工科数学分析基础
工科数学入门知识点总结
工科数学入门知识点总结一、微积分微积分是工科数学的基础，它主要包括微分和积分两个方面。
微分主要用来研究函数的变化率和极值，而积分则是求函数的面积和体积。
在工科应用中，微积分被广泛应用于工程问题的建模和求解中，如在力学、流体力学、热力学、电气工程和控制系统中等。
学习微积分时，需要掌握函数的极限、连续性、导数和不定积分等基本概念和定理，以及一些基本函数的导数和积分公式。
二、线性代数线性代数是一门研究向量空间和线性变换的数学学科，它在工科数学中扮演着重要的角色。
线性代数主要包括向量、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等内容，它们都是工程问题的常见数学表达形式。
在工科应用中，线性代数在工程问题的建模和求解中发挥着重要作用，如在结构力学、电路分析、控制系统、信号处理和图像处理等方面。
学习线性代数时，需要掌握向量空间、线性变换、矩阵运算、线性方程组的求解方法和特征值与特征向量的相关理论。
三、概率与统计概率与统计是研究随机现象和随机变量的数学学科，它在工科数学中也是不可或缺的一部分。
概率论主要研究随机事件的概率和概率分布，统计学则主要研究数据的收集、分析和推断。
在工科应用中，概率与统计被广泛应用于工程问题的风险评估、可靠性分析、质量控制和数据处理等方面。
学习概率与统计时，需要掌握概率分布、随机变量、期望和方差、统计估计和假设检验等基本概念和方法。
四、偏微分方程偏微分方程是研究多元函数的偏导数与函数之间的关系的数学学科，它在工科数学中也是非常重要的一部分。
偏微分方程主要用于描述工程问题中的变化规律和传播过程，如热传导、流体运动、波动传播和场问题等。
在工科应用中，偏微分方程被广泛应用于工程问题的建模和求解中，如在热力学、流体力学、电磁场和结构力学中等。
学习偏微分方程时，需要掌握偏导数和偏微分方程的基本概念、分类和解法，以及一些常见的偏微分方程的物理意义和应用。
五、变分法变分法是一种用变分极值问题的数学方法，它在工科数学中有着广泛的应用。
大连理工大学《工科数学分析基础》第一章复习.docx
第一章复习X.1函数的极限及其连续性概念：省略 注意事项1. 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，y = f(x) = xsinx 是无界变量，但不是无穷大量。
因为取TT JTx = x lt = 2n7r + ^-时，/(兀)= 2/r +彳，当斤充分大时，/(£)可以大于一预2 2先给定的正数M ；取x = x n = 2/?TF 时，兀)=02. 记住常用的等价形式当X —> 0时，sinx 〜兀， arcsinx 〜匕 tanx 〜兀， arctan x 〜九1 ? 丄 1ln(l + x)〜兀， "一1 ~ x, 1 — cos x ~ — ， (1 + x)n~1 — x2 n例1当XT0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小(A) x 2o (2) 1 -cosxo (3) sinx- tanx (4) ln(l + x 2) o ()解：因为1—COSX 〜丄皿1 +兀2)〜兀2,所以选择CX 2Hr V e -COSX练习hrn -------------XT °lncosx3. 若函数的表达式中包含有a + 4b (或奶+丽)，则在运算前通常要在分子分母乘以其共轨根式a-4b (或丽-丽)，反之亦然，然后再做有关分析运算解lim e -cosxIn cosx " —1 + 1 —cosx=lim -------------------- go ln[l + (cosx-l)]lim ——— go ln[l +(cosx-l)] + limXT O1 - cos%ln[l + (cosx-l)]lim 9JTXT() COS X — 1 + lim 1-cosxXT° cos 无一 1例2 求lim sin( Jn匚Flzr)。
HT8.2 2 r sin - 因为limsin 土上= lim 「^ = l,所以原极限=—JVT8 X 2-V —>oo Z解 lim sin(7^2 + l^r) = lim sin[(V^2 +1 一 町兀 + n7r]=lim(-l)" sin(V^2+ 1”—»87t+1 +当 n t oo 时，sin-------- / c ----------- > 0,(料 Too) 又 |(_1)” =1,故limsinCVn^+l^^O” T8练习 求lim[Jl + 2 + ・・・ + 〃—Jl + 2 + ・・・ + (/? — l)]解原式=lim"T8n(n +1) n(n-l)""2 V ~2-r 1 2n V2 —■— • —「 --------- ------ 「 -——"T8 ^2 Jn(n + T) + J M (/?_1)24.