圆——垂径定理练习题
垂径定理实例练习题
垂径定理实例练习题
根据垂径定理，设有一个圆，有一个直径和一个点位于该圆上，连接该点与直径的两个端点，则连接该点与圆心的线段垂直于直径。
下面是一些关于垂径定理的实例练题：
1. 问题描述：在一个圆上，有一条直径AB，并且连接圆上一
点C与直径的两个端点A和B，证明线段AC与线段BC互相垂直。
解答：因为AC连接了圆上的一点与圆心，所以根据垂径定理，线段AC与直径AB垂直。
同理，线段BC与直径AB也垂直。
因此，线段AC与线段BC互相垂直，证毕。
2. 问题描述：在圆P上，有一条直径EF，并且连接了圆上一
点D与直径的两个端点E和F。
已知EF长度为10厘米，点D离
圆心的距离为8厘米，求线段DF的长度。
解答：根据垂径定理，因为点D连接了圆上的一点与圆心，所以线段DF垂直于直径EF。
由于EF长度为10厘米，根据直角三角
形的性质，可以使用毕达哥拉斯定理计算线段DF的长度。
根据毕达哥拉斯定理，我们有：
其中，c代表斜边（即线段EF），a和b代表直角边（即线段DF和DE）。
已知EF长度为10厘米，代入公式可得：
解方程可得DF的值为6厘米，即线段DF的长度为6厘米。
以上是垂径定理的一些实例练习题的讲解。
希望能够帮助你理解和应用垂径定理。
如有任何问题，请随时向我提问。
专题2.1 圆中垂径定理综合应用(3大类题型)(原卷版)
专题2.1 圆中垂径定理综合应用（3大类题型）【题型1 直接运用勾股定理求线段】【题型2 勾股定理与方程综合求线段】【题型3 垂径定理在实际中应用】【题型1 直接运用勾股定理求线段】1．（2023•大连模拟）如图所示，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．3B．4C．6D．8 2．（2023•杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）cm．A．8B．5C．3D．2 3．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（）A．5B．4C．3D．2 4．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（）A．1B．2C．3D．4 5．（2023•亳州三模）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB＝10，CD ＝8，则BH的长为（）A．5B．4C．3D．2 6．（2023•容县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD＝8cm，AB＝10cm，则AE＝．7．（2023•衡南县三模）在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为．8．（2023•东台市校级模拟）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则线段CD的长为＝．9．（2023•望城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB 于点E，CD＝8cm，连接OC，则BE＝cm．10．（2023•长沙县二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为．【题型2 勾股定理与方程综合求线段】11．（2023•邯郸模拟）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（）A．4B．6C．8D．10 12．（2022秋•南开区校级期末）如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为（）A．B．8C．D．13．（2022秋•文登区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝CD＝8，则⊙O的半径为（）A．3B．4C．D．5 14．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．3B．4.2C．5.8D．6 15．（2022秋•泰山区校级期末）一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝16dm，DC＝4dm，则圆形标志牌的半径为（）A．6dm B．5dm C．10dm D．3dm 16．（2022秋•任城区校级期末）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝2寸，AB＝16寸，直径CD的长是（）A．28寸B．30寸C．36寸D．34寸17．（2023•汉阳区校级一模）如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE ＝1，AB＝6，则CD长为（）A．10B．9C．8D．5 18．（2023•汇川区三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC＝6，则r的值是（）A．B．C．D．19．（2023春•仪征市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，，BE＝1，则OC＝．20．（2023•大冶市一模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．【题型3 垂径定理在实际中应用】21．（2022秋•海淀区校级月考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O 是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB＝60m，CD＝10m，求这段弯路的半径．22．（2022秋•郾城区期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大深度为0.1米．（1）求此下水管横截面的半径；（2）随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？23．（2022秋•沭阳县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．24．如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度（所对弦长）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？25．如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB＝24cm，CD＝8cm．（1）找出此残缺轮片所在圆的圆心（写出找到圆心的方法）；（2）求此圆的半径．26．某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m（如图）．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？27．我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径（直径）几何？”（注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺＝10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．）28．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．29．（2022秋•沭阳县校级月考）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？30．（2022秋•东台市期中）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）。
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。
2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。
3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。
三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。
如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。
2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。
已知AB=6cm，求BC的长度。
四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。
2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。
2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。
垂径定理练习题4套
1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。
2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP ＝____ _。
3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
5、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。
6、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。
7、在⊙O中，半径OA＝10cm，AB是弦，C是AB弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。
8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。
9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC的长为_____。
1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。
3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。
6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。
《垂径定理-弧弦圆心角-圆周角》练习
1《圆》练习题（垂径定理, 弧、弦、圆心角, 圆周角）一、选择题1.已知在⊙O 中, 弦AB 的长为8厘米, 圆心O 到AB 的距离为3厘米, 则⊙O 的半径是（ ）A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米D. 8厘米2.半径等于12的圆中, 垂直平分半径的弦长为（ ）A. B. C. D.3.如图1, 在⊙O 中, ∠ABC=50°, 则∠AOC 等于（ ）A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°4.如图2, AB 是⊙O 的直径, ∠ABC=30°, 则∠BAC =（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°5.如图3, △ABC 内接于⊙O, 连结OA.OB, 若∠ABO ＝25°, 则∠C 的度数为（ ）．A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°6.如图4, 四边形ABCD 内接于⊙O, 若它的一个外角∠DCE=70°, 则∠BOD=( )A. 35°B.70°C. 110°D.140°7、如图5, △ABC 内接于⊙O, AD ⊥BC 于点D, AD=2cm, AB=4cm, AC=3cm, 则⊙O 的直径是（ ）A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm8、如图6, BD 是⊙O 的直径, 圆周角∠A = 30(, 则∠CBD 的度数是（ ）A. 30(B. 45(C. 60(D. 80(9、如图7, AB 为⊙O 的直径, C ．D 是⊙O 上的两点, ∠BAC=30º, AD=CD, 则∠DAC 的度数是（ ）A. 30ºB. 60ºC. 45ºD. 75º10、圆内接四边形ABCD 中, ∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是（ ）A. 1∶2∶3∶4B. 1∶3∶2∶4C. 4∶2∶3∶1D. 4∶2∶1∶3AB O C图1 图2 O 30D B C A O D CBA 图3 图4图6图7图52二、填空题11.如图8, ∠A 是⊙O 的圆周角, ∠A=40°, 则∠OBC 的度数为_______.12.如图9, AB 是⊙O 的直径, 点D 在⊙O 上∠AOD=130°, BC ∥OD 交⊙O 于C, 则∠A= .13、如图10, ⊙O 的直径AB=8cm, C 为⊙O 上的一点, ∠BAC=300, 则BC= .14、如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 .三、解答题: 15、.如图, AB 、CD 是⊙O 的两条弦, 延长AB 、CD 交于点P, 连结AD 、BC 交于点E ． , , 求 的度数．16.如图所示, AB 是⊙O 的一条弦, OD ⊥AB , 垂足为C, 交⊙O 于点D , 点E 在⊙O 上。
