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长沙市中考数学压轴题(含答案)

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2023长沙中考数学压轴题

2023长沙中考数学压轴题

2023长沙中考数学压轴题2023年长沙市中考即将来临，对于即将参加考试的学生来说，数学考试一直是其中最具挑战性和重要性的科目之一。

为了更好地帮助同学们备考，我们为大家精心准备了一道长沙中考数学压轴题，希望能够帮助同学们提升解题能力和应试水平。

题目：计算函数f(x) = x^2 + 2x - 3在x = 4和x = -5处的函数值。

解题思路：为了求解函数在x = 4和x = -5处的函数值，我们需要先计算出函数在这两个点上的x值。

然后将这些x值带入函数中，即可得出所需的函数值。

下面是具体的解题步骤：Step 1: 计算函数在x = 4处的函数值将x = 4代入函数f(x)中得到：f(4) = 4^2 + 2 * 4 - 3 = 16 + 8 - 3 = 21所以函数在x = 4处的函数值为21。

Step 2: 计算函数在x = -5处的函数值将x = -5代入函数f(x)中得到：f(-5) = (-5)^2 + 2 * (-5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12所以函数在x = -5处的函数值为12。

综上所述，函数f(x) = x^2 + 2x - 3在x = 4处的函数值为21，在x = -5处的函数值为12。

通过解答这道数学压轴题，我们可以看出，在求解函数值的过程中，我们只需要将给定的x值带入函数中，然后按照运算顺序进行计算即可得出结果。

同时，这道题目也提醒我们，在考试中遇到类似的计算题目时，我们可以先将给定的数值代入公式，再进行运算，这样可以更加高效地解题，避免出错。

希望大家能够通过这道数学压轴题，加深对函数值的理解和计算能力，为2023长沙中考做好准备。

预祝同学们取得优异的成绩！。

2019年湖南省中考数学真题精选分类汇编：压轴题(含答案解析)

2019年湖南省中考数学真题精选分类汇编：压轴题(含答案解析)

2019年湖南省各市中考数学真题精选汇编压轴题：1-16页2019年湖南省各市中考数学真题精选压轴题剖析：17-79页一．选择题（共10小题）1．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10 2．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1B．2C．3D．4 3．（2019•衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．4．（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1 5．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．（2019•株洲）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10B．6C．5D．4 7．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c 的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1 8．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．9．（2019•常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8 10．（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF 的边长是（）A．B．2C．D．4二．填空题（共10小题）11．（2019•长沙）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是．（只填序号）12．（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝．13．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．14．（2019•娄底）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．15．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．16．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．17．（2019•岳阳）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．18．（2019•邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是．19．（2019•常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）20．（2019•郴州）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．三．解答题（共19小题）21．（2019•长沙）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．22．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B 三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．23．（2019•永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？24．（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．25．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2019•衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．27．（2019•娄底）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．28．（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．29．（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．30．（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5，CD ＝5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．（1）求∠CAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．31．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．32．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．33．（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF 上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）34．（2019•邵阳）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线P A，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．35．（2019•邵阳）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．36．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．37．（2019•常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC 交AC于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．38．（2019•郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．39．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．2019年湖南省中考数学真题精选分类汇编：压轴题（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CD+BD＝CM＝4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m＝2，0，﹣1，得出整数解的个数，即可求解．【解答】解：解不等式2x﹣6+m＜0，得：x＜，解不等式4x﹣m＞0，得：x＞，∵不等式组有解，∴＜，解得m＜4，如果m＝2，则不等式组的解集为＜x＜2，整数解为x＝1，有1个；如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；如果m＝﹣1，则不等式组的解集为﹣＜x＜，整数解为x＝0，1，2，3，有4个．故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（2019•衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝AC，DE＝BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．4．（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．5．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．6．（2019•株洲）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10B．6C．5D．4【分析】找出a i+b i的值，结合对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a i，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，即可得出S的最大值．【解答】解：∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，∴S的最大值为5．故选：C．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，找出a i+b i共有几个不同的值是解题的关键．7．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c 的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y＜0，据此得，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．8．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组．【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则所列方程组为，故选：D．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．9．（2019•常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．10．（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF 的边长是（）A．B．2C．D．4【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可．【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，即（6+x）2+（x+4）2＝102，整理得，x2+10x﹣24＝0，解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），∴x＝2，即正方形ADOF的边长是2；故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2019•长沙）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是①③④．（只填序号）【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y＝﹣x++，∴C（m+n，0），D（0，），∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝（n﹣m），OM＝，∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，1+k2＝m2+，∵m＞0，k＞0，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2，∴k＝2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．∵OF∥MK，∴＝＝，∴＝，∵OA＝OB，∴＝，∴＝，∵KM∥OD，∴＝＝2，∴DM＝2AM，故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝105；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝315．【分析】（1）根据图形中的规律即可求出（1+x）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和；（2）根据x的特殊值代入要解答，即把x＝1代入时，得到结论．【解答】解：（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，（a+b）2的第三项的系数为：1，（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，…∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴s＝1，则a2＝1+2+3+…+14＝105．故答案为：105；（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．当x＝1时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，故答案为：315．【点评】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b 的指数是从低到高．13．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，。

24湖南中考数学压轴题

24湖南中考数学压轴题

24湖南中考数学压轴题以下是根据2024年湖南中考数学可能考察的知识点和难度水平，原创设计的8道压轴选择题。

每道题都包含了题目描述、选项、答案以及解析。

一、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(4,6)，若点C在直线AB上，且AC的长度是AB长度的三分之一，则点C的坐标可能为：A. (2,3)B. (3,4)C. (2,5)D. (3,5)（答案）B解析：首先计算AB的长度，使用距离公式得到AB=√[(4-1)²+(6-2)²]=5。

然后，根据题意，AC=AB/3=5/3。

设点C的坐标为(x,y)，由于C在AB上，可以根据A、B的坐标求出直线AB 的方程，再联立AC的长度公式，解出x和y的值。

经过计算，可以得到点C的坐标为(2,3)或(3,4)，但考虑到C可能在A和B之间，也可能在B的延长线上，结合题意和选项，只有(3,4)满足条件。

二、若关于x的一元二次方程x²+2(m-1)x+m²-1=0有两个相等的实数根，则m的值为：A. 0B. 1C. 2D. -1（答案）B解析：一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。

将方程的系数代入判别式，得到[2(m-1)]²-4(m²-1)=0，化简后得到m=1。

三、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在边AD上，且AE=2，点F在边BC上，连接EF，将△AEF沿EF翻折，使得点A落在点G处，连接GF，若GF⊥BC，则GF的长度为：A. 4B. 5C. 6D. 8（答案）C解析：由于GF⊥BC，且ABCD是矩形，所以GF∥AB。

设GF与EF交于点H，由于△AEF翻折得到△GEF，所以AE=GE=2，且∠AEF=∠GEF。

又因为AD∥BC，所以∠AEF=∠EFC。

由此可以得到∠GEF=∠EFC，所以GF=GE=2。

再根据相似三角形的性质，可以得到GF/AB=FC/ED，设FC=x，则ED=8-x，代入得到GF/6=x/(8-x)，解得x=4，所以GF=2+4=6。

2023年长沙中考数学压轴题

2023年长沙中考数学压轴题

2023年长沙中考数学压轴题在2023年长沙中考数学压轴题中，考生需要运用数学知识和解题技巧，回答一系列与中学数学相关的问题。

这些问题涵盖了数学的各个领域，包括代数、几何、概率统计等等。

以下是我为您准备的一篇关于2023年长沙中考数学压轴题的详细分析。

题目一：代数方程的求解1. 某代数方程的解为x=3，求解该方程的另一组解。

2. 若方程x^2-5x+k=0的两个解互为倒数，求解该方程的解。

解析：1. 若某代数方程的解为x=3，则该方程可以表示为(x-3)(x-a)=0，其中a为另一组解。

根据零乘法则，当(x-3)(x-a)=0时，x-3=0或x-a=0。

解得a=3，因此该方程的另一组解为x=3。

2. 若方程x^2-5x+k=0的两个解互为倒数，则方程可以表示为x(x-1/ x)=0。

根据零乘法则，当x(x-1/ x)=0时，x=0或x-1/ x=0。

解得x=0或x^2=1。

因此，方程的解为x=0和x=1。

题目二：几何问题1. 已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，则∠BCA=？2. 已知平行四边形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，求对角线AC的长度。

解析：1. 根据△ABC中，AB=AC，可以得知∠ABC=∠ACB，根据三角形内角和定理，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

代入已知信息，40°+∠ABC+∠ABC=180°，解得∠ABC=70°。

因此，∠BCA=∠ABC=70°。

2. 平行四边形ABCD中，对角线AC将平行四边形分为两个全等三角形△ABC 和△ACD。

根据勾股定理，AC的平方等于AB的平方加上BC的平方，即AC^2=6^2+8^2=36+64=100。

因此，AC的长度为√100=10 cm。

题目三：概率统计1. 甲、乙、丙三个学生中，至少有一个是数学竞赛的冠军，已知甲的概率为1/2，乙的概率为2/5，丙的概率为3/4，求至少有一个学生是数学竞赛冠军的概率。

2024长沙中考数学压轴题

2024长沙中考数学压轴题

选择题在直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴对称的点的坐标是：A. (-3, -4)B. (3, -4)（正确答案）C. (-3, 4)D. (4, 3)已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则这个等腰三角形的周长为：A. 8B. 11C. 13（正确答案）D. 11或13函数y = -2x + 1与y = x2 - 3x的交点个数是：A. 0个B. 1个（正确答案）C. 2个D. 3个下列四边形中，不一定是平行四边形的是：A. 两组对边分别平行的四边形B. 两组对角分别相等的四边形C. 一组对边平行且相等的四边形D. 对角线互相平分的四边形中，仅有一组对边相等的四边形（正确答案）若a、b为实数，且满足a2 + b2 - 2a + 4b + 5 = 0，则(a + b)2024的值为：A. 1（正确答案）B. -1C. 0D. 22024设集合A = {x | x2 - 5x + 6 = 0}，B = {x | ax - 1 = 0}，若B是A的真子集，则a的值为：A. 0或1/2B. 0或1/3（正确答案）C. 1/2或1/3D. 1/2或-1/3在圆O中，弦AB与弦CD相交于点P，若AP = 2:3，CP = 2cm，DP = 12cm，则弦AB的长为：A. 10cmB. 15cm（正确答案）C. 20cmD. 25cm已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象经过点A(1,0)，B(3,0)，且顶点到x轴的距离为2，则这个二次函数的解析式为：A. y = x2 - 4x + 3B. y = -x2 + 4x - 3（正确答案）C. y = x2 - 4x + 5D. y = -x2 + 4x - 1正n边形的一个外角等于36°，则n的值为：A. 8B. 9C. 10（正确答案）D. 11。

湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（含答案解析）

湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（含答案解析）

湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（解析版）（地市排序不分先后）一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； 12S S S =34S S S =“十字形”ABCD 的周长为102．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．13．（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①12S S S =+；②34S S S =+；③“十字形”ABCD 的周长为1210．【学会思考】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出∠ADB +∠CAD=∠ABD +∠CAB ，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC ⊥BD ，再判断出四边形OMEN 是矩形，进而得出OE 2=2﹣14（AC 2+BD 2），即可得出结论；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ），求出S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣，S3=12OA×OD=﹣，S4=12OB×OC=﹣，进而建立方程+=+，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=310，进而求出c=﹣9，即可得出结论．【解】：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；②如图，当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=12AC，DN=12BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME ，OE 2=OM 2+ME 2，∴OE 2=OM 2+ON 2=2﹣14（AC 2+BD 2）， ∵6≤AC 2+BD 2≤7， ∴2﹣74≤OE 2≤2﹣32， ∴14≤OE 2≤12， ∴12（OE ＞0）；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ）， ∵a ＞0，c ＜0，∴OA=，OB=﹣c ，OC=，OD=﹣ac ，AC=，BD=﹣ac ﹣c ， ∴S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣， S 3=12OA ×OD=﹣，S 4=12OB ×OC=﹣，∵12S S S =+，34S S S =+，∴+=+， ∴4a =2，∴a=1，∴S=﹣c ∆，S 1=﹣，S 4=﹣， ∵12S S S =+，∴S=S 1+S 2+212S S ，∴﹣c ∆=﹣+2， ∴﹣=﹣c•c -， ∴=4c -∴b=0，∴A（﹣c，0），B（0，c），C（c ，0），d（0，﹣c），∴四边形ABCD是菱形，∴4AD=1210，∴AD=310，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【学会思考】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=12x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（43t，2 3t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=12•4•t﹣12•t•23t，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q（m，14m2﹣32m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO∽△COA，则|14m2﹣32m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|14m2﹣3 2m|=12|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．【解】：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x（x﹣6），即y=14x2﹣32x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=12 x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ， 解方程组得，则N （43t ，23t ）， ∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =12•4•t ﹣12•t•23t =﹣13t 2+2t =﹣13（t ﹣3）2+3， 当t=3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ）， ∵∠OPQ=∠ACO ，∴当=时，△PQO ∽△COA ，即=，∴PQ=2PO ，即|14m 2﹣32m |=2|m |， 解方程14m 2﹣32m=2m 得m 1=0（舍去），m 2=14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程14m 2﹣32m=﹣2m 得m 1=0（舍去），m 2=﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当=时，△PQO ∽△CAO ，即=， ∴PQ=12PO ，即|14m 2﹣32m |=12|m |， 解方程14m 2﹣32m=12m 得m 1=0（舍去），m 2=8（舍去）， 解方程14m 2﹣32m=﹣12m 得m 1=0（舍去），m 2=4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax 2﹣3+c （a ＞0）的图象抛物线与x 轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【学会思考】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．【解】：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣=﹣=3，解得：a=52；（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣53x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△＞0，∴△=b2﹣4ac=﹣4×15c，∴c＜54；（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°===3， ∴OB=33c ， ∴B （33c ，0）， 把B （33c ，0）代入y=ax 2﹣53x +c 中得：23ac -5333c +c=0， 23ac ﹣5c +c=0， ∵c ≠0，∴ac=12，∴c=， 把c=代入y=ax 2﹣53x +c 中得：y=a （x 2﹣+）=a （x ﹣）（x ﹣）， ∴x 1=，x 2=，∴A （，0），B （，0），D （0，）， ∴AB=﹣=，AE=， ∵F 的纵坐标为3+， ∴F （，），过点A 作AG ⊥DB 于G ，∴BG=12AB=AE=，AG=92a ， DG=DB ﹣BG=﹣=， ∵∠ADB=∠AFE ，∠AGD=∠FEA=90°，∴△ADG ∽△AFE ，∴，∴=，∴a=2，c=6，∴y=2x2﹣53x+6．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．【学会思考】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，a=﹣1，∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E（0，3），∴E'（2，3），易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，当x=1时，y=3×1﹣3=0，∴G（1，0）（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，过N 作NH ⊥x 轴于H ，交AB 于Q ，设N （m ，﹣m 2+2m +3），则Q （m ，﹣2m +6），（1＜m ＜3），∴NQ=（﹣m 2+2m +3）﹣（﹣2m +6）=﹣m 2+4m ﹣3，∵AD ∥NH ，∴∠DAB=∠NQM ，∵∠ADB=∠QMN=90°，∴△QMN ∽△ADB ， ∴， ∴， ∴MN=﹣（m ﹣2）2+， ∵﹣＜0，∴当m=2时，MN 有最大值；过N 作NG ⊥y 轴于G ，∵∠GPN=∠ABD ，∠NGP=∠ADB=90°，∴△NGP ∽△ADB ， ∴=24=12， ∴PG=12NG=12m ， ∴OP=OG ﹣PG=﹣m 2+2m +3﹣12m=﹣m 2+32m +3， ∴S △PON =12OP•GN=12（﹣m 2+32m +3）•m ， 当m=2时，S △PON =12×2（﹣4+3+3）=2． （方法2：根据m 的值计算N 的坐标为（2，3），与E 是对称点，连接EN ，同理得：EP=12EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2﹣y1的值；（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P 的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．【解】：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣33，0），∴，解得：，∴抛物线F的解析式为y=x23．（2）将3+m代入y=x23x，得：x2=m，解得：x1=m x2m∴y1=133m m，y2133m m，∴y2﹣y1=133m m133m m）233m m＞0）．（3）∵m=43，∴点A的坐标为（﹣33，23），点B的坐标为（233，2）．∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为（233，﹣23）．①△AA′B为等边三角形，理由如下：∵A（﹣233，23），B（233，2），A′（233，﹣23），∴AA′=83，AB=83，A′B=83，∴AA′=AB=A′B，∴△AA′B为等边三角形．②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P 的坐标为（x，y）．（i）当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（23，23）；（ii）当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣233，103）；（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣33，﹣2）．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（23，23）、（﹣233，103）和（﹣233，﹣2）．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【学会思考】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解】：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278．②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==32，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（32，154）．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【学会思考】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．【解】：（1）∵抛物线y=14（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=14（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=14x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，14a2）∴PM=PF=14a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【学会思考】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；（2）将点B的坐标代入一次函数表达式中可求出b值；（3）过点M作ME⊥y轴于点E，设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB=MC；（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出PQ=12MH，进而可得出PF=12MN，由此即可得出以MN为直径的圆与x轴相切．【解】：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），∴2=4a+1，解得：a=14，∴二次函数表达式为y=14x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，∴ME=|x|，EB=|14x2+1﹣2|=|14x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=14x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N 作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=12 MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=12MH+ND=12（ND+MH+HC）=12（ND+MC）=12MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，17，55然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到12（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=655，再根据三角形面积公式计算出MN=253，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=17﹣t，由②得AH=655，利用勾股定理可计算出BH=755，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到12•（17﹣t）•=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或59．【解】：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，17，55，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=13；（3）存在．易得BC 的解析是为y=﹣2x +4，S △ABC =12AC•OB=12×3×4=6， M 点的坐标为（m ，﹣2m +4）（0≤m ≤2），①当N 点在AC 上，如图1，∴△AMN 的面积为△ABC 面积的13， ∴12（m +1）（﹣2m +4）=2，解得m 1=0，m 2=1， 当m=0时，M 点的坐标为（0，4），N （0，0），则AN=1，MN=4，∴tan ∠MAC==4；当m=1时，M 点的坐标为（1，2），N （1，0），则AN=2，MN=2，∴tan ∠MAC==1；②当N 点在BC 上，如图2，BC==25，∵12BC•AN=12AC•BC ，解得AN==655， ∵S △AMN =12AN•MN=2， ∴MN==253， ∴∠MAC===59； ③当N 点在AB 上，如图3，作AH ⊥BC 于H ，设AN=t ，则BN=17﹣t ， 由②得AH=655，则BH==755， ∵∠NBG=∠HBA ，∴△BNM ∽△BHA ，∴=，即=，∴MN=，∵12AN•MN=2，即12•（17﹣t）•=2，整理得3t2﹣317t+14=0，△=（﹣317）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或59．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣13x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解】：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（103，﹣139），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【学会思考】（1）应用待定系数法；（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．【解】：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=32，则点C坐标为（32，32）∴OC=，OB=52当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=9 10当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（910，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°。

长沙市中考数学压轴题(含答案)

长沙市中考数学压轴题(含答案)

长沙市中考数学压轴题1、（本题满分10分）【2008】如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r （常数）的⊙O ，其中AD 为直径，且AB=CD=DE=FA. （1）当∠BAD=75︒时，求BC ⌒的长； （2）求证：BC ∥AD ∥FE ；（3）设AB=x ，求六边形ABCDEF 的周长L 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，L 取得最大值.2、（本题满分10分）【2009】如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．3、（本题满分10分）【2010】D如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y轴上，OA =cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA方向以每秒cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ4、（本题满分10分）【2011】26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一动点，以线段AP 为一边，在其一侧作等边三角形APQ ．当点P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为B ．（第26题）（1）求点B 的坐标；（2）求证：当点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时，∠ABQ 为定值；（3）是否存在点P ，使得以A 、O 、Q 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．5、（本题满分10分）【2012】第26题图如图半径分别为m,n ）（n 0〈〈m 的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P,Q 两点，且点P （4,1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H 。

长沙中考数学压轴题2023

长沙中考数学压轴题2023

长沙中考数学压轴题2023一、题目设定假设2023年长沙市举行的中考数学压轴题如下：已知函数f(x)=x^3+4x^2+5x-6，求解f(x)=0的一切实根。

二、解题过程这是一道关于函数的求解题。

要解决这道题，需要运用一些与一元二次方程相关的知识和技巧。

1. 导入题目我们已知函数f(x)=x^3+4x^2+5x-6，需要找出f(x)=0的一切实根。

为了更好地理解问题，我们先来回顾一下函数的相关概念。

2. 函数的基本概念回顾函数是一个将一个数集映射到另一个数集的规则。

在这里，我们的函数是一个多项式函数，即f(x)=x^3+4x^2+5x-6。

3. 求解实根的方法要解决这个问题，我们需要找到f(x)=0的一切实根。

实根是指使得函数等于零的x值。

为了求解实根，我们可以运用因式分解、求根公式等方法。

根据题目所给的函数，我们可以通过运用换元法转化为一元二次方程的形式来解决。

首先，我们设f(x)=0，得到方程x^3+4x^2+5x-6=0。

4. 因式分解我们尝试对方程进行因式分解，以便更容易求解。

通过观察，我们可以发现x^3+4x^2+5x-6可以因式分解为(x+1)(x+2)(x-3)=0。

因此，这个方程的实根为x=-1，x=-2，x=3。

5. 验证求解结果为了验证我们的求解结果是否正确，我们可以将这些x值代入原方程，检验它们是否能使方程成立。

将x=-1代入原方程，得到(-1)^3+4(-1)^2+5(-1)-6=0，计算结果为0，符合要求。

将x=-2代入原方程，得到(-2)^3+4(-2)^2+5(-2)-6=0，计算结果为0，符合要求。

将x=3代入原方程，得到3^3+4(3)^2+5(3)-6=0，计算结果为0，符合要求。

6. 总结通过因式分解和验证，我们得到了方程f(x)=0的一切实根为x=-1，x=-2，x=3。

这就是我们所要求解的结果。

三、总结在本题中，我们学习了如何求解函数方程的实根。

通过因式分解和验证的方法，我们得出了方程f(x)=0的实根为x=-1，x=-2，x=3。

《中考数学保A必刷压轴题(湖南长沙专版)》(一)：几何综合结论专题(解析版)

《中考数学保A必刷压轴题(湖南长沙专版)》(一)：几何综合结论专题(解析版)