大—>8该极限的特点:l （i ）r 型未定式1（2）括号屮1后的变量（包括符号）与幕互为倒数解题方法（1） 若极限呈广型，但第二个特点不具备，则通常凑指数墓使（2）成立（2） 凡是广型未定式，其结果：底必定是幺，幕可这样确定: 设 limw （x ） = 0 , limv （x ） = oo ,则lim(l ± u(x))v(x)= lime v(x),n(,±w(x)) = e limv(x),n(1±M<x)) limv(^)(±w(x)J _ ±Iim V (X )H (X )e — c这是因为 ln(l ± u{xy)〜±%(x) o例3求lim XT8 1 . 1Ycos —+ sin —X X丿 解原式=lim X —>81 . 1}cos —+ sin —x x(2卡 =lim 1 + sin — XT8lim 夕=0XT一 8x.2单调有界原理单调有界数列必有极限此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列｛暫｝单调有 界；（2）设｛兀｝的极限存在，记为\xmx n =l 代入给定的兀的表达式中，则该式变为/的代 数方程，解之即得该数列的极限。
工科数学分析基础教学辅导书
工科数学分析基础教学辅导书
工科数学分析是工科中一门必修的重要课程，也是工科院校学生最容易遇到的一门课程。
但是在大多数情况下，学生们在学习这门课程时往往会感到费劲，甚至会有挫败感。
在此情况下，《工科数学分析基础教学辅导书》带来的宝贵参考价值非常巨大。
《工科数学分析基础教学辅导书》是一本以工科数学分析基础课程为主题的教学辅导书，主要针对大学工科院校的学生们。
该书采用详尽的章节，介绍了数学分析基础课程的基本概念、原理和内容。
其内容包括：实数、有理数、函数、线性代数、极限及其基本性质、微分和积分计算、几何、概率统计和复变函数等。
此外，这本《工科数学分析基础教学辅导书》不单局限于对概念与原理的讲解，还附有大量的实例与习题，能够帮助读者更好的掌握工科数学分析基础课程的实质内容。
书中还设有示例及解题程序，可以帮助读者全面、彻底地理解有关内容，更有助于提高学习效率。
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另外，书中也收录了一些实用的数学算法，如分段函数求和算法、积分算法、特征值分解算法等，可以为学习者极大地提供便利与帮助。
总之，《工科数学分析基础教学辅导书》不仅丰富其内容，而且注重实战操作，能够有效地帮助学生们掌握工科数学分析基础课程的实质内容，从而更好地提升学习能力。
它是学习工科数学分析基础课
程必备的参考书，它的出现将会极大地改善学生在学习工科数学分析基础课程上的困惑，同时更好地把握自身学习进程。
工科数学分析大一知识点总结
工科数学分析大一知识点总结大一工科数学分析知识点总结工科数学分析是工科学生大一必修的一门课程，主要介绍了数列、极限、导数、微分、积分等基本概念和计算方法。
本文将对大一工科数学分析的知识点进行总结。
一、数列与极限1. 数列的定义和性质：数列是按照一定规律排列的数的集合。
常见数列有等差数列、等比数列等。
数列有界的概念和数列极限的概念也需要了解。
2. 极限的定义和性质：极限是数列逐渐趋向于某个值的过程。
可以通过极限的唯一性、夹逼定理等性质求解极限。
3. 常见的数列极限：包括常数列、幂函数列、指数函数列、对数函数列等。
二、函数与导数1. 函数的定义和性质：函数是一种对应关系，将自变量的取值映射到因变量的取值。
函数的定义域、值域、图像等概念需要了解。
2. 导数的概念和性质：导数描述了函数在某一点上的变化率。
导数的定义、求导法则、高阶导数等需要掌握。
3. 常见函数的导数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数计算。
三、微分学应用1. 微分中值定理和导数的应用：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，以及函数的单调性、极值等问题。
2. 泰勒展开和泰勒级数：泰勒展开是将函数表示为无穷级数的形式，可以用于计算函数的近似值。
四、积分学1. 不定积分的定义和性质：不定积分是求解导数的逆过程，表示函数的原函数。
不定积分的基本性质和计算方法需要掌握。
2. 定积分与积分中值定理：定积分用于计算曲线下面的面积或弧长等问题。
积分中值定理可以用于计算定积分的近似值。
3. 常见函数的积分：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分计算。
总结：通过对大一工科数学分析的学习，我们可以掌握数列与极限、函数与导数、微分学应用、积分学等基本知识和计算方法。
这些知识点对于工科学生的后续学习和工作都具有重要意义，因此需要认真学习和掌握。
以上就是大一工科数学分析的知识点总结，希望对你有所帮助。
通过深入理解和充分练习，相信你能够顺利掌握这门课程的内容。
工科数学分析基础
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微元的求法
记Q( x)为分布在区间[a, x] ( x ∈[a,b])的量Q，则
∫ Q( x) =
x
f (t)dt
( x ∈[a,b])，
a
dQ = f ( x)dx
ΔQ = dQ + o(dx)
求微元dQ, 就是寻求与 dx成线性关系的 Adx , 且使
ΔQ − Adx = o(dx).
