一元二次方程练习复习题(含答案))

一元二次方程复习
课前练习
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0C．x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣2y﹣1＝0
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m≤1B．m＜1C．m≥1D．m＞1
3．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（）
A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x+3）2＝10
4．方程x2+x＝0的解是（）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
5．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
6．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）
A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
7．下列一元二次方程没有实数根的是（）
A．x2+x+3＝0B．x2+2x+1＝0C．x2﹣2＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
8．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（）
A．2x2+6x﹣5＝0B．2x2﹣3x﹣5＝0C．2x2﹣6x+5＝0D．2x2﹣6x﹣5＝0
9．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为．
10．如果关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．
11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．12．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．
13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．14．关于x的方程mx2﹣4mx+m+3＝0有两个相等的实数根，那么m＝．
15．（1）x2+4x﹣5＝0 （2）（10+x）（500﹣20x）＝6000 （3）（72﹣55﹣y）（100+10y）＝1800
知识点一一元二次方程根与系数的关系
笔记：
例一．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求k的值；（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
练习
1．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
2．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．
知识点二：一元二次方程的应用之面积问题
例二．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？
练习
1．兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽的比为2：1，在养鸡场内，沿前侧内墙保留3m宽的走道，其他三侧内墙各保留1m宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是288m2？
2．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占的面积是图案面积的，则竖彩条宽度为多少？
3．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
知识点四：一元二次方程的应用利润问题
例4．某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干，然后以每本5元的价格出售，每天可售出20本．通过调查发现，这种笔记本的售价每降低0.1元，每天可多售出4本，为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售．
（1）若将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是本；（用含x的代数式表示）（2）要想销售这种笔记本每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低多少元？
练习
1．某商场将进价每件30元的衬衫以每件40元销售，平均每月可售出600件．为了增加盈利，商场采取涨价措施．若在一定范围内，衬衫的单价每涨1元，商场平均每月会少售出10件．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？
2．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．假设每台冰箱降价x元，（1）则每天能售出台．
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱降价多少元？
3．为了让学生亲身感受常州城市的变化，正衡中学天宁分校组织九年级某班学生进行“太湖一日研学”活动．某旅行社推出了如下收费标准：
（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；
（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．
该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
知识点5因运动产生的一元二次方程的应用问题
例5．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
练习．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
一元二次方程复习参考答案与试题解析
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（C）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣2y﹣1＝0
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（A）
A．m≤1B．m＜1C．m≥1D．m＞1
3．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（B）
A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x+3）2＝10
4．方程x2+x＝0的解是（D）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
5．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（B）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
6．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（B）
A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
7．下列一元二次方程没有实数根的是（A）
A．x2+x+3＝0B．x2+2x+1＝0C．x2﹣2＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
8．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（D）
A．2x2+6x﹣5＝0B．2x2﹣3x﹣5＝0C．2x2﹣6x+5＝0D．2x2﹣6x﹣5＝0
9．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为2020．
10．如果关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．
11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＜1且m≠0．12．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣4．
13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m且m ≠2．
14．关于x的方程mx2﹣4mx+m+3＝0有两个相等的实数根，那么m＝1．
15．（1）x2+4x﹣5＝0 （2）（10+x）（500﹣20x）＝6000 （3）（72﹣55﹣y）（100+10y）＝1800∴x1＝﹣5，x2＝1；x＝5或x＝10，y1＝2，y2＝5．
知识点一一元二次方程根与系数的关系
笔记：