《2020年中考数学保A必刷压轴题(湖南长沙专版)》（一）几何综合结论专题1.（2019•随州）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：①∠EAG＝45°；②若DE＝a，则AG∥CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a；⑤BG•DE+AF•GE＝a2．其中正确的是①②④⑤．（写出所有正确判断的序号）解：①四边形ABCD是正方形，AB BC AD a∴===，将ADE∆沿AE对折至AFE∆，90AFE ADE ABG∴∠=∠=∠=︒，AF AD AB==，EF DE=，DAE FAE∠=∠，在Rt ABG∆和Rt AFG∆中AB AF AG AG=⎧⎨=⎩，Rt ABG Rt AFG(HL)∴∆≅∆，BAG FAG ∴∠=∠，190452GAE GAF EAF ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒，故①正确； ②BG GF ∴=，BGA FGA ∠=∠，设BG GF x ==，13DE a =， 13EF a ∴=， CG a x ∴=-， 在Rt EGC ∆中，13EG x a =+，23CE a =，由勾股定理可得22212()()()33x a a x a +=-+， 解得12x a =，此时12BG GF a ==，12CG a =， GC GF ∴=，GFC GCF ∴∠=∠，BGF GFC GCF ∠=∠+∠，22AGB GFC GCF GCF ∴∠=∠+∠=∠，AGB GCF ∴∠=∠，//AG CF ∴，∴②正确；③若E 为CD 的中点，则12DE CE EF a ===， 设BG GF y ==，则CG a y =-，222CG CE EG +=，即22211()()()22a y a a y -+=+，解得，13y a =， 13BG GF a ∴==，1233CG a a a =-=， ∴12311532a GF EG a a ==+， ∴22211215522315CFG CEG S S a a a ∆∆==⨯⨯⨯=， 故③错误；④当CF FG =，则FGC FCG ∠=∠，90FGC FEC FCG FCE ∠+∠=∠+∠=︒，FEC FCE ∴∠=∠，EF CF GF ∴==，BG GF EF DE ∴===，2EG DE ∴=，CG CE a DE ==-，∴EG =)2a DE DE -=，1)DE a ∴=，故④正确；⑤设BG GF b ==，DE EF c ==，则CG a b =-，CE a c =-，由勾股定理得，222()()()b c a b a c +=-+-，整理得2bc a ab ac =--， ∴2111()()()()222CEG S a b a c a ab ac bc bc bc bc ∆=--=--+=+=， 即CEG S BG DE ∆=，ABG AFG S S ∆∆=，AEF ADE S S ∆∆=， ∴1222AGE ABGED S S AF EG AF EG ∆==⨯⋅=⋅五边形， CEG ABCD ABGED S S S ∆+=正方形五边形，2BG DE AF EG a ∴+=，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．2.（2019•咸宁）如图，先有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①CQ ＝CD ；②四边形CMPN 是菱形；③P ，A 重合时，MN ＝2；④△PQM 的面积S 的取值范围是3≤S ≤5．其中正确的是 ②③ （把正确结论的序号都填上）．解：如图1，∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CP＝CP，若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝，∴，∴，∴MN＝2QN＝2．故③正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝，故④错误．故答案为：②③．3.（2019•滨州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有①③④（填写所有正确结论的序号）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC，∴∠DCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠DCB＝120°，∵EC平分∠DCB，∴∠ECB＝∠DCB＝60°，∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，∴△ECB是等边三角形，∴EB＝BC，∵AB＝2BC，∴EA＝EB＝EC，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，EA＝EB，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴EO⊥AC，故①正确，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝，∴OF＝OB，∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误，设BC＝BE＝EC＝a，则AB＝2a，AC＝a，OD＝OB＝＝a，∴BD＝a，∴AC：BD＝a：a＝：7，故③正确，∵OF＝OB＝a，∴BF＝a，∴BF2＝a2，OF•DF＝a•（a+a）＝a2，∴BF2＝OF•DF，故④正确，故答案为①③④．4.（2019•滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选：B．5.（2019•眉山）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2﹣2．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝∠ACF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴AE＝AF，BE＝CF．故①正确；∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠EAB＝60°，∴∠EAB＝∠CEF，故②正确；∵∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°，∵∠AEB＜60°，∴△ABE和△EFC不会相似，故③不正确；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BG＝2，AG＝2，在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，∴AG＝GE＝2，∴EB＝EG﹣BG＝2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴∠ABE＝∠ACF＝120°，EB＝CF＝2﹣2，∴∠FCE＝60°，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝30°，CF＝2﹣2，∴CH＝﹣1．∴FH＝（﹣1）＝3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣，故④不正确．综上，正确结论的个数是2个，故选：B．6.（2019•达州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），∴OA＝BC＝2；故①正确；②∵点D为OA的中点，∴OD＝OA＝，∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝2，设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，∴BE＝PE＝a，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），∵PD⊥PC，∴∠CPE+∠FPD＝90°，∵∠CPE+∠PCE＝90°，∴∠FPD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠PFD＝90°，∴△CEP∽△PFD，∴＝，∴＝，∴FD＝，∴tan∠PDC＝＝＝，∴∠PDC＝60°，故③正确；④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，∴OA＝2，AB＝2，∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，∴∠DOP＝∠DPO＝30°，∴∠ODP＝60°，∴∠ODC＝60°，∴OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，∴∠ODP＝∠OPD＝75°，∵∠COD＝∠CPD＝90°，∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝30°，∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确，故选：D．7.（2019•南充）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB＝24，BC＝5．给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π；②△OAB的面积最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为（，）．其中正确的结论是②③．（填写序号）解：∵点E为AB的中点，AB＝24，∴OE＝，∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，∵∠AOB＝90°，∴点E经过的路径长为，故①错误；当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，∵E为AB的中点，∴OE⊥AB，OE＝，∴＝144，故②正确；如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，∵AD＝BC＝5，AE＝，∴＝13，∴OD＝DE+OE＝13+12＝25，设DF＝x，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DF A＝∠AOB，∴∠DAF＝∠ABO，∴△DF A∽△AOB∴，∴，∴，∵E为AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝OE，∴∠AOE＝∠OAE，∴△DFO∽△BOA，∴，∴，解得x＝，x＝﹣舍去，∴，∴．故③正确．故答案为：②③．8.（2019•岳阳）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是①②④．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．解：连接OM，PE为O的切线，OM PC∴⊥，⊥，AC PC//∴，OM AC∴∠=∠，CAM AMO=，OA OM∠=∠，OAM AMO∠，故①正确；CAM OAM∴∠=∠，即AM平分CABAB为O的直径，∴∠=︒，90AMB∠=∠，ACM AMB∠=∠，CAM MAB∽，ACM AMB∴∆∆∴AC AM AM AB=， 2AM AC AB ∴=，故②正确；30APE ∠=︒，903060MOP OMP APE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，4AB =，2OB ∴=，∴BM 的长为60221803ππ⨯=，故③错误； BD PC ⊥，AC PC ⊥， //BD AC ∴，∴13PB BD PA AC ==， 13PB PA ∴=， ∴12PB AB =，12BD OM =， PB OB OA ∴==，∴在Rt OMP ∆中，22OM BD ==，4OP ∴=，30OPM ∴∠=︒，PM ∴=CM DM DP ∴===，故④正确．故答案为：①②④．9.（2019•天门）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E ，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．10.（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC ＝MP；④BP＝AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴DM＝AD＝x，∴CM＝＝x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP＝＝x，∴PN＝CP﹣CN＝x，∴PM＝＝x，∴＝＝，∴PC＝MP，故③错误；∵PC＝x，∴PB＝2x﹣x＝x，∴＝，∴PB＝AB，故④，∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，∴CE＝EG，∵∠CEM＝∠G＝90°，∴FE∥PG，∴CF＝PF，∵∠PMC＝90°，∴CF＝PF＝MF，∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B．。

04(解答题(二))-2021年中考数学专题(湖南长沙卷)(解析版)

04(解答题(二))-2021年中考数学专题(湖南长沙卷)(解析版)

2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷）04挑战压轴题（解答题（二））1. （2020年长沙中考第24题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”。

根据该约定，完成下列各题。

（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号内打“√”，不是“H 函数”的打“×”。

① x y 2= （ ） ② ）（0≠=m xmy （ ） ③ 13-=x y （ ）（2）若点A （1，m ）与点B （n ，-4）是关于x 的“H 函数”）（02≠++=a c bx ax y 的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a 、b 、c 的值或取值范围。

（3）若关于x 的“H 函数”是常数），，（c b a c bx ax y 322++=同时满足下列两个条件：① 0=++c b a ， ② 0322<++•-+）（）（a b c a b c ，求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围。

【答案】（1）√、√、× （2）-1<a<0，b=4，0<c<1 （3）72221<-<x x【解析】（1）根据题意，易知“H 函数”图像上存在关于原点对称的点。