2010-11-22
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特别 , 当考虑连续曲线段 y = f ( x) (a ≤ x ≤ b)绕 x 轴
轴旋转一周围成 π[ f ( x)]2 dx a
当考虑连续曲线段
yy oo aa x bb xx
x = ϕ( y) (c ≤ y ≤ d )
5
x
dw = π ⋅ 32 ⋅ dx ⋅ 9.8 ⋅ x = 88.2π x ⋅ dx,
w
=
∫ 5 88.2π 0
⋅ x ⋅ dx
≈
3462
(千焦)．
定积分的应用
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例 2 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底
半径为 R，水的比重为γ ，计算桶的一端面上所受的压力．
3
定积分的应用
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实际问题中，如何求得非均匀连续分布量的微分？
（1）针对所给问题，分析非均匀产生的原因，它往往是 由于某一相关量 f 变动所引起的。
（2）确定如何将其局部量均匀化从而可以利用乘法得到 此局部量的线性形式的近似值.
通常是通过对 f 以不变代变来得到。
这样得到的近似值往往就是所需要的微分，而不必也 难以逐一加以验证.
工科数学分析基础题集
工科数学分析题集一、选择题1. 下列关于函数极限的定义，正确的是（）A. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LB. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LC. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LD. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L 答案：A解析：函数极限的精确定义为：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L。
2. 关于无穷小量的描述，正确的是（）A. 以零为极限的变量称为无穷小量B. 绝对值无限趋近于零的变量称为无穷小量C. 函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量D. 当自变量趋于某个值时，函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量答案：A解析：以零为极限的变量称为无穷小量。
3. 下列关于无穷大量的说法，错误的是（）A. 绝对值无限增大的变量称为无穷大量B. 当自变量趋于某个值时，函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大量C. 无穷大量一定是无界变量D. 无界变量一定是无穷大量答案：D解析：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量一定是无界变量。
4. 对于函数极限的性质，下列说法不正确的是（）A. 函数极限具有唯一性B. 函数极限具有局部有界性C. 函数极限具有局部保号性D. 函数极限具有可加性，即若 lim(x→x₀) f(x) 和 lim(x→x₀) g(x) 存在，则 lim(x→x₀) (f(x) + g(x)) = lim(x→x₀) f(x) + lim(x →x₀) g(x) 一定成立答案：D解析：函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性。
工科数学分析基础第三版下册课程设计
工科数学分析基础第三版下册课程设计课程概述该课程是基于工科数学分析基础第三版下册编写的。
本课程介绍了一些计算数学和工程数学的基本概念和方法，包括多项式插值、数值微积分、常微分方程等内容。
本课程旨在提高学生的计算技能和数学分析能力，使学生能够将数学理论应用于实际问题的解决中。
课程目标1.掌握多项式插值的基本理论和方法；2.掌握数值微积分的基本理论和方法；3.掌握常微分方程的基本理论和方法；4.能够利用所学知识解决实际工程问题。
课程大纲第一章多项式插值1.1 插值多项式和Lagrange插值多项式1.2 Newton插值多项式和差商1.3 Hermite插值多项式1.4 B样条插值第二章数值微积分2.1 插值型求积公式2.2 Newton-Cotes公式2.3 Gauss型求积公式2.4 Romberg法第三章常微分方程3.1 初值问题和边值问题3.2 Euler方法和改进Euler方法3.3 Runge-Kutta方法3.4 多步法课程评估1.作业：每章指定相关练习以巩固所学知识。
2.课堂考试：课程中将安排两次期中考试和一次期末考试。
3.课程设计：按照指定的工程问题，要求学生运用所学知识解决实际问题，并在报告中展现出问题的求解过程和结果。
参考书目1.《数值分析与计算方法》，谢春花等编著，清华大学出版社，2008年版。
2.《数值计算方法（第3版）》，李荣华等编著，高等教育出版社，2007年版。
3.《数值分析与计算机实现》，陈全书编著，清华大学出版社，2003年版。
以上参考书目可供学生参考和借鉴，但并不限制学生仅阅读这些书籍。
学生可自行查找相关参考书籍，并自主学习。
大连理工大学《工科数学分析基础》第二章复习.docx
