(完整版)新人教版高中数学课堂笔记必修一

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高一数学必修一章节重点知识点1~4单元

高一数学必修一章节重点知识点1~4单元

高一数学必修一章节重点知识点1~4单元全文共5篇示例,供读者参考高一数学必修一章节重点知识点1~4单元篇1集合的运算运算类型交集并集补集定义域r定义域r值域>0值域>0在r上单调递增在r上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a,b]上,值域是或;(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;(3)对于指数函数,总有;二、对数函数(一)对数1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(—底数,—真数,—对数式)说明:○1 注意底数的限制,且;○2 ;○3 注意对数的书写格式.两个重要对数:○1 常用对数:以10为底的对数;○2 自然对数:以无理数为底的对数的对数 .指数式与对数式的互化幂值真数=n =b底数指数对数(二)对数的运算性质如果,且,,,那么:○1 +;○2 -;○3 .注意:换底公式:(,且;,且;).利用换底公式推导下面的结论:(1);(2) .(3)、重要的公式①、负数与零没有对数;②、,③、对数恒等式(二)对数函数1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。

如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.○2 对数函数对底数的限制:,且 .2、对数函数的性质:a>时,开口方向向上,a0时,抛物线向上开口;当a1,且∈_.当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand).当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。

人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章 基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0=0。

注意:(1)na =(2)当 n a = ,当 n 是偶数时,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2.分数指数幂正数的正分数指数幂的意义,规定:0,,,1)m na a m n N n *=>∈>且正数的正分数指数幂的意义:_1(0,,,1)m nm naa m n N n a*=>∈>且0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)(0,,)rsr s a a aa r s R +=>∈(2)()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ (3)(b)(0,0,)rrra ab a b r R =>>∈注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如122[(1]11≠ (二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数xy a = 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.即 a>0且a ≠1 2a>1注意: 指数增长模型:y=N (1+p)指数型函数: y=ka 3 考点:(1)a b =N, 当b>0时,a,N 在1的同侧;当b 〈0时,a,N 在1的 异侧.(2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。

掌握利用单调性比较幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用(1)的知识。

(3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性. (4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ,用x=1去截图象得到对应的底数。

(5)指数型函数:y=N (1+p)x 简写:y=ka x 二、对数函数 (一)对数1.对数的概念:一般地,如果x a N = ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作:log a x N = ( a - 底数, N — 真数,log a N — 对数式)说明:1。

人教版高中数学必修一知识点与重难点

人教版高中数学必修一知识点与重难点

人教版高中数学必修一————各章节知识点与重难点第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1集合的含义与表示【知识要点】1、集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。

2、集合的中元素的三个特性〔1〕元素确实定性;〔2〕元素的互异性;〔3〕元素的无序性2、“属于〞的概念我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合,用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素如:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A,如果a不属于集合A 记作 a A3、常用数集及其记法非负整数集〔即自然数集〕记作:N;正整数集记作:N*或 N+ ;整数集记作:Z;有理数集记作:Q;实数集记作:R4、集合的表示法〔1〕列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

〔2〕描述法:用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。

①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}〔3〕图示法〔Venn图〕【重点】集合的根本概念和表示方法【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合【知识要点】1、“包含〞关系——子集一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A⊆B2、“相等〞关系如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B A B B A且⇔⊆⊆3、真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A⊂B(或B⊃A)4、空集不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.【重点】子集与空集的概念;用Venn图表达集合间的关系【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别【知识要点】1、交集的定义一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作“A交B〞),即A∩B={x| x∈A,且x∈B}.2、并集的定义一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。

人教版高中数学必修一第一章知识点

人教版高中数学必修一第一章知识点

第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n-非空真子集.(8)交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈(1)A A A=(2)A∅=∅(3)A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈(1)A A A=(2)A A∅=(3)A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体,化成||x a<,||(0)x a a>>型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=(其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减) (4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()ug x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a 、]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数()y f x =的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M=.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M=.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函..数..(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于y 轴对称) ②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.。

高中数学必修一知识点总结(学习笔记)

高中数学必修一知识点总结(学习笔记)

高中数学必修一知识点总结(学习笔记)集合是数学中的基本概念之一。

它指的是在一定范围内,某些确定的、不同的对象的全体构成的一个集合。

集合的表示有列举法、描述法和图示法三种方式。

其中,列举法是指通过列举集合中的元素来表示集合,描述法是通过一个代表元和一条满足该元素的性质来表示集合,而图示法则是通过数轴或Venn图来表示集合。

常用的数集有自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集。

元素与集合的关系有属于和不属于两种情况,而集合相等则是指两个集合所含元素完全相同。

集合可以分为有限集、无限集和空集三种类型。

子集、全集和补集是集合中常用的概念。

子集指的是一个集合中的任一元素都属于另一个集合,而真子集则是指一个集合是另一个集合的子集,但不相等。

补集是指一个集合中不属于另一个集合的所有元素构成的集合。

交集是指两个集合中共有的元素构成的集合,而并集则是指两个集合中所有的元素构成的集合。

区间则是指在实数轴上的一段连续区域,包括闭区间、开区间、半开半闭区间和无限区间等。

函数是数学中的重要概念之一,它指的是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的关系。

函数的定义包括定义域、值域和对应法则等。

函数可以用图像、符号和表格等方式表示。

1.定义如果对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作f:A→B。

函数包括三个要素:定义域、值域和对应法则。

2.函数定义域对于分式函数f(x),定义域是使分母不为零的一切实数;对于偶次根式f(x),定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;对于对数函数,真数大于零;对于指数函数或对数函数的底数中含变量时,底数须大于零;对于tanx函数,x不等于kπ+π(k∈Z);零(负)指数幂的底数不能为零。

对于由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数f(x),其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。

高中数学必修一知识点总结(学习笔记)

