电磁场的矢势和标势
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电磁场的矢势和标势
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
电磁场理论课件 第五章 第1节 电磁场的矢势和标势
但将
E
t
A
t
t
t
t
中的与此融合也作相应的变换，则仍
可使 E 保持不变
t
A ( ) ( A )
t
t t
( ) A ( )
t
t t
A E
t
即设任意的标量函数 (x,t)，作下述变换式：
A A A
t
于是我们得到了一组新的 A. ，满足
可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为
零，这里引入的矢势、标势（时间的函数）与静
电场（与时间无关）情况有很大的不同。
D
E
B t
B 0
H
J
D
t
? B A
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
种独立偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势
和矢势
A
构成的势方程具有对称性。它的矢势 A 的纵向部
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变
性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
总结本次课的内容
1. 用势描述电磁场
B A
E
A t
2. 两种规范
1.库仑规范 A 0
potential)。
c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
2 1 2 A 1 A ( A ) 0 J c 2 t 2 c 2 t 2 A t 0
标势 φ满足泊松方程，与静电场方程相同，其解为库仑势 标势与矢势的方程不对称 例：以单色平面电磁波为例，讨论两种规范的特点
解： 1. 如果采用洛伦兹规范条件，当单色平面电磁波在没有电荷、 电流分布的自由空间中传播时，势方程变为如下的齐次波动方程：
2 1 2 c 2 A 1 c2 2 0 2 t 2 A 0 2 t
i ( k x t ) e 0 其解为： i ( k x t ) A A e 0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势φ=0，有
14
1 2 A A 2 0 2 c t
2
其解的形式为 A A0 ei ( k x t )
由库仑规范条件 A ik A 0 可知 库仑规范条件已经保证了A 只有横向分量，从而得到电磁场为
B A ik A A A E i A t t
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
ik
k 0 0
c
k
c2
k B cek BB Biblioteka A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
第1节矢势和标势
1 库仑规范：
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
电动力学第五章
k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•
5.1电磁场的失势和标势
（2）电磁场一旦从源中辐射出来就独立于源而存在。
当给定 、 J 后，可由（2.12） 、 （2.13）式求出势，再 由 （ 式 （1.2） 、1.3）
B A
求出空间点的电磁场。
A E t
5.3
电偶极辐射
现代物理导论I
电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。 宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产 生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即 可产生辐射。 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动， 且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的 情况。
如设?为任意时空函数有????ba????t?t????a?a???????a???a????????????a????????e由此可见?们可以作变换???a与???a描写的是同一电磁场我t?????????????????????aaa14t????????????at?????a现代物理导论i由于1213式中b和e并没有对a的散度作出规定故我们可以取??a为任意值作为辅助条件
其特点参见以下推导结果。 3、达朗贝尔方程
将（1.2） 、 （1.3）式代入（1.1）式中第二、三式，整 理后有
2 2 1 A 1 0 J A 2 2 A 2 c t c t 2 A t 0
必须 E L 0 （无纵场） 。证毕Βιβλιοθήκη .21、标势的达朗贝尔方程