第二章复习X.l 各类导数的求法复合函数微分法 包=空更dx du dx=arcsin 3 兀-2丫 3x + 2 丿 12 (3兀+ 2尸d 3y _ d (d 2y\ _ dtydx 1) _ /^(r) dx It 隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y 是兀的函数，则y 的函数是兀的复合函数。
2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈dx例 3 设方程 xy 2+ e y= cos(x + y 2),求 y'解法一：y 2+ 2xyy + e yy = -sin(% + >,2)(1 + 2y/),‘3兀-2、<3x + 2 >,/\x) = arcsin x 2,求空dx A=()于是dy dx3=(arcsin 1)・ 3 =—龙 x=o 2参数方程微分法fdx dy d y - dt _ /(O d ~y _ x ，(0/(0 一 y\t)x (r) dx _/(/) dx 1dt[V(0]3,英屮f ⑴的三阶导数存在，且f”⑴H 0 ,求乞，ax dx~ dx解 dy 二血）二厂⑴+（T （/） -广⑴二£ dxx\t ） f\t ） d(dyd 2y d■■Idx~ dxdt\dx) _1dtdx‘ dxIdx 1]r （t ）r 3（oy 2 +sin(x+ b) 〉2xy 4- e y + 2j ,sin(x+ y 2)解法二：d (xy 2+ e y) = d (cos(x + y~))y 2dx + 2xydy + e ydy = -sin(x + y 2)(clx^2ydy)[(2xy + e y+2ysin(x+ y 2)]dy = -[y 2+sin(x+ y 2)]dx,_y 2+sin (兀 + y 2)2xy + R + 2ysin(x+)，)幕指函数的微分法 设 y = w(x)v(x) (w(x) > O,w(x) H1) => y = e v(x,,nM(J)y 二 /讪“(彳/(x)lnw(%) + y (x)也 |_心)」=u(x)v(x)v\x) In u(x) + 咻)""_ U(x)」例 4 设 y = x a' + a x+ x v ,求 y‘解尸/皿+口严+/呎Xy = e(,x ,n\a xln^zlnx + —) +”夕,nx (1 + In x)In a + /,n”(心心 i n% + 齐)X=x°x a x(In d In 兀 + —) + a e(1 + In x)x x• In a + x x°+</_, (alnx +1)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法：采用对数微分法（即先对式子的两边取口然对数，然后在等式的两端再对x 求导）解先将表达式写成分式指数幕的形式2 4 £y =(兀 一 2尸(兀 + 3)^(3 - 2 兀$ )*1 + x 2 )刁(5 一 3x 3)'5 In y 二 2 ln(x-2) + | ln(x + 3) + 彳 ln(3-2x 2)-|ln(l + x 2)-| ln(5 一 3x 3)上式两边对x 求导，得2L = _2_ + _? -------- -- --------- - -- +—y x-23(兀 + 3) 3(3-2x 2)3(1+ 〒)5-3x 3(X + 3)2(3-2X 2)4(1 + X 2)(5-3X 3)2 (兀+ 3)2(3-2 兀2 )4例5设尸（“后EU-2)2s2216x 2x 3x 2 + — — +兀一 2 3(x + 3) 3(3-2x 2) 3(1+ x 2) 5-3x 3_分段函数微分法：各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©)=lim "兀)_/(和 及左右 XTXo X- X (} 导数来求是否可导。
高等学校教材：工科数学分析
高等学校教材：工科数学分析数学在工科类专业的学习中占据重要的地位，了解数学分析的基本原理和相关的方法是学习工科的重要基础。
“工科数学分析”是面向工科类专业的入门课程，本课程覆盖的内容包括：线性代数、实变函数、微分学、积分学、常微分方程、线性空间、向量分析、复变函数、Fourier级数以及Lua套路。
线性代数是本课程中最基本的数学知识之一，它是研究矩阵和向量之间的关系的一门数学分析学科。
它包括矩阵的乘法、逆矩阵、特征根和特征向量等等，这些知识点都能够应用于运筹学和工程中。
实变函数是由实数变量和实数值构成的函数，它可以用来描述实际存在的物理现象。
本课程将介绍实变函数的基本概念以及相关的特性，包括函数的上下界、连续性、微分性、极值点、凹凸性等。
在实变函数分析中，积分技术和微分技术是本课程中重要的技术工具。
微分学可以用来研究函数的变化趋势，是工科数学分析中的重要数学原理之一。
本课程中将介绍微分学的基本概念，包括求导法则、极限、变分法则、微分方程等等，这些理论都可以用于分析空间结构、物理流体运动、电磁学和量子力学等。
积分学是本课程中的另一个重要内容，它是一种用来求解定积分和不定积分的技术工具。
本课程将介绍积分的基本概念、定积分的计算方法、不定积分的求解方法以及Gauss-Legendre定理、Riemann积分等等。
常微分方程是工科数学分析中常见的一种数学模型，它可以用来表示物理现象的变化规律。
本课程将介绍常微分方程的基本概念，并对其求解方法进行详细说明，包括积分、逐步解、线性求解以及特殊求解方法等。
