中国矿业大学高数模拟试卷
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中国矿业大学2009—2010高等数学期末
姓名： 班级： 学号：
一、填空：（每小题4分，总16分） 1．极限2
2
23lim
3
2
--+→x x x = . 2．()=+→x
x x sin 30
21lim .
3．函数2
x y =在3=x 处的微分为. ；
4．cos sin cos sin x x dx x x
-+⎰= .
二、选择：（每小题4分，总16分）
1．判断下列变量在给定的变化过程中哪些不是无穷小量？ ( )
A ．13--x ()0→x ；
B ．x
x sin ()∞→x ；
C ．
1
253
2+-x x x ()∞→x D.
⎪⎭
⎫
⎝⎛++x x x 1sin 212 ()0→x ； 2．2
sin
1
1
2
)(x
x arctg x x f ππ
-⋅=
的间断点类型是（ ）
（A ）可去； （B ）跳跃； （C ）无穷； （D ）A 、B 、C 都有.
3．对于不定积分⎰dx x f )(，在下列等式中正确的是 . （A ）)(])([x f dx x f d =⎰； （B ）)()(x f x df =⎰；
（C ）)()(x f dx x f ='⎰； （D ）
)()(x f dx x f dx
d =⎰.
4．()x
x x x x
x 1
sin lim 1lim 10∞
→-→++等于 A.e B.1-e C.1+e D.11+-e
三、 计算下列极限：（每小题5分，总20分）
1. x x x 5sin 2sin lim 0→; 2．求x x x tan 01lim ⎪
⎭
⎫
⎝⎛+→. 3．2
5435lim 23231-+-+-+→x x x x x x x 4．求x x x
x x sin tan lim 20-→. 四、求函数)]ln[ln(ln x y =的导数.（4分） 五、计算下列积分：（每小题5分，总20分）
1．⎰-dx x
x 2
)2
sin 2
(cos 2．⎰
dx e x x 3
3． 求dx
x x
⎰ln 2
. 4.⎰dx e
x
六、已知)(x f 的一个原函数为x x ln )sin 1(+,求⎰dx x xf )(' （本题8分）
七、求曲线x y ln =在[2，6]内的一条切线，使得该切线与直线
6,2==x x 和曲线x y ln =所围成的面积最小。（本题8分）
高等数学复习资料
八、证明不等式： （本题8分） 0,1)1ln(≥+≥+x x
arctgx
x ；
答案：
一、填空：（每小题4分，总16分） 1．极限22
23lim
3
2
--+→x x x = 4
1
.
2．()=+→x
x x sin 30
21lim 6e .
3．函数2
x y =在3=x 处的微分为. x dy ∆=6；
4．cos sin cos sin x x dx x x
-+⎰ ln |sin cos |x x c =++.
二、选择：（每小题4分，总16分）
1．判断下列变量在给定的变化过程中哪些不是无穷小量？ ( C )
A ．13--x ()0→x ；
B ．x
x sin ()∞→x ；
C ．
1
253
2+-x x x ()∞→x D.
⎪⎭
⎫
⎝⎛++x x x 1sin 212 ()0→x ； 2．2
sin
1
1
2
)(x
x arctg x x f ππ
-⋅=
的间断点类型是（ D ）
（A ）可去； （B ）跳跃； （C ）无穷； （D ）A 、B 、C 都有.
3．对于不定积分⎰dx x f )(，在下列等式中正确的是 D . （A ）)(])([x f dx x f d =⎰； （B ）)()(x f x df =⎰； （C ）)()(x f dx x f ='⎰； （D ）
)()(x f dx x f dx
d =⎰.
4．()x
x x x x
x 1
sin
lim 1lim 10
∞
→-
→++等于 D A.e B.1-e C.1+e D.11+-e
高等数学复习资料
三、 计算下列极限：（每小题5分，总20分）
1. x
x
x 5sin 2sin lim 0
→ 解
：
1. 原式
=5
2
525sin 522sin lim 5sin 55222sin lim 55225sin 2sin lim 00
0==⋅⋅=⋅⋅→→→x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x
2．求x
x x tan 01lim ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+→.
解 这是0∞型未定式，
x
x x tan 01lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+→x x x e ln tan 0
lim -+→=x
x
x e
cot ln lim
0+→-=x
x x e
21
0csc lim
---+→=x x x e
20sin lim
+→=x
x x e
cos sin 2lim 0
+→=10==e .
3．2
543
5lim 23231-+-+-+→x x x x x x x 解：48
62
6lim 583523lim 25435lim
122123231-=-+=---+=-+-+-+→→→x x x x x x x x x x x x x x x 4．求x
x x
x x sin tan lim 2
-→. 解 x x x x x sin tan lim 20-→3
0tan lim
x x
x x -=→22031sec lim x x x -=→ x x x x 6tan sec 2lim 20→=x x x x x tan lim sec lim 31020→→=3
1
=. 四、求函数)]ln[ln(ln x y =的导数：（4分） 解：x
x x y 1
ln 1)ln(ln 1'=
五、计算下列积分：（每小题5分，总20分）
1．⎰-dx x
x 2
)2
sin 2
(cos
解：⎰-dx x x 2
)2
sin 2
(cos =dx x
x x x )2
cos 2sin 22cos 2(sin 22
⎰-+ =dx x ⎰-)sin 1(=c x x ++cos 2．⎰dx e x
x
3
解：⎰
dx e x
x 3 ＝⎰
dx e x
)
3(＝
c e e x
x +)3ln(3＝c e x x ++3
ln 13