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【新高考数学多项选择题专项训练】专题04 函数(3)(考试版含答案解析)

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高考函数测试题及答案

高考函数测试题及答案

高考函数测试题及答案一、选择题1. 函数y=f(x)=x^2-4x+3的图象的对称轴是直线x=（）A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=3答案：A2. 函数y=f(x)=2^x-1在区间（0，+∞）上是（）A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：A3. 若函数y=f(x)=x^3-3x在x=1处有极值，则该极值是（）A. 2B. -2C. 1D. -1答案：B二、填空题4. 函数y=f(x)=x^2-6x+8的零点是x=______。

答案：2或45. 函数y=f(x)=sin(x)+cos(x)的值域是[-√2, √2]。

答案：√26. 函数y=f(x)=x^3-3x+1的单调递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞）。

答案：（-∞，-1）和（1，+∞）三、解答题7. 已知函数y=f(x)=x^2-4x+c，求证：对于任意实数x，都有f(x)≥-3。

证明：函数y=f(x)=x^2-4x+c的对称轴为x=2，开口向上。

因此，函数的最小值出现在x=2处，即f(2)=4-8+c=c-4。

要使f(x)≥-3，只需c-4≥-3，解得c≥1。

因此，对于任意实数x，都有f(x)≥-3。

8. 已知函数y=f(x)=x^3-3x，求证：f(x)在区间（-1，1）内至少有一个零点。

证明：首先计算f(-1)和f(1)的值，得到f(-1)=-2，f(1)=-2。

由于f(x)在区间（-1，1）上连续，且f(-1)和f(1)异号，根据零点存在定理，f(x)在区间（-1，1）内至少有一个零点。

9. 已知函数y=f(x)=x^2-2x+1，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值。

解：函数y=f(x)=x^2-2x+1的对称轴为x=1，开口向上。

因此，函数在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增。

计算f(0)=1，f(1)=0，f(2)=1。

所以，f(x)在区间[0，2]上的最大值为1，最小值为0。

2021年新高考新题型之高考数学多项选择题专项训练

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目录专题01 集合与常用逻辑用语（解析版）专题02 函数（1）（解析版）专题03 函数（2）（解析版）专题04 函数（3）（解析版）专题05 导数及其应用（解析版）专题06 不等式（解析版）专题07 数列（1）（解析版）专题08 数列（2）（解析版）专题09 平面向量（解析版）专题10 复数、推理与证明（解析版）专题11 排列组合和概率统计（解析版）专题12 三角函数（1）（解析版）专题13 三角函数（2）（解析版）专题14 三角函数（3）（解析版）专题15 平面解析几何（1）（解析版）专题16 平面解析几何（2）（解析版）专题17 平面解析几何（3）（解析版）专题18 立体几何（1）（解析版）专题19 立体几何（2）（解析版）专题20 立体几何（3）（解析版）专题01 集合与常用逻辑用语多项选择题1．（2019秋•启东市期末）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有()A ．AB B= B ．A B B= C ．()U A B =∅ ðD ．()U A B =∅ ð【分析】利用A B Ü的关系即可判断．【解答】解：A B Ü，A B A ∴= ，A B B = ，()U C A B =≠∅ ，()U A C B =∅ ， 故选：BD ．2．（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3−B ．1C ．2D ．5【分析】利用A B ⊆，求出a 的范围，即可判断． 【解答】解：A B ⊆ ， 2a ∴<，故选：AB ．3．（2019秋•临高县校级期末）已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B AC = B ．B C C = C ．B A B =D ．A B C ==【分析】可看出，“小于90°的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断出选项B ，C 都正确；而小于90°的角里边有小于0°的角，而小于0°的角里边有第一象限角，从而可判断选项A 错误，而选项D 显然错误，从而可得出正确的选项．【解答】解： “小于90°的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，B C ∴⊆，B A ⊆B C C ∴= ，B A B = ；“小于90°的角“里边有”第一象限角”，从而B A C ≠ ． 故选：BC ．4．（2019秋•聊城期末）若“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( ) A ．8−B ．5−C ．1D ．4【分析】分别解出” 2340x x +−<”，“ 22(23)30x k x k k −+++>”，根据2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：“2340x x +−<” 43x ⇔−<<． “22(23)30x k x k k −+++>” x k ⇔<，或3x k >+．“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，3k ∴…，或43k −+…，解得：3k …，或7k −…， 则实数k 可以是AD ． 故选：AD ．5．（2019秋•临沂期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为( ) A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断即可． 【解答】解：假设θ为象限角则①sin 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sin 0θ<，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cos 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cos 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tan 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第四象限角， 若θ为第二象限角，则①④可以④⑥可以， 故选：BC ．6．（2019秋•泰安期末）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆B ．:8p a …；q ：对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列，p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a −+<D ．已知空间向量(0a = ，1，1)−，(b x = ，0，1)−，:1p x =；q ：向量a与b 的夹角是3π【分析】A ，根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；B ，求出，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，即等价于9a …，即可判断；C ，根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；D ，根据空间两向量的夹角大小求出x 的值，再根据充分必要条件的定义即可判断；【解答】解：A ，若方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆， 则703073m m m m −>−> −≠−，即37m <<且5m ≠， 即“37m <<”是“方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆”的必要不充分条件； B ，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，等价于9a …； ∴ “8a …”是“对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立”必要不充分条件； :{}n C a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，∴当11a =，12q =−时，满足0q <，但此时12111022a a +=−=>，则2120n n a a −+<不成立，即充分性不成立，反之若2120n n a a −+<，则2221110n n a q a q −−+< 10a > ，22(1)0n q q −∴+<，即10q +<，则1q <−，即0q <成立，即必要性成立，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a −+<”的必要不充分条件．D ：空间向量(0a =，1，1)−，(b x = ，0，1)−，则001a b =++ ， cos a ∴<，1cos 32||||a bb a b π>===×，解得1x =±，故“1x =”是“向量a与b 的夹角是3π”的充分不必要条件．故选：ABC ．7．（2019秋•青岛期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y ==；3{(,)|}x M x y y e =；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【分析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．，结合函数图象进行判断．【解答】解：由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y=所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′ ． 所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．8．（2019秋•淮安期末）已知函数2()43f x x x =−+，则()0f x …的充分不必要条件是( ) A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(−∞，1][3 ，)+∞D ．(3,4)【分析】由()0f x …，得2430x x −+…，解得3x …或1x …．由此能求出()0f x …的充分不必要条件． 【解答】解：函数2()43f x x x =−+，由()0f x …，得2430x x −+…， 解得3x …或1x …．()0f x ∴…的充分不必要条件是{1，3}和(3,4)， 故选：BD ．9．（2019秋•镇江期末）使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x …C ．1x <−或1x >D ．10x −<<【分析】不等式110x+>，即10x x +>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论． 【解答】解：不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <−． 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <−，或1x >． 故选：AC ．10．（2019秋•连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( ) A ．p 是q 的既不充分也不必要条件 B ．p 是s 的充分条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件【分析】由已知可得p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒．p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件．∴正确的是B 、D ．故选：BD ．11．（2019秋•苏州期末）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1−B ．1C ．2−D ．2【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =−，[2A −，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A −∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =−，[1A −，)+∞，符合题意，C 对；若1a =，(A −∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．12．（2019秋•济宁期末）下列命题中的真命题是( ) A ．x R ∀∈，120x −> B ．*x N ∀∈，2(1)0x −> C ．x R ∃∈，1lgx <D ．x R ∃∈，tan 2x =【分析】根据指数函数的值域，得到A 项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C 项正确；根据正弦函数tan y x =的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解： 指数函数2t y =的值域为(0,)+∞∴任意x R ∈，均可得到120x −>成立，故A 项正确；当*x N ∈时，1x N −∈，可得2(1)0x −…，当且仅当1x =时等号 ∴存在*x N ∈，使2(1)0x −>不成立，故B 项不正确；当1x =时，01lgx =<∴存在x R ∈，使得1lgx <成立，故C 项正确；正切函数tan y x =的值域为R∴存在锐角x ，使得tan 2x =成立，故D 项正确 故选：ACD ．13．（2019秋•薛城区校级月考）已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为( ) A ．12B ．1C ．0D ．以上选项都不对【分析】由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a=，12a =，由此能求出实数a ．【解答】解： 集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆， A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a 不存在，11a=，12a =，解得1a =，或1a =，或12a =． 故选：ABC ．14．（2019秋•桥西区校级月考）设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是( ) A ．{0}A ∈B ．1A ∉C ．{1}A −∈D ．0A ∈【分析】求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−，利用元素与集合的关系能判断正确结果． 【解答】解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−， 0A ∴∈，1A −∈，{0}A ⊂，{1}A −⊂，1A ∉． AC ∴选项均不正确，BD 选项正确．故选：AC ．15．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合2{|20}Ax x x =−=，则有( ) A ．A ∅⊆B ．2A −∈C ．{0，2}A ⊆D ．{|3}A y y ⊆<【分析】可以求出集合A ，根据子集的定义及元素与集合的关系即可判断每个选项的正误． 【解答】解：{0A = ，2}，A ∴∅⊆，2A −∉，{0，2}A ⊆，{|3}A y y ⊆<．故选：ACD ．16．（2019秋•临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是( ) A ．A B A =B ．U UA B ⊇痧C ．U B A =∅ ðD ．U A B =∅ ð【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件． 【解答】解：对于选项A ，由A B A = ，可得A B ⊆．由A B ⊆ 可得A B A = ，故选项A ，A B A = 是命题A B ⊆的充要条件，故A 满足条件． 对于选项B ，由S SA B ⊇痧 可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S SA B ⊇痧，故S SA B ⊇痧 是命题A B ⊆的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由S B A φ= ð，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S B A φ= ð，故S B A φ= ð 是命题A B ⊆的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由S A B φ= ð，可得B A ⊆，不能退出A B ⊆，故选项D ，S A B φ= ð不是命题A B ⊆的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ．17．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合{||4}A x Z x =∈<，B N ⊆，则( )A ．集合B N N =B ．集合A B 可能是{1，2，3}C ．集合A B 可能是{1−，1}D ．0可能属于B【分析】根据Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【解答】解：因为B N ⊆，所以B N N = ，故A 正确．集合A 中一定包含元素1，2，3，集合B N ⊆，1，2，3都属于集合N ，所以集合A B 可能是{1，2，3}正确．1−不是自然数，故C 错误．0是最小的自然数，故D 正确． 故选：ABD ．18．（2019秋•市中区校级月考）给出下列关系，其中正确的选项是( ) A ．{{}}∅∈∅B ．{{}}∅∉∅C ．{}∅∈∅D ．{}∅⊆∅【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误． 【解答】解：显然∅不是集合{{}}∅的元素，A ∴错误；∅不是集合{{}}∅的元素，∅是{}∅的元素，∅是任何集合的子集，从而得出选项B ，C ，D 都正确．故选：BCD ．19．（2019秋•罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选答案推出x y >． 【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．20．（2019秋•宁阳县校级期中）若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】求解一元二次不等式，把若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件转化为(1−，2)(2−Ü，)a ，由此得到a 的范围，则答案可求．【解答】解：由220x x −−<，解得12x −<<． 又220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，(1∴−，2)(2−Ü，)a ，则2a …． ∴实数a 的值可以是2，3，4． 故选：BCD ．21．（2019秋•薛城区校级期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是( ) A ．M N M =B ．M N N =C ．M M N ⊆D ．M N N ⊆【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【解答】解： 集合M N ⊆， ∴在A 中，M N M = ，故A 正确；在B 中，M N N = ，故B 正确； 在C 中，M M N ⊆ ，故C 正确； 在D 中，M N N ⊆ ，故D 正确． 故选：ABCD ．22．（2019秋•凤城市校级月考）下列命题正确的有( ) A ．A ∅=∅ B ．()U UU A B A B = 痧?C ．A B B A =D ．()U U A A =痧【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【解答】解：在A 中，A A ∅= ，故A 错误； 在B 中，()()()U U U A B A B = 痧?，故B 错误； 在C 中，A B B A = 同，故C 正确； 在D 中，()U U A A =痧，故D 正确． 故选：CD ．23．（2019秋•北镇市校级月考）已知集合{2M −，2334x x +−，24}x x +−，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为( ) A ．2B ．2−C ．3−D ．1【分析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+−或224x x =+−，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，22334x x =+−或224x x =+−， 若22334x x =+−，即220x x +−=， 2x ∴=−或1x =，检验：当2x =−时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去； 当1x =时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去． 若224x x =+−，即260x x +−=， 2x ∴=或3x =−， 经验证2x =或3x =−为满足条件的实数x ． 故选：AC ．24．已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B =∅【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =−=−+−； 2a b −、2a −均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+−（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．25．已知集合2{|10}A x x =−=，则下列式子表示正确的有( ) A ．{1}A ∈B ．1A −⊆C ．A ∅⊆D ．{1，1}A −⊆【分析】利用集合与集合基本运算求出A 集合，再由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得答案， 【解答】解：已知集合2{|10}{1A x x =−==−，1}，由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得：以上式子表示正确的有：A ∅⊆，{1，1}A −⊆． 故选：CD ．26．已知集合{|13}A x x =−<…，集合{|||2}B x x =…，则下列关系式正确的是( ) A ．A B =∅B ．{|23}A B x x =− 剟C ．{|1R A B x x =− …ð或2}x >D ．{|23}R A B x x =< …ð【分析】求解绝对值不等式化简集合B ，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：{|13}A x x =−< …，{|||2}{|22}B x x x x ==−剟?， {|13}{|22}{|12}A B x x x x x x ∴=−<−=−< 剟剟，故A 不正确； {|13}{|22}{|23}A B x x x x x x =−<−=− 剟剟?，故B 正确； {|2R Bx x =<− ð或2}x >， {|13}{|2R A B x x x x ∴=−<<− …ð或2}{|2x x x >=<−或1}x >−，故C 不正确； {|13}{|2R A B x x x x =−<<− …ð或2}{|23}x x x >=<…，故D 正确．∴正确的是B ，D ．故选：BD ．27．下列命题正确的是( )A ．“26x <<”是“24120x x −−<”的必要不充分条件B ．函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈ C ．“x R ∀∈，3210x x −+…”的否定是“x R ∃∈，3210x x −+>”D ．设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x 则12373x x x π++=【分析】A 由24120x x −−<，解得26x −<<，可得“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件； B 由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈，即可得出函数()tan 2f x x =的对称中心； C 取1x =−，则32110x x −+=−<，即可判断出；:sin D x x a +=化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =，解得即可． 【解答】解：由24120x x −−<，解得26x −<<，因此“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件，A不正确；由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈因此函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈，B 正确；取1x =−，则32110x x −+=−<，因此“x R ∀∈，3210x x −+>” C 不正确；sin x x a =化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a=，解得33x ππ+=，3ππ−，23ππ+，12373x x x π∴++=，D 正确． 故选：BD ．28．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( ) A ．A B =∅ 的充要条件是()card A B card = （A ）card +（B ）B ．A B ⊆的必要条件是card （A ）card …（B ）C ．A B à的充要条件是card （A ）card …（B ）D ．A B =的充要条件是card （A ）card =（B ）【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：?A B =∅ 集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确A B à集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C错误A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误故选：AB ．29．使“a b <”成立的必要不充分条件是“( )”A ．0x ∀>，a b x +…B ．0x ∃…，a x b +<C ．0x ∀…，a b x <+D ．0x ∃>，a x b +… 【分析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【解答】解：若a b <，0x ∀>，则a x b x +<+，a a x <+ ，a a xb x ∴<+<+，即a b x <+，则a b x +…不一定成立；故A 错误，若a b <，当2a =，4b =，10x ∃=…，有a x b +<成立，反之不一定成立；故B 满足条件．0x ∀…，由a b <得a x b x +<+， 0x …，a x a ∴+…，即a a x b x +<+…则a b x <+成立，故C 满足条件，若a b <，当2a =，3b =，10x ∃=>，有a x b +…成立，反之不一定成立；故D 满足条件． 故选：BCD ．30．在下列结论中正确的是( )A ．“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件B ．“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件C ．“p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件D ．“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件 【分析】利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，A 正确； “p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件，B 不正确； “p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件，C 正确；“p ¬”为真，p 为假⇒ “p q ∧”为假，反之不成立，可能q 为假，p 为真，因此“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件，D 正确． 故选：ACD ．专题02 函数（1）多项选择题1．（2019秋•清江浦区校级期末）已知函数()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，若()()sin g x f x x π=，()()cos h x f x x π=，则下列说法正确的是( ) A ．函数()y g x =是偶函数 B ．10是函数()f x 的一个周期C ．对任意的x R ∈，都有(5)(5)g x g x +=−D ．函数()y h x =的图象关于直线5x =对称【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()()sin g x f x x π=，()()sin ()()sin g x f x x f x x ππ−=−−=−−，又由函数()f x 是偶函数，则()()sin g x f x x π−=−， 即函数()g x 为奇函数，A 错误对于B ，由于()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，得(5)(5)(5)f x f x f x −=+=−，即(10)()f x f x +=， 则()f x 是周期为10的周期函数，所以(10)(10)cos(10)()cos ()h x f x x f x x h x πππ+=++==， 则()y h x =是的最小正周期为10，故B 正确；对于C ，(5)(5)sin((5))(5)sin(5)(5)(sin )(5)(sin )(5)sin (5)g x f x x f x x f x x f x x f x x g x ππππππ+=++=−+=−−=−−−=−=−，故C 正确；对于D ，(5)(5)cos(55)(5)cos(55)(5)cos(5510)(5)cos(55)(5)h x f x x f x x f x x f x x h x πππππ−=−−=+−=+−+=++=+， 所以函数()y h x =的图象关于直线5x =对称，D 正确； 故选：BCD ．2．（2019秋•胶州市期末）下列函数是偶函数的是( ) A ．()tan f x x =B ．()sin f x x =C ．()cos f x x =D ．()||f x lg x =【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()tan f x x =，是正切函数，是奇函数，不符合题意； 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，是奇函数，不符合题意； 对于C ，()cos f x x =，是余弦函数，是偶函数，符合题意；对于D ，()||f x lg x =，其定义域为{|0}x x ≠有()||||()f x lg x lg x f x −=−==，是偶函数，符合题意； 故选：CD ．3．（2019秋•菏泽期末）对数函数log (0a y x a >且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =−−在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】对a 分类讨论，利用对数函数的单调性、二次函数的性质即可判断出结论．【解答】解：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =−−开口向上，对称轴102(1)xa >−，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =−−开口向下，对称轴102(1)xa <−，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．4．（2019秋•龙岩期末）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x −与(2)f x −都为偶函数，则( ) A ．()f x 为偶函数 B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数【分析】根据题意，由(1)f x −为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−，由(2)f x −都为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，联立分析可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，据此分析可得()f x 和(1)f x +为偶函数，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若(1)f x −为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−， 若(2)f x −都为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，则有(2)(4)f x f x −−−−，变形可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，则D 正确； 又由函数()f x 的图象关于直线2x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，A 正确；又由函数()f x 的图象关于直线1x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于直线1x =对称，即(1)f x +为偶函数，B 正确； 同理：(2)f x +为偶函数，C 错误； 故选：ABD ．5．（2019秋•启东市期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)−∞上单调递减的函数是( ) A．y =B ．||1()2x y =C ．121log ||y x = D ．sin y x =【分析】结合奇偶性及单调性的定义，再结合指数与对数函数，幂函数及余弦函数的性质即可判断．【解答】解；结合幂函数的性质可知y =(,0)−∞上单调递减，符合题意； 结合指数函数的性质可知，||1()2x y =在(,0)−∞上单调递增，不符合题意；结合对数函数的性质可知，121log (,0)||y x −∞上单调递减且为偶函数，符合题意；结合正弦函数的性质可知sin y x =为奇函数，不符合题意． 故选：AC ．6．（2019秋•淮安期末）下列函数中定义域是R 的有( ) A ．2x y =B ．y lgx =C ．3y x =D ．tan y x =【分析】根据常见的基本初等函数的定义域，判断是否满足题意即可． 【解答】解：对于A ，函数2x y =，定义域为R ，满足题意； 对于B ，函数y lgx =，定义域为(0,)+∞，不满足题意； 对于C ，函数3y x =，定义域为R ，满足题意； 对于D ，函数tan y x =，定义域为(2k ππ−+，)2k ππ+，k Z ∈，不满足题意．故选：AC ．7．（2019秋•泰州期末）德国数学家狄里克雷(Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805~1859)在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是( )A ．()0D π=B ．()D x 的值域为{0，1}C ．()D x 的图象关于直线1x =对称D ．()D x 的图象关于直线2x =对称【分析】结合已知定义可写出函数解析式，然后结合函数的性质即可判断． 【解答】解：由题意可得()0,1,x D x x Q =∈为无理数， 由于π为无理数，则()0D π=，故A 正确；结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域{0，1}，故B 正确；结合函数可知，当x Q ∈时，()1D x =关于1x =，2x =都对称，当x 为无理数时，()0D x =关于1x =，2x =都对称． 故选：ABCD ．8．（2019秋•连云港期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间[1−，1]上单调递增的是( ) A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()tan f x x =D ．()cos f x x =【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性的定义及性质对各选项进行判断． 【解答】解：结合指数函数的性质可知，2x y =为非奇非偶函数，A 不符合题意； cos y x =为偶函数，不符合题；2y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增，符合题意；结合正切函数的性质可知，tan y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增． 故选：AC ．9．（2019秋•三明期末）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有( )A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =−与()|1|g x x =−C ．()f x x =与2()log 2xg x =D ．21()1x f x x −=+与()1g x x =−【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．【解答】解：对于A ，函数()f x x =与()||g x x =的解析式不同，表示相同函数；对于B ，函数()|1|f t t =−的定义域为R ，()|1|g x x =−的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C ，函数()f x x =的定义域为R ，2()log 2g x =x x =的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D ，函数21()11x f x x x −==−+的定义域为(−∞，1)(1−−∪，)+∞，()1g x x =−的定义域为R ，定义域不同，不是相同函数． 故选：BC ．10．（2019秋•宿迁期末）已知2(21)4f x x −=，则下列结论正确的是( ) A ．f （3）9=B ．(3)4f −=C ．2()f x x =D ．2()(1)f x x =+【分析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解．【解答】解：2(21)(21)2(21)1f x x x −=−+−+，故2()21f x x x =++，故选项C 错误，选项D 正确；f （3）16=，(3)4f −=，故选项A 错误，选项B 正确． 故选：BD ．11．（2019秋•泉州期末）已知1(A x ，)m 和2(B x ，)m 为函数()2sin3xf x =的图象上两点，若21||x x k π−=，{1k ∈，2，3，4，5}，则m 的值可能为( )A ．0B ．1CD 【分析】由已知可得()f x 的周期为6π，再分k 的不同取值即可求出结论． 【解答】解：由已知可得()f x 的周期为6π， 当3k =时，如下图所示，此时0m =当2k =或4k =时，如下图所示，结合对称性，此时1m =±当1k =或5k =时，如下图所示，结合对称性，此时m =综上，本题答案为ABD 故选：ABD ．12．（2019秋•清远期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，且当0x …时，()1x f x e x =+−．若(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立，则k 的可能取值为( )A ．1B ．0C ．1−D ．2−【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到sin (2sin )x k x +…，再根据题意，利用检验法判断即可． 【解答】解：定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，()f x 为奇函数， 当0x …时，()1x f x e x =+−，显然()f x 在(0,)+∞递增，所以()f x 在R 上递增，(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立， 可得sin (2sin )x k x +…，(1)sin 2k x k −…，当1k =时，02…，不成立，故A 错误；当0k =时，sin 0x …成立，不恒成立，故B 错误；当1k =−时，2sin 2x −…，即sin 1x −…，恒成立，故C 正确； 当2k =−时，3sin 4x −…，即4sin 3x −…恒成立，故D 正确； 故选：CD ．13．（2019秋•海南期末）已知函数2()361f x x x =−−，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则13a =【分析】结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=−−××−=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确； 令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==−−=−−． 当1a >时，1t a a 剟，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =−−=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a 剟，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=−−=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．14．（2019秋•滨州期末）已知函数2()23f x x x =−−，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小值为4− B ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增C ．函数(||)f x 为偶函数D ．若方程(|1|)f x a −=在R 上有4个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，则12344x x x x +++=【分析】由二次函数的性质，可判断选项A ，B 真假，根据奇偶性定义，可判断选项C 真假，作出()y h x =的图象，结合对称性，可判断选项D 真假．【解答】解：二次函数()f x 在对称轴1x =处取得最小值，且最小值f （1）4=−，故选项A 正确；二次函数()f x 的对称轴为1x =，其在(0,)+∞上有增有减，故选项B 错误；由()f x 得，2(||)||2||3f x x x =−−，显然(||)f x 为偶函数，故选项C 正确； 令2()(|1|)|1|2|1|3h x f x x x =−=−−−−，方程(|1|)f x a −=的零点转化为()y h x =与y a = 的交点， 作出()h x 图象如右图所示：图象关于1x = 对称，当()y h x = 与y a = 有四个交点时， 两两分别关于1x =对称，所以12344x x x x +++=， 故选项D 正确． 故选：ACD ．15．（2019秋•费县期末）已知函数()x x f x e e −=−，()x x g x e e −=+，则以下结论错误的是( ) A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x −<−B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x −<−C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【分析】由函数()f x 及函数()g x 的性质直接判断即可． 【解答】解：1()x xf x e e =−在R 上单调递增，无最值，故选项AC 错误； 1()x xg x e e =+为偶函数，易知其在(,0)−∞为减函数，在(0,)+∞为增函数，且在1x =处取得最小值，无最大值，故选项B 错误； 故选：ABC ．16．（2019秋•枣庄期末）具有性质：1()()f f x x=−的函数，我们称为满足“倒负”变换的T函数．下列函数中T 函数有( )A ．1y x x=−B ．1y x x=+C ．,010,11,1x x y x x x<<== −> D ．1(0)1xy lnx x−≠+ 【分析】根据题意，逐项判断即可．【解答】解：由1()()f f x x=−可知，若函数()f x 在1x =处有意义，则f （1）0=，故排除B ；对于A ，11()()f x f x x x=−=−，符合题意，故A 正确；对于C ，当01x <<时，11x>，则1()()f x f x x =−=−，符合题意； 当1x >时，101x <<，则11()()f f x x x==−，符合题意； 当1x =时，f （1）0=符合题意，故C 正确；对于D ，函数的定义域为(1−，0)(0∪，1)，1111()()111x x f ln ln f x x x x −−==≠−++，故D 错误． 故选：AC ．17．（2019秋•泰安期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x==B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==− D ．2{(,)|log }M x y y x ==【分析】由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点1(A x ，1)y 与原点的直线，曲线()y f x =上都存在过点2(B x ，2)y 与原点的直线与之垂直，根据题意，对四个选项逐一分析即可得到答案．【解答】解：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 对于A ，21{(,)|}M x y yx ==，其图象向左向右和x 轴无限接近，向上和y 轴无限接近，如图，在图象上任取一点1(A x ，1)y ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与21y x =的图象相交， 即一定存在点2(B x ，2)y ，使得OB OA ⊥成立， 故21{(,)|}M x y yx ==是“垂直对点集”，故A 正确． 对于B ，{(,)|sin 1}M x y y x ==+，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作直线OA 的垂线OB ，因为sin 1y x =+的图象沿x 轴向左向右无限延展，且与x 轴相切， 因此直线OB 总会与sin 1y x =+的图象相交．所以{(,)|sin 1}M x y y x ==+是“垂直对点集”，故B 正确； 对于C ，{(,)|22}x Mx y y ==−，其图象过点(0,1)−，且向右向上无限延展，向左向下无限延展， 据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与22x y =−的图象相交， 即一定存在点B ，使得OB OA ⊥成立，故{(,)|22}x M x y y ==−是“垂直对点集”，故C 正确． 对于D ，2{(,)|log }M x y y x ==，(0)x >，取(1,0)，则不存在点2(x ，222log )(0)x x >，满足2100x ×+=， 因此集合M 不是“垂直对点集”，故D 不正确； 故选：ABC ．18．（2019秋•菏泽期末）下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数的有( ) A ．cos y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．2log ||y x =【分析】根据函数的图象和性质判断即可．【解答】解：其中A ，B ，D 函数是偶函数，排除C ，B ，D 且在(0,)+∞上为增函数，对于D 根据翻折变换图象如下：故选：BD ．19．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <…，2b =C ．1a =−，2b =D ．12a =，1b = 【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得23()2bb a f x ax a−=++，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得22a −− (230)a−<，分析可得a 、b 的关系，据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，函数22(2)333()222b b bax bx b a a a f x ax ax ax a ++−−+===++++，其定义域为2{|}x x a≠−， 若函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增， 必有22a −−…且230b a−<，即01a <…且23ba<， 据此分析选项：A 、B 、D 符合； 故选：ABD ．。

