 期权的到期时间为2T。
二项式期权定价
• f0=exp(-rT)[pfu+(1-p)fd] • =exp(-2rT)[p2fuu+2 p(1-p)fud+(1-p)2fdd]
= exp(-0.1×0.25)×2.620=2.56美元。
二项式期权定价
• 两期二项树模型 假定欧式买权约定价格为56美元，到期时间
为6个月，标的股票当前价格为60，每3个月上升 或下降20％，无风险利率为10％。 • 如何根据上述股票价格的变化情况得出期初的买 权价格呢?
如果知道节点c u和c d时期权的价值，期初的 买权价格根据一期的二项树模型即可计算得出。 但现在，c u和c d不能从3个月时的股票价格直接 得出，因为此时期权不能执行。
• 第三步：投资组合的价值 到期时价值：30×0.6=20×0.6+6=18美元 当前价值：18×exp(-0.1×0.25)=17.56美 元
• 第四步：卖权的价值 根据p+25 △ =17.56 得p=17.56-25×0.6=2.56美元
二项式期权定价
• 上述投资组合既然是无风险的，在不存在套利 机会的情况下，其回报率一定等于无风险利率。
二项式期权定价
假定无风险利率为10％， 投资组合的期初价值为： 8美元×exp(-0.1×0.25)=8美元×0.975=7.8
美元 而投资组合的期初价值又等于25△-c 所以，25△-c=7.8美元 从而： C=25△-7.8美元=25×0.4-7.8美元=2.2美元 这个买权的价值或价格应该为2.2美元
尽管3个月时期权不能执行，但可以出售， 而其价格或价值根据一期的二项树模型可以从6个 月买权价值推出。 • 注意，我们仍以T代表一期即3个月的时间，因而 期权的到期时间为2T。
二项式期权定价
• f0=exp(-rT)[pfu+(1-p)fd] • =exp(-2rT)[p2fuu+2 p(1-p)fud+(1-p)2fdd]
= exp(-0.1×0.25)×2.620=2.56美元。
二项式期权定价
• 两期二项树模型 假定欧式买权约定价格为56美元，到期时间
为6个月，标的股票当前价格为60，每3个月上升 或下降20％，无风险利率为10％。 • 如何根据上述股票价格的变化情况得出期初的买 权价格呢?
如果知道节点c u和c d时期权的价值，期初的 买权价格根据一期的二项树模型即可计算得出。 但现在，c u和c d不能从3个月时的股票价格直接 得出，因为此时期权不能执行。
第9章 股票期权定价公式ppt课件
f d d f d S S
2 f 1 f 2 2 d S d t 2 t 2 S
将 d s 和 d f 代 入 ， 得 到
BSM微分方程的推导（4）
因 为 约 去 了 d z ， 所 以 有 :
将 和代 d 入
d r d t
风 险 中 性 世 界 与 真 实 世 界 的 转 换 ：
1、股票价格的预期增长率会发生变化 2、用来计算衍生证券收益的折现率也发生变化 这两种变化是能够完全抵销的
风险中性定价在远期合约的应用
到期时合约价值：
期初合约的价值：
12.16 12.17 12.18 12.19
Black-Scholes定价公式
rT S K e 0
从B-S公式来看， S
0
很大时，d 1和 d 2 也很大，
Nd ( 1) 和 Nd ( 2)接近于1.0
Nd ( ) 和 Nd ( ) 接近于0 1 2
看跌期权价格接近于0ຫໍສະໝຸດ 看涨期权接近于cS 0 X
累计正态分布函数估算
例子
例子
权证与雇员的股权激励
普通股票期权
连续复利年收益率服从均值为：
2
2
标准差为：
T
的正态分布
收益率的分布
年收益率分布
当 T=1 时，表达式 ln ST / S 是持有股票一年的连续复利收益。因 此，一年内连续年复利收益的均值和方差分别是 2 / 2 和 。 例子 考虑一种股票预期收益率为每年 17%,波动率为每年 20%。一年 后得到的实际 （连续复利） 收益率的概率分布是正态分布， 其均值为：
Black-Scholes-Merton微分方程
期权二项式方法
一、关于均方差与时间单位关系的注解在上节的布莱克—绍勒斯定价模型中，我们假定时间单位为年，而σ是股票价格年变化率的均方差。
如果时间单位改换一下，例如采用以月为单位，股票价格月变化率的均方差1σ与σ有什么关系？在其他场合，我们也时常遇到与此类似的回报率时间单位转换问题。
设某项风险资产的年回报率为r。
我们知道r 是随机变量。
再设第i 月份的回报率为()1,,12i r i = 。
其中， ,i j r r 互相独立，且同分布，i j ≠。
按算术平均方法，则：121121i i r r r r ==++=∑又由于：()()()()11222111,,12i iE r E r E rr i σσσ=∆=∆=易得出：()()121112i i E r E r E ===∑ （22.24）()()()1222121cov ,12i i ji i jr r rr σσσ=≠=+=∑∑（22.25）（22.25）式之所以成立，是因为 ,j ir r 互相独立，故不相关，因此协方差()cov ,0i j rr = 。
把上式加以简化，我们得到： 221212E E σσ==月年月年 （22.26）其中E E 月年和分别表示年回报率和月回报率的期望值，22σσ月年和分别表示年回报率和月回报率的方差。
类似于（22.26）式，不同时间单位的回报率和均方差可以相互转换。
例如，年回报率的均方差为σ，则月回报率的均方差1σ为：1σ=不管采用什么样的时间单位，布莱克—绍勒斯模型中的的。
