电磁场的矢势和标势

f (t r c) 1 Q(t r c)
4 0
1 f (t r c) 1 Q(t r c)
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )

Q(r,
t

R c
)
4 0R
其中 R r r


c2

k•
A横

0
E


A

ik


iA

iA
t

B ik A
由库仑规范，势方程为：
2 0
2 A
1 c2
2A t 2
1 c2
t

0
且：
•
A
ik •
A
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势为0
t 2

1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2

1 c2
2
t 2
0
点电荷所产生电场有球对称性
上式的解是一个球面波，考虑到 增大时 减小 令
这个方程是一维空间的波动方程,其通解为 f,g为两个任意函数
此解中第一项表示由场源向外辐射的球面波，第 二项表示向场源汇聚的球面波。 f,g的形式由场源条件而定
b)在时变场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须 把 和 作为一个整体来描述电磁场
思考？当 与时间无关时，电磁场的特点？
已自动成立
规范变换和规范不变性 规范变换
规范不变性 当势作规范变换时，所有物理量和物理规 律都保持不变，这就是规范不变性。
库仑规范
纵场（库仑场）
横场（感应场）
洛伦兹规范 达朗贝尔方程
§1、电磁场的矢势和标势
引入矢势 的物理意义
在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路的线积 分等于该时刻通过回路内的磁通量
是无旋场，引入标势
电磁势 和
和 完全由电磁势决定
a)此处的标势 与静电场中的电势不能混为一谈。 因为在非稳恒的情况下， 不再是保守力场，不存 在势能的概念.因此，在高频系统中，电压的概念 失去确切的意义
由叠加原理，一般电荷分布所激发标势为
r,t
V
(r, t 4
R) c dV
0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
r,t
V
(r,t R )
c dV
4 0R
洛伦兹规范
令 t t R
c
r, t

B


A

ik
A
ik

(
A横

A纵
)

ik
A横

ik

A纵
E
ik A横 A

ik


iA
c2 ik (
k•
A)


iA
t


i
c2
[k (k
A)

k 2 A]

洛仑兹规范的优点是： 和 分别 满足有源的波动方程
A
和

构成的势方程具有对称性,在相对论中
显示出协变性
§2、推迟势
线性方程 ---- 叠加原理 对于源分布在有限体积内的势，可先求出场 源中某一体积元所激发的势，然后对场源区 域积分，即可得出总的势
设坐标原点处有一假想变化电荷
2

1 c2
2
Maxwell方程组不同条件下的问题形式
当
时，产生静电场条件
当
时，产生静磁场条件
当
时，电磁波的传播
变化的电磁场对于源的依赖关系 就是我们本章要解决的问题
变化的电磁场必是由电荷分布和电 流分布的变化产生的。
本章所研究的问题是电磁波的辐射。 当考虑电荷和电流分布激发电磁场的问 题时，引入势的概念来描述电磁场。
2 A
1 c2
2A t 2
0
A
A0ei ( k•rt )
E


A
0


iA

iA
t

B ik A
通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 描述库仑作用，
可直接由电荷分布 求出，它的矢势 A只有横向 分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。

1 r
2
f
(t)

1 c2r
2 f (t) t 2 dV
1 Q(t)
0
lim f (t)2 1 dV 1 Q(t)
0 r
r
0
1 1
f (t) lim • dS Q(t)
0
r
0
1 f (t) Q(t)
4 0
用 t r c 代替 t
ei(k•rt) 0

A
A0ei ( k•rt )
ei(k•rt) 0

由Lorentz规范条件 • A
ik •
A
1 c2
(i )

0
1 c2

t

0
得

c2

k•
A

由此可见，只要给定了 A，就可以确定单色平面电磁波。
和 分别 满足有源的波动方程
例：求单色平面电磁波的势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播 的，因而势的方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2

1 c2
2
t 2

0
2 A
1 c2
2A t 2
0
其平面波解为：
A
A0ei ( k•rt )
i
c2
k (k
A)




c2

k
B
cB nk
结论：
a) 对平面电磁波(ρ=0,J=0)，由 A可以完全确定，原因是ρ=0
电磁场没有纵场分量。 b)平面电磁波的电磁场不仅可以由 A完全确定，而且只依赖于 A 的横场分量。

c) 此时，令 A纵 0 ,则有
2

1 c2
2
t 2

1
0
Q(t) (r)
在坐标原点
2 1 r
f
(t)
1 c2
2 1 f (t) r t 2

1
0
Q(t) (r)
在一个半径为 的球体内对该式积分，求
时极限
lim
0
r
2 1 r
f
(t) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 c2
2 1 f (t)
r t 2
dV
1
0
Q(t)
lim
0
r
2 1 r
f
(t)
1 c2
2 1 f r t 2
(t )
dV

1
0
Q(t)
lim
0 r
f
(t)2
1 r

2
1 r
•
f
(t)