新高考数学的多选题含答案

新高考数学的多选题含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题1．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x Q D x x Q ∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ）A ．()D x 是偶函数B ．,(())1x R D D x ∀∈=C ．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形 【答案】ABCD 【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则Rx Q -∈，即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()D x t D x +=，当R x Q ∈时，R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1，所以当((0,1),,0)33A B C -时成立，正确； 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.2．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+3．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有1212()()(),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21()1x f x x +=- 【答案】ACD 【分析】根据函数的解析式，求得1212()()()22x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则1212()()12x x f x x +=-++， 121212()()1(2121)()122f x f x x x x x +=-+-+=-++，可得1212()()()22x x f x f x f ++=，满足1212()()()22++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235,22x x ==，则1222x x +=， 可得351()()222f f ==-，所以12()()122f x f x +=-，12()(2)02x x f f +==， 此时1212()()()22x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3()5f x x =+，由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；对于D 中，函数213()211x f x x x +==+-- 由函数3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1x f x x +=-的图象，如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=，因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.5．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．122x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.6．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( )A ．1B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.7．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，，t ≤<=6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <5n ≤时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．8．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．1122⎡-⎢⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞0<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得b =b =.所以此时完美区间为10,2⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()12212b a +-=⨯=+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得1x =，2x =，所以12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误； 故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.9．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（ ）A ．9,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD 【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-， 将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍）， 结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.10．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.二、导数及其应用多选题11．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭， 由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误；对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭， 即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=. 综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.12．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ） A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ．2ln a a b b e e-<恒成立 【答案】AD 【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误.故选：AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.13．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确；若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.14．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4ff π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>，所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点，当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x-+-'=， 因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 ()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.16．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 12f x x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-， ()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1g t g===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()2222cos tx x x xf x x x⎫+++⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++， 所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.17．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.18．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.19．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.。

专题04 函数的基本性质-2022年高考数学一轮复习小题多维练(新高考版)(解析版)

专题04 函数的基本性质-2022年高考数学一轮复习小题多维练(新高考版)(解析版)

函数的基本性质一、单选题1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（）A．y＝e x B．C．D．y＝（x﹣1）2【答案】C【分析】根据基本初等函数的图象与性质，零点的含义，以及函数图象的变换法则，逐一判断每个选项即可．【解答】解：函数y＝e x＞0恒成立，不存在零点，即A不符合题意；函数恒成立，不存在零点，即B不符合题意；函数在（0，+∞）上单调递增，且当x＝1时，y＝0，所以函数的零点为x＝1，即C正确；函数y＝（x﹣1）2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即D不符合题意．故选：C．【知识点】函数的零点、函数的单调性及单调区间2.已知实数m是给定的常数，函数f（x）＝x3+﹣mx+1的图象不可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】对函数f（x）求导可得f'（x）＝（3x+1）（x﹣m），不妨取m＝0、m＞0和三类讨论函数f（x）的单调区间，并与选项进行匹配即可作出选择．【解答】解：f（0）＝1，f'（x）＝3x2+（1﹣3m）x﹣m＝（3x+1）（x﹣m），当m＞0时，函数f（x）在和（m，+∞）上单调递增，在上单调递减，选项A，C的图象有可能符合题意；当m＝0时，令f'（x）＜0，得；令f'（x）＞0，得或x＞0．所以函数f（x）在和（0，+∞）上单调递增，在上单调递减，选项B的图象不符合题意；当时，函数f（x）在（﹣∞，m）和上单调递增，在上单调递减，选项D的图象有可能符合题意．故选：B．【知识点】函数的单调性及单调区间3.定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【分析】根据题意，分析易得f（x）在R上为减函数，求出g（x）的解析式，分析可得g（x）在[﹣1，1]上为减函数，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x＝≥1，解可得k≥2，即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B．【知识点】函数的单调性及单调区间4.若ln（a+4b）＝lna+lnb﹣1，则的取值范围为（）A．（，7）B．[，7）C．（，+∞）D．[9，+∞）【答案】D【分析】利用对数运算法则，推出＝，然后利用基本不等式转化求解函数的最大值即可．【解答】解：由ln（a+4b）＝lna+lnb﹣1，可得a+4b＝，所以＝，因为a＞0，b＞0，所以＝（a+b）•（）＝5+≥5+4＝9．当且仅当a＝2b＝6e时，取等号．所以的取值范围为[9，+∞）．故选：D．【知识点】函数的最值及其几何意义5.已知函数f（x）＝，则函数y＝在区间[m，m+2]（﹣2≤m≤0）上的最大值的取值范围是（）A．[1，2]B．[，2]C．[1，]D．[1，]【答案】D【分析】零点分段取绝对值，在利用换元法，作出图象，分段讨论m，即可求解最大值的取值范围；【解答】解：函数f（x）＝，则f（x）＝，设g（x）＝f（x）+1，可得g（x）＝，作出g（x）的图象，从图象可知，当x＝﹣2时，可得g（x）的最大值为1；当﹣2＜m＜﹣1时，g（x）max＝＝＝∈（1，）；当﹣1≤m≤0时，g（x）max＝＝，综上，可得在区间[m，m+2]（﹣2≤m≤0）上的最大值的取值范围是[1，]；故选：D．【知识点】函数的最值及其几何意义6.设f（x）是R上的奇函数且满足f（x﹣1）＝f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（﹣2020.6）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【答案】D【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为2的周期函数，结合函数的奇偶性可得f（﹣2020.6）＝f （﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），又由函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），即f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（0.6）＝5×0.6×0.4＝，故f（﹣2020.6）＝﹣f（0.6）＝﹣，故选：D．【知识点】抽象函数及其应用、函数奇偶性的性质与判断7.已知函数f（x）＝ln+ax+b（a，b∈R），对任意的x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）都有f（﹣x）+f（x）＝6，且f（5）＝3，则f（9）﹣f（﹣5）＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，由f（﹣x）+f（x）＝6，则有（ln+ax+b）+（ln﹣ax+b）＝2b＝6，分析可得b的值，又由f（5）＝3，解可得a的值，由f（﹣x）+f（x）＝6可得f（﹣5）的值，由解析式可得f（﹣9）的值，计算可得答案【解答】解：根据题意，f（x）＝ln+ax+b，若f（﹣x）+f（x）＝6，则有（ln+ax+b）+（ln﹣ax+b）＝2b＝6，则有b＝3，又由f（5）＝3，则f（5）＝ln+5a+3＝3，解可得a＝，则f（x）＝ln+x+b，对任意的x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）都有f（﹣x）+f（x）＝6，且f（5）＝3，则f（﹣5）＝6﹣3＝3，则f（9）﹣f（﹣5）＝ln+9×+3﹣3＝，故选：C．【知识点】函数奇偶性的性质与判断、抽象函数及其应用8.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当x≥l时，f（x）＝x2+lgx，若a＝f（2），b＝f（logπ3），c＝f（﹣1），则a，b，c之间的大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】C【分析】首先根据f（2﹣x）＝f（x），得出函数关于x＝1对称，再将对应的自变量转化到区间[1，+∞）内，利用函数的单调性作出判断．【解答】解：∵f（2﹣x）＝f（x），∴f（x）关于直线x＝1对称，∴，c＝f（﹣1）＝f（3），且，又当x≥l时，f（x）＝x2+lgx，故函数f（x）在[1，+∞）单调递增，∴，即b＜a＜c．故选：C．【知识点】奇偶函数图象的对称性、函数单调性的性质与判断9.已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【答案】D【分析】利用函数的奇偶性的定义以及函数的周期性化简，可得f（﹣2017）＝f（1），代入已知解析式，求解即可得到答案【解答】解：由已知函数是偶函数，且x≥0时，都有f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），所以f（﹣2017）＝f（2017）＝f（4×504+1）＝f（1）＝log22＝1．故选：D．【知识点】函数的周期性10.偶函数f（x）对于任意实数x，都有f（2+x）＝f（2﹣x）成立，并且当﹣2≤x≤0时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣【答案】C【分析】先通过偶函数f（2+x）＝f（2﹣x），可推断函数f（x）是以4为周期的函数，故可以把f（）转化为f（）＝f（﹣），再利用其为偶函数以及解析式可得结论．【解答】解：对任意实数x都有f（4+x）＝f[2+（2+x）]＝f[2﹣（2+x）]＝f（﹣x），由于f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）．所以f（4+x）＝f（x）．所以函数f（x）是以4为周期的周期函数．所以．故选：C．【知识点】函数的周期性11.已知函数f（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，当x∈（2，4）时，f（x）＝﹣log（x﹣1）+m，若＝f（﹣1），则实数m的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，分析可得f（x+1）＝﹣f（3﹣x）＝f（x﹣3），即f（x+4）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，据此可得f（2021）＝f（1），结合函数的解析式可得f（1）和f（﹣1）的值，进而可得若，则有＝m+1，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，又由f（x）为奇函数，则f（x+1）＝﹣f（3﹣x）＝f（x﹣3），即f（x+4）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），当x∈（2，4）时，，则f（3）＝m+1，即f（2021）＝f（1）＝﹣f（3）＝﹣m﹣1，又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝m+1，若，则有＝m+1，解可得：m＝﹣；故选：C．【知识点】函数的周期性12.已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2e x，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（e，4]B．（e+，4]C．（e+，4）D．（，4]【答案】B【分析】求得f（x）在（，2]的值域A，以及函数y＝g（x）的导数，判断单调性，求得在[﹣1，1]的值域B，由题意可得B包含于A，可得a的不等式，解不等式可得所求范围．【解答】解：f（x）＝﹣x2+a在[﹣，2]的值域为[a﹣4，a]，但f（x）在（，2]递减，此时f（x）∈[a﹣4，a﹣）．g（x）＝x2e x的导数为g′（x）＝2xe x+x2e x＝x（x+2）e x，可得g（x）在[﹣1，0]递减，（0，1]递增，则g（x）在[﹣1，1]的最小值为g（0）＝0，最大值为g（1）＝e，即值域为[0，e]．对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），可得[0，e]⊆[a﹣4，a﹣），可得a﹣4≤0＜e＜a﹣，解得e+＜a≤4．故选：B．【知识点】函数恒成立问题二、多选题13.已知函数f（x）的定义域是[﹣1，5]，且f（x）在区间[﹣1，2）上是增函数，在区间[2，5]上是减函数，则以下说法一定正确的是（）A．f（2）＞f（5）B．f（﹣1）＝f（5）C．f（x）在定义域上有最大值，最大值是f（2）D．f（0）与f（3）的大小不确定【答案】AD【分析】结合函数的单调性及函数是否在x＝2处连续分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为在区间[2，5]上是减函数，故f（2）＞f（5）成立，A正确；因为f（x）在区间[﹣1，2）上是增函数，在区间[2，5]上是减函数，但在x＝2处不一定连续，故无法比较f（0）与f（3）的大小，B不正确，D正确，当函数在x＝2处连续时，x＝2处函数的最大值，当函数在x＝2处不连续时，x＝2时，函数不能取得最大值，C错误；故选：AD．【知识点】函数单调性的性质与判断14.已知不等式e x≥x+1，对任意的x∈R恒成立．以下命题中真命题的有（）A．对∀x∈R，不等式e﹣x＞1﹣x恒成立B．对∀x∈（0，+∞），不等式ln（x+1）＜x恒成立C．对∀x∈（0，+∞），且x≠1，不等式lnx＜x﹣1恒成立D．对∀x∈（0，+∞），且x≠1，不等式恒成立【答案】ABCD【分析】A由已知不等式e x≥x+1，结合对称性可得e﹣x＞1﹣x恒成立；B把已知不等式两边取对数可得不等式ln（x+1）＜x恒成立；C直接利用导数证明不等式lnx＜x﹣1恒成立；D对x分类证明对∀x∈（0，+∞），且x≠1，不等式恒成立．【解答】解：由e x≥x+1对任意的x∈R恒成立，如图，结合对称性可知，对∀x∈R，不等式e﹣x＞1﹣x恒成立，故A正确；由e x≥x+1，且x∈（0，+∞），两边取对数，得x＞ln（x+1），即ln（x+1）＜x，故B正确；令f（x）＝lnx﹣x+1，则f′（x）＝＝，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）max＝f（1）＝0，则lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1，故C正确；当x∈（0，+∞），且x≠1时，不等式等价于，即，若x∈（0，1），则，令g（x）＝，g′（x）＝，∴g（x）在（0，1）上为增函数，则g（x）＜g（1）＝0，即；若x∈（1，+∞），则，令g（x）＝，g′（x）＝，∴g（x）在（0，1）上为增函数，则g（x）＞g（1）＝0，即．∴不等式恒成立．D正确．故选：ABCD．【知识点】函数单调性的性质与判断15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（4﹣x）＝f（x），则下列说法正确的是（）A．f（x+8）＝f（x）B．f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增C．f（2019）+f（2020）+f（2021）＝0D．f（x）＝cos（）是满足条件的一个函数【答案】ACD【分析】由已知结合函数的周期性，奇偶性分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（4﹣x）＝f（x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），f（4+x）＝f（﹣x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（x+8）＝f（x），A正确；由已知无法判断函数在区间（﹣2，2）上单调性，B错误；f（2019）+f（2020）+f（2021）＝f（3）+f（4）+f（5）＝f（1）+f（0）+f（﹣1）＝0，C正确；f（x）＝cos（）＝﹣sin为奇函数，周期T＝＝8，D正确．故选：ACD．【知识点】函数的周期性、函数奇偶性的性质与判断16.若对任意满足x+2y＝2的正实数x，y，＞2m2（m∈N*）恒成立，则正整数m的取值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】AB【分析】由题意可得2m2＜（）min，将2x+4y＝（x+2y）2代入此不等式的右边，化简整理，运用基本不等式可得最小值，解得m的范围，可得所求值．【解答】解：＞2m2（m∈N*）恒成立，即为2m2＜（）min，由x+2y＝2，x＞0，y＞0，可得＝＝＝++4≥2 +4＝16，当且仅当2x＝3y，又x+2y＝2，即x＝，y＝时，上式取得等号，则2m2＜16，解得﹣2＜m＜2，则正整数m的取值为1，2．故选：AB．【知识点】函数恒成立问题三、填空题17.已知函数f（x）＝e|x|+x2﹣e，则满足不等式f（m﹣2）≤1的m取值范围是．【答案】【分析】函数f（x）为偶函数，由导数可知函数在（0，+∞）单调递增，进而转化不等式，求解得到答案．【解答】解：由题意可知，函数f（x）为定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝e x+x2﹣e，则f′（x）＝e x+2x＞0，故函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∴不等式f（m﹣2）≤1等价为|m﹣2|≤1，解得1≤m≤3．故答案为：[1，3]．【知识点】函数单调性的性质与判断18.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是．【答案】[0，9）【分析】由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f （x），由此得出函数f（x）为奇函数，且在R上递增；对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f （x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；使不等式可以转化为一个无理不等式，解不等式即可求出满足条件的实数m的取值范围．【解答】解：由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数；∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；不等式⇔不等式f（2+1）＞f（m﹣2），∵f（x）在R单调递增，∴2+1＞m﹣2；∴m﹣2﹣3＜0；解得0≤m＜9；故答案为：[0，9）．【知识点】函数单调性的性质与判断19.已知函数f（x）＝+3，x∈[﹣6，6]，若f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m＝．【答案】8【分析】先对函数f（x）解析式化简，化简为f（x）＝g（x）+4的形式，且g（x）为奇函数，进而可以求解．【解答】解：由题意可得f（x）＝log＝log，令函数g（x）＝log+，定义域为[﹣6，6]关于原点对称，且g（﹣x）＝log+＝﹣log﹣＝﹣g（x），即函数g（x）为奇函数，其最大值和最小值的和为0，所以函数f（x）的最大值和最小值的和m+M＝4+4＝8，故答案为：8．【知识点】函数的最值及其几何意义20.用M I表示函数y＝sin x在闭区间I上的最大值，若正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则M[0，a]＝；a的取值范围为．【分析】通过数形结合，分类讨论结合正弦性质找出解题思路．【解答】解：如图是函数y＝sin x，x∈[0，3π]的图象，若0＜a＜，y＝sin x在[0，a]上单调递增，所以，M[0，a]＝sin a，此时，M[a，2a]＞sin a＝M[0，，a]这与已知M[0，a]≥2M[a，2a]，矛盾．所以，a≥，所以M[0，a]＝1，故正确答案是：1．显然2a≥时，M[a，2a]＝1，这与已知M[0，a]≥2M[a，2a]，矛盾．所以，2a＜即a＜，所以≤a＜．又已知，M[0，a]≥2M[a，2a]，即≥M[a，2a]，因为当时，π≤2a＜，M[a，2a]＝sin a或sin2a，所以，⇔⇔故正确答案为：1，[，]．【知识点】函数的最值及其几何意义21.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且，则g[f（﹣8）]＝．【答案】-1【分析】根据题意，由函数的奇偶性计算可得g（x）的解析式以及f（﹣8）的值，进而有g[f（﹣8）]＝g（﹣2），代入g（x）的解析式，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝log3（﹣x+1），又由函数为R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log3（﹣x+1），即g（x）＝﹣log3（﹣x+1），有由函数为奇函数，则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣2，g[f（﹣8）]＝g（﹣2）＝﹣log3[﹣（﹣2）+1]＝﹣1；故答案为：﹣1．【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的值22.已知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，当x∈（2，4]时，f（x）＝﹣x2+7x﹣12，则f（2021）的值是．【答案】0【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（2021）＝f（﹣3），利用解析式求出f（3）的值，又由函数为奇函数可得f（﹣3）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上且周期为4的函数，则f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣3），当x∈（2，4]时，f（x）＝﹣x2+7x﹣12，则f（3）＝﹣9+21﹣12＝0，又由f（x）为奇函数，则f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，故f（2021）＝0，故答案为：0【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的周期性、抽象函数及其应用23.已知f（x）是定义在R上的周期为4的周期函数，在区间[﹣2，2]上，f（x）＝，且f（5）＝2f（），则3a+2b+c的值为．【答案】1【分析】利用已知条件，建立关于a，b，c的方程组，解出即可得解．【解答】解：依题意，，即，∴，∴3a+2b+c＝3a+c＝1．故答案为：1．【知识点】函数的周期性24.f（x）是定义域为R的偶函数，对∀x∈R，都有f（x+4）＝f（﹣x），当0≤x≤2时，，则＝．【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，进而可得f（﹣）＝f（）＝f（），f（21）＝f（1），结合函数的解析式计算可得f（）、f（1）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的偶函数，对∀x∈R，都有f（x+4）＝f（﹣x），则有f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则有f（﹣）＝f（）＝f（4+）＝f（），f（21）＝f（1+4×5）＝f（1），又由当0≤x≤2时，，则f（）＝﹣1，f（1）＝1，则＝f（）+f（1）＝（﹣1）+1＝；故答案为：．【知识点】函数的周期性25.已知函数，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是﹣﹣．【分析】由题意可得f（x）为偶函数，求得f（x）在x≥0上连续，且为减函数，f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣2﹣x+x3＝f（x），同样x＞0，可得f（﹣x）＝f（x），且f（0）＝﹣1，则f（x）为偶函数，且f（x）在x≥0上为减函数，对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，可得f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，可得：（2m﹣1+m）（m+1）≤0，且（2m+2﹣1+m）（m+1）≤0，即为﹣1≤m≤且﹣1≤m≤﹣，即有﹣1≤m≤﹣，则m的范围是[﹣1，﹣]，故答案为：[﹣1，﹣]．【知识点】函数恒成立问题26.已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1，g（x）＝，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设φ（x）＝max{f（x）．g（x）}．若φ（x）≥在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为【分析】讨论0＜x＜3，x≥3，g（x）与y＝的关系，问题转化为f（x）≥在（0，3）恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．【解答】解：当x∈（0，3）时，g（x）＝＜；x∈[3，+∞）时，g（x）≥，所以φ（x）≥在[3，+∞）必成立，问题转化为f（x）≥在（0，3）恒成立，由ax﹣lnx﹣1≥恒成立，可得a≥+在x∈（0，3）恒成立，设h（x）＝+，x∈（0，3），可得h′（x）＝，由0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增，1＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）递减，可得x＝1处，h（x）取得极大值，且为最大值，则h（x）max＝h（1）＝，故a≥，即a的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【知识点】函数恒成立问题27.若不等式|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[﹣1，1]上恒成立，则|a|+|b|+|c|的最大值是，若|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[0，1]上恒成立，则2|a|+3|b|+4|c|的最大值是．【答案】【第1空】5【第2空】265【分析】对第一问，可令x＝0，x＝﹣1，x＝1，得到绝对值不等式，通过绝对值的性质和可加性，可得所求最大值；对第二问，可令x＝0，x＝1，x＝，x＝，通过绝对值不等式的性质和可加性，化简变形可得所求最大值．【解答】解：对第一问，不等式|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[﹣1，1]上恒成立，可得x＝0时，|c|≤1①，x＝﹣1时，|a﹣b+c|≤1，②x＝1时，|a+b+c|≤1，③①②相加可得|a﹣b+c|+|c|≤2，又|a﹣b+c|+|c|≥|a﹣b|，即为|a﹣b|≤2，①③相加可得|a+b+c|+|c|≤2，又|a+b+c|+|c|≥|a+b|，即为|a+b|≤2，则|a﹣b|+|a+b|≤4，又|a﹣b|+|a+b|≥2|a|，则|a|≤2；由|a﹣b|+|a+b|≥2|b|，则|b|≤2；可得|a|+|b|+|c|≤5，即|a|+|b|+|c|的最大值为5；对第二问，若|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[0，1]上恒成立，当x＝0时，|c|≤1，x＝1时，|a+b+c|≤1，①x＝时，|++c|≤1，②，x＝时，|++c|≤1，③由①②相加可得|a+b+c|+|++c|≤2，由|a+b+c|+|++c|≥|+|，即|3a+2b|≤8，可得﹣8≤3|a|﹣2|b|≤8，④由①③相加可得|a+b+c|+|++c|≤2，由|a+b+c|+|++c||≥|+|，即|4a+3b|≤9，可得﹣9≤4|a|﹣3|b|≤9，⑤由2|a|+3|b|＝18（3|a|﹣2|b|）﹣13（4|a|﹣3|b|），可得2|a|+3|b|≤8×18+9×13＝261，则2|a|+3|b|+4|c|的最大值为265．故答案为：5，265．【知识点】函数恒成立问题。

