第六讲微分及洛必达法则
(整理)第六节 洛必达法则
第一节洛必达法则在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题一. 微分学中值定理[拉格朗日中值定理]如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使即成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。
[ 罗尔定理]若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理[柯西中值定理]如果函数，在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且≠0，那末在(a ，b)内至少有一点c ，使成立。
在求函数的极限时，常会遇到两个函数)(x f 、)(x F 都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限)()(limx F x f 可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为00型或∞∞型。
例如，xx x sin lim 0→就是00型的未定式；而极限x x x ln lim +∞→就是∞∞型的未定式．我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、00型未定式定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x →-.解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1limx x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解 该极限属于“0”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''． 例3 计算极限33221216lim 248x x x x x x →-+--+．解 由洛必达法则，得33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==-． 例4 计算极限arctan 2lim 1x xxπ→+∞-．解 arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2211lim 1x x x →+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+． 二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例5 计算极限ln lim(0)x xx αα→+∞>．解 此极限满足洛必达法则，于是得11ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x ααααα-→+∞→+∞→+∞===． 例6 计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．例7 计算极限20tan lim sin x x xx x →-．解 20tan lim sin x x x x x →-30tan limx x xx →-=（利用等价无穷小量代换sin x x ） 22222000sec 1tan 1tan 1lim lim lim(3333x x x x x x x x x →→→-====． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．习题4-61.用洛必达法则求下列极限：（1）πππ--→x x x )sin(lim； （2）x xx 2tan 3tan lim 0→；（3）)0(ln lim >+∞→n xxn x ； （4）为常数）、n m x x n n m m x ,0(lim ≠--→αααα； （5）20)1ln(lim xx x +→； （6）x arc x x cot )11ln(lim ++∞→； （7）xx xe e x x x sin 2lim 0----→； （8）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→．4. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于00型或∞∞型的极限. ②如果(x )g )( lim ''x f 仍是00型或∞∞型,则可继续使用洛必塔法则.③如果(x )g )( lim ''x f 不存在且不是∞,并不表明g(x ))( lim x f 不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解.第二节函数的极值 一、函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性. 判定方法[定理] 设函数()y f x =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.（１）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调增加； （２）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调减少. 证明 （1）由于函数)(x f 满足拉格朗日中值定理条件，故在],[b a 上任取两点21,x x （不妨设21x x <），必有),,(21x x ∈ξ使))(()()(12a b f x f x f -'=-ξ如果0)(>'x f ，必有0)(>'ξf ，于是0)()(12>-x f x f ，即 ).()(21x f x f < 这表明函数()y f x =在],[b a 上单调增加.同理可证，如果0)(<'x f ，函数()y f x =在],[b a 上单调减少.注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间],[b a 若改为开区间),(b a 或无限区间，该定理结论同样成立． （2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.例如，幂函数3x y =的导数23x y ='，当0=x 时，.0='y 但它在),(+∞-∞内是单调增加的，如图所示．(图4-2)图4-2[例1]讨论函数ln y x =的单调性. 解 ln y x =的定义域为(0,)+∞. 因为10[(0,)]y x x'=>∈+∞，所以ln y x =在其定义域(0,)+∞内单调增加. [ 例2]：确定函数的增减区间.解：此函数的定义域为(－∞,＋∞) 因为：，所以可以判出：当x ＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)； 当x ＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。
3.1微分中值定理与洛必达法则
二、洛必达法则：
1、未定式：在求函数极限 lim f (x) 时，我们会遇到 g(x)
lim f (x) 0 （或为 ）、 limg(x) 0 （或为 ），
这时由于 lim f (x) 可能存在也可能不存在，我们将 g(x)
这种“ 0 ”型或“ ”型成为未定式.
0
二、洛必达法则：
设函数 f (x) 和 g(x) 满足下列条件：
3.1微分中值定理与罗必塔法则 一. 微分中值定理
1.罗尔中值定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ; (2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ;
(3) f (a) f (b) ,
则至少存在一点 (a, b) , 使得 f ( ) 0 .
y y f (x)
A
B
Oa
bx
x x
x
x
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
即 f (x) 0 至少有三个实根.
f (x) 是四次多项式, f (x) 是三次多项式,
f (x) 0 至多有三个实根.
综上所述, f (x) 0 仅有三个实根 , 分别在 (a, b), (b, c), (c, d)中.
例2. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
如何利用罗尔定理 来证明？
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
4.1 微分中值定理及洛必塔法则
练习二 下列函数在指定的区间上是否满 足拉格朗日定理的条件？如满足，就求出定理 足拉格朗日定理的条件？如满足， 中的 ξ . 3 3 ξ =± (1) f ( x ) = 2 x , [ − 1,1] 3
(2) f ( x ) = arctan x, [0,1]
3 2
ξ=
4
π
−1
(3) f ( x ) = x − 5 x +x − 2, [ − 1,0]
练习三
利用洛必达法则求下列极限
(1) (2) (3) (4)
(1 + x )α − 1 lim (α 为任意实数) = α x →0 x ln x lim 2 = ∞ x →1 ( x − 1) x − sin x 1 lim = 3 x →0 x 6 2 x3 − 6 x + 4 lim 3 =6 2 x →1 x − 2 x + x
f ′( x) = A( 或 ∞) . (3) lim x → x g ′( x )
0
f ( x) f ′( x) = lim = A( 或 ∞)． 则 lim x→ x g ( x) x → x g ′( x )
0 0
例4 解
ln cot x 求 xlim ． →0 + ln x
当 x → 0+ 时，有 ln cot x → ∞ 和 ∞ 型未定式. ln x → −∞ ，这是 型未定式.由罗必达法 ∞ 则 1 tanx ⋅ (− 2 ) ln cot x x sin x = − lim = lim lim x →0 1 x →0 + cos x sin x x →0 + ln x x 2x = − lim = −1 + x → 0 sin 2 x
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析一、微分中值定理的证明和应用1.拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理是根据泰勒展开式推导而来。
设函数f(x)在区间[a,b]上满足条件，则对于任意的x∈(a,b)，都可以将f(x)展开成泰勒级数，即：f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)其中c∈(a,b)。
因此，当x在(a,b)范围内变化时，根据泰勒展开式可知，存在至少一个c使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2.拉格朗日中值定理的应用：拉格朗日中值定理常用于证明函数的性质以及求解函数的近似值，如用于证明介值定理、判定函数单调性、证明零点存在等。
它也可以用于求解极值问题，通过求解函数的导数等于零的方程，找到函数的极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明柯西中值定理。
3.柯西中值定理的证明：柯西中值定理是微分中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在至少一点c∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的证明可以通过构造辅助函数来实现。
设辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]，然后根据辅助函数的性质，利用拉格朗日中值定理证明存在一些c，使得h'(c)=0。
进而，可以得到[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
4.柯西中值定理的应用：柯西中值定理常用于证明函数之间的关系以及求解函数的极值问题。
例如，可以用柯西中值定理来证明洛必达法则，即如果两个函数f(x)和g(x)在x->a时都趋于零，且g'(x)≠0，则f'(x)/g'(x)在x->a时也趋于零。
3.2 洛必达法则
()
()
+ cos
例如: 求 lim
→∞ − cos
∞
∞
洛必达法则失效
解
+ cos
1 − sin
lim
≠ lim
→∞ − cos
→∞ 1 + sin
极限不存在
cos
1+
= 1. 注意洛必达法则的使用条件
事实上 原式 = lim
0
若 lim ′
仍属 型 , 且 ′ (), ′ ()满足定理1条件,
()
0
()
′ ()
″ ()
则 lim
= lim ′
= lim ″
.
