【人教版】八年级上册数学第12章12

知识点详解
你能得到什么结论吗？ 结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的 三角形一定全等。
知识点详解
当满足三个条件时， △ABC 与△A′B′C′全等吗？满足三个条件时，又分为 几种情况呢？
三个条件
① 三边 ② 三角 ③ 两边一角
④ 两角一边
知识点详解
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′= AB，B′C′= BC ，A′C′= AC．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
重合
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简称为“角 边角”或“ASA”）。
例题详解
如图，点D 在AB上，点E 在AC上，BA =AC， ∠B =∠C． 求证：AD =AE．
A
证明：在△ABE 和△ACD 中，
∠B =∠C，
∵
AB =AC ，
∠A =∠A ， ∴ △ABE ≌△ACD（ASA）． ∴ AE =AD．
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
问题引入
A
D
B
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
C
E
F
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
思考：
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？ 2.如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证△ABC ≌△ DEF吗？
知识点详解
1.全等三角形的判定只给一个条件 （1）只给一条边时：
A
（2）在射线A′D上截取 A′B′=AB，在射线A′E 上截取A′C′=AC；
（3）连接B′C′。
C
E C′
A′
B
D B′
知识点详解
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，
∠A＇=∠A，C′A′= CA（即两边和它们的夹角分别相等）.把画
C
好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？
现象：两个三角形放在一起 能完全重合。
说明：这两个三角形全等。
A C′
E
B
A′
D
B′
知识点详解
“SAS”判定方法: 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可 简写成“边角边”或“SAS ”）。
几何语言： 在△ABC 和△ A′B′ C′中，
AB = A′B′， ∵ ∠A =∠A′，
AC =A′C′ ， ∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（SAS）。
D
E
B
C
知识点详解
探索“HL”判定方法
任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A＇B＇C＇
，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，A＇B＇=AB，然后把画好的
3㎝
3㎝
（2）只给一个角时：
45°
45°
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一 定全等。
知识点详解
2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①两边； ②一边一角； ③两角.
知识点详解
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等。
如图，在△ABC 和△ABD 中，
AB =AB，AC = AD，∠B =∠B，
但△ABC 和△ABD 不全等．
所以”SSA” 不能保证两个三角形全等。
B
A CD
知识点详解
探究“ASA”判定方法 先在一张纸上画一个△ABC，然后在另一张纸上画△DEF，使EF =BC， ∠E =∠B，∠F =∠C．△ABC 和△DEF 能重合吗？根据你画的两个三角 形及结果，你能得到又一个判定两个三角形全等的方法吗？
【人教版】八年级上册数学第12章12
第十二章●第二节
三角形全等的判定
【人教版】八年级上册数学第12章12
温故知新
1、 什么叫全等三角形？ 能够重合的两个三角形叫全等三角形.
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
B
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
C
E
F
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
在△ABC 与 △ A′B′C′中，
AB =A′B′，
∵
AC =A′C′，
BC =B′C′，
∴ △ABC ≌△A′B′C′ （SSS）。
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。 B′
A C
A′ C′
例题详解
如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是 连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD 。
∵ ∠1 =∠2 （对顶角相等），
1
BC =EC（已知） ，
C
∴ △ABC ≌△DEC（SAS）
2
∴ AB =DE （全等三角形的对应边相等）
E
D
知识点详解
探索“SSA”能否识别两三角形全等
两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别 相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由 “SSA”的条件能判定两个三角形全等吗？
证明：∵ D 是BC 中点，
A
∴ BD =DC
在△ABD 与△ACD 中，
AB =AC ，
∵
BD =CD ，
B
DFra Baidu bibliotek
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌△ACD （ SSS ）。
知识点详解
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB， ∠A‘=∠A，C′A′= CA（即两边和它们的夹角分别相等），把 画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？ 画法： （1） 画∠DA′E =∠A；
画法: （1）画线段B′C′=BC ； （2）分别以B′、C′为圆心，BA、BC 为半径画弧，两
弧交于点A′； （3）连接线段A′B′，A′Ｃ′。
知识点详解
作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
边边边公理：
三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS”。
B
用符号语言表达:
例题详解
如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先 在平地上取一个不经过池塘可 以直接到达点A 和B的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延长 至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离。为什么？
证明：在△ABC 和△DEC 中，
A
B
AC = DC（已知），
知识点详解
②三角形的一条边为4cm，一个内角为30°时
30◦
30◦
4cm
4cm
结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等。
知识点详解
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
30◦ 45◦
30◦
45◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等。 根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对 应相等时，两个三角形不一定全等。