四边形及特殊四边形综合题型非常实用超经典
八年级数学特殊平行四边形经典强化题型(解析版)
第一章 特殊平行四边形（强化题型）多结论问题【例1】如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，．给出如下结论：①；②四边形为菱形；③；④；其中正确结论的是 A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：是等边三角形，，，，，，为的中点，，，，，，，故①正确，，，，是的中点，，，，，故④说法正确；，，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，四边形不是菱形；故②说法不正确；，，，则，故③说法正确，故选：．【变式训练1】如图，在菱形中，，、分别是，的中点，、相交于点，连接，．有下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，正确结论的有 个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：四边形是菱形，．．，，是等边三角形，是等边三角形．，．，分别是，的中点，，，，，，故①正确；在和中，，，．，，．故②正确．为直角三角形，，，与不全等．故③错误；，故④错误；，，故⑤正确；，，，故⑥错误．正确的有：①②⑤共三个．故选：．【变式训练2】如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点，分别在和上，下列结论：其中正确的序号是 ①；②；③；④．A．①②④B．①②C．②③④D．①③④【解答】解：四边形是正方形，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，，，故①正确；，故②正确；连接，则，，同理，，，故③错误；，，，，设，则，，，解得，（舍去），，，即，由上可得，正确的是①②④，故选：．一些常见的辅助线求线段和角度【例1】如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，于点，则 A．B．C．D．【解答】解：延长交的延长线于点．在菱形中，，，分别是边和的中点，，．．，．又，，．．，．，则．故选：．【变式训练1】矩形与如图放置，点，，共线，点，，共线，连接，取的中点，连接．若，，则 A．1B．C．D．【解答】解：如图，延长交于点，四边形和四边形都是矩形，，、，，，又是的中点，，在和中，，，，，，、，，则，故选：．【变式训练2】如图正方形的边长为，是对角线上的点，连结，过点作交线段于点．当时，的长为 A．B．C．D．【解答】解：过作于，交于，如图，四边形为正方形，，，，为等腰直角三角形，，而，，，，而，，在和中，，，正方形的边长为，，，设，则，，，，．故选：．动点和为定值【例1】如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点．于点．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为 A．4B．C．6D．【解答】解：连结，如图，四边形为菱形，菱形的周长为20，，，，，，故选：．【变式训练1】如图，矩形的对角线，交于点，点在边上从点到点运动，过点作于点，作于点．已知，，随着点的运动，关于的值，下面说法正确的是 A．先增大，后减小B．先减小，后增大C．始终等于2.4D．始终等于3【解答】解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，在矩形中，，，，，，，，，、、三点共线，，，，由勾股定理可知：，，，即，故选：．【变式训练2】如图，点是矩形的边上一动点，矩形两边长、长分别为15和20，那么到矩形两条对角线和的距离之和是 A．6B．12C．24D．不能确定【解答】解：连接，如图所示：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，．点到矩形的两条对角线和的距离之和是12．故选：．【变式训练3】如图，正方形的边长为2，为对角线上一点，且，点为线段上一动点，且于，于，则的值为 ．【解答】解：连接，，交于，四边形 为正方形，，，垂足为，，，，，，，，，．故答案为．动点最值问题【例1】如图，在边长为2的正方形中，点为对角线上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为 A．1B．C．D．【解答】解：连接，如图所示：四边形是正方形，，，于，于四边形为矩形，，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，，的最小值为；故选：．【变式训练1】如图，在中，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为 A．B．C．3D．4【解答】解：，且，，，，，，四边形是矩形，，当时，的值最小，此时，的面积，，的最小值为；故选：．【变式训练2】如图，在中，，，，是斜边上一动点，于，于，与相交于点，则的最小值是 A．4.8B．3.6C．2.4D．1.2【解答】解：四边形是矩形，，互相平分．且，，当的值最小时，的值就最小，当时，的值最小，即的值最小．，．在中，由勾股定理，得．，，，．，故选：．胡不归问题【例1】如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值 A．B．6C．D．4【解答】解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：在中，，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，是等边三角形，，在中，，，，，，，，，的最小值为6，故选：．【变式训练1】如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ．【解答】解：作直线，使，作，垂足为，则，的最小值为的最小值，即、、三点共线时值最小，如图，，，，，，，，，的最小值为．故答案为：．【变式训练2】如图，矩形中，，，点是上一动点，则的最小值为 ．【解答】解：如图，作平分交于，过点作于，过点作于．四边形是矩形，，，，，，平分，，，，，在中，，，，，，，的最小值为，故答案为：．辅助圆【例1】如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是．【解答】解：在正方形中，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，取的中点，连接、，则，在中，，根据三角形的三边关系，，当、、三点共线时，的长度最小，最小值．（解法二：可以理解为点是在，直径的半圆上运动当、、三点共线时，长度最小）故答案为：．【变式训练1】如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是 ．【解答】解：如图所示：是定值，长度取最小值时，即在上时，过点作于点，在边长为2的菱形中，，为中点，，，，，，，．故答案为：．【变式训练2】如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点，连接．点从点运动到点的过程中，的最小值为 ．【解答】解：如图，四边形是正方形，，，，，，，，，点的运动轨迹是以为直径的，当，，共线时，的值最小，最小值，故答案为．【变式训练3】如图，在矩形纸片中，边，，点为边上的动点（点不与点，重合），将纸片沿折叠，则的最小值为 ．【解答】解：连接，当点在上时，有最小值，四边形是矩形，，，，，，由折叠性质得：，，的最小值，故答案为：8．证明综合【例1】如图，在正方形中，点是边延长线上一点，联结，过点作，垂足为点，与边相交于点．（1）求证：；（2）联结，求证：；（3）如果正方形的边长为2，点是边的中点，求的长．【解答】解：（1）四边形为正方形，，，，，，在与中，，．（2）作交于点，，，，，在和中，，，，，为等腰直角三角形，．（3）作于点，为等腰直角三角形，，为中点，正方形的边长为2，，，，，在和中，，，，．【变式训练1】如图，正方形中，点在边上，连接，过点作与的延长线相交于点，连接与边相交于点、与对角线相交于点．（1）若，且，求的长；（2）若，求证：．【解答】（1）解：四边形是正方形，且，，，，，，，在和中，，，，，，；（2）在上取一点，使，连接，由（1）得是等腰直角三角形，，，在和中，，，，，在和中，，（对顶角相等），，，，，是等边三角形，，，．【变式训练2】如图，在正方形中，，为正方形内一点，，，连结，，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连结．（1）当时，求的度数；（2）判断的形状，并说明理由；（3）当时，求的长．【解答】解：（1）四边形是正方形，，，，，，，．（2）结论：是等腰直角三角形．理由：，，是的垂直平分线，，，，，，，，，，，为等腰直角三角形．（3）如图，连接，四边形是正方形，，为等腰直角三角形，，，，，，（负根已经舍弃）．【变式训练3】已知：如图，四边形的对角线、相交于点，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）如果点在边上，平分，，求证：．【解答】证明：（1）在和中，，，，，四边形是平行四边形，，，，，平行四边形是矩形；（2）过点作于，如图所示：由（1）得：四边形是矩形，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，平分，，在和中，，，，，，，．【变式训练4】如图，，为平行四边形的对角线，点是上一点，点在延长线上，且，与交于点，连结．（1）求证：．（2）连结，，若，且恰好是的中点，求证：四边形是菱形．（3）在（2）的条件下，若四边形是正方形，且，求的长．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，是的中位线，；（2）证明：由（1）得：，，是的中点，，在和中，，，，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，，，平行四边形是菱形；（3）解：四边形是正方形，，，，，，在中，由勾股定理得：．45°角模型【例1】如图，已知正方形中，点、分别在边、上，．（1）求证：；（2）当，时，求的面积．【解答】解：（1）延长到，使，在和中，，，，，，在和中，，，；（2）由（1）得，，，，．【变式训练1】正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且．（1）求证：；（2）当时，求的长．【解答】解：（1）证明：延长至，使，连接，如图，四边形是正方形，，．．，．，，．．即．．在和中，．．．，．（2）设，则．正方形的边长为3，．，，．．．在中，，．解得：．．【变式训练2】如图，在正方形中，为的中点，点在边上，且．（1）求证：；（2）求的值．【解答】（1）证明：如图，过点作于点，，四边形是正方形，，，，，．．在和中，，，，，在和中，，，，；（2）解：设正方形的边长为，，，，由（1）知：，，，，，在中，根据勾股定理，得，，解得，，，．【变式训练3】正方形的边长为6，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．（1）求证：；（2）当时，求的长．【解答】（1）证明：逆时针旋转得到，，，、、三点共线，，，，，，在和中，，，，；（2）解：设，，且，，，，在中，由勾股定理得，即，解得：，则．非坐标系下的动点问题【例1】在矩形中，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向运动，连接，以为边向上作正方形．设点的运动时间为．（1）如图1，与边交于点，当时，求此时的值；（2）如图2，当点恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的的值．【解答】解：（1）连接，如图，正方形，矩形，，，在和中，，，，在中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；（2）分四种情况，当点在上时，如图，矩形，，，，正方形，，，，，，在和中，，，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；当点落在上时，如图，时正方形的对角线，，矩形，，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；当点落在上时，过点作交于点，如图，正方形，，，，矩形，，，，在和中，，，，，设，则，，，，，，解得：，即，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；当点落在上时，过点作交于点，如图，正方形，，，，矩形，，，，在和中，，，，，设，，则，，，，，，解得，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；故所有符合条件的的值或或或．【变式训练1】如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过点作，交直线于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度运动，当点与点重合时，运动停止．设的面积为，点的运动时间为秒．（1）点在整个运动过程中，试说明总有：；（2）求与之间关系的表达式，并写出的取值范围．【解答】证明：（1）如图1，过作，交于，交于，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，四边形是正方形，，，，，，；（2）在中，由勾股定理得：，，由题意得：，，由（1）知：，分两种情况：①当时，如图1，，，，；②当时，如图2，过作于，，，，；综上，与之间关系的函数表达式为：．坐标系中的动点问题【例1】已知：如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是中点，点在上以每秒2个单位的速度由向运动，设动点的运动时间为秒．（1）为何值时，四边形是平行四边形？（2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）四边形为矩形，，，，点时的中点，，由运动知，，，四边形是平行四边形，，，；（2）①当点在的右边时，如图，。
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图 第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°， 在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图 第8题图 第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图 第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图 第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ， 又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ， 又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形， 又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图 第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ， 又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图 第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图 第31题图 第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求， 作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图 第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图 第10题图 第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图 第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2， 又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°， 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ， 又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ， 由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9， 解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系； 解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。
专题2.5四边形综合五种题型(解析版)
2023年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用）专题2.5四边形综合五种题型题型一：正方形综合题一．填空题（共1小题）1．（2022秋•黄浦区期中）如图，正方形EFGH内接于Rt△ABC，∠A＝90°，BC＝12，若△ABC的面积是36，则EH的长是 4 ．【分析】过A作AD⊥BC于D，交EH于M，然后证明△AEH∽△ABC，接着利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，交EH于M，∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH＝DM，EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴AM：AD＝EH：BC，∵BC＝12，△ABC的面积是36，∴×AD×BC＝36，∴AD＝6，设正方形EFGH的边长EH为x，∴AM＝6﹣x，∴（6﹣x）：6＝x：12，∴x＝4，∴EH＝4．故答案为：4．【点评】此题分别考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，有一定的综合性．二．解答题（共4小题）2．（2022春•徐汇区期末）如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、CD上的点，BE 平分∠AEF．（1）求证：BF平分∠EFC；（2）如果DF＝3，FC＝1，求AE的长．【分析】（1）根据BE平分∠AEF，可考虑过点B作BG⊥EF于点G，通过已知条件证得B G＝BC，逆用角平分线的性质定理可证；（2）设AE的长为x，在Rt△EDF中，由（1）可得，EF＝EG+FG＝x+1，DE＝4﹣x，DF ＝3，然后利用勾股定理求解．【解答】（1）证明：过点B作BG⊥EF于点G，如图所示，在正方形ABCD中，∠A＝90°，∴BA⊥EA．∵BE平分∠AEF，∴BA＝BG．∵BA＝BC，∴BG＝BC．∴BF平分∠EFC．（2）解：∵DF＝3，FC＝1．∴DC＝DF+FC＝4．∴AD＝DC＝4．设AE的长为x，则ED＝4﹣x．由（1）可得，EG＝AE＝x，GF＝FC＝1．∴EF＝EG+FG＝x+1．在Rt△EFD中，EF2＝ED2+DF2，即（x+1）2＝（4﹣x）2+32．解得，x＝．∴AE的长为．【点评】本题考查了正方形的性质与角平分线的性质，解题注意正方形中的隐含条件，如四条边相等，四个角都是90°等．3．（2021秋•崇明区期末）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点落在F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．（1）当AE＝时，求tan∠EDB的值；（2）当点E在线段AB上，如果AE＝x，FM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当BG＝时，求AE的值．【分析】（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．解直角三角形求出ER，DR即可；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．证明＝＝＝，构建关系式，可得结论；﹣中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．如图（3）分两种情形：如图31﹣中，当点G在CB的延长线上时，过点M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．分别求解32即可．【解答】解：（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，∠A＝90°，∠BD＝90°，∴BD＝＝＝，∵ER⊥BD，∴∠EBR＝∠BER＝45°，∵AE＝，∵BE＝，∴ER＝BR＝，∴DR＝﹣＝，∴tan∠EDB＝＝＝；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵DA＝DC，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF＝x，在Rt△ADE中，DE＝＝，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF＝DE＝，∵∠EBM＝∠FBM＝45°，MP⊥BE，MQ⊥BF，∴MP＝MQ，∴＝＝＝，∴＝，∴y＝+x（0＜x≤1）；﹣中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．（3）如图31∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，∴ET＝EB﹣BT＝1﹣x﹣＝﹣x，∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝．﹣中，当点G在CB M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．如图32∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，﹣）＝﹣x，∴ET＝EB﹣BT＝﹣（x1∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝，综上所述，满足条件的AE的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4．（2020春•普陀区期末）已知：如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P是射线AC上的一点，联结BP，过点P作BP DC于点F．（1）求证：PB＝PF；（2）当点F在边DC上时，四边形PBCF的面积为y，设AP＝x．求y与x的函数解析式和定义域；（3）当以P、B、C、F为顶点的四边形的面积为12时，求AP的长．【分析】（1）过点P作PN⊥BC于N，过点P作PM⊥DC于M，如图1，证明△PBN≌△PFM（ASA），由全等三角形的性质得出PB＝PF；（2）证明四边形PNCM是正方形，由全等三角形的性质得出S四边形PBCF＝S四边形PNCM，求出PN＝4﹣x，则可得出答案；（3）分三种情况：①当点P在AC上，点F在DC上时，②当点P在AC上，点F在DC 的延长线上时，③当点P在AC的延长线上，点F在DC的延长线上时，得出关于x方程可得出答案．