线性空间是描述多维空间中直线、平面、空间数量关系的概念，本课程将介绍关于线性空间的基本原理，包括向量、内积、叉积、矩阵、线性变换、空间变换等，这些知识点在几何学和工程学中都有着重要的应用。
向量分析包括点的表示方法和线的表示方法，它可以用来描述物理现象中的空间关系，本课程将介绍向量的基本概念，包括向量的乘法、叉积、点积、偏微分运算等等，这些知识点在几何学和力学中都有着广泛的应用。
讲解工科数学分析基础总目录资料教程
39 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体
出现。每两步的时间间隔由讲课教师掌握，以便于教师的讲 解启发和学生的思考练习。
本课件研制了三年，在教学中使用了两年。期间得到天 津大学各级领导的大力支持，也得到了天津市教委的资助。 2000年本课件荣获“天津市CAI课件评审”一等奖。本课件先 后在我校、天津市和清华大学演示了几次，受到教师们热烈 欢迎和鼓励。承蒙高等教育电子音像出版社的同志们大力协 助，使本课件得以正式出版。作者在此一并表示感谢！
由于研制者水平有限，错误和不足之处难免，希望读者 不吝指教.
研制者
二零零一年十二月于天津大学
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说明书
本课件是《高等数学》课程的图形演示库，主要为了辅 助教师在课上讲课（因此没有配音），解决高等数学教师黑 板画图难的问题，从而提高学生的空间想象能力。其中每个 图都一步步用动画演示，公式和计算也一步步出现。每两步 的时间间隔由讲课教师掌握，可以按鼠标左键，或键，或 者按空格键来控制，以便于教师的讲解启发和学生的思考。
形的面积.
22 曲边扇形的面积
23 旋轮线
24 旋轮线也叫摆线
25 旋轮线是最速降线
26 心形线
27 星形线
28 圆的渐伸线
29 笛卡儿叶形线
30 双纽线
31 阿基米德螺线
32 对数螺线
33 求曲 r3线 cθ及 or s1co θ分 s 别所围 共 成 部 的 面 分 图 积 的 形 .
34 求曲 r线 2si θ及 nr2coθs 分 2 别所围 公 成 共 的 部 图 分 形 的 的
CAI课件《高等数学图形演示系统》就是为解决这个问题 而制作的。本课件演示的图形形象逼真、有较强的立体感,对 于复杂的空间几何关系，能够明确、清晰地用立体形象表达 出来；同时，每一个图形的演示都力图包括它的基本思想和
面向21世纪课程教材：工科数学分析基础
面向21世纪课程教材：工科数学分析基础面向21世纪课程教材：工科数学分析基础随着现代科学技术的飞速发展和人民生活水平的不断提高，机械制造及相关行业对机械工程类专业人才提出了更高的要求。
机械工程专业涉及内容广泛，主要包括机械设计、机械制造、电子机械与自动化三个专业方向，涉及力学、机械、电子、材料等多个领域，覆盖理学、工学两个学科门类。
该专业的培养目标是培养具有扎实的机械工程、信息技术、电子与计算机技术和管理学等基础知识，受到严格的科学实验训练和科学研究初步训练，能在机械工程及其相关领域从事设计制造、科技开发、应用研究、运行管理等方面工作的复合型高级工程技术人才。
机械工程类专业人才已成为人才市场上炙手可热的“抢手货”。
基础性工科分析教材注重以物理观点和数学方法为工具，充分反映了现代科学技术的最新进展和社会需求。
作为一本优秀的基础教材，它必须具有以下几个特点：（ 1）符合工科学生的认知规律，适合普通高等学校工科各专业学生的使用；（ 2）介绍数学基本思想方法、工具、数学模型及基本概念；（ 3）符合大学生的阅读特点，由浅入深，循序渐进，强调逻辑推理，有助于学生自学；（ 4）叙述简洁明了，言简意赅，便于自学。
本书编写的指导思想就是按照上述原则进行的。
本书作者参考了国内外近年来出版的优秀教材，并结合机械工程学科的特点编写而成。
全书共9章，内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程、线性代数初步、概率论与数理统计。
每章后均附有习题和答案。
当前我国正处于新世纪、新阶段的大变革时期，改革开放的浪潮使我们的祖国发生了翻天覆地的变化。
“科教兴国”战略的实施，使得工科院校迎来了难得的历史机遇，面临着极好的发展空间。
今天的大学生在走向社会时不仅需要掌握宽厚的理论知识，而且需要有良好的动手能力、解决实际问题的能力和创新能力。
工科大学生只有具备扎实的理论功底和较强的动手能力，才能够将知识转化为生产力。
大连理工大学10,11,12,13上学期工科数学分析基础试题答案
-03cos 2lnlim 0=+=®xx （10分）四、解：(1)0)cos )((lim 00sin )(lim 00=-¢=÷øöçèæ-=®®x x g x x x g a x x （4分）(2)200sin )(lim )0()(lim )0(x xx g x f x f f x x-=-=¢®® =12)0(2sin )(lim 2cos )(lim 00=¢¢=+¢¢=-¢®®g x x g x x x g x x∴ ïîïíì=¹---¢=¢时时010,)sin )(()cos )(()(2x x x x x g x x g x x f （8分） （3）200)sin )(()cos )((lim )(lim x x x g x x g x x f x x ---¢=¢®® =xx x g x x g x x x g x 2)cos )(()sin )((cos )(lim 0-¢-+¢¢+-¢® =)0(12)0(f g ¢==¢¢，因此)(x f ¢在(-∞，+∞+∞))连续。
连续。