例如由年改为以月为单位，1σ==其中1T 是从现在到执行日的月份数，112T T =，所以布莱克—绍勒斯模型与采用何种时间单位无关。
二、二项式方法我们在上节讨论了风险中性方法。
二项式方法（Binomial method ）是风险中性方法的一个扩充和推广。
把一年划分成n 期（例1,2,4,n = ），二项式方法假定标的物的价格在每期发生一次变化，而且变化只有两种可能性：上升某个百分比，或下降某个百分比。
期权定价的数学基础PPT课件
80
15
60
50
股价
V0
0
看涨期权价格
图3-6 股价和看涨期权价格二叉树
2020/1/10
38
交易商提供一个执行价为65美元，一年后到期的看涨 期权，无风险利率为0.048，问期权的公平价格？
如果交易商的报价为6.35美元卖出看涨期权，6.00元 买入，两者之差称为交易商的差价。一客户以每股6.35美元 的价格购入100000股（1000手）看涨期权，交易商现在持 有一个风险很大的头寸，决定通过购买股票对冲风险，应该 买入多少股票，获利情况如何 ？
30 p 90 105 p 0.5
2020/1/10
Institute of Computer Software
Nanjing University
35
重要说明：所求出的p值并不一定和投资
者的观点以及股票市场涨跌的实际概率相对应， 它仅仅是一个产生与无风险回报相等的股票回报。
2020/1/10
31
若已知股价为100美元，将来上涨时价格为l 20 美元，下跌时价格为90美元。假设观察一年的市场行 为，股票上涨的概率的合理选择(见图3-5)，是使股票 的期望回报大致在15％左右，该回报比将100美元投
资于安全的银行账户要高得多。q( 90% )。
2020/1/10
32
p
120
100
1 p
2020/1/10
2
三种方法 博弈论方法 资产组合复制方法 概率方法或期望价值方法
2020/1/10
3
两个假定： 第一，到期日的价格只能是两种特定价格中的一种； 第二，第一个假设对三种方法都适用。
2020/1/10
第六章期权定价公式PPT课件
如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利 用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循 的随机过程： dG ( 2 )dt dz
2
这个随机过程的特征：
普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方 差率。
在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从
正态分布，均值为
(
2
2
)
，方差
SN K
其中
26
27
28
布
29
定价的公式。
30
§4 金融中的一些重要参数
31
§4 金融中的一些重要参数
32
§4 金融中的一些重要参数
33
§4 金融中的一些重要参数
34
§4 金融中的一些重要参数
35
§5 期权定价的连续模型
Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
39
为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”：
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券 价格未来变动有用的信息。
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来 的预测有关，变量过去的历史和变量从过去 到现在的演变方式与未来的预测无关。
几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz， 具有马尔可夫性质，符合弱式假说。
动
37
为什么研究证券价格变化的过程
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源 就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资 产价格的影响。因此期权定价使用的是相对定价 法，即相对于证券价格的价格，因而要为期权定 价首先必须研究证券价格。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资 产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在 现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其 所遵循的随机过程。
金融数学第五讲期权定价 二叉树方法ppt课件
推广到一般情形
一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 T
Su
S
ƒu
ƒ
Sd
ƒd
推广到一般情形
(continued)
考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头
当 D满足下面的条件时，组合为无Su风D –险ƒ：u
SuD
–
ƒu
=
Sd
DS–dDƒd–
or ƒd
D ƒu fd Su Sd
S*(iDt)S(iDt)
当 iDt 时
S * (iD t) S (iD t) D e r( iD t) 当 iDt 时（表示红利）