【解答】（1）证明：过点P作PN⊥BC于N，过点P作PM⊥DC于M，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PCB＝∠PCD，∴PM＝PN，∵PF⊥PB，∴∠PDF＝90°，即∠BPN+∠NPF＝90°，∵PN⊥BC，PM⊥DC，∴∠NPM＝90°，∠MPF+∠NPF＝90°，∴∠BPN＝∠MPF，在△PBN和△PFM中，，∴△PBN≌△PFM（ASA），∴PB＝PF；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵PN⊥BC，PM⊥DC，∴∠PNC＝∠PMC＝90°，∴四边形PNCM是矩形，又∵PM＝PN，∴四边形PNCM是正方形，∵△PBM≌△PFM，∴S四边形PBCF＝S四边形PNCM，∵AB＝4，AP＝x，∴PN＝4﹣x，∴y＝PN2＝，∴y＝x+16（0≤x＜2）；（3）解：①当点P在AC上，点F在DC上时，y＝x+16，﹣；当y＝12时，x＝42②当点P在AC上，点F在DC的延长线上时，y＝x，当y＝12时，x＝6，不合题意，舍去；③当点P在AC的延长线上，点F在DC的延长线上时，y＝x，当y＝12时，x＝+．﹣或+．综上所述，AP的长为42【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，证明△PBN≌△PFM是解题的关键．5．（2020春•闵行区期末）如图，已知：在正方形ABCD中，AB＝4．点M是边AB上的任意一点，点N在边BC的延长线上，且∠MDN＝90°．联结MN，与正方形ABCD的对角线AC 相交于点E．设AM＝x，AE＝y．（1）求证：DM＝DN；（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结BE．当△MBE是以BM为腰的等腰三角形时，求AM的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，∠DAM＝∠DCB＝90°，证明△AMD≌△CN D（ASA），由全等三角形的性质得出DM＝DN；（2）过点M作MF⊥AB交AC于点F，证明△MFE≌△NCE（AAS），由全等三角形的性质得出FE＝CE，求出FC＝4﹣x，则CE＝CF＝2﹣x，则可得出答案；﹣（3）连接MC，证出△MBE是等边三角形，由勾股定理得出（4﹣x）2+（4+x）2＝（82 x）2，解方程可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAM＝∠DCB＝90°，∴∠DCN＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADM+∠MDC＝90°，∵∠MDN＝90°，∴∠CDN+∠MDC＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN；（2）解：过点M作MF⊥AB交AC于点F，∴△AMF是等腰直角三角形，∴AM＝FM＝CN，∵∠FMB＝∠ABC＝90°，∴∠FMB+∠ABC＝180°，∴FM∥CN，∴∠FME＝∠CNE，∵∠FME＝∠CNE，在△MFE和△NCE中，，∴△MFE≌△NCE（AAS），∴FE＝CE，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，∴AC＝4，∴FC＝AC﹣AF＝4﹣x，∴CE＝CF＝2﹣x，∵AE＝AC﹣CE，∴y＝4﹣（2﹣x）＝x+2（0＜x≤4）；（3）解：如图2，连接MC，由（2）知ME＝NE，∴E为MN的中点，∵∠MBN＝90°，∴BE＝ME＝NE，∵△MBE是以BM为腰的等腰三角形，∴MB＝BE或MB＝ME，∴△MBE是等边三角形，∵BM＝4﹣x，﹣x，∴ME＝NE＝4﹣x，MN＝2（4﹣x）＝82∵BN＝4+x，∵BM2+BN2＝MN2，﹣x）2，∴（4﹣x）2+（4+x）2＝（82∴x1＝84﹣，x2＝8+4（不合题意舍去），﹣．∴AM＝84【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．题型二：长方形综合题一．填空题（共3小题）1．（2023•徐汇区一模）如图，点E是矩形ABCD纸片边CD上一点，如果沿着AE折叠矩形纸片，恰好使点D落在边BC上的点F处，已知BF＝6cm，tan∠BAF＝，那么折痕AE的长是 5cm ．【分析】由锐角的正切求出AB的长，由勾股定理求出AF的长，由轴对称的性质，勾股定理列出关于DE的方程，求出ED长，由勾股定理即可求出AE的长．【解答】解：矩形ABCD中，∠B＝90°，∴tan∠BAF＝，∴AB＝＝＝8（cm），∴AF＝＝＝10（cm）由题意得：AD＝AF＝10（cm）DE＝EF，令DE＝xcm，则CE＝（8﹣x）cm，∵FC＝BC﹣BF，﹣＝4（cm），∴FC＝106∵EF2＝EC2+FC2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴DE＝5（cm），∴AE＝＝＝5（cm）．故答案为：5cm．【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．2．（2022•宝山区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处，那么线段DF：FC的值为 ．【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠B＝∠C＝90°，由翻折可得AE＝﹣＝1，设CF＝x，则DF＝EF＝3﹣x，AD＝5，DF＝EF，则BE＝＝4，EC＝54由勾股定理可得（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝，则CF＝，DF＝，进而可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠B＝∠C＝90°，由翻折可得AE＝AD＝5，DF＝EF，∴BE＝＝4，﹣＝1，∴EC＝54设CF＝x，则DF＝EF＝3﹣x，由勾股定理可得（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝，∴CF＝，DF＝3﹣＝，∴DF：FC＝．故答案为：．【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．3．（2021秋•松江区期末）如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△AD′E′，使得点D的对应点D'落在AE上，如果D′E′的延长线恰好经过点B，那么DE ．【分析】如图，连接BE、BE′，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，利用勾股定理可得BD′＝4，再运用面积法可得：AB•AD＝AE•BD′，求出AE＝，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，连接BE、BE′，∵矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，∴∠D＝90°，由旋转知，△AD′E′≌△ADE，∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，∵D′E′的延长线恰好经过点B，∴∠AD′B＝90°，在Rt△ABD′中，BD′＝＝＝4，∵AB•AD＝AE•BD′，∴AE＝＝＝，在Rt△ADE中，DE＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积等，解题关键是运用面积法求得AE．二．解答题（共3小题）4．（2022秋•嘉定区校级期末）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上一点，EM ⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且∠ANE＝∠DCE．（1）如图，求证：AE是AM和AN的比例中项；（2）当点N在线段AB的延长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得线段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得线段AM，利用（1）的结论求得线段AN，则MN＝AN﹣AM．【解答】（1）证明：∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∵∠ANE＝∠DCE，∴∠ANE＝∠AEM．∵∠A＝∠A，∴△ANE∽△AEM，∴．∴AE2＝AM•AN，∴AE是AM和AN的比例中项；（2）解：如图，AC＝＝＝5．∵AC与NE互相垂直，∴∠AFE＝90°，∴∠ANE+∠NAF＝90°．∵∠NAF+∠CAD＝90°，∴∠ANE＝∠DAC．∵∠ANE＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，∵∠D＝∠D，∴△EDC∽△CAD，∴，∴，∴DE＝，∴AE＝AD﹣DE＝．∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠MAE＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴△AME∽△DEC，∴，∴，∴AM＝．由（1）知：AE2＝AM•AN，∴AN＝，∴MN＝AN﹣AM＝＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2022秋•黄浦区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD交于点O，点M为对角线AC上一点，联结BM，在∠ABM内部做射线BP与线段AO交于点N （不与点A、点O重合）、与线段AD交于点P，且∠MBN＝∠DBC．（1）当CM＝4，求∠APB的正切值；（2）射线BP交射线CD与点Q，若△QBD〜△DBP，求CM的长．（3）设线段CM＝x，y＝，写出y关于x的函数关系式，并写出取值范围．【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的性质得出PD，进而求得AP，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）根据相似三角形的性质，直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；（3）过点M作ME⊥BC于E，利用相似三角形的判定与性质分别求得线段BE，ME，再利用勾股定理表示出BM的长，最后通过证明△BNM∽△CNB，可得＝，即可求解．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，∴AC＝BD＝＝13．∵∠MBN＝∠DBC，∴∠PBD＝∠MBC，∵四边形ABCD为矩形，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＝∠BDP，∴△BPD∽△BMC，∴，∵MC＝4，BC＝12，∴PD＝＝＝，∴AP＝AD﹣PD＝12﹣＝．∴tan∠APB＝＝＝；（2）解：如图，∵△QBD〜△DBP，∴∠Q＝∠BDP，，∵tan∠ADB＝，∴tan Q＝，∴，∴BP＝，∴AP＝＝，∴PD＝AD﹣AP＝12﹣＝．由（1）知：△BPD∽△BMC，∴，∴，∴CM＝；（3）如图，过点M作ME⊥BC于E，∵AB⊥BC，ME⊥BC，∴ME∥AB，∴△ACB∽△MCE，∴，∴，∴ME＝x，CE＝x，∴BE＝12﹣x，∴BM＝＝，∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OC，∴∠DBC＝∠OCB，∵∠PBM＝∠DBC，∴∠NBM＝∠NCB，∵∠BNM＝∠CNB，∴△BNM∽△CNB，∴．∴，∴y＝，点P不与点A、点D重合，点M在对角线AC上，当点N与点A重合时，∵∠MBN＝∠DBC，∴∠MBC＝∠DBA，∵∠DBA+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠ACB，∴∠MBC+∠ACB＝90°，∴BM⊥AC，∵∠ABC＝90°，∴△BCM∽△ACB，∴，∴CM＝，∴0＜x＜，综上所述，y＝（0＜x＜）．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质恰当的得出相应的比例式是解题的关键．6．（2021秋•普陀区期末）如图1，长方形纸片ABCD（AD＞AB），点O位于边BC上，点E 位于边AD上，将纸片沿OE折叠，点C、D的对应点分别为点C′、D′．（1）当点C′与点A重合时，如图2，如果AD＝12，CD＝8，联结CE，那么△CDE的周长是 20 ；（2）如果点F位于边AB上，将纸片沿OF折叠，点B的对应点为点B′．①当点B′恰好落在线段OC′上时，如图3，那么∠EOF的度数为 90° ；（直接填写答案）②当∠B′OC′＝20°时，作出图形，并写出∠EOF的度数.【分析】（1）证明DE+EC＝AD＝12，可得结论；（2）①利用角平分线的定义以及平角的性质解决问题即可；②分两种情形，分别画出图形，利用角平分线的定义，平角的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图2中，点C′与点A重合时，由翻折的性质可知，EA＝EC，∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝12，∴△CDE的周长＝DE+EC+CD＝12+8＝20．故答案为：20；（2）①如图3中，由翻折的性质可知，∠BOF＝∠B′OF，∠EOC＝∠EOC′，∵∠BOC＝180°，∴∠EOF＝∠EOB′+∠FOB′＝（∠COB′+∠BOB′）＝∠BOC＝90°．故答案为：90°；﹣中，当OB′值OC′的下方时，②如图41∵∠B′OC′＝20°，﹣＝160°，∴∠BOB′+∠COC′＝180°20°∵∠FOB′＝∠BOB′，∠EOC′＝∠COC′，∴∠FOB′+∠EOC′＝×160°＝80°，∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′+∠B′OC′＝100°．﹣中，当OB′在OC′的上方时，如图42∵∠B′OC′＝20°，∴∠BOB′+∠COC′＝180°+20°＝200°，∵∠FOB′＝∠BOB′，∠EOC′＝∠COC′，∴∠FOB′+∠EOC′＝×200°＝100°，∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′﹣∠B′OC′＝80°．综上所述，∠EOF的度数为100°或80°．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，角平分线的定义，平角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．题型三：平行四边形综合题一．选择题（共1小题）1．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE交对角线BD于点F．如果＝，＝，那么用、的线性组合表示向量为（ ）A．﹣﹣B．+C．﹣﹣D．【分析】由已知条件可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，进而可得△DEF∽△BCF，则，所以CF＝CE，根据＝＝+，可求出，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝，∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∵∠DFE＝∠BFC，∴△DEF∽△BCF，则，∴CF＝2EF，∴CF＝CE，∵＝＝+，∴＝，∴．故选：A．【点评】本题考查平面向量、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面向量的定义是解答本题的关键．二．填空题（共2小题）2．（2022春•闵行区校级期中）在平行四边形ABCD中，AC和BD交于点O，∠AOB＝60°，BD＝10，如果将△ABC沿直线AC翻折后，点B落在点E处，那么△AED ．【分析】连接OE，过点O作OF⊥DE于点F．利用翻折的性质可得出△DOE为等边三角形，进而可得AC∥DE，故S△ADE＝S△DOE，直接求三角形DOE的面积即可得出答案．【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥DE于点F．由翻折可知，∠AOB＝∠AOE＝60°，OB＝OD＝OE＝BD＝5，∵∠DOE＝180°﹣∠AOB﹣∠AOE＝60°，∴△DOE为等边三角形，∴∠EDO＝∠AOB＝60°，EF＝DF，∴AC∥DE，∴S△ADE＝S△DOE，∵OF＝＝，DE＝OD＝5，∴S△ADE＝S△DOE＝＝．故答案为：．【点评】本题考查翻折的性质、平行四边形的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．3．（2021春•徐汇区校级期中）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，∠AOB＝30°，将平行四边形ABCD沿AC翻折后，点B落在点B′处，那么B′D＝ 4 ．【分析】先利用折叠的性质得到△B′OD为等腰三角形，再利用直角三角形中30度角所对边是斜边一半求解OE，B′E，即可求解．【解答】解：如图，连接OB′，B′D，过点O作OE⊥B′D于点E，∵四边形ABCD为平行四边形，沿AC翻折后，点B落在点B′处，BD＝8，∠AOB＝30°，∴OB′＝OB＝OD＝4，∠AOB′＝∠AOB＝30°，∴△B′OD为等腰三角形，∠B′OD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOB′＝120°，∴∠OB′D＝∠ODB′＝30°，∵OE⊥B′D，∴点E是B′D的中点，在Rt△B′OE中，∠OB′E＝30°，∴OE＝OB′＝2，∴B′E＝OE＝2，∴B′D＝2B′E＝4．故答案为：4．【点评】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是得出△B′OD为等腰三角形，再利用题中所给度数求解．三．解答题（共2小题）4．（2022秋•嘉定区期中）如图，在▱ABCD中，点E是线段CD延长线上的一点，BE与AD交于F点．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若DF：AF＝2：3，且S△DEF＝4，求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形对角相等可得∠A＝∠C，对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠ABF＝∠E，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明．（2）由于△BCE∽△FDE，可根据两三角形的相似比，求出△FDE的面积，也就求出了四边形BCDF的面积．同理可根据△DEF∽△AFB，求出△AFB的面积．由此可求出▱ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，∵DF：AF＝2：3，∴DE：AB＝DE：CD＝2：3，∴DE：CE＝2：5，∴FD：BC＝2：5，∴S△ABF：S△DEF＝AF2：FD2，S△BCE：S△FDE＝BC2：FD2，∵DF：AF＝2：3，S△DEF＝4，∴△ABF的面积为9，∴△CEB的面积为25，﹣＝30．∴▱ABCD的面积＝254+9【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定以及三角形的面积，是中考的重点内容，要熟练掌握，熟记平行四边形的各种性质以及相似三角形的各种判断方法是解题的关键．5．（2020春•杨浦区期末）已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，连接DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，＝，BC＝，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2，当△AED是直角三角形时，求BC的长．【分析】（1）由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE，BC＝EC，由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC．则EC＝AD，∠ACB＝∠CAD，得∠ACE＝∠CAD，证出OA＝OC，则OD＝OE，由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证出∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，即可得出结论；（2）证四边形ABCD是矩形，则∠CDO＝90°，CD＝AB＝，AD＝BC＝，设OA＝OC＝x，则OD＝﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得出方程，求出OA＝，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分4种情况：∠EAD＝90°或∠AED＝90°，需要画出图形分类讨论，根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到BC的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质得：△ABC≌△△AEC，∴∠ACB＝∠ACE，BC＝EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．∴EC＝AD，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACE＝∠CAD，∴OA＝OC，∴OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵∠AOC＝∠DOE，∴∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，∴AC∥DE；（2）解：∵平行四边形ABCD中，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠CDO＝90°，CD＝AB＝，AD＝BC＝，由（1）得：OA＝OC，设OA＝OC＝x，则OD＝﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：（）2+（﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴OA＝，∴△OAC的面积＝OA×CD＝××＝；（3）解：分4种情况：①如图3，当∠EAD＝90°时，延长EA交BC于G，∵AD＝BC，BC＝EC，∴AD＝EC，∵AD∥BC，∠EAD＝90°，∴∠EGC＝90°，∵∠B＝30°，AB＝2，∴∠AEC＝30°，∴GC＝EC＝BC，∴G是BC的中点，在Rt△ABG中，BG＝AB＝3，∴BC＝2BG＝6；②如图4，当∠AED＝90°时∵AD＝BC，BC＝EC，∴AD＝EC，由折叠的性质得：AE＝AB，∴AE＝CD，在△ACE和△CAD中，∴△ACE≌△CAD（SSS），∴∠ECA＝∠DAC，∴OA＝OC，∴OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AED＝∠CDE，∵∠AED＝90°，∴∠CDE＝90°，∴AE∥CD，又∵AB∥CD，∴B，A，E在同一直线上，∴∠BAC＝∠EAC＝90°，∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，∴AC＝AB＝2，BC＝2AC＝4；③当∠EAD＝90°时，如图5所示：∵∠AED＝∠B＝30°，AE＝AB＝2，∴BC＝AD＝2，∵AD与CE交于点O，∴不符合题意舍去；④当∠ADE＝90°时，如图6所示：∵∠DAE＝∠AEC＝∠B＝30°，AE＝AB＝2，∴BC＝AD＝3，∵AD与CE交于点O，∴不符合题意舍去；综上所述，当△AED是直角三角形时，BC的长为4或6．