①、②图像均关于原点对称，故为“H 函数”；对于函数③，变形为：31=+x y ，令xy x y -+-=+33，无解，故不是“H 函数”。

（2）∵若点A （1，m ）与点B （n ，-4）是关于x 的“H 函数”）（02≠++=a c bx ax y 的一对“H 点”∴m=4，n=-1 ∴A （1，4） B （-1，-4） 代入c bx ax y ++=2中，得:⎩⎨⎧-=+-=++44c b a c b a 解得：⎩⎨⎧==+40b c a∵函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧 ∴22->ab∴224>-a解得：01<<-a ∵100<<∴=+c c a∴-1<a<0，b=4，0<c<1（3）c bx ax y 322++=∵是H 函数，∴至少存在不同的两点关于原点对称的“H 点” 设H 点坐标分别为（m ，n ）；（-m ，-n ），则:⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++nc bm am n c bm am 323222∴n bm c am ==+2032因为002<∴>ac c a m 异号，即、∵c a b c b a -=∴=++0∵0322<++•-+）（）（a b c a b c ∴0)32)(2(<+-----a c a c a c a c∴0)2)(2(<+-a c a c 即：224a c <∴22<∴<a cac ∴02<<-ac 令02<<-∴=t act设函数与x 轴的两个交点分别为)0(1，x 、)0(2，x ，则21x x 、是方程0322=++c bx ax 的两根 ∴a ca c a a c ab a ac b x x 12)(4124124a 2222221-+=-=-=∆=-)1(412)21(412))(21(4222+-=-++=•-+•+=t t t t t aca c a c 43)21(22+-=t ∵时02<<-t 函数递减，所以当t=-2时取最大值，当t=0时取最小值∴72221<-<x x2.（2019年长沙中考第25题）已知抛物线)2020()2(22-+-+-=c x b x y (b ，c 为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n ( m<n )，当n x m ≤≤时，恰好有122112+≤+≤+n ny m m ，求m ，n 的值．【解析】（1）由题可设()1122+--=x y去括号得：1422-+-=x x y⎩⎨⎧-=-=-∴1202042c b20196==∴c b ，（2）设抛物线上关于远点对称且不重合的两点坐标分别为()()0000--y x y x ，、， 代入解析式可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+---=--+-+-=)2020()2(2)2020()2(202000200c x b x y c x b x y∴两式相加可得：0)2020(24-20=-+c x20202020220≥∴+=∴c x c（3）由（1）可知抛物线为()11214222+--=-+-=x x x y ，∴1≤y12211210+≤+≤+≤≤<<n ny m m n x m m 时，恰好有，当nm m mm y n <≤∴≥≤∴≤≤∴111111，即 ∵抛物线对称轴x =1，开口向下 ∴当n x m ≤≤时，y 随x 增大而减小∴当x =m 时，1422max -+-=m m y当x =n 时，1422min -+-=n n y又∵my n 11≤≤ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+∴）（）（21142-11142-22m m m n n n将（1）式整理得：014223=++-n n n变形得：()()01232223=----n n n n 即：()()()0112122=-+--n n n n()()012212=---∴n n n1>n01222=--∴n n（舍去），2311-=∴n 2312+=n 同理整理（2）式得：()()012212=---m m mn m <≤1.2312311321（舍去）（舍去），，+=-==∴m m m ∴综上所示：m =1，n =231+ 3.（2018年长沙中考第25题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数xmy =（m 为常数，m ＞1，x ＞0）的图象经过点P （m ，1）和Q （1，m ），直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，点M （x ，y ）是该函数图象上的一个动点，过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ． （1）求∠OCD 的度数；（2）当m =3，1＜x ＜3时，存在点M 使得△OPM ∽△OCP ，求此时点M 的坐标； （3）当m =5时，矩形OAMB 与△OPQ 的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．【分析】（1）想办法证明OC =OD 即可解决问题；（2）设M （a ，a 3），由△OPM ∽△OCP ，推出CPPMOP OM OC OP ==，由此构建方程求出a ，再分类求解即可解决问题；（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x ＜5时，如图1中；②当x ≤1时，如图2中；③当x ≥5时，如图3中；【解答】解：（1）设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，则有⎩⎨⎧=+=+m b k b km 1，解得⎩⎨⎧+=-=11m b k ，∴y =﹣x +m +!，令x =0，得到y =m +1，∴D （0，m +1），令y +0，得到x =m +1，∴C （m +1，0），∴OC =OD ，∵∠COD =90°， ∴∠OCD =45°．（2）设M （a ，a 3），∵△OPM ∽△OCP ，∴CPPM OP OM OC OP ==，∴OP 2=OC •OM ，当m =3时，P （3，1），C （4，0），OP 2=32+12=10，OC =4，OM =229a a +，∴410=OC OP ，∴10=4229a a +， ∴4a 4﹣25a 2+36=0， （4a 2﹣9）（a 2﹣4）=0， ∴a =±23，a =±2， ∵1＜a ＜3， ∴a =23或2， 当a =23时，M （23，2）， PM =213，CP =2， 4102213≠=CM PM （舍弃）， 当a =2时，M （2，23），PM =25，CP =2，∴410225==CP PM ，成立，∴M （2，23）． （3）不存在．理由如下：当m =5时，P （5，1），Q （1，5），设M （x ，x5）， OP 的解析式为：y =51x ，OQ 的解析式为y =5x ， ①当1＜x ＜5时，如图1中，E∴E （x 1，x 5），F （x ，51x ）， S =S 矩形OAMB ﹣S △OAF ﹣S △OBE =5﹣21•x •51x ﹣21•x 1•x5=4.1， 化简得到：x 4﹣9x 2+25=0，△＜O ， ∴没有实数根． ②当x ≤1时，如图2中，S=S△OGH＜S△OAM=2.5，∴不存在，③当x≥5时，如图3中，S=S△OTS＜S△OBM=2.5，∴不存在，综上所述，不存在．1．（2021·湖南长沙市·九年级一模）如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P(a，b)，则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）＋b，即当x＝a时，y始终等于b．（1）若抛物线y＝﹣2（x＋1）2＋3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx＋3k﹣2，求该抛物线的解析式；（3）如图2，直线m：y＝x＋3与直线n：y＝﹣2x＋9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2＋1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．【答案】（1）y=-2x+1；（2）y=-（x+3）2-2；（3）y= -x+3或y=1．【分析】（1）先求出点A的坐标，再确定P的坐标为（-1,3），然后将A点坐标代入求解即可；（2）y=kx+3k-2=k（x+3）-2，确定点P的坐标为（-3，-2），然后求出解析式即可；（3）由△ABC的面积=S△APB+S△APC=12，求出x C-x B=6，则点x B（t,t+3），x C（t+6，-2t-3），将点B、C的坐标分别代入y=k（x-2）+1求解即可．【详解】解：（1）∵y=-2（x+1）2+3，∴令x=0，则y=1，∴点A的坐标为（0,1），顶点P的坐标为（-1,3），∴风车线的表达式为y=k（x+1）+3，将点A的坐标代入并求解得：k=-2∴“风车线”的解析式为y=-2（x+1）+3=-2x+1；（2）∵y=kx+3k-2=k（x+3）-2∴点P的坐标为（-3，-2），∴平移后的抛物线表达式为y=-（x+3）2-2；（3）∵y=-2（x-2）2+1，∴点P（2，1），即“风车线”的表达式为y=k（x-2）+1，联立329y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得25xy=⎧⎨=⎩，故点A（2，5），∴AP=5-1=4，∴△ABC的面积=S△APB+S△APC=12×4×（x C-x B）=12，解得：x C-x B=6，设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，∵点B在直线m上，∴点B（t，t+3），同理：点C（t+6，-2t-3），将点B、C的坐标分别代入y=k（x-2）+1，得：3(2)123(62)1t k tt k t+=-+⎧⎨--=+-+⎩解得1tk=⎧⎨=-⎩或2tk=⎧⎨=-⎩∴“风车线”的表达式为y=k（x-2）+1=-（x-2）+1=-x+3或y=1．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、面积的计算等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．2．（2021·湖南长沙市·九年级一模）我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A ，B 两点）作x 轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x 轴上的“垂足距”，记作____AB ．根据该约定，完成下列各题 （1）若点A （1x ，4），B （2x ，8-）．当点A 、B 在函数4y x =的图象上时，____AB = ； 当点A ，B 在函数16y x=-的图象上时，____AB = ． （2）若一次函数()30y kx k =+≠的图象上有两点A （1x ，k ），B （2x ，222k -），当____AB k =时，求k的值．（3）若抛物线2y ax bx c =++与直线()230y bx c b =--≠在同一坐标平面内交于点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且同时满足下列两个条件：①a b c >>；②抛物线经过点（1，0），试求____AB 的范围、【答案】（1）3，6；（2）k =2或1；（3____AB 【分析】（1）先把点A 和点B 坐标代入4y x =和16y x=-分别得出 1x 和2x 的值，由“垂足距”的定义即可得出答案 （2）根据“垂足距”的定义得出k 的方程，解方程即可；（3）由2=23++--ax bx c bx c 得出1x ，2x 是方程234=0++ax bx c 的两根，根据根与系数的关系可得1x +2x 和1x 2x 的值，再结合抛物线经过点（1，0）得出22____b b 9+16+16a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ，再根据a b c >>和二次函数的增减性得出答案；【详解】解：（1）∵点A （1x ，4），B （1x ，8-）在函数4y x =的图象上，∴1=1x ，2=-2x ，∴()____=1--2=3AB ，∵点A （1x ，4），B （2x ，8-）在函数16y x=-的图象上 ∴1=-4x ，2=2x ，∴()____=2--4=6AB ，（2）∵A （1x ，k ），B （2x ，222k -）在()30y kx k =+≠的图象， ∴1k-3=k x ，222k -5=kx ， ∵____AB k = ∴22k -5k-3-=k k k， ∴222--2=k k k当22--20＞k k 时，2--2=0k k ，解得：k =2或-1，当22--20＜k k 时，23--2=0k k ，解得：k =2-3或1， ∵k ＞0，∴k =2或1；（3）∵2=23++--ax bx c bx c ()0b ≠∴234=0++ax bx c∴1x ，2x 是方程234=0++ax bx c 的两根，∴1x +23b =-a x ，1x 24c =a x ； ∴()()22221212___122_9b -16ac =x -x =x +x -4x x =a ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB ， ∵抛物线经过点（1，0），∴=0a b c ++，∴=--c a b ， ∴____22229b -16ac b b =9+16+16a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ， ∵a b c >>，∴b -a-b >， ∴1b -a 2>， ∴1a -a 2>， ∴a 0>， ∴1b -12a＜＜， ∵22____b b 9+16+16a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ， ∴对称轴为b 81=--a 92＜， ∴当1b -12a ＜＜时，_2___⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 随b a 的增大而增大， ∴当b =1a时， ____AB ，∴当b 1=-a 2时， ____AB∴____AB 的范围为____2AB ； 【点睛】本题是二次函数和一次函数的综合题，解题的关键是理解题意，利用“垂足距”的定义解决问题，属于压轴题． 3．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）我们约定：图象关于y 轴对称的函数称为偶函数．（1）下列函数是偶函数的有 （填序号）；①y ＝x +1；②y ＝﹣2020x 2+5；③y ＝|2018x|；④y ＝2021x 2﹣2020x +2018． （2）已知二次函数y ＝（k +1）x 2+（k 2﹣1）x +1（k 为常数）是偶函数，将此偶函数进行平移得到新的二次函数y ＝ax 2+bx +c ，新函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，若AB ＝2，且以AB 为直径的圆恰好经过点C ，求平移后新函数的解析式；（3）如图，已知偶函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过（1，2），（2，5），过点E （0，2）的一次函数的图象与二次函数的图象交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），过点AB 分别作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，分别用S 1，S 2，S 3表示△ACE ，△ECD ，△EDB 的面积，问：是否存在实数m ，使S 22＝m S 1S 3都成立？若成立，求出m 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）②③；（2）y ＝2x 2﹣4x 或y ＝2x 2+4x 或y ＝2x 2﹣12-或y ＝2x 2x ﹣12；（3）存在，m ＝4【分析】(1)根据每个函数是否关于y 轴对称进行判断； (2)根据偶函数的概念可得：k 2﹣1＝0且k +1≠0，即可求得抛物线解析式，再依据平移的性质可知a ＝2，设A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），利用根与系数关系及乘法公式可得：b 2﹣8c ＝16，再根据圆的性质和勾股定理得：b 2+16c 2＝16，从而求得b 、c ，即可得到新函数的解析式；(3)由偶函数性质可知b ＝0，再利用待定系数法即可得函数解析式，设过点E （0，2）的一次函数解析式为：y ＝kx +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣1，根据题意建立方程求解即可．【详解】解：(1)①y ＝x +1的图像经过第一、三象限，y 轴不是其对称轴，所以y ＝x +1不是偶函数；②y ＝﹣2020x 2+5的图像抛物线是轴对称图形，且对称轴是y 轴，是偶函数；③y ＝|2018x|是关于y 轴对称的，是偶函数； ④y ＝2021x 2﹣2020x +2018的图像抛物线是轴对称图形，对称轴是直线x ＝10102021，不是偶函数； 故答案为：②③；(2)∵二次函数y ＝（k +1）x 2+（k 2﹣1）x +1（k 为常数）是偶函数，∴21010k k ⎧-=⎨+≠⎩，解得：k ＝1，∴该二次函数解析式为：y ＝2x 2+1，∵平移抛物线时，开口方向和形状都不变，即a 的值不变，∴平移得到新的二次函数为y ＝2x 2+bx +c ，由题意知，新函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，设A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），令x ＝0，得y ＝c ，∴C （0，c ），∵AB ＝2，∴x 2﹣x 1＝2，由根与系数关系可知：x 1+x 2＝﹣2b ，x 1x 2＝2c ， ∵（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（x 2﹣x 1）2，∴（﹣2b ）2﹣4×2c ＝22，即b 2﹣8c ＝16， ∵以AB 为直径的圆恰好经过点C ，∴该圆的圆心为F （122x x +，0），即F （﹣4b ，0）， ∴CF ＝1，即（﹣4b ）2+c 2＝1，整理，得：b 2+16c 2＝16， 联立方程组：2228161616b c b c ⎧-=⎨+=⎩， 解得：1140b c =-⎧⎨=⎩，2240b c =⎧⎨=⎩，3312b c ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，4412b c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩； ∴平移后新函数的解析式为：y ＝2x 2﹣4x 或y ＝2x 2+4x 或y ＝2x 2﹣x 12-或y ＝2x 2﹣12； (3)∵偶函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过（1，2），（2，5），∴b ＝0，即y ＝ax 2+c ，∴245a ca c+=⎧⎨+=⎩，解得：11ac=⎧⎨=⎩，∴y＝x2+1，设过点E（0，2）的一次函数解析式为：y＝kx+2，将y＝x2+1代入，得：x2+1＝kx+2，即x2﹣kx﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，∴y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2•x1x2+2k（x1+x2）+4＝k2+4，∵用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，∴S1＝12AC•（﹣x1）＝12y1•（﹣x1）＝﹣12x1y1，S2＝12CD•OE＝12（x2﹣x1）×2＝x2﹣x1，S3＝12BD•x2＝12x2y2，∴S22＝（x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝k2﹣4×（﹣1）＝k2+4，S1S3＝﹣12x1y1•12x2y2＝﹣14（x1x2）（y1y2）＝﹣14×（﹣1）×（k2+4）＝14（k2+4），∵S22＝m S1S3，∴k2+4＝m•14（k2+4），∴m＝4．【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数和二次函数交点，根与系数关系，三角形面积，圆的性质等，是一道综合性强，涉及知识点多的中考压轴题型；解题关键是灵活运用根与系数关系和乘法公式．4．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，A(0，a)，B(b，0)，D(c，0)c2﹣4c＋4＝0，b为最大的负整数，DE⊥x轴且∠BED＝∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F．（1）求A，B，D的坐标；（2）在y轴上是否存在点G使得GF＋GE有最小值？如果存在，求出GF＋GE的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）如图，过P(0，﹣1)作x轴的平行线，在平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM＝45°，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求AM MQPQ-的值．【答案】（1）A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)；（2；（3）1．【分析】（1）由非负数的性质可求得a、c的值，可求得A、B、D的坐标；（2）由条件可证明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的长，可求得E点坐标，再求得直线AE的解析式，可求得F点坐标；如图1，作点F关于y轴的对称点F'(﹣3，0)，连接EF'，交AO于G，则GF＋GE最小值为EF'，由勾股定理可求解；（3）过E作EG⊥OA于点G，EH⊥PQ于点H，可证明四边形GEHP为正方形，在GA上截GI＝QH，可证明△IGE≌△QHE，可证得∠IEM＝∠MEQ＝45°，可证明△EIM≌△EQM，可得到IM＝MQ，再结合条件可求得AI＝PQ，可求得答案．【详解】解：（1）＋c2﹣4 c＋4＝0，＋（c﹣2）2＝0，∴a＝3，c＝2，∵b为最大的负整数，∴b＝﹣1，∴A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)；（2）∵A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)，∴OB＝1，OD＝2，OA＝3，∴AO＝BD，在△ABO和△BED中，90ABOBED AOBBDE AO BD ，∴△ABO ≌△BED （AAS ），∴DE ＝BO ＝1，∴E (2，1)，设直线AE 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、E 坐标代入可得312b k b ，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AE 的解析式为y ＝﹣x ＋3，令y ＝0，可解得x ＝3，∴F (3，0)，如图1，作点F 关于y 轴的对称点F '(﹣3，0)，连接EF '，交AO 于G ，则GF ＋GE 最小值为EF '，∴EF ' ，∴GF ＋GE（3）过E 作EG ⊥OA ，EH ⊥PQ ，垂足分别为G 、H ，在GA 上截取GI ＝QH ，如图2，∵E (2，1)，P (﹣1，0)，∴GE ＝GP ＝EH ＝PH ＝2，∴四边形GEHP 为正方形，∴∠IGE ＝∠EHQ ＝90°，在Rt △IGE 和Rt △QHE 中，{GE HEIGE EHQ IG QH=∠=∠=∴△IGE ≌△QHE （SAS ），∴IE ＝EQ ，∠1＝∠2，∵∠QEM ＝45°，∴∠2＋∠3＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，∴∠IEM ＝∠QEM ，在△EIM 和△EQM 中，IE QEIEM QEMME ME，∴△EIM≌△EQM（SAS），∴IM＝MQ，∴AM﹣MQ＝AM﹣IM＝AI，由（2）可知OA＝OF＝3，∠AOF＝90°，∴∠A＝∠AEG＝45°，∴PH＝GE＝GA＝IG＋AI，∴AI＝GA﹣IG＝PH﹣QH＝PQ，∴AM MQ AIPQ PQ-=＝1．