高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析

高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析

专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（ ）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值． 【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=． 故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩则(3)f =（ ）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算． 【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．练基础3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（ ）A ．16B ．18C ．21D ．24【答案】B 【解析】根据分段函数解析式直接求解. 【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=. 故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（ ） A ．1 B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】 根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果. 【详解】 因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ， 所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x x=的定义域是______． 【答案】[)()1,00,∞-⋃+ 【解析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3 【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果. 【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-， 若()()0g f x =，则0f x 或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=-AB .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2 【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+， 1y x x =-在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________. 【答案】1或- 【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可. 【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：2a =-， 故1a =或2-， 故答案为：1或2-. 10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围. 【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=. 所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（ ） A ．t 没有最小值 B ．t 1 C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值. 【详解】如图，作出函数()f x 的图象，练提升()()f n f m =且n m >，则1m ，且1n >，2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤222211317(32)()333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤∴当n =()min 1n m -=.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（ ）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案. 【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-. 故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）A ．865y x =+ B ．225y x x =--+ C ．y =D ．11y x=- 【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断. 【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集； 故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x +-，则f (x )满足的关系有（ ）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x - C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x ) D ．1()()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案. 【详解】因为f (x )= 2211x x+-， 所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x +-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项， 1()f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项． 故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f x g x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ． 【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确； 对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根， 因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，()()()f xy f x f y =+，则（ ）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞ 【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可； 【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误； 令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈ 【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=， 所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确； 对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点， 如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确. 故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤< 【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x =，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =， 即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+， 构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+， 由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝⎭⎝⎭，由于01a <<1a ≤<.故答案为：112a ≤< 9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析. 【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象. 【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-； 当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩. ()m x 图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-. （1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式； （3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集. 【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩. 则对应的图象如图：（2）函数()min x 的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-， 即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞.1.（山东高考真题）设f (x )={√x,0<x <12(x −1),x ≥1 ,若f (a )=f (a +1),则f (1a )=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x −1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f(a)=f(a +1)得√a =2(a +1−1),解得a =14,则f (1a )=f(4)=2(4−1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ） A ．√3 B ．√32 C ．√33 D ．0 【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合． 我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=√3，√33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或练真题者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=√32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ， 故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )={2−x ， x ≤01 ， x >0 ，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A. (−∞ ， −1]B. (0 ， +∞)C. (−1 ， 0)D. (−∞ ， 0) 【答案】D【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有{2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(−∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．【答案】162- 【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭， 结合二次函数的性质可知： 当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数(附答案解析)

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数(附答案解析)

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞5．已知3log 2a =，0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c << 6．已知12a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正确的是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．二．多选题（共3小题） 8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= ．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 ．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为 ． 14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= ．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= ． 四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．17．设函数4()221xx f x =--，0x >． （1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数． （1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+；（2）2731329log 5log 42log 5log -++． 22．计算：（100.539()()54--++ （2）22log 62222523lg lg -+--2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]【考点】函数的定义域及其求法【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：要使原函数有意义，则030x x >⎧⎨-⎩，解得03x <． ∴函数()3f x lgx x =+-的定义域为(0，3]．故选：B ．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象的变换【分析】根据题意分析可得()f x 为偶函数，通过0x =函数的值，排除函数的图象即可．【解答】解：根据题意有||2||2()2()2()x x f x x x f x --=--=-=，所以函数是偶函数，又函数||22x y x =-，当0x =时，1y =，排除C ，故选：A ．【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【考点】函数单调性的性质与判断【分析】首先求出函数()f x 的单调性，再判断0.2log 3，30.2，0.23的大小关系，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：因为函数()3f x x x =-所以30x -，可得3x ，即()f x 的定义域为(-∞，3]， 所以()3f x x x =-(-∞，3]单调递增，因为0.20331>=，3000.20.21<<=，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，所以30.20.2(log 3)(0.2)(3)f f f <<，所以c b a <<．故选：A ．【点评】本题主要考查函数单调性的性质与判断，考查函数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞ 【考点】复合函数的单调性【分析】令25t x ax =-+，12log y t =，分析内层函数与外层函数的单调性以及对数真数在所给区间恒为正数，可得出关于a 的不等式组，进而求得实数a 的取值范围．【解答】解：令25t x ax =-+，易知12log y t =在其定义域上单调递减，要使()f x 在(4,)+∞上单调递减，则25t x ax =-+在(4,)+∞单调递增，且250t x ax =-+>，即2424450a a ⎧⎪⎨⎪-+⎩， 所以8214a a ⎧⎪⎨⎪⎩，即214a 因此实数a 的取值范围是(-∞，21]4． 故选：D． 【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．5．已知3log a =0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c <<【考点】对数值大小的比较【分析】直接利用对数的运算性质化简得答案．【解答】解：33log log 0.5a =<=，0.101b e e =>=，0.50.5ln c e ==，a cb ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．6．已知12a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正确的是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的单调性得到a b >，a c >，再利用对数的运算法则，换底公式，基本不等式得到b c >，求解即可．【解答】解：1232a e =>，33log 5log 3b =<332=， 6443log 8log 81log 22c =<=+=， a b ∴>，a c >，25858583363535lg lg lg lg lg lg lg b c lg lg lg lg lg lg -⋅∴-=->-=⋅ 222222(83)2425555444353535lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg +--->=>⋅⋅⋅ 2255035lg lg lg lg -==⋅， b c ∴>，a b c ∴>>，故选：A ．【点评】本题考查了对数的运算法则，换底公式，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题．7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质【分析】由指数函数与对数函数的性质依次判断即可． 【解答】解：1()x y a=与log a y x =分别过(0,1)，(1,0)点， 又1a >， ∴1()x y a=与log a y x =分别为定义域内的减函数，增函数， 故选：D ．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的性质应用，属于基础题．二．多选题（共3小题）8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+【考点】函数的值域；函数奇偶性的性质与判断【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3()f x x =是奇函数，且值域为R ，符合题意；对于B ，1()f x x x =+，当0x >时，1()2f x x x=+，当0x <时，()2f x -，即()f x 的值域为(-∞，2][2-，)+∞，不符合题意；对于C ，1()f x x x=-，是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，当0x +→时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，其值域为R ，符合题意；对于D ，()22x x f x -=+，是奇函数，且()2f x （当且仅当0x =时取“= “)，其值域不为R ，不符合题意；故选：AC ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及值域的计算，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =【考点】函数的值域【分析】利用函数的性质求出值域即可判断．【解答】解：对于:1A x R -∈，120x y -∴=>，故A 正确，对于:0B x ≠，20x ∴>，210y x ∴=>，故B 正确， 对于:10C x +>，(1)(y ln x ∴=+∈-∞，)+∞，故C 错误，对于:D x R ∈，||[0y x ∴=∈，)+∞，故D 错误．故选：AB ．【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．【解答】解：()f x x =为奇函数，且在(,)-∞+∞上是单调递增，故A 符合题意；()||f x x x =满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且在[0，)+∞递增，在(-∞，0]也递增，则()f x 在(,)-∞+∞上是单调递增，故B 符合题意；()22x x f x -=-的定义域为R ，满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且2x y =和2x y -=-在R 上递增，则()f x 在R 上递增，故C 符合题意；2()f x x =为偶函数，故D 不符题意．故选：ABC ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= 5 ．【考点】函数的值【分析】令213x -=得2x =，再代入即可．【解答】解：令213x -=得，2x =或2x =-（舍去），故f （3）2(21)f =-22235=-+=，故答案为：5．【点评】本题考查了复合函数函数值的求法，属于基础题．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 (1,2)-- ．【考点】对数函数的图象与性质【分析】令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，即可求解．【解答】解：令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，故函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点(1,2)--．故答案为：(1,2)--．【点评】本题主要考查对数函数的性质，考查定点问题，属于基础题．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为 2 ． 【考点】对数的运算性质【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．【解答】解：212x =，2log 12x ∴=，222112log 423x y log log ∴+=+==， 故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的单调性与特殊点【分析】求出(2,4)P ，由幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，求出a ，得到()f x 的解析式，再计算3log f （3）即可．【解答】解：函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则(2,4)P ，∴幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，24a ∴=，解得2a =，2()f x x ∴=，3log f ∴（3）3log 92==．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= 12- ． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式，求出(2)f -的值即可．【解答】解：设幂函数的解析式为()f x x α=， 则1()44α=，解得：1α=-， 故1()f x x =，故1(2)2f -=-， 故答案为：12-． 【点评】本题考查了求幂函数的定义，考查函数求值问题，是基础题．四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）根据奇函数的性质进行转化求解即可．（2）将不等式进行转化，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【解答】解：（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+． (0)0f ∴=，当0x >，则0x -<，则2()2()f x x x f x -=--=-，即2()2(0)f x x x x =+<，综上2()2(0)f x x x x =+．（2）由(2)(2)23f m f m m +--．得(2)2(2)2(2)2f m m f m m f m m +--+-=-+-． 设()()g x f x x =+，则不等式等价为(2)(2)g m g m -，作出函数()f x 的图象如图：则()f x 在R 上是增函数，则()()g x f x x =+也是增函数， 则由(2)(2)g m g m -，得22m m -，得23m， 即实数m 的取值范围是(-∞，2]3．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．17．设函数4()221xx f x =--，0x >． （1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．【考点】函数的值域【分析】（1）由已知41()2212121x x x x f x =-=-+--，，利用基本不等式可求函数()f x 的值域；（2）由对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，可得函数函数()f x 在[1，2]上的值域包含于函数()g x 在[1，2]上的值域，由此可求正实数a 的取值范围．【解答】解：（1）24(2)111()2221212121x x x x x x f x -+=-=-=-+---，0x >，210x ->， 则11()212(21)22121x x x x f x =-+-⋅=--，，当且仅当1x =时取“=”， 所以()[2f x ∈，)+∞，即函数()f x 的值域为[2，)+∞；（2）设21x t =-，[1x ∈，2]，[1t ∴∈，3]， 函数1y t t=+在[1，3]上单调递增， 则函数()f x 在[1，2]上单调递增，()[2f x ∴∈，10]3， 设[1x ∈，2]时，函数()g x 的值域为A ，由题意知[2，10]3A ⊆， 又因为函数()g x 图象的对称轴为02a x =>， 当12a ，即02a <时，函数()g x 在[1，2]上递增，则(1)210(2)3g g ⎧⎪⎨⎪⎩，解得506a <， 当122a <<时，即24a <<时，函数()g x 在[1，2]上的最大值为g （1），g （2）中的较大者，而g （1）20a =-<且g （2）521a =-<，不合题意，当22a >，即4>时，函数()g x 在[1，2]上递减，则10(1)3(2)2g g ⎧⎪⎨⎪⎩，满足条件的a 不存在． 综上，5(0,]6a ∈． 【点评】本题考查了求函数的值域及分类讨论思想，采用了换元法求值域，换元后对参数t 的范围要进行确认，这是易错点，属于中档题．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质与图象【分析】（1）利用零点的定义，结合二次方程根的个数问题，求解即可；（2）将问题转化为210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，分0m =和0m ≠两种情况，结合二次函数的图象与性质，列式求解即可；（3）将问题转化为4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）因为函数21y mx mx =--有两个零点，所以方程210mx mx --=有两个不同的实数根，则2040m m m ≠⎧⎨=+>⎩，解得4m <-或0m >， 故实数m 的取值范围为(-∞，4)(0-⋃，)+∞；（2）命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，则命题：x R ∀∈，0y <，是真命题，则210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，当0m =时，不等式为10-<恒成立，符合题意；当0m ≠时，则2040m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<． 综上所述，实数m 的取值范围为(4-，0]；（3）因为对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立， 即240x mx ++对于[1x ∈，3]恒成立，即4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立， 则4[()]max m x x-+， 因为4424x x x x+⋅=， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号， 所以4[()]4max x x -+=-， 则4m -，所以实数m 的取值范围为[4-，)+∞．【点评】本题考查了函数零点的理解与应用，函数与方程的应用，函数与不等式的综合应用，命题真假的应用以及不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）依题意，得2020x x +>⎧⎨->⎩，解之可得函数()f x 的定义域； （2）()f x 为奇函数；利用奇函数的定义证明即可；（3）1(1)13aa f log log a -<⇔<，通过对a 的范围的分类讨论，可求得答案． 【解答】解：（1）()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠，∴202202x x x x +>>-⎧⎧⇒⎨⎨-><⎩⎩， ∴函数()f x 的定义域为(2,2)-；（2）()f x 为奇函数． 证明：22()()022a a x x f x f x log log x x-+-+=+=+-， ()()f x f x ∴-=-，(2,2)x ∈-，()f x ∴为奇函数；（3）(1)1f -<，∴1(1)3a a f log log a -=<， ①01a <<，()f x 单调递减，∴103a <<； ②1a >，()f x 单调递增，∴13a >，1a ∴>； 综上：103a <<或1a >，即(0a ∈，1)(13⋃，)+∞． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查分析推理能力与运算求解能力，属于中档题．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数． （1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】（1）由奇函数在R 上有定义，可得(0)0f =，求得a 的值，再由指数函数的单调性可得()f x 的单调性；（2）由奇函数()f x 的单调性可将不等式的两边的“f ”去掉，结合二次不等式恒成立，运用判别式法，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）函数1()21x f x a =-+为奇函数，定义域为R ， 可得(0)0f =，即102a -=，解得12a =， 则1112()12212xx xf x -=-=++，满足()()0f x f x -+=， 所以12a =成立； 由2x y =在R 上递增，可得112xy =+在R 上递减， 所以()f x 在R 上为递减函数；（2）x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，即为2(1)()()f x f kx f kx +<-=-，因为()f x 在R 上为递减函数，所以21x kx +>-，即210x kx ++>恒成立，则△0<，即240k -<，解得22k -<<，则k 的取值范围是(2,2)-．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+； （2）2731329log 5log 42log 5log -++． 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．（2）利用对数的运算性质求解．【解答】解：（1）原式1113662332043132⨯⨯⨯=⋅-++⨯ 23220.49198917255=-++⨯=-++=． （2）原式333log 527log 9log 527211=+++-=++=．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．22．计算：（100.539()()54--++（2）22log 62222523lg lg -+-- 【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质【分析】利用有理指数幂及对数的运算性质依次化简即可．【解答】解：（100.539()()54--++221133e e =-+++；（2）22log 62222523lg lg -+--421100632lg =--⨯ 211=-=．【点评】本题考查了有理指数幂及对数的运算，属于基础题．。