【点评】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．题型四：菱形综合题一．选择题（共1小题）1．（2022春•浦东新区校级期中）如果x的取值范围是a＜x＜b，我们就将b与a的差叫做x 的变化区间长度．如图，在菱形ABCD中，对角线AC交BD于点O，且AC＝16，BD＝12．如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，那么r的变化区间长度是（ ）A．B．C．D．【分析】利用题意求出r变化的临界值，根据变化区间长度的定义即可求解．【解答】解：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝8，OB＝BD＝6，∴AB＝＝10．过点O作OH⊥AB于点H，如图，∵OA•OB＝AB•OH，∴OA•OB＝AB•OH，∴OH＝．∵菱形的中心O到各边的距离都相等，∴以点O为圆心，为半径画圆，则该圆与各边都相切，此时，以O为圆心，为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有4个公共点；当以点O为圆心，6为半径画圆，该圆与菱形ABCD的各边有6个公共点，综上如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，则＜r＜6，∴r的变化区间长度是6﹣＝，故选：D．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，点和圆的位置关系，勾股定理，菱形的性质，求得r变化的临界值是解题的关键．二．填空题（共1小题）2．（2022春•青浦区校级期末）两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形ABCD中，边AB＝10，对角线AC＝12，那么△ABC与△ADC的“重心距”为 ．【分析】连接BD，BD与AC交于点O，设点E为△ABC的重心，点F为△ADC的重心，利用菱形的性质和勾股定理求得OB，OD的长，利用三角形的重心的性质求得OE，OF的长，再利用“重心距”的定义解答即可．【解答】解：连接BD，BD与AC交于点O，设点E为△ABC的重心，点F为△ADC的重心，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD．∴OB＝OD＝＝8．∵点E为△ABC的重心，点F为△ADC的重心，∴OE＝OB＝，OF＝OD＝．∴△ABC与△ADC的“重心距”为：OE+OF＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的重心的性质，利用菱形的性质和勾股定理求得OB，OD的长是解题的关键．三．解答题（共3小题）3．（2023•徐汇区一模）如图1，已知菱形ABCD，点E在边BC上，∠BFE＝∠ABC，AE交对角线BD于点F．（1）求证：△ABF∽△DBA；（2）如图2，联结CF．①当△CEF为直角三角形时，求∠ABC的大小；②如图3，联结DE．当DE⊥FC时，求cos∠ABD的值．【分析】（1）由菱形的性质，三角形外角的性质即可证明；（2）①分情况讨论，即可求出∠ABC的度数；②由条件可以证明DE垂直平分CF，得到DF＝DC，由△ABF∽△DBA，设BF＝x，菱形边长是a，得到a2＝x（x+a），求出x，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABF＝∠EBF，∵∠BFE＝∠ABC，∴∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠EBF，∴∠BAF＝∠EBF，∵∠ADB＝∠EBF，∴∠ADB＝∠BAF，∵∠ABF＝∠ABD，∴△ABF∽△DBA；（2）①∵菱形是轴对称图形，∴∠FCB＝∠BAF，令∠ABD＝α，则∠CBF＝∠BAE＝∠FCB＝α，当∠CEF＝90°时，∠CEF＝∠ABE+∠BAE＝3α＝90°，∴α＝30°，∴∠ABC＝2α＝60°；当∠ECF＝90°时，α＝90°，∴∠ABC＝2α＝180°，不符合题意；﹣α＝90°，当∠EFC＝90°时，∠EFC＝180°﹣∠CEF﹣∠FCE＝180°4∴α＝22.5°，∴∠ABC＝2α＝45°，∴当△CEF为直角三角形时，∠ABC＝60°或∠ABC＝45°；②连接AC交BD于O，交DE于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE⊥FC，∴∠GCH+∠DFC＝∠FDG+∠DFC＝90°，∴∠GCH＝∠FDG，∵∠HEC＝∠DBE+∠BDE，∠HCE＝∠FCE+∠HCG，∠FCE＝∠DBE，∴∠HEC＝∠HCE，∴EF＝EC，∴DE垂直平分FC，∴DF＝DC，∵△ABF∽△DBA，∴AB：BD＝BF：AB，∴AB2＝BD•BF＝BF•（BF+DF），设BF＝x，菱形边长是a，∴a2＝x（x+a），∴x＝，或x＝（舍），∴BD＝BF+FD＝+a＝，∴BO＝BD＝，∴cos∠ABD＝＝＝．∴cos∠ABD的值是．【点评】本题考查相似形综合题，熟练掌握菱形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．4．（2022秋•杨浦区期中）如图，已知在菱形ABCD中，AB＝5，cos B＝，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长线交BC的延长线于点G，且∠EAF＝∠BAD．（1）求证：AE2＝EC•EG；（2）如果点F是边CD的中点，求S△ABE的值．（3）延长AE、DC交于点H，联结GH、AC，如果△AGH与△ABC相似，求线段BE的长．【分析】（1）证明∠EAC＝∠G，而∠AEC＝∠GAE，得到△AEC∽△GAE，即可求解；（2）由（1）知AE2＝EC•EG＝（5﹣x）（10﹣x），再利用AE2＝AH2+EH2，即AE2＝（3﹣x）2+42，进而求解；（3）当时，证明△AHC∽△GAC，得到CH＝AB，进而求解；当时，同理可得：△AHC∽△GAC，进而求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD，又∵∠EAF＝∠BDA，∴∠CAD＝∠EAF，∴∠EAC＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠G，∴∠EAC＝∠G，又∵∠AEC＝∠GAE，∴△AEC∽△GAE，∴，即AE2＝EC•EG；（2）解：过点A作AH⊥BC交CB于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD＝5，AD∥BC，∵AD∥BC，点F是CD的中点，，∴CG＝AD＝5，设BE＝x，则EC＝5﹣x，EG＝EC+CG＝5﹣x+5＝10﹣x，则AE2＝EC•EG＝（5﹣x）（10x），在Rt△ABH中，cos B＝，而AB＝5，则HB＝3，AH＝4，则EH＝3﹣x，在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2，即AE2＝（3﹣x）2+42，∴（3﹣x）2+42＝（5﹣x）（10﹣x），解得x＝＝BE，则S△ABE＝BE×AH＝××4＝；（3）解：由（1）知，∠EAC＝∠DAF，则∠BAE＝∠CAG，∴∠BAC＝∠EAF，∴当或时，△AGH与△ABC相似，当时，∵∠BAC＝∠BAD，∠EAF＝∠BAD，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAG，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠AHC，∴∠CAG＝∠AHC，又∵∠EAC＝∠AGC，∴△AHC∽△GAC，∴，又，∴CH＝AB，∵AB∥CD，∴，∴BE＝EC＝BC＝；当时，同理可得：△AHC∽△GAC，∴，又∵，∴CG＝AB，由（2）知，此时BE＝，综上，BE＝或．【点评】菱形的性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．5．（2021春•浦东新区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝8，∠BAD＝60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E 与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC于点G，过点G作射线AD 垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFHG，设点E的运动时间为t秒．（1）求点H与点D重合时t的值；（2）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）设矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，①当OO′∥AD时，t的值为 4 ；②OO′⊥AD时，求出t的值．【分析】由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，可得GE＝AE＝2t，FH＝GE＝2t，AF＝AE＝t，EF＝＝t，AH＝AF+FH＝3t，（1）点H与点D重合时，AH＝AD，有3t＝8，即得t＝；（2）①当H在边AD上，即时，S＝EF•FH＝t•2t＝2t2，②当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，求出S△DHM＝DH•HM＝﹣t+32，S＝EF•FH﹣S△DHM即可得到答案；t224（3）①当O'O∥AD时，证明O'O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与B重合，解可得到t＝＝＝4；②当OO'⊥AD时，延长OO'交AD于N，证明O'N是△FGH的中位线，从而可得AN＝AF+ FN＝2t，而在Rt△AON中，∠DAC＝30°，AN＝＝6，故2t＝6，即得t＝3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，∵GE∥AD，∴∠GEB＝∠BAD＝60°，∴∠EGA＝∠GEB﹣∠BAC＝30°，∴∠EGA＝∠BAC＝30°，∴GE＝AE＝2t，∵四边形EFHG是矩形，∴FH＝GE＝2t，在Rt△AEF中，AF＝AE＝t，EF＝＝t，∴AH＝AF+FH＝3t，（1）点H与点D重合时，AH＝AD，∴3t＝8，∴t＝；（2）①当H在边AD上，即时，如图：矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积，∴S＝EF•FH＝t•2t＝2t2，②当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，如图：﹣，在Rt△DHM中，∠HDM＝∠DAB＝60°，DH＝AH﹣AD＝3t8﹣，﹣，HM＝＝3t8∴DM＝2DH＝6t16﹣t+32，∴S△DHM＝DH•HM＝t224﹣∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积S＝EF•FH﹣S△DHM＝2t2﹣（t22﹣，4t+32）＝﹣t2+24t32综上所述，矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积S＝，（3）①当O'O∥AD时，如图：∵四边形EFHG是矩形，∴O'是FG的中点，∵O'O∥AD，∴O'O是△AFG的中位线，∴O是AG中点，∴OA＝OG，又∵O是AC中点，OA＝OC，∴G与C重合，此时，E与B重合，∴t＝＝＝4；故答案为：4；②当OO'⊥AD时，延长OO'交AD于N，如图：∵OO'⊥AD，∴OO'∥GH，∵O'是FG的中点，∴O'N是△FGH的中位线，∴N是FH的中点，∵FH＝2t，∴FN＝HN＝t，∴AN＝AF+FN＝2t，在Rt△AOB中，AB＝8，∠OAB＝30°，∴OB＝4，OA＝＝4，在Rt△AON中，∠DAC＝30°，∴ON＝OA＝2，AN＝＝6，∴2t＝6，∴t＝3．【点评】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题．题型五：梯形综合题一．解答题（共3小题）1．（2022春•闵行区校级期末）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝5，点G 是CD中点，过点G作CD的垂线交射线BC于点F，∠DCF的角平分线交射线BA于点E，交直线GF于点P．（1）当点F与点B重合时，求CD的长；（2）若点F在线段BC上，AD＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）联结DP、DE，当△DPE是以DP为腰的等腰三角形时，求AD的长．【分析】（1）连接BD，过D作DH⊥BC交于H，在Rt△ABD中，BD＝5，BA＝4，由勾股定理可得AD＝2；﹣y|，由勾（2）连接DF，过D点作DH⊥BC交于H，在Rt△DFH中，FD＝y，FH＝|x5+﹣y）2，整理得y＝（0＜x≤3）；股定理可得y2＝16+（x5+（3）分两种情况讨论：当F在线段BC上时，①当DP＝PE时，可证△CDE≌△DBE（AA S），过D作DH⊥BC交于H，在Rt△CDH中，HC＝3，即可求BH＝AD＝2；②当DE＝DP时，∠DEP＝∠DPE，设∠BEC＝α，可证△DAE≌△CGP（ASA），在Rt△CDH中，（5﹣AD）2+16＝（2AD）2，可求AD＝；当点F在射线BC上时，此时∠EPD ＞90°，可证△CDE≌△CBE（），过D作DH⊥BC交延长线于H，在Rt△CHD中，D H＝4，可求AD＝8．【解答】解：（1）如图1，连接BD，过D作DH⊥BC交于H，∵BG⊥CD，BG平分CD，∴BD＝BC，∵BC＝5，∴BD＝5，∵BA＝4，在Rt△ABD中，AD＝2；（2）如图2，连接DF，过D点作DH⊥BC交于H，∵FG是CD的垂直平分线，∴FD＝FC，∵FC＝y，∴FD＝y，∵BC＝5，∴BF＝5﹣y，∵AD＝x，∴BH＝x，﹣y|，∴FH＝|x5+﹣y）2，在Rt△DFH中，y2＝16+（x5+∴y＝（0＜x≤3）；（3）如图3，当F在线段BC上时，①当DP＝PE时，∵FG是CD的垂直平分线，∴DP＝PC，∴DP＝PE＝PC，∴∠CDE＝90°，∵EC平分∠DCB，∴∠DCE＝∠ECB，∴△CDE≌△DBE（AAS），∴BE＝DE，BC＝CD，∴CD＝5，过D作DH⊥BC交于H，在Rt△CDH中，HC＝3，∴BH＝AD＝2；②当DE＝DP时，∠DEP＝∠DPE，设∠BEC＝α，∵∠BEC＝90°﹣∠ECB＝90°﹣α，∵DP＝PC，∴∠PDC＝α，∴∠DEP＝∠DPE＝2α，﹣α＝90°﹣α，﹣α90°+∴∠AED＝180°2∴∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠GCP＝α，∴△DAE≌△CGP（ASA），∴AD＝CG，∴CD＝2AD，∵DH＝4，CH＝5﹣AD，在Rt△CDH中，（5﹣AD）2+16＝（2AD）2，∴AD＝；当点F在射线BC上时，此时∠EPD＞90°，∴PE＝PD＝PC，∴∠EDC＝90°，∵∠ECD＝∠ECB，∴△CDE≌△CBE（AAS），∴BC＝CD＝5，过D作DH⊥BC交延长线于H，在Rt△CHD中，DH＝4，∴CH＝3，∴AD＝8；综上所述：AD的长为2或8或．。
四边形题型归纳
A B CD B ()E A BC DE F 2()1()F ED ABC AB CD EF四边形题型归纳题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题）1、沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图，矩形纸片ABCD ，AB=2， ∠ADB=30°，沿对角线BD 折叠（使△ABD 和△EBD 落在同一平面内），则A 、E 两点间的距离为____________.2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图，已知矩形ABCD 的边AB=2，AB≠BC ，矩形ABCD 的面积为S ，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为__________.3.使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图，梯形纸片ABCD ， ∠B=60°，AD ∥BC ，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕为AE ，则CE=___________.4.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图，折叠矩形的一边CD ，使点C 落在AB 上的点F 处，已知AB=10cm ， BC=8cm ，则EC 的长为________.KE FGBDACPQABCDN MEE 'A 'ABC DD 'C 'A BCD E F 5.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，将梯形对折，使点D 、C 分别落在AB 上的D ′、C ′处，折痕为EF ，若CD=3cm ，EF=4cm ，则AD ′+BC ′=________cm.6.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)【例6】如图，已知EF 为正方形ABCD 的对称轴，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点处，则∠DKG=_____.7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)【例7】如图，有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将C 点折至MN 上，落在点P 的位置，折痕为BQ ，连结PQ.(1)求MP 的长度; ⑵求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13.8.两次不同方式的折叠【例8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后AB 与EB 在同一条直线上,则∠CBD 的度数为（ ）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定【变式1】在矩形ABCD中AB=4，BC=3，按下列要求折叠，试求出所要求结果（1）如图，把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得△EBD，BE交CD于点F，求S△BFD；（2）如图，折叠矩形ABCD，使AD与对角线BD重合，求折痕DE的长；（3）如图，折叠矩形ABCD，使点D与点B重合，求折痕EF的长；（4）如图，E是AD上一点，把矩形ABCD沿着BE折叠，若点A恰好落在CD上的点F处，求AE的长。
四边形综合经典难题
四边形压轴经典题型1.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC，且与CD相交于G，GE∥CA交AB于E点，求证：四边形CFEG是菱形.2. 已知：如图，EG、FH过正方形ABCD的对角线交点O，EG⊥FH，求证：四边形EFGH是正方形．3. 如图，三角形ABC中，AB=AC，角A=108 o，BD平分角ABC交AC于D，求证:BC=AB+CD.4.在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，求∠A的度数.5.已知在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长.6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）7. 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．8. 已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的面积为20，求阴影部分的面积．9. 已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，BE，CF相交于点O。
（1）求证：BE⊥CF；（2）试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？（直接写出答案）10. 在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．11. 如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，AD=2，求四边形ABCD 的面积.12. 已知，在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F两点.（1）当AE=CF时（如图1），求证:AE+CF=EF；（2）当AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，AE+CF=EF是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明。
特殊四边形经典例题(有详解)