在 iDt 时刻：
当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*ujdijD er(iDt) 当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*u jdi j
无风险组合为: 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头
三个月后组合的价值为 22´0.25 – 1 = 4.50 组合在时刻0的价值为 4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
期权的估值
资产组合为 持有 0.25份股票
成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.25×20 ) 从而，期权的价格为 0.633 (= 5.000 – 4.367 )
72 D0
48
E
4
32 F 20
美式期权该如何估值？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
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3 . 0 q u 4 . 8 6 q d 0 . 9 2 q u 3 m 2 S 0 ( 1 u ) a 3 ( 1 d ) x S X , 0 } { 3 q u 2 q d m S 0 ( 1 u ) a 2 ( 1 d ) x{
S X , 0 } 3 q u q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( x ) 3 S X { , 0 q d 3 m S 0 ( 1 d a ) 4 S x X , 0 } {
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u(erT1)0.1(e0.02 51)0.37342
ud
0.2
q ue rT (1 )e 0 .02 0 5.62 6 0 .651 81111
2 q u q d m S 0 ( 1 a u ) 1 x d ( ) 3 S { X , 0 } q d 2 m S 0 ( 1 a d ) 4 S x X , 0 } {
对于第1阶段各状态的期权价值有
1 0 . 3 q u 1 3 . 7 q d 4 . 6 9 q u 3 m a x { S 0 ( 1 u ) 4 S X , 0 } 3 q u 2 q d m a x { S 0 ( 1 u ) 3 ( 1 d ) S X , 0 } 3 q u q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , { 0 } q d 3 m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( ) x 3 S X , 0 { }
• 买权未来价值是不确定的,有风险.买权和股票组合可 以消除这种风险.同时来考虑是否能从中找到期权的 价值.
• 如果按比例持有股票和卖出相应的期权,股票上涨的 收益可能被期权的损失弥补
首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收益 在两种状态(价升或价降)下都相同。 如果股票价格上升至33元，组合在到期日的价值 为
7 . 1 q u m 4 S 0 ( 1 u a ) 3 ( 1 d x ) S X , 0 } { q d m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , 0 { } 0 . 3 q u m 3 S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , 0 { } q d m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( ) 3 x S X , 0 } {
erT(1u)u(erT1)
ud
ud
qu erT(`1市场) 的上升状态价格因子 qd erT市场的下降状态价格因子
CquRuqdRd
q u m S 0 ( 1 a u ) x S X , 0 } { q d m S 0 ( 1 a d ) x S X , 0 } {
2 q u q d m S 0 ( 1 u a ) 3 ( 1 d x ) S X , 0 { } q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , { 0 }
4 . 6 q u 7 9 . 1 q d 0 4 . 3 q u 2 3 m S 0 ( 1 a u ) 3 ( 1 x d ) S X { , 0 }
33122719
3
3
根据无套利原理，这就要求无风险投资在期末的 收益同为9元，因而期初用于无风险投资的资金应 为
e0.10.258.78
这也应该是期初用于投资组合的资金，由此得
买入3期0权的1价C格应该8.定78为, 1.C 22元 1 0 8 .7 8 1 .2 2
(b)期权价值树
(c)无风险收益树
股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确定的价 格.