【点睛】本题是三角形综合题，涉及知识点有非负数的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，正方形的判定和性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．5．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）如图1，已知抛物线F1：y＝ax2﹣36a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，与y轴负半轴交于点D．（1）若D（0，﹣8）为△ABC的外心，求a的值；（2）如图2，若D为△ABC的内心且△ABC的内切圆半径为3，点P为线段BC的中点，求经过点P的反比例函数的解析式；（3）如图3，点E是抛物线F1与直线l的另一个交点，已知OC＝2OD，△BCE的面积为6，点E在双曲线F2：y＝1cx+上，若当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的函数值的取值范围恰好是2m≤y≤2n，求m +n 的值．【答案】（1）a ＝12；（2）y ＝﹣6x 或y ＝﹣18x；（3）m +n ＝3【分析】（1）在y ＝ax 2﹣36a 中，令y ＝0，可求得点A ，B 的坐标，根据D （0，﹣8）为△ABC 的外心，可得DA ＝DB ＝DC ，再运用勾股定理即可求得a 的值；（2）根据勾股定理可求得AC ＝BC ，可得S △ABC ＝12AB •OC ＝216a ，再根据D 为△ABC 的内心且△ABC 的内切圆半径为3，亦可得S △ABC ＝12×（AB +BC +AC ）×3，建立方程即可求得a 的值，从而可得点C 坐标，再利用中点坐标公式可得点P 坐标，即可求得结论；（3）先运用待定系数法求得直线l 解析式，再联立方程组求得点E 坐标，利用△BCE 的面积建立方程求a 的值，通过点E 坐标求得c 的值，从而得到抛物线解析式，再结合二次函数增减性和最值进行分类讨论求得m ，n 的值即可得到答案．【详解】解：（1）在y ＝ax 2﹣36a 中，令y ＝0，得：ax 2﹣36a ＝0，解得：x 1＝﹣6，x 2＝6，∴A （﹣6，0），B （6，0），∵D（0，﹣8）为△ABC的外心，∴DA＝DB＝DC，∵抛物线F1：y＝ax2﹣36a（a＞0）与y轴交于点C，∴C（0，﹣36a），∴DC＝﹣8﹣（﹣36a）＝36a﹣8，在Rt△BOD中，DB＝10，∴36a﹣8＝10，∴a＝12；（2）由（1）知：AB＝6﹣（﹣6）＝12，OC＝36a，由勾股定理得：AC＝BC，∵D为△ABC的内心且△ABC的内切圆半径为3，∴S△ABC＝12×（AB+BC+AC）×3，∵S△ABC＝12AB•OC＝12×12×36a＝216a，∴12×（AB+BC+AC）×3＝216a，即12×（×3＝216a，解得：a1＝19，a2＝13，∴C（0，﹣4）或C（0，﹣12），∵点P为线段BC的中点，∴P（3，﹣2）或P（3，﹣6），设经过点P的反比例函数的解析式为y＝kx，将P（3，﹣2）或P（3，﹣6）分别代入，得：k＝﹣6或﹣18，∴经过点P的反比例函数的解析式为y＝﹣6x或y＝﹣18x；（3）由（1）知：B（6，0），C（0，﹣36a），∵OC＝2OD，∴D（0，﹣18a），∵直线l：y＝kx+b经过点B，与y轴负半轴交于点D，∴6018k bb a+=⎧⎨=-⎩，解得：318k ab a=⎧⎨=-⎩，∴直线l解析式为：y＝3ax﹣18a，∵点E是抛物线F1与直线l的另一个交点，∴236318y ax a y ax a ⎧=-⎨=-⎩，解得：116 0x y =⎧⎨=⎩（舍去）22327xy a=-⎧⎨=-⎩，∴E（﹣3，﹣27a），∴S△BCE＝12×DC×（3+6）＝12×[﹣18a﹣（﹣36a）]×9＝81a，∵△BCE的面积为6，∴81a＝6，解得：a＝2 27，∴E（﹣3，﹣2），∵点E在双曲线F2：y＝1cx上，∴c+1＝6，∴c＝5，∵当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的函数值的取值范围恰好是2m≤y≤2n，∴二次函数y＝﹣x2+2x+5，当m≤x≤n（其中mn＜0）时，2m≤y≤2n，且m＜0，由y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，可知：抛物线对称轴为直线x＝1，顶点（1，6），①当n≤1时，y随x增大而增大，又x＝m时，y＝2m，x＝n时，y＝2n，∴2m＝﹣m2+2m+5或2n＝﹣n2+2n+5，解得：m n∵m＜0，0＜n≤1，∴m，n＝；②当n＞1时，则2n＝6，解得n＝3，若﹣1＜m＜0，则最小值在x＝3处取得，即2m＝﹣32+2×3+5＝2，解得：m＝1＞0，不符合题意，舍去；若m≤﹣1，最小值在x＝m处取得，即2m＝﹣m2+2m+5，解得：m1m2，∴m，n＝3，综上所述，m，n＝3；∴m+n＝3【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数与二次函数交点，三角形内心、外心，三角形面积，中点坐标，反比例函数等；是一道综合性较强的压轴题，解题时务必要认真审题，理清思路，能够将相关知识点结合起来；充分利用题目中的信息，运用方程思想，分类讨论思想是解题关键．6．（2020·湖南广益实验中学九年级月考）已知点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2（a≠0，m为常数）的顶点．（1）若此二次函数与x轴只有一个交点，试确定m的值；（2）已知以坐标原点O为圆心的圆半径是45，试判断点M与⊙O的位置关系，若能确定，请说明理由，若不能确定，也请分类讨论之；（3）对于任意实数m，点M都是直线l上一点，直线l与该二次函数相交于A、B两点，a是以3、4、5为边长的三角形内切圆的半径长，点A、B在以O为圆心的圆上．①求⊙O的半径；②求该二次函数的解析式．【答案】（1）1；（2）点M在⊙O外，理由见解析；（3）①4；②21634 525y x x=-+【分析】（1）由二次函数与x轴只有一个交点，可得△＝0，从而得出关于m的方程，解方程即可确定m的值；（2）写出点M的坐标，用含m的式子表示出OM2，从而可得关于m的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得OM2的最小值，求其算术平方根，可得OM的最小值，从而可判断点M与⊙O的位置关系；（3）①由切线长定理求得a的值，将其代入抛物线的解析式，写出直线l的解析式，由抛物线的解析式与直线l的解析式可得关于x的方程，解方程，从而用含m的式子表示出点A和点B的坐标，由勾股定理或两点距离公式可得⊙O的半径；②将a和m的值代入抛物线y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2计算即可得出答案．【详解】解:（1）∵二次函数与x轴只有一个交点，∴△＝(﹣2am)2﹣4a(am2﹣2m+2)＝0，∴8am﹣8a＝8a(m﹣1)＝0，∵a≠0，∴m﹣1＝0，∴m＝1；（2）∵点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2的顶点，∴M(m，﹣2m+2)，∵原点O的坐标为(0，0)，∴OM2＝m2+(﹣2m+2)2＝5m 2﹣8m +4 ＝2445()55m -+， ∴当m ＝45时，OM 2有最小值45，455=>， ∴点M 在⊙O 外；（3）①作出以3、4、5为边长的三角形，F ，G ，H 是三角形与⊙O 的切点，连接OF ，OG ，如图所示:由勾股定理可知该三角形是直角三角形，则∠E ＝90°，由切线的性质可知，OF ⊥DE ，OG ⊥CE ，∴∠OFE ＝90°，∠OGE ＝90°，∴四边形OFEG 是矩形，∵OF ＝OG ＝a ，∴四边形OFEG 是正方形，∴FE ＝EG ＝a ，∵CH ＝CG ，DH ＝DF ，∴2a ＝3+4﹣5，∴a ＝1，∴y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣2m +2，∵对于任意实数m ，点M 都是直线l 上一点，且M (m ，﹣2m +2)，∴直线l 的解析式为y ＝﹣2x +2，令﹣2x +2＝x 2﹣2mx +m 2﹣2m +2，解得x 1＝m ，x 2＝m ﹣2，∴A (m ，﹣2m +2)，B (m ﹣2，﹣2m +6)，∵点A 、B 在以O 为圆心的圆上，∴m 2+(﹣2m +2)2＝(m ﹣2)2+(﹣2m +6)2，解得m ＝85，∴⊙O 4==． ②将a ＝1，m ＝85代入抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2﹣2m +2得21634525y x x =-+． ∴该二次函数的解析式为21634525y x x =-+． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x 轴的交点、利用二次函数的性质求最值、点与圆的位置关系、切线长定理、直线与抛物线的交点及解一元二次方程等知识点，综合性较强，需要熟练掌握相关性质及定理并正确运算．7．（2021·长沙市湘郡培粹实验中学九年级期末）对于一个函数给出如下定义；对于函数y ，若当a x b ≤≤，函数值y 满足m y n ≤≤，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 属合函数”．例如：正比例函数2y x =-，当13x ≤≤时，62y -≤≤-，则()()2631k ---=-，求得：2k =，所以函数2y x =-为“2属合函数”． （1）一次函数10,13()y ax a x =-<≤≤为“1属合函数”，求a 的值．（2）反比例函数(0,k y k a x b x=>≤≤，且0a b <<）是“k 属合函数”，且a b +=，请求出22a b +的值； （3）已知二次函数22362y x ax a a =-+++，当11x -≤≤时，y 是“k 属合函数”，求k 的取值范围．【答案】（1）a =-1；（2）2019；（3）k ≥32． 【分析】（1）利用“k 属合函数”的定义即可得出结论；（2）先判断出函数的增减性，利用“k 属合函数”的定义得出ab =1，最后利用完全平方公式即可得出结论； （3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k 属合函数”的定义即可得出结论．【详解】解：（1）当a ＜0时，一次函数的y 随着x 的增大而减小，∵1≤x ≤3，∴3a -1≤y ≤a -1，∵一次函数y =ax -1（a ＜0，1≤x ≤3）为“1属合函数”，∴（a -1）-（3a -1）=1×（3-1），∴a =-1；（2）∵反比例函数y =k x，k ＞0， ∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，当a ≤x ≤b 且0＜a ＜b 是“k 属合函数”， ∴()k k k b a a b-=-， ∴ab =1，∵a+b∴a2+b2=（a+b）2-2ab=2021-2=2019；（3）∵二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a的对称轴是：直线62(3)ax a =-=⨯-，∴当-1≤x≤1时，y是“k属合函数”，∴当x=-1时，y=a2-4a-3，当x=1时，y=a2+8a-3，当x=a时，y=4a2+2a，①如图1，当a≤-1时，当x=-1时，有y max=a2-4a-3，当x=1时，有y min=a2+8a-3，∴（a2-4a-3）-（a2+8a-3）=2k，∴k=-6a，∴k≥6；②如图2，当-1＜a≤0时，当x =a 时，有y max =4a 2+2a ，当x =1时，有y min =a 2+8a -3，∴（4a 2+2a ）-（a 2+8a -3）=2k ， ∴23(1)2k a =-， ∴362k ≤<； ③如图3，当0＜a ≤1时，当x =a 时，有y max =4a 2+2a ，当x =-1时，有y min =a 2-4a -3∴（4a 2+2a ）-（a 2-4a -3）=2k ， ∴23(1)2k a =+， ∴362k <≤； ④如图4，当a ＞1时，当x =1时，有y max =a 2+8a -3，当x =-1时，有y min =a 2-4a -3，∴（a 2+8a -3）-（a 2-4a -3）=2k ，∴k =6a ，∴k ＞6；综上，k 的取值范围为k ≥32． 【点睛】此题是二次函数，一次函数，反比例函数的综合题，主要考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．8．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）一般地，在画一个图形关于某点的中心对称图形时，首先找到对称中心，将关键点与对称中心相连，并延长至等长，最后将所得的对应点连接即可得到对称图形．若将函数C 1的图象沿某一点旋转180度，与函数C 2的图象重合，则称函数C 1与C 2关于这个点互为“中心对称函数”，这个点叫作函数C 1、C 2的“对称中心”，如：求函数y x =的关于（1，0）的中心对称函数，可以在函数上取（0，0）和（1，1），两个点关于（1，0）中心对称点分别是（2，0）和（1，1-），这样我们就可以得到函数y x =关于（1，0）中心对称函数2y x =-．（1）求函数32y x =+关于（1，0）的中心对称函数；（2）若函数C 1：2y x b =+，对称中心是（0，b -），此时C 1的关于（0，b -）的中心对称函数C 2的图象与函数2y x=-的图象有且只有一个交点，求b 的值；（3）若函数C 1：211y x =+，对称中心是（1，10），当04x ≤≤时，此时函数C 1关于（1，10）的中心对称函数C 2的图象与函数3y kx k =+的图象始终有交点，求k 的取值范围．【答案】（1）y=3x-8；）（2）b=43±；（3）57≤k≤2． 【分析】（1）由“中心对称函数”的概念解答即可；（2）在函数2y x b =+求出两个点关于（0，b -）的中心对称点，则得到函数2C 的解析式，再根据C 2的图象与函数2y x=-的图象有且只有一个交点，得△=0，求出b 即可； （3）求出函数C 1：211y x =+关于（1，10）的中心对称函数2C ，再根据C 2的图象与函数3y kx k =+的图象始终有交点，得△≥0，求出k ，再根据x 的取值范围对k 进行检验．【详解】解：（1）由题意得：可在32y x =+上取（0，2）和（-23，0）， 两个点关于（1，0）的中心对称点分别是（2，-2）和（8,03）， 则得到函数32y x =+关于（1，0）的中心对称函数y=3x-8；（2）可在函数1C ：y=2x+b 上取（0，b ）和（-b ,02）， 两个点关于（0，b -）的中心对称点分别是（0，-3b ）和（,22b b -）， 则得到函数y=2x+b 关于（0，b -）的中心对称函数2C ： y=2x-3b ，又∵函数C 2的图象与函数2y x=-的图象有且只有一个交点， ∴2x+b=-2x22320x bx -+=△=29b 160-=b=±43（3）在函数C 1：211y x =+上取（0，11）、（1，12），两个点关于（1，10）的中心对称点分别是（2，9）、（1，8），则得到函数2C 的解析式：y=-245x x ++，当x=4时，y=5，∴A(4，5)，∵函数C 2的图象与函数3y kx k =+的图象在0≤x≤4上始终有交点，∴-245x x ++=kx+3k∴-2(4)530x k x k +-+-=∵△=2(4)+4(53)k k -⨯-=0∴22036k k -+=0解得：122,18k k ==，把A(4，5)代入y=kx+3k 得k=57， ∴k 的取值范围为57≤k≤2． 【点睛】本题考查了对“中心对称函数”的概念理解与运用和判别式的应用，掌握这些知识点是解题的关键． 9．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．（1）已知一次函数y ＝﹣2x +3的图象，求关于直线y ＝﹣x 的对称函数的解析式；（2）已知二次函数y ＝ax 2+4ax +4a ﹣1的图象为C 1；①求C 1关于点R （1，0）的对称函数图象C 2的函数解析式；②若两抛物线与y 轴分别交于A 、B 两点，当AB ＝16时，求a 的值；（3）若直线y ＝﹣2x ﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P ，不论m 取何值，抛物线y ＝mx 2+（m ﹣23）x ﹣（2m ﹣38）都不通过点P ，求符合条件的点P 坐标． 【答案】（1）y =1322x - ，(2) ①28161y ax ax a =-+-+ ，②910或7-10 （3）（1，1），(-2，7). 【分析】（1）取y =-2x +3上两点（0，3），（32，0），求出这两点关于y =-x 对称点，代入y =k x +b ，求出k ，b 的值则可以得出解析式； （2）①设C 2上的点为（x ，y ），其关于（1，0）的对称点代入C 1上，则可以求出C 2 的解析式； ②C 1与y 轴交于（0，4a -1）， C 2与y 轴交于（0，-16a +1）根据AB =16，列方程求出a 的值，（3）求出y =-2x -3关于原点对称函数为y =-2x +3，根据抛物线不通过点P ：222323()(2)(2)3838y mx m x m x x x =+---=+--+ ，令220x x +-= ，得出x ，将x 的值代入y =-2x +3中，由于函数值得唯一性，得出点P 的坐标.【详解】（1）取y =-2x +3上两点（0，3），（32 ，0）两点关于y =-x 对称点为（-3，0），（0，-32） 设y =x +b ，则0332k b b =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ ，解得1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ， 则1322y x =-- ， （2）①设C 2上的点为（x ，y ），其关于（1，0）的对称点为（2-x ，-y ），(2-x ，-y )在C 1上，则()()224241y a x a x a -=-+-+-C 2:28161y ax ax a =-+-+，②C 1关于y 轴交于（0，4a -1）， C 2关于y 轴交于（0，-16a +1），AB =｜(4a -1)-(-16a +1)｜=16，｜2a -2｜=16，解得a =910或-710 ， （3）y =-2x -3关于原点对称函数为y =-2x +3，抛物线:()222323223838y mx m x m x x m x ⎛⎫⎛⎫=+---=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令220x x +-= ，得x 1=1，x 2=-1，则抛物线经过（1，7-24 ），（-2，4124） 令x =1，y =-2x -3=1，令x =-2，y =-2x +3=7，点（1，1）（-2，7）在y =-2x +3上由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上，故P 为(1，1)或(-2，7)．【点睛】 此题是一次函数，二次函数的综合，包含求函数的解析式，函数的对称性，一次函数的点的坐标特征，二次函数图像和性质，以及一次函数与一元一次方程结合，解题的关键是熟悉一次函数，二次函数的图像和性质．10．（2020·湖南长沙市·九年级月考）已知y 是关于x 的函数，若其图像经过点(,2)P t t ，则称点P 为函数图像上的“偏离点”．例如：直线3y x =-上存在“偏离点”(3,6)P --．（1）在双曲线1y x =上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由． （2）若抛物线2212221239y x a x a a ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭上有“偏离点”，且“偏离点”为()11,A x y 和()22,B x y ，求22123ka w x x =+-的最小值（用含k 的式子表示）； （3）若函数21(2)24y x m t x n t =+-+++-的图像上存在唯一的一个“偏离点”，且当23m -≤≤时，n 的最小值为t ，求t 的值．【答案】（1）2P ⎛ ⎝和2P ⎛- ⎝；（2）2241632k k ++-；（2）4或1． 【分析】（1）根据“偏离点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“偏离点”；（2）设抛物线“偏离点”的坐标为P （x ，2x ），代入抛物线的关系式中得到关于x 的一元二次方程，因为有两个偏离点，则这两个偏离点的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，先由△的值确定a 的取值，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，再将所求式子代入w=x 12+x 22-3ka 进行变形，得到w 关于a 的二次函数，求最小值即可；（3）设函数“偏离点”的坐标为P （x ，2x ），代入函数的关系式中得到关于x 的一元二次方程，因为有一个偏离点，则△=0，得到n=（m-t ）2-t+2，把它看成一个二次函数，对称轴m=t ，分三种情况讨论：①t ＜-2，列方程，方程无解，没有符合条件的t 值；②t ＞3，列方程，解出t 并取舍；③当-2≤t≤3，同理得t=1．【详解】（1）设存在这样的“偏离点”P ，坐标为(),2t t ，将点P 的坐标代入双曲线1y x=得： 12t t =，221t =，解得2t =±， 故存在两个“偏离点”，坐标为2P ⎛ ⎝和2P ⎛- ⎝． （2）设抛物线“偏离点”的坐标为(),2P x x ， 将点P 的坐标代入抛物线2212221239y x a x a a ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭中得 22122221239x x a x a a ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭， 2212210239x ax a a -+--+=， ∵“偏离点”为()11,A x y 和()22,B x y ， ∴1x 、2x 是方程2212210239x ax a a -+--+=的两个根， 22212410329a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-⨯---+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 224221099a a a ⎛⎫∆=+--+≥ ⎪⎝⎭， 220a ∆=-+≥，∴1a ≤， ∵12243132a a x x +=-=-，2212214922192a a x x a a --+⋅==+--，()2221212122244222393233a ka a a ka ka w x x x x x x ⎛⎫=+-=+-⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 28(4)493k w a a =-++， ∵809>， ∴抛物线开口向上，且对称轴：4363391628kk a --+=-=⨯ ， ∴若36316k a +=≥1时，即36+3k≥16，则当a=1时，w 的最小值是：893k -； 若36316k a +=＜1时，即36+3k ＜16，k ＜203-，则当36316k a +=时， 则w 小=28449849(4)3k ⨯⨯-⨯+=21313242k k ---=2241632k k ++- ； （3）设函数“偏离点”的坐标为(),2P x x ， 将点P 的坐标代入函数()21224y x m t x n t =+-+++-得 ()21224x x m t x n t =+-+++-， ()21204x m t x n t +-++-=， ∵存在唯一的一个“偏离点”，∴()()214204m t n t ∆=--⨯⨯+-=，()22n m t t =--+，这是一个n 关于m 的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m t =，对称轴左侧，n 随m 的增大而减小；对称轴右侧，n 随m 的增大而增大；①2t <-，当23m -≤≤时，在对称轴右侧递增，∴当2m =-时，n 有最小值为t ，即()222t t t ---+=，2260t t ++=， 44160∆=-⨯⨯<，方程无解，②3t >，当23m -≤≤时，在对称轴左侧递减，∴当3m =时，n 有最小值为t ，即()232t t t --+=，解得14t =243t =<（舍），③当23t -≤≤，当23m -≤≤时，n 有最小值为2t -+，∴2t t -+=，1t =．综上所述，t 的值为4+或1．【点睛】本题是一个阅读理解问题，考查了对函数“偏离点”的掌握和运用，还考查了反比例函数和二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，函数有最小值，当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．。

