高斯光束的传输变换
高斯光束q参数的变换规律
Klystron,
TWT, BWO…
0.2 ~ 2.0 0.1
< 100 uW 10-9 ~ 10-12
Joule
目前应用较多的 THz 源； 用于成像系统， 功率低。
1~100 mW 随频率提高， 输出功率显著下 降；最高频率小 于 1 THz。
THz 技术在国防上的重要作用。
● THz 雷达可成为未来高精度雷达的发展方向:
其中：
Rz
z1
f z
2
z
1
w02 z
2
w2 (z)
w02
1
z f
2
w02
1
z w02
2
经整理后可得： qz i w02 z if z q(0) z
高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2,q的规律为 ：
qz2 qz1 z2 z1 qz1 L
2 0
w02
1
w2
w2 R
÷÷2
B 4 (A D)2 2 (1 AD)
利用ABCD矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的基模参数
高斯光束的匹配
若使一个稳定腔所产生的高斯光束与另一个稳定腔产生 的高斯相匹配，需在合适的位置放置一个焦距适当的透镜， 使两束高斯光束互为物象共轭光束。该透镜称为模匹配透镜。
高斯光束的ABCD定律
如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵
M1
A1 C1
B1
D
1
M2
A2 C2
B2 • • • • • •
D2
Mn
An Cn
Bn
Dn
总矩阵元M：
A M C
B D
An Cn
高斯光束的变换,模式匹配
2.1212 4
1.63
∵F<l0/2,取正
lF
F 2 ff
f f
1.63
1.632 2
1 2.21 2
l F
F 2 ff
f f
1.63
1.632 2
2 2.79
用F=1.63m的透镜，放在距物腰2.21m,距像腰2.79m处
(3)l0= 2 2m
A F
l02
(A2 - 4) ff A2 4
(2)l=2 q 2 i
q Fq 0.1(2 i) 0.1(2 i)(-1.9 i) 0.104 0.00217i F q 0.1 2 i (-1.9 i)(-1.9 i)
l 0.104m
w0
f
3.14106 0.00217 0.0466mm
3.14
结论 1. F<f，总有聚焦作用 2. 若F>f,只有l F F2 f 2及 l F F2 f 2 才有聚焦作用
1.5
1.52 1 2
1 1.5 0.3535 2
1.8535m或1.1465m
l F
F 2 ff
f f
1.5
1.52 1 2
2 1.5 0.707
2.207m或0.793m
将透镜放在距物腰1.854m,距像腰2.207m处 或放在距物腰1.147m,距像腰0.793m处
2、两高斯光束的腰位置固定
解 (1)l=0
f
w02
3.14 106 3.14 106
1m
qi
q Fq 0.1i 0.1i(0.1 i) 0.099 0.0099i F q 0.1 i (0.1 i)(0.1 i)
3.10_高斯光束的传输与透镜变换
二、高斯光束通过薄透镜的变换
联系：如果ω0→0（即f→0），或（l-F）2＞＞f2，
则有： l ' F F 2 lF F 2 F 2 lF
lF
lF
lF
即：
1 lF 1 1 l ' lF F l
1 1 1 l l' F
这正是几何光学成像公式。
（l-F）2＞＞f2，意味着物高斯光束束腰与透镜后焦 面相距足够远。
1. 普通球面波
V的符号规定： 如果像点在透镜右方，v取正号； 如果像点在透镜左方，v取负号。 一个薄透镜的作用，是将距它u处的物点O聚成像
点O’，u与v满足： 1 1 1 uv F
二、高斯光束通过薄透镜的变换
1. 普通球面波 由于R1=u，R2=-v，则有：
111
R1 R2 F
一个薄透镜的作用，是将它左侧的曲率半径 为R1的球面波改造成右侧的曲率半径为R2的球面 波，R1与R2满足上式。
(z) 0
1 (
z )2 f
0
1
z
2
(02
)2
可见：
①高斯光束R(z)的变化规律与普通球面波不同；
②对高斯光束，除R(z)的变化，还有ω(z)的变化。
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
R(z1)
z
f2 z
z 1 (02 )2 z
(z) 0
1 (
z f
)2
0
1 z2( )2 02
一、高斯光束在空间的传输规律
即：
