北大版高等数学第一章 函数及极限答案 第一章总练习题

第一章总练习题

221.:

581 2.

3|58|1422.|58|6,586586,.

3552

(2)33,

5

2

333,015.

5

(3)|1||2|

1

(1)(2),2144,.

2

2|2|,.

2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.

解22231231

2,4,(2).

3

2,41

(2), 4.3

1

3.1.

2

2,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.22222

121

1,.22

123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则

解证1231111

12

1

2

112

22

11231222222

2124(1)(1)3222,2222

1..1(1)(2)123(1).

(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx

x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-+++++

+=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1

2

1

2

.1(1)123(1)(1)(1)

n n n n

n

n n x nx x x nx

n x n x x +--+++++

+++=++-等式成立设等式对于成立,则

12212211221122122

1(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)

1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=

--+++-++=

--+++-++=

--+++-++=

--+++=-+即等式对于成立.,.

|2|||2

5.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422

(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x x

f f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=

---→→----------=

=--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解000222222

22;2,20;

0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().

(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.

6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-

→+

→-

→--

→--

→-+

→-+

→--

→-⎧⎪

-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.

求0

03,;

2(2)()0?(3)()?

391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.

244(2).lim ()lim[14]14(0).

(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+

⎛⎫

⎪⎝⎭

==⎛⎫⎡⎤⎡

⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣

⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.

7.,0,,:(1)(1);(2)(1).

n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a

++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明

111111

1

()()

(1),

(1).

118.1,2,3,,1,1.

:{},{}..11

1,1,7,111n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a

n a b n n a b a b a b n n

n ++--+++--+++=

<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫

==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=1

1

11

1

1

1

1111(1)1,

111111111(1)11(1)

1111111,

11111.

1111(1)11n n n

n n n

n n

n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫

⎭

⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-

+⎛⎫⎛

⎫⎛⎫

+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪

++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛

⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛

⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭1

1

1

1

1

1

1

2

1111111111(1)1111(1)11111111111111111.

1111111.

111n n n

n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n +++++++⎛

⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-

+⎛⎫⎛⎫

⎛

⎫++<+-+ ⎪ ⎪

⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛

⎫⎛⎫⎛

⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪

++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛

⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明2

2

1

1

1211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.

n

n n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

最后不等式显然成立当时故

9.求极限