()
()
()
并且可以以此类推.
第二节 洛必达法则
第二节 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用
tan
例1 求 lim
e
e
e
+1
∵ lim = lim = 0,
→+∞ e
→+∞ e
∴ lim = 0.
→+∞ e
第三章 微分中值定理与导数的应用
注
ln
(1) lim = 0 ( > 0)和 lim = 0 ( > 0, > 0)的结果表明,
2
1 + = lim
= 1.
2
1
→+∞ 1 +
− 2
π
− arctan
2
思考： 如何求 lim
(为正整数) ?
洛必达法则的内容
洛必达法则
一、洛必达法则的基本形式
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
其基本形式为：如果函数f(x)和g(x)满足以下条件：
1. f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内可导；
2. g'(x)不等于0；
3. 存在一个实数点b，使得f(b)=0；
4. 存在一个实数点c，使得g(c)=0。
那么，当x趋近于a时，f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
二、洛必达法则的推导过程
洛必达法则的推导过程涉及到极限、导数和微分的知识。
其证明过程为：根据泰勒公式，f(x)和g(x)都可以展开为泰勒级数，然后通过比较系数，可以证明f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
三、洛必达法则的应用范围
洛必达法则可以应用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
具体来说，当分母或分子为无穷大时，可以通过求导数的方法来解决极限问题。
此外，洛必达法则还可以应用于一些其他类型的极限问题，例如求定积分、不定积分等。
四、洛必达法则的局限性
虽然洛必达法则是微积分中的一个重要定理，但是它也存在一些局限性。
首先，洛必达法则只适用于0/0或无穷/无穷的极限问题，对于其他类型的极限问题无法应用。
其次，在使用洛必达法则时需要注意满足其前提条件，否则可能导致错误的结果。
此外，洛必达法则也无法应用于一些复杂的极限问题，例如涉及到多个变量或多个函数的极限问题。
因此，在使用洛必达法则时需要结合其他方法来解决复杂的极限问题。
洛必达法则的证明方法
洛必达法则的证明方法洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中经典的一个公式，常用于求解极限问题。
洛必达法则的精髓是通过对于分子和分母同时求导数，以得到更简单的极限值。
本文将详细阐述洛必达法则的证明方法，希望能帮助大家更好地理解和使用它。
一、洛必达法则的基本形式设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x=a$ 处两侧连续，且 $g'(x)\neq 0$，则有$$ \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$当两个极限值都存在或都为 $\infty$ 或都为 $-\infty$ 时，上式成立。
二、洛必达法则的应用洛必达法则可以解决许多涉及无穷小量的极限问题。
我们可以采用以下的一般步骤：1. 将极限表达式化为 $\dfrac{0}{0}$ 或$\dfrac{\infty}{\infty}$ 的形式。
2. 将分子和分母同时求导数。
3. 计算所得导数的极限值。
如果存在，则该极限值即为原极限的值。
三、洛必达法则的证明方法洛必达法则的证明可以分为以下三个步骤：1. 构造函数 $h(x)=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$2. 将 $h(x)$ 在 $x=a$ 处进行泰勒展开，得到$h(x)=\frac{(x-a)f'(a)+(x-a)r_1(x)}{(x-a)g'(a)+(x-a)r_2(x)}$其中 $r_1(x)$ 和 $r_2(x)$ 为当 $x \to a$ 时 $O((x-a)^2)$ 级别的无穷小量。
3. 对于分子和分母进行合并，得到 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}$当 $x \to a$ 时，$(x-a)r_1(x)$ 和 $(x-a)r_2(x)$ 均趋于零，因此$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$$因此，洛必达法则得证。
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析龚睿微分中值定理概述微分中值定理充当了沟通函数与导数之间的联系纽带，可以用来计算，判定和证明等。
在应用过程中比较灵活。
但是微分中值定理同时存在理论性较强，内容抽象等特点，所以在学习过程中会难于理解和应用。
微分中值定理，是研究函数的有力工具，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。
关于微分中值定理的证明费马引理在证明微分中值定理前，我们首先引进费马引理，对于费马定理通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。
定义：函数f（x）在点ξ的某邻域U（ξ）内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x ∈U（ξ），都有f（x）＜=f（ξ）（或f（x）＞=f（x）），那么f’（ξ）=0。
证明：设f（x）在ξ处最大，故不论Δx是正数还是负数，我们总会得到：之后我们假设Δx＞0，那么可以得到：因此，通过极限的保号性我们可以得到：1）而当时，由此可以得到：2）由（1），（2）两式及f'(ξ)存在知，那么一定会存在：证明f（x）在ξ处最小的情况与上面的相似。
罗尔定理定义：如果R上的函数f（x）满足以下条件：1）在闭区间[a,b]上连续，2）在开区间（a,b）内可导，3）f（a）=f（b），则至少存在一个ξ∈（a,b），使得f’（ξ）=0。
证明：因为函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且f（a）=f（b）。
所以存在最大值与最小值，不妨设为M与m，分两种情况讨论：（1）M=m，则函数f（x）在[a,b]上必为常函数，则恒有（2）若M＞m，不妨设，由可导条件知，，，又由极限存在定理知左右极限均为0，则。
综上所述如果R上的函数f（x）满足以下条件：拉格朗日中值定理回到家，我身上的衣服都干了，在家院前我仰头看着刚刚下过太阳雨的田野远处，看到一条圆弧形的彩虹，晶亮地横过天际，天空中干净清朗，没有一丝杂质。
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则的微分定理
洛必达法则的微分定理洛必达法则是微积分中的基本工具之一，用于处理极限的求解。
在实际问题中，极限的应用非常广泛，如有限增量、微分、积分等问题，都需要用到极限的概念和工具。
而洛必达法则作为处理极限的常用方法之一，不仅具有计算简单、通用性强、适用范围广等优点，还有其优秀的微分定理。
1. 洛必达法则的简介洛必达法则是求极限的一种方法，它是由法国数学家洛必达在18世纪提出的，因而得名。
在求极限时，如果分母与分子都同时趋向于零，那么我们无法直接求解。
此时，我们需要运用洛必达法则进行求解。
洛必达法则的核心思想是将原式化为可求导的函数，进而计算极限。
具体而言，洛必达法则由以下三步组成：（1）将函数化为分式形式；（2）对分子和分母分别求导；（3）将求得的导数带回求极限的式子中。
例如，假设需要求下列极限：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$$此时，我们可以用洛必达法则进行求解。
将原式化为分式形式，得到：$$\frac{\sin x}{x}$$对其分子和分母分别求导，得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}$$将求得的导数带回求极限的式子中，得到：$$\lim_{x \to 0}\cos x = 1$$因此，$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$由此可见，洛必达法则可以快速、简便地求解各种类型的极限问题。
2. 洛必达法则的微分定理是洛必达法则中的一个重要概念，在极限求解中有广泛应用。
在微积分中，一个函数在一点处的导数描述了函数在该点处的瞬时变化率。
而当函数极限不存在时，其导数是否存在也是一个值得考虑的问题。
此时，洛必达法则的微分定理就可以派上用场了。
洛必达法则的微分定理可以描述为：若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（可以是一个实数，可以是无穷大或无穷小），则 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
重难突破微专题： 洛必达法则