例一．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求k的值；（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【解答】（1）解：把x＝1代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0得1﹣k﹣3+3k＝0，解得k＝1；
（2）证明：△＝（k+3）2﹣4•3k＝（k﹣3）2≥0，
所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
练习
1．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．
2．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．
解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，
所以△＝4﹣8m＞0，解得：m＜．故m的取值范围为m＜．
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，
所以m＝﹣1验证当m＝﹣1时△＞0．．故m的值为m＝﹣1．
知识点二：一元二次方程的应用之面积问题
例二．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？
解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（80﹣x）米
依题意，得x•（80﹣x）＝750即，x2﹣80x+1500＝0，得x1＝30，x2＝50
∵墙的长度不超过45m，∴x2＝50不合题意，应舍去
当x＝30时，（80﹣x）＝×（80﹣30）＝25，
所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2
（2）不能．因为由x•（80﹣x）＝810得x2﹣80x+1620＝0
又∵b2﹣4ac＝（﹣80）2﹣4×1×1620＝﹣80＜0，
∴上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2
练习
1．兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽的比为2：1，在养鸡场内，沿前侧内墙保留3m宽的走道，其他三侧内墙各保留1m宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是288m2？
解：设鸡场的宽为xm，则长为2xm．
（2x﹣4）（x﹣2）＝288，（x﹣14）（x+10）＝0，
解得x＝14，或x＝﹣10（不合题意，舍去）．
∴2x＝28．答：鸡场的长为28m，宽为14m
2．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占的面积是图案面积的，则竖彩条宽度为多少？
解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则
（30﹣2x）（ 20﹣4x）＝30×20×（1﹣），
整理得：x2﹣20x+19＝0，
解得：x1＝1，x2＝19（不合题意，舍去）．
答：竖彩条的宽度为1cm．
3．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长（24﹣3x）米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
】解：（1）BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x．
（2）x（24﹣3x）＝45，化简得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝5，x2＝3．当x＝5时，24﹣3x＝9＜14，符合要求；
当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，不符合要求，舍去．答：花圃的宽为5米．
知识点四：一元二次方程的应用利润问题
例4．某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干，然后以每本5元的价格出售，每天可售出20本．通过调查发现，这种笔记本的售价每降低0.1元，每天可多售出4本，为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售．
（1）若将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是（20+40x）本；（用含x的代数式表示）（2）要想销售这种笔记本每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低多少元？
【解答】解：（1）将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是20+×4＝20+40x（本）；
（2）设这种笔记本每本降价x元，
根据题意得：（5﹣3﹣x）（20+40x）＝60，2x2﹣3x+1＝0，
解得：x＝0.5或x＝1，
当x＝0.5时，销售量是20+40×0.5＝40＜50；当x＝1时，销售量是20+40＝60＞50．
∵每天至少售出50本，∴x＝1．
答：超市应将每本的销售价降低1元．
练习
1．某商场将进价每件30元的衬衫以每件40元销售，平均每月可售出600件．为了增加盈利，商场采取涨价措施．若在一定范围内，衬衫的单价每涨1元，商场平均每月会少售出10件．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？
【解答】解：设这种衬衫每件的价格应定为x元．
根据题意，得（x﹣30）[600﹣（x﹣40）×10]＝10000．
解得x1＝50，x2＝80．
答：这种衬衫每件的价格应定为 50 元或 80 元．
2．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．假设每台冰箱降价x元，（1）则每天能售出（8+4×）台．
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱降价多少元？
【解答】解：（1）根据题意，得（8+4×）；
（2）设出每台冰箱应降价x元，由题意得：
（2400﹣2000﹣x）（8+×4）＝4800，﹣x2+24x+3200＝4800．
整理，得x2﹣300x+20000＝0．解这个方程，得x1＝100，x2＝200．
要使百姓得到实惠，取x＝200元．∴每台冰箱应降价200元．
3．为了让学生亲身感受常州城市的变化，正衡中学天宁分校组织九年级某班学生进行“太湖一日研学”活动．某旅行社推出了如下收费标准：
（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；
（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．
该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【解答】解：∵100×30＝3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，解得x1＝35，x2＝45，
当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意；
当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去．
答：共有35名同学参加了研学游活动．
知识点5因运动产生的一元二次方程的应用问题
例5．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【解答】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，
∴（6﹣x）•2x＝××6×8，∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4
（6﹣t）（8﹣2t）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，
由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，
（t﹣6）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．
练习．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t
∴
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10
∴（4分）
（2）∵S△ABC＝（5分）
∴当t＜10秒时，S△PCQ＝
整理得t2﹣10t+100＝0无解（6分）
当t＞10秒时，S△PCQ＝
整理得t2﹣10t﹣100＝0解得t＝5±5（舍去负值）（7分）
∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC（8分）
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝10∴DE＝5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE＝5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。