特殊四边形经典例题1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（ ）A ． 两条对角线相等的四边形是矩形B ． 两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D ． 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3均在x 轴正半轴上．若已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，且B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3的坐标是（ ）A ． （，）B ． （，）C ． （，）D ． （，）4．下列命题中正确的是（ ）A ． 对角线相互垂直的平行四边形是矩形B ． 对角线相等的平行四边形是菱形C ． 对角线相等的梯形是等腰梯形D ． 对角线相等的四边形是平行四边形5．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于点M ，N ．给出下列结论：①△ABM ≌△CDN ；②AM=AC ；③DN=2NF ；④S 四边形BFNM =S 平行四边形ABCD ． 其中正确的结论有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系为（）A．m1＞m2B．m1＜m2C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②④D．①③④8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________．10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．11．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．探究：（1）两边分别是2和3的矩形是_________阶矩形；（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．（3）操作、计算：①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．12．（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC 交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．13．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的内部或边CD上，设AF=x（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．答案详解1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（ ）A ． 两条对角线相等的四边形是矩形B ． 两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D ． 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形解答： 故选C ．2．（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个解答： 解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B ．3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3均在x 轴正半轴上．若已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，且B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3的坐标是（ ）A ． （，）B ． （，）C ． （，）D ． （，） 考点： 正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，然后解直角三角形求出OC1、C1E、E1E2、E2C2、C2E3、E3E4、E4C3，再求出B3C3，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，先求出A3M，再解直角三角形求出A3N、C3N，然后求出ON，再根据点A3在第一象限写出坐标即可．解答：解：如图，∵B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∴OC1=×1=，C1E1=×1=，E1E2=×1=，E2C2=×=，C2E3=E2B2=，E3E4=×=，E4C3=×=，∴B3C3=2E4C3=2×=，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，则A3M=+×=，A3N=×=，C3M=×=，∴C3N=（××2）﹣=，ON=+++++++，=+，∵点A3在第一象限，∴点A3的坐标是（+，）．故选C．点评：本题考查了正方形的四条边都相等性质，解含30°角的直角三角形，依次求出x轴上各线段的长度是解题的关键，难点在于过点A3作辅助线构造出含60°角的直角三角形．4．下列命题中正确的是（）A．对角线相互垂直的平行四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．对角线相等的梯形是等腰梯形D．对角线相等的四边形是平行四边形考点：命题与定理．分析：根据矩形、菱形、等腰梯形、平行四边形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；C、对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，故本选项正确；D、对角线相等的四边形形状不确定，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF 于点M，N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线定理、相似三角形的对应边成比例得出CN=MN，BM=DN=2NF；由S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，易证得S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，且AD∥BC AB∥CD，∴∠BAM=∠DCN，∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AMB=∠EMN=∠FNM=∠CND，在△ABM≌△CDN，，∴△ABM≌△CDN（AAS），故①正确；∴AM=CN，BM=DN，∠AMB=∠DNC=∠FNA，∴NF∥BM，∵F为BC的中点，∴NF为三角形BCM的中位线，∴BM=DN=2NF，CN=MN=AM，∴AM=AC，DN=2NF，故②③正确；∵S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，∴S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．故④正确；综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．点评：本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意，三角形中位线定理的应用．6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系为（）A．m1＞m2B．m1＜m2C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定考点：正方形的性质；等腰直角三角形；矩形的性质．分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，然后求出MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，再设正方形的边长为a，然后用a表示出m1，m2，进行判断即可．解答：解：∵点E、N是正方形ABCD对角线BD上两动点，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，∵四边形EFCH和四边形MNQP是矩形，∴△BMN，△PQD，△BEF，△DEH是等腰直角三角形，∴MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，设正方形的边长为a，则BD=a，所以m1=EF+FC+CH+EH=BE+FC+CH+DH=BC+CD=2a，m2=MN+NQ+PQ+PM=BN+NQ+QD+PM=BD+PM=a+PM，∵PM的长度无法确定，∴2a与a+PM的大小无法确定，∴m1，m2的大小不确定．故选D．点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，用正方形ABCD的边长表示出m1，m2是解题的关键．7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②④D．①③④考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定．分析：根据折叠可得EF是AD的垂直平分线，再加上条件AD是三角形纸片ABC的高可以证明EF∥BC，进而可得△AEF∽△ABC，从而得到===，进而得到EF是△ABC的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF的周长是△ABC的一半，进而得到△DEF的周长等于△ABC周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形则AE=AF，即可得到AB=AC．解答：解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=AD，AD⊥EF，∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴===，∴EF是△ABC的中位线，故①正确；∵EF是△ABC的中位线，∴△AEF的周长是△ABC的一半，根据折叠可得△AEF≌△DEF，∴△DEF的周长等于△ABC周长的一半，故②正确；∵EF是△ABC的中位线，∴AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形，则AE=AF，∴AB=AC，故③正确；根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED和∠AFD的度数，故④错误；故选：A．点评：此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=．考点：反比例函数综合题．专题：规律型．分析：由OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…B n点的坐标为（n，y n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S n 的值，故可得出结论．解答：解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n），∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴y1=1，y2=，y3=…y n=，∴S1=×1×（y1﹣y2）=×1×（1﹣）=（1﹣）；S2=×1×（y2﹣y3）=×（﹣）；S3=×1×（y3﹣y4）=×（﹣）；…S n=（﹣），∴S1+S2+S3+…+S n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=．故答案为：．点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：规律型．分析：过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A1B1于点N，由三角形OAB与三角形OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．解答：解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长为：．故答案为：．点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=18，S△AEG=18．考点：正方形的性质．分析：求出BC，CG，根据三角形面积公式和矩形的面积公式求出即可．解答：解：∵BG=10，BC：CG=2：3，∴BC=4，CG=6，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，∴BC=AB=4，FG=EF=CG=6，延长FE和BA交于N，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，∴∠NED=∠EDA=∠DAN=90°，∴四边形BNFG是矩形，∴EN=BC=4，NF=BG=10，BN=CF=6，∴S△ECG=×CG×FG=×6×6=18，S△AEG=S矩形NBGF﹣S△ABG﹣S△EFG﹣S△ANE=10×6﹣×4×10﹣×6×6﹣×（6﹣4）×4=18，故答案为：18，18．点评：本题考查了正方形性质，矩形性质，三角形面积的应用，主要考查学生的计算能力．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．考点：四边形综合题．分析：（1）首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，进而解方程得出即可；（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP 时，四边形PDBQ是平行四边形；（3）利用（2）中所求，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ 不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．解答：解：（1）∵直线PD⊥AC，∴BC∥PD，∴四边形BQPD的面积为：（BQ+DP）×PC=（8﹣2t+t）×（6﹣t）△ABC面积为：×AC×BC=×6×8=24，∴四边形BQPD的面积为△ABC面积的时：×24=（8﹣t）×（6﹣t），解得：t1=9+3，t2=9﹣3，∵当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，∴t≤4，∴t1=9+3不合题意舍去，∴当t为9﹣3时，四边形BQPD的面积为△ABC 面积的；（2）存在，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴=，即=，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．存在t=时，使四边形PDBQ为平行四边形；（3）不存在，理由：当t=时，PD=×=，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=当PD=BQ，t=时，即t=8﹣v，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．此题综合性很强难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．12．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．探究：（1）两边分别是2和3的矩形是2阶矩形；（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．（3）操作、计算：①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．考点：四边形综合题．分析：（1）通过操作画图可以得出第一次应该减去是一个边长为2的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形，故得出结论2阶矩形；（2）由折纸可以得出AB=BF，AE=FE，从而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，∠BFE=∠A=90°，就有四边形ABFE是矩形，就有矩形ABFE为正方形；（3）①由n阶矩形的意义通过画图就可以求出a的值；②先由条件可以表示出a=21m，然后通过操作画出图形就可以求出结论．解答：解：（1）由题意，得，第一次操作应该减去一个边长为2的正方形，∴就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形．∴共操作2次．∴这个矩形是2阶矩形．故答案为：2；（2）∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，∴△AEB≌△FEB，∴AE=FE，∠BFE=∠A．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABF=90°，∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE为矩形．∵AE=FE，∴矩形ABFE为正方形；（3）①由题意，得如图1，∴a的值=8，∴a的值=5，同理可得出：a=或，∴a的值为8或5或或；②由题意，得∵a=5b+m，b=4m，∴a=21m，如图∴是8阶矩形．点评：本题考查了矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键．13．（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：（1）可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解．（2）①△PMN的形状不会变化，可通过做EG⊥BC于G，不难得出PM=EG，这样就能在三角形BEG中求出EG的值，也就求出了PM的值，如果做PH⊥MN于H，PH是三角形PMH和PHN的公共边，在直角三角形PHM中，有PM的值，∠PMN 的度数也不难求出，那么就能求出MH和PH的值，也就求出HN和PN的值了，有了PN，PM，MN的值，就能求出三角形MPN的周长了．②本题分两种情况进行讨论：1、N在CD的DF段时，PM=PN．这种情况同①的计算方法．2、N在CD的CF段时，又分两种情况进行讨论MP=MN时，MC=MN=MP，这样有了MC的值，x也就能求出来了NP=NM时，我们不难得出∠PMN=120°，又因为∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180度．这样点P与F就重合了，△PMC即这是个直角三角形，然后根据三角函数求出MC的值，然后就能求出x了．综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了．解答：解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．∵E为AB的中点，∴BE=AB=2在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．∴BG=BE=1，EG=即点E 到BC的距离为（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．∵PM⊥EF，EG⊥EF，∴PM∥EG，又EF∥BC，∴四边形EPMG为矩形，∴EP=GM，PM=EG=同理MN=AB=4．如图2，过点P作PH⊥MN于H，∵MN∥AB，∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，∴∠PMH=∠PMC﹣∠NMC=30°．∴PH=PM=∴MH=PM•cos30°=则NH=MN﹣MH=4﹣在Rt△PNH中，PN=∴△PMN的周长=PM+PN+MN=②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．类似①，PM=，∠PMR=30°，MR=PMcos30°=×=，∴MN=2MR=3．∵△MNC是等边三角形，∴MC=MN=3．此时，x=EP=GM=BC﹣BG﹣MC=6﹣1﹣3=2．当MP=MN时，∵EG=，∴MP=MN=，∵∠B=∠C=60°，∴△MNC是等边三角形，∴MC=MN=MP=（如图4），此时，x=EP=GM=6﹣1﹣，当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，∴∠PNM+∠MNC=180度．因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．∴MC=PM•tan30°=1．此时，x=EP=GM=6﹣1﹣1=4．综上所述，当x=2或4或（5﹣）时，△PMN为等腰三角形．点评：本题综合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点的应用．14．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的内部或边CD上，设AF=x（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）过点D作DM⊥BC于M，可得四边形ABMD是矩形，根据矩形的对边相等求出DM=AB，BM=AD，然后求出CM，判断出△CDM的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；（2）根据正方形的四条边都相等可得EF=EH，根据同角的余角相等求出∠AEF=∠BHE，然后利用“角角边”证明△AEF和△BHE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，再根据AB=AE+BE代入数据进行计算即可得解；（3）过点G作GP⊥BC于P，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得∠AEF=∠PGH，根据菱形的四条边都相等可得EF=GH，然后利用“角角边”证明△AEF 和△PGH全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AE，HP=AF，然后表示出CP、BH，在Rt△AEF和Rt△BEH中，利用勾股定理列式表示出EF2和EH2，然后列出方程求解即可．解答：解：（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，∵AD∥BC，AB⊥CB，∴四边形ABMD 是矩形，∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，∴CM=BC﹣BM=14﹣8=6cm，∴DM=CM，∴△CDM是等腰直角三角形，CD=CM=6cm，∠DCB=45°；（2）∵四边形EFGH为正方形，∴EF=EH，∠FEH=90°，∴∠AEF+∠BEH=90°，∵AB⊥CB，∴∠BEH+∠BHE=90°，∴∠AEF=∠BHE，在△AEF和△BHE中，，∴△AEF≌△BHE（AAS），∴BE=AF=x，∵AB=AE+BE=6cm，∴2+x=6，解得x=4cm；（3）如图，过点G作GP⊥BC于P，在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，∵AD∥BC，∴∠AEF=∠PGH，在△AEF和△PGH中，，∴△AEF≌△PGH（AAS），∴PG=AE=2，HP=AF=x，∵∠C=45°，∴CP=PG=2，BH=14﹣x﹣2=12﹣x，在Rt△AEF 中，EF2=AE2+AF2=22+x2，在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，∵EF=EH，∴22+x2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，解得x=6.5．点评：本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，关键在于作出合适的辅助线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．。
四边形特色题型专题特殊四边形中的分类讨论问题作业
2023四边形特色题型专题特殊四边形中的分类讨论问题作业CATALOGUE目录•特殊四边形的分类讨论问题•四边形特色题型的解题思路•四边形特色题型的分类讨论思想•四边形特色题型中的特殊四边形的判定方法•四边形特色题型中的注意事项01特殊四边形的分类讨论问题总结词特征明显，分为两种情况处理详细描述菱形是一种具有独特性质的特殊四边形，其两组对边分别平行且相等，四条边都相等且对角线互相垂直。
当菱形内角为60度或120度时，菱形分别被称为等边三角形或等腰三角形。
在解题时，需要分为两种情况处理，根据菱形的性质进行分类讨论。