圆的垂径定理试题(附答案)
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.A.24B.28C.52D.542、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为 半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）A.95B. 245C. 185D. 523、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是（ ）A. AG ＝BGB. AB ∥BFC.AD ∥BCD. ∠ABC ＝ADC4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） A. cm B. cm C. cm 或cm D. cm 或cm5、（2013•广安）如图，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为（ ）A. cmB. 5cmC. 4cmD. cm6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ）7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A. B. C. D.8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A. 2B.C.D.9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A. B. C. D. 3210、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A. 10B. 8C. 5D. 311、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C.6D.812、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A. B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90°13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A. 5B. 10C. 8D. 614、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O 的半径为（）A. 4B. 5C. 4D. 315、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.5D.716、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不．正确．．的是（）19、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为．图20 图21 图2220、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm．21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．图23 图24 图25 图26 图27 图2823、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB 的长为．25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为52，CD=4，则弦AC的长为．26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=．27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=度．28、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），PΘ的半径为13，则点P的坐标为 ____________.30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题一. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆心0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（ ）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点，则线段0M 长的最小值为（）3.过O 0内一点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 0A 0B 在 0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5米B, 8米C. 7米D,出米D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9•已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦心距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘米，贝U CD= ___________ 厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内一点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂足，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝卩点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的高度为13. 如图，矩形ABCDf圆心在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外一点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. 一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 ___________________ 米 18. 在直径为10厘米的圆中，两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图,是一个隧道的截面,如果路面AB 宽为8米,净高CD 为8米,那么这个 隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。
垂径定理练习题
垂径定理1．下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧一定是等弧B．所对圆心角相等的弧是等弧C．同弧或等弧所对的圆周角相等D．平分弦的直径必垂直于弦2．下列说法正确的个数有（）①相等的弦所对的圆心角相等；②平分弦的直径垂直于这条弦；③直径所对的弧是半圆；④圆是轴对称图形，其对称轴有无数条，对称轴是圆的直径．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，CD是圆O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M，则下列结论中错误．．的是（）A．AM=BM B．弧AC=弧BC C．OM=DM D．弧AD=弧BD4．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=15，CD=24，则OE=（）A．6 B．62C．9 D．125．如图，圆O的半径为3，圆心O到AB的距离为2，则弦AB的长为（）A．2 B．25C．13D．106．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点()13,0A ，直线34y kx k =-+与圆O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为（ ）A ．22B ．24C ．10.5D ．12.57．如图所示，矩形ABCD 与圆O 相交于M 、N 、F 、E ，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．若圆O 的半径为10 cm ，且两平行弦AC ，BD 的长分别为12 cm ，16 cm ，则两弦间的距离是( )A ．2 cmB ．14 cmC ．2 cm 或14 cmD ．6 cm 或8 cm9．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AD ∥BC,那么弧AB 与弧CD 的数量关系是（ )A ．弧AB =弧CD B ．弧AB ＞弧CDC ．弧AB ＜弧CD D ．无法确定10．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（ ）A ．8≤AB≤10B ．8＜AB≤10C ．4≤AB≤5D ．4＜AB≤511．如图，⊙O 1的弦AB 是⊙O 2的切线，且AB ∥O 1O 2，如果AB ＝12cm ，那么阴影部分的面积为（ ）．A ．36πcm 2B ．12πcm 2C ．8πcm 2D ．6πcm 212．在某校校园文化建设活动中，小彬同学为班级设计了一个班徽，这个班徽图案由一对大小相同的较大半圆挖去一对大小相同的较小半圆而得．如图，若它们的直径在同一直线上，较大半圆1O 的弦21AB O O ∥，且与较小半圆2O 相切， AB=4，则班徽图案的面积为（ ）A ．25πB ．16πC ．8πD ．4π13．如图，圆O 的直径AB=10，C 是圆O 上一点，点D 平分弧BC ，2cm DE =，则弦AC= 14．如图，已知AB 是圆O 的弦，点C 在圆O 上，且弧AB=弧BC ，分别连接AO ，CO ，并延长CO ，交弦AB 于点D ，23AB =，CD=3，若点E 在圆O 上，BE ∥OA ，则BE 的长为 ．15．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0,3），点B的坐标为（-2,1），则该圆弧所在圆的圆心坐标是．16．某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架CD与地面垂直，真空集热管AB与地面水平线夹角∠BAC为30°，直线AB与CD都经过水箱截面的圆心O．已知DC=65，AB=180，则水箱内水面宽度BE为cm．17．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1.2m的圆，如图所示，若水面宽AB=0.8，求水的最大深度．（精确到0.1）18．“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为8米，净高CD为8米，求此隧道单心圆的半径OA．19．如图，在圆O中，AB、CD为直径，弦DE⊥AB于点F，连接BC．(1)若DE=16，BF=15，求圆O的直径；(2)若∠C=∠D，求弦BC与DE的夹角．20．（1）如图1，AB是圆O的直径、C、D是圆O上的两点，若∠BAC=20°，弧AD=弧CD．求：①∠ADC的度数；②求∠DAC的度数；（2）如图2，圆O的弦AB垂直平分半径OC，若圆O的半径为4，求弦AB的长．。
圆 垂径定理测试题.doc
BA CEDOF 第二十四章 圆 垂径定理专题一、选择题．1．如图1，⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则AB 的长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8BAOMOABBACDP OBCED O(1) (2) (3) (4) （5） 2．如图2，⊙O 的半径等于4，半径OC 与弦AB 互相平分，AB 的长为（ ）A.43B.33C.2333．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=2∠AODC ． »»AD BDD ．PO=PD 二、填空题4．⊙O 的半径是4，AB 是⊙O 的弦，∠AOB=120。
