复数的概念PPT课件
合集下载
复数的概念及复数的几何意义ppt课件
几何意义
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的课件ppt
详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
复数课件ppt免费
02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
复数课件ppt免费
目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
《复数——复数的概念》数学教学PPT课件(4篇)
栏目 导引
第七章 复 数
■名师点拨 (1)复平面内的点 Z 的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复 平面内的虚轴上的单位长度是 1，而不是 i. (2)当 a＝0，b≠0 时，a＋bi＝0＋bi＝bi 是纯虚数，所以虚轴上的点 (0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (3)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中的 z，书写时应小写；复平面内的点 Z(a，b)中的 Z，书写时应大写．
第七章 复 数
复数与复平面内的点 已知复数 z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中 a∈R.当复数 z 在 复平面内对应的点 Z 满足下列条件时，求 a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限．
栏目 导引
【解】 (1)若 z 对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得 a＝12. (2)若 z 对应的点在第三象限，则有 a22a－－11<<00，，解得－1<a<12. 故 a 的取值范围是－1，12.
栏目 导引
第七章 复 数
3．复数的模 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为O→Z，则O→Z的模叫做复数 z 的 模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝___a_2_＋__b_2 ______． ■名师点拨 如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(a 的绝对值)．
栏目 导引
第七章 复 数
1．已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象
限，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－3，1)
B．(－1，3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：选 A.由题意得mm＋ －31><00， ，解得－3<m<1.
第七章 复 数
■名师点拨 (1)复平面内的点 Z 的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复 平面内的虚轴上的单位长度是 1，而不是 i. (2)当 a＝0，b≠0 时，a＋bi＝0＋bi＝bi 是纯虚数，所以虚轴上的点 (0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (3)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中的 z，书写时应小写；复平面内的点 Z(a，b)中的 Z，书写时应大写．
第七章 复 数
复数与复平面内的点 已知复数 z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中 a∈R.当复数 z 在 复平面内对应的点 Z 满足下列条件时，求 a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限．
栏目 导引
【解】 (1)若 z 对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得 a＝12. (2)若 z 对应的点在第三象限，则有 a22a－－11<<00，，解得－1<a<12. 故 a 的取值范围是－1，12.
栏目 导引
第七章 复 数
3．复数的模 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为O→Z，则O→Z的模叫做复数 z 的 模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝___a_2_＋__b_2 ______． ■名师点拨 如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(a 的绝对值)．
栏目 导引
第七章 复 数
1．已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象
限，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－3，1)
B．(－1，3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：选 A.由题意得mm＋ －31><00， ，解得－3<m<1.
复数PPT课件
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数 Z m 2 m 2 ( m 2 1 ) i是
（1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.
(1)m1; (2)m1; (3)m2.
4、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a,b,c,dR ，那么
a b i c d i a c ,b d
特别地，a+bi=0 a0,b0. 注： 两个复数（除实数外）只能说相等或不相 等，而不能比较大小.
5、共轭复数
实部相等,虚部互为相反数的两个复数 互为共轭复数.