总结词容易忽略，需要注意细节详细描述矩形是一种具有较长对角线且四个角都是直角的特殊四边形。
在解题时，常常需要对其进行分类讨论。
但是，矩形的分类讨论相对容易忽略，需要注意细节。
例如，在求解矩形ABCD内接圆半径时，需要根据矩形的长和宽的大小关系分为两种情况讨论。
总结词多角度分析，全面掌握详细描述正方形是一种具有相等对角且四个角都是直角的特殊四边形。
在正方形中，每条边的长度都相等，每个角的角度都为90度。
在解题时，需要对正方形进行多角度分析，全面掌握正方形中各种元素之间的关系。
例如，在求解正方形ABCD的内接圆半径时，需要根据正方形的边长和半径的关系分为三种情况讨论。
同时还需要考虑正方形内接圆的直径等于正方形的边长等特殊情况。
正方形的分类讨论问题02四边形特色题型的解题思路1菱形特色题型的解题思路23在菱形中，对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，通过菱形特色题型可以考察学生的几何推理和计算能力。
总结词熟练掌握菱形的性质和判定方法，根据题目要求进行合理的辅助线和计算。
解题关键在菱形ABCD中，AE垂直于BC边于E点，且BE=EC，求证：四边形ABCD是正方形。
经典例题总结词矩形是一种特殊的平行四边形，具有相等的对角和互相平行的两组对边。
通过矩形特色题型可以考察学生的几何推理和计算能力。
解题关键熟练掌握矩形的性质和判定方法，会利用矩形的各种判定方法进行证明和计算。
八年级下册四边形经典题型要点总结
八年级下册四边形经典题型要点总结work Information Technology Company.2020YEAR图13-4O DCBA 四边形经典题型1．如果一个四边形内角之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中（ ）A.有两个钝角B.有两个直角C.只有一个直角D.只有一个锐角2．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是边形（ ）A.7B.6C.5D.43．若多边形的每个内角都为150°，则从一个顶点引的对角线有（ ）A.7条B.8条C.9条D.10条 4．一个多边形的内角和是外角和的212倍,则边数是（ ）A.14B.7C.21D.105．一个多边形的每个内角都等于144°,这个多边形的边数是 （ ）A.8B.9C.10D.116．∠A 的两边分别垂直于∠B 的两边，且∠A 比∠B 大60°，则∠A 等于 （ ）A.120°B.110°C.100°D.90° 7．若等角n 边形的一个外角不大于40°，则它是边形 （ ）A.n=8B.n=9C.n ＞9D.n ≥98．每个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的32，则这个多边形是 边形． 9．两个多边形的边数之比为1∶2，内角和的度数之比为1∶3，求这两个多边形的边数． 10．已知线段AC=8，BD=6。
（1）已知线段AC 垂直于线段BD 。
设图13―1、图13―2和图13―3中的四边形ABCD的面积分别为S 1、S 2和S 3，则S 1= ，S 2= ，S 3= ；（2）如图13―4，对于线段AC 与线段BD 垂直相交（垂足O 不与点A ，C ，B ，D 重合）的任意情形，请你就四边形ABCD 面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；（3）当线段BD与AC（或CA）的延工线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A 所围成的封闭图形的面积是多少？经典1：如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.求证：∠BAE =∠DCF.经典2：如图，在□ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F.求证：OE=OF.经典3：如图，在平行四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，求证：四边形KLMN是平行四边形．经典4：已知如图：在平行四边形ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF 是否互相平分？说明理由．注意：其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。
八年级数学特殊平行四边形经典强化题型(解析版)
第一章 特殊平行四边形（强化题型）多结论问题【例1】如图，分别以直角ABC ∆的斜边AB ，直角边AC 为边向ABC ∆外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G ，EF 与AC 交于点H ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒．给出如下结论：①EF AC ⊥；②四边形ADFE 为菱形；③4AD AG =；④14FH BD =； 其中正确结论的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【解答】解：ACE ∆是等边三角形，60EAC ∴∠=︒，AE AC =，30BAC ∠=︒，90FAE ACB ∴∠=∠=︒，2AB BC =， F 为AB 的中点，2AB AF ∴=，BC AF ∴=，ABC EFA ∴∆≅∆，FE AB ∴=，30AEF BAC ∴∠=∠=︒，EF AC ∴⊥，故①正确，EF AC ⊥，90ACB ∠=︒，//HF BC ∴， F 是AB 的中点，12HF BC ∴=， 12BC AB =，AB BD =， 14HF BD ∴=，故④说法正确； AD BD =，BF AF =，90DFB ∴∠=︒，30BDF ∠=︒，90FAE BAC CAE ∠=∠+∠=︒，DFB EAF ∴∠=∠，EF AC ⊥，30AEF ∴∠=︒，BDF AEF ∴∠=∠，()DBF EFA AAS ∴∆≅∆，AE DF ∴=，FE AB =，∴四边形ADFE 为平行四边形，AE EF ≠，∴四边形ADFE 不是菱形；故②说法不正确；12AG AF ∴=， 14AG AB ∴=， AD AB =，则4AD AG =，故③说法正确，故选：C ．【变式训练1】如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①120BGD ∠=︒；②BG DG CG +=；③BDF CGB ∆≅∆；④2ABCD S AB =菱形；⑤2DE =；⑥BF BC =，正确结论的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4 【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AB BC CD AD ∴===．A BCD ∠=∠．60A ∠=︒，60BCD ∴∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，BDC ∴∆是等边三角形．60ADB ABD ∴∠=∠=︒，60CDB CBD ∴∠=∠=︒． E ，F 分别是AB ，AD 的中点，90BFD DEB ∴∠=∠=︒，30GDB GBD ∴∠=∠=︒，90GDC GBC ∴∠=∠=︒，DG BG =，360909060120BGD ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，故①正确；在CDG ∆和CBG ∆中，CD CBCG CG DG BG=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()CDG CBG SSS ∴∆≅∆，60DGC BGC ∴∠=∠=︒．30GCD ∴∠=︒，2CG GD GD GD ∴==+，CG DG BG ∴=+．故②正确．GBC ∆为直角三角形，CG BC ∴>，CG BD ∴≠，BDF ∴∆与CGB ∆不全等．故③错误；1222ADB ABCD S S AB DE ∆==⨯⋅菱形 (3)AB BE = 32ABAB =2AB =， 故④错误；3DE AB ===，2DE ∴，故⑤正确；BD BF >，BD BC =，BC BF ∴>，故⑥错误．∴正确的有：①②⑤共三个．故选：C ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ，F 分别在BC 和CD 上，下列结论：其中正确的序号是( )①CE CF =；②75AEB ∠=︒；③BE DF EF +=；④2ABCD S =正方形A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AEF ∆是等边三角形，AB AD ∴=，90B D ∠=∠=︒，AE AF =，60EAF ∠=︒，在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中AE AF AB AF =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt ADF(HL)∴∆≅∆，BE DF ∴=，BAE DAF ∠=∠，BC DC =，90BAD ∠=︒，CE CF ∴=，1(9060)152BAE DAF ∠=∠=︒-︒=︒，故①正确； 75AEB ∴∠=︒，故②正确；连接AC ，则30EAC ∠=︒，BAE EAC ∴∠≠，同理，DAF CAF ∠≠，BE DF EF ∴+≠，故③错误；2EF =，CE CF =，90FCE ∠=︒，CE CF ∴=设AB x =，则BE x =，90B ∠=︒，222(2x x ∴+-=，解得，1x =，2x =，222x ∴==即2ABCD S =正方形由上可得，正确的是①②④，故选：A ．一些常见的辅助线求线段和角度【例1】如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则(FPC ∠= )A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【解答】解：延长EF 交DC 的延长线于H 点．在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点， 80B ∴∠=︒，BE BF =．(18080)250BEF ∴∠=︒-︒÷=︒．//AB DC ，50FHC BEF ∴∠=∠=︒．又BF FC =，B FCH ∠=∠，BEF CHF ∴∆≅∆．EF FH ∴=．EP DC ⊥，90EPH ∴∠=︒．FP FH ∴=，则50FPC FHP BEF ∠=∠=∠=︒．故选：C ．【变式训练1】矩形ABCD 与CEFG 如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若2BC EF ==，1CD CE ==，则(GH = )A ．1B ．23 CD【解答】解：如图，延长GH 交AD 于点P ，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是矩形，90ADC ADG CGF ∴∠=∠=∠=︒，2AD BC ==、1GF CE ==， //AD GF ∴，GFH PAH ∴∠=∠，又H 是AF 的中点，AH FH ∴=，在APH ∆和FGH ∆中，PAH GFHAH FH AHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()APH FGH ASA ∴∆≅∆，1AP GF ∴==，12GH PH PG ==， 1PD AD AP ∴=-=，2CG =、1CD =，1DG ∴=，则1122GH PG ==， 故选：C ．【变式训练2】如图正方形ABCD 的边长为a ，P 是对角线AC 上的点，连结PB ，过点P 作PQ BP ⊥交线段CD 于点Q ．当2DQ CQ =时，BP 的长为( )A ．23aBCD 【解答】解：过P 作PE AB ⊥于E ，交CD 于F ，如图，四边形ABCD 为正方形，45PAE PCF ∴∠=∠=︒，//AB CF ，PF CF ∴⊥，PCF ∴∆为等腰直角三角形，PF CF ∴=，而CF BE =，PF BE ∴=，PB PQ ⊥，190BPE ∴∠+∠=︒，而290BPE ∠+∠=︒，12∴∠=∠，在BEP ∆和PQF ∆中，12BE PFBEP PFQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BEP PFQ ASA ∴∆≅∆，EP FQ ∴=，正方形ABCD 的边长为a ，2DQ CQ =，13CQ a ∴=， 设EP FQ x ==，则AE x =，13CF x a =+， 13AB x a x a ∴=++=， 13x a ∴=，BP ∴=． 故选：C ．动点和为定值【例1】如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为( )A ．4B ．245C ．6D ．485【解答】解：连结BP ，如图，四边形ABCD 为菱形，菱形ABCD 的周长为20，5BA BC ∴==，1122ABC ABCD S S ∆==菱形， ABC PAB PBC S S S ∆∆∆=+， ∴11551222PE PF ⨯⨯+⨯⨯=， 245PE PF ∴+=， 故选：B ．【变式训练1】如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BD ⊥于点F ．已知3AB =，4AD =，随着点P 的运动，关于PE PF +的值，下面说法正确的是( )A ．先增大，后减小B ．先减小，后增大C ．始终等于2.4D ．始终等于3【解答】解：过点A 作//AG BD ，交CD 的延长线于点G ， 过点P 作PH AG ⊥于点H ，过点A 作AQ BD ⊥于点Q ， GAD ODA ∴∠=∠在矩形ABCD 中，OAD ODA ∠=∠，//AB CD ，AB CD =，//AG BD ，ODA GAD ∴∠=∠，PE AC ⊥，PH PE ∴=，PF BD ⊥，//AG BDH ∴、P 、F 三点共线，HF AQ ∴=，3AB =，4AD =，∴由勾股定理可知：5BD =，AQ BD AB AD =，125AQ ∴=， 即125PE PF AQ +==， 故选：C ．【变式训练2】如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )A ．6B ．12C ．24D ．不能确定【解答】解：连接OP ，如图所示：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，90ABC ∠=︒， 14AOD ABCD S S ∆=矩形， 12OA OD AC ∴==， 15AB =，20BC =，25AC ∴==，1115207544AOD ABCD S S ∆==⨯⨯=矩形， 252OA OD ∴==， 111125()()7522222AOD APO DPO S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF ∆∆∆∴=+=+=+=⨯+=， 12PE PF ∴+=．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选：B ．【变式训练3】如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为对角线AC 上一点，且CE CB =，点P 为线段BE 上一动点，且PF CE ⊥于F ，PG BC ⊥于G ，则PG PF +的值为 ．【解答】解：连接CP ，BD ，交AC 于M ，四边形ABCD 为正方形，2BC =，BD AC ∴⊥，垂足为M ，BM MC ===12BCE S CE BM ∆=，12PCE S CE PF ∆=，12BCP S BC PG ∆=，12BCE PCE BCP S S S ∆∆∆=+， ∴111222CE BM CE PF BC PG =+， BC CE =，BM PF PG ∴=+，PG PF ∴+=动点最值问题【例1】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME BC ⊥于点E ，MF CD ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值为( )A ．1B ．C D【解答】解：连接MC ，如图所示：四边形ABCD 是正方形，90C ∴∠=︒，45DBC ∠=︒，ME BC ⊥于E ，MF CD ⊥于F∴四边形MECF 为矩形，EF MC ∴=，当MC BD ⊥时，MC 取得最小值，此时BCM ∆是等腰直角三角形，MC ∴==，EF ∴；故选：D ．【变式训练1】如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒且3AB =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为( )A ．125B ．52C ．3D ．4【解答】解：90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，5BC ∴==，DM AB ⊥，DN AC ⊥，90DMA DNA BAC ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形DMAN 是矩形，MN AD ∴=，∴当AD BC ⊥时，AD 的值最小，此时，ABC ∆的面积1122AB AC BC AD =⨯=⨯， 125AB AC AD BC ⨯∴==， MN ∴的最小值为125； 故选：A ．【变式训练2】如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，P 是斜边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，EF 与AP 相交于点O ，则OF 的最小值是( )A ．4.8B ．3.6C ．2.4D ．1.2 【解答】解：四边形AEPF 是矩形，EF ∴，AP 互相平分．且EF AP =，OE OF =，当AP 的值最小时，EF 的值就最小，∴当AP BC ⊥时，AP 的值最小，即OF 的值最小．1122AP BC AB AC =， AP BC AB AC ∴=．在Rt ABC ∆中，由勾股定理，得5BC =．3AB =，4AC =，534AP ∴=⨯， 125AP ∴=． 1625OF EF ∴==， 故选：D ．胡不归问题【例1】如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，60B ∠=︒，2AB =，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值( )A ．6+B ．6C 3D ．4【解答】解：过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt DFC ∆中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=， 122()2AD DC AD DC +=+ 2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，60B ADB ∠=∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，2AD BD AB ∴===，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，60B ∠=︒，2AB =，4BC ∴=，2DC ∴=，112DF DC ∴==， 213AF AD DF ∴=+=+=，2()26AD DF AF ∴+==，2AD DC ∴+的最小值为6，故选：B ．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，6AD =，4AB =，点P 是BC 边上一动点，连接PA 、PD ，则12PA PC +的最小值为 ．【解答】解：作直线CE ，使30BCE ∠=︒，作PE CE ⊥，垂足为E ，则12PE PC =， 12PA PC ∴+的最小值为PA PE +的最小值， 即P 、A 、E 三点共线时值最小，如图，APB CPE ∠=∠，30BAP PCE ∴∠=∠=︒，4AB =，tan304BP AB ∴=︒⨯=，2AP BP ==，6CP BC BP ∴=-=，∴132PE PC ==，∴33PA PE +=+ 12PA PC ∴+的最小值为3+故答案为：3+【变式训练2】如图，矩形ABCD 中，BC 1CD =，点E 是AC 上一动点，则12BE CE +的最小值为 ．【解答】解：如图，作CF 平分ACD ∠交AD 于F ，过点E 作EJ CF ⊥于J ，过点B 作BH CF ⊥于H ．四边形ABCD 是矩形，90D BCD ∴∠=∠=︒，AD BC ==2AC ∴，2AC CD ∴=，30CAD ∴∠=︒，60ACD ∠=︒ CF 平分ACD ∠，1302ACF FCD ACD ∴∠=∠=∠=︒，EJ CF ⊥，12EJ CE ∴=，12BE EC BE EJ ∴+=+，在Rt CBH ∆中，903060BCH ∠=︒-︒=︒，BC12CH BC ∴==，32BH ∴=，BE EJ BH +，1322BE EC ∴+， 12BE EC ∴+的最小值为32，故答案为：32．辅助圆【例1】如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．【解答】解：在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠， 在ABE ∆和DCF ∆中，AB CD BAD CDA AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ， 则112OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD =根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值1OD OH =-．（解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB ∆，AB 直径的半圆AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）1．【变式训练1】如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆沿MN 所在直线翻折得到△A MN '，连接A C '，则A C '长度的最小值是 ．【解答】解：如图所示：MA '是定值，A C '长度取最小值时，即A '在MC 上时， 过点M 作MF DC ⊥于点F ，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 为AD 中点，22MD AD CD ∴===，60FDM ∠=︒，30FMD ∴∠=︒，1122FD MD ∴==，cos30FM DM ∴=⨯︒=MC ∴==1A C MC MA ∴'=-'=．1．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE DF =，BE ，CF 相交于点G ，连接DG ．点E 从点C 运动到点D 的过程中，DG 的最小值为 ．