期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确定的价 格以及期权确定的执行价格,给出期权在相应状态 的价值,其在初始状态的价值就是要确定的期权价 格.
无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状态的价 格,这是进行无套利定价的标准.
其中2是期3权3被A，执2行后投资者的付出；
如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合 的价值为
。
在到期日这两个2 7值A应相等，且应等于无风险投资
的收益。
令
33A2 ，27A
解之得
即该A组合1应，/由3 买入1/3股该股票和卖出一份该股票
的买入期权组成。无论股票的价格是升还是降， 组合在期末的价值
S X ,0 } q d 4 m S 0 a ( 1 d x )4 { S X ,0 }
i 4 0 4 i q u 4 iq d imS a 0(1 x u ){ 4 i(1 d )i S X ,0 }
• 期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确 定的股票价格(期权的收益)来进行估计.
• 表面看把股票价格的变动只有两种可能,现实中,股 票价格可是千变万化.不过我们可以通过增加期数 来扩大股票价格变动的范围. 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价格状态 越多, 计算越复杂,所得期权价格估计越接近于真实 的价格.
2). 二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期欧式买入期权，股票 现行的市场价格为30元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降10%，市场的无风险利 率为10%(年利率)，试确定该期权的价格。
33
2
1.025
30
?
27
1 0
1.025
(a)股票价格树
期权定价的二项式方法
1). 定价原理 2). 二项式定价的基本过程 3). 期权定价的二项式公式 4). 二项式定价公式推导 5). 美式期权的定价
1). 定价原理 无套利定价原理:
具有相同收益不同头寸的价格应该相同。
在到期日现金流完全相同的两个组合，它们期初的 现金流必定也完全相同 (债券期货为例).
计算相关数据
u(erT1)0.1(e0.051)0.324859
ud
0.10.05
q u e r( T 1 ) e 0 .0(5 1 0 .32)4 0 .6 84 52 9214
qd erT0.309016
根据期权确定的执行价格以及股票在最后 阶段不同状态的价格，计算期权在最后阶 段各状态的价值 .
2 q u q d m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , { 0 } q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( ) x 3 S X , 0 { }
0 . 2 q u 2 0 . 3 q d 3 0 q u 2 m S 0 ( 1 a u ) 2 ( 1 x d ) 2 { S X , 0 }
期权在股票价格上升状态下的收益
期权在股票R 价u格 下m 降状S 态0 a (1 下 x 的u 收) { 益S X ,0 }
构建一个组R d 合 ，m 买a x 入{ S A0 股(1 股 d 票)， S 卖X 出,0 一}份买入期权
组成，要求在期权到期日无论何种情况出现，组 合的价值相同
A 0 ( 1 S u ) R u A 0 ( 1 S d ) R d A Ru Rd
S0(u d)
根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方程
S 0 A C [A 0 (1 S u ) R u ]e rT
将A代入得
C e r[ TR d (1)R u]
qde rTe 0 .02 5 0 .37 3 0 .3 46 2420
Ru 2,Rd 0
C q uR u q dR d 0 .61 1 2 1 1 .21 .21
在期权价值树上进行计算
qu Ru
C
2
0.61111
1.22
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
计算期权在不同状 态的价值
13.79
18.03
22.846 10.867
10.3 7.57
3.08
7.14 4.69
0.33 0.22
0.0
期权价格树
0.5215 0 0
4). 二项式定价公式推导
对于第3阶段各状态的期权价值有
1 . 0 8 q u m 3 S 0 ( 1 u a ) 4 S X x , 0 } q d { m S 0 ( 1 u a ) 3 ( 1 d x ) S X , { 0 }
• 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资 产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定. 在本例 中,每阶段无风险资产的收益率为 10%/4=0.025
确定期权的价格 无套利定价: 考虑组合 买入A股该股票和卖出该股票的一份买入期权组成。
要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还是 降都应同无风险投资的收益相等。
期初的价值(期权的价格)