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数学笔记必修一第一章:集合第一节:集合的含义及表示一、定义:(描述性)一定范围内,某些确定.的..、不.同.的.对象的全.体.构成一个集合二、表示:1.列举法:A={a 、b}2.描述法:{ x|p (x)}代表元分割线代表元满足的性质3.图示法:(数轴、Venn 图)三、特点:确定性、互异性、无序性四、常用数集N 自然数集N 、N 正整数集Z 整数集Q 有理数集R 实数集五、元素与集合的关系a M 、 a M (两者必居其一)六、集合相等两个集合所含元素完全相同 A B七、集合的分类1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含有任何元素的集合第二节:子集、全集、补集一)子集、定义(文字)A中的任一元素都属于 B(符号) A B (或 B A)二)真子集、定义(文字) A B,且 B 中至少有一元素不属于 A(符号)A B(或 B A)图形)注意空集是任何非.空.集.合.的真子集A(A为非空子集)(三)补集一、定义(文字)设 A U ,由U中不属于 A 的所有元素组成的集合称为U 的子集 A 的补集(符号)e U A={ x|x U ,且x A}第二节:子集、全集、补集(一)交集一、定义(文字)由所有属于集合 A 且.属于集合 B 的元素构成的集合称为A 与B 的交集图形)二)并集、定义(文字)由所有属于集合 A 或.者.属于集合 B 的元素构成的集合称为 A 与 B 的交集(符号) {x| x A,或.x B}图形)1(三)区间设 a , b 是两个实数,且 a b ,规定闭区间 a x b [a,b] ;开区间 a x b ( a,b);半开半闭区间(左闭右开) a x b [ a,b)(左开右闭) a x b (a,b] x a, x a, x b, x b[a, ),(a, ),( ,b],( ,b).对于集合{x|a x b}与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必须 a b ,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立)第二章:函数第一节:函数的概念一、定义:二、三要素:定义域、值域和对应法则三、相同函数:定义域相同,且对应法则也相同的两个函数四、函数定义域:1. f (x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.2.f (x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.3.对数函数的真数大于零4.对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零5. y tanx中,x k (k Z) .26.零(负)指数幂的底数不能为零.7.若 f ( x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.8.对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知f (x)的定义域为[ a, b ] ,其复合函数f[g(x)] 的定义域应由不等式 a g(x) b 解出.9.对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.10.由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.五、求函数值域(最值) :1.观察法:初等坐标函数2.配方法:二次函数类3. 判别式法:二次函数类b2( y) 4a(y) c(y) 04.不等式法:基本不等式5.换元法:变量代换、三角代换6.数形结合法:函数图象、几何方法7.函数的单调性法.8.分离常数法: 反比例类六、函数的表示方法:解析法列表法图象法(不是所有函数都有图像)七、分段函数八、复合函数九、求函数解析式1.配凑(换元)法2.待定系数法: 已知函数模型3.方程组法: 互为相反数、互为倒数第二节:函数的简单性质(一)、单调性一、定义如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x.1.<.x.2.时,都有f.(x..1.).<.f.(x..2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增.函.数..y=f(X)f(x1 )x2x1当x.1.<.x.2.时,都有f.(x..1.).>.f.(x..2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减.函.数..x 1 注意1. 不在区.间.内谈单调增或单调减都无意义2. 端点不计入区间3. 一般情况下单调区间不能并4. 单调区间≠区间单调二、证明1. 任取2. 作差3. 变形4. 定号5. 下结论三、证明1. 定义2. 初等坐标函数、已知函数3. 函数图象(某个区间图象)4. 复合函数:同増异减 (二)、最值 、定义1)一般地,设函数 y f (x)的定义域为 I ,如果存在实数 M x 2y=f(X满足:① 对于任意的x I ,都有 f ( x) M② 存在x0 I ,使得f(x0) M .那么,我们称M 是函数 f (x) 的最大值,记作f max (x) M .(2) 一般地,设函数y f (x)的定义域为I ,如果存在实数满足:①对于任意的x I ,都有 f( x) m②存在x0 I ,使得 f (x0)m .那么,我们称m是函数 f (x) 的最小值,记作f max(x) m .注意: 开区间无最值二、题型定函数动区间动函数定区间注意: 抓住对称轴和区间的相对关系(二)、奇偶性、定义1)如果对于函数f(x) 定义域内任意一个x,都有f.(.-.x.).=.-.f.(x.) 那么函数f(x) 叫做奇.函.数..2)如果对于函数f(x) 定义域内任意一个x,都有f.(.-.x.).=.f.(.x).那么函数f(x) 叫做偶.函.数..二、证明1.定义域f(x) 的定.义.域.为——任意的x——2.f( -x)与f(x)3.下结论正确——严格证明错误——举出反例奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数两个反例1.分段函数要分段讨论2.0 可单独讨论3. 若函数 f ( x)为奇函数,且在x 0处有定义,则f(0) 0三、应用1. 定义(一般到一般)2. 代“ 0”(特殊到一般)需检验四、奇偶性若奇函数在(a,b)上单调增,则在(-a ,-b )上单调增若偶函数在(a,b)上单调增,则在(-a ,-b )上单调减第三节:映射的概念一、定义设A、B是两个非.空.集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A中任.何.一.个.元素,在集合 B 中都有唯.一.的元素和它对应,那么这样的对应叫做集合A到B的映射,记作 f :A B B可用树状图考虑第三章:指数函数、对数函数和幂函数第一节:指数函数一)、根式 、定义当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 na 表示;当n 是偶数时, 正数a 的正的 n 次方根用符号 na 表示,负的 n 次方根用符号 na 表示;0的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.根指数被开方数当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a 0 . 、性质:n an |a|a (a 0)(na)na ;当n 为奇数时, na na ;当n 为 a (a 0)偶数时,三、分数指数幂根式na1.a r a s a r s(a 0,r, s R)2.(a r)s a rs (a 0,r,s R)3.(ab)r a r b r (a 0,b 0,r R) (二)指数函数一、定义二、图像与性质三、图像移动及解析式变化平移变换y f (x)h h 00,右,移 |hh|个单位 y f (x h) y f(x) k k00,下,移| kk|个单位 y f (x) k伸缩变换y f ( x) 1,缩y f ( x ) y f(x) 0A A 11,伸,缩 y Af (x)对称变换去掉y 轴左边图象y f(x)保留y 轴右边图象,并作其关于 y 轴对称图象y f (| x|)保留x 轴上方图象y f (x)将x 轴下方图象翻折上去y | f (x) |四、指数型复合函数换元 取值范围、单调性同增异减初级坐标函数 值域、单调性五、指数函数的应用1. 审题 归纳2. 建模 注意定义域 “指数型函数”模型3. 求解(解模)4. 还原(结论——答)y f ( x)x 轴y f (x) y f ( x)y 轴y f ( x)原点y f (x)原点yf直线 y x 直线 y x 1y f ( x)y f (x)1. 每一个步骤读一遍题2. 注意定义域、精确度第二节:对数函数一)对数 、定义如果 a (.a .>.0.,.a .≠.1.).的 b 次幂等于 N 即 a b=N 那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数 记作 log a N=b底数 真数.、互化对数 底数 真数 底数 指数 幂 根指数 被开方数 方根三、常用对数与自然对数常用对数: lg N ,即 log 10 N ;自然对数: lnN ,即 log e N (其中 e 2.71828⋯).四、运算1. 加法: log a M log a N log a (MN )2. 减法: log aM log aN log aMN3. 数乘: n log a M log a M n(n R)4.alog aN N5. log a bM n nlog aM (b 0,n R) a bb a6. 换底公式: log aN logb N(b 0,且b 1) log b a(二)对数函数一、定义x x logx a N a N a aN x a x Nax x aN aN (x a a N a N a aaN xN N na a a x Na N、图像与性质三、题型1. 比较大小①利用单调性②利用图像(真数相同)③利用中间值2. 解不等式3.求值4.判断奇偶性第三节:幂函数、定义、图像与性质定义域:(0, ) 一定有定义过定点:(1,1) .单调性:[0, ) 上0 ,过原点、(0, ) 上为增函数.a=0,常函数0,(0, )上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.奇偶性:当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.当q(其中p,q互质,p和q Z ),若p为奇数q为奇数时,pq则y x p是奇函数,q若p 为奇数q 为偶数时,则y x p是偶函数,q若p 为偶数q 为奇数时,则y x p是非奇非偶函数.图象特征:幂函数y x , x (0, ) ,当1时,若0 x 1,其图象在直线y x 下方,若x 1,其图象在直线y x 上方,当1时,若0 x 1,其图象在直线y x 上方,若x 1,其图象在直线y x 下方.第四节:函数的应用(一)、零点一、定义对于函数y f (x)(x D),把使f(x) 0 成立的实数x叫做函数y f(x)(x D) 的零点二、意义函数y f(x)的零点方程 f (x) 0实数根函数y f (x) 的图象与x轴交点的横坐标1. 零点不是点2. 穿过零点,y 值变号y 值变号,穿过零点(图像.连.续.不.断.)三、求法1.(代数法)① 证单调区间② 零点定理1.(几何法) 交点(二)、零点定理一、定义设函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连.续.,且f(a) ×f(b)<0 ,那么在开区间( a,b )内至少有函数f(x) 的一个零点二、应用(二次函数的实根分布)已知二次函数 f (x) ax2 bx c (a> 0)设一元二次方程ax2 bx c 0((a a0>)0)的两实根为x1,x2 ,① k< x1≤ x2>02af(k) > 0②x1≤x2<kf(k) >③x1<k<x2f(k) <0④k 1<x 1≤x 2<k 2>0f (k 1) > 0 f (k 2) > 0 k 1<x b<k 22a⑤k 1< x 1<k 2f (k1) > 0 f (k 2)<0y a 0 f (k 1) 0f (k 2 ) 0。