重难突破微专题:洛必达法则一、洛必达法则的具体内容1．洛必达法则：设函数f (x )，g (x )满足：(1)lim x →a f (x )＝lim x →ag (x )＝0；(2)在x ＝a 附近，f ′(x )和g ′(x )都存在，且g ′(x )≠0；(3)lim x →a f ′（x ）g ′（x ）＝A (A 可为实数，也可以是±∞).则lim x →a f （x ）g （x ）＝lim x →a f ′（x ）g ′（x ）＝A .(可循环使用)注意：①使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值．②0·∞型∞·∞型可转化为00型或∞∞型．二、洛必达法则的简单应用【典例1】求lim x →01－cos x 3x 2的值．【解析】因为将x ＝0代入1－cos x 3x 2的分母分子都为0，即典型的00型．则lim x →01－cos x 3x 2＝lim x →0（1－cos x ）′（3x 2）′＝lim x →0sin x 6x ＝16(循环使用洛必达法则，对分式的分子分母连续求导).本例中的代数式“1－cos x 3x 2”改为“e 2x －13x”结果如何？【解析】因为将x ＝0代入e 2x －13x的分母分子都为0，即典型的00型．则lim x →0e 2x －13x ＝lim x →02e 2x 3＝23.【典例2】计算极限lim x →＋∞ln x x α(α>0).【解析】此极限满足洛必达法则，于是得lim x →＋∞ln x x α＝lim x →＋∞1xαx α－1＝lim x →＋∞1αx α＝0.在使用洛必达法则时应注意以下几点：①洛必达法则只适用于00型或∞∞型的极限．②如果lim f ′（x ）g ′（x ）仍是00型或∞∞型，则可继续使用洛必达法则．③如果limf ′（x ）g ′（x ）不存在且不是∞，并不表明lim f （x ）g （x ）不存在，只表明洛必达法则失效，这时应用其他方法求解．三、洛必达法则的综合应用【典例3】已知函数f (x )＝mx －sin x ，g (x )＝ax cos x －2sin x (a >0).(1)若函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，求实数m 的最小值；(2)若m ＝1，且对任意x ∈0，π2，都有不等式f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为函数f (x )＝mx －sin x 在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0恒成立，所以f ′(x )＝m －cos x ≥0，即m ≥cos x ，所以m min ＝1.(2)因为m ＝1，所以函数f (x )＝x －sin x ，由f (x )≥g (x )对任意x ∈0，π2都成立，得x ＋sin x －ax cos x ≥0恒成立．即ax cos x ≤x ＋sin x 恒成立．①当x ＝0时，0≤0恒成立；②当x ＝π2时，0≤π2＋1恒成立；③当0<x <π2时，a ≤x ＋sin x x cos x恒成立；令h (x )＝x ＋sin x x cos x，则h ′(x )＝（1＋cos x ）x cos x －（x ＋sin x ）（cos x －x sin x ）（x cos x ）2＝x ＋x 2sin x －12sin 2x （x cos x ）2＝12（2x －sin 2x ）＋x 2sin x （x cos x ）2>0，所以h (x )＝x ＋sin x x cos x在x上单调递增；所以a <h (0)＝00(行不通，洛必达法则)，lim x →0h (x )＝lim x →01＋cos xcos x －x sin x＝1＋11＝2，所以0<a ≤2初等方法解决：因为m ＝1，所以函数f (x )＝x －sin x ，因为f (x )≥g (x )，所以x ＋sin x －ax cos x ≥0.对于任意x ∈0，π2，令H (x )＝x ＋sin x －ax cos x ，则H ′(x )＝1＋cos x －a (cos x－x sin x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x①当1－a ≥0，即0<a ≤1时，H ′(x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x ≥0，所以H (x )在0，π2上为单调递增函数，所以H (x )≥H (0)＝0，符合题意，所以0<a ≤1.②当1－a <0，即a >1时，令h (x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x ，于是h ′(x )＝(2a －1)sin x ＋ax cos x .因为a >1，所以2a －1>0，所以h ′(x )≥0，所以h(x)在0，π2上为单调递增函数，所以h(0)≤h(x)≤，即2－a≤h(x)≤π2a＋1，所以2－a≤H′(x)≤π2a＋1.(ⅰ)当2－a≥0，即1<a≤2时，H′(x)≥0，所以H(x)在0，π2上为单调递增函数，于是H(x)≥H(0)＝0，符合题意，所以1<a≤2.(ⅱ)当2－a<0，即a>2时，存在x0，使得当x∈(0，x0)时，有H′(x)<0，此时H(x)在(0，x0)上为单调递减函数，从而H(x)<H(0)＝0，不能使H(x)>0恒成立，综上所述，实数a的取值范围为0<a≤2.【典例4】设函数f(x)＝e x－1－x－ax2；(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝e x－1－x，f′(x)＝e x－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)f′(x)＝e x－1－2ax.由(1)知e x≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)，可得e －x >1－x (x ≠0).从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.综合得a ∞，12.原题的解析在处理第(2)问时用到的不等式放缩较难想到，现应用洛必达法则处理如下：(2)方法一：当x ≥0时，f (x )≥0，即e x －1－x ≥ax 2.①当x ＝0时，a ∈R ；②当x >0时，e x －1－x ≥ax 2等价于a ≤e x －1－x x2.记g (x )＝e x －1－x x2，其中x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝（x －2）e x ＋x ＋2x3.记h (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝(x －1)e x ＋1，当x ∈(0，＋∞)时，h ″(x )＝x e x >0，所以h ′(x )＝(x －1)e x ＋1在(0，＋∞)上单调递增，且h ′(x )>h ′(0)＝0，所以h (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2在(0，＋∞)上单调递增，且h (x )>h (0)＝0，因此当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝h （x ）x3>0，从而g (x )＝e x －1－x x2在(0，＋∞)上单调递增．由洛必达法则有，lim x →0g (x )＝lim x →0e x －1－x x 2＝lim x →0e x －12x ＝lim x →0e x 2＝12，即当x →0时，g (x )→12，所以当x ∈(0，＋∞)时，所以g (x )>12，因此a ≤12.综上所述，当a ≤12且x ≥0时，f (x )≥0成立．方法二：f ′(x )＝e x －1－2ax ；①当a ≤12时，f ′(x )＝e x －1－2ax ≥e x －1－x ≥0(e x －1－x ≥0，求导易证)；所以y ＝f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递增，从而f (x )≥f (0)＝0，命题是成立的．②当a >12时，f ′(x )＝e x －1－2ax ，易得f ′(0)＝0，f ″(x )＝e x －2a ，其中2a >1，可得y ＝f ′(x )在x ∈(0，ln 2a )上单调递减，在x ∈(ln 2a ，＋∞)上单调递增．且f ′(0)＝0，所以当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<f ′(0)＝0；所以y ＝f (x )在x ∈(0，ln 2a )上单调递减，故f (x )<f (0)＝0，此时命题不成立．.故得正确答案是a≤121．对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好地处理它的最值，是一种值得借鉴的方法．2．对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成f(x，a)>0或f(x，a)≥0的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值．在解题过程中常常要用到如下结论：(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则f(x，a)>0恒成立⇔g(a)>0，f(x，a)≥0恒成立⇔g(a)≥0；(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则f(x，a)<0恒成立⇔g(a)<0，f(x，a)≤0恒成立⇔g(a)≤0.。
洛必达法则及其应用
洛必达法则及其应用洛必达法则，又称为L'Hopital法则，是微积分中一个重要的计算极限的方法。
它的优点在于可以化繁为简，使我们不用进行繁琐的代数计算就能求出许多复杂的极限值。
在本文中，我们将讨论其定义、应用以及常见的注意事项。
一、洛必达法则的定义洛必达法则是指在求取例如$\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)\over g(x)}$的值时，若函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$附近的某个去心邻域内都可导，且在该去心邻域内$g'(x)$不为0，那么对于该极限，有以下成立：$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) \over g(x)}=\lim_{x \rightarrowa}{f'(x) \over g'(x)}$$二、洛必达法则的应用1. 未定形式$\frac{0}{0}$首先，我们探讨一般情况下，当$\lim\limits_{x \rightarrowa}{f(x) \over g(x)}$的分子和分母都为零时，如何利用洛必达法则进行破除，即使用法则后，极限值能够变得更简单。