第
①解决实际问题的需要 由于计数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的 需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如 正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生 了无理数（既无限不循环小数）。
②解方程的需要。
为了使方程 x+5=3 有解，就引进了负数； 为了使方程 3x=5 有解，就要引进分数；为了 使方程 x2=2 有解，就要引进无理数。
二、实数集的进一步扩展
——— 数集的第四次扩展（R→?） 问题2 : 解方程 x²= - 2
x 2i,x2i
问题3 解方程 (x +1)²=-2
x 12 i,x 12 i
二、复数
1、复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
《复数的概念》课件
《复数的概念》PPT课件
复数是一个数学概念，用来表示实数和虚数的集合。
什么是复数
实数与虚数
复数由实部和虚部组成，形如a+bi。
虚数单位
虚数单位 i 是一个特殊的数，满足 i² = -1。
复数的表示方法
直角坐标形式
用复平面中的点表示复数，实部表示 x 坐标，虚部 表示 y 坐标。
极坐标形式
用模和幅角表示复数，模表示向原点距离，幅角表 示与正实轴的夹角。
分形图形
复数可以表示分形图形如Mandelbrot集合。
旋转变换
复数可以通过乘法实现二维旋转变换。
常见的复数方程
1 一次方程
形如a+bi=c，求出复数的解。
2 二次方程
形如a+bi=0，利用求根公式计算解。
结论和要点
复数的基本概念
复数由实部和虚部组成，可以用不同的表示方法。
复数的运算规则
加减乘除应用相应规则来计算。
复数的四则运算
1
加法和减法
复数的实部和虚部分别相加或相减。
乘法
2
将复数按照分配律相乘，并应用 i² = -1
进行合并。
3
行 简化。
共轭复数和复数模
共轭复数
共轭复数将虚部的符号取反，实部保持不变。
复数模
复数的模是复平面中与原点的距离，可用勾股 定理求得。
复数在几何中的应用
复数是一个数学概念，用来表示实数和虚数的集合。
什么是复数
实数与虚数
复数由实部和虚部组成，形如a+bi。
虚数单位
虚数单位 i 是一个特殊的数，满足 i² = -1。
复数的表示方法
直角坐标形式
用复平面中的点表示复数，实部表示 x 坐标，虚部 表示 y 坐标。
极坐标形式
用模和幅角表示复数，模表示向原点距离，幅角表 示与正实轴的夹角。
分形图形
复数可以表示分形图形如Mandelbrot集合。
旋转变换
复数可以通过乘法实现二维旋转变换。
常见的复数方程
1 一次方程
形如a+bi=c，求出复数的解。
2 二次方程
形如a+bi=0，利用求根公式计算解。
结论和要点
复数的基本概念
复数由实部和虚部组成，可以用不同的表示方法。
复数的运算规则
加减乘除应用相应规则来计算。
复数的四则运算
1
加法和减法
复数的实部和虚部分别相加或相减。
乘法
2
将复数按照分配律相乘，并应用 i² = -1
进行合并。
3
行 简化。
共轭复数和复数模
共轭复数
共轭复数将虚部的符号取反，实部保持不变。
复数模
复数的模是复平面中与原点的距离，可用勾股 定理求得。
复数在几何中的应用
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
小学名词复数ppt课件
02
常见名词复数形式解析
规则变化
一般情况下，在名词词尾加-s
cat → cats，dog → dogs。
以s，x，ch，sh结尾的名词，在词尾加-es
bus → buses，box → boxes，watch → watches，brush → brushes。
以“辅音字母+y”结尾的名词，变y为i再加-es
名词复数词尾-es读作/iz/。
注意事项
不规则变化
有些名词的复数形式是不规则的，需 要单独记忆。例如：child→children， foot→feet等。
不可数名词
集体名词
有些名词表示一个整体概念时，谓语 动词用单数；表示成员时，谓语动词 用复数。例如：family，class等。
有些名词是不可数的，没有复数形式。 例如：water，milk等。
外来语的复数形式
有些外来语保持其原有的复数形式：alumni（校友），criteria（标准）。
03
名词复数在句子中运用
主语与谓语一致性原则
主语为复数名词时，谓语动词要用复数 形式。
不可数名词或单数名词作主语时，谓语 动词用单数形式。
由and连接的并列主语，如果表示的是 同一概念或同一人、事物，谓语动词用 单数形式；如果表示的是两个不同的概 念或不同的人、事物，谓语动词用复数
She has two tooths. (改为
She has two teeth.)
They buyed some potatos fr…
They bought some potatoes from the shop.)