2023年新高考数学创新题型微专题04 三角函数(新定义)(解析版)

2023年新高考数学创新题型微专题04 三角函数(新定义)(解析版)

专题04 三角函数（新定义）一、单选题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为2π3，则角θ的正弦值为（ ） A．2B ．12C ．12−D． 【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角θ的弧度数，继而求得答案. 【详解】设角θ所在的扇形的半径为r ，则2212π23r r θ=， 所以4π3θ=，所以4ππsin sin sin 33θ==−=， 故选：D ．2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=.已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x +≥对任意的实数,2x x k k Z ππ∈⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭均成立，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得22222sin csc tan 15sin cos xx x xm m x +=+≥，即422sin 15sin cos xx xm ≥−. 因为()2x k k Z ππ≠+∈，所以2cos (0,1]x ∈，则422sin 15sin cos x x x −()222222(1-cos )1=151cos =17+16cos cos cos x x x x x −−−⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21716cos 9x x≤−=，当且仅当21cos 4x =时等号成立,故9m ≥， 故选：D.3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若2(sin cos )2sin cos αααα−=，则角α可取的值用密位制表示错误．．的是（ ） A ．12-50 B ．2-50 C ．13-50 D ．32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出α，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断； 【详解】解：因为2(sin cos )2sin cos αααα−=， 即22sin 2sin cos cos 2sin cos αααααα−+=， 即4sin cos 1αα=，所以1sin 22α=，所以22,6k k Z παπ=+∈，或522,6k k Z παπ=+∈， 解得,12k k Z παπ=+∈或5,12k k Z παπ=+∈ 对于A ：密位制1250−对应的角为125052600012ππ⨯=，符合题意； 对于B ：密位制250−对应的角为2502600012ππ⨯=，符合题意； 对于C ：密位制1350−对应的角为135092600020ππ⨯=，不符合题意； 对于D ：密位制3250−对应的角为3250132600012ππ⨯=，符合题意； 故选：C4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算sin x ，cos x ，πx ，ln x 些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如357sin 3!5!7!x x x x x =−+−+，246cos 12!4!6!x x x x =−+−+，其中!12n n =⨯⨯⨯，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sin x 和cos x 的值也就越精确.运用上述思想，可得到3sin 12π⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的近似值为（ ）A ．0.50B ．0.52C ．0.54D ．0.56【答案】C【分析】将3sin 12π⎛⎫−+ ⎪⎝⎭化为cos1，根据新定义，取1x =代入公式246cos 12!4!6!x x x x =−+−+⋅⋅⋅中，直接计算取近似值即可．【详解】由题意可得，3sin 1cos12π⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，故246111111cos1112!4!6!224720=−+−+=−+−+10.50.0410.0010.54=−+−+⋯≈，故选：C ．5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的16000称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数()2cos f x x =−，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为（ ） A ．15—00 B ．35—00 C ．40—00 D ．45—00【答案】C【分析】利用导数研究()f x 在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定()f x 取到最大时x 用密位制.【详解】由题设，()2sin f x x '=，在4[,)23x ππ∈时()0f x '>，在43(,]32x ππ∈时()0f x '<，所以()f x 在4[,)23x ππ∈上递增，在43(,]32x ππ∈上递减，即max 4()()3f x f π=，故()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为40—00. 故选：C6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P与原点O 之间距离为r ，比值rx 叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值x y 叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=−；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=−；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．【详解】解：当甲：5sec 4β=−错误时，乙：5csc 3β=正确，此时53r y =，r ＝5k ，y ＝3k ，则|x |＝4k ，（k ＞0）， 4tan 3y x β∴==或4tan 3β=−，∴丙：3tan 4β=−不正确，丁：4cot 3β=不正确，故错误的同学不是甲；甲：5sec 4β=−，从而r ＝5k ，x ＝﹣4k ，|y |＝3k ，（k ＞0），此时，乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=−；丁：4cot 3β=必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y ＝3k ＞0，x ＝﹣4k ＜0，34tan ,cot 43ββ∴=−=−，故丙正确，丁错误， 综上错误的同学是丁． 故选：D ．7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设,a b R ∈，定义运算,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最小值为（ ）A ．1−B ．C ．12−D ．0【答案】B【分析】由定义先得出sin sin cos ()cos cos sin x x xf x x x x ≥⎧=⎨>⎩，然后分sin cos x x ≥，cos sin x x >两种情况分别求出()f x 的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得sin sin cos ()sin cos cos cos sin x x xf x x x x x x ≥⎧=⊗=⎨>⎩当sin cos x x ≥时，即sin cos 04x x x π⎛⎫−=−≥ ⎪⎝⎭则22,4k x k k Z ππππ≤−≤+∈，即522,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈此时当52,4x k k Z ππ=+∈时，sin x 有最小值为当cos sin x x >时，即sin cos 04x x x π⎛⎫−=−< ⎪⎝⎭则222,4k x k k Z πππππ+<−<+∈，即5922,44k x k k Z ππππ+<<+∈此时，cos x >所以()f x 的最小值为故选：B8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割()secant 及余割()cos ecant 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔⋅威发首先引入的．定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x ⋅+≥对任意的实数π,2k x x k ⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D【分析】由参变量分离法可得出2211716cos cos m x x ⎛⎫≥−+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得m 的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得22222sin csc tan 15sin cos m x m x x x x ⋅+=+≥，可得422sin 15sin cos x m x x≥−， 因为()Z 2x k k ππ≠+∈，则(]2cos 0,1x ∈，因为()()2242222221cos sin 115sin 151cos 1716cos cos cos cos x x x x x xxx −⎛⎫−=−−=−+ ⎪⎝⎭179≤−=， 当且仅当21cos 4x =时，等号成立，故9m ≥. 故选：D.9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合{}12,,,k a a a ⋯和常数m ，把()()()222122sin sin sin k a m a m a m kσ−+−++−=定义为集合{}12,,,k a a a ⋯相对于m 的“正弦方差"，则集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”为（ ）A ．32B C ．12D ．与m 有关的值【答案】C【分析】先确定集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”为2222sin sin sin 6263m m m πππσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−+−++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()1cos 21cos 21cos 21333222m m m πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−− ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()13cos 2cos 2cos 2633m m m πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−++−+−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦把()()1cos 2cos 2232m m m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()()cos 2cos 2m m π−=−， ()()1cos 2cos 2232m m m π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，代入上式整理得，212σ=.故选：C.10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形． （3）有一个内角为36o 的等腰三角形为黄金三角形， 由上述信息可求得126sin =（ ） AB12CD【答案】D【分析】如图作三角形，先求出5cos364=126sin 的值. 【详解】如图，等腰三角形ABC ，36ABC ∠=,,AB BC a AC b ===，取AC 中点,D 连接BD .b a =， 由题意可得1511512sin 22224bABC b a a ∠−−====，所以22cos 12sin 12ABC ABC ∠∠=−=−= 所以5cos364=所以5126364sin cos ︒==. 故选：D. 11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算a bad bc c d=−，如果()()105,(0,0)2sin 2f x x πωϕωϕ=><<+的图像的一条对称轴为,4x πϕ=满足等式2cos 3tan ϕϕ=，则ω取最小值时，函数()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．3π2D ．2π【答案】C【分析】根据2cos 3tan ϕϕ=，利用切化弦和同角三角函数关系转化成sin ϕ的二次方程，可求出ϕ的值，结合对称轴可求出ω，最后利用周期公式进行求解即可． 【详解】105()10sin()102sin()f x x x ωϕωϕ==+−+，因为2cos 3tan ϕϕ=，所以sin 2cos 3cos ϕϕϕ=，即22cos 3sin ϕϕ=，22(1sin )3sin ϕϕ−=， 所以(sin 2)(2sin 1)0ϕϕ+−=，解得1sin 2ϕ=或2−（舍去）， 而02πϕ<<，所以6πϕ=，即()10sin()106f x x πω=+−，而()y f x =的图象的一条对称轴为4x π=，所以10sin 1046ππω⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭，即462k πππωπ⨯+=+，Z k ∈，解得443k ω=+，Z k ∈，所以正数ω取最小值为43，此时函数()f x 的最小正周期为23423ππ=．故选：C ．12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅，定义：()()()22210200cos cos cos n x x x x x x n−+−+⋅⋅⋅+−Ω=为集合{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅相对于0x 的“余弦方差”，则集合32,,,105105ππππ⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”为（ ） A ．14B ．12CD【答案】B【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得Ω的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即可求解.【详解】由题意可知，集合32,,,105105ππππ⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”代入公式可得2222000032cos cos cos cos 1051054x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−+−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ω=0000321cos 21cos 21cos 21cos 210510522224x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−−+−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++=0000321cos 21cos 21cos 21cos 21051058x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=00002344cos 2cos 2cos 2cos 255558x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=因为0000423cos 2cos 20,cos 2cos 205555x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=++−= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以原式4182Ω==， 故选：B.【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩…，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是 A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T πω=求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π， 所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1T ππωπ===， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，由正弦函数和正切函数图象可知A 正确. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12−，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤− ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．5,66ππ⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．5,66ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由下确界定义，()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的最小值是12−，由余弦函数性质可得．【详解】由题意()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的最小值是12−，又21()3cos()13cos163332f ππππ−=−−+=+=−， 由13cos(2)132x π−+≥−，得1cos(2)32x π−≥−，22222333k x k πππππ−≤−≤+，,62k x k k Z ππππ−≤≤+∈，0k =时，62x ππ−≤≤，所以62m ππ−<≤．故选：A ．【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ，都有()()()1212n n f x f x f x x x x f nn ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若sin y x =在区间()0,π上是凸函数，那么在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是（ ）A ．32B ．3CD 【答案】D【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为π，即可求出最大值． 【详解】因为sin y x =在区间[0，]π上是“凸函数”，所以sin sin sin sin sin 333A B C A B C π++++=…得sin sin sin A B C ++…即：sin sin sin A B C ++的最大值是2故选：D.【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．二、多选题16．（2022·全国·高一专题练习）定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ−+−++−=为集合{}12,,,n A θθθ=相对常数0θ的“余弦方差”.若0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则集合,03A π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对θ的“余弦方差”的取值可能为（ ） A ．38B ．12C ．34D ．45【答案】ABC【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据0θ的取值范围，求出026θπ+的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：依题意()2200cos cos 0πθθμ⎛⎫−+− ⎪ 22000cos cos sin cos 332sin ππθθθ=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭220001cos cos 22θθθ⎛⎫+ ⎝⎪⎭=2220000013cos sin sin cos 4242θθθθθ++=200013cos sin 2242θθθ+= 001cos 221442θθ+=00111cos 224222θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+⎪ 011sin 2462πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+， 因为00,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以02,7666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以01s 22n 1i 6,πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎣−⎝⎭⎦，所以33,84μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故选：ABC17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用{}min ,a b 表示a ，b 中的较小值，{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值；关于函数：(){}min sin ,sin f x x x x x =；(){}max sin ,sin g x x x x x =，有如下四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．()f x 与()g x 的最小正周期均为π B ．()f x 与()g x 的图象均关于直线32x π=对称 C ．()f x 的最大值是()g x 的最小值 D ．()f x 与()g x 的图象关于原点中心对称 【答案】BD【分析】先求出()f x ，()g x ，结合函数()f x 与()g x 的图象即可求解【详解】设()sin 2sin(),()sin 2sin(),33h x x x x t x x x x ππ==+==−则{}32sin(),22,322()min (),()2sin(),22,322x k x k f x h x t x x k x k ππππππππππ⎧++≤≤+⎪⎪==⎨⎪−−+<<+⎪⎩，{}32sin(),22,322()max (),()2sin(),22,322x k x k g x h x t x x k x k ππππππππππ⎧−+≤≤+⎪⎪==⎨⎪+−+<<+⎪⎩函数()f x 与()g x 的大致图象如下所示：对A ，由图知，()f x 与()g x 的最小正周期均为2π；故A 错误； 对B ，由图知，32x π=为函数()f x 与()g x 的对称轴，故B 正确. 对C ，12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图知∶函数()f x 的值域为[]2,1−，函数()g x 的值域为[]1,2−，故C 错误；对D ，由图知，()f x 与()g x 的图象关于原点中心对称，故D 正确； 故选：BD.18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角θ和ϕ都是任意角，若满足2,2k k Z πθϕπ+=+∈，则称θ与ϕ“广义互余”.若()1sin 4πα+=−，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有（ ）A ．sin β=B ．()1cos 4πβ+=C ．tan β=D ．tan β=【答案】AC【分析】由题可得1sin 4α=，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可. 【详解】若α与β广义互余，则2()2k k Z παβπ+=+∈，即2()2k k Z πβπα=+−∈．又由()1sin 4πα+=−，可得1sin 4α=．对于A ，若α与β广义互余，则sin sin(2)cos 24k πβπαα=+−===±，由sin β=可得α与β可能广义互余，故A 正确；对于B ，若α与β广义互余，则1cos cos(2)sin 24k πβπαα=+−==，由()1cos 4πβ+=可得 1cos 4β=−，故B 错误；对于C ，综上可得sin β=1cos 4β=，所以sin tan cos βββ==C 正确，D 错误． 故选：AC ．19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ−为角θ的正矢，记作sin ver θ，定义1sin θ−为角θ的余矢，记作sin cover θ，则下列命题正确的是（ ） A ．161sin32ver π= B ．sin sin 2ver cover πθθ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C ．若sin 12sin 1cover x ver x −=−，则()21sin sin 5cover x ver x −=D ．函数()sin 2020sin 202036f x ver x cover x ππ⎛⎫⎛⎫=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为2【答案】BC【分析】利用诱导公式化简可得A 错误，B 正确；化简已知等式得到tan x ，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出tan x 求得结果，知C 正确；利用诱导公式化简整理得到()22sin 20206f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，由此可知最大值为4，知D 错误.【详解】对于A ，16163sin 1cos 1cos 51cos 33332ver πππππ⎛⎫=−=−+=+= ⎪⎝⎭，A 错误； 对于B ，sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫−=−−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；对于C ，sin 11sin 1tan 2sin 11cos 1cover x x x ver x x −−−===−−−， ()()22222sin cos sin sin 1sin 1cos 12sin cos 1sin cos x xcover x ver x x x x x x x∴−=−−+=−=−+22tan 411tan 15x x =−=−+15=，C 正确； 对于D ，()1cos 20201sin 202036f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=−−+−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 2020266x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−++−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22sin 20206x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，∴当sin 202016x π⎛⎫+=− ⎪⎝⎭时，()max 224f x =+=，D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:•定义1cos θ−为角θ的正矢，记作sin ver θ，•定义1sin θ−为角θ的余矢，记作sin cover θ，则下列命题中正确的是（ ） A ．函数sin y ver x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．函数sin sin ver xy cover x=的最小正周期为πC ．sin(sin 2ver )cover πθθ−=D ．sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+=⋅+⋅ 【答案】AC【分析】由余弦函数的单调性可判断A 选项；验证得()()y x y x π≠+，可判断B 选项；由定义的诱导公式可判断C 选项；取4παβ==，代入验证可判断D 选项.【详解】因为sin 1cos y ver x x ==−，而cos y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以函数sin 1cos y ver x x ==−在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故A 正确； 函数versin 1cos 1cos ();()coversin 1sin 1sin π−+==+=−+x x xy x y x x x x，所以()()y x y x π≠+，所以B 错误；sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫−=−−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；取4παβ==，sin(1cos12ver )παβ+=−=，sin sin sin sin ver cover cover ver αβαβ⋅+⋅1cos 1sin 1sin 1cos 34444+ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⋅−−⋅−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+≠⋅+⋅， 故D 错误, 故选：AC.【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题.三、填空题21．（2023·高一课时练习）我们规定把2221cos ()cos cos ()3y B A B B A ⎡⎤=+++−⎣⎦叫做B 对A 的余弦方差，那么对任意实数B ，B 对π3的余弦方差是______．【答案】12##0.5【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案. 【详解】依题意，B 对π3的余弦方差是：2221ππcos ()cos cos ()333y B B B ⎡⎤=+++−⎢⎥⎣⎦2π2π1cos(2)1cos(2)11cos 2333222B B B ⎡⎤+++−⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12π2π3cos(2)cos 2cos(2)633B B B ⎡⎤=++++−⎢⎥⎣⎦12π2π2π2π3cos 2cos sin 2sin cos 2cos 2cos sin 2sin 63333B B B B B ⎛⎫=+−+++ ⎪⎝⎭ 11113cos 2cos 2cos 26222B B B ⎛⎫=−+−= ⎪⎝⎭. 故答案为：1222．（2022·全国·高一专题练习）已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，若存在实数,m n ，使得()()()h x mf x ng x =+，则称()h x 是()f x ，()g x 在R 上生成的函数.若()()22cossin ,sin 22=−=x xf xg x x ，以下四个函数中：①π6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭；②ππcos 2424x x y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③2π2cos 124xy ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭； ④22sin 2=y x .所有是()(),f x g x 在R 上生成的函数的序号为________. 【答案】①②③.【详解】()()22cossin cos ,sin 22x xf x xg x x =−==.①：πππcos sin sin )666y x x x x x ⎛⎫=−=+= ⎪⎝⎭，因此有m n ==()(),f x g x 在R 上生成的函数；②：πππcos )24242x x y x x ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此有0m n ==，本函数是()(),f x g x 在R 上生成的函数； ③：2ππ2cos 1cos()sin 242xy x x ⎛⎫=−−=−= ⎪⎝⎭，因此有0,1m n ==，本函数是()(),f x g x 在R 上生成的函数； ④：2222sin 28sin cos y x x x ==，显然不存在实数,m n ，使得228sin cos cos sin x x m x n x =+成立，因此本函数不是()(),f x g x 在R 上生成的函数， 故答案为：①②③23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如a bc d 的式子叫做行列式，其运算法则为a b ad bc c d=−，则行列式sin15cos15︒︒的值是___________. 【答案】12−【分析】根据新定义计算即可．【详解】由题意sin151sin 45sin15cos 45cos15cos 602cos15︒=︒︒=︒︒−︒︒=−︒=−︒． 故答案为12−．24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①()1sin cos f x x x =+；②()2f x x =()3sin f x x =；④())4sin cos f x x x =+．其中“同形”函数有__________．（选填序号）【答案】①②【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.【详解】由题意，()1sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，())4sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②， 所以“同形”函数有①②. 故答案为：①②.25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数.在[],x ππ∈−上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①sin y x =；②e 1x y =−；③ln y x =；④2y x = 【答案】①②③【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断．【详解】当[],x ππ∈−时，函数sin y x =，e 1x y =−的图象只经过一个格点()0,0，符合题意； 函数ln y x =的图象只经过一个格点()1,0，符合题意；函数2y x =的图象经过七个格点，()()()()()()()3,9,2,4,1,1,0,0,1,1,2,4,3,9−−−，不符合题意．故答案为：①②③．26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系xoy 中，已知任意角θ以坐标原点o 为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点00(,)p x y ，且(0)op r r =>，定义：00y x sos rθ+=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y sosx =”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为⎡⎣； ②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线34x π=对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为2π；⑤该函数的递增区间为32,244k k k z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦.其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号） 【答案】①④⑤.【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数)4y sosx x π==+，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．详解：①中，由三角函数的定义可知00cos ,sin x r x y r x ==，所以00sin cos )[4y x y sosx x x x r π+===+=+∈，所以是正确的；②中，)4y sosx x π==+，所以()0)104f π=+=≠，所以函数关于原点对称是错误的；③中，当34x π=时，33()sin()0444f ππππ+==≠34x π=对称是错误的；④中，)4y sosx x π==+，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以是正确的；⑤中，因为)4y sosx x π==+，令22242k x k πππππ−≤+≤+，得322,44k x k k Z ππππ−≤≤+∈，即函数的单调递增区间为3[2,2],44k k k Z ππππ−+∈，所以是正确的，综上所述，正确命题的序号为①④⑤．点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数y sosx =的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________【答案】54【详解】试题分析：：∵，∴0≤sinx≤1∴()22255cos sin sin sin 1sin 144y x x x x x =+=−++=−−+≤ 由题意可得，()22215cos sin ,sin cos cos 224f x x x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+−=−=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数的最大值54考点：三角函数的最值四、解答题28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，则曼哈顿距离为：()1212,d A B x x y y =−+−，余弦相似度为：()cos ,A B =()1cos ,A B −(1)若()1,2A −，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(),d A B 和余弦距离；(2)已知()sin ,cos M αα，()sin ,cos N ββ，()sin ,cos Q ββ−，若()1cos ,5M N =，()2cos ,5M Q =，求tan tan αβ的值【答案】(1)145，15−(2)3−【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到1sin sin cos cos 5αβαβ+=，2sin sin cos cos 5αβαβ−=，计算得到答案.【详解】（1）()3414,12555d A B =−−+−=，()34cos ,55A B ==，故余弦距离等于()1cos ,15A B −=−； （2）()cos ,M N =1sin sin cos cos 5αβαβ=+=；()cos ,M Q =2sin sin cos cos 5αβαβ=−=故3sin sin 10αβ=，1cos cos 10αβ=−，则sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==−. 29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对()sad ．如图，在ABC 中，AB AC =．顶角A 的正对记作sad A ，这时sad BCA AB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)sad60的值为（ ）A ．12 B ．1 C D ．2 (2)对于0180A <∠<，A ∠的正对值sad A 的取值范围是______． (3)已知3sin 5α=，其中α为锐角，试求sad α的值． 【答案】(1)B(2)()0,2(3)sad α=【分析】（1）在等腰ABC 中，取60A ∠=，AB AC =，利用正对的定义可得出sad60sad A =的值； （2）在等腰ABC 中，AB AC =，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，推导出sad 2sin 2AA =，结合正弦函数的基本性质可求得sad A 的取值范围；（3）利用同角三角函数的基本关系求出cos α，利用二倍角公式可求得sin 2α，由此可得出sad 2sin2αα=的值.【详解】（1）解：在等腰ABC 中，60A ∠=，AB AC =，则ABC 为等边三角形， 所以，sad60sad 1BCA AB===， 故选：B.（2）解：在等腰ABC 中，AB AC =，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，则2sad 2cos 2cos 902sin 22BC BD A A A B AB AB ⎛⎫====−= ⎪⎝⎭， 因为0180A <∠<，则0902A <<，故()sad 2sin 0,22AA =∈. 故答案为：()0,2.（3）解：π02α<<，则π024α<<，所以，24cos 12sin 52αα===−，所以，sin2α=sad 2sin 2αα==. 30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数()()sin cos ,f x a x b x a b =+∈R ，平面内一点坐标(),M a b ，我们称M 为函数()f x 的“相伴特征点”，()f x 为(),M a b 的“相伴函数”．（1）已知()1sin sin cos 2222x x x f x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，求函数()f x 的“相伴特征点”；（2）记122M ⎛' ⎝⎭的“相伴函数”为()g x ，将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()h x ，作出()h x 在529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象．【答案】（1）11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）作图见解析.【分析】（1）利用二倍角的降幂公式化简得出()11sin cos 22f x x x =−，由此可得出函数()y f x =的“相伴特征点”的坐标；（2）由题中定义可得出()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数图象变换得出()52sin 312h x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，然后通过列表、描点、连线，可得出函数)y h x =在区间529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象. 【详解】（1）()211cos sin 111sinsin cos sin cos 222222222x x x x x f x x x −=+−=+−=−Q ， 故函数()y f x =的“相伴特征点”为11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）由题意可得()1sin sin 23g x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 将函数()y g x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），可得到函数2sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得的图象上所有点向右平移4π个单位长度，可得到函数()52sin 32sin 34312h x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，当529,3636x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，503212x ππ≤−≤，列表如下：故函数()y h x =在529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示.【点睛】本题考查三角函数的新定义、利用三角函数图象变换求解析式，同时也考查了五点作图法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 五、双空题31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间I ，I M 表示函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间I 上的最大值，则0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=______，若[0,][,2]2t t t M M =，则t 的值为______．【答案】 1；23π或π 【分析】由题可得2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1；对t 分类讨论，利用正弦函数的性质得出符合条件的t 即可.【详解】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当62x ππ+=时，max 1y =，∴0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1；当62t ππ+<，即3t π<时，[0,]sin 6t M t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[,2][0,]sin 6t t t M t M π⎛⎫+= ⎪>⎝⎭， 这与[0,][,2]2t t t M M =矛盾， 当62t ππ+≥且5262t ππ+<，即736t ππ≤<时，[0,]1t M =，[,2]sin 6t t M t π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或[,2]sin 26t t M t π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由[0,][,2]2t t t M M =可得，1sin 62t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1sin 262t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以23t π=或t π=， 当5262t ππ+≥，即76t π≥时，[0,]1t M =，[,2]1t t M =，这与[0,][,2]2t t t M M =矛盾； 综上所述，t 的值为23π或π. 故答案为：1；23π或π.32．（2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()()f x T Tf x +=成立．（1）给出下列两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．（2）若函数()sin f x kx M =∈，则实数k 的取值集合为__________． 【答案】 2()f x {|,}k k m m Z π=∈ 【分析】（1）根据集合M 的性质判断．（2）根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±，【详解】（1）若1()f x M ∈，则存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，则x T Tx +=，(1)0T x T −+=对x R ∈恒成立，这是不可能的，1()f x M ∉；若2()f x M ∈，则存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，则22a Ta =，对x R ∈恒成立，1T =，2()f x M ∈； （2）函数()sin f x kx M =∈，则存在非零点常数T ，使得()()f x T T f x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x R ∈知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈−，sin ()[1,1]k x T +∈−，因此要使sin ()sin k x T T kx+=成立，只有1T =±，若1T =，则sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，若1T =−，则sin()sin kx k kx −=−，即sin()sin kx k kx π−+=，2k m ππ−+=，(21),k m m Z π=−−∈， 综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈． 故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问题转化，转化为熟悉的问题进行解决．。