q(z) q(0) z q(z1) q(0) z1 q(z2 ) q(0) z2 q(z2 ) q(z1) (z2 z1)
与普通球面波在形式上是相同的。
§2.7+高斯光束及其传输规律
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.7 高斯光束及其传输规律
r2 r2 −1 z −ik z+ −tan − 2 2R( z) f w ( z)
c 自由空间的基 Ψ x, y, z) = e 模 高 斯 光 束 00 ( w( z)
• 情况1：已知w0, w'0, 确定透镜焦距(F)及透镜的距离 l, l'
( l − F ) F2 l′ = F + 2 l − F) + f 2 (
′ w =
2 0
w0 l −F =± F2 − f02 ′ w0 ′ w0 l′ − F = ± F2 − f02 ′ w0
( F −l )
w2 F2 0
1 1 λ = −i 2 定义q 参数 q z R z 高斯光束的复曲率半径) ( ) ( ) πw ( z) (高斯光束的复曲率半径
若已知高斯光束在某一位置的q参数 若已知高斯光束在某一位置的 参数 → w(z), R(z), θ
1 1 = Re , R( z ) q ( z )
3. 光学系统(元件)
r2 A B r 1 球面波 = θ2 C Dθ1
r2 = Ar + Bθ1 1
r2 ≈ R2θ2
r ≈ Rθ1 1 1
θ2 = Cr + D 1 θ 1
R2 =
θ2
r2
=
AR + B 1 CR + D 1
参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同 高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波 的变换相同 参数通过光学系统的变换与球面波
两式相减
激光原理第三章
r2 z exp ) 2 2 w z exp i kz (1 m n) arct an( w0 kr exp[i ] 2 R( z )
2
（3-1-24)
式中 cmn 中
是归一化常数。当m0,n=0时，上式退化为基模高斯光束的表达式（3-1-21），式
欲使该式对 x 和 y 的任何值都成立,要求x和y同次幂的系数之和分别等于零. 结果可 得下列两个简单的常微分方程:
2
2
dq( z ) 1 dz dP( z ) i q( z ) dz
由（3-1-6）式与其他参量无关，所以先讨论 它的解及其含义。它的解很简单：
(3-1-6)
H
2x m w( z )
Hn
2y w( z )
和
分别为m阶和n阶厄米多项式。
1、垂直于光轴的横截面上的厄米－高斯分布 高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函 数的乘积决定：
r 2x 2y exp H [ ] H [ ] m n 2 w z w( z ) w( z )
与轴线交于z点的等相平面 上的光斑半径
z z wz w0 1 w2 w0 1 z 0 0
2
2
R ( z ) z (1
w
z0 2 ) z[1 ( ) ] z z
与轴线相交于z点的高斯光 束等相位面的曲率半径 基模光束腰 斑半径
kr 0 ( z 0) exp( ) exp[ip( z 0)] 2 z0
2
将（3-1-9）式代入 （3-1-4）式 , 并令 z=0, 得 z=0 处基模的振幅分布:
激光加工中高斯光束的特性与传输变换
１ 高斯光束 的几个描 述参数
１ １ 光束 质量 因子 ．
一
ห้องสมุดไป่ตู้
韭
是表征激光束空间光束质量的参数． 可以证 明， 通过近轴 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ光学系统时， 光束质量
理想 ’ ｕ 理想
因子 Ｍ２ 是一个传输不变量［． 以通过 Ａ Ｃ ２所 ］ Ｂ Ｄ光学系统对高斯光束进行传输与变换不影响其 Ｍ２ 值．
动控 制 的程 度 ．
高光由气入向性折率 均介时变矩为 １］复数（等 斯束空进各同的射为的匀质的换阵［ ／， 参 ｑ、 ｏ其 ｚ ）
相面曲率半径 户 ｚ 和共焦参数 Ｚ 都扩大了 （） ０ 倍 ； 相反 ， 若它由各向同性的均匀介质进入空气 中后 ， ｇ 、 其 （） Ｉ 和 Ｚ 都缩小了 倍． Ｄ ） （ ｏ
／， －６ －
表 示 其等 相位 面 曲率半 径 ； 明 ｌ ｚ 随着 ｚ 说 Ｄ ） （ 的增加 而增 加 ， ｚ ∞ 时 ， （） 。 ， 时其等 相位 面为 平面 ． 在 一 ｌｚ 一 。 此 Ｄ