C 7 . 5 q u 1 7 . 3 q d 0 3 . 0 q u 4 m 8 S 0 ( 1 u ) a 4 S X , 0 x } 4 q u 3 q { d m S 0 ( 1 u ) a 3 ( 1 d ) x{ S X , 0 } 6 q u 2 q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X { , 0 } 4 q u q d 3 m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( ) x 3 {
3
3). 期权定价的二项式公式
符号:
S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格,
S X , 0 } 3 q u q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( x ) 3 S X { , 0 q d 3 m S 0 ( 1 d a ) 4 S x X , 0 } {
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u(erT1)0.1(e0.02 51)0.37342
ud
0.2
q ue rT (1 )e 0 .02 0 5.62 6 0 .651 81111
2 q u q d m S 0 ( 1 a u ) 1 x d ( ) 3 S { X , 0 } q d 2 m S 0 ( 1 a d ) 4 S x X , 0 } {
对于第1阶段各状态的期权价值有
1 0 . 3 q u 1 3 . 7 q d 4 . 6 9 q u 3 m a x { S 0 ( 1 u ) 4 S X , 0 } 3 q u 2 q d m a x { S 0 ( 1 u ) 3 ( 1 d ) S X , 0 } 3 q u q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , { 0 } q d 3 m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( ) x 3 S X , 0 { }
• 买权未来价值是不确定的,有风险.买权和股票组合可 以消除这种风险.同时来考虑是否能从中找到期权的 价值.
• 如果按比例持有股票和卖出相应的期权,股票上涨的 收益可能被期权的损失弥补
首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收益 在两种状态(价升或价降)下都相同。 如果股票价格上升至33元，组合在到期日的价值 为
7 . 1 q u m 4 S 0 ( 1 u a ) 3 ( 1 d x ) S X , 0 } { q d m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , 0 { } 0 . 3 q u m 3 S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , 0 { } q d m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( ) 3 x S X , 0 } {
erT(1u)u(erT1)
ud
ud
qu erT(`1市场) 的上升状态价格因子 qd erT市场的下降状态价格因子
CquRuqdRd
q u m S 0 ( 1 a u ) x S X , 0 } { q d m S 0 ( 1 a d ) x S X , 0 } {
2 q u q d m S 0 ( 1 u a ) 3 ( 1 d x ) S X , 0 { } q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , { 0 }
4 . 6 q u 7 9 . 1 q d 0 4 . 3 q u 2 3 m S 0 ( 1 a u ) 3 ( 1 x d ) S X { , 0 }
33122719
3
3
根据无套利原理，这就要求无风险投资在期末的 收益同为9元，因而期初用于无风险投资的资金应 为
e0.10.258.78
这也应该是期初用于投资组合的资金，由此得
买入3期0权的1价C格应该8.定78为, 1.C 22元 1 0 8 .7 8 1 .2 2
(b)期权价值树
(c)无风险收益树
股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确定的价 格.
期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确定的价 格以及期权确定的执行价格,给出期权在相应状态 的价值,其在初始状态的价值就是要确定的期权价 格.
无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状态的价 格,这是进行无套利定价的标准.
其中2是期3权3被A，执2行后投资者的付出；
如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合 的价值为
。
在到期日这两个2 7值A应相等，且应等于无风险投资
的收益。
令
33A2 ，27A
解之得
即该A组合1应，/由3 买入1/3股该股票和卖出一份该股票
的买入期权组成。无论股票的价格是升还是降， 组合在期末的价值
S X ,0 } q d 4 m S 0 a ( 1 d x )4 { S X ,0 }
i 4 0 4 i q u 4 iq d imS a 0(1 x u ){ 4 i(1 d )i S X ,0 }
• 期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确 定的股票价格(期权的收益)来进行估计.