2
推迟势
现代物理导论I
1 （2.1） 2 2 0 c t 设在原点有一电荷 Qt ，其密度 x, t Qt x ，
2
这时（2.1）式为
2 1 1 2 2 2 Qt x （2.2） 0 c t 由于球对称性， 只依赖于 r 、 t ， （2.2）式用球坐
磁场的矢势与标势
磁场的矢势与标势在物理学中，我们经常听到“磁场”的概念，它是描述磁力作用的一种物理量。
然而，磁场并不是直接可观测的，我们只能通过测量它对其他物体的作用来间接了解磁场的存在。
那么，如何描述磁场的特性呢？这就引出了磁场的矢势与标势的概念。
矢势是用来描述磁场的一种物理量，它与电磁场的矢势有些类似。
我们知道，对于电场，有一个标量量叫做电势，可以通过取负的电场的梯度得到。
类似地，对于磁场，也可以引入一个矢量量叫做磁势，它是磁场的旋度。
磁场的矢势被定义为磁场的旋度。
旋度是一个向量，描述了矢量场在空间中旋转的程度。
在数学上，我们可以通过取磁场的旋度来获得矢势。
矢势的具体计算公式依赖于磁场的具体分布情况，通常需要通过数值计算或者近似解来求得。
与矢势相对应的是磁场的标势，它是一个标量量，描述了磁场的势能分布情况。
标势是磁场的散度，可以通过取磁场的散度来获得。
磁场的标势在很多情况下比矢势更容易计算，因为散度运算相对来说比旋度运算简单。
可以将矢势和标势结合起来，得到一个统一的矢量场，描述了磁场的所有特性。
磁场的矢势与标势在物理学中有重要的应用。
首先，它们可以帮助我们更好地理解磁场的本质。
通过矢势和标势，我们可以对磁场的分布、强度和方向等方面有更深入的了解。
其次，矢势和标势也可以用来解决一些实际问题。
例如，在电磁感应现象中，我们可以利用矢势和标势的计算来描述电磁场的变化，从而分析感应电流的大小和方向。
除了磁场的矢势与标势，我们还可以通过它们来推导出其他一些重要的物理量，例如磁感应强度和磁通量。
磁感应强度是描述磁场强度的量，可以根据矢势和标势的关系推导出来。
磁通量是磁场通过一个封闭曲面的总量，可以通过对矢势和标势积分得到。
磁场的矢势与标势是描述磁场的一种数学工具，通过它们可以更好地理解磁场的特性和作用。
与电磁场的电势一样，矢势和标势可以提供比磁场更直观，更容易计算和解析的量。
矢势和标势的引入丰富了我们对磁场的认识，为解决一些实际问题提供了重要的工具和方法。
电磁场的矢势和标势
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
★由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇ × (E + ∂A ) = 0 ⇒ E + ∂A = −∇ϕ
∂t
∂t
一般而言：
【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
★ 电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义；
矢势和标势（续）
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
ϕ → ϕ = ϕ − ∂ψ ∂t
存
(1) (2)
§ 1.2 规范变换和规范不变性
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0 ◆库仑规范纵横分明：库仑场和感应场
A
∇·B =0
⇒
B =∇×A
E ? = −∇ϕ
第一节 电磁场的矢势和标势
§ 1.1 矢势和标势
电动力学第9讲24讯变电磁场的矢势和标势
Maxwell方程组
E B t
B
0
J
0 0
E t
E
0
B0
山东大学物理学院 宗福建
1
Maxwell方程组
B
l
E
dl
s
t
dS
l
B
d l 0I 00
s
E t
dS
• 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的
表示式必然包含矢势A在内。
•把
B A.
• 代入 E B , t
• 得 (E A ) 0 t
山东大学物理学院 宗福建
16
用势描述电磁场
• 该式表示矢量 E+∂A/∂t 是无旋场，因
此它可以用标势φ描述，
山东大学物理学院 宗福建
37
推迟势
• 现在我们求达朗贝尔方程的解。标势φ 的达朗贝尔方程为
2 1 2
c2 t2
0
• 式中ρ =ρ（x，t）是空间电荷的密度。
山东大学物理学院 宗福建
38
推迟势
• 该式是线性方程，反映电磁场的叠加性。 由于场的叠加性，可以先考虑某一体元 内的变化电荷所激发的势，然后对电荷 分布区域积分，即得总的标势。
J
(x')
1 R
x'
1 R
1 x'x' : 2!
1 R
... dV
'
山东大学物理学院 宗福建
E B t
B
0
J
0 0
E t
E
0
B0
山东大学物理学院 宗福建
1
Maxwell方程组
B
l
E
dl
s
t
dS
l
B
d l 0I 00
s
E t
dS
• 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的
表示式必然包含矢势A在内。
•把
B A.