高考数学试题函数及答案

高考数学试题函数及答案

高考数学试题函数及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. 1B. -1C. 3D. -3答案：B2. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x)的表达式。

A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A3. 若h(x) = √(x+2)，则h(x)的定义域为：A. (-∞, +∞)B. (-2, +∞)C. [0, +∞)D. (-∞, 0]答案：B4. 函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)的图像开口向上，且经过点(1, 0)，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 0答案：A5. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(x)的最小值。

A. 0B. -2C. 2D. -4答案：C6. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-√2, √2]B. [-1, 1]C. [0, 2]D. [1, √2]答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，求f(1) + f(-1)的值。

答案：82. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的对称轴方程为：答案：x = 23. 函数f(x) = ln(x)的定义域为：答案：(0, +∞)4. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f'(1)的值。

答案：0三、解答题（每题20分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的单调区间，并说明理由。

答案：函数f(x)在(-∞, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增。

理由是f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0，解得x = 2，当x < 2时，f'(x) < 0，函数单调递减；当x > 2时，f'(x) > 0，函数单调递增。

2023届高考数学专项(函数多选题)好题练习(附答案)

2023届高考数学专项(函数多选题)好题练习(附答案)

2023届高考数学专项（函数多选题）好题练习1.（2019∙枣庄市第三中学高三月考）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -。

例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈。

则下列命题中正确的是：（ ） A ．设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =” B ．函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值C ．若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉D ．若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈ 2.（2019∙山东高三期中）已知函数()222,0,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩,若1234x x x x <<<,且()()()()1234f x f x f x f x ===,则下列结论正确的是（ ）A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．12340 1x x x x <<3.（2020∙山东高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增4.（2019∙山东菏泽一中高三月考）设函数()f x 的定义域为D ，x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称()f x 为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）A ．2y x =B ．11y x =- C ．()ln 23y x =+D ．23y x =+5.（2020∙山东高三期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（ ） A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<6.（2019∙夏津第一中学高三月考）定义新运算⊕，当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，则函数()()()12f x x x x =⊕-⊕，[]2,2x ∈-的值可以等于（ ）． A ．6-B ．1C ．6D ．4-7.（2019∙荆门市龙泉中学高三月考（理））已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+.下列命题为真命题的是（ ）A ．函数()f x 是周期函数B ．函数()f x 既有最大值又有最小值C ．函数()f x 的定义域是R ，且其图象有对称轴D ．对于任意(1,0)x ∈-，()f x 单调递减 8.（2019∙山东高三月考）对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时，()f x 的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.下列函数为2倍值函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．32()22f x x x x =++C ．()ln f x x x =+D ．()xx f x e =9.（2019∙山东高三期中）已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x =+-且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．3e10.（2019∙山东高三期中）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数中，具有性质P 的函数为（ ）①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()21f x x =-；③()3f x x x =+；④()2x f x =．A ．①B ．②C ．③D ．④答案解析1.（2019∙枣庄市第三中学高三月考）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -。

2024年新高考版数学专题1_3.4 函数的图象(分层集训)

2024年新高考版数学专题1_3.4 函数的图象(分层集训)

x2
2x,
x
0,
若存在互不
|1 ln x |, x 0.
相等的实数a,b,c,d使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m,则实数m的取值范围为
;a+b+c+d的取值范围是
.
答案 (0,1) (2e-1-2,e-2-1)
x3 3x
A.y= x2 1
x3 x
B.y= x2 1
2x cos x
C.y= x2 1
D.y=
2 sin x2
x 1
答案 A
7.(2018课标Ⅲ文,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线 x=1对称的是 ( ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=(1+x) D.y=ln(2+x) 答案 B
答案 A
3.(2023届山东潍坊五县联考,3)函数y=
(ex
1)
x
1 x
的大致图象为(
)
ex 1
A
B
C
D
答案 B
4.(2021福建三明三模,5)若函数y=f(x)的大致图象如图所示,则f(x)的解析 式可能是 ( )
A. f(x)= x
| x | 1
C. f(x)= x
x2 1
答案 C
B. f(x)= x
x
1 2
(a>0,且a
≠1)的图象可能是 ( )
答案 D
4.(2019课标Ⅰ,文5,理5,5分)函数f(x)=
sin cos
x x
x x2
在[-π,π]的图象大致为
(
)
答案 D
5.(2022广东佛山一中月考,6)函数f(x)= (xb)2 的图象如图所示,则 ( )

高中函数试题及答案解析

高中函数试题及答案解析

高中函数试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = 2x + 3的值域是（）。

A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. [1, +∞)D. (-∞, 3]答案：A解析：函数f(x) = 2x + 3是一个一次函数，斜率为2，截距为3。

由于斜率大于0，函数随着x的增加而增加，因此函数的值域为所有实数，即(-∞, +∞)。

2. 函数g(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是（）。

A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A解析：函数g(x) = x^2 - 4x + 4可以重写为g(x) = (x - 2)^2。

这是一个开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，即x = 2时。

将x = 2代入函数，得到g(2) = (2 - 2)^2 = 0。

3. 若函数h(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）是偶函数，则下列说法正确的是（）。

A. b = 0B. a = 0C. c = 0D. a = b = 0答案：A解析：偶函数满足h(-x) = h(x)。

将-x代入函数h(x) = ax^2 +bx + c，得到a(-x)^2 - bx + c = ax^2 - bx + c。

要使h(-x) = h(x)，必须有-bx = bx，这意味着b = 0。

二、填空题4. 函数y = √(x - 1)的定义域是______。

答案：[1, +∞)解析：函数y = √(x - 1)要求根号内的表达式非负，即x - 1 ≥ 0，解得x ≥ 1。

因此，函数的定义域为[1, +∞)。

5. 若函数f(x) = 2x - 1与g(x) = x^2 - 3x + 2有相同的值域，则f(x)的值域是______。

答案：[-1, +∞)解析：函数g(x) = x^2 - 3x + 2可以重写为g(x) = (x - 3/2)^2 -1/4，这是一个开口向上的二次函数，其最小值为-1/4。

由于f(x)与g(x)有相同的值域，f(x)的值域也是[-1/4, +∞)。

2022年高考数学函数的微专题复习专题04 充分、必要、充要问题的研究(解析版)

2022年高考数学函数的微专题复习专题04 充分、必要、充要问题的研究(解析版)

故选：B
( ) 变式 3、（2021·河北张家口市高三三模）“ a 0 ”是“点 0,1 在圆 x2 y2 2ax 2 y a 1 0 外”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】将 x2 y2 2ax 2 y a 1 0 化为标准方程，得 (x a)2 ( y 1)2 a2 a.
2022 年高考数学函数的微专题复习专题 04 充分、必要、充要问题的 研究
题型一 、充分、不要条件的判断 充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图
示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的充分条件．（2）等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若 ⊆ ，
变式 1、（2020·全国高三专题练习（文））“ x 1, 2 ， ax2 1 0 ”为真命题的充分必要条件是（ ）
A． a 1
B． a≤ 1 4
C． a 2
D． a 0
变式 2、（2020 届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟）已知命题 p : 1 x a 1 ，命题
q : (x 4)(8 x) 0 ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是____
变式 4、（2021·辽宁高三模拟）设 z1 ， z2 为复数，“ z1 z2 0 ”是“ z1 z2 ”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式 5、（2021·浙江高三二模）已知 P 、 A 、 B 、 C 、 D 是空间内两两不重合的五个点，△PAB 在平面

2020高考数学新题型多项选择题专项训练《04函数(3)》(解析版)

2020高考数学新题型多项选择题专项训练《04函数(3)》(解析版)