2023长沙中考数学压轴题

2023长沙中考数学压轴题

2023年长沙数学压轴题（回忆版）1．2023年长沙中考第24题点A B C 、、在O 上运动，满足222AB BC AC =+，延长AC 至点D ，使得DBC A =∠∠，点E 是弦AC 上一动点（不与A C 、重合），过点E 作弦AB 的垂线，与AB 交于点F ，交BC 的延长线于点N ，交O 于点M （点M 在劣弧AC 上）． （1）求证：BD 是O 的切线；（2）记 BDC ABC ADB △，△，△的面积分别为12 S S S ，，，若()212S S S =，求()2tan D 的值； （3）若O 的半径为1，设FM x =，11FE FN y BC BN AE AC+=，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．2．2023年长沙中考第25题我们约定：若关于x 的二次函数()221111222212 0y a x b x c y a x b x c a a =++=++，≠同时满足()2120b b +=，()2023120b b −≠，则称函数1y 与2y 互为“美美与共”函数．（1）若关于x 的二次函数2123y x kx =++与22y mx x n =++互为“美美与共”函数，求k m n 、、的值；（2）非零实数r s 、，点() P r t ，与()() Q s t r s ，≠始终在关于x 的函数212y x rx s =++的图象上运动，函数1y 与2y 互为“美美与共”函数，求： ①函数2y 的对称轴；②函数2y 的图象是否经过某两个定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由； （3）二次函数21y ax bx c =++顶点为A ，2y 是1y 的“美美与共”函数，顶点为B ，1y 与x 轴交于C D 、两点，2y 与x 轴交于E F 、两点，若CD EF =，问以A B C D 、、、为定点的四边形可能为正方形吗？如果可能，求出正方形面积的取值范围；如果不能，请说明理由．。

2023长沙中考数学压轴题解析

2023长沙中考数学压轴题解析

2023年长沙中考数学压轴题解析随着教育教学改革的不断深入，中考数学在考试命题上也越来越注重考查学生的数学能力和解决问题的能力。

尤其是在长沙中考数学压轴题上，更是要求考生具备较强的逻辑思维和数学运算能力。

那么，在2023年的长沙中考数学试卷中，数学压轴题会涉及哪些内容呢？本文将围绕着2023年长沙中考数学压轴题进行深入解析，帮助广大中学生和家长更好地了解这一部分内容。

一、题目展示2023年长沙中考数学压轴题的题目是：...（这里可以插入具体的题目描述）二、题目解析我们先来看一下题目给出的具体条件，分析一下题目的意思和要求。

我们可以尝试从简单的角度入手，列出一些基本的解题思路和方法。

我们可以逐步深入，探讨不同的解题思路和解题方法，引导学生逐步思考、分析和解决问题。

（此处可依据实际题目展开解析）三、解题方法在这一部分，我们可以探讨一些解题的具体方法和技巧，比如代数法、几何法、逻辑推理法等。

尤其是要引导学生关注解题的过程和思路，而不仅仅是得到答案。

这样能够帮助他们提高解决实际问题的能力，并在数学学习中形成更完整的知识体系。

四、个人观点在这一部分，可以共享一些个人对这道压轴题的解题思路和看法，或者对数学学习的一些感悟和体会。

这样不仅能够加深学生对题目的理解，也能够让他们在实际学习中更好地运用数学知识和技巧。

五、总结回顾我们可以对整篇文章进行总结和回顾，概括出学习这道数学压轴题的一些重点和要点。

也可以为学生提供一些建议和指导，帮助他们更好地准备考试，提高数学学习的效果。

通过这篇文章的阅读，相信广大中学生和家长对2023年长沙中考数学压轴题有了更深入的了解。

在未来的学习中，希望大家能够根据这些解题思路和方法，更好地应对各种数学考试，取得更好的成绩。

也希望大家在学习数学的过程中，能够体会到数学的魅力和趣味，形成对数学学科的浓厚兴趣。

2023年长沙中考数学压轴题可能涉及的内容将会更加贴近生活，更注重考查学生的实际解决问题的能力。

2024年湖南中考数学压轴题

2024年湖南中考数学压轴题

1. 解方程 2(x - 5) + 3 = 7x - 4，x 的值是多少？- A. 3- B. 4- C. 5- D. 62. 在一个直角三角形中，两个直角边的长度分别为6 cm和8 cm。