完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一

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完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一一、函数与三角函数1.1 函数的基本概念定义1.1.1:函数从一个集合A中的每一个元素a,都唯一地对应到另一个集合B中的一个元素f(a),则称这样的对应f为一个函数。

定义1.1.2:自变量和因变量在函数f中,元素a称为自变量,元素f(a)称为因变量。

定义1.1.3:定义域和值域f的定义域是由自变量构成的集合A,f的值域是由因变量构成的集合B。

1.2 函数的表示方法1.2.1 显式表示法在一个函数的定义域内,用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系。

例如,函数f(x)=x^2-2x+1就是一个用显式表示法表示的函数。

1.2.2 隐式表示法在一个函数的定义域内,无法用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系,只能通过复杂的方程或者不等式来描述函数。

例如,方程x^2+y^2=1就是一个用隐式表示法表示的函数。

1.2.3 参数表示法在一个函数的定义域内,用一个参数表示函数的因变量和自变量之间的关系。

例如,函数f(x)=sin(x)就是一个用参数表示法表示的函数,其中sin是一个参数。

1.2.4 函数图像函数图像是函数在坐标系中的图形。

如果函数的定义域和值域都是实数集合,那么可以用二维笛卡尔坐标系来表示函数的图像。

例如,函数f(x)=x^2-2x+1的图像是一条开口向上的抛物线。

1.3 三角函数1.3.1 弧度制弧度(radian)是表示角度大小的一种单位。

一弧度表示角度中圆心角对应的弧长等于半径的长度。

例如,一个半径为1的圆的周长是2π,那么一弧度对应的角度大小就是360°/2π≈57.3°。

1.3.2 三角函数的定义令在单位圆上顺时针旋转的角度为θ,则定义三角函数为:sinθ=纵坐标(y)cosθ=横坐标(x)tanθ=纵坐标(y)/横坐标(x)cotθ=横坐标(x)/纵坐标(y)secθ=1/cosθcscθ=1/sinθ1.3.3 三角函数的基本关系式sin^2θ+cos^2θ=1tanθ=sinθ/cosθcotθ=1/tanθ1.3.4 三角函数的性质周期性:sin(x+2π)=sinx,cos(x+2π)=cosx,tan(x+π)=tanx,cot(x+π)=cotx。

2019新人教A版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结(复习必背)【可编辑全文】

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2019新人教版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结(复习必背)第一章空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

(2)向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律:(1)加法交换律:a b b a +=+(2)加法结合律:)()(c b a c b a ++=++(3)数乘分配律:ba b aλλλ+=+)(运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a 平行于b ,记作b a//。