专题04 函数(3)2x ,x ( ,0) lnx,x (0,1) ,若函数g(x) f(x) m 恰有2个零点,2x 4x 3,x [1,)则实数m 可以是() A. 1B. 0C. 1D. 2【分析】画出函数 f(x)的图象，进而得出结论. 【解答】解：画出函数 f(x)的图象，_2x [1, )时，f(x) (x 2) 1 .若函数g(x) f (x) m 恰有2个零点, 则实数m 1 ,或m, 0 .3x,x 0方程 । f (x) 1| 2 m(m1,x 0()3A.函数f(x)的图象关于直线x 亡对称2 B.函数f (x)在区间(3,)上单调递增 C.当m (1,2)时，方程有2个不同的实数根 D.当m ( 1,0)时，方程有3个不同的实数根多项选择题1. (2019秋？交州市期末)已知函数f(x)2. (2019秋”明期末)已知函数 f(x)R),则下列判断正确的是因此m 可以为1 , 0, 1.【分析】先画出函数f(x)的大致图象，即可判断A , B选项的正误，再画出函数y |f(x) 1]的大致图象,把方程|f(x) 1| 2 m 根的个数转化为函数 y 2 m 与函数y | f(x) 1］的图象交点个即可判断. 【解答】解：函数 f(x)的大致图象如图所示：当m (1.2)时，0 2 m 1 ,此时函数y 2 m 与函数y | f (x) 1|的图象有2个交点， 方程|f(x) 1| 2 m 有2个不同的实数根，故选项 C 正确，当m ( 1,0)时，2 2 m 3,此时函数y 2 m 与函数y | f(x) 1］的图象有4个交点， 方程|f(x) 1| 2 m 有4个不同的实数根，故选项D 错误，故选：BC .3 .(2019秋旗门期末)如图，某池塘里的浮萍面积 y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系式为y ka t (k R,且k 0; a 0,且a 1).则下列说法正确的是()3显然函数f(x)的图象不关于直线 x -对称，故选项A 错误,有图象可知函数 f (x)在区间(3,)上单调递增，故选项 B 正确, 函数y |f(x) 1］的大致图象如图所示:A.浮萍每月增加的面积都相等B.第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C.浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D.若浮萍面积蔓延到4m2, 6m2, 9m2所经过的时间分别为t i , t2 , b ,则t i t3 2t2【分析】函数关系式：y - 2t 2t 1,即可判断. 2【解答】解：由题意可知，函数过点（1,1）和点（3,4）,代入函数关系式：y ka t（k R,且k 0； a 0,且ka 1a D，得：। 3 ,ka 41.一k —斛得：2，a 2函数关系式：y 1 2t 2t1, 2Q函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误，当x 6时，y 25 32,浮萍的面积超过了30m2,故选项B正确，令y 2得：t 2;令y 64得：t 7 ,所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确，令y 4 得：t1 3;令y 6 得：t2 log212;令y 9得：t3 log218, t t2 3 log212 log 2 96 t3 , 故选项D错误，故选：BC . 2 ............... x 2x1 x・ 04. （2019秋?佛山期末）已知函数f（x）2,0 ,则下列判断正确的是（）x 2x 1,x 0A. f （x）为奇函数B.对任意 x-& R,则有 J X 2)[f(X i ) f(X 2)], 0C.对任意x R,则有f(x) f( x) 2D.若函数y |f(x)| mx 有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是(，0) (4 , )【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案. 【解答】解：根据题意，依次分析选项:2x 2x 1,x …0 2x 2x 1,x 0 | f(x) |的图象如图:处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km/h ,步行的速度为 5km/h ,时间t (单位：h)表对于 A, 函数 f(x) 2x 2x2x 1,x …0 2x 1,x 0时，f(0) 1,不满足奇函数的定义，故 A 错误;对于函数 f(x) 2 x 2x2x 1,x 02x 1,x 易得 f (x)为增函数,必有(x x 2)[f(x) f(x 2)]…0,故 B 错误;对于 函数 f(x) 2x2x2x 1,x 02x 1,x时,f( 0)f(0) 1 ,符合 f (x) f( x) 2 ,0时, f(x)2x 1 ,f( x)2x 2x1, 有 f(x) f( x ) 0时, f (x)2x 1 , f( x)2x 1 ，有 f(x) f( x) 2； 综合可得: f(x ) f( x) 2 ,故C 正确;若函数y |f(x)| mx 有两个不同的零点, 则函数 y | f (x)|的图象与ymx 有两个交点,必有m 0或m 4 ,即m 的取值范围为:，0)(4,故选：CD .5.(2019秋辿庄期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ,从P 点沿海岸正东12km对于D ,函数f (x)示他从小岛到城镇的时间，x (单位：km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设uB. 15t 4v 32uC.当x 1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D.当x 4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h【分析】由题意可知,4 - ......... ..v —,是减函数，故选项u A正确，又：tx2 4 12 x3 5 '12,化简即可得到15t u 4v36 , 故选项B错误，利用导数可得当3-时，t(x)最小，且最短时间为244 ，…一一h ,故选项C正15确，当x 4时，t 3,故选项D错误.【解答】解：Q u x2 4 uv (J x2 4 x)(vx 4 x) 4 ,4 一. ......... .v 4,是减函数，故选项u A正确,由题意可知：t x2 4312 x,0 麴jx 12 , 515t 5 x2 4 3(12 x) 5 x2 4 3x 36 ( x2 4 x) (4 . x2 4 4x) 36 u 4v 36 ,15tu 4v36 , 故选项B错误,X2 3 4 12 x- ------ ,0 孤12 ,5x 3,x2 415 . x2 4 '... 3 3当X 0,3时，t 0, t(x)单倜递减；当X (二12)时，t 0, t(x)单调递增，2 23 44当x 3时，t(x)最小，且最短时间为竺h,故选项C正确，2 15当x 4时，t "5 8 3,故选项D错误，3 5故选：AC .6. (2019 秋？荷泽期末)已知函数f(x) log a(x 1), g(x) log a (1 x)(a 0 , a 1),则( )A.函数f (x) g(x)的定义域为(1,1)B.函数f(x) g(x)的图象关于y轴对称C.函数f(x) g(x)在定义域上有最小值0D.函数f (x) g(x)在区间(0,1)上是减函数【分析】对每个选项利用函数的图象和性质逐个分析，即可得到答案.【解答】解：f(x) g(x) log a(x 1) log a(1 x)所以x 1 0,解得1 x 1 ,1x0函数f (x) g(x)的定义域为(1,1),故A正确，f( x) g( x) log a( x 1) log a(1 x),所以 f (x) g(x) f( x) g( x),所以函数f(x) g(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故B正确，2f(x) g(x) log a(x 1) log a(1 x) log a (x 1)(1 x) log a ( x 1)令t x2 1 ,则y log a t ,在x ( 1,0)上，t x2 1单调递增，在x (0,1)上，t x2 1单调递减，当a 1时，y log a t单调递增，所以在x ( 1,0)上，f (x) g(x)单调递增，在x (0,1)上，f (x) g(x)单调递减，所以函数f (x) g(x)没有最小值，当0 a 1时，y log a t单调递减，所以在x ( 1,0)上，f (x) g(x)单调递减,在x (0,1)上，f(x) g(x)单调递增,所以函数f(x) g(x)有最小值为f (0) g(0) 0,故C 错.X 1 .…2、f (x) g(x) log a (x 1) log a (1 x) lOg a --------- log a ( 1 --)1 x 1 x人 2 .令 t 1 ----- ， y log a t1 x在x ( 1,1)上，t 1二-单调递增， 1 x 当a 1时，f (x) g(x)在(1,1)单调递增，当0 a 1时，f (x) g(x)在(1,1)单调递减，故 D 错. 故选：AB .的值可能为()当a 0时，令f (x) t ,则由 f (t) 0得，t 2a , t 2 0 , t 3 a , 又方程f(f(x)) 0有8个不同的实根，a 0由题意结合可得，即 a 2a ,解得a 8 ,22a — 4故选：CD .7. (2019秋？日照期末)已知函数f (x)2a, x若关于x 的方程f(f(x)) 0有8个不同的实根，则aA. 6B.8C.9D.12【分析】结合题意可先对 a 进行分类：分a, 0及a 0两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解. 【解答】解：由题意可得 a, 0时，显然不成立;【解答】解：y x 41是偶函数，且在［0, )上递增, 2f(x) x 2x a 有两个互点Xi , X2,以下结论正确的是(A. a 1C. f( 1) f (3),,一 1 1 2B .右 X 1X 2 0 ,贝U ———Xi X 2 aD.函数有y f(|X|)四个零点【分析】根据题意，分析可得方程X 22X a 0有两个不同的根，为 X, X 2,据此分析选项即可得答案.【解答】解：根据题意，函数f (X) 22X 2X a 有两个零点X 1 , X 2,即万程X2X a 0有两个不同的根,为 X , X 2 , 据此分析选项：对于A ,若方程x 22x a 0有两个不同的根，则有 (2)2 4a 0,解可得a 1 ,故A 正确； 对于B ,程x 22x a 0有两个不同的根，为X , x 2 ,则有x 1 x 22, x 1x 2 a,则」—色~x 2-x 1 x 2x 1x 2 aB 正确；对于C ,函数f(x) x 22x a ,其对称轴为x 1 ,则有f ( 1) f (3),故C 正确； 对于D,当a 0时，y f(|x|) x 22|x|,有3个零点，故D 错误； 故选：ABC .9. (2019秋?鼓楼区校级期末)设 a 为实数，则直线y a 和函数y x41的图象的公共点个数可以是A. 0B. 1C.D. 3【分析】利用函数的奇偶性，画出图象，然后判断直线y a 和函数y x 41的图象的公共点个数.画出草图，可知 ya 与该函数的交点个数可能为0, 1, 2,8. (2019秋础坊期末)已知函数1 ,判断函数的零点的方法是若 f (a) gf (b) 0 ,则零点在(a,b),进而把x 0 , 1, 2, 3, 4代入可知f (1)0, f (2)0进而推断出函数的零点存在的区间.【解答】解：函数f (x) x 33x 2,把x 0 , 1, 2, 3, 4代入， 若 f (a) gf (b)0,则零点在(a,b), f(0) 2 0, f (1) 2 0,f ⑵ 12 0,f (3) 34 0, f (4) 76 0,所以 f(0) 0, f (1) 0,所以函数的零点在(0,1), 故选：ABC .x 2,(x 1)11. (2019秋？临高县校级期中)已知 f (x)x 2,( 1 x 2),若f(x) 1,则x 的值是( )2x,(x …2)A. 1B. 1C. 73D. 12【分析】根据题意，由函数的解析式按 x 的范围分3种情况讨论，求出x 的值，综合即可得答案.x 2,(x, 1)【解答】解：根据题意， f (x) x 2,( 1x2),2x,(x …2)3x 2的一个正零点所在的区间不可能是( )A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)【分析】令f (x) x 5 x故选：ABC .10. (2018秋初芦岛期末)函数 f(x)若f (x) 1 ,分3种情况讨论：①，当x, 1时，f(x) x 2 1 ,解可得x 1 ;②，当1 x 2时，f (x) x2 1,解可得x 1,又由1 x 2,则x 1 ;1 ③，当x…2时，f(x) 2x 1,解可得x -，舍去2综合可得：x 1或1;故选：AD .12.(2019秋哦岛区期中)狄利克雷函数f (x)满足：当x取有理数时，f (x) 1;当x取无理数时，f(x) 0.则下列选项成立的是( )A. f(x)…0B. f(x), 13 3C. f (x) x 0有1个实数根D. f(x) x 0有2个实数根【分析】根据狄利克雷函数的定义，逐项判断即可.【解答】解：依题意，对于A选项，狄利克雷函数f(x)只有0, 1两个函数值，且均满足f(x)-0,故A成立；对于B选项，狄利克雷函数f(x)只有0, 1两个函数值，均满足f(x), 1 ,故B成立；对于C, D选项，f(x) x3 0,①当x为无理数时，x3 0无解；②当x为有理数时，有一个实根x 1 ,故C成立，D不成立；故选：ABC .13.(2019秋7fr岛期中)若函数f(x) e x 1与g(x) ax的图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为()A. 2B. 1C. 0D. 1【分析】数形结合考查两个函数的图象只有一个交点，因为两函数图象都过原点，则求函数f(x) e x 1过原点的切线.【解答】解：函数f(x) e x 1的导数为f (x) e x；所以过原点的切线的斜率为k 1;则过原点的切线的方程为:所以当a, 1时，函数f(x) e x 1与g(x) ax 的图象恰有一个公共点; 故选：BCD .x2 x 114. (2019春?1台期末)已知函数 f(x) -一口，则下列结论正确的是 ( eA.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当e k 0时，方程f(x) k 有且只有两个实根 5 D .若x ［t ,)时，f (x)max，则t 的最小值为2ex 2 x 1 , 一 .【分析】作出函数 f (x)——x 一的图象即可得到结论. ex 2x 2 . .一【斛答】斛： f (x) ----- x--- ，令f (x) 0 ,解得x 1或x 2 , e 当x 1或x 2时，f (x) 0 ,故函数f (x)在(，1), (2,)上单调递减, 故函数在(1,2)上单调递增， 且函数f(x)有极小值f( 1) e,有极大值f (2)与，当x 时，f(x)e由图可知，选项 ABC 正确，选项D 错误. 故选：ABC .15. (2019春？1台期末)对于定义域为 D 的函数f(x),若存在区间［m, n ］ D, 在［m , n ］上是单调的：②当定义域是 ［m, n ］时，f (x)的值域也是［m , n ］,见 区间”.下列函数存在 和谐区间”的是( )一 …32 … x .A. f (x) xB, f (x) 3 - C, f(x) e 1 D, f(x)x【分析】由题意，函数在 和谐区间”上单调递增，且满足 f(x) x 至少有两个解，逐项判断即可.1 x 2时，f (x) 0 ,，当 x 时，f(x) 0,同时满足下列条件：①f(x) 称［m, n ］为该函数的 和谐lnx 2故作函数草图如下,【解答】解：由题意，函数在和谐区间”上单调递增，且满足f(x) x至少有两个解,对于A选项，函数f(x)x3在定义域R上单调递增，且x有解1 , 0, 1,满足条件，故正确;对于B选项，函数f(x)2 . _____ 一、，一3 2在(0,)上单调递增，且x有解1, 2,满足条件，故正确;对于C选项，函数 f(x)e x 1在定义域上单调递增，但x只有一个解0,不满足条件，故错误;对于D选项，函数f(x)lnx 2在(0,)上单调递增, 显然函数 f (x) Inx 2与函数y x在(0,)上有两个交点，即lnx 2 x有两个解，满足条件，故正确.故选：ABD .16.(2019秋渐洲区期末) 已知函数f(x)x22x,x,|log 2x|,x0升，右x1x3 %，且f(X) f(x2) f (x s) f(x4), 则下列结论正确的是(B. C. 1 x4 2【分析】作出函数的图象分析出x2 1 , x3x4 1；再对答案进行分析.【解答】解：由函数f(x)2x,x,0,作出其函数图象:110g2x|,x 0当y 1时, 1啕2 x| 1,有1一,2；2所以1 x32由f(x s)f (人)有|log2x s|110g2x4| ,即log2 x3 log? x4 0 ;所以x3x4则Xx2x3x4 x1x2 x1( 2 x1) (x1 21) 1 (0,1);故选：BCD .17 . ( 2019秋？洞口县月考)定义在R上函数f (x)对任意两个不相等的实数x1 , x2都有X1 f (x1) x2 f (x2) x1f(x2) x2 f (x1),则称函数f(x)为'Z函数”，以下函数中‘Z函数”的是( )2A．y x 1C．y ln |x|,x0, x 0B ．y 3x 2sin x 2cos x2x 4x, x- 0D．y“ Z 函数”单调递增，由常见函数的性质及多项选择的特征即可求解．Q x f (x) x f (x) x f ( xx1[f(x1) f(x2)] x2[f(x2) f(x1)] 0，(x2 x)[f(x2) f(x i)] 0,故Z函数单调递增, 显然，选项A、C 不符合，由多选特征知 B 、 D 正确，故选：BD ．18． ( 2019 秋?思明区校级期中)已知函数kx 1 x 0f (x) kx 1,x, 0，下列是关于函数y f[ f(x)]1 的零点个数的4 个判断，其中正确的是( )A.当k 0时，有3个零点B.当k 0时，有2个零点C.当k 0时，有4个零点D.当k 0时，有1个零点【分析】由y 0 得f[ f(x)] 1 ，利用换元法将函数分解为f(x) t 和f(t)1 ，作出函数f ( x) 的图象，y f[f(x)] 1 0，得f[f(x)] 1 ，设f(x) t ，则方程f[ f(x)] 1 等价为f(t) 1 ，①若k 0 ，作出函数 f (x) 的图象如图：Q f(t) 1，此时方程f(t) 1 有两个根其中t2 0，0 t1 1 ，由f(x) t2 , 0 ,知此时x有两解，由f(x) t i (0,1)知此时x有两解，此时共有 4 个解，即函数y f [f (x)] 1有4个零点．②若k 0 ，作出函数 f (x) 的图象如图：Q f(t) 1，此时方程 f (t ) 1有一个根t1 ，其中0 t11由f （x ） t 1 （0,1）知此时x 只有1个解, 即函数y f[f （x ）] 1有1个零点. 故选：CD .某湖泊的蓝藻的面积 y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系满足yA.蓝藻面积每个月的增长率为 100%B.蓝藻每个月增加的面积都相等C.第6个月时，蓝藻面积就会超过 60m 2D.若蓝藻面积蔓延到2m 2, 3m 2 ,6m 2所经过的时间分别是t 1,t 2,々，则一定有t 1 t ? t s【分析】由函数 y a t 图象经过（1,2）可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可. 【解答】解：由图可知，函数 y J 图象经过（1,2）,即a 12,则a 2, y 2t ； 2t 12t 2t 不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的 2倍，则每个月的增长率为 100%, A 对、当 t 6 时，y 2664 60 , C 对；B 错;19. （2019秋雨泽期末）如图,若蓝藻面积蔓延到2m 2,3m 2,6m 2所经过的时间分别是t i , t 2,t 3 ,则2t12,2t 23,2t 36,2t 1t22t 1g2t22 3 6 ,则 t i t 2 t 3 , D 对；故选：ACD .20.(2019秋砌芦岛期末)已知函数 f(x)|lnx |,x 0, 和g(x) a(a R 且为常数)，则下列结论正确的 x mx, x, 0是( )A.当a 4时，存在实数m,使得关于x 的方程f (x) g(x)有四个不同的实数根B.存在m ［3, 4］,使得关于x 的方程f(x) g(x)有三个不同的实数根：2C.当x 0时，右函数h(x)) f (x) bf (x) c 恰有3个不同的零点x 1 , x 2, x 3 ,则x 1x 2x 3 1 D.当m4时，且关于x 的方程f (x) g(x)有四个不同的实数根 x,x 2 , x 3, *4(x 1 x 2x 3羽)，若2f (x)在［x 3 ,羽］上的取大值为ln4 ,则X x 2 2x 3 2x 4 1【分析】分 m-O 和m 0两种情况讨论，利用数形结合思想可判断出A 、B 选项的正误；设t f(x),利用复合函数的零点可判断 C 选项的正误；求出x 3 , x 4的值，结合对称性可判断出 D 选项的正误.【解答】解：若 m 0 ,则函数f (x)x 2mx 在区间(，0］上单调递增,且当x, 0时，f(x), f(0) 0,如下图所示:g(x)根的个数不大于 2, B 选项不合乎题意;x 2mx 在区间(，m ］上单调递增，在 ［m,0］上单调递减，此时2 2f(x)max f(m)若m 0 ,且当x, 0时，函数f(x) 如上图可知，此时关于 x 的方程f (x)2当a 4时，若关于x的方程f(x) g(x)有四个不同的实数根，则m 4,解得m 4, A选项正确;4设t f(x),由h(x) f2(x) bf(x) c 0 ,得t2 bt c 0,当x。

2023高考数学函数专项练习题及答案

2023高考数学函数专项练习题及答案

2023高考数学函数专项练习题及答案一、选择题1. 设函数$f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$，则$f(-2)$的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 不存在2. 已知函数$f(x) = a^x$，其中$a>0$，当$x=2$时，$f(x) = 8$，则$a$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 83. 设函数$f(x) = \sin(x+\frac{\pi}{4})$，则$f(\frac{\pi}{4}) = $（）A. 0B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$D. 14. 函数$f(x) = \log_2(x+3)$的定义域为（）A. $(-\infty, -3)$B. $(-3, +\infty)$C. $(-3, +\infty)$D. $[3, +\infty)$5. 已知函数$f(x)$为偶函数，且$f(x) = (x+1)^2-9$，则$f(-4)$的值为（）A. -28B. -12C. 0D. 20二、填空题1. 若$f(x)$为奇函数，且$f(1) = 4$，则$f(-1)$的值为\underline{\hspace{1cm}}。

2. 设函数$f(x) = a\log_2(x-3)$，其中$a\neq 0$，则$f(\frac{1}{2}) = $\underline{\hspace{1cm}}。

3. 若$f(x)$为周期为$2\pi$的偶函数，且$f(\frac{\pi}{4}) =\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$f(\frac{\pi}{2}) = $\underline{\hspace{1cm}}。

4. 若函数$f(x)$满足$f(x+3) = f(x)$，且$f(1) = 5$，则$f(-2) =$\underline{\hspace{1cm}}。

5. 设函数$f(x) = \sqrt{x-1}$，则$x$的取值范围为\underline{\hspace{1cm}}。

2020年山东新高考函数及其应用精选模拟试题(含解析)

2020年山东新高考函数及其应用精选模拟试题(含解析)

专题4 函数及其应用1.关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换；（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力； 2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；3.常见题型，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，近几年趋向于稳定在选择题、填空题，易、中、难的题目均有可能出现.预测2020年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注意与导数的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10932．（2020届山东省高考模拟）若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（ ） A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<3．（2020·山东高三模拟）函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．（2020·山东高三模拟）已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>5．（2020·山东高三模拟）对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-6．（2020届山东省高考模拟）函数()()22ln xxf x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2020·山东高三下学期开学）设133a =，13log 2b =，1213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b << 9．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）函数()1ln 1y x x =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．11．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，则128128x x x y y y +++++++L L 的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．4013．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若a >b ，则( ) A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │14．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ）. A ． B ．C ．D ．15．（2020·2020届山东省烟台市高三模拟）函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,216．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()x xg x e e -=-，()()f x xg x =,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a17．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32m n a a =，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．9519．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln xc e =，则,,a b c的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>20．（2020届山东省泰安市肥城市一模）若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（ ） A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a << 21．（2020届山东省泰安市肥城市一模）对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．22．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()()()2sin xx e e x f x x eππ-+=-≤≤的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．23．（2020届山东省泰安市肥城市一模）函数2log y x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．24．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a的值是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3二、多选题25．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意12,[,]x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ，则下列说法错误的是：（ ）A ．()f x 在[1,3]上的图像是连续不断的；B ．2()f x 在上具有性质P ；C ．若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[1,3]x ∈；D ．对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有[]123412341()()()+()+()44x x x x f f x f x f x f x +++≤+26．（2020·山东高三模拟）定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，当[0,3]x ∈时，2()3f x x x =-，下列等式成立的是（ ）A ．(2019)(2020)(2021)f f f +=B ．(2019)(2021)(2020)f f f +=C ．2(2019)(2020)(2021)f f f +=D ．(2019)(2020)(2021)f f f =+27．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b +=B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg6b a ->28．（2020届山东省烟台市高三模拟）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．3)y x =B ．e e x x y -=+C ．21y x =+D ．cos 3y x =+29．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）. A ．(3)0f =B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点30．（2020·山东高三下学期开学）定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间” C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+31．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M32．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 33．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2M C ．3M D ．4M三、填空题34．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+，则()1f -=______．35．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间Ｔ(单位:年)的衰变规律满足573002T N N -=⋅(0N 表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到______年之间.(参考数据:lg 20.3≈,lg 70.84≈,lg30.48≈)36．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则()2log 3f =________．37．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________.38．（2020届山东省高考模拟）已知函数()22,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若1a =，则不等式()2f x ≤的解集为__________，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是__________． 39．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()321x f x m =+-（m R ∈，且0m ≠）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是_____．40．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()(](]2,2132,4x f x x x ∈-=--∈⎪⎩，满足()()33f x f x -=+，若在区间[]4,4-内关于x 的方程()()35f x k x =-恰有4个不同的实数解，则实数k 的取值范围是___________.41．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1n n A A φ-=I 对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ϕ”(I)具有性质“ϕ”的一个一次函数的解析式可以是 _____； (Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22y x π=+，其中具有性质“ϕ”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D 【解析】设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 2．（2020届山东省高考模拟）若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】Q 23a =，12232<<，∴12a <<， Q 22log 5log 4b =>，∴2b >， Q 32c =，01323<<，∴01c <<， ∴c a b <<，故选：A.3．（2020·山东高三模拟）函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B.4．（2020·山东高三模拟）已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】由题知105441551,1log log 22a b =>=>=>=，551log 2log 2c =<=，则a b c >>. 故选:A.5．（2020·山东高三模拟）对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D 【解析】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）. 又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D.6．（2020届山东省高考模拟）函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+= ()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B7．（2020·山东高三下学期开学）设133a =，13log 2b =，1213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】 因为1331a =>，13log 20b =<，121013c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以b c a <<.故选：C8．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】9342a ==,33322222log 3log 3log 2log 221b a ==>==>13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.9．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）函数()1ln 1y x x =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意，函数()1ln(1)fx x x =-+，可得()11ln 20f =->，可排除C 、D ， 又由()222111ln 1011f e e e e -=-=-<--，排除B ，故选A. 10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．11．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C ,故选：D .12．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，则128128x x x y y y +++++++L L 的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40【答案】D 【解析】由于()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，当0x =时，()23f =，所以()f x 关于()2,3中心对称.由于()325315()3222x x g x x x x -+-===+---，所以()g x 关于()2,3中心对称.故()f x 和()g x 都关于()2,3中心对称.所以()f x 与()g x 的图像交点()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，两两关于()2,3对称.所以128128x x x y y y +++++++L L 828340=⨯+⨯=.故选：D.13．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若a >b ，则( ) A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C 【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．14．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根函数()f x 是奇函数，排除D ，根据x 取非常小的正实数时()0f x >，排除B ，x π=是满足310cosx +<的一个值，故排除C ，故选：A ．15．（2020·2020届山东省烟台市高三模拟）函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2 C ．()0,3 D ．()0,2【答案】C 【解析】由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,故选:C16．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()x xg x e e -=-，()()f x xg x =,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a【答案】C 【解析】依题意，有()()g x g x -=-，则()e e xxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，所以()f x 为偶函数． 当0x >时，有()(0)g x g >，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，由不等式的性质可得()()11220x g x x g x >>， 即()()120f x f x >>，所以，函数()f x 在(0)+∞，上递增， 因此，355(3)222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C ．17．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）【答案】C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32m n a a =，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a =，3520a a +=，所以2285516a a a a ==，516a =，34a =，所以253a a q =，2q =，451a a q =，11a =，1112n n n a a q --==，因为32m n a a =，所以1110222m n --=，12m n +=，()()()414114112125n m mn m n mn m n +=++=++ ()()431124520,0n mm n m n ??>>，当且仅当2n m =时“=”成立，所以14m n +的最小值为34，故选A 。