【解答】解：如图，四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90BCE CDF ∠=∠=︒，CE DF =，()BCE CDF SAS ∴∆≅∆，EBC FCD ∴∠=∠，90FCD BCG ∠+∠=︒，90CBE BCG ∴∠+∠=︒，90CGB ∴∠=︒，∴点G 的运动轨迹是以BC 为直径的O ，当O ，G ，D 共线时，DG 的值最小，最小值32==，【变式训练3】如图，在矩形纸片ABCD 中，边12AB =，5AD =，点P 为DC 边上的动点（点P 不与点D ，C 重合），将纸片沿AP 折叠，则CD '的最小值为 ．【解答】解：连接AC ，当点D '在AC 上时，CD '有最小值，四边形ABCD 是矩形，12AB =，5AD =，90D B ∴∠=∠=︒，AD BC =，13AC ∴===，由折叠性质得：5AD AD '==，90AD P D '∠=∠=︒， CD '∴的最小值1358AC AD '=-=-=，故答案为：8．证明综合【例1】如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 延长线上一点，联结DE ，过点B 作BF DE ⊥，垂足为点F ，BF 与边CD 相交于点G ．（1）求证：CG CE =；（2）联结CF ，求证：45BFC ∠=︒；（3）如果正方形ABCD 的边长为2，点G 是边DC 的中点，求EF 的长．【解答】解：（1）四边形ABCD 为正方形，BC CD ∴=，BCG DCE ∠=∠，BF DE ⊥，E CBG E EDC ∴∠+∠=∠+∠，CBG EDC ∴∠=∠，在Rt BCG ∆与Rt DCE ∆中，CBG CDEBC DC GCG DCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩Rt BCG Rt DCE(ASA)∴∆≅∆，CG CE ∴=．（2）作CM CF ⊥交BF 于点M ，BCG DCE ∆≅∆，E BGC ∴∠=∠，90MCG FCG ECF FCG ∠+∠=∠+∠=︒，MCG FCE ∴∠=∠，在MCG ∆和FCE ∆中，MCG FCE CG CEMGC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()MCG FCE ASA ∴∆≅∆，MG FE ∴=，MC FC =，MCF ∴∆为等腰直角三角形，45BFC ∴∠=︒．（3）作CN BF ⊥于点N ，CNF ∴∆为等腰直角三角形，CN NF =， G 为CD 中点，正方形ABCD 的边长为2，1CG DG CE ∴===，BG DE ∴==， ∴1122BC CG BG CN ⋅=⋅，GC CG CN BG ⋅∴===， 在CNG ∆和DFG ∆中，CNG DFG NGC FGD CG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CNG DFG AAS ∴∆≅∆，DF CN ∴==EF DE DF ∴=-==． 【变式训练1】如图，正方形ABCD 中，点E 在边AB 上，连接ED ，过点D 作FD DE ⊥与BC 的延长线相交于点F ，连接EF 与边CD 相交于点G 、与对角线BD 相交于点H ．（1）若6AB =，且BD BF =，求BE 的长；（2）若221∠=∠，求证：HF HE HD =+．【解答】（1）解：四边形ABCD 是正方形，且FD DE ⊥， AD CD ∴=，90A DCB ADC ∠=∠=∠=︒，DE DF ⊥，90EDF ∴∠=︒，290EDC CDF ∴∠=︒-∠=∠，90A DCF ∠=∠=︒， 在DAE ∆和DCF ∆中，2CDF AD CDA DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， Rt DAE Rt DCF(ASA)∴∆≅∆，AE CF ∴=，6CF BF BC BD BC =-=-=，6AE ∴=，66)12BE AB AE ∴=-=-=-；（2）在HF 上取一点P ，使FP EH =，连接DP ，由（1）Rt DAE Rt DCF ∆≅∆得EDF ∆是等腰直角三角形， DE DF ∴=，45DEF DFE ∠=∠=︒，在DEH ∆和DPE ∆中，DE DF DEH DFP EH PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEH DFP SAS ∴∆≅∆，DH DP ∴=，EDH FDP ∠=∠，在DHE ∆和FHB ∆中，45DEF HBF ∠=∠=︒，EHD BHF ∠=∠（对顶角相等）， 1112(45)22EDH EDH ∴∠=∠=∠=︒-∠， 15EDH ∴∠=︒，15FDP ∠=︒，90151560HDP ∴∠=︒-︒-︒=︒，DHP ∴∆是等边三角形，HD HP ∴=，HF HP PF =+，HF HE HD ∴=+．【变式训练2】如图，在正方形ABCD中，AB ，E 为正方形ABCD 内一点，DE AB =，(090)EDC αα∠=︒<<︒，连结CE ，AE ，过点D 作DF AE ⊥，垂足为点F ，交CE 的延长线于点G ，连结AG ．（1）当20α=︒时，求DAE ∠的度数；（2）判断AEG ∆的形状，并说明理由；（3）当1GF =时，求CE 的长．【解答】解：（1）四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，AB AD =，20CDE ∠=︒，70ADE ∴∠=︒，DE AB =，DA DE ∴=，1(18070)552DAE DEA ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒．（2）结论：AEG ∆是等腰直角三角形．理由：AD DE =，DF AE ⊥，DG ∴是AE 的垂直平分线，AG GE ∴=，GAE GEA ∴∠=∠，DE DC AD ==，DAE DEA ∴∠=∠，DEC DCE ∠=∠，360DAE DEA DEC DCE ADC ∠+∠+∠+∠+∠=︒， 135DEA DEC ∴∠+∠=︒，45GEA ∴∠=︒，45GAE GEA ∴∠=∠=︒，90AGE ∴∠=︒，AEG ∴∆为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC ，四边形ABCD 是正方形，AC ∴==AEG ∆为等腰直角三角形，GF AE ⊥，1GF AF EF ∴===，AG GE ∴==222AC AG GC =+，2102(EC ∴=++，EC ∴=．【变式训练3】已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AO BO CO ==，BAC ACD ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）如果点E 在边AB 上，DE 平分ADB ∠，BD ，求证：BD AD AE =+．【解答】证明：（1）在AOB ∆和COD ∆中，BAO OCD AO COAOB COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOB COD ASA ∴∆≅∆，BO DO ∴=，AO CO =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AO BO CO ==，BO DO =，AO BO CO DO ∴===，AC BD ∴=，∴平行四边形ABCD 是矩形；（2）过点E 作EF BD ⊥于F ，如图所示：由（1）得：四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒， 2BD =，ABD ∴∆是等腰直角三角形，45ABD ∴∠=︒，EF BD ⊥，90EFB EFD ∴∠=∠=︒，BEF ∴∆是等腰直角三角形，FE FB ∴=，DE 平分ADB ∠，ADE FDE ∴∠=∠，在ADE ∆和FDE ∆中，90EAD EFD ADE FDEDE DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE FDE AAS ∴∆≅∆，AD FD ∴=，AE FE =，AE FB ∴=，BD FD FB =+，BD AD AE ∴=+．【变式训练4】如图，AC ，BD 为平行四边形ABCD 的对角线，点E是AC 上一点，点F 在BE 延长线上，且EF BE =，EF 与CD 交于点G ，连结DF ．（1）求证：//DF AC ．（2）连结DE ，CF ，若AB BF ⊥，且G 恰好是CD 的中点，求证：四边形CFDE 是菱形．（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE 是正方形，且2AB =，求BC 的长．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， OB OD ∴=，EF BE =，OE ∴是BDF ∆的中位线，//DF AC ∴；（2）证明：由（1）得：//DF AC ，FDG ECG ∴∠=∠， G 是CD 的中点，DG CG ∴=，在DFG ∆和CEG ∆中，FDG ECGDG CG DGF CGE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()DFG CEG ASA ∴∆≅∆，FG EG ∴=，∴四边形CFDE 是平行四边形，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB BF ⊥，CD BF ∴⊥，∴平行四边形CFDE 是菱形；（3）解：四边形CFDE 是正方形，2EF CD AB ∴===，EF CD ⊥，112CG DG EG FG EF ∴=====， 2BE EF ==，3BG BE EG ∴=+=，在Rt BCG ∆中，由勾股定理得：BC ．45°角模型【例1】如图，已知正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，45MAN ∠=︒．（1）求证：MN BM DN =+；（2）当6AB =，5MN =时，求CMN ∆的面积．【解答】解：（1）延长CB 到G ，使BG DN =，在ADN ∆和ABG ∆中，AD AB ADN ABG DN BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADN ABG SAS ∴∆≅∆，AN AG ∴=，45MAN ∠=︒，45MAB NAD MAB BAG ∴∠+∠=∠+∠=︒，在MAN ∆和MAG ∆中，AN AG MAG MAN AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAN MAG SAS ∴∆≅∆，MN MG MB BG MB DN ∴==+=+；（2）由（1）得，165152AMN AMG S S ∆∆==⨯⨯=， AMN ABM ABG S S S ∆∆∆=+，15AMN ABM ADN S S S ∆∆∆∴=+=，236306CMN AMN ABCD S S S ∆∆∴=-=-=正方形．【变式训练1】正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且45EDF ∠=︒． （1）求证：EF AE CF =+；（2）当1AE =时，求EF 的长．【解答】解：（1）证明：延长BC 至H ，使CH AE =，连接DH ，如图，四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90A DCE ∠=∠=︒．()DAE DCH SAS ∴∆≅∆．DE DH ∴=，ADE CDH ∠=∠．90ADC ∠=︒，45EDF ∠=︒，45ADE FDC ∴∠+∠=︒．45FDC CDH ∴∠+∠=︒．即45FDH ∠=︒．45EDF FDH ∴∠=∠=︒．在EDF ∆和HDF ∆中，DE DHEDF HDF DF DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()EDF HDF SAS ∴∆≅∆．EF FH ∴=．FH FC CH FC AE =+=+，EF AE FC ∴=+．（2）设EF x =，则FH x =．正方形ABCD 的边长为3，3AB BC ∴==．1AE =，2BE ∴=，1CH =．1FC x ∴=-．3(1)4BF BC CF x x ∴=-=--=-．在Rt BEF ∆中，222BE BF EF +=，2222(4)x x ∴+-=． 解得：52x =．52EF ∴=．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，点F 在边BC 上，且BAE AEF ∠=∠．（1）求证：45FAE ∠=︒；（2）求BFCF 的值．【解答】（1）证明：如图，过点A 作AH EF ⊥于点H ，90AHE AHF ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，90B BAD D C ∴∠=∠=∠=∠=︒，AB AD =，//AB CD ，BAE AED ∴∠=∠，BAE AEF ∠=∠．AED AEF ∴∠=∠．在ADE ∆和AHE ∆中，D AHE AED AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS ∴∆≅∆，AD AH ∴=，12∠=∠，在Rt ABF ∆和Rt AHF ∆中，AF AF AB AH =⎧⎨=⎩， Rt ABF Rt AHF(HL)∴∆≅∆，34∴∠=∠，1112345222FAE DAH BAH DAB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）解：设正方形ABCD 的边长为2a ，BF x =，12CE DE CD a ∴===，2CF BC BF a x =-=-， 由（1）知：ADE AHE ∆≅∆，Rt ABF Rt AHF ∆≅∆，HE DE ∴=，HF BF =，EF HE HF DE BF a x ∴=+=+=+，在Rt CEF ∆中，根据勾股定理，得222CE CF EF +=，222(2)()a a x a x ∴+-=+， 解得23x a =， 23BF x a ∴==，423CF a x a =-=， ∴213423a BF CF a ==． 【变式训练3】正方形ABCD 的边长为6，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且45EDF ∠=︒，将DAE ∆绕点D 逆时针旋转90︒，得到DCM ∆．（1）求证：EF CF AE =+；（2）当2AE =时，求EF 的长．【解答】（1）证明：DAE ∆逆时针旋转90︒得到DCM ∆，180FCM FCD DCM ∴∠=∠+∠=︒，AE CM =，F ∴、C 、M 三点共线，DE DM ∴=，90EDM ∠=︒，90EDF FDM ∴∠+∠=︒，45EDF ∠=︒，45FDM EDF ∴∠=∠=︒，在DEF∆和DMF∆中，DE DMEDF MDFDF DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF DMF SAS∴∆≅∆，EF MF∴=，EF CF AE∴=+；（2）解：设EF MF x==，2AE CM==，且6BC=，628BM BC CM∴=+=+=，8BF BM MF BM EF x∴=-=-=-，624EB AB AE=-=-=，在Rt EBF∆中，由勾股定理得222EB BF EF+=，即2224(8)x x+-=，解得：5x=，则5EF=．非坐标系下的动点问题【例1】在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为(0)t t>．（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM EM=时，求此时t的值；（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t 的值．【解答】解：（1）连接AM ，如图，正方形AEFG ，矩形ABCD ，90AEM ADM ABE ∴∠=∠=∠=︒，4AD BC ==， 在Rt AEM ∆和Rt ADM ∆中，EM DM AM AM =⎧⎨=⎩， Rt AEM Rt ADM(HL)∴∆≅∆，4AE AD ∴==，在Rt ABE ∆中，BE动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度，∴t =（2）分四种情况，1︒当点F 在CD 上时，如图，矩形ABCD ，90ABE ECF ∴∠=∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，90FEC EFC ∠+∠=︒， 正方形AEFG ，90AEF ∴∠=︒，AE EF =，90FEC AEB ∴∠+∠=︒，BAE FEC ∴∠=∠，AEB EFC ∠=∠，在BAE ∆和CEF ∆中，BAE CEFAE EF AEB EFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAE CEF ASA ∴∆≅∆，3AB EC ∴==，431BE BC CE ∴=-=-=，动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度，1t ∴=；2︒当点F 落在AD 上时，如图，AF 时正方形AEFG 的对角线，45EAF ∴∠=︒，矩形ABCD ，90B BAD ∴∠=∠=︒，45BAE AEB ∴∠=︒=∠，3BE AB ∴==，动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度，3t ∴=；3︒当点F 落在AC 上时，过点F 作FM BC ⊥交BC 于点M ，如图，正方形AEFG ，AE EF ∴=，90AEF ∠=︒，90AEB FEM ∴∠+∠=︒，矩形ABCD ，90ABE ∴∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，BAE FEM ∴∠=∠，在BAE ∆和MEF ∆中，90ABE EMF BAE MEFAE EF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BAE MEF AAS ∴∆≅∆，FM BE ∴=，3EM AB ==，设FM BE x ==，则431MC x x =--=-，FCM ACM ∠=∠，FMC ABC ∠=∠，~FMC ABC ∴∆∆， ∴FM MC AB BC=， ∴134x x -=， 解得：37x =， 即37FM BE ==， 动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度， ∴37t =； 4︒当点F 落在BD 上时，过点F 作FM BC ⊥交BC 于点M ，如图，正方形AEFG ，AE EF ∴=，90AEF ∠=︒，90AEB FEM ∴∠+∠=︒，矩形ABCD ，90ABE ∴∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，BAE FEM ∴∠=∠，在BAE ∆和MEF ∆中，90ABE EMF BAE MEFAE EF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BAE MEF AAS ∴∆≅∆，FM BE ∴=，3EM AB ==，设CE a =，，则4FM BE a ==+，7BM a =+，DBC FBM ∠=∠，90FMB BCD ∠=∠=︒，~FBM DBC ∴∆∆， ∴BC CD BM FM=， ∴4374a a =++ 解得5a =，49BE a ∴=+=，动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度，9t ∴=；故所有符合条件的t 的值1t =或3t =或9t =或37t =． 【变式训练1】如图，在正方形ABCD 中，5AB cm =，E 为对角线BD 上一动点，连接AE 、CE ，过E 点作EF AE ⊥，交直线BC 于点F ，E 点从B 点出发，沿BD 方向以每秒1cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止．设BEF ∆的面积为2ycm ，E 点的运动时间为x 秒．（1）点E 在整个运动过程中，试说明总有：CE EF =；（2）求y 与x 之间关系的表达式，并写出x 的取值范围．【解答】证明：（1）如图1，过E 作//MN AB ，交AD 于M ，交BC 于N ，四边形ABCD是正方形，∴，AB ADAD BC//⊥，⊥，∴⊥，MN BCMN ADAME FNE NFE FEN∴∠=∠=︒=∠+∠，90⊥，AE EF∴∠=∠+∠=︒，90AEF AEM FEN∴∠=∠，AEM NFE∠=︒，∠=︒，90BNE45DBC∴==，BN EN AM∴∆≅∆，AEM EFN AAS()∴=，AE EF四边形ABCD是正方形，∴=，ADE CDE∠=∠，AD CD=，DE DE∴∆≅∆，()ADE CDE SAS∴=，AE CE∴=；CE EF∆中，由勾股定理得：BD==（2）在Rt BCD∴，052x=，由题意得：BE x∴=，BN EN==，由（1）知：AE EF EC分两种情况：①当5202x 时，如图1， 5AB MN ==，5ME FN x ∴==，55BF FN BN ∴=-==， 2112521(52)22242y BF EN x x x x ∴==-=-； ②52x <时，如图2，过E 作EN BC ⊥于N ， ENBN ∴=，5FN CN ∴==， 252(5)5BF BC CN ∴=-=--=-， 211215(25)22224y BF ENx x x x ∴==-=-；综上，y 与x 之间关系的函数表达式为：22152(0)221(52)242x x y x x x -=⎨⎪-<⎪⎩．坐标系中的动点问题【例1】已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，(5,2)B ，点D 是OA 中点，点P 在BC 上以每秒2个单位的速度由C 向B 运动，设动点P 的运动时间为t 秒．（1）t 为何值时，四边形PODB 是平行四边形？（2）在直线CB 上是否存在一点Q ，使得O 、D 、Q 、P 四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t 的值，并求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）四边形OABC 为矩形，(5,2)B ，5BC OA ∴==，2AB OC ==，点D 时OA 的中点，12.52OD OA ∴==，由运动知，2PC t =，52BP BC PC t ∴=-=-，四边形PODB 是平行四边形，2.5PB OD ∴==，52 2.5t ∴-=，1.25t ∴=；（2）①当Q 点在P 的右边时，如图，四边形ODQP 为菱形，2.5OD OP PQ ∴===，在Rt OPC ∆中，由勾股定理得： 1.5PC =，2 1.5t ∴=；0.75t ∴=，(4,2)Q ∴；②当Q 点在P 的左边且在BC 线段上时，如图，t=，同①的方法得出2∴，(1.5,2)Q③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图，t=，同①的方法得出，0.5∴-；( 1.5,2)Q【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为1，边AO，CO分别在坐标轴的正半轴上，连接OB，以点O为圆心，对角线OB为半径画弧交x轴的正半轴于点D．（1）填空：线段OB的长为，点D的坐标为；'='时，求点D'的坐标；（2）将线段AD向左平移到A D''位置，当OA AD（3）在（2）的条件下，求点D'到直线OB的距离．【解答】解：（1）四边形OABC是正方形，且边长为1，∴==，1OA AB根据勾股定理得，OB，∴=ODD ∴0)，0)；（2）线段AD 向左平移到A D ''，AD A D ∴=''，OA AD '='，11()22OD OA A D OA A D AD AD OD ''∴'=+''=+''+'+==D ∴，0)， （3）设点D '到直线OB 的距离为h ， 则1122OBD S OB h OD BA ∆'=⋅='⋅，12=， ∴点D '到直线OB 的距离为12h =．【变式训练2】对于长方形OABC ，//AB OC ，//AO BC ，O 为平面直角坐标系的原点，5OA =，3OC =，点B 在第三象限．（1）直接写出点B 的坐标( ， )；（2）如图1，点Q 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O A B C O ----的路线移动，①当点Q 移动了3秒时，直写出此时点Q 的坐标( ， )；②当点Q 到y 轴距离为4个单长度时，求出点Q 移动的时间．（3）如图1，若过点B 的直线BP 与长方形OABC 的边交于点P ，且将长方形OABC 的面积分为1:4两部分，求点P 的坐标；（4）如图2，M 为x 轴负半轴上一点，且CBM CMB ∠=∠，点N 是x 轴正半轴上一动点，MCN ∠的平分线CD 交BM 的延长线于点D ，在点N 运动的过程中，D CNM∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【解答】解：（1）在长方形OABC 中，5OA =，3OC =，3AB OC ∴==，5BC OA ==， 90OAB OCB ∠=∠=︒，点B 在第三象限，(5,3)B ∴--，故答案为：(5,3)--；（2）①点Q 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O A B C O ----的路线移动， 当点Q 移动了3秒时，Q 运动了6个单位，此时Q 在AB 上，5OA =，651QA ∴=-=，(5,1)Q ∴--；故答案为：(5,1)Q --； ②点Q 到y 轴距离为4个单长度，∴点Q 在OA 或BC 上，当Q 在OA 上时，4QO =，此时2t =（秒)，当Q 在BC 上时，此时Q 运动了55349++-=个单位，92 4.5t =÷=（秒)，（3）1︒当点P 在OA 上时，设(P x ，0)(0)x <，:1:4ABP BCOP S S ∆=四边形，15ABP OABC S S ∆∴=矩形， 即113(5)5325x ⨯+=⨯⨯， 解得x 3=-，(3,0)P ∴-；2︒当点P 在OC 上时，设(0P ，)(0)y y <，:1:4CBP BPOA S S ∆=四边形，15CBP OABC S S ∆∴=矩形， 即115(3)5325y ⨯+=⨯⨯， 解得y 95=-， 9(0,)5P ∴-， 综上所述，P 点坐标为(3,0)-或9(0,)5-； （4）D CNM∠∠的值不会变化，理由如下： 延长BC 至点F ，如图，四边形OABC 为长方形，//OA BC ∴，CBM AMB ∴∠=∠，AMC MCF ∠=∠，CBM CMB ∠=∠，2MCF CMB ∴∠=∠，过点M 作//ME CD 交BC 于点E ，EMC MCD ∴∠=∠，D BME ∠=∠，又CD 平分MCN ∠，2NCM EMC ∴∠=∠，D BME CMB EMC ∴∠=∠=∠-∠，222CNM NCF MCF NCM BMC DCM D ∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴12D CNM ∠=∠．。
