专题探究课一

高考导航 1.函数与导数作为高中数学的核心内容，是历年高考的重点、热点，试题主要以解答题的形式命题，能力要求高，属于压轴题目；2.高考中函数与导数常涉及的问题主要有：(1)研究函数的性质(如单调性、极值、最值)；(2)研究函数的零点(方程的根)、曲线的交点；(3)利用导数求解不等式问题(证明不等式、不等式的恒成立或能成立求参数的范围).

热点一 利用导数研究函数的性质

以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点、重点.本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围.

【例1】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1

x －a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；

当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，

所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ，＋∞上单调递减.

综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；

当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ，＋∞上单调递减.

(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；

当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋

a －1.

因此f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.

令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.

于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1).

探究提高 (1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )>0或f ′(x )<0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题.

(2)若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解.

【训练1】 设f (x )＝－13x 3＋1

2x 2＋2ax .

(1)若f (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；

(2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1，4]上的最小值为－16

3，求f (x )在该区间上的最大值. 解 (1)f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ，

由题意得，f ′(x )>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫

23，＋∞上有解，

只需f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫

23>0，即29＋2a ＞0，

得a ＞－1

9.

所以，当a ＞－19时，f (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

23，＋∞上存在单调递增区间.

(2)已知0＜a ＜2，f (x )在[1，4]上取到最小值－16

3，而f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a 的图象

开口向下，且对称轴x ＝1

2，∴f ′(1)＝－1＋1＋2a ＝2a ＞0，f ′(4)＝－16＋4＋2a ＝2a －12＜0，则必有一点x 0∈[1，4]，使得f ′(x 0)＝0，此时函数f (x )在[1，x 0]上单调递增，在[x 0，4]上单调递减， f (1)＝－13＋12＋2a ＝1

6＋2a ＞0，

∴f (4)＝－13×64＋12×16＋8a ＝－403＋8a ＝－16

3⇒a ＝1.

此时，由f ′(x 0)＝－x 2

0＋x 0＋2＝0⇒x 0＝2或－1(舍去)，所以函数f (x )max ＝f (2)＝103. 热点二 利用导数解决不等式问题(教材VS 高考)

导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)求解不等式；(3)不等式恒(能)成立求参数. 命题角度1 证明不等式

【例2－1】 (满分12分)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当a <0时，证明f (x )≤－3

4a －2.

教材探源 本题第(2)问的实质是证明ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋1

2a ＋1≤0，是不等式x －1≥ln x

的变形，源于教材选修2－2 P32习题B1，是在教材基本框架e x >1＋x 与x ≥1＋ ln x 基础上，结合函数性质，编制的优美试题，2016年全国Ⅲ卷T 21，2017年全国Ⅲ卷T 21有异曲同工之处.

满分解答 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1

x ＋2ax ＋2a ＋1＝（2ax ＋1）（x ＋1）x .

1分 (得分点1)

若a ≥0时，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，2分 (得分点2)

若a <0时，则当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12a ，＋∞时，f ′(x )<0.

故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12a ，＋∞上单调递减.5分 (得分点3)

(2)证明 由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12a ＝

ln ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12a －1－14a ， 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12a －1－14a ≤－34a －2，

即ln ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12a ＋1

2a ＋1≤0，8分 (得分点4)