【新高考数学多项选择题专项训练】专题03 函数(2)(解析版)

【新高考数学多项选择题专项训练】专题03 函数(2)(解析版)

1 / 12专题03 函数（2）（答案解析版） 多项选择题1．（2019秋•济南期末）若实数a ，b 满足2332a b a b +=+，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．01a b <<<B ．0b a <<C ．1a b <<D ．a b =【分析】构造()23x f x x =+，()32x g x x =+，易知()f x ，()g x 是递增函数，结合函数的图象，得出结论． 【解答】解：由2332a b a b +=+，设()23x f x x =+，()32x g x x =+，易知()f x ，()g x 是递增函数， 画出()f x ，()g x 的图象如下：根据图象可知：当0x =，1时，()()f x g x =， 01a b <<<，f （a ）f =（b ）可能成立；故A 正确；当0b a <<时，因为()()f x g x …，所以f （a ）f =（b ）可能成立，B 正确； 当a b =时，显然成立，当1a b <<时，因为f （a ）g <（b ），所以不可能成立， 故选：ABD ．2 / 122．（2019秋•徐州期末）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( ) A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0【分析】根据幂函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A ，1α=-时幂函数1y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞是减函数，在其定义域上不是减函数，A 错误；对于B ，0α=时幂函数01(0)y x x ==≠，其图象是一条直线，去掉点(0,1)，B 错误； 对于C ，2α=时幂函数2y x =在定义域R 上是偶函数，C 正确；对于D ，3α=时幂函数3y x =在R 上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D 正确． 故选：CD ．3．（2019秋•南京期末）下列各选项中，值为1的是( ) A ．26log 6log 2g B ．66log 2log 4+C．1122(23)(2+-gD．1122(23)(2+--【分析】利用指数与对数的运算性质化简即可判断出结论． 【解答】解：A ．原式62126lg lg lg lg ==g ，因此正确； B ．原式6log 81=>，因此不正确；C ．原式12(43)1=-=，因此正确；D．原式1==，因此不正确． 故选：AC ．4．（2019秋•惠州期末）下列幂函数中满足条件121212()()()(0)22x x f x f x f x x ++<<<的函数是( ) A ．()f x x =B ．2()f x x =C．()f x = D ．1()f x x=【分析】由题意知，当0x >时，()f x 的图象是凹形曲线；3 / 12由此分析选项中的函数曲线是否满足题意即可．【解答】解：由题意知，当0x >时，()f x 的图象是凹形曲线； 对于A ，函数()f x x =的图象是一条直线，则当210x x >>时，有1212()()()22x x f x f x f ++=，不满足题意； 对于B ，函数2()f x x =的图象是凹形曲线，则当210x x >>时，有1212()()()22x x f x f x f ++<，满足题意； 对于C ，函数()f x =的图象是凸形曲线，则当210x x >>时，有1212()()()22x x f x f x f ++>，不满足题意； 对于D ，在第一象限内，函数1()f x x=的图象是一条凹形曲线，则当210x x >>时，有1212()()()22x x f x f x f ++<，满足题意． 故选：BD ．5．（2019秋•凤城市校级月考）已知等式23log log m n =，m ，(0,)n ∈+∞成立，那么下列结论：（1）m n =；（2）1n m <<；（3）1m n <<；（4）1n m <<；（5）1m n <<；其中可能成立的是( ) A ．（1）（2）B ．（2）（5）C ．（3）（4）D ．（4）（5）【分析】依题意，可设2t m =，3t n =，结合指数函数的性质，分0t =，01t <<及1t …讨论即可得解． 【解答】解：设23log log m n t ==，则2t m =，3t n =， 当0t =时，1m n ==，故（1）正确； 当01t <<时，01n m <<<，故（2）正确；当1t …时，1n m >>，故（5）正确； 故选：AB ．6．（2019秋•宁阳县校级月考）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么( ) A ．2ab bc ac += B ．ab bc ac += C ．221c a b =+ D ．121c b a=-E ．212c a b=+ 【分析】将指数式化为对数式，根据选项中的 运算分别验证即可．【解答】解：依题意设469a b c k ===，则4log a k =，6log b k =，9log c k =， 对于A ，2ab bc ac +=即2b bc a+=，因为6666694log 9log 4log 362log k log k b b c a log k log k +=+=+==，故A 正确B 错误；4 / 12对于C ，46212122log 4log 6log 962log 9log 81k k k k k a b log k log k c+=+=+=≠==，故C 错误； 对于D ，213612log 6log 4log 94k k k k log b a c-=-===，故D 正确； 对于E ，122log 42log 6log 1442log 9log 81k k k k k a b c+=+=≠==，故E 错误； 故选：AD ．7．（2019秋•潍坊期中）若x y …，则下列不等式中正确的是( ) A ．22x y …B．2x y+C ．22x y … D ．222x y xy +…【分析】由指数函数的单调性可知，当x y …，有22x y … 当00x y >>…时，2x y+ 当0x y 厖时，22x y …不成立； 由2222()0x y xy x y +-=-…成立，可判断； 【解答】解：由指数函数的单调性可知，当x y …，有22x y …，故A 正确； 当00x y >>…时，2x y+ 当0x y 厖时，22x y …不成立； 2222()0x y xy x y +-=-Q …成立，从而有222x y xy +…成立； 故选：AD ．8．（2019秋•南京期中）若指数函数x y a =在区间[1-，1]上的最大值和最小值的和为52，则a 的值可能是（ ） A ．2B ．12C ．3D ．13【分析】对a 进行讨论，结合指数函数单调性，即可求解最值，从而求解a 的值． 【解答】解：指数函数x y a =在区间[1-，1]上的最大值和最小值的和为52， 当1a >时，可得1min y a=，max y a =， 那么152a a +=，解得2a =，5 / 12当01a <<时，可得1max y a=，min y a =， 那么152a a +=，解得12a =，故a 的值可能是12或2． 故选：AB ．9．（2019春•滨州期末）已知a ，b 均为正实数，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则(a b = )A ．12BCD ．2【分析】设log a t b =，代入化解求出t 的值，得到a 的b 关系式，由b a a b =可求出a ，b 的值． 【解答】解：令log a t b =， 则152t t +=，22520t t ∴-+=，(21)(2)0t t --=， 12t ∴=或2t =， 1log 2a b ∴=或log 2a b = 2a b ∴=，或2a b =b a a b =Q ，代入得 22b a b ∴==或22b a a == 2b ∴=，4a =，或2a =．4b =∴2a b =．或12a b = 故选：AD ．10．（2019秋•临淄区校级月考）已知实数a ，b 满足0a >，0b >，1a ≠，1b ≠，且lgb x a =，lga y b =，lga z a =，lgb w b =，则( )A ．存在实数a ，b ，使得x y z w >>>B ．存在a b ≠，使得x y z w ===C ．任意符合条件的实数a ，b 都有x y =6 / 12D ．x ，y ，z ，w 中至少有两个大于1【分析】这里既有指数，又有对数．要善于找到两者之间的关系． 【解答】解：设lga p =，lgb q =．则有10p a =，10q b =，则(10)10lgb p q pq x a ===，(10)10q p pq y ==，2(10)10p p p z ==，2(10)10q q q w ==． 所以任意符合条件的a ，b 都有x y =．C 正解，A 错误． 若a b ≠，则p q ≠，则x z ≠，B 错误．因为1a ≠，1b ≠，所以0p ≠，0q ≠，所以20p >，20q >，故1z >，且1w >，D 正确． 故选：CD ．11．关于函数()||2||f x ln x =-下列描述正确的有( ) A ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递增 B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点【分析】画出函数()||2||f x ln x =-的图象，逐一分析题目中四个描述的真假，可得答案． 【解答】解：函数()||2||f x ln x =-的图象如下图所示：由图可得：函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，A 正确； 函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，B 正确； 若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=，C 错误； 函数()f x 有且仅有两个零点，D 正确． 故选：ABD ．7 / 1212．对于函数()f x 定义域中任意的1x ，212()x x x ≠，当()2x f x -=时，下列结论中正确的是( ) A ．1212()()()f x x f x f x += B ．1212()()()f x x f x f x =+g C ．1212()[()()]0x x f x f x --<D ．1212()()()22x x f x f x f ++<【分析】利用幂的运算法则判断出A 对；通过举反例判断出B 错；通过函数单调性的定义判断出C 对；通过基本不等式判断出D 对． 【解答】解：()2x f x -=12()12()2x x f x x -++=，1212()12()()222x x x x f x f x ---+==g ，故A 对1212()1212()222()()x x x x f x x f x f x ---=≠+=+g g ；故B 错Q 1()2()2x x f x -==为减函数，所以当12x x >时，有12()()f x f x <，有1212()[()()]0x x f x f x --<；故C 对．12()2x x f +=12()12()()222x x f x f x -++=，由基本不等式，所以1212()()()22x x f x f x f ++<；故D 对 故选：ACD ．13．（2019秋•南通期末）定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数(0)ϕϕ>，使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”．下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是( ) A ．f 2()x x =，2()21g x x x =-+ B ．f ()sin x = x ，()cos g x = xC ．f ()x ln = x ，()g x ln =2xD ．f 1()()3x x =，1()2()3x g x =【分析】根据题设，逐项判断即可．【解答】解：由2()f x x =，2()(1)g x x =-知，()f x 向右移动一个单位可得到()g x ，故选项A 正确； 由3()sin ,()cos sin()2f x xg x x x π===-知，()f x 向右移动32π个单位可得到()g x ，故选项B 正确；8 / 12由1(),()()22f x lnx g x ln x lnx ln ===-g 知，()f x 项下移动2ln 个单位可得到()g x ，故选项C 不正确；由31321211()()11133()(),()2()()13331()23x xx log x x log f x g x -=====知，()f x 向右移动3log 2个单位可得到()g x ，故选项D正确； 故选：ABD ．14．（2019秋•滕州市校级月考）下列函数中，对任意x ，满足2()(2)f x f x =的是( ) A ．()||f x x =B ．()2f x x =-C ．()||f x x x =-D ．()1f x x =-【分析】逐项验证即可．【解答】解：对于A ，2()2||f x x =，(2)|2|2||f x x x ==，故满足2()(2)f x f x =； 对于B ，2()4f x x =-，(2)4f x x =-，故满足2()(2)f x f x =；对于C ，2()22||f x x x =-，(2)2|2|22||f x x x x x =-=-，故满足2()(2)f x f x =； 对于D ，2()22f x x =-，(2)21f x x =-，故不满足2()(2)f x f x =； 故选：ABC ．15．（2019秋•枣庄期中）定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()4x f x g x +=，下列结论正确的有( )A ．44()2x xf x --=，且0f <（1）g <（2）B ．x R ∀∈，总有22[()][()]1g x f x -=C ．x R ∀∈，总有()()()()0f x g x f x g x --+=D ．0x R ∃∈，使得000(2)2()()f x f x g x >【分析】求出()f x 和()g x 的解析式，利用解析式代入计算判断．【解答】解：定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()4x f x g x +=， 又()()4x f x g x --+-=，得()()4x f x g x --+=，所以44()2x x f x --=，44()2x xg x -+=，(0)0f f =<（1）158g =<（2）1432=+，故A 成立，9 / 122222(44)(44)[()][()]144x x x x g x f x --+--=-=，故B 成立，根据奇偶性，()()()()()()()()0f x g x f x g x f x g x f x g x --+=-+=，故C 成立， 22000442(44)(44)(2)2()()024o o o o o o x x x x x x f x f x g x -----+-=-=，故D 不成立， 故选：ABC ．16．（2019秋•辽宁期中）已知函数()f x ，x R ∀∈，都有(2)()f x f x --=成立，且任取1x ，2[1x ∈-，)+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，以下结论中正确的是( )A ．(0)(3)f f >-B ．x R ∀∈，()(1)f x f -…C ．23((1)()4f a a f -+…D ．若()f m f <（2），则42m -<<【分析】根据题意，分析可得()f x 的图象关于直线1x =-对称且()f x 在区间[1-，)+∞上为减函数，在(-∞，1]-上为增函数，据此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()f x ，x R ∀∈，都有(2)()f x f x --=成立，则函数()f x 的图象关于直线1x =-对称，又由任取1x ，2[1x ∈-，)+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，则()f x 在区间[1-，)+∞上为减函数，则()f x 在(-∞，1]-上为增函数； 据此分析选项：对于A ，(3)f f -=（1），则有(0)f f >（1）(3)f =-，A 正确；对于B ，()f x 在区间[1-，)+∞上为减函数，在(-∞，1]-上为增函数，故()f x 在1x =-时，取得最大值，即有x R ∀∈，()(1)f x f -…，B 正确；对于C ，()f x 在区间[1-，)+∞上为减函数，又由221331()244a a a -+=-+…，则23(1)()4f a a f -+…，C 错误；对于D ，若()f m f <（2），则有|1|3m +>，解可得：4m <-或2m >，D 错误； 故选：AB ．17．（2019秋•大连期中）关于函数()f x 的结论正确的是( ) A ．定义域、值域分别是[1-，3]，[0，)+∞10 / 12B ．单调增区间是(-∞，1]C ．定义域、值域分别是[1-，3]，[0，2]D ．单调增区间是[1-，1]【分析】由2230x x -++…，解不等式可求函数的定义域，然后结合二次函数的性质可求函数的值域及单调性．【解答】解：由2230x x -++…可得，2230x x --…， 解可得，13x -剟，即函数的定义域[1-，3]，由二次函数的性质可知，2223(1)4[0y x x x =-++=--+∈，4]，∴函数的值域[0，2]，结合二次函数的性质可知，函数在[1-，1]上单调递增．在[1，3]上单调递减． 故选：CD ．18．（2019秋•烟台期中）已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出f （2）的值，进而分析可得1x =是函数()f x 的一条对称轴，函数()f x 是周期为4的周期函数和()f x 在区间[1-，1]上为增函数，据此分析选项即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=， 则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 故函数()f x 是周期为4的周期函数， 当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数； 据此分析选项：11 / 12对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f +（2）f +（4）]0=，f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x =是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确； 对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误； 对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数， 又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D 正确； 故选：ABD ．19．（2019春•德州期末）若函数()f x 具有下列性质：①定义域为(1,1)-；②对于任意的x ，(1,1)y ∈-，都有()()()1x y f x f y f xy++=+；③当10x -<<时，()0f x >，则称函数()f x 为δ的函数．若函数()f x 为δ的函数，则以下结论正确的是( )A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为单调递减函数D ．()f x 为单调递增函数【分析】可令0x y ==，求得(0)0f =，再令y x =-可得()()f x f x -=-，可得()f x 的奇偶性；再令11x y -<<<，运用单调性的定义，结合其偶性的定义可得其单调性．【解答】解：函数()f x 为δ的函数，令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f +=，即(0)0f =，令y x =-，则2()()()(0)01x x f x f x f f x -+-===-， 则()()f x f x -=-，即函数()f x 是奇函数，设11x y -<<<， 则()()()()()1x y f x f y f x f y f xy--=+-=+， 11x y -<<<Q ，101x y xy -∴-<<+，则()01x y f xy->+，即()()0f x f y ->， 则()()f x f y >，即()f x 在(1,1)-上是减函数．12 / 12故选：AC ．20．（2019春•滨州期末）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(2)f x +为偶函数，下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于直线1x =对称B ．f （4）0=C ．(8)()f x f x +=D ．若(5)1f -=-，则(2019)1f =-【分析】根据题意，分析可得函数()f x 是周期为8的周期函数，据此依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-， 又由函数(2)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线2x =对称，则有()(4)f x f x -=+， 则有(4)()f x f x +=-，即(8)(4)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数； 据此分析选项：对于A ，函数()f x 的图象关于直线2x =对称，A 错误； 对于B ，()f x 是定义城为R 的奇函数，则(0)0f =，又由函数()f x 的图象关于直线2x =对称，则f （4）0=，B 正确对于C ，函数()f x 是周期为8的周期函数，即(8)()f x f x +=，C 正确； 对于D ，若(5)1f -=-，则(2019)(52024)(5)1f f f =-+=-=-，D 正确； 故选：BCD ．。

高中函数试题及答案解析

高中函数试题及答案解析

高中函数试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C解析：函数f(x)=x^2-4x+3的判别式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4×1×3=4>0，因此函数有两个不同的实根，即零点个数为2个。

2. 函数f(x)=x^3-3x+1的单调递增区间为（）A. (-∞, +∞)B. (-∞, 1)C. (1, +∞)D. (-∞, 1)∪(1, +∞)答案：C解析：函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)>0，解得x>1或x<-1。

由于题目要求单调递增区间，因此选择(1, +∞)。

3. 函数f(x)=2^x-1/2^x的值域为（）A. (-∞, +∞)B. (-∞, 1)C. (0, +∞)D. [1, +∞)答案：D解析：函数f(x)=2^x-1/2^x，令t=2^x>0，则f(x)=t-1/t。