斜边的长度是多少？ - A. 10 cm- B. 12 cm- C. 14 cm- D. 15 cm3. 已知一个等边三角形的边长为9 cm，它的面积是多少？（用√3 表示）- A. 27√3 cm²- B. 36√3 cm²- C. 45√3 cm²- D. 54√3 cm²4. 一个圆的直径是14 cm。

这个圆的周长是多少？（用π表示）- A. 14π cm- B. 28π cm- C. 42π cm- D. 56π cm5. 解不等式 5x - 3 < 2x + 9，x 的范围是多少？- A. x < 4- B. x > 4- C. x < 6- D. x > 66. 在一个等差数列中，首项为5，公差为3，第10项是多少？- A. 32- B. 35- C. 38- D. 417. 一个长方体的长是8 cm，宽是5 cm，高是3 cm。

它的体积是多少？- A. 100 cm³- B. 120 cm³- C. 130 cm³- D. 150 cm³8. 一组数据 {2, 4, 6, 8, 10, 12} 的平均数是多少？- A. 6- B. 7- C. 8- D. 99. 已知一个长方形的周长是36 cm，宽是8 cm。

这个长方形的长是多少？ - A. 8 cm- B. 10 cm- C. 12 cm- D. 16 cm。

专题 压轴题--湖南省2014-2017年中考数学试题分项解析(解析版)

专题 压轴题--湖南省2014-2017年中考数学试题分项解析(解析版)

一、选择题1.（2014年，湖南省长沙市，3分）函数y=ax与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【考点】1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．2.（2014年湖南省株洲市，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）3．（2016年湖南省娄底市，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【答案】C．考点：锐角三角函数的增减性．4．（2016年湖南省永州市，4分）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：3根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，②log 525=5，③log 2=﹣1．其中正确的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】B. 【解析】试题分析：根据表格中的规律可得:①因为24=16，此选项正确；②因为55=3125≠25，所以此选项错误；③因为2﹣1=21，所以此选项正确；故答案选B ． 考点：实数的运算．5. （2016年湖南省岳阳市，3分）对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜b 时，max{a ，b]=b ；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x 的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】考点：分段函数6．（2016年湖南省长沙市，3分）已知抛物线y=ax 2+bx+c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②关于x 的方程ax 2+bx+c+2=0无实数根； ③a ﹣b+c ≥0； ④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D ．考点：二次函数的图象与系数的关系.1．（2014年，湖南省衡阳市，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为▲ ．2．（2015·湖南常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1。

03挑战压轴题(解答题(一))-2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(湖南长沙卷)(解析版)

03挑战压轴题(解答题(一))-2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(湖南长沙卷)(解析版)

∴四边形 CFOE 是矩形，
∴CE = OF = 3 ， O=E C=F 1 ， ∴ BF = BC + CF = 3 ， ∴ BO = BF 2 + OF 2 = 9 + 3 = 2 3 ，
当点 D 在 BO 的延长线时， BD 的长有最大值， ∴ BD 长的最大值 = BO + OD = 2 3 + 2 ．
∴BF= AF 2 − AB2 = − x2 + 2x + 3 CF= EF 2 - CE 2 = x2 −1
∵△ABF∽△FCE ∴ AB = CF ， ∴ x + 1 = x 2 −1
AF EF
4x + 4
x
（
∴
x + 1）2 =
x +1•
x −1
2 x +1
x
解得：x=2
∴ tanα + tan β = 1 + 2 = 2 3 3 23 3
2.（2019 年长沙中考第 24 题）根据相似多边形的 定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四 边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真” 或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（
；（3）
S1 S2
=1
【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断．
（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
（3）四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，证明相似比是 1 即可解决问题，即证明 DE=AE 即可．
【详解】解（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．

长沙中考数学压轴题专项训练及解析

长沙中考数学压轴题专项训练及解析

长沙市中考数学压轴题专项训练试题长沙市中考数学的第25题和第26题为压轴题，第25题为新定义题，第26题为二次函数综合性试题，我们认真研究了近几年长沙中考数学压轴题的命题方向，分别为大家设置了四道经典试题，希望大家认真解答，然后理解试题的思路，掌握这几道题的解题方法。

1．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（﹣8，0），设抛物线解析式为：y=ax2+c，则，解得：故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；（2）正确，理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），∵D（0，6），∴PD===a2+2，PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，∴PD﹣PF=2；（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为﹣4，将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6），由（2）得：P（a，﹣a2+8），∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），①当﹣4≤a＜0时，S△PDE=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣•（﹣a2+8﹣6）=；∴4＜S△PDE≤12，②当a=0时，S△PDE=4，③﹣8＜a＜﹣4时，S△PDE=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）×（﹣a2+8）×=﹣a2﹣3a+4，∴4≤S△PDE≤13，④当a=﹣8时，S△PDE=12，∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（﹣4，6）．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．2．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y=ax+b，解得：a=3，b=0，∴直线y=3x，抛物线解析式：y=3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b=0，∴（ax+b）（x﹣1）=0，解得：x=﹣，x=1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C为直线y=﹣4x上一点，∴b=﹣4a．∵抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴．∴点D的坐标为（2，0）．∵点F的坐标为（1，0），∴DF=1．∵特征直线y=ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为（0，b）．∵点C的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE=DF=1．∴a=﹣1．∴特征点C的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，6），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜＜2，解得：﹣1＜a＜﹣，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE=DF，∴|a|=|1+|，∴1+=a或1+=﹣a，整理得：b=2a2﹣2a或b=﹣2a2﹣2a，即：b=2（a﹣）2﹣或b=2（a+）2﹣，当b=2（a﹣）2﹣时，∵﹣1＜a＜﹣，∴，当b=2（a+）2﹣，∵﹣1＜a＜﹣，∴．综上所述：或．【点评】题目考查了新定义特征点、特征线及二次函数综合应用，题目整体难易适中，对学生最大的难点在于对新定义的理解．适合学生对中考压轴题目训练．3．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．【解答】解：（1）若l：y=﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）．∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴D（﹣2，0）．设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：，解得，∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），则D（﹣4，0），A（1，0）．∴B（0，4）．设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：，解得，∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4．（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），令y=0，即mx+n=0，得x=﹣；令x=0，得y=n．∴A（﹣，0）、B（0，n），∴D（﹣n，0）．设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），∵DN=AN，∴﹣﹣x=x﹣（﹣n），∴2x=﹣n﹣，∴P的对称轴为x=﹣．（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4），∴C（0，2）、D（﹣4，0）．可求得直线CD的解析式为：y=x+2．由（2）可知，P的对称轴为x=﹣1．∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，∴FQ∥CE，且FQ=CE．设直线FQ的解析式为：y=x+b．∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|x F﹣（﹣1）|=|x F+1|=1，解得x F=0或x F=﹣2．∵点F在直线l l：y=﹣2x+4上，∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=x+4，当x=﹣1时，y=，∴Q1（﹣1，）；若F（﹣2，8），则直线FQ的解析式为：y=x+9，当x=﹣1时，y=，∴Q2（﹣1，）．∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．（4）如答图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG=AB，OH=CD．由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点M为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG=OM=•=2，∴AB=2OG=4．∵l：y=mx﹣4m，∴A（4，0），B（0，﹣4m）．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（﹣4m）2=（4）2，解得：m=﹣2或m=2，∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=﹣2．∴l表示的函数解析式为：y=﹣2x+8；∴B（0，8），D（﹣8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=﹣x2﹣x+8．【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、旋转变换、平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理等多个知识点，综合性较强，有一定的难度．题干中定义了“关联抛物线”与“关联直线”的新概念，理解这两个概念是正确解题的前提．4. 如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点，求出r的取值范围．【解答】解：（1）∵O、B是抛物线与x轴的两个交点，A是抛物线的顶点，∴AO=AB，∴△AOB是等腰三角形，∴“抛物线三角形”一定是等腰三角形；（2）∵以原点O为对称中心的四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，令y=0，则﹣x2+bx=0，解得x1=0，x2=b，∴OB=b，∵AE⊥OB，∴OE=，AE=b，∴点A的坐标为（，b），代入抛物线得，﹣（）2+b×=b，解得b=2，∴点A（，3），∵C、D分别为A、B关于原点的对称点，∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0），设过O、C、D三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx，则，解得，所以，过O、C、D三点的抛物线的表达式为y=x2+2x；（3）由（2）可知，∵△AOB是等边三角形，∴∠ADE=90°﹣60°=30°，又∵DE=OE+OD=+2=3，∴点E到AD的距离=DE•sin30°=3×=，∴当r=或3＜r≤3时，以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线的对称性，矩形的性质等边三角形的判定与性质，关于原点对称的点的坐标，直线与圆的位置关系，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”是解题的关键，（3）要注意圆与线段AD相切的情况．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，注意要分情况讨论．6．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.4分）设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．（5分）∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．7．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．【解答】解：（1）y=﹣x2+2，x=0时，y=2，y=0时，x=±2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0≤t＜2时，OP=（2﹣t），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2+t，当2＜t≤4时，OP=（t﹣2），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2﹣t，∴；（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，AC=MC=BC时，M点坐标为（0，2﹣2）和（0，2+2）当AC=AM=BC 时，M为（0，﹣2）当AM=MC=BM时M为（0，0）．∴一共四个点，（0，），（0，），（0，﹣2），（0，0）；（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．由AP=t，可得AE=．∵GH∥OP∴即=，解得GH=，所以GC=GH=．于是，GE=AC﹣AE﹣GC==．即GE的长度不变．当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．由AP=t，可得AE=．由即=，∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH，∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2），∴2tGH=t（t﹣2），解得GH=，所以GC=GH=．于是，GE=AC﹣AE+GC=2﹣t+=，即GE的长度不变．综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值．【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE=k1x+b1，则，解得：，∴y AE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P=x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=y D+y Q=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．。

2020秋长沙初三各学校数学压轴题汇总

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广益12. 关于x 的一元二次方程0212=++bx ax 有一个根是1-，若二次函数212++=bx ax y 的图象的顶点在第一象限，设b a t +=2，则t 的取值范围是（ ） A.2141<<tB. 411≤<-tC. 2121<≤-t D. 211<<-t 18. 二次函数()02≠++=a c bx ax y 图象如图所示，下列结论：①0>abc ；②02=+b a ；③当1≠m 时，bm am b a +>+2；④0>+-c b a ；⑤若222121bx ax bx ax +=+，且21x x ≠，则221=+x x . 其中正确的有 （填序号）.25. 已知点M 为关于x 的二次函数22222+-+-=m am amx ax y （0≠a ，m 为常数）的顶点. （1）若此二次函数与x 轴只有一个交点，试确定m 的值； （2）已知以坐标原点O 为圆心的圆半径是54，试判断点M 与O 的位置关系，若能确定，请说明理由，若不能确定，也请分类讨论之；（3）对于任意实数m ，点M 都是直线l 上一点，直线l 与该二次函数相交于A 、B 两点，a 是以3、4、5为边长的三角形内切圆的半径长，点A 、B 在以O 为圆心的圆上. ①求O 的半径； ②求该二次函数的解析式.26. 我们预定：对角线相等的凸四边形称之为“等线四边形”（1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是 ； ②如图1，若四边形ABCD 是“等线四边形”，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点，依次连接E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH ，请判断四边形EFGH 的形状 ； （2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,2-A 、()0,8B 、()8,9-P ，以AB 为直径作圆，该圆与y 轴的正半轴交于点C ，若Q 为坐标系中一动点，且四边形AQBC 为“等线四边形”，当PQ 的长度最短时，求经过A 、B 、Q 三点抛物线的解析式；（3）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是“等线四边形”，A 在x 负半轴上，D 在y 轴的负半轴上，且41=AD ，点B 、C 分别是一次函数343+-=x y 与y 、x 轴的交点，动点P 从点D 开始沿y 轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为t 秒，以点P 为圆心，半径5854+=t R 单位长度作圆，问：①当P 与直线BC 初次相切时，求此时运动的时间0t ；②当运动的时间t 满足0t t >且54≤CP 时，P 与直线BC 相交于点M 、N ，求弦长MN 的最大值.图1FBC图2图3中雅12.如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O →C →D →O 路线作匀速运动设运动时间为t （s ），∠APB=y °，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）A.B.C.D.16.如图，已知△ABC 中，∠BAC =60°，D 是线段BC 上一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC于E 、F 。

2024年长沙中考数学压轴题

2024年长沙中考数学压轴题

2024年长沙中考数学压轴题一、在直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,2)，以原点O为圆心，半径为r的圆与线段AB有且仅有一个公共点，则r的值不可能是？A. 1B. 根号2C. 根号5D. 3（答案）D。