例如，求$\lim\limits_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x} $，这里$f(x) = \sin x, g(x) = x$，我们给出解法如下：$$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x}&=\lim_{x \rightarrow 0}{\cos x \over 1} (\text{由洛必达法则})\\ &=1\end{aligned}$$显然，我们可以发现，直接求极限值需要调用三角函数的极限表，虽然对于高手也许不会太困难，但对于初学者而言，光靠极限表是很难掌握的，而使用洛必达法则，我们只需要求导数，就能简单明了地求解。
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
第六节 洛必达法则
第一节洛必达法则在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题一. 微分学中值定理[拉格朗日中值定理]如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使即成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。
[ 罗尔定理]若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理[柯西中值定理]如果函数，在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且≠0，那末在(a ，b)内至少有一点c，使成立。
在求函数的极限时，常会遇到两个函数、都是无穷小或都是无穷大时，求它们)(x f )(x F 比值的极限，此时极限可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，)()(limx F x f 并分别简称为型或型。
例如，就是型的未定式；而极限就是00∞∞xx x sin lim 0→00x x x ln lim +∞→型的未定式．我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限∞∞的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、型未定式定理1 设函数、满足下列条件：)(x f )(x F （1），；0)(lim 0=→x f x x 0)(lim 0=→x F x x （2）与在)(x f )(x F 0x （3）存在（或为无穷大），则)()(lim0x F x f x x ''→这个定理说明：当存在时，也存在且等于；当)()(lim 0x F x f x x ''→)()(lim 0x F x f x x →)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，也是无穷大．)()(lim0x F x f x x ''→)()(lim 0x F x f x x →这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ospital ）法则.H L '例1计算极限.0e 1lim x x x →-解 该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得.0e 1lim x x x →-0e lim 11x x →==例2计算极限．0sin lim sin x axbx →解 该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得．00sin cos limlim sin cos x x ax a ax abx b bx b→→==注 若仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即(),()f x g x ''．()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''===''' 例3 计算极限．33221216lim 248x x x x x x →-+--+解 由洛必达法则，得．33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==-例4 计算极限．arctan 2lim 1x xxπ→+∞-解 ．arctan 2lim 1x xx π→+∞-2211lim1x x x→+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+二、型未定式∞∞定理2 设函数、满足下列条件：)(x f )(x F （1），；∞=→)(lim 0x f x x ∞=→)(lim 0x F x x （2）与在的某一去心邻域内可导，且；)(x f )(x F 0x 0)(≠'x F （3）存在（或为无穷大），则)()(lim0x F x f x x ''→注：上述关于时未定式型同样适0x x →∞∞∞∞用．例5 计算极限．ln lim(0)x xx αα→+∞>解 此极限满足洛必达法则，于是得．11ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x ααααα-→+∞→+∞→+∞===例6 计算极限．lim (0)nx x x n e →+∞>解 所求问题是型未定式，连续次施行洛必达法则，有∞∞n ．lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞=== 例7 计算极限．20tan lim sin x x xx x →-解 （利用等价无穷小量代换）20tan lim sin x x x x x →-30tan limx x xx →-=sin x x :．22222000sec 1tan 1tan 1lim lim lim()3333x x x x x x x x x →→→-====使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变00∞∞形成“”或“”型才能运用该法则；00∞∞（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．习题4-61.用洛必达法则求下列极限：（1）； （2）；πππ--→x x x )sin(limx xx 2tan 3tan lim 0→（3）； （4）；)0(ln lim >+∞→n x xn x 为常数）、n m x x nn m m x ,0(lim ≠--→αααα（5）； （6）；20)1ln(lim x x x +→x arc x x cot )11ln(lim ++∞→（7）； （8）．xx xe e x x x sin 2lim 0----→x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→4. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于型或型的极限.00∞∞②如果仍是型或型,则可继续使用洛必塔法则.(x)g )( lim ''x f 00∞∞③如果不存在且不是,并不表明不存在,只表明洛必塔法则失效,这(x)g )( lim ''x f ∞g(x))( lim x f 时应用其他方法求解.第二节函数的极值一、函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.判定方法[定理] 设函数在上连续，在内可导.()y f x =],[b a ),(b a （１）如果在内，那么函数在上单调增加；),(b a 0)(>'x f ()y f x =],[b a （２）如果在内，那么函数在上单调减少.),(b a 0)(<'x f ()y f x =],[b a 证明 （1）由于函数满足拉格朗日中值定理条件，故在上)(x f ],[b a 任取两点（不妨设），必有使21,x x 21x x <),,(21x x ∈ξ))(()()(12a b f x f x f -'=-ξ 如果，必有，于是0)(>'x f 0)(>'ξf ，0)()(12>-x f x f 即 ).()(21x f x f <这表明函数在上单调增加.()y f x =],[b a 同理可证，如果，函数在上单调减少.0)(<'x f ()y f x =],[b a 注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间若改为开],[b a 区间或无限区间，该定理结论同样成立．),(b a （2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.例如，幂函数的导数，当时，3x y =23x y ='0=x 但它在内是单调增加的，如图所.0='y ),(+∞-∞示．(图4-2) 图4-2[例1]讨论函数的单调性.ln y x =解 的定义域为.ln y x =(0,)+∞因为，10[(0,)]y x x'=>∈+∞所以在其定义域内单调增加.ln y x =(0,)+∞[ 例2]：确定函数的增减区间.解：此函数的定义域为(－∞,＋∞)因为：，所以可以判出：当x ＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)；当x ＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。
考研洛必达法则
