离散系统的频率响应分析和零、极点分布

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5.9 系统函数零点、极点分布与系统频率响应特性的关系(不讲)

N2
2
p2
2
z2
2
频率特性
H j K Ke N1 N 2 N 3 M1 M 2 M 3
j 1 2 3 1 2 3
e
j 1 2 3 1 2 3
由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即
H j K
•幅频特性——常数 •相频特性——不受约束 •全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。
3
二．最小相移网络
若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为 “非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。
min j 最小相移函数
j j
2 2 全通函数
5
end
谢谢大家！
6
5.9 系统函数零点、极点分布与系统频率响应特性的关系
•全通网络 •最小相移网络 •级联
1
一．全通网络
所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。
零、极点分布
j
p1
M3 p3
M2
z1
M1
1
N1
1
N3
3
3
z3
•极点位于左半平面， •零点位于右半平面， •零点与极点对于虚轴互为镜像
j
z1
z1
j j
j j
j j
j
பைடு நூலகம்

O
j
j
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j j

j
O
j
j j

xjtu数字信号处理“实验报告”

数字信号处理实验报告实验1 常见离散信号的MATLAB产生和图形显示【实验目的】加深对常用离散信号的理解；【实验内容】（1）单位抽样序列（取100个点）程序设计：N=100;x=[1 zeros(1,N-1)];stem(0:N-1,x)结果（2）单位阶跃序列（取100个点）程序设计：N=100;x=ones(1,N);stem(0:99,x);axis([0 100 0 2])结果102030405060708090100（3）正弦序列（取100个点）程序设计： N=100; n=0:99; f=100; Fs=1000; fai=0.2*pi; A=2;x=A*sin(2*pi*f*n/Fs+fai); stem(n,x); grid 结果0102030405060708090100（4）复正弦序列（取100个点）程序设计：N=100;n=0:99;w=0.2*pi;x=exp(j*w*n);stem(n,x);结果（5）复指数序列（取41个点）程序设计：>> n=0:40;>> c=-0.02+0.2*pi*i;>> x=exp(c*n);>> subplot(2,1,1);>> stem(n,real(x));>> subplot(2,1,2);>> stem(n,imag(x));结果05101520253035400510152025303540（上部为实部，下部为虚部）（6）指数序列（取100个点）程序设计：>> n=0:99;>> a=0.5;>> x=a.^n;>> stem(n,x);结果：【实验要求】讨论复指数序列的性质。

由（5）的图形结果可以看出，复指数序列实部和虚部均为按指数衰减（上升）的序列，两者的均是震荡的，实部震荡周期与指数的实部有关，虚部震荡周期与指数的实虚部有关。

数字信号处理实验4

实验4 离散时间系统的频域分析一、实验目的（1）了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系；（2）加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解；（3）熟悉MATLAB 中进行离散系统零极点分析的常用子函数；（4）掌握离散系统幅频响应和相频响应的求解方法。

二、知识点提示本章节的主要知识点是频率响应的概念、系统零极点对系统特性的影响；重点是频率响应的求解方法；难点是MATLAB 相关子函数的使用。

三、实验原理1．离散时间系统的零极点及零极点分布图设离散时间系统系统函数为NMzN a z a a z M b z b b z A z B z H ----++++++++==)1()2()1()1()2()1()()()(11 (4-1) MATLAB 提供了专门用于绘制离散时间系统零极点图的zplane 函数： ①zplane 函数格式一：zplane(z, p)功能：绘制出列向量z 中的零点(以符号"○" 表示)和列向量p 中的极点(以符号"×"表示)，同时画出参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角标出其阶数。

如果z 和p 为矩阵，则zplane 以不同的颜色分别绘出z 和p 各列中的零点和极点。

格式二：zplane(B, A)功能：绘制出系统函数H(z)的零极点图。

其中B 和A 为系统函数)(z H (4-1)式的分子和分母多项式系数向量。

zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，函数首先调用root 函数以求出它们的零极点。

②roots 函数。

用于求多项式的根，调用格式：roots(C)，其中C 为多项式的系数向量，降幂排列。

2．离散系统的频率特性MATLAB 提供了专门用于求离散系统频响特性的freqz 函数，调用格式如下： ①H = freqz(B,A,W)功能：计算由向量W (rad )指定的数字频率点上(通常指[0,π]范围的频率)离散系统)(z H 的频率响应)e (j ωH ，结果存于H 向量中。