06
总结回顾与拓展延伸
重点内容回顾
名词复数的定义
高中数学人教A版 选修1-2 复数的概念与几何意义 精品课件(共50张ppt)
讨论
观察复数的代数形式
复数的分类？
实部 虚部 当a= 0 且b= 0 时，则z=0 当b= 0 时，则z为实数 当b ≠0 时，则z为虚数 当a= 0 且b ≠0时，则z为纯虚数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
2：复数的分类 复数a+bi
思 考？
复数集，虚数集，实数集， 纯虚数集之间的关系？
复数的概念
问：N，Z，Q，R分别代表什么集合？
N
自然数
Z
整数
Q
有理数
R
实数
正整数
0
负整数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
正整数 0
自然数 负数
整数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
分数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
正整数 0
自然数 负数
整数 分数
有理数 无理数
虚数 复数
实数
自然数
数 系
整数
的 有理数 扩
充 实数
复数
RQ Z N
C
即时训练，巩固新知 1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数， 并指出复数的实部与虚部。 0
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数； （2）若b为实数，则z=bi 必为纯虚数; （3）若a为实数，则z= a 一定不是虚数。
1：复数的定义 把形如a+bi 的数叫做复数 （a,b 是实数）。复数通常用z表示：
观察复数的代数形式
复数的分类？
实部 虚部 当a= 0 且b= 0 时，则z=0 当b= 0 时，则z为实数 当b ≠0 时，则z为虚数 当a= 0 且b ≠0时，则z为纯虚数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
2：复数的分类 复数a+bi
思 考？
复数集，虚数集，实数集， 纯虚数集之间的关系？
复数的概念
问：N，Z，Q，R分别代表什么集合？
N
自然数
Z
整数
Q
有理数
R
实数
正整数
0
负整数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
正整数 0
自然数 负数
整数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
分数
高中数学人教A版 选修1-2 第3章复数的概念与几何意义 课件(共50张PPT)
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
正整数 0
自然数 负数
整数 分数
有理数 无理数
虚数 复数
实数
自然数
数 系
整数
的 有理数 扩
充 实数
复数
RQ Z N
C
即时训练，巩固新知 1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数， 并指出复数的实部与虚部。 0
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数； （2）若b为实数，则z=bi 必为纯虚数; （3）若a为实数，则z= a 一定不是虚数。
1：复数的定义 把形如a+bi 的数叫做复数 （a,b 是实数）。复数通常用z表示：
新教材北师大版第5章1.1复数的概念课件(35张)
[解] (1)当mm＋ 2－32≠m0－，15≠0， 即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当m2m－＋m3－6＝0， m2－2m－15≠0，
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
1．例3的条件不变，当m为何值时，z为实数？ [解] 当mm＋ 2－32≠m0－，15＝0， 即m＝5时，z是实数．
2．例3的条件不变，当m为何值时，z>0.
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 1必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与 虚部相等列方程组求解. 2根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用 方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 3如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大 小的.
2．复数的分类
根据复数中 a，b 的取值不同，复数可有以下的分类：实数 b＝0
复数 a＋bi(a，b∈R)虚数 b≠0
纯虚数 a＝0 ， 非纯虚数 a≠0 .