，则AB 的长是______； 5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；6．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ，∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；7．如图5，AB 为⊙O 直径，E 是»BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____；8．在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条长8cm ，另一条长为6cm ，则这两条平行弦之间的距离为___________． 三、解答题9．如图，AB 和CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ，OE 、OF 分别为弦AB 、CD 的弦心距， 证明：OE=OF 。
PO B AEF10．在⊙O 中，直径AB ⊥弦EF ，垂足为P ，AP=2cm ，BP=4cm ，求EF ．11．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB 与点B 运动所形成的⊙O 交于点A ，测得PA=4cm ，AB=5cm ，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离．12．为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，截面如图，若管内污水的面宽AB=40cm ，污水的最大深度为10cm ，则圆柱型水管的直径为多少cm ？13．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．EOABCD。
圆与垂径定理练习
圆与垂径定理练习一、填空题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，CM 是中线，以C 为圆心，5为半径画⊙C ，对于A 、B 、C 、M 四点，在圆外的是______；在圆上的是_______；在圆内的是________。
2．直角三角形的外心在______，它的外接圆半径与斜边的比是______。
3．在半径为5的圆中，距圆心为3的一条弦长是____________。
4．一弓形的弦长为cm 64，弓形所在圆的半径为7cm ，则弓形的高是______cm 。
5．⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，∠AOB=120°，则AB=_______，AB 弦的弦心距=___________。
6．如图7-13，已知矩形ABCD 与⊙O 相交于A 、B 、E 、F ，DF=1.5，EF=4，则AB=______。
二、选择题1．已知⊙O 的半径是5，A 为线段OP 的中点，当OP=10时，点A 与⊙O 的关系是（ ）。
（A ）在圆内（B ）在圆上（C ）在圆外（D ）不能确定2．如果三角形的外心在三角形外，则此三角形一定是（ ）。
（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）等腰三角形3．下列语句错误的有（ ）。
（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个4．下列命题正确的是（ ）。
（A ）和O 点距离等于5cm 的点在⊙O 上（B ）弦是直径（C ）在两个圆中，若⋂AB 的度数和⋂CD 的度数相等。
则⋂⋂=CD AB（D ）半径相等的两个半圆是等弧5．如图7-14，已知半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE中点，CD ∥AB，则CD的长为（）2（A）3（B）3（C）52（D）5三、解答题1．已知：如图7—15，AB、CD为⊙O的直径，E、F为OC、OD的中点。
圆的垂径定理试题(附答案)
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，O O 的直径AB=12 CD 是O O 的弦，CD! AB,垂足为P ,且BP AP=1:5, 则CD 的长为（ ）.结论中不一定正确的是（ ） 4、 （2013?泸州）已知OO 的直径CD=10cm AB 是OO 的弦，AB 丄CD 垂足为 M 且AB=8cm 贝U AC 的长为（ ）A.B. 匚-cmC. 上 cm 或D. - :;cm 或匚电V cm5、 （2013?广安）如图，已知半径 OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点 C,若AB=8cm CD=3cm 则圆O6 （2013?绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为 5m 则水面宽AB %（ ）B. 8,2C. 2 5D. 4 590，AC 3，BC 4，以点C 为圆心，CA 为C.18 D. 55 23、（2013A. AG =BGB. AB// BF C.AD // BC D. / ABC= ADCcm B. 5cm C. 4cm D. 19 cmA. 4mB. 5mC. 6mD. 8mA. 2、（2013年黄石）如右图，在Rt ABC 中， ACB 半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（） 河南省）如图，CD 是 O 的直径，弦AB CD 于点G,直线EF 与 O 相切与点D,则下列的半径为（A.11、（2013浙江丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=10水面宽AB=16面圆心O 到水面的距离OC 是 A. 4 B. 5 C.6 D.812、（2013?宜昌）如图，DC 是OO 直径，弦AB 丄CD 于 F ，连接BQ DB 则下列结论错误的是（A. AD-BD B AF=BF C. OF=CF D. / DBC=90 13、（2013?毕节地区）如图在OO 中，弦AB=8 OCLAB 垂足为C,且OC=3则OO 的半径（7、（2013?温州）如图，在OO 中，OC L 弦AB 于点C, AB=4 OC=1贝U OB 的长是（ ）；B. !■ C. 一， D. IOO 的半径ODL 弦AB 于点C,连结AO 并延长交OO 于点E ,连结EC.若I!， D. . ■9、（2013?莱芜）将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心 O,用图中阴影部分 的扇形围成一个圆锥的侧面，贝U 这个圆锥的高为（ ）-:B. 一： C. I" D. 如图，AB 是OO 的直径，弦CDLAB,垂足为 32P.若CD=8 OP=3则OO 的半径为则截A. 5B. 10C. 8D. 6AB=8 CD=2 贝U EC 的长为（ ）A. 2 I!.B. ・C. A. A. 10 B. 8 C. 5D. 314、（2013?南宁）如图，AB 是OO的直径，弦CD交AB于点E,且AE=CD=, / BAC= / BOD则OOA.4 :B. 5C. 4D. 315、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是（16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水2cm则该输水管的半径为（17、（2013?内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（ 13,0）,直线y=kx - 3k+4与OO交于B C两点，则弦BC的长的最小值为___________ .18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆O O上的点，在以下判断中，不正确的是（）当弦PE■最长时.△馭是等腰三角形。
圆及垂径定理(讲练10题型)(原卷版)
24.1.1&24.1.2 圆及垂径定理圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O”．(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.注意：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.题型1：圆的概念1.到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆【变式11】下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心B．以10m长为半径C．以点A为圆心，4cm长为半径D．经过已知点M与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.题型2：与圆有关的概念2.判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【变式21】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式22】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型3：确定圆心和圆3.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心；【变式31】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.题型4：圆的对称性4.已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD．【变式41】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC．【变式42】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．（1）求证AC＝BD；（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是．垂径定理及推论垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.常见辅助线做法：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．题型5：垂径定理与计算5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．【变式51】如图，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，OC的延长线与⊙O交于点D，若CD=2，AB=12，求⊙O的半径．【变式52】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．题型6：垂径定理与证明6.如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.【变式61】如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON＝AB，证明：OM＝CD．⌢=BD⌢【变式62】如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊙CD，求证：AC题型7：垂径定理分类讨论问题7.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1B．3C．3或4D．1或7题型8：垂径定理翻折问题8.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为．【变式81】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，求折痕AB的长.【变式82】如图, AB是以点O为圆心的圆形纸片的直径，弦CD⊥AB于点E, AB=10,BE= 3.将阴影部分沿着弦AC翻折压平，翻折后，弧AC对应的弧为G，则点O与弧G所在圆的位置关系为.题型9：垂径定理的应用拱桥问题9.如图所示，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为40m，拱高（弧的中点到弦的距离）为8m，求桥拱得半径R．【变式91】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【变式92】如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）为20m，求桥拱所在圆的半径．题型10：垂径定理的应用油管问题10.储油罐的截面如图所示，内径1000mm装入一些油后，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【变式101】在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．