(2)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数λ,使a=λb 。

(3)三点共线:A 、B 、C 三点共线<=>ACAB λ=<=>OB y OA x OC +=(其中x +y =1)(4)与a 共线的单位向量为4、共面向量(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明:空间任意的两向量都是共面的。

(2)共面向量定理:如果两个向量,a b 不共线,p与向量,a b 共面的条件是存在实数x ,y 使p xa yb =+。

(3)四点共面:若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5、空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++。

高一数学必修一各章知识点总结

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高一数学必修一各章知识点总结高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.元素的三个特性:(1)元素的确定性如:世界上最高的山(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合2. 3.集合的表示:{ …集合的含义集合的中} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。

◆注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1)列举法:{a,b,c……}2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、集合的分类:(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B同一集合。

?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即:①任何一个集合是它本身的子集。

A?A②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)③如果 A?B, B?C ,那么 A?C④如果A?B 同时 B?A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集三、集合的运算例题:1.下列四组对象,能构成集合的是() A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ,b ,c }的真子集共有个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0},则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x 1,且n ∈N *.◆负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。

高中数学新教材必修第一册知识点总结

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高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.集合的描述:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称为集.2.集合的三个特性:(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样,都只是描述性地说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性:(1)确定性:对于给定的集合,它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准(不能是模棱两可的)判断给定的元素,或者在这个集合里,或者不在这个集合里,二者必居其一.(2)互异性:一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的. (3)无序性:集合中的元素排列无先后顺序,任意调换集合中的元素位置,集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母A,B,C,…表示集合,用小写的字母a,b,c表示集合中的元素.5.集合的相等当两个集合的元素是一样时,就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作A B=.6.元素与集合之间的关系(1)属于:如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作a A∈,读作a属于A.(2)不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a A∉,读作a不属于A.7.集合的分类(1)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x=的实数根组成的集合.(2)无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10x->的解组成的集合.8.常用数集及其记法数学数学数学 2(1)正整数集:全体正整数组成的集合叫做正整数集,记作*N或N.+(2)自然数集:全体非负整数组成的集合叫做自然数集,记作N.(3)整数集:全体整数组成的集合叫做整数集,记作Z.(4)有理数集:全体有理数组成的集合叫做有理数集,记作Q.(5)实数集:全体实数组成的集合叫做实数集,记作R.9.集合表示的方法(1)自然语言:用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合,所有实数组成的集合.例如,三角形的集合.(2)列举法:把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开,然后用花括号括起来.例如,我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋},把“方程(1)(2)0-+=的所有实数根”组成的集合表示为x x-.{1,2}(3)描述法:通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{()}x p x,其数学数学数学 3中x是集合中的元素代表,()p x则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如,不等式73x-<的解集可以表示为∈-<=∈<.x R x x R x{73}{10}1.2集合间的基本关系1. 子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记为A B或(B A)读作集合A包含于集合B(或集合B包含集合A).集合A是集合B的子集可用Venn图表示如下:数学数学数学 4数学 数学 数学 5或关于子集有下面的两个性质: (1)反身性:A A ⊆;(2)传递性:如果A B ⊆,且B C ⊆,那么A C ⊆. 2.真子集如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈,且x A ∉,我们称集合A是集合B 的真子集,记为A B ⊂≠(或B A ⊃≠), 读作集合A 真包含于集合B (或集合B 真包含集合A ). 集合A 是集合B 的真子集可用Venn 图表示如右.数学 数学 数学 63.集合的相等如果集合A B ⊆,且B A ⊆,此时集合A 与集合B 的元素是一样的,我们就称集合A 与集合B 相等,记为 A B =.集合A 与集合B 相等可用Venn 图表示如右. 4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.我们规定空集是任何一个集合的子集,空集是任何一个非空集合的真子集,即 (1)A ∅⊆(A 是任意一个集合); (2)A ⊂∅≠(A ≠∅). 1.3集合的运算 1.并集自然语言:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与B的并集,记作数学 数学 数学 7A B ⋃(读作“A 并B ”). 符号语言: {,}A B x x A x B ⋃=∈∈或. 图形语言:理解:x A ∈或x B ∈包括三种情况:x A ∈且x B ∉;x B ∈且x A ∉;x A ∈且x B ∈. 并集的性质: (1)A B B A ⋃=⋃;(5) A =BA (4)B B(3)A (2)A 与B 没有有公共元素(1)A 与B 有公共元素,相互不包含(2)A A A⋃=;(3)A A⋃∅=;(4)()()⋃⋃=⋃⋃;A B C A B C(5)A A B⊆⋃;⊆⋃,B A B(6)A B B A B⋃=⇔⊆.2.交集自然语言:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A B⋂(读作“A交B”).符号语言:{,}⋂=∈∈A B x x A x B且.图形语言:数学数学数学8数学 数学 数学 9理解:当A 与B 没有公共元素时,不能说A 与B 没有交集,只能说A 与B 的交集是∅. 交集的性质: (1)A B B A ⋂=⋂; (2)A A A ⋂=;BA(5)A=B,A B=A=B(4)B A,A B=B(3)A B,A B=AA B(2)A 与B 没有公共元素,A B=(1)A 与B 有公共元素,且互不包含数学 数学10(3)A ⋂∅=∅;(4)()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂; (5)A B A ⋂⊆,A B B ⋂⊆; (6)A B A A B ⋂=⇔⊆. 3.补集(1)全集的概念:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U . (2)补集的概念自然语言:对于一个集合A ,由属于全集U 且不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,记为UA .符号语言: {,}UA x x U x A =∈∉且图形语言:数学 数学 数学 11补集的性质 (1)()U A A ⋂=∅; (2)()U A A U ⋃=; (3)()()()U U UA B A B ⋃=⋂; (4)()()()U U UA B A B ⋂=⋃.1.4充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件一般地,“若p ,则q ”为真命题,是指由p 通过推理可以得出q .这时,我们就说,由p 可推出q ,记作p q⇒,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.在生活中,q是p成立的必要条件也可以说成是: q⌝⇒p⌝(q⌝表示q不成立),其实,这与p q⇒是等价的.但是,在数学中,我们宁愿采用第一种说法.如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作/p q⇒.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.2.充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题,即既有p q⇒,又有q p⇒就记作⇔.p q此时,我们就说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p 的充要条件.概括地说,如果p q⇔,那么p与q互为充要条件.“p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.1.5全称量词与存在量词数学数学数学121.全称量词与存在量词(1)全称量词短语“所有的”,“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”,“每一个”,“任给”,“所有的”等.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有()p x成立”可用符号简记为p x,x M,()读作“对任意x属于M,有()p x成立”.