实验-Z变换、零极点分析

（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。

【实例1】利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。

解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。

【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。

解（1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1）如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2）那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。

西安交通大学数字信号处理实验报告

数字信号处理实验报告班级：硕姓名：学号：实验1 常见离散信号的MATLAB 产生和图形显示实验目的：加深对常用离散信号的理解；实验内容：（1）单位抽样序列clc;x=zeros(1,11); x(1)=1; n=0:1:10;stem(n,x, 'fill'); title('单位抽样序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]')延迟5个单位：clc;x=zeros(1,11); x(6)=1; n=0:1:10;stem(n,x, 'fill'); title('单位抽样序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]')nx [n ]（2）单位阶跃序列clc;x=[zeros(1,5),ones(1,6)]; n=-5:1:5;stem(n,x,'fill'); title('单位阶跃序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]');nx [n ]（3）正弦序列clc; N=50; n=0:1:N-1; A=1; f=1; Fs=50; fai=pi;x=A*sin(2*pi*f*n/Fs+fai); stem(n,x,'fill'); title('正弦序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]'); axis([0 50 -1 1]);nx [n ]（4）复正弦序列clc; N=50; n=0:1:N-1; w=2*pi/50; x=exp(j*w*n); subplot(2,1,1); stem(n,real(x)); title('复正弦序列实部'); xlabel('n');ylabel('real(x[n])'); axis([0 50 -1 1]); subplot(2,1,2); stem(n,imag(x)); title('复正弦序列虚部'); xlabel('n');ylabel('imag(x[n])'); axis([0 50 -1 1]);nx [n ]（5）指数序列clc; N=10; n=0:1:N-1; a=0.5; x=a.^n;stem(n,x,'fill'); title('指数序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]'); axis([0 10 0 1]);nr e a l (x [n ])ni m a g (x [n ])（6）复指数序列性质讨论：0(j )()enx n σω+=将复指数表示成实部与虚部为00()e cos j sin n n x n n e n σσωω=+1.当σ=0时，它的实部和虚部都是正弦序列。

零极点分布对系统频率响应的影响

1 实验三零极点分布对系统频率响应的影响
一. 实验目的
学习用分析零极点分布的几何方法分析研究信号和系统频率响应.
二. 实验原理
1. 对(序列)信号x(n)进行ZT, 得X(z), 从而得到它的零极点分布.
2. 对(离散)系统, 求出它的系统函数H(z) , 也可得到它的零极点分布.
3. 按教材(, 信号或系统的幅度特性由零点至单位圆周上的矢量长度和极点至单位圆周上的矢量长度之比.
4. 极点影响频率特性的峰值, 零点影响频率特性的谷值. 零极逾靠近单位圆, 这些特征越明显. 如有极点410.9j z e π
=, 则频率特性曲线在4π
ω=处出现峰值.
5. 本实验借助于计算机分析信号或系统的频率响应, 目的是掌握用极、零点分布的几何分析法分析频率响应, 实验时需并j z e ω=代入相应的X(z) 或H(z) 中, 再在0~2π中等
间隔的取点. 如100等分:w=[0:2*pi/100:2*pi], 再用plot 等函数作出|()|j H e ωω图形.
三. 实验内容
1. 设系统为 ()()(1)y n x n ay n =+-, 试就0.7,0.8,0.9a =, 分别在三种情况下分析系统的频率特性, 并作出幅度特性曲线., 并作出高, 低通等判断.
2. 假设系统为:
试分析它的频率特性, 作出它的幅-频曲线, 估计其峰值频率和谷值频率.
四. 实验报告要求
1. 总结零、极点分布对频率响应的影响;
2. 总结零、极点分布对系统的高通、低通的影响.。