• 表面看把股票价格的变动只有两种可能,现实中,股 票价格可是千变万化.不过我们可以通过增加期数 来扩大股票价格变动的范围. 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价格状态 越多, 计算越复杂,所得期权价格估计越接近于真实 的价格.
2). 二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期欧式买入期权，股票 现行的市场价格为30元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降10%，市场的无风险利 率为10%(年利率)，试确定该期权的价格。
33
2
1.025
30
?
27
1 0
1.025
(a)股票价格树
期权定价的二项式方法
1). 定价原理 2). 二项式定价的基本过程 3). 期权定价的二项式公式 4). 二项式定价公式推导 5). 美式期权的定价
1). 定价原理 无套利定价原理:
具有相同收益不同头寸的价格应该相同。
在到期日现金流完全相同的两个组合，它们期初的 现金流必定也完全相同 (债券期货为例).
计算相关数据
u(erT1)0.1(e0.051)0.324859
ud
0.10.05
q u e r( T 1 ) e 0 .0(5 1 0 .32)4 0 .6 84 52 9214
qd erT0.309016
根据期权确定的执行价格以及股票在最后 阶段不同状态的价格，计算期权在最后阶 段各状态的价值 .
2 q u q d m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X , { 0 } q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( ) x 3 S X , 0 { }
0 . 2 q u 2 0 . 3 q d 3 0 q u 2 m S 0 ( 1 a u ) 2 ( 1 x d ) 2 { S X , 0 }
期权在股票价格上升状态下的收益
期权在股票R 价u格 下m 降状S 态0 a (1 下 x 的u 收) { 益S X ,0 }
构建一个组R d 合 ，m 买a x 入{ S A0 股(1 股 d 票)， S 卖X 出,0 一}份买入期权
组成，要求在期权到期日无论何种情况出现，组 合的价值相同
A 0 ( 1 S u ) R u A 0 ( 1 S d ) R d A Ru Rd
S0(u d)
根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方程
S 0 A C [A 0 (1 S u ) R u ]e rT
将A代入得
C e r[ TR d (1)R u]
qde rTe 0 .02 5 0 .37 3 0 .3 46 2420
Ru 2,Rd 0
C q uR u q dR d 0 .61 1 2 1 1 .21 .21
在期权价值树上进行计算
qu Ru
C
2
0.61111
1.22
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
计算期权在不同状 态的价值
13.79
18.03
22.846 10.867
10.3 7.57
3.08
7.14 4.69
0.33 0.22
0.0
期权价格树
0.5215 0 0
4). 二项式定价公式推导
对于第3阶段各状态的期权价值有
1 . 0 8 q u m 3 S 0 ( 1 u a ) 4 S X x , 0 } q d { m S 0 ( 1 u a ) 3 ( 1 d x ) S X , { 0 }
• 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资 产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定. 在本例 中,每阶段无风险资产的收益率为 10%/4=0.025
确定期权的价格 无套利定价: 考虑组合 买入A股该股票和卖出该股票的一份买入期权组成。
要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还是 降都应同无风险投资的收益相等。
期初的价值(期权的价格)
C 7 . 5 q u 1 7 . 3 q d 0 3 . 0 q u 4 m 8 S 0 ( 1 u ) a 4 S X , 0 x } 4 q u 3 q { d m S 0 ( 1 u ) a 3 ( 1 d ) x{ S X , 0 } 6 q u 2 q d 2 m S 0 ( 1 u a ) 2 ( 1 d x ) 2 S X { , 0 } 4 q u q d 3 m S 0 ( 1 u a ) 1 d ( ) x 3 {
3
3). 期权定价的二项式公式
符号:
S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格,