(2)存在量词短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”,“有一个”,“对某个”,“有的”等.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,使()p x成立”可用符号简记为p x,∃∈,()x M数学数学数学13数学 数学 数学 14读作“存在M 中的元素x ,使()p x 成立”. 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定 全称量词命题:x M ,()p x ,它的否定:x M ∃∈,()p x ⌝.全称量词命题的否定是存在量词命题. (2)存在量词命题的否定 存在量词命题:x M ∃∈,()p x ,它的否定:x M ,()p x ⌝.存在量词命题的否定是全称量词命题.第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理>⇔->;a b a b=⇔-=;a b a ba b a b<⇔-<.2.等式的基本性质性质1 如果a b=,那么b a=;性质2 如果a b=,b c=,那么a c=;性质3 如果a b=,那么a c b c±=±;性质4如果a b=,那么ac bc=;性质5 如果a b=,0=.c≠,那么a bc c数学数学数学15数学 数学 数学 163.不等式的基本性质性质1 如果a b >,那么b a <;如果b a <,那么a b >.即a b b a >⇔<性质2 如果a b >,b c >,那么a c >.即a b >,b c >a c ⇒>.性质3 如果a b >,那么a c b c +=+. 由性质3可得,()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>-.这表明,不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果a b >,0c >,那么ac bc >;如果a b >,0c <,那么ac bc <. 性质5 如果a b >,c d >,那么a c b d +>+. 性质6 如果0a b >>,0c d >>,那么ac bd >. 性质7 如果0a b >>,那么n n a b >(n N ∈,2n ≥).数学 数学 数学 172.2 基本不等式 1.重要不等式,a b R ∀∈,有222a b ab +≥,当且仅当a b =时,等号成立. 2.基本不等式 如果0a >,0b >,则2a b+≤, 当且仅当a b =时,等号成立.2a b+叫做正数a ,b 的算术平均数a ,b 的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.与基本不等式相关的不等式 (1)当,a b R ∈时,有数学 数学 数学 1822a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,当且仅当a b =时,等号成立. (2)当0a >,0b >时,有211a b≤+当且仅当a b =时,等号成立. (3)当,a b R ∈时,有22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,当且仅当a b =时,等号成立. 4.利用基本不等式求最值 已知0x >,0y >,那么(1)如果积xy 等于定值P ,那么当x y =时,和x y +有最小值;数学 数学 数学 19(2)如果和x y +等于定值S ,那么当x y =时,积xy 有最大值214S .2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1.函数的概念设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的的数y和它对应,那么就称:f A B→为从集合A到集合B的一个函数,记作数学数学数学20数学 数学 数学 21()y f x =,x A ∈.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{|(})f x x A ∈叫做函数的值域,显然,值域是集合B 的子集. 2.区间:设a ,b 是两个实数,而且a b <,我们规定:(1)满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,表示为[,]a b ; (2)满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,表示为(,)a b ;(3)满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为:[,)a b , (,]a b . 这里的实数a ,b 都叫做相应区间的端点.数学 数学 数学 22(4)实数集R 可以表示为(,)-∞+∞,“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞” 读作“正无穷大”.满足x a ≥,x a >,x b ≤,x b <的实数x 的集合,用区间分别表示为[,)a +∞ ,(,)a +∞ (,]b -∞,(,)b -∞.这些区间的几何表示如下表所示.注意:(1)“∞”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远达不到,不是一个数.(2)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端点必须用小括号.3.函数的三要素(1)定义域;(2)对应关系;(3)值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么就说这两个函数是同一个函数.5.函数的表示方法(1)解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.数学数学数学23数学 数学 数学 24解析法是表示函数的一种重要的方法,这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系. (2)图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势,从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系. 说明:将自变量的一个值0x 作为横坐标,相应的函数值0()f x 作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x .当自变量取遍函数的定义域A 中的每一个值时,就得到一系列这样的点,所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合就是函数的定义域,在y 轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点,等等. (3)列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如,初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.数学 数学 数学 256.分段函数(1)分段函数的概念有些函数在其定义域内,对于自变量x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.如 (1),0,(),0x x f x x x x -<⎧==⎨≥⎩ , (2)22,0,(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩. 说明:①分段函数是一个函数,而不是几个函数.处理分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系.②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集,分段函数的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的形式.④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.数学26(2)分段函数的图象分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分 段函数的图象. 3.2 函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性. 1.单调性与最大(小)值 (1)增函数设函数()f x 的定义域为I ,区间D ⊆I .如果∀1x ,2x D ∈,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地,当函数()f x 在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数.数学 数学 数学 27(2)减函数设函数()f x 的定义域为I ,区间D ⊆I.如果∀1x ,2x D ∈,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地,当函数()f x 在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数. (3)单调性、单调区间、单调函数数学 数学 数学 28如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减,那么就说函数()y f x =在区间D 上具有(严格的)单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性,那么就称此函数在这个区间上是单调函数. (4)证明函数()f x 在区间D 上单调递增或单调递减,基本步骤如下: ①设值:设12,x x D ∈,且 12x x <; ②作差:12()()f x f x - ;③变形:对12()()f x f x -变形,一般是通分,分解因式,配方等.这一步是核心 ,要注意变形到底; ④判断符号,得出函数的单调性. (5)函数的最大值与最小值 ①最大值:设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤; (2)存在0x I ∈,使得0()f x M =. 那么我们称M 是函数()y f x =的最大值.数学 数学 数学 29②最小值:设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥; (2)存在0x I ∈,使得0()f x m =. 那么我们称m 是函数()y f x =的最小值.2.奇偶性 (1)偶函数设函数()f x 的定义域为I ,如果x I ∀∈,都有x I -∈,且()()f x f x -=,那么函数()f x 就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论:①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件; ②偶函数的图象关于y 轴对称.反之也成立;③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. (2)奇函数设函数()f x 的定义域为I ,如果x I ∀∈,都有x I -∈,且()()f x f x -=-,那么函数()f x 就叫做奇函数.数学30关于奇函数有下面的结论:①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件; ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立;③如果奇函数当0x =时有意义,那么(0)0f =.即当0x =有意义时,奇函数的图象过坐标原点; ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 3.3幂函数 1.幂函数的概念一般地,形如y x α=(R α∈,α为常数)的函数称为幂函数.对于幂函数,我们只研究1α=,2,3,12,1-时的图象与性质.2.五个幂函数的图象和性质x 12xx -1数学数学数学31数学 数学 数学 323.4函数的应用(一) 略.