由于t>0，根据基本不等式，有t-1/t≥2√(t*1/t)-1=1，当且仅当t=1时取等号。

因此，函数的值域为[1, +∞)。

二、填空题4. 函数f(x)=x^2-6x+8的对称轴方程为______。

答案：x=3解析：函数f(x)=x^2-6x+8的对称轴方程为x=-b/2a=-(-6)/2×1=3。

5. 函数f(x)=x^3+1的反函数为______。

答案：f^(-1)(x)=∛(x-1)解析：设y=x^3+1，则x^3=y-1，解得x=∛(y-1)。

因此，函数f(x)=x^3+1的反函数为f^(-1)(x)=∛(x-1)。

三、解答题6. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的最小值。

答案：首先，将函数f(x)=x^2-4x+3进行配方，得到f(x)=(x-2)^2-1。

由于(x-2)^2≥0，因此f(x)≥-1。

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1 / 23专题04 函数（3）学校:_________ 姓名：_________ 班级：_________ 考号：_________多项选择题（请将答案填写在各试题的答题区内）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 301．（2019秋•胶州市期末）已知函数22,(,0)(),(0,1)43,[1,)x x f x lnx x x x x -⎧∈-∞⎪=∈⎨⎪-+-∈+∞⎩，若函数()()g x f x m =-恰有2个零点，则实数m 可以是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．22．（2019秋•三明期末）已知函数23,0()1,0x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩…方程|()1|2()f x m m R -=-∈，则下列判断正确的是()A ．函数()f x 的图象关于直线32x =对称 B ．函数()f x 在区间(3,)+∞上单调递增C ．当(1,2)m ∈时，方程有2个不同的实数根D ．当(1,0)m ∈-时，方程有3个不同的实数根3．（2019秋•厦门期末）如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：2)m 与时间t （单位：月）的关系式为(t y ka k R =∈，且0k ≠；0a >，且1)a ≠．则下列说法正确的是( )2 / 23A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过230mC ．浮萍面积从22m 蔓延到264m 只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t += 4．（2019秋•佛山期末）已知函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧++=⎨-++<⎩…，则下列判断正确的是( )A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ，2x R ∈，则有1212()[()()]0x x f x f x --„C ．对任意x R ∈，则有()()2f x f x +-=D ．若函数|()|y f x mx =-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是(--∞，0)(4⋃，)+∞5．（2019秋•枣庄期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：)h 表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：)km 表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．设24u x x =++，24v x x =+-，则( )A ．函数()v f u =为减函数3 / 23B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h6．（2019秋•菏泽期末）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，1)a ≠，则( ) A ．函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- B ．函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称 C ．函数()()f x g x +在定义域上有最小值0 D ．函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数7．（2019秋•日照期末）已知函数22,0(),0x a x f x x ax x +<⎧=⎨-⎩…，若关于x 的方程(())0f f x =有8个不同的实根，则a的值可能为( ) A ．6-B ．8C ．9D ．128．（2019秋•潍坊期末）已知函数2()2f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是( ) A ．1a <B ．若120x x ≠，则12112x x a+=C ．(1)f f -=（3）D ．函数有(||)y f x =四个零点9．（2019秋•鼓楼区校级期末）设a 为实数，则直线y a =和函数41y x =+的图象的公共点个数可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．310．（2018秋•葫芦岛期末）函数3()32f x x x =+-的一个正零点所在的区间不可能是( ) A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)11．（2019秋•临高县校级期中）已知22,(1)(),(12)2,(2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩„…，若()1f x =，则x 的值是( )A ．1-B ．12C．D ．112．（2019秋•黄岛区期中）狄利克雷函数()f x 满足：当x 取有理数时，()1f x =；当x 取无理数时，()0f x =．则下列选项成立的是( )4 / 23A ．()0f x …B ．()1f x „C ．3()0f x x -=有1个实数根D ．3()0f x x -=有2个实数根13．（2019秋•青岛期中）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．1-14．（2019春•烟台期末）已知函数21()xx x f x e +-=，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 存在两个不同的零点B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[x t ∈，)+∞时，25()max f x e =，则t 的最小值为2 15．（2019春•烟台期末）对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[m ，]n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[m ，]n 上是单调的：②当定义域是[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ，则称[m ，]n 为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是( ) A ．3()f x x =B ．2()3f x x=-C ．()1x f x e =-D ．()2f x lnx =+16．（2019秋•新洲区期末）已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩„，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是( ) A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．123401x x x x <<17．（2019秋•洞口县月考）定义在R 上函数()f x 对任意两个不相等的实数1x ，2x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，以下函数中“Z 函数”的是( )A ．21y x =-+B ．32sin 2cos y x x x =--C ．||,00,0ln x x y x ≠⎧=⎨=⎩D ．224,0,0x x x y x x x ⎧+=⎨-+<⎩…18．（2019秋•思明区校级期中）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩„，下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点个数的4个判断，其中正确的是( ) A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点5 / 23C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点19．（2019秋•菏泽期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：2)m 与时间t （单位：月）的关系满足t y a =，则下列说法正确的是( )A ．蓝藻面积每个月的增长率为100%B ．蓝藻每个月增加的面积都相等C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD ．若蓝藻面积蔓延到22m ，23m ，26m 所经过的时间分别是1t ，2t ，3t ，则一定有123t t t +=20．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数2||,0,(),0lnx x f x x mx x >⎧=⎨-+⎩…和()(g x a a R =∈且为常数），则下列结论正确的是( )A ．当4a =时，存在实数m ，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不同的实数根B ．存在[3m ∈，4]，使得关于x 的方程()()f x g x =有三个不同的实数根：C ．当0x >时，若函数2())()()h x f x bf x c =++恰有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，则1231x x x =D ．当4m =-时，且关于x 的方程()()f x g x =有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，41234()x x x x x <<<，若()f x 在234[,]x x 上的最大值为4ln ，则1234221x x x x +++=6 / 23专题04 函数（3）（答案解析版）多项选择题1．（2019秋•胶州市期末）已知函数22,(,0)(),(0,1)43,[1,)x x f x lnx x x x x -⎧∈-∞⎪=∈⎨⎪-+-∈+∞⎩，若函数()()g x f x m =-恰有2个零点，则实数m 可以是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【分析】画出函数()f x 的图象，进而得出结论． 【解答】解：画出函数()f x 的图象， [1x ∈，)+∞时，2()(2)1f x x =--+．若函数()()g x f x m =-恰有2个零点， 则实数1m =，或0m „． 因此m 可以为1-，0，1． 故选：ABC ．2．（2019秋•三明期末）已知函数23,0()1,0x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩…方程|()1|2()f x m m R -=-∈，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线32x =对称 B ．函数()f x 在区间(3,)+∞上单调递增7 / 23C ．当(1,2)m ∈时，方程有2个不同的实数根D ．当(1,0)m ∈-时，方程有3个不同的实数根【分析】先画出函数()f x 的大致图象，即可判断A ，B 选项的正误，再画出函数|()1|y f x =-的大致图象，把方程|()1|2f x m -=-根的个数转化为函数2y m =-与函数|()1|y f x =-的图象交点个即可判断． 【解答】解：函数()f x 的大致图象如图所示：显然函数()f x 的图象不关于直线32x =对称，故选项A 错误， 有图象可知函数()f x 在区间(3,)+∞上单调递增，故选项B 正确， 函数|()1|y f x =-的大致图象如图所示：当(1.2)m ∈时，021m <-<，此时函数2y m =-与函数|()1|y f x =-的图象有2个交点，∴方程|()1|2f x m -=-有2个不同的实数根，故选项C 正确，当(1,0)m ∈-时，223m <-<，此时函数2y m =-与函数|()1|y f x =-的图象有4个交点，∴方程|()1|2f x m -=-有4个不同的实数根，故选项D 错误，故选：BC ．3．（2019秋•厦门期末）如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：2)m 与时间t （单位：月）的关系式为(t y ka k R =∈，8 / 23且0k ≠；0a >，且1)a ≠．则下列说法正确的是( )A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过230mC ．浮萍面积从22m 蔓延到264m 只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t += 【分析】函数关系式：11222t t y -=⨯=，即可判断．【解答】解：由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，代入函数关系式：(t y ka k R =∈，且0k ≠；0a >，且1)a ≠，得：314ka ka =⎧⎨=⎩，解得：122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴函数关系式：11222t t y -=⨯=，Q 函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A 错误，当6x =时，5232y ==，浮萍的面积超过了230m ，故选项B 正确，令2y =得：2t =；令64y =得：7t =，所以浮萍面积从22m 增加到264m 需要5个月，故选项C 正确， 令4y =得：13t =；令6y =得：22log 12t =；令9y =得：32log 18t =，122233log 12log 96t t t ∴+=+=≠，故选项D 错误， 故选：BC ．9 / 234．（2019秋•佛山期末）已知函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧++=⎨-++<⎩…，则下列判断正确的是( )A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ，2x R ∈，则有1212()[()()]0x x f x f x --„C ．对任意x R ∈，则有()()2f x f x +-=D ．若函数|()|y f x mx =-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是(--∞，0)(4⋃，)+∞ 【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧++=⎨-++<⎩…，当0x =时，(0)1f =，不满足奇函数的定义，故A 错误；对于B ，函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧++=⎨-++<⎩…，易得()f x 为增函数，必有1212()[()()]0x x f x f x --…，故B 错误；对于C ，函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧++=⎨-++<⎩…，当0x =时，(0)(0)1f f -==，符合()()2f x f x +-=，当0x >时，2()21f x x x =++，2()21f x x x -=--+，有()()2f x f x +-=； 当0x <时，2()21f x x x =-++，2()21f x x x -=-++，有()()2f x f x +-=； 综合可得：()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D ，函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧++=⎨-++<⎩…，则|()|y f x =的图象如图：若函数|()|y f x mx =-有两个不同的零点，则函数|()|y f x =的图象与y mx =有两个交点， 必有0m <或4m >，即m 的取值范围为：(-∞，0)(4⋃，)+∞，D 正确； 故选：CD ．10 / 235．（2019秋•枣庄期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：)h 表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：)km 表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．设24u x x =++，24v x x =+-，则( )A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 【分析】由题意可知，∴4v u=，是减函数，故选项A 正确，又：24125x xt +-=+，012x 剟，化简即可得到15436t u v --，故选项B 错误，利用导数可得当32x =时，()t x 最小，且最短时间为4415h ，故选项C 正确，当4x =时，25835t =>，故选项D 错误． 【解答】解：Q 24u x x =+，24v x x =+，∴22(4)(4)4uv x x x x =++=，11 / 23∴4v u=，是减函数，故选项A 正确，由题意可知：125xt -=+，012x 剟，∴153(12)336)4)36436t x x x x u v =-=+=++=+-， 15436t u v ∴--，故选项B 错误，Q 125x t -=+，012x 剟，∴1135t '=-=， 令0t '=得，32x =， 当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0t '<，()t x 单调递减；当3(,12)2x ∈时，0t '>，()t x 单调递增，∴当32x =时，()t x 最小，且最短时间为4415h ，故选项C 正确， 当4x =时，835t =+>，故选项D 错误， 故选：AC ．6．（2019秋•菏泽期末）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，1)a ≠，则( ) A ．函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- B ．函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称 C ．函数()()f x g x +在定义域上有最小值0 D ．函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数【分析】对每个选项利用函数的图象和性质逐个分析，即可得到答案． 【解答】解：()()log (1)log (1)a a f x g x x x +=++- 所以1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-，故A 正确， ()()log (1)log (1)a a f x g x x x -+-=-+++，所以()()()()f x g x f x g x +=-+-，12 / 23所以函数()()f x g x + 是偶函数，图象关于y 轴对称，故B 正确，2()()log (1)log (1)log (1)(1)log (1)a a a a f x g x x x x x x +=++-=+-=-+ 令21t x =-+，则log a y t =，在(1,0)x ∈-上，21t x =-+单调递增， 在(0,1)x ∈上，21t x =-+单调递减， 当1a >时，log a y t =单调递增，所以在(1,0)x ∈-上，()()f x g x +单调递增， 在(0,1)x ∈上，()()f x g x +单调递减， 所以函数()()f x g x +没有最小值， 当01a <<时，log a y t =单调递减， 所以在(1,0)x ∈-上，()()f x g x +单调递减， 在(0,1)x ∈上，()()f x g x +单调递增，所以函数()()f x g x +有最小值为(0)(0)0f g +=，故C 错． 12()()log (1)log (1)log log (1)11a a aa x f x g x x x x x+-=+--==-+-- 令211t x=-+-，log a y t = 在(1,1)x ∈-上，211t x=-+-单调递增， 当1a >时，()()f x g x +在(1,1)-单调递增，当01a <<时，()()f x g x +在(1,1)-单调递减，故D 错． 故选：AB ．7．（2019秋•日照期末）已知函数22,0(),0x a x f x x ax x +<⎧=⎨-⎩…，若关于x 的方程(())0f f x =有8个不同的实根，则a的值可能为( ) A ．6-B ．8C ．9D ．12【分析】结合题意可先对a 进行分类：分0a „及0a >两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解． 【解答】解：由题意可得0a „时，显然不成立；13 / 23当0a >时，令()f x t =，则由()0f t =得，12t a =-，20t =，3t a =， 又方程(())0f f x =有8个不同的实根， 由题意结合可得，即20224a a a a a ⎧⎪>⎪⎪<⎨⎪⎪->-⎪⎩，解得8a >，故选：CD ．8．（2019秋•潍坊期末）已知函数2()2f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是( ) A ．1a <B ．若120x x ≠，则12112x x a+=C ．(1)f f -=（3）D ．函数有(||)y f x =四个零点【分析】根据题意，分析可得方程220x x a -+=有两个不同的根，为1x ，2x ，据此分析选项即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数2()2f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，即方程220x x a -+=有两个不同的根，为1x ，2x ， 据此分析选项：对于A ，若方程220x x a -+=有两个不同的根，则有2(2)40a -->，解可得1a <，故A 正确； 对于B ，程220x x a -+=有两个不同的根，为1x ，2x ，则有122x x +=，12x x a =，则121212112x x x x x x a++==，B 正确；对于C ，函数2()2f x x x a =-+，其对称轴为1x =，则有(1)f f -=（3），故C 正确；14 / 23对于D ，当0a =时，2(||)2||y f x x x ==-，有3个零点，故D 错误； 故选：ABC ．9．（2019秋•鼓楼区校级期末）设a 为实数，则直线y a =和函数41y x =+的图象的公共点个数可以是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】利用函数的奇偶性，画出图象，然后判断直线y a =和函数41y x =+的图象的公共点个数． 【解答】解：41y x =+是偶函数，且在[0，)+∞ 上递增， 画出草图，可知y a =与该函数的交点个数可能为 0，1，2， 故选：ABC ．10．（2018秋•葫芦岛期末）函数3()32f x x x =+-的一个正零点所在的区间不可能是( ) A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)【分析】令5()1f x x x =--，判断函数的零点的方法是若f （a ）f g （b ）0<，则零点在(,)a b ，进而把0x =，1，2，3，4代入可知f （1）0<，f （2）0>进而推断出函数的零点存在的区间． 【解答】解：函数3()32f x x x =+-，把0x =，1，2，3，4代入， 若f （a ）f g （b ）0<，则零点在(,)a b ，(0)20f =-<，f （1）20=>， f （2）120=>， f （3）340=>， f （4）760=>，所以(0)0f <，f （1）0>，15 / 23所以函数的零点在(0,1)， 故选：ABC ．11．（2019秋•临高县校级期中）已知22,(1)(),(12)2,(2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩„…，若()1f x =，则x 的值是( )A ．1-B ．12C．D ．1【分析】根据题意，由函数的解析式按x 的范围分3种情况讨论，求出x 的值，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，22,(1)(),(12)2,(2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩„…，若()1f x =，分3种情况讨论：①，当1x -„时，()21f x x =+=，解可得1x =-； ②，当12x -<<时，2()1f x x ==，解可得1x =±， 又由12x -<<，则1x =；③，当2x …时，()21f x x ==，解可得12x =，舍去 综合可得：1x =或1-； 故选：AD ．12．（2019秋•黄岛区期中）狄利克雷函数()f x 满足：当x 取有理数时，()1f x =；当x 取无理数时，()0f x =．则下列选项成立的是( ) A ．()0f x …B ．()1f x „C ．3()0f x x -=有1个实数根D ．3()0f x x -=有2个实数根【分析】根据狄利克雷函数的定义，逐项判断即可．【解答】解：依题意，对于A 选项，狄利克雷函数()f x 只有0，1两个函数值，且均满足()0f x …，故A 成立；对于B 选项，狄利克雷函数()f x 只有0，1两个函数值，均满足()1f x „，故B 成立； 对于C ，D 选项，3()0f x x -=， ①当x 为无理数时，30x =无解；16 / 23②当x 为有理数时，有一个实根1x =， 故C 成立，D 不成立； 故选：ABC ．13．（2019秋•青岛期中）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．1-【分析】数形结合考查两个函数的图象只有一个交点，因为两函数图象都过原点，则求函数()1x f x e =-过原点的切线．【解答】解：函数()1x f x e =-的导数为 ()x f x e '=； 所以过原点的切线的斜率为1k =； 则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a …时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点； 故选：BCD ．14．（2019春•烟台期末）已知函数21()xx x f x e +-=，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 存在两个不同的零点B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[x t ∈，)+∞时，25()max f x e =，则t 的最小值为2 【分析】作出函数21()xx x f x e +-=的图象即可得到结论．【解答】解：22()xx x f x e -++'=，令()0f x '=，解得1x =-或2x =，当1x <-或2x >时，()0f x '<，故函数()f x 在(,1)-∞-，(2,)+∞上单调递减，当12x -<<时，()0f x '>，故函数在(1,2)-上单调递增，且函数()f x 有极小值(1)f e -=-，有极大值25(2)f e =，当x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()0f x →， 故作函数草图如下，17 / 23由图可知，选项ABC 正确，选项D 错误． 故选：ABC ．15．（2019春•烟台期末）对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[m ，]n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[m ，]n 上是单调的：②当定义域是[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ，则称[m ，]n 为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是( ) A ．3()f x x =B ．2()3f x x=-C ．()1x f x e =-D ．()2f x lnx =+【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足()f x x =至少有两个解，逐项判断即可． 【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足()f x x =至少有两个解，对于A 选项，函数3()f x x =在定义域R 上单调递增，且3x x =有解1-，0，1，满足条件，故正确； 对于B 选项，函数2()3f x x =-在(0,)+∞上单调递增，且23x x-=有解1，2，满足条件，故正确； 对于C 选项，函数()1x f x e =-在定义域上单调递增，但1x e x -=只有一个解0，不满足条件，故错误； 对于D 选项，函数()2f x lnx =+在(0,)+∞上单调递增，显然函数()2f x lnx =+与函数y x =在(0,)+∞上有两个交点，即2lnx x +=有两个解，满足条件，故正确． 故选：ABD ．16．（2019秋•新洲区期末）已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩…，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是( ) A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．123401x x x x <<【分析】作出函数的图象分析出122x x +=-，121x -<<-，341x x =；再对答案进行分析．18 / 23【解答】解：由函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩„，作出其函数图象：由图可知，122x x +=-，121x -<<-； 当1y =时，2|log |1x =，有1,22x =；所以341122x x <<<<； 由34()()f x f x =有2324|log ||log |x x =，即2324log log 0x x +=； 所以341x x =；则2123412111(2)(1)1(0,1)x x x x x x x x x ==--=-++∈； 故选：BCD ．17．（2019秋•洞口县月考）定义在R 上函数()f x 对任意两个不相等的实数1x ，2x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，以下函数中“Z 函数”的是( )A ．21y x =-+B ．32sin 2cos y x x x =--C ．||,00,0ln x x y x ≠⎧=⎨=⎩D ．224,0,0x x x y x x x ⎧+=⎨-+<⎩…【分析】由题意，“Z 函数”单调递增，由常见函数的性质及多项选择的特征即可求解． 【解答】解：11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+Q ， 112221[()()][()()]0x f x f x x f x f x ∴-+->，2121()[()()]0x x f x f x ∴-->，故Z 函数单调递增，显然，选项A 、C 不符合，∴由多选特征知B 、D 正确， 故选：BD ．19 / 2318．（2019秋•思明区校级期中）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩…，下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点个数的4个判断，其中正确的是( ) A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【分析】由0y =得[()]1f f x =-，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由[()]10y f f x =+=，得[()]1f f x =-， 设()f x t =，则方程[()]1f f x =-等价为()1f t =-， ①若0k >，作出函数()f x 的图象如图： ()1f t =-Q ，∴此时方程()1f t =-有两个根其中20t <，101t <<， 由2()f x t =，0<，知此时x 有两解， 由1()(0,1)f x t =∈知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数[()]1y f f x =+有4个零点． ②若0k <，作出函数()f x 的图象如图： ()1f t =-Q ，∴此时方程()1f t =-有一个根1t ，其中101t <<， 由1()(0,1)f x t =∈知此时x 只有1个解， 即函数[()]1y f f x =+有1个零点． 故选：CD ．19．（2019秋•菏泽期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：2)m 与时间t （单位：月）的关系满足t y a =，20 / 23则下列说法正确的是( )A ．蓝藻面积每个月的增长率为100%B ．蓝藻每个月增加的面积都相等C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD ．若蓝藻面积蔓延到22m ，23m ，26m 所经过的时间分别是1t ，2t ，3t ，则一定有123t t t += 【分析】由函数t y a =图象经过(1,2)可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可． 【解答】解：由图可知，函数t y a =图象经过(1,2)，即12a =，则2a =，2t y ∴=；1222t t t +∴-=不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，A 对、B 错； 当6t =时，626460y ==>，C 对；若蓝藻面积蔓延到22m ，23m ，26m 所经过的时间分别是1t ，2t ，3t ，则31222,23,26t t t ===，1212222236t t t t +==⨯=g ，则123t t t +=，D 对；故选：ACD ．20．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数2||,0,(),0lnx x f x x mx x >⎧=⎨-+⎩…和()(g x a a R =∈且为常数），则下列结论正确的是( )A ．当4a =时，存在实数m ，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不同的实数根B ．存在[3m ∈，4]，使得关于x 的方程()()f x g x =有三个不同的实数根：21 / 23C ．当0x >时，若函数2())()()h x f x bf x c =++恰有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，则1231x x x =D ．当4m =-时，且关于x 的方程()()f x g x =有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，41234()x x x x x <<<，若()f x 在234[,]x x 上的最大值为4ln ，则1234221x x x x +++=【分析】分0m …和0m < 两种情况讨论，利用数形结合思想可判断出A 、B 选项的正误；设()t f x =，利用复合函数的零点可判断C 选项的正误；求出3x ，4x 的值，结合对称性可判断出D 选项的正误． 【解答】解：若0m …，则函数2()f x x mx =-+ 在区间(-∞，0]上单调递增， 且当0x „时，()(0)0f x f =„，如下图所示：如上图可知，此时关于x 的方程()()f x g x = 根的个数不大于2，B 选项不合乎题意；若0m <，且当0x „ 时，函数2()f x x mx =-+在区间(,]2m -∞上单调递增，在[,0]2m上单调递减，此时2()()24maxm m f x f ==， 当4a = 时，若关于x 的方程()()f x g x =有四个不同的实数根，则244m >，解得4m <-，A 选项正确； 设()t f x =，由2()()()0h x f x bf x c =++=，得20t bt c ++=，22 / 23当0x > 时，()||0t f x lnx ==…，设关于t 的一元二次方程20t bt c ++= 的两根分别为1t ，212()t t t >， 由于函数()y h x = 有三个零点，则10t >，20t =，设123x x x <<， 由22||0t lnx ==，得21x =，由图象可知，1301x x <<<， 由113||||t lnx lnx ==，则13lnx lnx -=，即131x x =，C 选项正确； 当4m =-时，若0x „，22()4(2)4f x x x x =--=-++，此时，函数()y g x =与函数()y f x = 在区间(-∞，0]上的两个交点关于直线2x =-对称，则124x x +=-． 如下图所示，当0x > 时，函数()y g x =与函数()y f x = 的两个交点的横坐标3x ，4x 满足3401x x <<<，且有34||||a lnx lnx ==，04a <<，则34a lnx lnx =-=，所以34,a a x e x e -==，由图象可知，函数()||f x lnx =在23[,1]x 上单调递减，在[1，4]x 上单调增， 所以2234()()2,()()a a f x f e a f x f e a -====，23 / 23所以2422a ln ln ==，则2a ln =，22341,22ln ln x e x e -====，所以1234221x x x x +++=，D 选项正确． 故选：ACD ．。

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