3.系统函数和频率响应

h(n ) z n
稳定系统的系统函数H(z)的ROC须包含单位圆，即频率响应存在且连续。

因果稳定：ROC： r z , 0 r 1
H(z)须从半径小于1的圆到的整个z域内收敛，即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内。
2019/1/15 电子工程系
例. 已知系统的极点为
2019/1/15
电子工程系
(2)绘制频率响应的matlab函数：freqz() （3）计算和绘制系统零极点的matlab函数 roots()、zplane() 4.几种特殊的系统
全通滤波器梳状滤波器最小相位系统
2019/1/15 电子工程系
P67
本章回顾
1、z变换及性质、收敛域 2、求z反变换：长除法、部分分式展开法 3、利用z变换求解差分方程 4、序列的Fourier变换及性质 5、z变换与Laplace/Fourier变换的关系 6、因果/稳定系统的收敛域 7、离散系统的系统函数和频率响应
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j / 6 , 2e j / 6 , 1.5 什么情况下，系统为因果系统，什么情况下，系统为稳定系统
j Im[ z ]
2e
0.2e 4 0.4
j
j

6

1.5
1
Re[ z ]

6
解：因果系统 z 2
稳定系统 0.4 z 1.5
8、几种特殊的系统
2019/1/15 电子工程系
本章作业： P71-74
4. 5. 6.（3）（4） 8. 13. 15. (1) (3) 18. 21. （3） 23. 24. 28.

常见离散信号的MATLAB产生和图形显示

实验一常见离散信号的MATLAB 产生和图形显示实验目的：加深对常用离散信号的理解；实验原理：1．单位抽样序列⎩⎨⎧=01)(n δ≠=n n 在MATLAB 中可以利用zeros()函数实现。

;1)1();,1(==x N zeros x如果)(n δ在时间轴上延迟了k 个单位，得到)(k n -δ即：⎩⎨⎧=-01)(k n δ≠=n kn2．单位阶跃序列⎩⎨⎧01)(n u00<≥n n 在MATLAB 中可以利用ones()函数实现。

);,1(N ones x =3．正弦序列)/2sin()(ϕπ+=Fs fn A n x在MATLAB 中)/***2sin(*1:0fai Fs n f pi A x N n +=-=4．复正弦序列n j e n x ϖ=)(在MATLAB 中)**ex p(1:0n w j x N n =-=5．指数序列n a n x =)(在MATLAB 中na x N n .^1:0=-=实验内容：编制程序产生上述5种信号（长度可输入确定），并绘出其图形。

实验要求：讨论复指数序列的性质。

实验过程： 1. 单位冲击序列：>> n=0:10;>> x1=[1 zeros(1,10)];>> x2=[zeros(1,8) 1 zeros(1,8)]; >> subplot(1,2,1); >> stem(n,x1);>> xlabel ('时间序列n'); >> ylabel('幅度');>> title('单位冲激序列δ（n ）'); >> subplot(1,2,2); >> stem(x2);>> xlabel('时间序列n'); >> ylabel('幅度');>> title('延时了8个单位的冲激序列δ（n-8）'); >>>> n=0:10;>> u=[ones(1,11)];>> stem(n,u);>> xlabel ('时间序列n');>> ylabel('信号幅度');>> title('单位阶跃序列u（n）');>>3.正弦序列：>> n=1:30;>> x=2*sin(pi*n/6+pi/4);>> stem(n,x);>> xlabel ('时间序列n');>> ylabel('振幅');>> title('正弦函数序列x=2*sin(pi*n/6+pi/4)'); >>>> n=1:30;>> x=5*exp(j*3*n);>> stem(n,x);>> xlabel ('时间序列n');>> ylabel('振幅');>> title('复指数序列x=5*exp(j*3*n)');>>5.指数序列：>> n=1:30;>> x=1.8.^n;>> stem(n,x);>> xlabel ('时间序列n');>> ylabel('振幅');>> title('指数序列x=1.8.^n');>>复指数序列的周期性讨论：为了研究复指数序列的周期性质，我们分别作了正弦函数x1=1.5sin(0.3πn)和x2=sin(0.6n); 的幅度特性图像。

