杨辉三角中的“几何图形”

解题篇创新题追根溯源
高二数学2019年5月剧劇•那圧代扬辉三毎G的“几何图形”
■陕西省武功县教育局教研室杨辉，是我国南宋时期一位杰出的数学
家。

在他所著的《详解九章算法》一书中，画
了一张表示二项式展开后的系数构成的三角
图形，现在简称为“杨辉三角”，它是数学史上
的一大重要研究成果。

一般地.杨辉三角是指如下的图形：李歆
解：因为C；=1,C；=3,C[=1O,所以此
“三角形”中第1行、第3行、第5行最中间的
数依次应是杨辉三角中的第2行第1个数、
第4行第2个数、第6行第3个数，由此可
知，此“三角形”中的第7行最中间的数应是
杨辉三角中的第8行第4个数，即为©= 11
121
1331
14641
15101051
1615201561
第”项l.C：-!,C4，…，©二；，C：T,…，C：：］,1第n+1项 1.C：,&,•••,C：7,（：：,•••,cr1,!
图1
从上面的图形中，很容易发现，这个三角形的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数都等于它肩上的两个数相加。

例如.2= 1+1,3=1+2,4=1+3,6=3+3,等等。

在一般情形下，若令C°=1,C：_,=O,则有C㈡+C；_1=C；(r=l,2,—,n).这个等式被称为杨辉恒等式，它是杨辉三角最基本的性质。

当我们把杨辉三角中的上下左右相连的部分数看成一个独立的整体，那么就会发现一些非常有趣的“几何图形”，从而挖掘出杨辉三角“形”的秘密。

一、杨辉三角中的“三角形”
伸I/在图2所示的“三角形”中.第7
行最中间的数是____O
1第1行
12第2行
133第3行
1464第4行
1510105第5行
点评：求解此题关键有两点：一是找岀第7行是杨辉三角中的第几行，二是找出最中间的数是杨挥三角中的第几行的第几个数。

只有找出这两个结果，才能顺利解题。

二、杨辉三角中的“梯形”
15*12在图3所示的“梯形'‘中，第8行的第2个数是_____o
33第1行
464第2行
510105第3行
61520156第4行
图3
解：因为C；=3,所以此“梯形”中第1行的第2个数应是杨辉三角中的第1+3=4行的第3个数，由此可知，此“梯形”中的第8行的第2个数应是杨辉三角中的第8+3=11行的第3个数，即为Cf°=捫|y=45。

点评：由此“梯形''中第1行的第2个数入手，找出它在杨辉三角中的具体位置，是求解此题的关键。

三、杨辉三角中的"平行四边形”
15>1?在图4所示的“平行四边形”中，第6行的第1个数是_____o
4641第1行
101051第2行
201561第3行
352171第4行
图2图*
33
从尿诫■解题篇创新题追根溯源T今虫愈圧U高二数学2019年5月
解：因为C：=4,C〔=10,Cg=20,C?= 35,所以此“平行四边形”中的前四行的第1个数依次应是杨辉三角中的第5行的第2个数、第6行的第3个数、第7行的第4个数、第8行的第5个数，由此可知，此“平行四边形”中的第6行的第1个数应是杨辉三角中
9I
的第10行的第7个数，即&=話珂=84。

点评：如果从第2行起，移动每一个数，并将它们与第1行的各个数对齐，那么此“平行四边形”就变成了“矩形”，这样一变，图中的规律便变得隐蔽起来，从而题目的难度将会增加。

四、杨辉三角中的“菱形”
捌U在图5所示的菱形中，第（5）个“菱形”是
1234 123364105 361015 (1)（2）（3）(4)
图5
解：由前4个“菱形”可知，第（5）个“菱形”最上面的数应为5,第2行的两个数应为15,6,最下面的数应为15+6=21。

5
所以，第（5）个“菱形”是：156
21
点评：此题给出的前4个“菱形"，具有明显的规律性：（1）每个“菱形”的第1行是按顺序排列的自然数；（2）每个“菱形”右上斜边是连续的两个数；（3）从第2个“菱形''开始，后面毎1个“菱形”第2行的第1个数是前1个“菱形"最下面的数。

五、杨辉三角中的“六边形”
伸1F在图6所示的“六边形”中，第（4）个“六边形”是——O
11331010 121464152015 3310103535
(1)（2）（3）
图6角中找出这两个数的位置以及下面两行相邻的数，即得此“六边形”中第（4）个“六边形”是：
3535
567056
126126
点评：按照题中给出的前3个“六边形"，写出第（4）个“六边形”的第1行很容易，关键是如何找出第2行的第1个（或第3个）数。