（1）若油面宽AB=16dm，求油的最大深度．（2）在（1）的条件下，若油面宽变为CD=30dm，求油的最大深度上升了多少dm？【变式102】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面如图.油面宽AB=600毫米.（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？一、单选题1．已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm2．如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊙AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A．5B．10C．8D．63．如图，已知⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM=2，则AB的长为（）A．2B．2√3C．4D．4√34．下列说法正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．平分弦的直径垂直于弦C．直径是同一个圆中最长的弦D．过三点能确定一个圆5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊙CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，⊙DOB=60°，EB=2，那么CD的长为（）A．√3B．2 √3C．3 √3D．4 √36．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为（）A．10B．8C．6D．4二、填空题7．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于.8．如图，在半径为6的⊙O中，劣弧AB⌢的度数是120°，则弦AB的长是．9．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则⊙AOB的面积的最大值为，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于°．10．已知⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊙CD，垂足为M，且AB=8，则AC的长为．三、计算题11．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片.（1）请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）；（2）若这个圆的半径为10cm，请求出弦心距为5cm的弦长.四、解答题12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=BD.13．如图为桥洞的形状，其正视图是由CD⌢和矩形ABCD构成．O点为CD⌢所在⊙O的圆心，点O⌢所又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊙弦CD于点F ）EF为2米．求CD在⊙O的半径DO．14．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果⊙BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．五、综合题15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊙CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．（1）再次阅读后，发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件．（2）帮助小智求出⊙O的直径．。
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案垂径定理练习题及答案垂径定理是几何学中的一个重要定理，它解决了关于圆的切线和半径之间的关系问题。
在学习和应用垂径定理时，我们需要通过大量的练习题来巩固理论知识，并提高解题能力。
下面将给出一些垂径定理的练习题，并附上详细的解答，希望能对大家的学习有所帮助。
练习题一：在一个圆中，直径为10厘米，且过圆心的直径AC与切线BD相交于点E。
若AC=8厘米，求BE的长度。
解答：根据垂径定理，切线BD与半径AC垂直，所以∠BAC=90°。
由此可知，三角形BAC是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：BA²+AC²=BC²代入已知条件，得：BA²+8²=10²化简得：BA²+64=100移项得：BA²=36开方得：BA=6由于∠BAC=90°，所以BE也是直径，即BE=10厘米。
练习题二：在一个圆中，直径为16厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=3厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
由此可知，三角形CAD是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：CA²+AD²=CD²代入已知条件，得：CA²+16²=CD²化简得：CA²+256=CD²移项得：CA²=CD²-256开方得：CA=√(CD²-256)根据垂径定理，AE是半径CD的垂直平分线，所以AE=DE。
又已知AE=3厘米，所以DE=3厘米。
由于∠CAD=90°，所以BE也是直径，即BE=16厘米。
练习题三：在一个圆中，直径为12厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=5厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
垂径定理精选题35道
垂径定理精选题35道一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．82．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．84．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．45．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．18．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5 9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．610．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．1212．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．814．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D，则CD的最大值为．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为；当点E在⊙G 的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为cm．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝cm．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为cm．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．垂径定理精选题35道参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝1，则PD＝PE＝，所以a＝3+．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．8【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．4．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．4【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC＝＝＝4（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：如图，连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3cm，∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm，∴AC＝＝＝4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2cm，在Rt△AMC中，AC＝＝＝2cm．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AD＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．8．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC＝2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵⊙O的半径为4，∴BD＝OB•cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．【解答】解：连接BE，∵AE为⊙O直径，∴∠ABE＝90°，∵OD⊥AB，OD过O，∴AC＝BC＝AB＝＝4，∵AO＝OE，∴BE＝2OC，∵OC＝3，∴BE＝6，在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接OC，根据题意OE＝OC﹣1，CE＝3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，∴OE＝OC﹣1，CE＝3，∴OC2＝（OC﹣1）2+32，∴OC＝5，∴AB＝10．故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径OC的长度．12．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点P且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直径，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故选：B．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦是解题的关键．13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．8【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质得出OC＝MO＝3，根据勾股定理求出AC，再根据垂径定理得出AB＝2AC，最后求出答案即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，∵MO＝6，∠OMA＝30°，∴OC＝MO＝3，在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，OC过O，∴BC＝AC，即AB＝2AC＝2×4＝8，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．14．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据垂径定理求出AF＝BF，CE＝BE，＝，求出∠AOD＝2∠C，求出∠AOD＝2∠A，求出∠A＝30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵CD为直径，CD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝2∠C，∵CD⊥AB，AE⊥BC，∴∠AFO＝∠CEO＝90°，在△AFO和△CEO中∴△AFO≌△CEO（AAS），∴∠C＝∠A，∴∠AOD＝2∠A，∵∠AFO＝90°，∴∠A＝30°，∵AO＝1，∴OF＝AO＝，AF＝OF＝，同理CE＝，OE＝，连接OB，∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，∴由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+＝，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，解得：AM＝，∴AE＝2AM＝．