3．复数集 全体复数 构成的集合称为复数集，记作 C．显然 R C． 4．复数相等 两个复数 a＋bi 与 c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实 部相等且虚部相等，即 a＋bi＝c＋di 当且仅当 a＝c且b＝d 时成 立．
复数的概念
【例1】 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1
的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数
a，b的值分别是________．
(1)B (2)± 2 5 [(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不 成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1 ＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实 部是0，③为真命题．故选B．
复数的有关概念PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
……
复数的有关概念
问题一 问题二 问题三 问题四 课堂小结
问题一：
对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)， 你认为满足什么条件时，可以说这两个 复数相等？
a=c,并且b=d，即实部与虚部分别 相等时，叫这两个复数相等。
记作a+bi=c+di。 复数相等的内涵：
复数a+bi可用有序实数对(a,b)表示。
(简Байду номын сангаас复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
概念辨析
例题
实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值
实数a在数轴上所 对应的点A到原点O 的距离。
a
(复数的模) 的几何意义:
复数 z=a+bi在复 平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。
y
O
A
X
z=a+bi
a (a 0)
|
a
|
=
|
OA
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
复数的概念ppt
第三章 复数
添加副标题
汇报人姓名
3·1·1数系的扩充和复数的概念
感谢观看
添加副标题
为什么要进行数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的
需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如
正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生
了无理数（既无限不循环小数）。
x = - 1 + , x = -1 -
问题3 解方程 (x +1)²=-2
二、实数集的进一步扩展
对于复数 z = a+bi (a、bR） i 称为虚数单位 a 叫做复数 z的实部，记作Re z, 即 a =Re z b 叫做复数 z的虚部，记作Imz , 即 b= Im z
二、实数集的进一步扩展 ——— 数集的第四次扩展（R→?）
所以 x² ＝ - 2 的解为 x = ，x = -
问题2 : 解方程 x² = - 2
引入虚数单位 i 后进一步规定： i 可以与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、减、乘运算律仍成立。
04
为了使方程 有解，就必须把实数概念进一步扩
05
大，这就必须引进新的数。
即i2=-1
——— 数集的第四次扩充（R→?）
二、实数集的进一步扩充
所以方程 x²= -1 的解为 x = i 或 x = - i 引入一个数i ，使得该数的平方等于－1
问题1: 解方程 x² ＝ -1
对于复数 z = a+bi (a、bR） 当b=0时， z = a 是实数 当b0时， z = a+bi不是实数，称为虚数 当b0且a=0时， z = bi , 称为纯虚数
定义: 形如a+bi(a、bR）的数 z 称为复数
添加副标题
汇报人姓名
3·1·1数系的扩充和复数的概念
感谢观看
添加副标题
为什么要进行数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的
需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如
正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生
了无理数（既无限不循环小数）。
x = - 1 + , x = -1 -
问题3 解方程 (x +1)²=-2
二、实数集的进一步扩展
对于复数 z = a+bi (a、bR） i 称为虚数单位 a 叫做复数 z的实部，记作Re z, 即 a =Re z b 叫做复数 z的虚部，记作Imz , 即 b= Im z
二、实数集的进一步扩展 ——— 数集的第四次扩展（R→?）
所以 x² ＝ - 2 的解为 x = ，x = -
问题2 : 解方程 x² = - 2
引入虚数单位 i 后进一步规定： i 可以与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、减、乘运算律仍成立。
04
为了使方程 有解，就必须把实数概念进一步扩
05
大，这就必须引进新的数。
即i2=-1
——— 数集的第四次扩充（R→?）
二、实数集的进一步扩充
所以方程 x²= -1 的解为 x = i 或 x = - i 引入一个数i ，使得该数的平方等于－1
问题1: 解方程 x² ＝ -1
对于复数 z = a+bi (a、bR） 当b=0时， z = a 是实数 当b0时， z = a+bi不是实数，称为虚数 当b0且a=0时， z = bi , 称为纯虚数
定义: 形如a+bi(a、bR）的数 z 称为复数
人教A版高中数学必修第二册教学课件：第七章7.1复数的概念
【 解】
（1
）
要使
点位
于第
四象
限，
需
m 2
m
2
8m 3m
15 0, 28 0,
∴
m 3或m 5，
7
m
4，
解得 -7<m<3.
∴ 当m∈（-7，3）时，复数z在复平面内的对应点在第四象
限.
m2 8m 15 0,
（2 ）要 使点位 于x轴负 半轴上 ，需
m
2
3m
28
0,
∴ 3mm7或 5m，4，解得m＝4.