第四章 指数函数与对数函数4.1 指数1.n 次方根与分数指数幂 (1)方根如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中1n >,且*n N ∈.①当n 是奇数时,正数的n 次方根是正数,负数的n 方根是负数.这时,a 的n表示. ②当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a 的正的n表示,负的n次方根用符号. 正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >). 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是00=.根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 关于根式有下面两个等式:n a =;数学 数学 数学33,,a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂(1)正分数指数幂m na =0a >,m ,*n N ∈,1n >).0的正分数指数幂等于0. (2)负分数指数幂1=m nmnaa-=0a >,m ,*n N ∈,1n >).0的负分数指数幂没有意义. (3)有理数指数幂的运算性质①r s r s a a a +=(0a >,r ,s Q ∈); ②()r s rs a a =(0a >,r ,s Q ∈);③()r r r ab a b =(0a >,0b >,r Q ∈).3. 无理数指数幂及其运算性质 (1)无理数指数幂的概念当x 是无理数时,x a 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x 的不足近似值m 和过剩近似值n 逐渐逼近x 时,m a 和n a 都趋向于同一个数,这个数就是x a .所以无理数指数幂x a (0a >,x 是无理数)是一个确定的数.(2)实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂,即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质.①r s r s=(0a a a+∈);a>,r,s R②()r s rs=(0a a∈);a>,r,s R③()r r r=(0ab a b∈).a>,0b>,r R4.2 指数函数1.指数函数的概念函数x=(0y aa≠)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.a>,且12.指数函数的图象和性质一般地,指数函数x=(0y aa>,且1a≠)的图象和性质如下表所示:数学数学数学344.3 对数1.对数的概念数学数学数学35数学 数学 数学 36一般地,如果x a N =(0,1)a a >≠,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作Nx a log =.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 当0a >,且1a ≠时,log N x a a N x =⇔=. 2. 两个重要的对数(1)常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,并把10log N 记为lg N .(2)自然对数:以e (e 是无理数, 2.71828e =…)为底的对数叫做自然对数,并把log e N 记作ln N . 3. 关于对数的几个结论 (1)负数和0没有对数; (2)log 10a =; (3)log 1a a =. 4. 对数的运算如果0a >,且1a ≠,0M >,0N >,那么数学 数学 数学 37(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a a a MM N N=-;(3)log log n a a M n M =(n R ∈).5. 换底公式log log log c a cbb a=(0a >,且1a ≠,0b >,0c >,1c ≠).4.4 对数函数 1. 对数函数的概念一般地,函数log a y x =(0a >,且1a ≠)叫做对数函数,其中x 是自变量,定义域是(0,)+∞. 2.对数函数的图象和性质数学数学数学38数学 数学 数学 393. 反函数指数函数x y a =(0a >,且1a ≠)与对数函数log a y x =(0a >,且1a ≠)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称. 4. 不同函数增长的差异对于对数函数log a y x =(1a >)、一次函数y kx =(0k >)、指数函数x y b =(1b >)来说,尽管它们在(0,)+∞上都是增函数,但是随着x 的增大,它们增长的速度是不相同的.其中对数函数log a y x =(1a >)的增长数学 数学 数学 40速度越来越慢;一次函数y kx =(0k >)增长的速度始终不变;指数函数x y b =(1b >)增长的速度越来越快.总之来说,不管a (1a >),k (0k >),b (1b >)的大小关系如何,x y b =(1b >)的增长速度最终都会大大超过y kx =(0k >)的增长速度;y kx =(0k >)的增长速度最终都会大大超过log a y x =(1a >)的增长速度.因此,总会存在一个0x ,当0x x >时,恒有log x a b kx x >>.4.5 函数的应用(二) 1. 函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解,也是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标.所以方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点.数学 数学 数学 41(2)函数零点存在定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线,且有()()0f a f b <,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点,即存在(,)c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的解. 2. 用二分法求方程的近似解对于在区间[,]a b 上图象连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度ε,用二分法求函数()y f x =零点0x 的近似值的一般步骤如下:(1)确定零点0x 的初始区间[,]a b ,验证()()0f a f b <. (2)求区间(,)a b 的中点c .(3)计算()f c ,并进一步确定零点所在的区间: ①若()0f c =(此时0x c =),则c 就是函数的零点; ②若()()0f a f c <(此时0(,)x a c ∈),则令b c =; ③若()()0f c f b <(此时0(,)x c b ∈),则令a c =.(4)判断是否达到精确度ε:若a bε-<,则得到零点的近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4). 由函数零点与相应方程解的关系,我们可以用二分法来求方程的近似解.3. 函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下:Array这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”);根据增长情况选择函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学问题;通过运算、推理、求解函数模型;用得到的函数模型描述实际问题的变化规律,解决有关问题.在这一过程中,往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.数学数学数学42第五章三角函数5.1 任意角和弧度制1.任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线的端点叫做角的顶点,射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边. (2)正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角;按顺时针方向旋转所成的角叫负角;一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角. 这样,我们就把角的概念推广到了任意角. ABO数学数学数学43数学 数学 数学 44(3)象限角当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上,这时这个角不属于任何象限. (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅︒∈即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同; 终边相同的角有无数多个,它们相差360︒的整数倍; 象限角的表示: 第一象限角的集合{}|36090360,k k k Z αα⋅︒<<︒+⋅︒∈第二象限角的集合数学 数学 数学 45{}|90360180360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第三象限角的集合{}|180360270360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第四象限角的集合{}|270360360360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要,它们的表示如下表.2. 弧度制(1)弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为αrad,那么lα=.r正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.(2)弧度与角度的换算数学数学数学46数学 数学 数学47(3)关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为α(rad ),半径为R ,弧长为l ,则有①l R α=; ②212S R α=; ③12S lR =.5.2 三角函数的概念 1. 三角函数的概念 (1)三角函数的定义一般地,任意给定一个角R α∈,它的终边OP数学 数学 数学48与单位圆相交于点(,)P x y .把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数,记作sin α,即sin y α=;把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数,记作cos α,即cos x α=;把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx 叫做α的正切函数,记作tan α,即tan yxα=(0x ≠). 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为: 正弦函数 sin y α=,x R ∈; 余弦函数 cos y α=,x R ∈;正切函数 tan y α=,2x k ππ≠+(k Z ∈).数学 数学 数学 49设α是一个任意角,它的终边上任意一点P (不与原点 重合)的坐标为(,)x y ,点P与原点的距离为r =可以证明:sin yr α=; cos xr α=; tan y xα=. (2)几个特殊角的三角函数值0,2π,π,32π的三角函数值如下表所示:数学 数学 数学 50(3)三角函数值的符号(4)诱导公式(一)终边相同的角的同一三角函数值相等.sin(2)sin k απα+⋅=, cos(2)cos k απα+⋅=, tan(2)tan k απα+⋅=,其中k Z ∈.2. 同角三角函数间的基本关系tan αcos αsin α。