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，∵OB＝AB＝5，∴OD＝＝4．故答案为4．【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．【分析】连接OC，由垂径定理得出CE＝CD＝2，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2＝OC2，得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝CD＝2，∠OEC＝90°，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，即22+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为2；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为﹣1．【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB，在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，∴AG＝2OG，OA＝＝，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．故答案为2，﹣1．【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD＝DB＝DA＝＝，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝20E•sin∠EOH＝20E•sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝1×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F．如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴EO＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF﹣OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AF＝8cm，CE＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴OF＝6cm，OE＝8cm，∴EF＝OF+OE＝14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为4cm．【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE＝DE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4cm，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE＝45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC＝CE＝4cm，故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝8cm．【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由垂径定理，AC＝AB＝12cm．由半径相等，得OA＝OD＝13cm．由勾股定理，得OC＝＝＝5．由线段的和差，得CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为2．【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案．【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：在y＝x+中，令x＝0得y＝,∴C(0,),OC＝,在y＝x+中令y＝0得x+＝0,解得x＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴AB＝2，故答案为：2．【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan∠CAO＝得到∠CAO＝30°．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为1或7cm．【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD 之间时，EF＝OF﹣OE．【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1或7．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为4．【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为4．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为3．【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为20．【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解．【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝12；∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝2；∴BE＝10；∴BC＝2BE＝20；故答案为20．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据同角的余角相等得到∠CNM＝∠B，利用等量代换得到∠AND＝∠B，利用同弧所对的圆周角相等得到∠D＝∠B，则得∠AND＝∠D，利用等角对等边可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，连接AO，设OE的长为x，则DE＝NE＝x+1，OA ＝OD＝2x+1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．【分析】（1）由OD⊥AC知AD＝DC，同理得出CE＝EB，从而知DE＝AB，据此可得答案；（2）作OH⊥AB于点H，连接OA，根据题意得出OH＝3，AH＝4，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵AB＝8，∴DE＝4．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH＝AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理与勾股定理．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【分析】（1）连接AC，如图，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则CA＝CB＝3，同理可得AE垂直平分BC，所以AB＝AC＝3；（2）先证明△ABC为等边三角形，则AE平分∠BAC，所以∠OAF＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．【解答】解：（1）连接AC，如图，∵CD⊥AB，∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，∴CA＝CB＝3，∵AO⊥BC，∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，∴AB＝AC＝3；（2）∵AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，∴OA＝2OF＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．。
《圆的认识垂径定理》专题练习题
《圆的认识垂径定理》专题练习题一、选择题1．下列说法中，正确的是( )A．直径是圆中最长的弦B．弦是圆上任意两点之间的部分C．过圆心的线段是直径D．弦的端点可以不在圆上2．下列说法中正确的个数有( )①大于半圆周的弧叫优弧，小于半圆周的弧叫劣弧；②优弧一定比劣弧长；③任意一条弦都把圆周分成两条弧，一条是优弧，一条是劣弧．A．1个B．2个C．3个D．0个3．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm4．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处高出球面16 cm，那么钢丝大约需要加长( )A．102 cm B．104 cm C．106 cm D．108 cm5．下列命题中，正确的个数是( )①圆是由圆心唯一确定的；②半径相等的两个圆是等圆；③一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．A．0个B．1个C．2个D．3个6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )A．4 B．5 C．6 D．87.如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( )A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a二、填空题8．确定一个圆的条件是____和____，____决定圆的位置，____决定圆的大小．9．在同一平面内与已知点P的距离等于2.5 cm的所有点所组成的图形是____．10．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝____．11．如图所示，两个半径相等的⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，且⊙O1经过点O2，则∠O1AB＝____．12. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___．13. 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的直径为____．14．如图，直线与两个同心圆交于图示的各点，MN＝10，PR＝6，则MP＝____．15．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝____cm.三、解答题16. 如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．17. 如图，⊙O的直径AB＝16 cm，P是OB的中点，∠APD＝30°，求CD的长．18. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD.垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．19. 在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．。
九年级上册圆中垂径定理习题
1垂经定理及其推论例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成045角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：22PD PC 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1.已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）. A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ）A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 284.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ）A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:41.已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB ，垂足为M 。