专题30 四边形的判定与性质综合大题专项训练(30道)
专题5.4 四边形的判定与性质综合大题专项训练（30道）【浙教版】1．（2021秋•九江期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF ＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．2．（2021秋•崂山区期末）如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．（1）延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AFCG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．3．（2021秋•渝中区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．4．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．5．（2021秋•莱芜区期末）点E是▱ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．6．（2021秋•市南区期末）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．（1）求证：AF＝CG；（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？7．（2021秋•砚山县期末）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE ⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，∠ECA＝60°．（1）求证：四边形CEHF是菱形；（2）已知四边形CEHF的周长为16cm，求菱形ABCD的面积．8．（2021秋•寿光市期末）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（I）求证：DF∥AC；（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．9．（2021秋•成都期末）如图，在四边形ABCD中AD∥CB，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证；四边形ANCM为平行四边形；（2）当MN平分∠AMC时，①求证；四边形ANCM为菱形；②当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4√5，求DM的长．10．（2021秋•南岗区期末）已知：在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．11．（2021秋•和平县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：CF＝AE；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．12．（2021秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）13．（2021秋•法库县期末）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF 的值．14．（2021秋•兰州期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A 作∠GAB＝∠F AD，且点G为边CB延长线上一点．①△GAB≌△F AD吗？说明理由．②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．15．（2020秋•安丘市期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC 的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AM＝3，DN＝4，求四边形DEMN的面积．16．（2020秋•市南区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，G、H分别为DE、BF的中点．（1）试判断四边形EHFG的形状，并证明；（2）若∠ABC＝90°，试判断四边形EHFG的形状并加以证明．17．（2020秋•沈北新区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接AE、CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为8，∠BCD＝60°，则AE＝．18．（2021春•冠县期末）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．（1）求证：EO＝OF；（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由19．（2021•长兴县模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．（1）求证：∠OBE=12∠ADO；（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，①求证：△EFG是等腰三角形；②当EF⊥EG时，求▱ABCD 的面积．20．（2021春•富平县期末）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；②求证：CD＝CH．21．（2021春•临沧期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE=12AC，连接EC．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝6，AB＝5，求BF的长．22．（2021春•淮阳区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，M，N是对角线BD上的点，且BM＝DN，DE平分∠ADB交AB于点E，BF平分∠DBC交CD于点F．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；（2）当四边形EMFN是菱形时，求证：四边形BEDF是菱形．23．（2021春•肥东县期末）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝14，∠BAD的平分线交BC于点E交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作▱ECFG．（1）求EC的长；24．（2021春•大连期末）如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点E在BC的延长线上，且CE＜BC，连接BG并延长交DE于H．（1）写出BH与DE的位置关系，并证明；（2）求证：∠BHC＝45°．25．（2021春•法库县期末）如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，点F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．（1）若BG＝1，BC=√5，求EF的长度；（2）求证：△BCG≌△EAG；（3）直接写出三条线段CD，CE，BE之间的数量关系．26．（2021春•迁安市期末）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC 的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若四边形GEHF是菱形．①线段AB和BD有何位置关系？请说明理由．②若AB＝2，BD＝2AB时，求四边形GEHF的面积．27．（2021春•上城区校级期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．28．（2021春•酒泉期末）（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD 于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论．29．（2021春•鞍山期末）如图，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN；（1）则DN与CM的数量关系是，位置关系是．（2）若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；（3）延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，试求PM的长．30．（2021春•修水县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．（1）若DE=12OD，BF=12OB，①求证：四边形AFCE为平行四边形；②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．（2）若DE=13OD，BF=13OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DE=1n OD，BF=1n OB呢？请直接写出结论．。
四边形特色题型专题特殊四边形中的分类讨论问题作业ppt
03
定义
有一组邻边相等的平行四 边形是菱形。
性质
菱形的四条边都相等，对 角线互相垂直平分。
判定
有一组邻边相等的平行四 边形是菱形。
梯形
定义
一组对边平行且不相等的 四边形是梯形。
性质
梯形的两条平行边长度相 等，另一组对边不相等， 对角线不相等。
判定
一组对边平行且不相等的 四边形是梯形。
02
四边形问题的解题思路
详细描述
在矩形中，如果已知一边长和其对角线长，可以通过勾股定 理求出其他边长。如果已知两边的长，则可以根据勾股定理 求出其对角线长。
对角线问题
总结词
矩形的对角线互相平分，因此可以利用对角线之间的关系求解问题。
详细描述
在矩形中，如果已知对角线的长度，则可以根据勾股定理求出相邻两边长度的平 方和，进而求出相邻两边长度。如果已知两对角线的长度，则可以根据勾股定理 求出两相邻边长度的平方和，进而求出两相邻边长度。
对角线问题
总结词
对角线互相垂直平分，倍长对角线
详细描述
菱形的对角线互相垂直平分，因此可以通过对角线的长度计算出菱形的边长 。同时，如果知道菱形的一条对角线的长度，那么另一条对角线的长度也可 以通过计算得出。
角度问题
总结词
内角和为360°，角度变化
详细描述
菱形的内角和为360°，因此可以通过已知的角度计算出其他角度。同时，如果知 道菱形的一个内角的度数，那么其他内角的度数也可以计算出来。
菱形的判定
一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相 垂直的平行四边形是菱形。
矩形的判定
一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等 的平行四边形是矩形。
正方形的判定
2024中考备考数学重难点03 平行四边形与特殊平行四边形8大题型+满分技巧+限时分层检测
重难点03 平行四边形与特殊平行四边形中考数学中《平行四边形、矩形、菱形》部分主要考向分为五类：一、多边形内角和（每年1道，3~4分）二、平行四边形的性质与判定（每年1道，3~8分）三、矩形的性质与判定（每年1~2题，3~12分）四、菱形的性质与判定（每年1~2题，3~12分）五、正方形的性质（每年1道，3~12分）平行四边形和特殊平行四边形在中考数学中是占比比较大的一块考点，考察内容主要有各个特殊四边形的性质、判定、以及其应用；考察题型上从选择到填空再都解答题都有，题型变化也比较多样；并且考察难度也都是中等和中等偏上，难度较大，综合性比较强。
所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准确掌握其性质与判定，并且会在不同的结合问题上注意和其他考点的融合。
考向一：多边形内角和【题型1 多边形的内角和的计算】满分技巧多边形内角和公式：()()31802≥︒⨯-nn任意多边形的外角和为360°正多边形的一个内角：()nnn︒-︒︒⨯-360180/18021．（2023•北京）正十二边形的外角和为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°2．（2023•襄阳）五边形的外角和等于（）A．180°B．360°C．540°D．720°3．（2023•重庆）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为．4．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是边形．考向二：平行四边形的性质与判定【题型2 平行四边形的性质】满分技巧1.平行四边形的性质可以从三个方面记，①边：对边平行且相等；②角：对角相等，邻角互补；③对角线：对角线互相平分；2.平行四边形的问题经常转化为全等三角形的判定与性质类问题来解决。
1．（2023•益阳）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（）A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC2．（2023•海南）如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（）A．6B．4C．D．3．（2023•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（）A．1B．2C．3D．44．（2023•福建）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为．5．（2023•聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为．6．（2023•哈尔滨）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．（1）如图①，求证△AED≌△EFB；（2）如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．【题型3 平行四边形的判定和性质的综合】满分技巧1、平行四边形的判定也可以从三个方面记，①边：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；②角：两组对角分别相等；③对角线：对角线互相平分；2、平行四边形的判定和性质经常综合在一起考，即先考判定一个四边形是平行四边，然后再利用平行四边形的性质去解剩余的问题。
(完整版)四边形题型归纳,推荐文档
AB=cm,AD=24，BC=26，∠
的速度运动，动点3的速度向点
发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，）=
）当为何值时，四边形
，是否存在值使△CDQ为等要三角形，若存在请直接写出的值
36;
，，，则点就是四边形的准内点．
与的角平分线相交于点．
求证：点是四边形的准内点．
③若是任意凸四边形的准内点，则
AF，
4
）=6
t=
CE=BC-AD=2．3一（一）∴=7
(4) =2,,
t,
＝BD∥BD
＝BD∥BD
，过点作，∵平分，∴
．
∴是四边形的准内点．
平行四边形对角线的交点就是准内点，如图
或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图
梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点．如图△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：。
四边形经典题型整理
精心整理四边形经典题型1、下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（?? ）A、一组对边相等B、一组对角相等C、两条对角线相等D、两条对角线互相平分2、Rt △EF题图A3∠AFCA4长为（?? ）图步骤折叠纸片，则线段A 、B 、C 、D 、5、（2017·嘉兴）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（??）A个单位，C6A 27A8BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（?? ）8题图9题图A、6B、12C、20D、249、能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（? ）A、AD=BC，AB∥CDB、∠A=∠B，∠C=∠DC、AB=BC，AD=DCD、AB∥CD，CD=AB10、已知四边形ABCD，下列说法正确的是（? ）A、当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B、当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形CD1114题图15AD12AB 上，N 分别是DG、CE的中点，则MN的长为?? （? ?????）A、3B、C、D、413、（2017·台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为（??? ）A、B、2 C、D、414、（2017·衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC 沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（?????? ）A、?B、C、D、15、如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD1816为19题图17、（2017?宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则cos∠EFG的值为________．18、（2017·台州）如图，有一个不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是________19、（2017·金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入2CDE 20是线段上一点交．(1)重合时，求证：四边形是平行四边形；(2)不与重合时，（.(3)交于点，若，时，求的长．21如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)，求AE22接AF，BF=n.(1)(2)(3). 23D.?(1)若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标.(2)若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标.(3)若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM24(1)①若②若(2)是等腰直角四边形.求AE的长.25、（2017·衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连结OB，D为OB的中点。
初中数学经典四边形习题50道(附答案)
1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E_ D_ C_B _ C_ A _ B_ A_ B_ E _A_ B若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。
11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED 。
特殊四边形经典例题(有详细讲解)