• 代入 E B , t
• 得 (E A ) 0 t
山东大学物理学院 宗福建
16
用势描述电磁场
• 该式表示矢量 E+∂A/∂t 是无旋场，因
此它可以用标势φ描述，
山东大学物理学院 宗福建
37
推迟势
• 现在我们求达朗贝尔方程的解。标势φ 的达朗贝尔方程为
2 1 2
c2 t2
0
• 式中ρ =ρ（x，t）是空间电荷的密度。
山东大学物理学院 宗福建
38
推迟势
• 该式是线性方程，反映电磁场的叠加性。 由于场的叠加性，可以先考虑某一体元 内的变化电荷所激发的势，然后对电荷 分布区域积分，即得总的标势。
J
(x')
1 R
x'
1 R
1 x'x' : 2!
1 R
... dV
'
山东大学物理学院 宗福建
chap5-1电磁波的矢势和标势
CA'd C A d
CA d C d
CA d
A'
A
'
t
4、两种常用的规范辅助条件
5
B A
1）规范辅助条件，或规范条件
① 为了确定 A，减少任意性，我们可以对 A 的散度加上一些限制条件，称之为规范辅 助条件，或者简称为规范条件;
B 0
B
0J
0 0
t
E
E
A
t
B A
2 A
1 c2
2A t 2
A
1 c2
t
0J
2 A
1 c2
2A t 2
A
0
J
2
0
J3 0
7
波
动
方 程
2
1 c2
2 t 2
A
0J 0
辅
助 条 件
A
1 c2
t
0
① 在洛伦兹规范下，电荷产生标势波动；电流 产生矢势波动；
② 离开电荷和电流分布的区域以后，矢势和标 势都以波动形式在空间传播；
k x
t
,
库仑规范
荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scalar potential)。
整体c，) 必在须时把变矢场势中A，和磁标场势和电场作是为相一互个作整用体着来的描
述电磁场。
2、规范变换和规范不变性
种等虽价然的方E 式和，B但，由以于及EA 、和B 和是描A 、述电之磁间场是的微两分
A ( A ) A ( )
A B
A
(
)
( A
)
t
t t
( ) A ( )
t A
E
t t
t
由此可见，(A . ) 和 ( A. ) 描述同一电磁场。
a) 库仑规范(Coulomb gauge) 库仑规范条件为 A 0，即规定
A
是一个
有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 E 的纵
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立
偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势 构成的势方程具有对称性。它的矢势
A的纵和向矢部势A
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
Class is Over!
Thank you! Boys and girls!
2
其解的形式为：
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
0
2A t 2
0
A
i(kxt )
e0
i(kxt ) A e0
由Lorentz规范条件
A
1
0，即得
ik
A
1 c2
c 2 t
5-1 电磁场的矢势与标势
5
2. 电磁场的标势： 电磁场的标势： 由于 ∇×E ≠ 0 ，所以，不可能用一个单独的 所以， 所以 标势来描述E。 标势来描述 。 虽然 ∇×E ≠ 0 ，但由 ∇×Ε = − ∂Β 可得： 但由 可得：
∂A ∇× Ε = −∇× ∂t ∂A ∂A 所以 ∇× Ε +∇× = ∇×(Ε + ) = 0 ∂t ∂t ∂A 是无旋场， 该式表示 Ε + 是无旋场，可以引入标势ϕ ∂t
8
二、 规范变换和规范不变性 1. 规范变换： 规范变换： 用矢势A和标势 描述电磁场不是唯一的， 用矢势 和标势ϕ描述电磁场不是唯一的，即给 定的E和 并不对应于唯一的 并不对应于唯一的A和 定的 和B并不对应于唯一的 和ϕ。 设矢势A和标势 是描述电磁场的一组势， 设矢势 和标势ϕ是描述电磁场的一组势，ψ为 任意时空函数， 任意时空函数，做变换
17
2. 达朗贝尔 达朗贝尔(d’Alembert)方程 方程 当采用洛伦兹规范时， 当采用洛伦兹规范时，所对应的势的方程称为达 朗贝尔方程。 朗贝尔方程。 1 ∂2 A ∇2 A− 2 2 = −µ0J c ∂t
的源， 和 均为有源情况下的波动。 的源，A和 ϕ均为有源情况下的波动。
这说明，在洛伦兹规范下， 是 的源 的源， 这说明，在洛伦兹规范下，J是A的源，ρ 是
ω
ω
=−
c2
ω
k×B = cB×n
此处n为传播方向单位矢量。 此处 为传播方向单位矢量。 为传播方向单位矢量
7