人教版高一数学必修一知识点梳理整合五篇最新

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人教版高一数学必修一知识点梳理整合五篇最新相信有很多同学到了高中会认为数学是理科,所以没必要死记硬背。

其实这是错误的想法,高中数学知识点众多,光靠一个脑袋是记不全的,好记性不如烂笔头,要想学好数学,同学们人教版高一数学必修一知识点1集合常用大写拉丁字母来表示,如:A,B,C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义。

将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如:A={…}的形式。

等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

常用的有列举法和描述法。

1.列举法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。

{1,2,3,……}2.描述法﹕常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。

{x|P}(x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x|03.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合。

集合自然语言常用数集的符号:(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N;不包括0的自然数集合,记作N(2)非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作Z+;负整数集内也排除0的集,称负整数集,记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q。

Q={p/q|p∈Z,q∈N,且p,q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集,记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算:集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。

新人教版高一数学知识点

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新人教版高一数学知识点高一上册数学必修一知识点梳理函数的性质函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法:(1)任取x1,x2∈D,且x1(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.9.利用定义判断函数奇偶性的步骤:1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.高一数学必修五知识点总结⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d.⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.⑶若{a}、{b}为等差数列,则{a±b}与{ka+b}(k、b为非零常数)也是等差数列.⑷对任何m、n,在等差数列{a}中有:a=a+(n-m)d,特别地,当m=1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性.⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l+k+p+…=m+n+r+…(两边的自然数个数相等),那么当{a}为等差数列时,有:a+a+a+…=a+a+a+….⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd(k为取出项数之差).⑺如果{a}是等差数列,公差为d,那么,a,a,…,a、a也是等差数列,其公差为-d;在等差数列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数.⑽设a,a,a为等差数列中的三项,且a与a,a与a的项距差之比=(≠-1),则a=.⑴数列{a}为等差数列的充要条件是:数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数).⑵在等差数列{a}中,当项数为2n(nN)时,S-S=nd,=;当项数为(2n-1)(n)时,S-S=a,=.⑶若数列{a}为等差数列,则S,S-S,S-S,…仍然成等差数列,公差为.⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T(n为奇数),则=.⑸在等差数列{a}中,S=a,S=b(n>m),则S=(a-b).⑹等差数列{a}中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上.⑺记等差数列{a}的前n项和为S.①若a>0,公差d<0,则当a≥0且a≤0时,S;②若a<0,公差d>0,则当a≤0且a≥0时,S 最小.高一数学学习方法参考基础是关键,课本是首选首先,新高一同学要明确的是:高一数学是高中数学的重点基础。

2020高中数学必修1知识点(超全)

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2020高中数学必修1知识点(超全)高中数学知识点必修1第一章集合与函数概念1.1.1 集合的含义与表示1) 集合的概念是指集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。

2) 常用数集及其记法:N表示自然数集,N*或N+表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集。

3) 集合与元素间的关系:对象a与集合M的关系是a∈M,或者a∉M,两者必居其一。

4) 集合的表示法包括自然语言法、列举法、描述法和图示法。

5) 集合的分类包括有限集、无限集和空集(∅)。

1.1.2 集合间的基本关系6) 子集、真子集、集合相等的定义和符号表示如下:名称记号意义子集 A⊆B A中的任一元素都属于B真子集 A⊂B A⊆B,且B中至少有一元素不属于A集合相等 A=B A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A7) 已知集合A有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,2n-1个真子集,2n-1个非空子集和0个非空真子集。

1.1.3 集合的基本运算8) 交集、并集、补集的定义和符号表示如下:名称记号意义交集A∩B {x|x∈A,且x∈B}并集 A∪B {x|x∈A,或x∈B}补集 A' {x|x∈U,且x∉A}补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1) 含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-a<x<a}。

1.解一元一次不等式对于形如 $ax+b$ 的一元一次不等式,可以将其看成一个整体,化成 $|ax+b|a(a>0)$ 型的不等式来求解。

2.解一元二次不等式对于形如 $ax^2+bx+c$ 的一元二次不等式,首先计算其判别式 $\Delta=b^2-4ac$,然后根据二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 的图像,分类讨论 $\Delta$ 的大小关系。

当 $\Delta>0$ 时,解集为 $\{x|xx_2\}$;当 $\Delta=0$ 时,解集为 $\{x|x=x_1\}$;当 $\Delta<0$ 时,无实数解。

人教版高中数学必修一第三章知识点总结

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第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即:方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点.3、函数零点的求法:○1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点:①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y . (1)△>0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.(2)△=0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)△<0,方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=,当0n >时,仅有一个零点0,当0n ≤时,没有零点。