§ 3-1微分中值定理由此可知，拉格郎日中值定理的几何意义是：如果连续曲线 点都有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧段ACB 的内部至少能找到一点 C(©,f(©))，使得该点处 的切线与弦AB 所在直线平行.(1)式也叫拉格郎日中值公式，若令x=a ，也x=b-a ，则(1 )式可写成f(X + A x) - f (x) = f '佗)A x它提示了函数的增量与导数及自变量增量之间的直接联系，从而为我们开辟了用导数来研究 函数的某些特性的途径.例1求函数f(x) =x 3在［-1,2］内满足拉格郎日中值定理条件的©值.因为f'(x)=3x 2， f(—1)=—1，f(2)=8，故满足拉格郎日中值定理的 E 值为f(2)-f(—1) =3 纤[2—(―1)]定理 3.1如果函数f(x)满足下列条件: (1) 在闭区间［a,b ］上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导.那么在区间(a,b)内至少存在一点© (a V 匕£ b)，使等式f(b)-f(a)= f 徉)(b-a)(1)成立.这定理称为拉格郎日(Lagrange )中值定理. (定理证明从略)下面来看一下定理的几何意义 . f(b)-f(a) f ，c ) b -a现把(1 )式改写为从图3-1中可以看到，f 徉)就是点C(© f (©)) 处的切线斜率，而f(b )~ f⑻ 表示过曲线y = f(x)b -a上两端点A(a, f(a))、B(b, f(b))的直线的斜率，因此图3-1I ►- b x1 )式表示点C 处的切线平行于弦 AB.y = f (x)的弧ACB 上除端点外每因为9=9©2，得—±11"—1,2)， — "(—1,2)C所以e=1在拉格郎日中值定理中，如果加上条件f(a) = f (b)，则可得到以下罗尔(Rolle)中值定理.定理3.2如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点匕，使f'(©)=0成立.罗尔定理的几何意义是很明显的，读者可以自己分析利用拉格郎日中值定理，还可得到下面的推论.推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内满足f'(x)三0,那么在(a,b)内f(x)=C( C为常数).证在(a,b)内任取两点x i,X2，且x i < x2，由拉格郎日中值定理，可得f(X2)— f (xj = f 徉)(X2 — Xj (X1 吒巴CX2)由于f 徉)=0，所以f(x2)-f(X1)=0，即f(X i)= f(X2)因为X1, X2是(a, b)内的任意两点，于是上式表明 f (x)在(a,b)内任意两点的值总是相等的，即f (x)在(a, b)内是一个常数.推论2如果两个函数f(X)、g(x)在(a, b)内有f '(X)三g'(x)，那么在(a,b)内，f(x) =g(x)+c (C 为常数).证令F(x) = f(x) -g(x)，则F'(x) = f '(x)-g'(x)三0,由推论1知F(x)在(a,b)内为一常数C即f(x)=g(x)+C.3T例2求证arcs in x +arccosx = (-1 < x < 1).证设f(x) =arcsinx+arccosx，当-1<x<1 时有1 -1f (x) = 「+ , 三0由推论1，f (X)在区间(—1,1)内为一常数 C 即arcsi nx + arccosx = CF面确定常数C的值，不妨取x=0，得兀C = f (0) = arcsin0 + arccos0 = 0 + 二23、函数f(x) =x(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点(即满足 f'(X 0)= O 的点x o )，各位于哪个区间?4、验证函数y = px 2+qx +r 在区间［a,b ］上应用拉格郎日中值定理时所求的点©位于［a,b ］的中点.兀5、证明 arcta nx +arccotx =—.2§ 3-2洛必达法则如果当X T x o 或X T 处时，两个函数f(x)、g(x)都趋向于零或趋向于无穷大，这时极限lim 丄凶可能存在也可能不存在，通常把上述极限叫做未定式，并分别记为 g(x)2X —si nx arc cot X+ 口 0 ln (1+x ) lim ——3—， lim ——3^一都是-型.lim 」 ----------------- X T X 3 X 七 e 0 Y X学的方法很难求出极限值来.下面介绍求这类极限的一种简便而有效的方法——洛必达 (L 'Hospital )法则.一、0型未定式型未定式极限的自变量变化状态可分为：X T X 0 , X T X 0 +, X T X 0 ，X T 处，x T +处，X T M .下面只讨论X T X 0的情形，其它类似.定理3.3如果函数f(x)、g(x)在N(?oP)内可导，且满足下列条件:所以当-1cxc1时,兀arcs inx + arccosx=— 对于X = ±1时，等式显然成立，故命题得证 .习题3-1下列函数在指定的区间上是否满足拉格郎日中值定理的条件,1、 若满足，求出定理结论中的1) f(x) [—1,2]; 2)f(x)=(x+2)2[1,5]; 3) f(x)[1,4]；4) f(x)=arcta nx[0,1].3—4x +4上哪一点的切线与连接曲线上点(0,4)和点(3,1)的割线平行?0 OC-型或一型.例如处，lim 占空 都是二型.显然，用第一章所T lnx 比(1)lim f(X)= lim g(x) = 0 ；^X0X兀—-arcta nx例4 求lim --- --------I 址 1(2) g'(x) H O ；(3) lim =A (或 K ).F g'(x)那么，lim 竺=lim 匚凶=A X f g(x)X F g \x)（或比）.（证明从略）这个定理说明了当 X T X 0时, 0型未定式的极限在符合定理条件时下，可以通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定gX —e 」例1求lim --------T sin X这是0型，所以X..e -elimsin X _XX . _Xr e 中e - —=lim --------- = 2如果 亠. In X 求 四(X -1)2 .1——x —— =lim --- --- =曲2(x-1) iJxd-l)lim f （X ）仍属于f g （X ）-型，且f '（X ）, g （X ）仍满足洛必达法则中的条件， 那么可以继续使用该法则进行计算，并可依次类推 .但应注意，如果所求的极限已不是未定式，则不能再用洛必达法 则，否则会产生错误的结果.此外在用洛必达法则时， 重要极限等，那样效果会更好 .曲 ci X -S in X例 3求 lim -- 3—.3最好能结合求极限的其它方法， 如恒等变形、X —sin Xlim --- 3— T X 3 0 1 -cosX 0 sin X = lim ------------- T 6X=lim 2X T 3x=04二、竺型的未定式□COQ 0 —型的未定式极限仍有类似于一型未定式极限的洛必达法则，除处 0 结果极为相似，下面只举例说明它的应用求 limX T+ ln x-lim^_^ dim —— = -1oEinx T cosx求 limln xX T 说3C8求lim （丄T sinx这是至-至型，因此解 limJ 乂l-arctanx0 0=lim t x= lim 2 1 I 乂 1 + X 21 +x 2 x 2=1 0 oQ-与一的差别外，条件与0 处3Clncot X =5+ 1 1 cot;（一孙limln X=lim -T^sin xcosxlim —— = lim n JnxX^nx n1=0三、其它类型极限求法 0处除一型与一型的未定式之外, 0 处还有 0 a ,处一处，00，俨，3C 0等未定式，对这类未定式0 3C求极限，通常是利用代数恒等变形转化为或一型,处然后用洛必达法则进行计算例 7 求 lim ,xlnX . x T 十这是0、处型，因此lim .xln x = lim - “ i o 十 x T 十1lim- 10十lim- l 0十2—X c=04-cos X 0lim （丄-["lim^^^^l lim-x T si nx X X T 0 xsinxt si nx + xcosx Pmo s i nx 2c o x - xs i rx9 求 lim^tanx ）tan2x兀I —xlim 匕 x * x2xT71 +x 2□coC 1 =lim --- -- 2x2J1 + X 2J 1 + x 2两次运用洛必达法则后，又还原为原来的问题, 因此洛必达法则失效 •事实上所以在使用洛必达法则时，应注意以下几点: 0 oC-型或一型未定式•若不是，就不能使用该法则处否则会导致错误的结果•并在计算的过程中，注意不断化简其中间过程，使之求极限顺利进行•(1)每次使用法则前，必须检验是否属于(2)当lim 丄■凶 不存在时，并不能断定所求的极限|im f(^)不存在，此时应该使用其它方g'(x)g(x)法来求极限•(3)洛必达法则并不是万能的，在某些特殊情形下，洛必达法则会失效，需寻求其它解法习题3-21、用洛必达法则求下列极限2x —兀(1)lim — JCOSXx—x(2)lim e"ex -30/ 、 arc cot x(3)xmc-po-X 3 -3x + 2 ⑷四 x 3 一x 2-x +1.. Intanx limTP*ot 2x .・ tan 2x ln tanx X —^L=lim e = e = e但洛必达法则不是万能的•有时我们还会碰到某些特殊情形 徇"十「 X +sinx例 10 求 lim ------- •7〉 x□C解这极限属于一型，但因为oC oplim X+Sinx ¥|im1+co sx 不存在，所以不能用洛必达法则求这极限,x111 求 li r^EI 圧 X解这是1咖，因此lim (_ 皿)2sin xcos Xlimjta nx)tan2x 事实上lim-x+sinx = lim(1 +丄 si nx) =1+0=1F x(1)如果在(a,b)内f'(x):>0，那么f (x)在(a,b)内单调增加;§ 3-3函数的单调性与极值函数y =f(x)单调性的考察，可用当X i <X 2时，比较f(X i )与f(X 2)的大小来进行判定的.