离散系统稳定性分析

实验一离散系统稳定性分析实验学时：2 实验类型：常规实验要求：必作一、实验目的：（1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法；（2）掌握离散时间系统的零极点分析方法；（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法；（4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法；（5）掌握用MATLAB 分析离散系统稳定性。

二、实验原理：1、离散系统零极点图及零极点分析；线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即()()NMiji j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1）其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。

将式（8-1）两边进行Z 变换的00()()()()()Mjjj Nii i b zY z B z H z X z A z a z-=-====∑∑ （8-2）将式（8-2）因式分解后有：11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-3）其中C 为常数，(1,2,,)j q j M =为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N =为()H z 的N个极点。

系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。

通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性；离散系统的频率特性； 1.1、零极点图的绘制设离散系统的系统函数为则系统的零极点可用MA TLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。

如多项式为231()48B z z z =++，则求该多项式根的MA TLAB 命令为为： A=[1 3/4 1/8];P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。

离散系统的频率响应分析和零极点分布

离散系统的频率响应分析和零极点分布离散系统的幅频响应描述了系统对不同频率信号的放大或压缩能力。

幅频响应一般用幅度响应曲线表示，即以输入信号频率为横轴，以输出信号幅度为纵轴绘制的曲线。

幅频响应曲线可以展示离散系统的增益特性，即在不同频率下系统对信号的放大或压缩程度。

幅频响应曲线上的波动和变化可以反映系统对不同频率信号的响应情况。

离散系统的相频响应描述了系统对不同频率信号的相位差。

相频响应也是以输入信号频率为横轴，以输出信号相位为纵轴绘制的曲线。

相频响应可以展示离散系统对不同频率信号的相位延迟或提前情况，即输入信号和输出信号之间的相位差。

相频响应的变化可以反映系统对不同频率信号相位的变化情况。

在频率响应分析中，零极点分布也是非常重要的。

零点是指离散系统传递函数的分子多项式为零的根，极点是指传递函数的分母多项式为零的根。

零极点的分布对离散系统的频率响应和系统特性有着重要的影响。

具体来说，零点会在幅频响应曲线上产生波动或峰值，影响系统的放大或压缩程度。

零点的频率越高，波动或峰值的位置越靠近高频，反之亦然。

而极点会导致幅频响应曲线的趋势变化，影响系统的稳定性和阻尼特性。

极点越接近单位圆，系统越不稳定；极点越远离单位圆，系统越稳定。

相频响应同样受到零点和极点的影响。

零点的频率越高，在相频响应曲线上引起的相位变化越明显。

而极点的频率越接近单位圆，相频响应曲线呈现明显的相位延迟。

极点越远离单位圆，相频响应曲线呈现相位提前的情况。

因此，频率响应分析和零极点分布是研究离散系统特性的重要方法。

通过频率响应分析和零极点分布，我们可以了解离散系统对不同频率输入信号的响应情况、系统的稳定性特点以及系统的放大和压缩能力。

这对于离散系统的设计、控制和优化都有着重要的指导意义。

数字信号处理习题答案及matlab实验详解.pdf

(2) 由 H(z)的表达式，不难求出，当 w=0 时， H (e j0 ) 1/ 0.51 2;
当 w=π时， H (e j ) 1/ 2.77 0.36;
当
w=±π/4
时，
H
(e
j
4
)
1/ 0.256
4 ，峰值。
B=1; A=[1,-1.13,0.64]; [H,w]=freqz(B,A,256,'whole',1); figure(1); subplot(2,1,1); plot(w,abs(H)) subplot(2,1,2); plot(w,angle(H))
12
实验 2-3 离散系统的频率响应分析和零、极点分布实验目的：加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。
在 MATLAB 中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp（num，den）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数 zplane（z，p）绘出零、极点分布图；也可以用函数 zplane（num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。
m
m0
即 y(0) 1, y(1) 0.75, y(2) 0.4375, y(3) 0.2344, y(4) 0.1211,......
利用函数 h=impz(b,a,N)和 y=filter(b,a,x)分别绘出冲激和阶跃响应： b=[1,-1]; a=[1,0.75,0.125]; x=ones(1,100); h=impz(b,a,100); y1=filter(b,a,x); figure(1) subplot(2,1,1); plot(h); subplot(2,1,2); plot(y1);
z 2