特殊四边形经典例题1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（2012•）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3均在x轴正半轴上．若已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，且B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）4．下列命题中正确的是（）A．对角线相互垂直的平行四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．对角线相等的梯形是等腰梯形D．对角线相等的四边形是平行四边形5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系为（）A．m1＞m2B．m1＜m2C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②④D．①③④8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________．10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．11．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．探究：（1）两边分别是2和3的矩形是_________阶矩形；（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．（3）操作、计算：①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．12．（2009•）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC 交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．13．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的部或边CD上，设AF=x（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．答案详解1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形解答：故选C．2．（2012•）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解答：解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B．3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3均在x轴正半轴上．若已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，且B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，然后解直角三角形求出OC1、C1E、E1E2、E2C2、C2E3、E3E4、E4C3，再求出B3C3，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，先求出A3M，再解直角三角形求出A3N、C3N，然后求出ON，再根据点A3在第一象限写出坐标即可．解答：解：如图，∵B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∴OC1=×1=，C1E1=×1=，E1E2=×1=，E2C2=×=，C2E3=E2B2=，E3E4=×=，E4C3=×=，∴B3C3=2E4C3=2×=，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，则A3M=+×=，A3N=×=，C3M=×=，∴C3N=（××2）﹣=，ON=+++++++，=+，∵点A3在第一象限，∴点A3的坐标是（+，）．故选C．点评：本题考查了正方形的四条边都相等性质，解含30°角的直角三角形，依次求出x轴上各线段的长度是解题的关键，难点在于过点A3作辅助线构造出含60°角的直角三角形．4．下列命题中正确的是（）A．对角线相互垂直的平行四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．对角线相等的梯形是等腰梯形D．对角线相等的四边形是平行四边形考点：命题与定理．分析：根据矩形、菱形、等腰梯形、平行四边形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；C、对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，故本选项正确；D、对角线相等的四边形形状不确定，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF 于点M，N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S ．平行四边形ABCD其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线定理、相似三角形的对应边成比例得出CN=MN，BM=DN=2NF；由S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，易证得S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，且AD∥BC AB∥CD，∴∠BAM=∠DCN，∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AMB=∠EMN=∠FNM=∠CND，在△ABM≌△CDN，，∴△ABM≌△CDN（AAS），故①正确；∴AM=CN，BM=DN，∠AMB=∠DNC=∠FNA，∴NF∥BM，∵F为BC的中点，∴NF为三角形BCM的中位线，∴BM=DN=2NF，CN=MN=AM，∴AM=AC，DN=2NF，故②③正确；∵S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，∴S=S平行四边形ABCD．故④正确；综上所述，正确的结论是：①②③④，共四边形BFNM有4个．故选D．点评：本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意，三角形中位线定理的应用．6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系为（）A．m1＞m2B．m1＜m2C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定考点：正方形的性质；等腰直角三角形；矩形的性质．分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，然后求出MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，再设正方形的边长为a，然后用a表示出m1，m2，进行判断即可．解答：解：∵点E、N是正方形ABCD对角线BD上两动点，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，∵四边形EFCH和四边形MNQP是矩形，∴△BMN，△PQD，△BEF，△DEH是等腰直角三角形，∴MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，设正方形的边长为a，则BD=a，所以m1=EF+FC+CH+EH=BE+FC+CH+DH=BC+CD=2a，m2=MN+NQ+PQ+PM=BN+NQ+QD+PM=BD+PM=a+PM，∵PM的长度无法确定，∴2a 与a+PM的大小无法确定，∴m1，m2的大小不确定．故选D．点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，用正方形ABCD的边长表示出m1，m2是解题的关键．7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②④D．①③④考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定．分析：根据折叠可得EF是AD的垂直平分线，再加上条件AD是三角形纸片ABC的高可以证明EF∥BC，进而可得△AEF∽△ABC，从而得到===，进而得到EF是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF的周长是△ABC的一半，进而得到△DEF的周长等于△ABC周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形则AE=AF，即可得到AB=AC．解答：解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=AD，AD⊥EF，∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴===，∴EF是△ABC的中位线，故①正确；∵EF是△ABC 的中位线，∴△AEF的周长是△ABC的一半，根据折叠可得△AEF≌△DEF，∴△DEF的周长等于△ABC周长的一半，故②正确；∵EF是△ABC的中位线，∴AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形，则AE=AF，∴AB=AC，故③正确；根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED和∠AFD的度数，故④错误；故选：A．点评：此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=．考点：反比例函数综合题．专题：规律型．分析：由OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…B n点的坐标为（n，y n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S n 的值，故可得出结论．解答：解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n），∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴y1=1，y2=，y3=…y n=，∴S1=×1×（y1﹣y2）=×1×（1﹣）=（1﹣）；S2=×1×（y2﹣y3）=×（﹣）；S3=×1×（y3﹣y4）=×（﹣）；…S n=（﹣），∴S1+S2+S3+…+S n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=．故答案为：．点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：规律型．分析：过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A1B1于点N，由三角形OAB与三角形OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．解答：解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长为：．故答案为：．点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=18，S△AEG=18．考点：正方形的性质．分析：求出BC，CG，根据三角形面积公式和矩形的面积公式求出即可．解答：解：∵BG=10，BC：CG=2：3，∴BC=4，CG=6，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，∴BC=AB=4，FG=EF=CG=6，延长FE和BA交于N，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，∴∠NED=∠EDA=∠DAN=90°，∴四边形BNFG是矩形，∴EN=BC=4，NF=BG=10，BN=CF=6，∴S△ECG=×CG×FG=×6×6=18，S△AEG=S矩形NBGF﹣S△ABG﹣S△EFG﹣S△ANE=10×6﹣×4×10﹣×6×6﹣×（6﹣4）×4=18，故答案为：18，18．点评：本题考查了正方形性质，矩形性质，三角形面积的应用，主要考查学生的计算能力．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．考点：四边形综合题．分析：（1）首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，进而解方程得出即可；（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP 时，四边形PDBQ是平行四边形；（3）利用（2）中所求，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ 不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．解答：解：（1）∵直线PD⊥AC，∴BC∥PD，∴四边形BQPD的面积为：（BQ+DP）×PC=（8﹣2t+t）×（6﹣t）△ABC面积为：×AC×BC=×6×8=24，∴四边形BQPD的面积为△ABC面积的时：×24=（8﹣t）×（6﹣t），解得：t1=9+3，t2=9﹣3，∵当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，∴t≤4，∴t1=9+3不合题意舍去，∴当t为9﹣3时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的；（2）存在，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴=，即=，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．存在t=时，使四边形PDBQ为平行四边形；（3）不存在，理由：当t=时，PD=×=，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=当PD=BQ，t=时，即t=8﹣v，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．此题综合性很强难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．12．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．探究：（1）两边分别是2和3的矩形是2阶矩形；（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．（3）操作、计算：①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．考点：四边形综合题．分析：（1）通过操作画图可以得出第一次应该减去是一个边长为2的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形，故得出结论2阶矩形；（2）由折纸可以得出AB=BF，AE=FE，从而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，∠BFE=∠A=90°，就有四边形ABFE是矩形，就有矩形ABFE为正方形；（3）①由n阶矩形的意义通过画图就可以求出a的值；②先由条件可以表示出a=21m，然后通过操作画出图形就可以求出结论．解答：解：（1）由题意，得，第一次操作应该减去一个边长为2的正方形，∴就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形．∴共操作2次．∴这个矩形是2阶矩形．故答案为：2；（2）∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，∴△AEB≌△FEB，∴AE=FE，∠BFE=∠A．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABF=90°，∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE为矩形．∵AE=FE，∴矩形ABFE为正方形；（3）①由题意，得如图1，∴a的值=8，∴a的值=5，同理可得出：a=或，∴a的值为8或5或或；②由题意，得∵a=5b+m，b=4m，∴a=21m，如图∴是8阶矩形．点评：本题考查了矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键．13．（2009•）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：（1）可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解．（2）①△PMN的形状不会变化，可通过做EG⊥BC于G，不难得出PM=EG，这样就能在三角形BEG中求出EG的值，也就求出了PM的值，如果做PH⊥MN于H，PH是三角形PMH和PHN的公共边，在直角三角形PHM中，有PM的值，∠PMN的度数也不难求出，那么就能求出MH和PH的值，也就求出HN和PN的值了，有了PN，PM，MN的值，就能求出三角形MPN的周长了．②本题分两种情况进行讨论：1、N在CD的DF段时，PM=PN．这种情况同①的计算方法．2、N在CD的CF段时，又分两种情况进行讨论MP=MN时，MC=MN=MP，这样有了MC的值，x也就能求出来了NP=NM时，我们不难得出∠PMN=120°，又因为∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180度．这样点P与F就重合了，△PMC即这是个直角三角形，然后根据三角函数求出MC的值，然后就能求出x了．综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了．（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．∵E为AB的中点，∴BE=AB=2在Rt△EBG 解答：解：中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．∴BG=BE=1，EG=即点E到BC的距离为（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．∵PM⊥EF，EG⊥EF，∴PM∥EG，又EF∥BC，∴四边形EPMG为矩形，∴EP=GM，PM=EG=同理MN=AB=4．如图2，过点P作PH⊥MN于H，∵MN∥AB，∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，∴∠PMH=∠PMC﹣∠NMC=30°．∴PH=PM=∴MH=PM•cos30°=则NH=MN﹣MH=4﹣在Rt△PNH中，PN=∴△PMN的周长=PM+PN+MN=②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．类似①，PM=，∠PMR=30°，MR=PMcos30°=×=，∴MN=2MR=3．∵△MNC是等边三角形，∴MC=MN=3．此时，x=EP=GM=BC﹣BG﹣MC=6﹣1﹣3=2．当MP=MN时，∵EG=，∴MP=MN=，∵∠B=∠C=60°，∴△MNC是等边三角形，∴MC=MN=MP=（如图4），此时，x=EP=GM=6﹣1﹣，当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，∴∠PNM+∠MNC=180度．因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．∴MC=PM•tan30°=1．此时，x=EP=GM=6﹣1﹣1=4．综上所述，当x=2或4或（5﹣）时，△PMN为等腰三角形．点评：本题综合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点的应用．14．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的部或边CD上，设AF=x（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）过点D作DM⊥BC于M，可得四边形ABMD是矩形，根据矩形的对边相等求出DM=AB，BM=AD，然后求出CM，判断出△CDM的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；（2）根据正方形的四条边都相等可得EF=EH，根据同角的余角相等求出∠AEF=∠BHE，然后利用“角角边”证明△AEF和△BHE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，再根据AB=AE+BE代入数据进行计算即可得解；（3）过点G作GP⊥BC于P，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得∠AEF=∠PGH，根据菱形的四条边都相等可得EF=GH，然后利用“角角边”证明△AEF 和△PGH全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AE，HP=AF，然后表示出CP、BH，在Rt△AEF和Rt△BEH中，利用勾股定理列式表示出EF2和EH2，然后列出方程求解即可．解答：解：（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，∵AD∥BC，AB⊥CB，∴四边形ABMD 是矩形，∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，∴CM=BC﹣BM=14﹣8=6cm，∴DM=CM，∴△CDM是等腰直角三角形，CD=CM=6cm，∠DCB=45°；（2）∵四边形EFGH为正方形，∴EF=EH，∠FEH=90°，∴∠AEF+∠BEH=90°，∵AB⊥CB，∴∠BEH+∠BHE=90°，∴∠AEF=∠BHE，在△AEF和△BHE中，，∴△AEF≌△BHE （AAS），∴BE=AF=x，∵AB=AE+BE=6cm，∴2+x=6，解得x=4cm；（3）如图，过点G作GP⊥BC于P，在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，∵AD∥BC，∴∠AEF=∠PGH，在△AEF和△PGH中，，∴△AEF≌△PGH（AAS），∴PG=AE=2，HP=AF=x，∵∠C=45°，∴CP=PG=2，BH=14﹣x﹣2=12﹣x，在Rt△AEF 中，EF2=AE2+AF2=22+x2，在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，∵EF=EH，∴22+x2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，解得x=6.5．点评：本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，关键在于作出合适的辅助线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．。