(2) 变化的电磁场中，磁场和电场是相互作用着的 变化的电磁场中， 整体， 整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述 电磁场。 因此我们说， 描述电磁场的势有4个 电磁场 。 因此我们说 ， 描述电磁场的势有 个 分量。 分量。 思考： 思考： 与时间无关， 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时，电磁场的特点？ 与时间无关 时 电磁场的特点？ 与时间无关， ϕ 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时， E = −∇ 与时间无关 时 就直接归结为电势。 这时ϕ 就直接归结为电势。
5.1 电磁场的矢势和标势(2)
A A A B
t t A A t
E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
2
A
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. 真空中标势所满足的微分方程
Β Α
Ε Α t
D
D 0E
D 0 E E / 0 A t 0
A
1 c
2
t
0
得
0
c
2
( i ) 0
k A0
由此可见，只要给定了A0，就可以确定单色平面电磁波。
B A ik A
E i c
2
A t
ik iA ik (
2
c
2
k A) iA
2
c
2
t
2
0 J
2
1
2
c
2
t
2
0
注意：两种规范，方程不同，所得矢势和标势不同，但由
其所得E和B是完全相同的，即E和B波动性质和规范无关。
例：讨论单色平面电磁波的势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播
的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程：
2
1
2
c A
2
2
t
2
0 0
1 A
2
5.1电磁场的失势和标势解析
AT （即说明 B 无纵场，有横场） A （2） E E L E T , E t A L A T E L , ET （存在横场） t T
现代物理导论I
例 1、 证明根据洛伦兹条件求出的齐次达朗伯方程的 解满足横场条件。 证明： 纵场（无旋场） ： f 0 , f （例如：静电场）
横场（无源场） ： 感生电场） g 0 , g h （例如：磁场、
（1） A A L AT
B A AL AT
¨ £ 2© £ ô È É ² Ã Ó å Â × Â È ×æ ¹ ¶ ·¬ £ ò Ô
现代物理导论I
2 1 2A A c 2 t 2 0 J （1.9） 2 2 1 2 2 c t 0 其特点是： A 、 分别由两个彼此独立的方程描述，
现代物理导论I
陈尚达
材料与光电物理学院
第五章 电磁波的辐射
1、电磁场的失势和标势
2、推迟势 3、电偶极辐射 4、磁偶极辐射和电四极矩辐射 5、天线辐射 6、电磁波的衍射 7、电磁场的动量
现代物理导论I
5.1
电磁场的失势和标势
现代物理导论I
上一章我们介绍了电磁波在空间的传播。在实践上， 电磁波常常是由运动电荷辐射出来的，例如无线电波就是 发射天线上的高频交流电流辐射出来的。本章研究高频交 流电辐射电磁波的规律。
（1.7）
现代物理导论I
讨论： £ ¨1£ © È ô ² É Ó Ã ¿ â Â × ¹ æ · ¶ £ ¬ Ô ò
2 1 2A 1 A 2 2 2 0 J c t c t 2 0
（1.8）
电磁场的矢势和标势
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
由叠加原理，一般电荷分布所激发标势为
r,t
V
(r, t 4
R) c dV
0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
r,t
V
(r,t R )
c dV
§1、电磁场的矢势和标势
引入矢势 的物理意义
在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路的线积 分等于该时刻通过回路内的磁通量
是无旋场，引入标势
电磁势 和
和 完全由电磁势决定
a)此处的标势 与静电场中的电势不能混为一谈。 因为在非稳恒的情况下， 不再是保守力场，不存 在势能的概念.因此，在高频系统中，电压的概念 失去确切的意义
c dV
4 0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内的变化电荷和变化电 流在空间任意点激发的标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中的时刻是t R c，而不是 t 这说明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生的场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一个传输时