离散时间系统稳定的充要条件

离散时间系统稳定的充要条件离散时间系统的稳定性是指其输出的幅值不随时间而无限增长，而是趋于有限值或者在某一范围内振荡。

离散时间系统的稳定性是保证系统正常工作的基础，因此了解离散时间系统的稳定性充要条件是非常重要的。

一、离散时间系统的稳定性离散时间系统的稳定性是指，当系统的输入信号在某个有限范围内时，系统的输出也在有限范围之内，而不随时间而无限增大或振荡。

一般地，当系统的输入信号是有界的，输出信号也应该是有界的，这就是离散时间系统的稳定性。

二、离散时间系统稳定的充要条件1.极点要在单位圆内对于离散时间系统的稳定性，最基本的条件是系统的极点必须在单位圆内。

极点是指系统的传递函数的分母为零的点，是系统的不稳定点。

如果极点在单位圆内，说明系统具有稳定性；如果极点在单位圆外，说明系统是不稳定的。

2.系统的单位脉冲响应要收敛系统的单位脉冲响应是指在系统输入为单位脉冲信号时，系统的输出响应。

如果系统的单位脉冲响应是收敛的，也就是随着时间的推移输出值越来越小，那么系统就是稳定的。

3.系统的输入信号有界无论是连续时间系统还是离散时间系统，输入信号必须是有界的，即幅值不会无限增大。

输入信号无界会导致输出信号也无界，系统就失去了稳定性。

4.系统的增益不应该过大当增益过大时，输入信号的扰动就会被放大成无限大，系统就会失去稳定性。

5.系统的相对阶数应该小于等于1对于离散时间系统，相对阶数是指系统的零点数减去极点数，这个数必须小于等于1才能保证系统是稳定的。

如果相对阶数大于1，说明系统是不稳定的。

在实际应用中，通常需要结合多种充要条件综合判断离散时间系统的稳定性，确保系统的正常工作。

比如可以使用频率响应法、极点（零点）分布法等方法来分析系统稳定性。

同时，还可以根据不同的应用场景和不同的需求，选择合适的系统模型来保证系统的稳定性和性能。

数字信号处理第二章第10节

零点矢量
极点矢量
e
j
d k Dk k e

jΦk

dk
D
k
e

j
C
m
cm
则对于频率响应
H (e ) Ke
j j ( N M ) m 1 N k 1
(e j cm )
j
M
(e
H (e ) e
j
j arg[ H ( e j )]
dk )
有：
j Im[ z ]
2e
0.2e 4 0.4
j
j
6
解：因果系统：
z 2

1.5 Re[ z ]
1
6
稳定系统： 0.4 z 1.5
0
0.2e
j 4
2e
j
A1
A2
二、系统的频率响应
1、H (e )的定义
j
（2）对系统稳定
（3）幅频响应和相频响应的定义
H(e j ) ~ 变化的图称为系统的幅频响应图 arg[H(e j )] ~ 变化的图称为系统的相频响应图
H ( z) Y ( z) 1 z ,z a 1 X ( z ) 1 az za
3）频率响应为:
H (e j ) H ( z ) z e j 1 1 j 1 ae 1 a cos 1 /(1 a cos ja sin )
h(n)是无限长序列。 2.有限长单位冲激响应(FIR)系统： (Finite Duration Impulse Response) h(n)为有限长序列。
（二） IIR系统和FIR系统的特点：
1、 IIR系统的特点： 1）从h(n)来看: h(n)是无限长序列。 2）从H(z)和差分方程来看:

实验Z变换、零极点分析

1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换；一、实验原理及实例分析（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。

【实例1】利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。

【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。

实验4Z变换和系统频域特性的MATLAB实现

实验4Z变换和系统频域特性的MATLAB实现⼩实验4 Z 变换和系统频域特性的MATLAB 实现1. 实验⽬的学习通过Z 变换来分析离散系统的频率响应，并⽤MATLAB 实现。