知识梳理
一、复数的相关概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数（complex number），其中i叫做 虚数单位（英语单词：imaginary unit的首字母）.全体复数所构成的集合C＝ {a+bi|a，b∈R}叫做复数集. 复数通常用字母z表示，即z＝a+bi（a，b∈R）.以后不作特殊说明时，复数z ＝a+bi都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
3
则复数z＝（3m-2）+（m-1）i在复平面内对应的点位于第 象限.
答案：四 解析：∵ 2 <m<1，∴ 3m-2>0，m-1<0，∴ 复数z
3
在复平面内对应的点位于第四象限.
训练题6 ［2019·河南郑州高三质测］已知复数z＝（a2-2a） +（a2-a-2）i对应的点在虚轴上，则 （ ） A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1 C.a＝0 D.a＝2或a＝0
∴ 当m＝4时，复数z在复平面内的对应点在x轴负半轴上.
（3 ）要 使点位 于上半 平面（ 含实轴 ），需m2 +3m-28 ≥0，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为了使方程 有解，就必须把实数概念进一步扩
大，这LI
6
二、实数集的进一步扩充
——— 数集的第四次扩充（R→?） 问题1: 解方程 x²＝ -1
引入一个数i ，使得该数的平方等于－1 即i2=-1
所以方程 x²= -1 的解为 x = i 或 x = - i
a 叫做复数 z的实部，记作Re z, 即 a =Re z
b 叫做复数 z的虚部，记作Imz , 即 b= Im z
(2)对于复数 z = a+bi (a、bR）
当b=0时， z = a 是实数
当b0时， z = a+bi不是实数，称为虚数
2021当/3/7 b0且a=0时， z = bi , CHENLI 称为纯虚数
2021/3/7
CHENLI
4
②解方程的需要。
为了使方程x+5=3 有解，就引进了负数； 为了使方程3x=5 有解，就要引进分数；为了 使方程x2=2 有解，就要引进无理数。
2021/3/7
CHENLI
5
引进无理数后，我们已经能使方程x2=a(a>0) 永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当a<0 时，方程 x2=a 在实数范围内无解。
10
二、复数的分类
实数（虚部为0且b=0）
复数
纯虚数 a0且 b0
虚数（虚部不为0即b 0）
非纯虚数
虚数 实数
复数
纯虚数
2021/3/7
CHENLI
11
三、复数的有关性质
1 、 zab为 i 实 b 数 0
2 、 za b为 i 纯 a虚 0 且 b 数 0 3 、 z a b c i d a i c 且 b d 4 、 z a b 0 i a 0 且 b 0
2021/3/7
CHENLI
15
练例习3：
z m 2 2m m1
m2
2m
1 ii
实数m为何值时，z为
（1） 实 数 （2） 虚 数 （3） 纯 虚 数
2021/3/7
CHENLI
16
三、回顾与小结
正整数
整数 零
有理数
负整数
实数
分数
复数z=a+bi
C （a、bR）
b=0 无理数
纯虚数 （a=0） 虚数 非纯虚数（a0）
b0
2021/3/7
CHENLI
17
5、zab与 i zab为 i 共扼复数
2021/3/7
CHENLI
12
例1
已(x知 y)(y1 )i(2x3y)(2y1 )i 求实 x,y 数
2021/3/7
CHENLI
13
练习
设 a,b R 且 a(1i)b(1i)2a(1b)i 求 a,b
例2 实数:m为何值时 Z=(m2-8m+15)+(m2-5m+6)i为 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
第三章 复数
2021/3/7
CHENLI
1
§3·1·1数系的扩充和复数的概念
2021/3/7
CHENLI
2
2021/3/7
CHENLI
3
①解决实际问题的需要 由于计数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的 需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如 正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生 了无理数（既无限不循环小数）。
2021/3/7
CHENLI
7
二、实数集的进一步扩展
——— 数集的第四次扩展（R→?）