且OM=3cm ，则CD= .2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB= cm.3.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是 .4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R= ，⊙O 的周长为 . ⊙O 的面积为 .5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是 .6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于 .7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，AC=BC ，OF ⊥CD 于F ，OF=2cm ，则 ∠BED= .AB C DP O 。
(完整版)圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题一.选择题1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53.过⊙0内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，则直径AB的长是（）6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B．7cm C． 3 cm或4 cm D．1cm 或7cm 9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3二、填空题1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于4. 已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD 的高度为m11. 如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。
圆垂径定理专项练习60题(有答案)ok
垂径定理专项练习60题（有答案）1．如图，已知⊙O的直径AB=6，且AB⊥弦CD于点E，若CD=2，求BE的长．2．已知：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD．求证：DN=CN．3．如图，AB为⊙O的弦，C、D分别是OA、OB延长线上的点，且CD∥AB，CD交⊙O于点E、F，若OA=3，AC=2．（1）求OD的长；（2）若，求弦EF的长．4．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出四个正确的结论；（2）若BC=6，ED=2，求⊙O的半径．5．如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，求⊙O的半径．6．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，连接OC，OC=5，CD=8，求BE的长．7．如图，过▱ABCD中的三个顶点A、B、D作⊙O，且圆心O在▱ABCD外部，AB=8，OD⊥AB于点E，AB=8的半径为5，求▱ABCD的面积．8．已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=2cm，DB=6cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F 两点，又OM⊥AP于M．求OM及EF的长．9．如图，已知弦CD⊥直径AB于E，CD=2，BD=，求直径AB的长．10．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD、BC，AB=5，AC=4，求：BD的长．11．如图，在⊙O中，=，半径OA交BC于点D．若BC=24，AD=8，求⊙O的半径R．12．如图，已知OE是⊙O的半径，F是OE上任意一点，AB和CD为过点F的弦，且FA=FD．求证：AB=CD．13．已知：如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，OE⊥弦AC于点D，交⊙O于点E．若AC=8cm，DE=2cm．求OD的长．14．⊙O的两条弦AB，CD相交于点E，（1）若AB=CD，且AB=8，AE=5，求DE的长；（2）若AB是⊙O的直径，AB⊥CD，且AE=2，CD=8，求⊙O的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；16．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直径为10的⊙E交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，且点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0）．（1）求圆心E的坐标；（2）求点C、D的坐标．18．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．19．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，OC平分AB，交AB于点H，交于点C，求AC的长．20．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，分别交直线CD于E、F．（1）求证：CE=DF；（2）若AB=20cm，CD=10cm，求AE+BF的值．21．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求圆心O到CD的距离．22．如图，⊙C经过坐标原点，并与坐标轴分别交于A、D两点，点B在⊙C上，∠B=30°，点D的坐标为（0，2），求A、C两点的坐标．23．如图，凸四边形ABCD内接于⊙O，==90°，AB+CD为一偶数．求证：四边形ABCD面积为一完全平方数．24．点A、B、C在⊙O上，且AB=OA，OP⊥BC于P，DB⊥AB交OP于D．（1）找出图中等于30°的角；（2）求证：OA2=AC•．OD．25．如图，AB为⊙O的弦，过点O作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，过点D作CD∥AB，连接OB并延长交CD于点C，已知⊙O的半径为10，OE=6．求：（1）弦AB的长；（2）CD的长．26．如图，⊙O直径CD⊥AB于E，AF⊥BD于F，交CD的延长线于H，连AC．（1）求证：AC=AH；（2）若AB=，OH=5，求⊙O的半径．27．已知：如图⊙O的半径为5，CD为直径，AB为弦，CD⊥AB于M，若AB=6，求DM的长．28．已知：如图，点C在⊙O的弦AB上，且∠BOC=90°，BO=8，CO=6，求线段BC、线段AC的长．29．等腰△ABC中，AB=AC，高AD交对边BC于D，P为AD上任意一点．以P为圆心过B、C两点的圆交直线AB、AC于G、F两点，证明：BG=CF．30．如图所示，已知⊙O的直径为4cm，M是弧的中点，从M作弦MN，且MN=cm，MN交AB于点P，求∠APM的度数．31．已知：⊙O的半径为5cm，CD为直径，AB为弦，CD⊥AB于M，若AB=6cm，求CM的长．32．在⊙O中，弦AB=8cm，P为弦AB上一点，且AP=2cm，则经过点P的最短弦长为多少？33．已知AB是圆O的直径，弦CD垂直AB于E，BE=4cm，CD=16cm，求圆O的半径．34．半径为5cm的⊙O中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦的距离为多少？35．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交于D，连接AC①请写出两个不同类型的正确结论．②若CB=16，ED=4，求⊙O的半径．36．如图，在⊙O中，弦MN=12，半径OA⊥MN，垂足为B，AB=3，求OA的长．37．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF．求证：OE=OF．38．已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．39．如图，⊙O半径为6厘米，弦AB与半径OA的夹角为30°．求：弦AB的长．40．如图，⊙O中，弦PQ=PR，M、N分别是PQ和PR的中点，求证：∠OMN=∠ONM．41．如图所示，⊙O的直径AB=16cm，P是OB的中点，∠APC=30°，求CD的长．42．⊙O的半径为10厘米，圆内两条平行弦AB、CD的长为12厘米，16厘米，求两弦之间的距离．43．如图，⊙O中，弦AB的长为8厘米，∠AOB的度数是120°，求⊙O的直径．44．如图，⊙O中，AB⊥CD，直径AB的长是12厘米，E是OB的中点，求CD的长．45．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．请写出五个不同类型的正确结论．46．如图，AB是⊙O的直径，BC=8，E为的中点，OE交BC于D，连接AD，DE=2．（1）求⊙O的半径；（2）求线段AD的长．47．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为P，OB=5，PB=2，求CD的长．48．在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心，以AC为半径作圆C，交AB于点D，求BD的长．49．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD．50．如图，AB是⊙O 的一条直径，CD是⊙O的一条弦，交AB与点P，=．若AP=1，CD=4，求⊙O的直径．51．已知，⊙O的半径为1，弦AB=，若点C在⊙O上，且AC=，求∠BAC的度数．（要求画出图形）52．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长．53．已知，如图，圆C中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm．（1）求AB长度．（2）求AD长度．54．如图：AB是⊙O的直径，BC是弦，D是弧BC的中点，OD交BC于点E，且BC=8，ED=2．①求⊙O的半径；55．如图，⊙O的弦AB⊥CD于E，OF⊥CD于F，且OF=2，OE=4，OA=．（1）求AB的长；（2）求BE的长．56．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120°，求（1）弦AB的长；（2）△AOB的面积．57．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：CD=DE．58．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，求线段OE的长．59．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，以AB为直径作⊙O交CD于点E、F，DF=CE，若AB=10，EF=8．求A、B到直线CD的距离之和．60．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出四个不同类型的正确结论；（2）若BC=，∠CBD=30°，求⊙O的半径．参考答案：1．连接OC，∵直径AB⊥弦CD于点E，CD=2，∴CE=ED=，∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=，OC=3，∴OE=2，∴BE=1．2．∵PQ是直径，AM=BM，∴PQ⊥AB于M．又∵AB∥CD，∴PQ⊥CD于N．∴DN=CN．3．（1）∵OA=3，AC=2，∴OC=5，∵CD∥AB，∴，∵OB=OA=3，∴，（2）过点O作OG⊥CD于G，连接OE，∴OE=OA=3，∵，∴，∴，在Rt△OEG中，∴，∵OG⊥EF，EF是弦，∴EF=2EG=4．4．（1）正确的结论有：CE=BE；D 为的中点；OE∥AC；OE=AC；（2）∵OD⊥BC，∴E为BC的中点，又BC=6，∴BE=CE=3，设圆的半径为r，由DE=2，得到OE=r﹣2，在Rt△BOE中，OB=r，OE=r﹣2，EB=3，根据勾股定理得：r2=（r﹣2）2+32，解得：r=，则圆的半径为．5．连接OA，∵在圆O中，M为AB的中点，AB=8，∴OM⊥AB，AM=AB=4，在Rt△OAM中，OM=3，AM=4，根据勾股定理得：OA===5．6．∵AB为直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=4，在Rt△COE中，OE===3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，故BE=2．7．连接OA，∴OA=OD=5．∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，AB=8∴AE=AB=4，在Rt△OEA中，由勾股定理得，OE2=OA2﹣EA2，∴OE=3，∴DE=2，∴S平行四边形ABCD=AB•DE=8×2=168．