加深对系统的零、极点分布概念的理解。

2. 实例分析2.1通过Z 变换分析求解系统的冲激响应()h n已知⽤线性常系数差分⽅程：1()()()NMk r k r y n a y n k b x n r ===-+-∑∑表⽰的线性时不变系统其系统函数为：01()()()1Mrr r N kk k b zY z H z X z a z-=-===-∑∑ （3-1）上式为两个关于1z -的多项式之⽐，即()H z 为有理分式。

同时，式可以表⽰成部分分式的形式：110()1NM Nkk k k k k R H z C z p z ---===+-∑∑ 则可以通过所熟悉的常见序列的Z 变换形式求得()H z 的Z 反变换，从⽽求得系统的冲激响应函数()h n 。

MATLAB 提供了⼀个内部函数residuez( )，来计算有理多项式的留数和直接项，residuez( )函数有⼏种调⽤⽅式：（1）[R,p,C] = residuez(b,a)，在已知以分⼦⾏向量b 和分母⾏向量a 下，得到列向量R 含有留数，列向量p 是极点位置，⾏向量C 包含直接项；（2）[b,a] = residuez(R,p,C)，将部分分式展开式转换到分⼦⾏向量b 和分母⾏向量a.MATLAB 还提供了⼀个内部函数impz(b,a,N)，在已知分⼦⾏向量b 和分母⾏向量a 下，计算N 点的单位冲激响应()h n 。

例3.1 求系统：123412340.0018360.0073440.0110160.0073740.001836()1 3.0544 3.8291 2.29250.55075z z z z H z z z z z --------++++=-+-+的单位冲激响应()h n 。

离散系统的系统函数和频率响应

| z |> m | pi | ax
i
p2
p1 p3 Re[z]
⇔ cau sality
p2
Im[z]
p1
| z |< m | pi | ⇔anti - causality in
i
p3
因果、稳定系统：因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为：（）的收敛域为：
ρ ≤| z |≤ ∞
包含单位圆且（ROC包含单位圆且极点均在单位圆内）包含单位圆极点均在单位圆内）
离散系统的系统函数和频率响应系统函数：系统函数： H(z) = FT[h(n)] = Y(z) X (z)
频率响应：频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数传输函数) 单位圆上的系统函数传输函数
jω
H(e ) = H(z) |z=e jω
jω
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：稳定性：稳定性：
G = (1− R) 1− 2Rcos(2ω0) + R
2
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e jω)|²
1 1/2
∆ω
ω
0
ω0
π/2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e
pole
jω
1
|H(ω)|²
unit circle
zero
2、利用零极点分布确定系统的频率特性：、利用零极点分布确定系统的频率特性：
Y(z) H(z) = = X (z)
M
bi z−i ∑ ai z−i ∑

精品课件-数字信号处理(第四版)-第2章时域离散信号和系统的频域分析-3

图2.6.2 H(z)=z－1的频响19特
【例2.6.3】设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n－1)+x(n)
解
由系统差分方程得到系统函H数(为z)
1 1 bz1
z
z b
| z || b |
式中，0<b<1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时针旋转时，在ω=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在 ω=π点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布及幅度特性如图所示。
如果-1<b<0，则峰值点出现在ω=π处，形成高通滤波器。
20
【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，试定性画出系统的幅频特性。
H(z) 1 zN z N 1 zN
H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响应。零点有N个，由分子多项式的根决定
z N 1 0 即 z N e j2πk
小结单位圆附近的零点位置对幅度响应波谷的位置和深度有明
显的影响，零点可在单位圆外。在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的波峰的
位置和高度则有明显的影响，极点在单位圆上，则不稳定。利用直观的几何确定法，适当地控制零、极点的分布，就
能改变系统频率响应的特性，达到预期的要求，因此它是一种非常有用的分析系统的方法。
根据其形状，称之为梳状滤波器。
例2.6.4的梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性
22
2.6.4 几种特殊系统的系统函数及其特点全通滤波器梳状滤波器最小相位系统
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1 全通系统（全通网络，全通滤波器）
定义：如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1.
| H (ej ) | 1 0 2π