对此可以利用“还原法”和“补数法''完成，即将题中给出的3个“六边形”先还原为杨辉三角，然后补上所需要的数，即可得到答案。

六.“倒立”的杨辉三角
捌6图7是“倒立”的杨辉三角，则第（4）个“倒立”的杨辉三角最下面的数是_____o 111211331
233464
61010
20
(1)（2）（3）
图7
解：由前3个图示可知，第4个“倒立”的杨辉三角的第1行的五个数应为1,4,6,4,1,由此可知第2行的四个数应为5,10,10,5,第3行的三个数应为15,20,15,第4行的两个数应为35,35,第5行的一个数应为70,所以第（4）个“倒立”的杨辉三角最下面的数是70。

点评：如果由前3个图示给出的最下面的数2,6,20,去猜测或者求解第（4）个“倒立''的杨辉三角中最下面的数，那么难度会很大，但是由上而下去看，则规律明显，虽然要一行一行去推出每个数，却能稳操胜券。

七、“侧放”的杨辉三角
捌7图8是“侧放”的杨辉三角，则第（4）个“侧放”的杨辉三角最前面的数是_____。

2070
126
31035126 14151556
152184
628
36
(1)（2）（3）
解：由前3个“六边形”可知，第4个“六边形”第1行的两个数应为35,35,在杨辉三
图8
解：由给出的图示可知，第1个、第2个、
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髙二数学2019年5月
中孝生皋浬化
第3个“侧放”的杨辉三角最前面的数依次是1,4,15,因为C；=1,C：=4,&=15,所以它们应是杨辉三角第3行的第1个数、第5行的第2个数、第7行的第3个数，由此可知，第（4）个“侧放”的杨辉三角最前面的数应是杨辉三角第9行的第4个数，即为C；=
变式2：图11是“倒立”的杨辉三角，则第（4）个“倒立”的杨辉三角最下面的数是_____。

21331464 34651010
101520
35
(1)（2）（3）
点评：一般地，按照此题“侧放”的杨挥三角，第（n）个最前面的数是=
（2n）!
5—1）!5+1）!°
八、“X型”的杨辉三角
例0图9是“X型”的杨辉三角，则第（4）个“X型”的杨辉三角最中间的数是____。

图11
杨辉三角是我国古代数学传承下来的珍贵文化，它形中有数，数中有形，看似简单平凡，却内涵十分丰富，是数与形结合的最佳产物。

当我们走进杨辉三角，对它的内部结构和形状进一步探究时，就会挖掘出许多有价值的智力资源，从而不断提升我们的解题智慧O
（责任编辑赵平）
1331464 51010
12461520
31035 4615205670
21353584126126
120210252210
(1)（2）（3）
图9
解：由给出的图示可知，第（1）个、第（2〉个、第（3）个“X型''的杨辉三角最中间的数依
次是3,10,35,因为C；=3, C：=10,C弓=35,
所以它们应是杨辉三角第4行的第2个数、
第6行的第3个数、第8行的第4个数，由此
可知，第（4）个“X型”的杨辉三角最中间的数
应是杨辉三角中第10行的第5个数.即为C；
点评：“X型''的杨辉三角，可以看成是由
一个杨辉三角中的“三角形'‘与另一个“倒立”
的杨辉三角合并得到的，因此，此题可以分解
为下列两个子问题。

变式1：在图10所示的“三角形”中，第（4）个“三角形”最上面的数是_____。

31035 615205670
21353584126126
120210252210 (1)（2）（3）
图10（上接第32页）
点评：这种面的涂邑问题可转化为区域涂色问题，再利用区域的涂色方法进行求解。

练习3：直线jc=m,y=jc将圆面x2y2 <4分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则加的取值范围是()o
A.(—72,^2)
B.(—2,2)
C.(—2,—Q)U(Q,2)
D.(—oo,—2)U(2,+oo)
解：如图6,①当m
W—2或时，圆面
/+被分成2块，
涂色方法有20种；②当
—2V/H V—y[2或祝
V2时，圆面x2
被分成3块，涂色方法有
60种；③当一时，圆面d+b<4被分成4块，涂色方法有120种。

所以"的取值范围是（一>/2,72）,故选A。

（责任编辑赵平）
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