连接OF，∵DB=6cm，∴OD=3cm，∴AO=AD+OD=2+3=5cm，∵∠PAC=30°，OM⊥AP，∴在Rt△AOM中，OM=AO=×5=cm∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵MF==cm∴EF=cm．9．连接OC，∵CD⊥AB，∴E为CD的中点，即CE=DE=CD=，在Rt△BDE中，BD=，DE=，根据勾股定理得：EB==1，设半径OC=OB=r，则OE=OB﹣EB=r﹣1，在Rt△COE中，OC=r，CE=，OE=r﹣1，根据勾股定理得：r2=（）2+（r﹣1）2，解得：r=，则直径AB为3．10．∵OD过圆心O，OD⊥AC，AC=4，∴CD=AC=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴BC===3，在Rt△BCD中，DB===11．连接OC，∵=，AO过圆心O，∴OA⊥BC，CD=BC，∵BC=24，AD=8，∴CD=BC=12，OD=OA﹣AD=R﹣8，在Rt△ODC中，OC2=OD2+DC2，即R2=122+（R﹣8）2，解得：R=13．则圆O的半径R=13．12．连接OA，OD，作AB、CD的弦心距OM，ON，∵OA=OD，FA=FD，OF=OF，∴△AOF≌△DOF，∴∠AFO=∠DFO，∴OM=ON，∴AB=CD．13．∵OE⊥AC，AC=8cm，∴AD=AC=4．设OA=r，则OD=OA﹣DE=r﹣2，在Rt△AOD中，∴OA2=OD2+AD2，∴r2=（r﹣2）2+16解得，r=5．∴OD=3．14．（1）如图甲，当点C在AB的左侧时，∵AB=CD，∴=，∴=，∴∠B=∠C，∴CE=BE，∴DE=AE=5；如图乙，当点C在AB的右侧时，同理：DE=BE=AB﹣AE=3，（2）如图丙，若点A在CD的下方，连结OC，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=CD=4，设OC=x，则OE=x﹣2，∵AB⊥CD，∴OE2+CE2=OC2，即（x﹣2）2+42=x2，解得：x=5．如图丁，若点A在CD的上方，则AB＜2AE=4，与CD=8产生矛盾（或与上类似地计算得OE为负数）．答：⊙O的半径为5．15．（1）证明：∵OE⊥AC，∴=，∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC；（2）解：∵OD⊥AC，∴AE=AC，∠OEA=90°，∵OE=3，OA=5，∴在Rt△AOE中，AE==4，∴AC=2AE=816．（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，∵AB=CD，∴OE=OF，∴PO平分∠BPD；（2）在Rt△POE与Rt△POF中，∵OP=OP，OE=OF，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴PE=PF，∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，∴AE=，CF=，∴AE=CF，∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC．17．（1）作EF⊥x轴，交x轴于点F，连接EA，∵A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），∴AB=6，OA=4，∴AF=3，∴OF=1，∵⊙E的直径为10，∴半径EA=5，∴EF=4，∴E的坐标是（﹣1，4）．（2）同理，作EG⊥y轴，交y轴于点G，连接EC、ED，由勾股定理CG==2，∴点C的坐标是（0，4+），点D的坐标是（0，4﹣）18．∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×24=12（cm），设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣8（cm），在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=122+（x﹣8）2，解得：x=13，∴⊙O的半径为13cm，∴⊙O的直径为26cm．故答案为：2619．连接OA，∵OC平分AB，即H为AB的中点，∴OH⊥AB，在Rt△OAH中，OA=25，AH=24，根据勾股定理得：OH==7，∴HC=OC﹣OH=25﹣7=18，在Rt△AHC中，根据勾股定理得：AC==30．20．（1）证明：过点O作OG⊥CD于G，∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OG∥BF，（1分）∴=又∵OA=OB，∴==，∴GE=GF，（2分）∵OG过圆心O，OG⊥CD，∴CG=GD，（3分）∴EG﹣CG=GF﹣GD，即CE=DF；（4分）（2）解：连接OC，则OC=AB=10，（5分）∵OG过圆心O，OG⊥CD，∴CG=CD=5，（6分）∴OG=，（7分）∵梯形ABFE中，EG=GF，AO=OB，∴OG=（AE+BF），∴AE+EF=2OG=．（8分）21．过O作OF⊥CD于F，则OF的长是圆心O到CD的距离，∵AE=6cm，EB=2cm，∴OB=4cm，∴OE=4cm﹣2cm=2cm，∵∠OFE=90°，∠CEA=30°，∴OF=OE=1cm，即圆心O到CD的距离是1cm22．连接AC、OC，过点C分别作CM⊥OD于M，CN⊥OA 于N．∵点B在⊙C上，∠B=30°，∴∠ACO=60°．∵CA=CO，∴△CAO是等边三角形．∴CA=CO=OA，∠COA=60°．∴∠COM=30°．∵CM⊥OD，点C为圆心，点D的坐标为（0，2），∴．在Rt△OCM中，，由勾股定理得，．∴．同理可得．∴点A的坐标为．点C的坐标为．23．∵=，∴AB∥DC，ABCD为梯形．过O作MN⊥AB于M交CD于N，易知MN⊥CD于N，由垂径定理知M为AB中点，N为CD中点，连接OA，OD．∵∠AOD=90°，∴∠AOM=90°﹣∠DON=∠ODN，从而有∴∴==∵AB+CD为偶数，∴S ABCD必是完全平方数．24．（1）解：∠OBP=30°；∠ACB=30°，先根据AB=OA得到△ABO是正三角形，所以∠ABO是60°．又DB⊥AB交OP于D，所以∠OBP是30°；∠ACB 是60°圆心角对的弧所对的圆周角，所以∠ACB是30°；（2）证明：∵OP⊥BC于P，∴∠BOD=∠BOC，∴∠BAC=∠BOD，在△ABC和△ODB中，∴△ABC∽△ODB，∴，∴AB•OB=AC•OD，∵AB=OB=OA，∴OA2=AC•OD．25．（1）∵OE2+BE2=OB2∴BE=8．（2分）又∵OE⊥AB，∴AB=2BE=16．（4分）（2）∵CD∥AB，∴∠OBE=∠C．又∠BOE=∠COD，∴△BOE∽△COD．（6分）∴=．∴CD=．26．（1）∵AF⊥BD，CD⊥AB，∴∠H=∠B，又∵∠C=∠B，∴∠C=∠H，∴AC=AH；（2）连接AO，∵AC=AH，CD⊥AB，∴AE=，CE=EH，设ED=x，OE=y，∴OA=OC=OD=x+y，∴EH=CE=x+2y，∴OH=x+3y，∴x+3y=5，又∵OA2=AE2+OE2，∴，∴x=2，y=1，∴⊙O的半径x+y=3．27．连接OA，∵CD为直径，AB为弦，AB⊥CD，AB=6，∴根据垂径定理可知AM=AB=3，在Rt△OAM中，OA=5，OM==4，∴DM=OD+OM=9．28．∵∠BOC=90°，BO=8，CO=6，∴．（2分）作OH⊥AB于H，则OH=，（3分）∴．∵OH⊥AB，∴AB=2BH=12.8，（5分）∴AC=12.8﹣10=2.8．（6分）29．连接GF交AD于H．则∠AGF=∠C，∠AFG=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠AGF=∠AFG，∴AG=AF，∴BG=CF．30．连接OM交AB于点E，∵M是弧的中点，∴OM⊥AB于E．（2分）过点O作OF⊥MN于F，由垂径定理得：，（4分）在Rt△OFM中，OM=2，，∴cos∠OMF=，（6分）∴∠OMF=30°，∴∠APM=60°．（8分）31．连接OB，∵CD⊥AB，AB=6cm，∴由垂径定理得：AM=BM=AB=3cm，∠bmo=90°，在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM===4（cm），则CM=OC﹣OM=5cm﹣4cm=1cm．32．如图，设过P点最短的弦为CD，则OP⊥CD，由垂径定理可知CP=PD，∵AB=8，AP=2，∴PB=8﹣2=6，由相交弦定理可知，CP•PD=AP•PB，即CP2=2×6，解得CP=2，∴CD=2CP=4．答：经过点P的最短弦长为4cm．33．∵AB是圆O的直径，弦CD垂直AB于E，CD=16cm，∴CE=CD=×16=8cm，连接OC，设OC=r，则OE=OB﹣BE=r﹣4，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，即r2=（r﹣4）2+82，解得r=10cm．答：⊙O的半径是10cm．34．分两种情况讨论：两弦在圆心同侧或两弦在圆心两侧，过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OC，∴AE=AB=4（cm），CF=CD=3（cm），∴OE==3（cm），OF==4cm．当在同侧时，两弦之间距离为1cm，当在两侧时，两弦之间距离为7cm．35．（1）不同类型的正确结论有：①BE=CE，②=，③∠BED=90°，④∠BOD=∠A，⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC，⑦OE2+BE2=OB2，⑧S△ABC=AC•CE等．（写出2个即可），（2）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣4，∵OD⊥BC，∴CE=EB=BC=8；在Rt△OBE中，∵OE2+EB2=OB2，∴（x﹣4）2+82=x2，解得x=10，所以⊙O的半径是10．36．连接ON∵OA⊥MN于点B∴（2分）设ON=x，则OB=x﹣3在Rt△OBN中∵ON2=OB2+BN2∴x2=（x﹣3）2+62（4分）解得（5分）即37．连接OA，OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B．又∵AE=BF，∴△OAE≌△OBF．∴OE=OF．38. 连接AD，∵⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD，∴弧AC=弧AD，∴∠AMD=∠ADC，∵A、M、C、D四点共圆，∴∠FMC=∠ADC（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），∴∠AMD=∠FMC39．作OD⊥AB于D，则AD=DB，在Rt△AOD中，∵∠DAO=30°∴OD=OA=3∵AD2=OA2﹣OD2∴AD=∴AB=2AD=．40．M、N分别是PQ和PR的中点，∴OM⊥PQ，ON⊥PR．∴∠OMP=∠ONP．∵PQ=PR，M、N分别是PQ和PR的中点，∴PM=PN．∴∠PMN=∠PNM．∴∠OMN=∠ONM．41．过O作OE⊥CD，垂足为E，连接OC，∵AB=16cm，∴OC=OB=8cm，∵P是OB的中点，∴OP=OB=4cm，∵∠APC=30°，OE⊥CD，∴OE=OP=2cm，在Rt△COE中CE===2cm，∴CD=2CE=4cm．42．过O作EF⊥AB于E点，交CD于F点，连OA、OC，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴AE=BE=6cm，CF=DF=8cm，在Rt△AEO中，OA=10，OE===8，在Rt△OCF中，OF===6，如图：，当圆心O在AB与CD之间，EF=OE+OF=8+6=14（cm）；，当圆心O不在AB与CD之间，EF=OE﹣OF=8﹣6=2（cm）．所以两弦之间的距离为14cm或2cm43．如图，过O作OC⊥AB于C，∴C为AB的中点，而OA=OB，∴OC平分∠AOB，而弦AB的长为8厘米，∠AOB的度数是120°，∴∠AOC=60°，AC=4，∴在Rt△AOC中，OC=4，∴AO=8，∴⊙O的直径为16．44．如图，连接OC，∵AB⊥CD，且E是OB的中点，∴∠OCE=30°，CE=DE，而AB=12，∴OC=6，OE=3，∴CE=3，∴CD=645．∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E，∴CE=BE ，=，∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴AC∥OD，∴△BOE∽△BAC，∵OA=OB，∴OE=AC．∴五个不同类型的正确结论为：CE=BE，=，∠ACB=90°，AC∥OD，OE=AC，△BOE∽△BAC等46．