当 — Ｚ 时 ， ０ 其等相位面曲率半径达到最小值 阳 ） ２ ｏ 叩 ） ｔ ｚＺ ） （ 一 Ｚ ； （ 一 ｇ （／ ｏ 表示附加相移． － 上面的式 （） １ 反映了高斯光束的场分布及其在传播过程中的变化规律［ ． １ ］
＋ 轰 ， 光 通 光 为 的Ｂ 系 后 是 斯 束其 幅 大原 的 ｉ 高 束 过 程 Ｌ Ａ Ｄ统 ， 高光 ， 放 到 来 斯 ｃ 仍 振
｝
｝， 参变 ｑ） 倍 复数为 一 其 （ ｚ
． 斯束过轴学统满 ＡＤ律． 即 光通傍光系时足Ｂ定嘲 高 ｃ
２ 高斯光束 的性质 与变换
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ３ １２ ．
第16讲 高斯光束的传输和变换
O
L
z1
z2
z
q2 q(z2 ) z2 if
q2 q1 L
16.2 高斯光束传输的基本规律
M1
w0
w1 w2
M2 w0
R1
R2
l
l
16.2 高斯光束传输的基本规律
1 11 R2 R1 F 由于透镜很薄，紧贴透镜的两侧等相位面上的光斑大小和
光强分布相同；
w2 w1
第16讲 高斯光束的传输和变换
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过长度为L的自由空间
R1 R(z1) z1 R2 R(z2 ) z2 R1 L
R( z1 )
O
z1
z2
z
R(z2 )
L
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过焦距为F的薄透镜
R
O
f1
w02
3.14 3104 632.8109
2
0.45 m
q0 if1
q1 q0 l1 0.1 0.45i m
q2
Fq1 F q 0.1 0.45i
0.18 0.085i
0
1
1.5 0.35
M
M3M2M1
5
0.5
输出光束的q参数为：
q4
1.5q1 0.35 5q1 0.5
(0.32
0.085i)
m
因此：
R1
1
r2
2
A C
B r1
D
3.10 高斯光束的传输与透镜变换解读
若ω0→0或z →∞，则R(z) →z、 ω(z) →∞。 当光斑尺寸趋于无穷大时，波阵面上的光强分布 趋于均匀，这正是普通球面波波阵面上的均匀分布 情况，此时，高斯光束可看成是普通球面波。
一、高斯光束在空间的传输规律
定义：
1 1 i 2 q( z ) R( z ) ( z )
称q(z)为q参数，或称为高斯光束的复曲率半径。 定义q参数的好处是： ① z处R(z)与ω(z)两个参数可用一个参数q(z)表示，
即：
1 1 1 q1 q2 F
这与几何光学成像公式在形式上是相同的。
例题
例题1： 某高斯光束波长为3.14微米，束腰半径 为1mm。 求：距离束腰右方50cm处的 （1）q参数； （2）光斑半径和等相位面曲率半径。
例题
例题2： 某高斯光束波长为3.14微米，在某处光 斑半径为1mm，等相位面曲率半径0.5m。 求：此高斯光束 （1）在该处的q参数； （2）束腰半径及位置。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换
一、高斯光束在空间的传输规律
1. 普通球面波
R( z1 ) z1 R ( z2 ) z2
即球面波的波前曲率半径R等于传输距离Z。
R( z2 ) R( z1 ) ( z2 z1 )
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
2 f2 1 0 R( z1 ) z z ( )2 z z z 2 2 2 ( z ) 0 1 ( ) 0 1 z ( 2 ) f 0
区别：如果将入射光束的腰看作物点。 按照几何光学成像规律，如l=u=F，则l’=v=∞； 按照高斯光束成像规律，如l=F，则l’=F。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
高斯光束的传播
如何借助透镜改善高斯光束的方向性？
4.3.3 高斯光束的准直
实际应用中，为了减小光束发散角，从而能量不会随距离很快散开，需 要对高斯光束准直。
一、核心问题：改善光束的方向性，即压缩光束的发散角
二、方法：①用单透镜；② 用望远镜。
①用单透镜
高斯光束发散角:
2
2 0
通过透镜后，像高斯光束发散角：2 ' 2
(02
)2
]
)2
s
02
1
1
R
(
R 2
)2
2
(2 )2 R
经透镜变换后的束腰位置、腰斑大小由以上两式决定.