但判定f(X 1)与f(X 2)的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数y = f(x)在某区间上单调增加，其图形是一条沿X 轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即 y'= f'(x)>0 ；若单调减少，其图形是一条沿 x 轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即 y' = f '(X)<0，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有图3-23.4 设函数f(x)在区间(a,b)内可导.(5) limlntan7x—P p n tan 2x 2,ln(1+x ) lim ------ ln(1中丄)(7)lim ------ - ；—H are cotx2、 求下列极限1 1(1)卵x"(3) lim (2arctanxQJ 七｝兀)3、 求下列极限(8)cscx lim ——ln X2 .1 X SIn-(1) llmxlim 二(3)lim X~SinXX_x/八 e — e (4［協；〒af'(x)< 0L x定理 着密切的联系.那么反之成立吗?xAy=f(x )(2) 如果在（a,b ）内f'（x ）＜0，那么f （x ）在（a,b ）内单调减少. （门在（a,b ）内任取两点X 1, X 2，且X 1 c X 2，根据拉格郎日中值定理，存在一点 巴< X2 ),使f(X 2)-f (X i ) = f '(©)(X 2 -X i )因为在区间（a,b ）内有f '（X ）＞0，则（1）式中的f 牡）＞0，而X 2 -X j 》0，因此由（1） 式知f （X 2）＞f （X i ），这就是说f （X ）在（a,b ）内单调增加.同理可证明结论（2）成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调 减少）.如函数y=x 3的导数y'=3x 2，在x=0时，y = 0，但它在区间（亠，址）内是单调增加. 例1判定函数y =e~x -3x -1的单调性.证明(1)(2) 如果在（a,b ）内f'（x ）＜0，那么f （x ）在（a,b ）内单调减少.解 因为函数的定义域为n ，其导数为 y'=-e-3，所以在整个定义域内都有/ ＜0，故函数y = e 」-3x -1在定义域内单调减少.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但 在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示.函数f （X ）在区间［a,x i ］,［x 2，b ］上单调增加，而 在区间［x i ，X 2］上单调减少，且从图 3-3上容易看到, 可导函数f （X ）在单调增加、减少的分界点处的导数 为零，即 f'（x i ）= f'（X 2）=0.使导数等于零的点（即方程 f'（X ）=0的实根），叫做函数f （X ）的驻点.因此要确定可导函数 f （x ）的单调区间，首先要求出驻点, 然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性.1 1 例2讨论函数f （x ） =-x 3 +-x 2-2x 的单调性3 2 解 因为 f '(X)=X 2+x —2 =(X + 2)(x —1)，令 f'(X)=0 ,得驻点 X j = —2,X 2 =1.这两点将f （X ）的定义域（二,十①分成三个部分：（-处,-2）, （-2,1）,（1,中处），下面用列表的形式来*XX线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如 f \X 3H0.X(-=c , —2)-2(-2,1) 1 （1,址）「（X ）+--+f(x)313一』 6 — 根据上面的讨论可得： 函数在区间和母）内单调增加，在区间（-内单调减少.另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点 例3确定函数y 二賓2的单调区间.3.1设函数f （x ）在N （X O ,6）有定义，且对此邻域与极小值统称为函数的 极值，使函数取得极值的点X 0称为极值点.从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点: （1） 函数的极大值和极小值是局部概念，即如果f （X 0）是f （x ）的极值，只是对极值点 X 0 的左右近旁一个小范围来讲的 .（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个 .如图3-5，（3）函数的极值只能在区间内部取到 求极值的关键是找出极值点，从图解 函数的定义域为（―，而y= 事，显然当x=0时，函数的导数不存在,33 X又函数没有驻点.但当X >0时，有y >0，函数在区间（0^）内单调增加;当xvO 时，有/ <0，函数在区间（二,0）内单调减少. 二、函数的极值定义 内任一点 x （X HX o ）均有 f （X ）< f （X o ），则称 f （X o ）是函数 f （X ）的一个极大值；如果对此邻域 内任一点 X（X HX o ）均有 f （X ）> f （X o ），则称 f （X o ）是函数 f （X ）的一个极小值.函数的极大值极大值f （X 1）就比极小值f （X 5 ）还要小.极小值，且其中的极大值未必比极小值要大 3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切X图3-52求函数f(x)=(x 2-4)3的极值.4x解因为f (x)= 二-3刘 X 2-4定理3.5 (极值存在的必要条件)设函数f(x)在点x 0处导数存在，且在x 0处取得极值，则函数f(x)在X o 处的导数f(X 0)=O ,g 卩X 0是函数f(x)的驻点.注意，定理 3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数y = X 3，在X = 0处有y1x^=o ，但Mx 兰=0不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点 对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点 .如 f(x) =1 x|，显然，f '(0)不存在.但x=0且是它的一个极小值点，在f(x)=|x|图形上, (0,0)称为曲线的尖点.因此，连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点 .但问题是这些点满足什么条件才能为极值 点，观察图3-5，得下面判定函数极值的一个充分条件.定理3.6 (极值存在第一充分条件) 设函数f(x)在点x 0连续，在N(X)e)内可导(x 0可除外)，当 X 由小增大经过x 0时，如果:(1) f '(X)的符号由正变负，则f(X)在点X o 处取得极大值; (2) f \X )的符号由负变正，贝y f(X)在点X o 处取得极小值;f \x)的符号不变，则f(X)在点X o 处取不到极值.证明 (1)由条件，f (x)在点x 0左近旁单调增加，在点 x 0右近旁单调减少，即当 x<x 0时, 有f(x)<f(x o )，当X>X o 时，有f(X)Vf(X o )，因此f(X)在点X o 处取到极大值.同理可证明结论(2)、( 3). 此外还可利用二阶导数来判定极值 定理 3.7(极值存在的第二充分条件) 设函数f (X)在N(x 0,6)内有二阶导数f”(x)存在且连续，又f "(X o ) =0，如果(1) L(X o )<0，则 f (X)在X o 处取得极大值;(2) f "(Xo^o ，则f (X)在X o 处取得极小值.(证明从略)(X H ±2),令f "（x0） = 0，得驻点X = 0，所以函数有驻点X = 0，尖点X =±2列表考察f '（X）的符号故当X = 0时，函数f（x）有极大值V16 ,X = ±2时，函数f（X）有极小值0.5求函数f（x）=j3x +2sinx在区间［0,2;i］内的及值因为f'(X)= J3+2COSX，f "(X)= —2si nx.f '(X0)=0，得驻点x^ —, x^ —6 6f”（予一<0，所以f（汁穿+1为极大值;H” 7兀7兀7 J3皿f (——)=1 >0，所以f (——)=----- -1为极小值.6 6 6例6求函数f（X）=（x2-1）3+1的极值.解函数f （x）的定义域为（—处，母）2 3f '(X)=6x(x -1)由f '(x o) = 0 ,得驻点X i = T,X2 = 0,X3 =1.故函数f （X）在X = 0处有极小值f （0） = 0 ,而捲=-1, X3 = 1不是极值点.三、函数的最值问题在实际生活中，常会遇到：在一定条件下，怎样使“产量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“耗时最少”等问题.这一类问题在数学上可归结为函数的最大值、最小值.因为在闭区间［a,b ］上连续的函数f(x) —定存在最大值和最小值 .由于函数的最值可在区间 内部取到，也可在区间的端点上取到，如果是在区间内部取到，那么这个最值一定是函数的极值, 因此求f (x)在区间［a,b ］上的最值，可求出一切可能的极值点(驻点及尖点)和端点处的函数值, 进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值42例7求函数y = X -4x +6在区间［七,3］上的最大值和最小值. 