（1）∵BC=8，E 为的中点，∴OE⊥BC，BD=CD=BC=×8=4，设⊙O的半径为r，则OB=r，OD=r﹣DE=r﹣2，在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5；答：⊙O的半径为5；（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，BC=8，AB=2OB=2×5=10，∴AC===6，在Rt△ACD中，AD===2．答：线段AD的长为247．连接OC，∵⊙O中，直径AB⊥弦CD，∴CD=2CP．在Rt△OPC中，∵PC2+PO2=OC2，且OP=OB﹣PB=5﹣2=3．∴PC===4，∴CD=2CP=848．∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10，点C作CE⊥AB于点E，则AD=2AE，AC2=AE•AB，即62=AE×10，∴AE=3.6，∴AD=2AE=2×3.6=7.2，∴BD=AB﹣AD=10﹣7.2=2.8．49．∵AE=6cm，EB=2cm，∴OA=（6cm+2cm）÷2=4cm，∴OE=4cm﹣2cm=2cm，过点O作OF⊥CD于F，可得∠OEF=90°，即△OEF为直角三角形，∵∠CEA=30°，∴OF=OE=1cm，连接OC，根据勾股定理可得，在Rt△COF中，CD=2CF=2=2=2cm．50．连接OC，设OC=x，∵=，∴CD⊥AB，∵CD=4，∴CP=2，∵AP=1，∴OP=x﹣1，在Rt△CPO中，x2=22+（x﹣1）2，解得：x=，∴⊙O的直径为2×=5．51．分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．根据特殊角的三角函数值可得，∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC=45°﹣30°=15°．52．如图，连接OA，设OM=3x，OC=5x，则DM=2x，∵CD=15cm，∴3x+5x+2x=15，解得x=1.5cm，∴OM=3×1.5cm=4.5cm，∴AM===6cm，∴AB=12cm．53．（1）在Rt△ACB中，AC=3cm，BC=4cm，由勾股定理得：AB=5cm；（2）过C作CE⊥AD于E ，∵S△ABC=×AC×BC=×AB×CE，∴3cm×4cm=5cm×CE，∴CE=cm，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE==cm，∵CE⊥AD，CE过C，∴AB=2AC=cm．54．①∵OD是半径，D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵BC=8，ED=2设半径为R，则BE=4，OE=R﹣2，∴R2=（R﹣2）2+42∴R=5②∵AB是直径∴∠C=90°，AB=10，BC=8∴AC=6作CF⊥AB于F，则∴55．（1）过点O作OG⊥AB于G，连接OA，则AG=BG=AB，∵OF⊥CD，AB⊥CD，∴∠OGE=∠OFE=∠FEG=90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG=EF，EG=OF，在Rt△OEF中，EF===2∴OG=2，在Rt△OAG中，AG===，∴AB=2．（2）∵由（1）得，四边形OFEG是矩形，∴EG=OF=2，∵由（1）得，BG=AG=AB=×2=，∴BE=BG﹣EG=﹣2．56．（1）过O作OC⊥AB于C，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠A=∠B=30°，∴OC=OA=10cm，由勾股定理得：AC==10（cm），∴由垂径定理得：AB=2AC=20cm；（2）S△AOB=×AB×OC=×20cm×10cm=100cm257．（1）∵AD为直径，AD⊥BC，∴，∴BD=CD．（2）∵，∴∠BAD=∠CBD，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE=∠CBE，∵∠DBE=∠CBE+∠CBD，∠BED=∠ABE+∠BAD，∴∠BAD+∠ABE=∠CBD+∠EBF，即∠BED=∠EBD，∴BD=DE，∴CD=DE．58．连接OD，如图所示：∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又CD=16，∴CE=DE=CD=8，又OD=AB=10，∵CD⊥AB，∴∠OED=90°，在Rt△ODE中，DE=8，OD=10，根据勾股定理得：OE2+DE2=OD2，∴OE==6，则OE的长度为6．59．连接OE，过点O作OG⊥EF于点G，∵点O是⊙O的圆心，EF=8，∴GE=EF=4，∵AB=10，∴OB=OC=5，∴OG===3，∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∴点O是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2OG=2×3=6．答：A、B到直线CD的距离之和是6．60．（1）①根据垂径定理可知，CE=BE；②根据直径所对的圆周角是直角可知，∠C=90°；③根据三角形中位线定理可知，OE=AC；④根据垂径定理可知，=．（2）∵OD⊥BC于E，BC=，∴CE=BE=4，在Rt△BED中，ED=4•tan30°=4，设半径为R，根据勾股定理得，R2=（R﹣4）2+（4）2，解得R=8．答：⊙O的半径为8。
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21O C 《圆》练习题——圆有关概念、垂径定理
一、选择题：
1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1和5两部分，则这条弦的弦心距是：
A 、
B 、1
C 、2
D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为：
A 、32
B 、3
C 、33
D 、25
3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A 3 B 5C ．3 D ．5
4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A ．5 B ．7 C ．375 D ．377
6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A ．6.5米
B ．9米
C ．13米
D ．15米
7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．
若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°
8、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A ．5米
B ．8米
C ．7米
D ．53米
二、填空题：
9、若⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离是_____。
10、若圆的半径为2，圆中一条弦长为23，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为_____。
11、⊙O 的半径为5，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB ＝6，CD ＝8，则AB 与CD 之间的距离为_____。
12、若圆的半径是2cm,一条弦长是32,则圆心到该弦的距离是______. 13、在⊙O 中,弦AB 为24,圆心到弦的距离为5,则⊙O 的半径是______cm.
14、若AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E,AE=9cm,BE=16cm,则CD=______cm.
15、若⊙O 的半径是13cm,弦AB=24cm,弦CD=10cm,AB ∥CD,则弦AB 与CD 之间的距离是______cm.
16、⊙O 的半径是6,弦AB 的长是6,则弧AB 的中点到AB 的中点的距离是______.
17、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ．
18、如图，⊙O 的半径OA ＝10cm ，M 为AB 上一动点，则点M 到圆心O 的最短距离为___________cm 。
19、如图:⊙O 的直径AB ⊥CD 于P,AP=CD=4cm,则OP =______cm.
20、如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于点C ，若8cm AB =，3cm OC =，则⊙O 的半径为 cm ．
21、在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ．
22、已知⊙O 中,AB 是弦,CD 是直径,且CD ⊥AB 于M.⊙O 的半径是15cm,OM:OC =3:5,则AB=______.
23、已知O 到直线l 的距离OD 是72cm,l 上一点P,PD=26cm.⊙O 的直径是20,则P 在⊙O ______.
24、已知OC 是半径,AB 是弦,AB ⊥OC 于E,CE=1,AB=10,则OC =______.
25、在⊙O 中,弦AB,CD 互相垂直于E,AE=2,EB=6,ED=3,EC=4,则⊙O 的直径是______.
26、在⊙O 中弦AB,CD 互相平行,AB=24cm,CD=10cm,且AB 与CD 之间的距离是17cm,则⊙O 的半径是______cm.
27、圆的半径是6cm,弦AB=6cm,则劣弧AB 的中点到弦AB 的中点的距离是______cm.
28、在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为3，弦AD 长为2．则DC 2＝______
29、如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，
C
P O B A D
AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为 ．
30、如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是_____________。
三、解答题：
31、如图，工人师傅要铸造一个与残轮同样大小的圆轮，
需要知道它的半径，你能用所学的知识帮助工人师傅解决
这一问题吗?请在右边的图中作出圆的半径．(保留作圆痕
迹，不写作法)
32、已知：如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD=78 °，AE 交
⊙O 于B ，且AB=OC ．求∠A 的度数．
33、在RtΔABC 中，∠C=90º，直角边a,b 是方程x 2-4x+2=0的两个根，求RtΔABC 外接圆的半径．
34、已知：如图，在ABC △中，点D 是BAC ∠的角平分线上一点，BD AD ⊥于点D ，过点D 作DE AC ∥交AB 于点E ．求证：点E 是过
A B D ，，三点的圆的圆心．
35、如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，且AE ＝1 cm ，
EB ＝5 cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长．
36、如图，已知AB 是O e 的直径，点C 在O e 上，且13AB =，5BC =．
（1）求sin BAC ∠的值．（2）如果OD AC ⊥，垂足为D ，求AD 的长．
37、如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．
（1）求弦AC 的长；
（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．
38、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，过A ，B 向CD
引垂线，垂足分别为E ，F ，求证：CE=DF 。
39、如图，在⊙O 中，D 、E 分别为半径OA 、OB 上的点，且AD ＝BE ．点C 为弧AB 上一点，连接CD 、CE 、CO ，∠AOC＝∠BOC．求证：CD ＝CE ．
40、如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，//AB OC .
（1）求证：AC 平分OAB ∠.（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC
于点P . 若2AB =，30AOE ∠=︒，求PE 的长．
41、已知△ABC 内接于⊙O，且AB=AC ，⊙O 的半径等于6cm ，O 点到BC 的距离为2cm ，求AB 的长。
42、有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度7.2ｍ，拱顶高出水
平面2.4ｍ，现有一艘宽3ｍ，船舱顶部为正方形并高出水面2
ｍ的货船要经过拱桥，请你判断一下，此货船能顺利通过这座
拱桥吗？说说你的理由．
B A。