线性方程 ---- 叠加原理 对于源分布在有限体积内的势，可先求出场 源中某一体积元所激发的势，然后对场源区 域积分，即可得出总的势
设坐标原点处有一假想变化电荷
2
1 c2
2
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
电磁场矢势和标势从洛伦兹势变换到库仑势的证明_李伙全
这正是库仑规范下的矢势 Ａ 所满足的方程 ． 其次证明 φ库 满足库仑规范下的势方程 ．
ψ 表达式代入洛伦兹规范下满 将 φ洛 ＝φ库 ＋ ｔ
足的势方程
２
１ φ洛 ρ， 得 ２ ２ ＝－ φ洛 － ｃ ｔ ε０
２
２ ２ ψ －１ ψ ＝－ρ φ库 ＋ ２ ２ φ库 ＋ ｔ ｃ ｔ ｔ ε０
Δ
Δ
Δ
２
１ φ洛 ＝－ ρ ２ ２ φ洛 －ｃ ｔ ε０
２
（ ） １
）得 将表达式 Ａ库 ＝Ａ洛 ＋ ψ 代入表达式 （ ９ ·（ Ａ洛 ＋ ψ） ＝０
Δ
·Ａ ＝－ρ φ ＋ ｔ ε０
Δ
Δ
Δ
Δ Δ
１ Ａ Ａ－ ２ ２ － ｃ ｔ
１ φ ＝－ Ｊ （ ·Ａ ＋ｃ ｔ） μ
Ｂ， 将 Ｂ ＝ × Ａ 代入 × Ｅ ＝－ 得 ｔ Ａ × Ｅ＋ ＝０ ｔ
（
）
因此可引入标势 φ ， 使得
Ａ Ｅ ＋ ＝－ φ ｔ
从而求出
１］ 由麦克斯韦方程组 ［
Ｂ ×Ｅ ＝－ ｔ
Ａ 中， 在表达式 Ｂ ＝ ×Ａ 和 Ｅ ＝－ φ － 对 ｔ
矢势 Ａ 可以加上任意一 个 函 数 的 梯 度 ， 结果不影响 而且加在 Ａ 上的梯度部分在Ｅ 的表达式中 ， 又可 Ｂ， 结果也不影响 Ｅ． 设 ψ 是具有二阶 以从 φ 中消去 ， 偏导数的任意时空函数 ， 作变换
即
即 －
２
）式代入 （ ）式得 将（ １ ７ １ ６
）式代入 （ ）式得 将（ １ ５ １ １
这正是库仑规范下所满足的势方程 ．
Ａ库 １ １ ２ Ａ库 － ２ Ｊ 库 ＝－ ２ － ２ μ０ ｔ φ ｃ ｔ ｃ
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
A E t
这里，仍用 φ来表示这个标量势函数，并且右边采用 “负号” 以便 A 与时间无关时仍回到静电场情形中去，即电场为
A E t
4
可见，既可以直接用场量 E 和 B 来描述电磁场，也可以用矢势A 和 标势 φ一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁就是
2．规范变换 规范：给定一组 A, ，称为一种规范
A A 规范变换：不同规范之间满足的变换关系： t
规范不变性：在规范变换下物理量和物理规律满足的动力学方 程保持不变的性质 B A 注：所有可观测的物理量都具有规范不变性 A E t 规范场：具有规范不变性的场称为规范场
B A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
与洛伦兹规范的结果一样
库仑规范的优点是：它的标势φ描述库仑作用，可直接由电 荷分布ρ求出，它的矢势 A 只有横向分量，恰好足够描述辐射 电磁波的两种独立偏振，无需再加额外条件，因此在场论中 应用较多。 洛仑兹规范的优点是：它的标势φ和矢势A 构成的势方程具有对 称性。它的矢势 A 的纵向部分和标势φ的选择还可以有任意性， 即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性， 因而其应用也相当广泛。
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
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f (t r c) 1 Q(t r c)
4 0
1 f (t r c) 1 Q(t r c)
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
c2
k•
A横
0
E
A
ik
iA
iA
t
B ik A
由库仑规范，势方程为：
2 0
2 A
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
且：
•
A
ik •
A
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势为0
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
2
t 2
0
点电荷所产生电场有球对称性
上式的解是一个球面波，考虑到 增大时 减小 令
这个方程是一维空间的波动方程,其通解为 f,g为两个任意函数