解因为y' = 4x 3-8x令 y ' = 0,得驻点 X r = -寸2,X 2 = 0, X 3 = J 2经比较，得函数的最大值为y =51，最小值为y =2.图3-7如果函数f (X)在一个开区间内连续且有惟一的极值点 x 0，则当f(x 0)为极大值时，f(x 0)就是f(x)在该区间上的最大值；当 f(X o )为极小值时，f(X o )就是f(x)在开区间上的最小值(见图 3-7）.例8求函数f(X)=仪2 -1)3+1.解 由例6可知，X = 0是函数f(x)极小值点，且在整个定义域中极值点是惟一的，故 函数的极小值就是函数的最小值，为f(0) = 0，不存在最大值.F 面讨论求最值的应用题在实际问题中，往往可以根据实际情况断定函数 f(x)在其定义区间内确有最值存在，而当可导函数f (x)在这定义区间内又只有惟一的驻点x 0，则可断定f (x)在点x 0处取到了相应的最值.3例9有一块长为a ，宽为-a 的长方形铁片，将它的四角各剪去一个大小相同的小正方形,8四边折起，做成一个无盖的长方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，其容积最大.解 如图3-8,设小正方形的边长为 x ，则其容积为因此 yX 去=2, y x=0 =6,而yxW =51 .\y=f （ X ）11 1o i ab車yxx(3) y = X —In(x +1)；(4)y =%(2x-1)2(1-X)2 .V(x) =x(a -2x)(?a -2x) =4x 3 -dx 2 +3a 2x ，8 48 2113 213vge --ax+8a=12(x-护(x-8a)a -2£ x(0<x<?a )16得驻点 x1 3=—a ， X2 = — a 12 8图3-81，所以x^—a 是惟一的驻点，又该实际问题的最值一1121 =—a 时，长方体的容积最大.12例10 设铁路边上离工厂 C 最近的点A 距工厂20 km ，铁路边上B 城距A 点200 km ，现要 在铁路线AB上选定一点D 修筑一条公路，已知铁路与公路每吨千米的货运费之比为 选在何处时，才能使产品从工厂 C 运到B 城的每吨货物的总运费最省？（图3-9）解设D 点选在距离A 处x 千米，定存在，故当小正方形的边长为xi又设铁路3: 5,问 D与公路的每吨千米货运费分别为 3k,5k （k 为常数） 则产品从C 处运到B 城的每吨总运费为y =5k CD +3k ED因为，y' = 5k 400 X 2+ Xx) (0<x<200k(5x-3j400 + x 2)J400 + x 2 3k J 400 + X 2令 y ' = 0，即 5x = 3J4OO + x 2，得 X = 15.将y x 生=680k ，与闭区间［0,200］端点处的函数值比较，由于y XT = 700k ，xz200= 5J40400k AlOOOk ，因此，当D 点选在距离A 点15km 处，这时每吨货物的总运费最习题3-31、求下列函数的单调区间: (1) y = xe X；3 2(2) y =2x -6x -18x- 7 ； 8皿xa -2xAx图3-9=5k3k(200 -7、图3-11,某矿物局拟从 A 处掘一巷道至 C 处，设AB 长为600m ，C 到AB 的距离为200m ， 若沿水平AB 方向掘进费用5元/m ，水平面以下是岩石，掘进费用13元/m ，问怎样掘法费用最省？§ 3-4曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向 曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性从图3-12( a )，( b )可以观察到.定义3.2如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方， 则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该 区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.图 3-122、求下列函数的极值:(1) f(X)= X 3 +6x 2 -15x +1 ；( 2) f(x)=4x 3-3x 4；2(3) f(x)=(x —1)x'；(4) f(x)=sin X+cosx,(0 < X < 2兀).3、 已知函数f(x)=x'+ax 2+bx 在x=1处有极值—12，试确定系数a,b 的值. 4、求下列函数在给定区间上的最值:(1) f(x)=x 4 -2x 2 +6, [-2,3]； (2) f(X)=(x+1)4，(=,址).5、 如图3-10，三块长度一样，宽为 a 的木板，做成一横截面为等腰梯形的水槽，问如 何安装，水槽的横截面面积最大？6、 从直径为d 的圆木中切出横截面为矩形的梁，此矩形的长为 b ,宽为h ，若梁的强度与bh 2成正比，问梁的横截面尺寸为多少时，其强度最大?•在几何上,从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧,其切线的斜率f '(x)随着x 的增大而增大,图 3-10(a )x即f'(x)单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率 f'(x)随着X 的增大而减少，即 f'(x)单调减 少.而函数f'(x)的单调性又可用它的导数，即f(x)的二阶导数f -(x)的符号来判定，故曲线判定曲线y =1 n X 的凹凸性.讨论曲线y =x 3的凹凸区间.令f ”(X)=0,解出方程f 7x)=0在某区间内的实根 x 0 ；对每一个实根X 0 ,考察f "(X)在X 0的左右近旁的符号，若 f "( X)在X 0的左右近旁的符号相反，则点(X 0, f(X 0))是拐点，若f ”(X)在X 0的左右近旁的符号相同，则点(X 0, f (X 。
3.2洛必达法则
例3 求
x
lim 2
arctan x 1 x
(
0 0
型)
解：
1 arctan x 2 1 x 2 lim lim 1 x 1 x 2 x x
x2 lim 2 x 1 x
1
例4
求
ln x lim x x n
1 x nx n 1
(1) lim f ( x) 0 ，lim g ( x ) 0 ； x x
0
0 0
型)
x x0
(2) f ( x) 与 g ( x ) 在点 x0 的某个邻域内 (点 x0 可除外)可导，且 g ( x) 0
f ( x) A（或 ） (3) lim x x g ( x ) 0
(2) f ( x) 与 g ( x ) 在点 x0 的某个邻域内(点
x0 可除外)可导，且 g ( x) 0
f ( x) A( 或 ) (3) lim x x g ( x )
0
则
f ( x) lim lim x x g ( x) x x
0 0
f ( x) A （或 ） g ( x)
( 型)
lim
x
12 x 2 2
例1
ex 1 求 lim 2 x 0 x x
(
0
型)
x ex 1 e 解： lim 2 lim x 0 2 x 1 x 0 x x
1
(
0 0
例2
求
1 cos x lim x 0 x3
型)
cos x 1 cos x sin x lim lim 解： lim 2 x 0 x 0 3 x x 0 6 x x3
(完整版)洛必达法则详述与其在高考中的实际运用
一．L ’Hospital 法则（洛必达法则）法则1 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1) lim x ®af x ()=0 及lim x ®ag x ()=0；(2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导，且¢g x ()¹0；(3) limx ®a ¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A 。
法则2 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1)()lim x ag x →=∞； (2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导,且¢g x ()¹0；(3) limx ®a¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ®+a，x ®-a洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
0⋅∞型： lim x ®0+x ln x =lim x ®0+ln x 1x (化为∞∞型)=lim x ®0+1x 1ln x(化为00型，但无法求解) ¥-¥型：lim x ®p 2tan x -sec x ()=lim x ®p2sin x -1cos x =lim x ®p 2cos x-sin x =0(通分后化为00型)1∞型： lim x ®0cos x ()1x 2=e limx ®0lncos xx 2=elimx ®0-sin xcos x ×2x=e-12(化为0型) 0∞型： lim x ®+¥x sin1x=elim x ®+¥sin 1x ×ln x =elimx ®+¥ln xx=elimx ®+¥1x=1(化为∞∞型) 0型：lim x ®0+x sin x=elimx ®0+ln x csc x elimx ®0+1x-csc x cot x ()=elim x ®0+-sin xx×tan x =1(化为∞∞型)变形举例: limx ®-lim x ®-¥-1(不变形求导无法求出)二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xf x e x ax =---。
高等数学-洛必达法则
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊
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f ( ) 0.