（10分）五、解五、解:: 设x x x f ln)(=，由2ln 1)('xxx f -=，可知,当e x >时)(x f 单调减少单调减少 （5分）若e a b >>，则有b b a a ln ln >，推出a b b a ln ln >，即有a b b a > 2011201220122011> （10分）分）所以六、解：2)()()(x x f x f x x x f -¢=¢÷øöçèæ（4分）分） 令)()()(x f x f x x g -¢=，)()(x f x x g ¢¢=¢，令0)(=¢x g ，得0=x （唯一驻点），当0<x 时，0)(<¢x g ，当0>x 时，0)(>¢x g ，故)0(g 为最小值，故0)0()0()(>-=³f g x g ，∴0)(>¢÷øöçèæx x f ，即x x f )(单调增加。
《工科数学分析教学资料》综合举例
contents
目录
• 引言 • 工科数学分析的基本概念 • 举例说明 • 结论 • 参考文献
01 引言
目的和背景
目的
通过具体实例，帮助读者更好地理解和掌握《工科数学分析教学资料》中的知 识点。
背景
随着科技的发展，数学在工程领域的应用越来越广泛，而《工科数学分析教学 资料》作为一门重要的数学课程，对于培养工科学生的数学素养和解决实际问 题的能力具有重要意义。
导数在解决实际问题中有着广 泛的应用，如求切线、求极值 、研究函数的形态等。同时， 导数也是研究积分学的基础。
积分
定积分的定义
定积分的性质
定积分的运算
定积分是积分的一种，其定义是将一 个区间分成若干小区间，并取每个小 区间的右端点为小区间的右端点，然 后在每个小区间上任取一点，将所有 这些点的函数值乘上小区间的长度再 求和。定积分的值等于函数在区间上 与x轴围成的面积。
在生态学中，极限理论可以帮助我们 理解物种数量的增长和减少，以及种 群数量的变化趋势。例如，种群数量 的增长通常会呈现指数增长的趋势， 但当种群数量达到一定规模时，由于 资源、环境等因素的限制，增长趋势 会逐渐减缓，最终趋于稳定。
在物理学中，极限理论可以用来描述 物体的运动速度和加速度的变化。例 如，当一个物体做加速运动时，其速 度会逐渐增加，但当速度达到光速时 ，物体的质量会变得无穷大，此时物 体的加速度会趋于零，速度不再增加 。
课程简介
内容
《工科数学分析教学资料》涵盖了数 学分析的基本概念、原理和方法，包 括极限、连续、导数、积分等知识点。
特点
课程强调数学在实际工程中的应用， 注重培养学生的逻辑思维和解决实际 问题的能力。
大连理工大学《工科数学分析基础》11-12高数答案
2011级《高等数学》,《工科数学分析基础》,《微积分》A 卷参考答案一、1. ()0)2()1(212=---+-z y x ，122121--=-=-z y x ；2. 3),2,2,1( ；3. 1-e ；4. 21(1)y y xy -+； 12(9ln36)dx dy ++；5 . 392,3zxy zx --二、1. A2. C3. C4. D5. B三、高等数学》和《工科数学分析基础》解：特征方程2320r r -+=，特征根121,2r r ==，212()x x Y x c e c e =+（4分） ()()xx m f x P x e xe λ==,所以(),1,,1x x m P x x m e e λλ====*()()()k x x m y x x Q x e x ax b e λ=⋅=+代入微分方程解得1,12a b =-=-（8分）所以，通解：*22121()()()()2x x x y x Y x y x c e c e x x e =+=++--。
（10分）《微积分》解： 由奇偶性有40Dxydxdy =⎰⎰，由轮换对称性有22DDx dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰（6分）原式=224()Dx y dxdy +=⎰⎰212042d r rdr πθπ⋅=⎰⎰（10分）四、解： 设1D 为曲线22x y y =--和y 轴围成的区域，有11022sin 22sin DD D D ydxdy ydxdy ydxdy dx ydy d r rdr πθπθθ-+=-=-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8分）＝4284sin 432d πππθθ-=-⎰。
（10分） 五、解：由奇偶性⎰⎰⎰ΩV x d =⎰⎰⎰Ω=0d V y ，（4分） 2d )(d d d d )(d 022010:221022πθπ=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+⋅z zy x D r r z r z y x z y x z I z (截面法)（或）2d )(d d d )(d 121201221:22222πθσπ=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+≤+⋅ryx y x D z z r r r z z y x xy (投影法）（10分）六、解：由题意知，仅需求函数在闭区域上的最大值和最小值既可。
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工科数学分析基础2019年工科数学分析基础（微积分）试题一、填空题 (每题6分，共30分)1．函数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≥+=010)(2 x xe x bx a xf bx ，=-→)(lim 0x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足 。