此解中第一项表示由场源向外辐射的球面波，第 二项表示向场源汇聚的球面波。 f,g的形式由场源条件而定
b)在时变场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须 把 和 作为一个整体来描述电磁场
思考？当 与时间无关时，电磁场的特点？
已自动成立
规范变换和规范不变性 规范变换
规范不变性 当势作规范变换时，所有物理量和物理规 律都保持不变，这就是规范不变性。
库仑规范
纵场（库仑场）
横场（感应场）
洛伦兹规范 达朗贝尔方程
§1、电磁场的矢势和标势
引入矢势 的物理意义
在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路的线积 分等于该时刻通过回路内的磁通量
是无旋场，引入标势
电磁势 和
和 完全由电磁势决定
a)此处的标势 与静电场中的电势不能混为一谈。 因为在非稳恒的情况下， 不再是保守力场，不存 在势能的概念.因此，在高频系统中，电压的概念 失去确切的意义
由叠加原理，一般电荷分布所激发标势为
r,t
V
(r, t 4
R) c dV
0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
r,t
V
(r,t R )
c dV
4 0R
洛伦兹规范
令 t t R
c
r, t
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
A横
ik
A纵
E
ik A横 A
ik
iA
c2 ik (
k•
A)
iA
t
i
c2
[k (k
A)
k 2 A]
洛仑兹规范的优点是： 和 分别 满足有源的波动方程
A
和
构成的势方程具有对称性,在相对论中
显示出协变性
§2、推迟势
线性方程 ---- 叠加原理 对于源分布在有限体积内的势，可先求出场 源中某一体积元所激发的势，然后对场源区 域积分，即可得出总的势
设坐标原点处有一假想变化电荷
2
1 c2
2
Maxwell方程组不同条件下的问题形式
当
时，产生静电场条件
当
时，产生静磁场条件
当
时，电磁波的传播
变化的电磁场对于源的依赖关系 就是我们本章要解决的问题
变化的电磁场必是由电荷分布和电 流分布的变化产生的。
本章所研究的问题是电磁波的辐射。 当考虑电荷和电流分布激发电磁场的问 题时，引入势的概念来描述电磁场。
2 A
1 c2
2A t 2
0
A
A0ei ( k•rt )
E
A
0
iA
iA
t
B ik A
通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 描述库仑作用，
可直接由电荷分布 求出，它的矢势 A只有横向 分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。
1 r
2
f
(t)
1 c2r
2 f (t) t 2 dV
1 Q(t)
0
lim f (t)2 1 dV 1 Q(t)
0 r
r
0
1 1
f (t) lim • dS Q(t)
0
r
0
1 f (t) Q(t)
4 0
用 t r c 代替 t
ei(k•rt) 0
A
A0ei ( k•rt )
ei(k•rt) 0
由Lorentz规范条件 • A
ik •
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k•
A
由此可见，只要给定了 A，就可以确定单色平面电磁波。
和 分别 满足有源的波动方程
例：求单色平面电磁波的势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播 的，因而势的方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1 c2
2A t 2
0
其平面波解为：
A
A0ei ( k•rt )
i
c2
k (k
A)
c2
k
B
cB nk
结论：
a) 对平面电磁波(ρ=0,J=0)，由 A可以完全确定，原因是ρ=0
电磁场没有纵场分量。 b)平面电磁波的电磁场不仅可以由 A完全确定，而且只依赖于 A 的横场分量。
c) 此时，令 A纵 0 ,则有
2
1 c2
2
t 2
1
0
Q(t) (r)
在坐标原点
2 1 r
f
(t)
1 c2
2 1 f (t) r t 2
1
0
Q(t) (r)
在一个半径为 的球体内对该式积分，求
时极限
lim
0
r
2 1 r
f
(t) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 c2
2 1 f (t)
r t 2
dV
1
0
Q(t)
lim
0
r
2 1 r
f
(t)
1 c2
2 1 f r t 2
(t )
dV
1
0
Q(t)
lim
0 r
f
(t)2
1 r
2
1 r
•
f
(t)