问题2 : 解方程 x²= - 2
引入虚数单位 i 后进一步规定： i 可以与实数 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、 减、乘运算律仍成立。
所以 x²＝ - 2 的解为 x = 2 i ，x = - 2 i
2021/3/7
CHENLI
8
问题3 解方程 (x +1)²=-2
x = - 1 + 2 i , x = -1 - 2 i
2021/3/7
CHENLI
9
二、实数集的进一步扩展
定义: 形如a+bi(a、bR）的数 z 称为复数 (1)对于复数 z = a+bi (a、bR）
(2) i 称为虚数单位
大，这LI
6
二、实数集的进一步扩充
——— 数集的第四次扩充（R→?） 问题1: 解方程 x²＝ -1
引入一个数i ，使得该数的平方等于－1 即i2=-1
所以方程 x²= -1 的解为 x = i 或 x = - i
a 叫做复数 z的实部，记作Re z, 即 a =Re z
b 叫做复数 z的虚部，记作Imz , 即 b= Im z
(2)对于复数 z = a+bi (a、bR）
当b=0时， z = a 是实数
当b0时， z = a+bi不是实数，称为虚数
2021当/3/7 b0且a=0时， z = bi , CHENLI 称为纯虚数
2021/3/7
CHENLI
4
②解方程的需要。
为了使方程x+5=3 有解，就引进了负数； 为了使方程3x=5 有解，就要引进分数；为了 使方程x2=2 有解，就要引进无理数。
2021/3/7
CHENLI
5
引进无理数后，我们已经能使方程x2=a(a>0) 永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当a<0 时，方程 x2=a 在实数范围内无解。
10
二、复数的分类
实数（虚部为0且b=0）
复数
纯虚数 a0且 b0
虚数（虚部不为0即b 0）
非纯虚数
虚数 实数
复数
纯虚数
2021/3/7
CHENLI
11
三、复数的有关性质
1 、 zab为 i 实 b 数 0
2 、 za b为 i 纯 a虚 0 且 b 数 0 3 、 z a b c i d a i c 且 b d 4 、 z a b 0 i a 0 且 b 0
2021/3/7
CHENLI
15
练例习3：
z m 2 2m m1
m2
2m
1 ii
实数m为何值时，z为
（1） 实 数 （2） 虚 数 （3） 纯 虚 数
2021/3/7
CHENLI
16
三、回顾与小结
正整数
整数 零
有理数
负整数
实数
分数
复数z=a+bi
C （a、bR）
b=0 无理数
纯虚数 （a=0） 虚数 非纯虚数（a0）
b0
2021/3/7
CHENLI
17
5、zab与 i zab为 i 共扼复数
2021/3/7
CHENLI
12
例1
已(x知 y)(y1 )i(2x3y)(2y1 )i 求实 x,y 数
2021/3/7
CHENLI
13
练习
设 a,b R 且 a(1i)b(1i)2a(1b)i 求 a,b
例2 实数:m为何值时 Z=(m2-8m+15)+(m2-5m+6)i为 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
第三章 复数
2021/3/7
CHENLI
1
§3·1·1数系的扩充和复数的概念
2021/3/7
CHENLI
2
2021/3/7
CHENLI
3
①解决实际问题的需要 由于计数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的 需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如 正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生 了无理数（既无限不循环小数）。
2021/3/7
CHENLI
7
二、实数集的进一步扩展
——— 数集的第四次扩展（R→?）
问题2 : 解方程 x²= - 2
引入虚数单位 i 后进一步规定： i 可以与实数 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、 减、乘运算律仍成立。
所以 x²＝ - 2 的解为 x = 2 i ，x = - 2 i
2021/3/7
CHENLI
8
问题3 解方程 (x +1)²=-2
x = - 1 + 2 i , x = -1 - 2 i
2021/3/7
CHENLI
9
二、实数集的进一步扩展
定义: 形如a+bi(a、bR）的数 z 称为复数 (1)对于复数 z = a+bi (a、bR）
(2) i 称为虚数单位