2．=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 1lim ， =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。
3．曲线⎩⎨⎧==te y te x tt cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ，切线方程为 。
4．1=-+xy eyx ，=dy ，='')0(y 。
5．若22lim 221=-+++→x x bax x x ，则=a ，=b 。
二、单项选择题 (每题4分,共20分)1．当0→x 时，1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则（ ） （A ）32=a ， （B ）3=a ， (C). 23=a ， （D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（ ）（A ）可导奇函数的导数一定是偶函数； （B ）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数；（D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数；3．设xxx x f πsin )(3-=，则其（ ）（A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点； （D ）有三个可去间断点；4．设x x x x f 3)(+=，则使)0()(n f存在的最高阶数n 为（ ）。
（A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）4 5．若0)(sin lim30=+→x x xf x x ， 则20)(1lim x x f x +→为（ ）。
（A ）。
0 （B ）61， (C) 1 （D ）∞三．（10分）求xx x x x arctan tan 211lim⋅--++→四．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,,sin )()(x a x xx x g x f ，其中)(x g 具有二阶连续导数，1)0(=g ，1)0(='g ，（1）求a 的值使)(x f 连续；（2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '连续性。
五．（10分）函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+=-+=0,4sin 1,60,arcsin )1ln()(23 x x x ax x e x x x x ax x f ax 问a 为何值，)(x f 在0=x 处（1）连续；（2）为可去间断点；（3）为跳跃间断点；（4）为第二类间断点；六．（10分）设141=x ， 21+=+n n x x ),2,1(⋅⋅⋅=n ， （1）求极限n n x ∞→lim ； （2）求极限2112)2(4lim -+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n x n n n x x七．（10分）设函数)(x f 在[]b a ,连续，()b a ,可导，证明：至少存在一点∈ξ()b a ,，使ξξξ--='b a f f f )()()(2011工科数学分析基础（微积分）试题一、填空题 (每题6分，共30分)1．=⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→nn n n 11lim ；=+→xxx x x tan )1sin 1(2sin lim 0 。
2．设函数)(x y y =由方程e xy e y=+确定，则=dxdy，曲线)(x y y = 在)1,0(点处切线方程为 。
3．设函数)(x y 由参数方程⎩⎨⎧+-=++=131333t t y t t x 确立，则函数)(x y 单调增加的x 的取值范围是 ，曲线)(x y y =下凸的x 取值范围是 。
4．设当0→x 时，)1(2++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则=a ，=b 。
5．设x x x f sin )(3=，则=')0(f ，=)0()2011(f。
二、单项选择题 (每题4分,共20分)1．下列结论正确的是（ ） （A ）.如果)(x f 连续，则)(x f 可导。
（B ）.如果)(x f 可导，则)(x f '连续. (C). 如果)(x f '不存在，则不)(x f 连续（D ）. n x 落在),(εε+-a a 外如果)(x f 可导，则)(x f 连续. 2．数列{}n x 极限是a 的充要条件是（ ）（A ）对任意ε＞0，存在正整数N ，当n ＞N 时有无穷多个n x 落在),(εε+-a a 中 （B ）对任意ε＞0，存在正整数N ，当n ＞N 时有无穷多个n x 落在),(εε+-a a 外 (C). 对任意ε＞0，至多有有限多个n x 落在),(εε+-a a 外 （D ）以上结论均不对。