5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数),函数先把()f x 转化成()0f x =,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y (基本初等函数),这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

高中数学教案必修一学习笔记(优秀14篇)

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必修1高一数学人教版全面知识点(必须珍藏)

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高中数学必修1知识点总结目录高中数学必修1知识点总结 (2)第一章集合与函数概念 (2)〖1.1〗集合 (2)【1.1.1】集合的含义与表示 (2)【1.1.2】集合间的基本关系 (3)【1.1.3】集合的基本运算 (4)〖1.2〗函数及其表示 (6)【1.2.1】函数的概念 (6)【1.2.2】函数的表示法 (8)〖1.3〗函数的基本性质 (9)【1.3.1】单调性与最大(小)值 (9)【1.3.2】奇偶性 (11)【1.3.3】函数周期性和对称性 (12)〖补充知识〗函数的图象 (14)第二章基本初等函数(Ⅰ) (15)〖2.1〗指数函数 (15)【2.1.1】指数与指数幂的运算 (15)【2.1.2】指数函数及其性质 (16)〖2.2〗对数函数 (17)【2.2.1】对数与对数运算 (17)【2.2.2】对数函数及其性质 (18)〖2.3〗幂函数 (20)〖补充知识〗二次函数 (22)第三章函数的应用 (26)高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n个子集,它有21n-个真子集,它有21n-个非空子集,它有22n-非空真子集.【 1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集 名称 记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈(1)AA A =(2)A ∅=∅ (3)A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈(1)AA A = (2)A A ∅= (3)AB A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体,化成||x a <,||(0)x a a >>型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.yxo【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性 (3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性 (3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减. (2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称) 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.【1.3.3】函数周期性和对称性一.定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。

人教版高中数学必修一函数及其性质知识点梳理

人教版高中数学必修一函数及其性质知识点梳理

(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质知识点梳理单选题1、函数f(x)=(3x+3−x)×lg|x|的图象大致为()A.B.C.D.答案:D解析:根据解析式判断函数的奇偶性,结合函数值的符号是否对应,利用排除法进行判断即可.函数的定义域为{x|x≠0},f(−x)=(3x+3−x)×lg|x|=f(x),则函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,排除B,当x>1时,f(x)>0,排除A,当0<x<1时,f(x)<0,排除C,故选:D.小提示:思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.2、函数f (x )在区间[−1,5]上的图象如图所示,g (x )=∫f (t )dt x0,则下列结论正确的是A .在区间(−1,0)上,g (x )递增且g (x )>0B .在区间(−1,0)上,g (x )递增且g (x )<0C .在区间(−1,0)上,g (x )递减且g (x )>0D .在区间(−1,0)上,g (x )递减且g (x )<0答案:B解析:由题得g (x )=−∫0xf (t )d t ,x ∈(−1,0),再利用定积分的几何意义分析得解. 如图,g (x )=−∫0x f (t )d t ,x ∈(−1,0), 因为x ∈(−1,0),∴t ∈(−1,0),故f (t )>0,f(t)d t表示曲线f(t)与t轴以及直线t=0和t=x所围区域面积,故∫0xf(t)d t减小,g(x)增大,当x增大时,面积减小,∫0x故g(x)递增且g(x)<0,故选B.小提示:本题主要考查定积分的几何意义和函数的单调性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、已知函数y=2ax3(a>0),则此函数是()A.偶函数且在(-∞,+∞)上单调递减B.偶函数且在(-∞,+∞)上单调递增C.奇函数且在(-∞,+∞)上单调递减D.奇函数且在(-∞,+∞)上单调递增答案:D解析:根据函数的奇偶性的定义和幂函数的单调性可得选项.解:令y=f(x)=2ax3,则函数y=f(x)=2ax3的定义域为R,且f(−x)=2a(−x)3=−2ax3=−f(x),所以函数y=f(x)=2ax3是奇函数,又因为a>0,所以函数y=f(x)=2ax3在(-∞,+∞)上单调递增,故选:D.填空题4、已知函数y=2,x∈[1,2],则此函数的值域是____.x答案:[1,2]解析:利用反比例函数的单调性可求得原函数的值域.因为函数y =2x 在区间[1,2]上为增函数,当x ∈[1,2]时,22≤2x ≤21,即1≤2x ≤2. 因此,函数y =2x ,x ∈[1,2]的值域为[1,2].所以答案是:[1,2].5、已知函数f(x)={−log 2x,x >02x ,x ≤0,则f[f(8)]=_______. 答案:18 解析:首先计算f (8)=−3,从而得到f [f (8)]=f (−3),即可得到答案. 因为f (8)=−log 28=−3,所以f [f (8)]=f (−3)=2−3=18.所以答案是:18。

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第一章集合与函数概念第一节集合一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性如:世界上最高的山(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ …} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。

注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1)列举法:{a,b,c……}2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)V enn图:4、集合的分类:有限集含有有限个元素的集合(1)无限集含有无限个元素的集合(2)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即:①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x∈A,且x∈B}.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x∈A,或x∈B}).设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作ACS,即C S A=},|{AxSxx∉∈且第二节函数的有关概念1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2.值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x 为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .(2) 画法A、描点法:B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.5.映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f(对应关系):A(原象)→B(象)”对于映射f:A→B来说,则应满足:(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.补充:复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

第三节函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:○1任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2作差f(x1)-f(x2);○3变形(通常是因式分解和配方);○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);○5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤:○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法4) 消参法10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○2 利用图象求函数的最大(小)值○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递增,在区间[b ,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递减,在区间[b ,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b);第二章 基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *.负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。

当n 是奇数时,a a nn =,当n 是偶数时,⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ,)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质(1)ra ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)(),,0(R s r a ∈>;(3)s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>.(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质(1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [;(2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =;二、对数函数(一)对数1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式)说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ;○2 x N N a a x =⇔=log ;○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:○1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化幂值 真数b对数(二)对数的运算性质如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○1 M a (log ·=)N M a log +N a log ;○2 =NMa log M a log -N a log ; ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式a bb c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ).利用换底公式推导下面的结论(1)b mnb a n a mlog log =;(2)a b b a log 1log =. (三)对数函数1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。

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