解析：线段AB的长度为根号下(12+22)=根号5，当r=1时，圆与线段AB的端点A相切；当r=根号2时，圆过线段AB的中点；当r=根号5时，圆与线段AB的端点B相切；而当r=3时，圆会同时与线段AB的两个端点都相交，或与线段AB无交点，故r不可能为3。

二、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(1,0)，(2,0)，(3,4)，则a的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）B。

解析：由题意知，二次函数的图像经过点(1,0)，(2,0)，所以其对称轴为x=1.5，且可设二次函数为y=a(x-1)(x-2)，将点(3,4)代入得4=a(3-1)(3-2)，解得a=2。

三、在三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为AB上的一点，且AE=1:2，AD与CE相交于点F，则S三角形ADF三角形ABC等于？A. 1:6B. 1:8C. 1:9D. 1:12（答案）A。

解析：过点D作AB的平行线交CE于点G，由于D是BC的中点，所以DG是三角形CBE的中位线，有DG=0.5BE，且DG平行于BE，所以三角形ADG与三角形ABE相似，且相似比为1:2，又因为AE=1:2，所以AE=DG，所以三角形ADG与三角形AEF全等，所以S三角形ADF=S三角形AGD=0.5S三角形ADG，而S三角形ADG=0.25S三角形ABC，所以S三角形ADF三角形ABC=1:6。

四、若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是？A. m<1B. m>1C. m<0D. m>0（答案）A。

解析：一元二次方程有两个不相等的实数根，需要满足判别式Δ=b2-4ac>0，将方程的系数代入得Δ=(-2)2-41m=4-4m>0，解得m<1。

2024年湖南省长沙市中考数学试卷及答案

2024年湖南省长沙市中考数学试卷及答案

2024年湖南省长沙市中考数学真题试卷一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题,每小题3分,共30分)1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动,截至2024年6月上旬,上线慕课数量超过7.8万门,学习人次达1290000000,建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为()A.81.2910⨯ B.812.910⨯ C.91.2910⨯ D.712910⨯3.“玉兔号”是我国首辆月球车,它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉免号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是-180℃,最高温度是150℃,则它能够耐受的温差是()A.180o C- B.150O CD.330O C C.30O C4.下列计算正确的是()A.642x x x ÷= B.+=C.325()x x = D.222()x y x y +=+5.为庆祝五四青年节,某学校举办班级合唱比赛,甲班演唱后七位评委给出的分数为:9.5,9.2,9.6,9.4,9.5,8.8,9.4,则这组数据的中位数是()A.9.2B.9.4C.9.5D.9.66.在平面直角坐标系中,将点(3,5)P 向上平移2个单位长度后得到点'P 的坐标为()A.(1,5)B.(5,5)C.(3,3)D.(3,7)7.对于一次函数21y x =-,下列结论正确的是()A.它的图象与y 轴交于点(0,1)-B.y 随x 的增大而减小C.当12x >时,0y < D.它的图象经过第一、二、三象限8.如图,在ABC ∆中,60,50O O BAC B ∠=∠=,//AD BC ,则1∠的度数为()A.50oB.60oC.70oD.80o9.如图,在O 中,弦AB 的长为8.圆心O 到AB 的距离4OE =.则O 的半径长为()A.4B.2C.5D.210.如图,在菱形ABCD 中,6,30O AB B =∠=,点E 是BC 边上的动点,连接,AE DE ,过点A 作AF DE ⊥于点F .设,DE x AF y ==,则y 与x 之间的函数解析式为()(不考虑自变量x 的取值范围)A.9y x=B.12y x=C.18y x=D.36y x=二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势,每种秧苗各随机抽取40株,分别量出每株高度,计算发现三组秧苗的平均高度一样,并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6,10.8,15.8,由此可知____种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”).12.某乡镇组织“新农村,新气象”春节联欢晚会,进入抽奖环节.抽奖方案如下:不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有3个,蓝球有5个,每次摇匀后从中随机摸一个球,摸到红球获一等奖,摸到黄球获二等奖,摸到蓝球获三等奖,每个家庭有且只有一次抽奖机会.小明家参与抽奖,获得一等奖的概率为_______.13.要使分式619x -有意义,则x 需满足的条件是______.14.半径为4,圆心角为90o 的扇形的面积为______(结果保留π).15.如图,在ABC ∆中,点,D E 分别是,AC BC 的中点,连接DE =.若12DE =,则AB 的长为______.16.为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生、其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是____.三、解答题(本大题共9个小题,第17,18,19题每小题6分,第20,21题每小题8分第22,23题每小题9分,第24,25题每小题10分,共72分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:101()32cos30( 6.8)4o π-+----18.先化简,再求值:2(2)(3)(3)m m m m m --++-,其中52m =.19.如图,在Rt ABC ∆中,90,2oACB AB AC ∠===,分别以点,A B 为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧分别交于点M 和N .作直线MN 分别交,AB BC 于点,D E ,连接,CD AE .(1)求CD 的长;(2)求ACE ∆的周长.20.中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下,瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线,加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年,中国新能源汽车产销量均突破900万辆,连续9年位居全球第一.在某次汽车展览会上,工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型),并将数据整理后,绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图.类型人数百分比纯电m 54%混动n%a 氢燃料3%b 油车5%c 请根据以上信息,解答下列问题:(1)本次调查活动随机抽取了_______人;表中a =____,b =______;(2)请补全条形统计图;(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数;(4)若此次汽车展览会的参展入员共有4000人,请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人?21.如图,点C 在线段AD 上,,,AB AD B D BC DE =∠=∠=.(1)求证:ABC ADE ∆≅∆;(2)若60O BAC ∠=,求ACE ∠的度数.22.刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外.在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A,B 两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元,购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元.(1)求A 种湘绣作品和B 种湘绣作品的单价分别为多少元?(2)该国际旅游公司计划购买A 种湘绣作品和B 种湘绣作品共200件,总费用不超过50000元,那么最多能购买A 种湘绣作品多少件?23.如图,在ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点,90O O ABC ∠=.(1)求证:AC BD =;(2)点E 在BC 边上,满足CEO COE ∠=∠.若6,8AB BC ==,求CE 的长及tan CEO ∠的值。

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长沙市中考数学压轴题1、（本题满分10分）【2008】如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r （常数）的⊙O ，其中AD 为直径，且AB=CD=DE=FA. （1）当∠BAD=75︒时，求BC ⌒的长；（2）求证：BC ∥AD ∥FE ；（3）设AB=x ，求六边形ABCDEF 的周长L 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，L 取得最大值.2、（本题满分10分）【2009】如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．3、（本题满分10分）【2010】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在xP 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．D第26题图4、（本题满分10分）【2011】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一动点，以线段AP 为一边，在其一侧作等边三角形APQ ．当点P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为B ．（第26题）（1）求点B 的坐标；（2）求证：当点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时，∠ABQ 为定值；（3）是否存在点P ，使得以A 、O 、Q 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 5、（本题满分10分）【2012】如图半径分别为m,n ）（n 0〈〈m 的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P,Q 两点，且点P （4,1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H 。

（1）求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ； （3）令四边形PO 1QO 2的面积为S 1,四边形RMO 1O 2的面积为S 2.试探究：是否存在一条经过P,Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为ds s 2-21的抛物线？若存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

6、（本题满分10分）【2007】如图，平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE=x ，△DEF 的面积为S ． （1）求证：△BEF ∽△CEG ；（2）求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； （3）当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？xy QBAOP. .7、（本题满分10分）【2006】 如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．8、（本题满分10分）【2005】答案1．(1)连结OB 、OC ，由∠BAD=75︒，OA=OB 知∠AOB=30︒， ·········· （1分） ∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30︒，∴∠BOC=120︒， ·············· （2分） 故BC⌒的长为3r 2π． ··························· （3分） (2)连结BD ，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD， ·········· （5分） 同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE． ··················· （6分） (3)过点B 作BM⊥AD 于M ，由(2)知四边形ABCD 为等腰梯形，从而BC=AD-2AM=2r-2AM ． （7分）∵AD 为直径，∴∠ABD=90︒，易得△BAM∽△DAB∴AM=AD AB 2=r x 22，∴BC=2r -r x 2，同理EF=2r-rx 2············ （8分）∴L=4x+2(2r -r x 2)=r x x r 4422++-=()r r x r622+--，其中0＜x ＜r 2 ·· （9分）∴当x=r 时，L 取得最大值6r ． ···················· （10分）y xOyxOPA图2图1BBA2、略3、26．解：(1) ∵CQ ＝t ，OP =2t ，CO =8 ∴OQ =8－t ∴S △OPQ ＝212(8)24222t t t t -=-+（0＜t ＜8） …………………3分 (2) ∵S 四边形OPBQ ＝S 矩形ABCD －S △P AB －S △CBQ＝11882828(822)22t t ⨯-⨯-⨯⨯-＝322 ………… 5分 ∴四边形O PBQ 的面积为一个定值，且等于322 …………6分（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB ＝90°又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ ∽△ABP ………………7分 ∴828822t tt-=-解得：t ＝4 经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度） 此时P （42，0）∵B （82，8）且抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点， ∴抛物线是212284y x x =-+，直线BP 是：28y x =- …………………8分 设M （m , 28m -）、N (m ，212284m m -+)∵M 在BP 上运动 ∴4282m ≤≤ ∵2112284y x x =-+与228y x =-交于P 、B 两点且抛物线的顶点是P ∴当4282m ≤≤时，12y y > ………………………………9分 ∴12MN y y =-＝21(62)24m --+ ∴当62m =时，MN 有最大值是2 ∴设MN 与BQ 交于H 点则(62,4)M 、(62,7)H ∴S △BHM ＝13222⨯⨯＝32 ∴S △BHM ：S 五边形QOPMH ＝32:(32232)-＝3:29∴当MN 取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分4、（1）过点B 作BC ⊥y 轴于点C ， …………………………………………… 1分∵A （0，2），△AOB 为等边三角形，∴AB=OB=2，∠BAO =60︒，∴BC =3，OC =AC =1，即B (3，1). ………………… 3分（2）当点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时，不失一般性， ∵∠P AQ =∠O AB=60︒，∴∠P AO =∠QAB ，……………… 4分 在△APO 和△AQB 中，∵AP =AQ ，∠P AO =∠QAB ，AO =AB ，∴△APO ≌△AQB 总成立， …………………………………………… 5分 ∴∠ABQ =∠AOP =90︒总成立，∴点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时，∠ABQ 为定值90︒. ………… 6分 （3）由（2）可知，点Q 总在过点B 且与AB 垂直的直线上， 可见AO 与BQ 不平行. ……………………………………………… 7分 ①当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方， 此时，若AB ∥O Q ，四边形AOQB 即是梯形.当AB ∥OQ 时，∠BQO=90︒，∠BOQ =∠ABO =60︒， 又OB =OA =2，可求得BQ =3， 由（2）可知△APO ≌△AQB ，∴OP =BQ =3，∴此时P 的坐标为（－3，0）. ………………………………………… 9分 ②当点P 在x 轴正半轴上时， 点Q 在点B 的上方，此时，若AQ ∥OB ，四边形AOBQ 即是梯形. 当AQ ∥OB 时， ∠QAB =∠ABO =60°, ∠ABQ=90°，AB =2，∴BQ =32.由（2）可知△APO ≌△AQB ，∴OP =BQ =32，∴此时P 的坐标为（32，0）.综上，P 的坐标为（－3，0）或（32，0）.5、(1) 由题意可知，两圆的圆心都在第一、三象限的角平分线上，故所求解析式为： y=x (2) ∵O 1(m,m),O 2(n,n)(m ﹤n),两圆的半径分别为m,n ，∴O 1P=m,O 2P=n,由题意及勾股定理得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222)4-()1-)-4()1-nn n mm m （（ 解得：m=22-5, n=225+故d=O 1O 2=8242)-(2=⨯=n m(也可构造一元二次方程，利用韦达定理求解)(3)方法1；∵P(4,1)，根据对称性，Q(1,4),故PQ=23,∵PQ ⊥O 1O 2;∴S 1=，212823212121=⨯⨯=•O O PQ S 2=220)-)((21=+m n n m 故d s s 2-21=182220-212=⨯；∵P(4,1),即P 到y 轴的距离=4，P 又在x 轴上方，故当抛物线开口向下时，且过P,Q 两点时，抛物线在x 轴上截得的距离不可能为1，故不存在这样的抛物线；方法2：同上求出ds s 2-21=1，设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为（x 1,0）,(x 2,0);则，1-21=x x 设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，于是有： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆=++=++141416ac b a c b a 解得：0110-82=+a a ，求得8175±=a ﹥0，与题意矛盾，故不存在这样的抛物线。

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