3．设xx x f πsin 1)(2-=，则其（ ）（A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个可去间断点； (C).有两个跳跃间断点； （D ）有两个可去间断点；4．曲线21x xe y =的渐进线有（ ）条。
（A ）1条； （B ）2条； (C).3条； （D ）4条。
5．设)(x f 在a x =可导，则函数)(x f 在a x =不可导的充分条件是（ ） （A ）)(a f ＞0且)(a f '＞0； （B ）)(a f ＜0且)(a f '＜0； (C). )(a f =0且)(a f '≠0； （D ）)(a f =0且)(a f '=0三．（10分）求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++→13cos 221arctan 1lim 20x x x x x 四．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,,sin )()(x a x xxx g x f ，其中)(x g 具有二阶连续导数，1)0(=g ，1)0(='g ，2)0(=''g ，（1）求a 的值使)(x f 连续；（2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '连续性。
五．（10分）比较20122011和20112012的大小，并叙述理由。
六．（10分）)(x f ''＞0，)0(f ＜，证明函数xx f )(在)0,(-∞和),0(∞+内单调增加。
七．（10分）设)(x f 在[]1,0连续，()1,0可导，0)1(=f ，证：存在)1,0(0∈x 使0)()(000='+x f x x nf ，n 为正整数。
2012工科数学分析基础（微积分）试题一、填空题 (每题6分，共30分)1) 123lim ()5n n n n →+∞+=3； 222321lim sin x x x x x→∞++=+3．(2) 曲线()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线方程为1(1)y n x -=-，记该切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则lim n n n ξ→+∞=1e -．(3) 设22ln(1)x t t y t ⎧=+⎨=+⎩，则d d yx =212(1)t +，22d d y x=412(1)t -+． (4)cos2x 的Maclaurin （麦克劳林）公式为cos2x =24(2)(2)12!4!x x -+5o()x +，设2()cos 2g x x x =，则(4)(0)g =48-．(5) 当0x →时，22()f x tan x x =-是x 的4阶无穷小（写出阶数），(0)f '''=．二、单项选择题 (每题4分,共20分)(1) 以下极限计算中正确的是 ．A ．01lim sin 1x x x →=；B ．1lim sin 0x x x →∞=；C ．011lim sin x x x →=∞；D ．1lim sin 1x x x →∞=．(2) 函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x ⋅-=--在下列哪一个区间内有界？ A ．(1,0)-； B ．(0,1)； C ．(1,2)； D ．(2,3)．(3) 对于定义在(1,1)-上的函数()f x ，下列命题中正确的是 ．A ．如果当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x '>，则(0)f 为()f x 的极小值；B ．如果(0)f 为()f x 的极大值，则存在01δ<≤，使得()f x 在(,0)δ-内单调增加，在(0,)δ内单调减少；C ．如果()f x 为偶函数，则(0)f 为()f x 的极值；D ．如果()f x 为偶函数且可导，则(0)0f '=．(4) 若220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=，则 ． A ．51,2a b ==-； B ．51,2a b ==；C ．1,2a b ==-；D ．0,2a b ==． (5) 设函数()f x 在点0x =的某邻域内三阶可导，且0()lim 11cos x f x x→'=--，则 ．A ．(0)f 为()f x 的一个极大值；B ．(0)f 为()f x 的一个极小值；C ．(0)f '为()f x '的一个极大值；D ．(0)f '为()f x '的一个极小值．三、（10分）已知函数()y y x =由方程221(0)x y y y +=>确定，求d d y x，并求()y y x =的极值．四、（10分） 求极限 sin 260lim ln(1)sin x xx e e x x x x→-+-+五、（10分） 已知函数,0()cos ,0x x f x a b x x x ≤⎧⎪=+⎨>⎪⎩在点 0x = 处可导，求常数a 和b ．六、（10分）（1）证明：111ln(1)()1n N n n n+<+<∈+； （2）设 111ln ()2n u n n N n+=+++-∈，证明数列{}n u 收敛． 七、（10分） 设函数()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，(0)0f =．证明：至少存在一点(0,)ξπ∈，使 2()tan ()2f f ξξξ'=⋅．。