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2、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 即 使
f ( )
f (b) f (a ) . ba
f (b) f (a)=f (（ ) b a).
x
e 1 lim x 0 2 x
x
3. 0 ,1 , 型(指数型未定式)
0 0
求法:
0 取对数 1 0 0
0
x x 0
x . 例10 求 lim
( 00 )
则 ln y x ln x
1 x lim x 0 1 2 x
解 设y x
当x 时, 该法则仍然成立 .
f ( x) f ( x ) lim lim . x F ( x ) x F ( x )
当x a , x 时的未定式 , 也有相应的洛必达法则 .
例1 解
tan x 求 lim . x 0 x
0 ( ) 0
(tan x ) sec2 x 1. 原式 lim lim x 0 x 0 ( x ) 1
2 2
6 cos 6 x 3. lim x 2 cos 2 x
2
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
1. 0 型
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 2 x 求 lim x e . ( 0 ) 例7
0 ( ) 0
x3 3 x 2 例2 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1
2
3x 3 6 x 3 解 原式 lim 2 lim . x 1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 2
例3 求 lim 2
x
arctan x 1 x .
解
13 x 13 x y cos x (3e ) e ( sin x)
dy e
13 x
(3cos x sin x)dx.
例6. 设 求
由方程
确定,
解: 方程两边求导,
得
3 x 2 3 y 2 y 3cos3x 6 y 0
当 x 0 时 y 0,由上式得 例7. 已知
求
dy
x 0
1 dx 2
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y
二、中值定理 1、罗尔（ Rolle ）定理 满足:
y f ( x)
o
a
b x
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点 使
tan x 0 , ( ) 例如, lim x 0 0 x
tan x lim , () x tan 3x 2
定理 (洛必达法则）设 (1) 当 x a时, 函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F ( x) 都存在 且 F ( x) 0; f ( x) (3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x) 那末 lim lim . x a F ( x) x a F ( x )
x
ln x lim ln y lim x ln x lim x 0 x 0 x 0 1 x
0
原式 e 1.
0
例11
1 求 lim x 0 x
tan x
tan x
( )
0
1 设 y 解 x 取对数得 ln y tan x ln x ln x lim tan x ln x lim x 0 cot x x 0
tan x 1 2 sec x tan x 1 lim . lim x 0 3 3 x 0 x 6x
2
2. 型
求法:
例8 解
1 1 求 lim( ). x 0 sin x x
0 或 0
变形
()
1 1 例9 求 lim( x ). x 0 x e 1
(3, 4) 上.
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三、洛必达法则
0 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
定义
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f ( x) 与 F ( x) 都趋于零或都趋于无穷大，那末 f ( x) 极限 lim 可能存在、也可能不存在．通 xa F ( x) ( x ) 0 常把这种极限称为 或 型未定式. 0
3x 2 x
0.24.
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx, 即dx x.
dy f ( x0 )dx.
函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)dx.
dy f ( x ). dx
x
e e lim . 解 原式 lim x 2 x 2 x
x
x
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解
tan x x 求 lim 2 . x 0 x tan x
2 sec x 1 tan x x lim 原式 lim 3 x 0 x 0 3 x2 x
在区间 I 上满足
推论: 若函数
则
在 I 上必为常数.
例8. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
1 arctan x arctan ( x 0) x 2
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上成立.
证:
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x 例9. 证明不等式 1 x ln(1 x) x ( x 0).
0 ( ) 0
1 2 2 x 解 原式 lim 1 x lim 1. 2 x 1 x 1 x 2 x ln sin ax ( ) . 例4 求 lim x 0 ln sin bx
a cos ax sin bx a sin bx 解 原式 lim lim x 0 b cos bx sin ax b x 0 sin ax
1 2 sin x x lim lim 0 2 x 0 csc x x 0 x
原式 lim y lim e
x 0
x 0
ln y
e
x0
lim ln y
e 1
0
注意：洛必达法则的使用条件．
x cos x 例12 求 lim . x x
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
例2.求
x
d(arctan e )
例3. 解:
求
y
1 1 ex
2
2
(1 e )
x2
1 1 ex
e
x2
x2
( x )
2
1 1 e
x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e 2x
dy ydx
2 xe
x2 x
2
1 e
即
d y A x
即
在点 x0 可微的充要条件是
dy f ( x0 )x
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例1
求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x
dy
x2 x 0.02
3x x.
2
x2 x 0.02
证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
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思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
3 15 _____ 4 .
方程
有
3
(2, 3) , (1, 2) , 个根 , 它们分别在区间
解 原式 lim e 1 x x 0 x(e x 1)
x
x sin x 1 cos x sin x 原式 lim lim lim 0. x 0 x sin x x 0 2x x 0 2
e lim x 0 2
x
e 1 x lim 2 x 0 x 1 2
dx
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例4
设 y tan (1 2 x ), 求dy.
2 2
解
y 8x tan(1 2x )sec (1 2x ),
2 2 2
dy 8x tan(1 2x2 )sec2 (1 2x2 )dx
1 3 x 设 y e cos x, 求dy. 例5
第二章 第六讲 函数的微分、洛必达法则
一、微分的定义及求法
二、中值定理
三、洛必达法则
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一、微分的概念
在点 x0 的增量可表示为 A x o(x) ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x) 在点 可微, 而 A x 称为 定义: 若函数