已知高斯光束的腰斑大小和位置，整条高斯光束传输规律就确定了。
4.3.2 高斯光束的聚焦 0' 0
实际应用中，为了提高激光的光功率密度， 需要对高斯光束进行聚焦。
图4-16 高斯光束通过薄透镜的变换
0
1
s
(
2 0
)
2
2 2 0
用凹透镜直接加大发散角
用两个凸透镜聚焦
束腰半径越小,发散角越大,从而加大,达到缩小聚焦光斑的目的.
高斯光束聚焦的腰斑放大率：
0
f
0
1 (
s
)2
2 0
0 0
f 1 (s02 )2
如果 s 足够大,满足条件:
s
(
2 0
)2
则 1:
又 s f
0 f s' 0 s s
通过第一个短焦距（f 1）透镜聚焦，获得极小的腰斑：
核心问题：由
02
1
2 2 (
)2
R
、和
s
1
高斯光束的传输变换学习笔记
0
1
R1( z ) o
当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前
z1
R2(z)
z2 z
曲率半径满足：
L
1 1 1 R2(z) R1(z) F
R2(z)
R1 R1 / F
1
1
1/
F
0
1
F
将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面
波的传播规律：
R2(
z)
AR1( z ) CR1( z )
B D
R1(z)
R2
i
2 1
R2为等相位面曲率半径，由球面 波球率半径的变换公式可得：
1 R1
1 F
i
2 1
1 q1( z )
1 F
高斯光束通过薄透镜的传输
通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，
可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的 变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R 相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半 径；
高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用
光线矩阵表示出来：
q2(
z)
Aq1( z ) Cq1( z )
B D
由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的
具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述
一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将
主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。
2
1
高斯光束的ABCD法则
3、用q参数表示
1 由q参数的定义： q(z)
1 R(z)
i
2(可z ) 知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
第三章 高斯光束的传输与变换
2.9.4 高阶高斯光束 （1）厄米特—高斯光束 高阶高斯光束横截面内的场分布可由高斯函数与厄米多项式的 乘积来描述。 沿z方向传输的厄米卢高斯光束
mn(x ,y ,z ) C mn
C mn 1
1
H m(
2
2
x )H n(
2
y) e
r2 2
e
r2 z i k(z )( m n 1)arctg 2R f
激光物理
第三章
高斯光束的传输与变换
回顾
方形镜共焦腔的行波场
（厄米-高斯光束） 当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦 腔中的行波场可以表示为：
2 2 0 Emn( x, y, z ) AmnE 0 Hm x Hn y e ( z) ( z) ( z)
1 1 令q0=q(0)，则： Nhomakorabeai 2 q 0 R(0) (0)
20 R(0) , (0) 0 q 0 i if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据 实际问题来灵活选择使用哪种参数。
2 2 2 2
可见,光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以 ω(z)=ω0,达到极小值（束腰）。
（2)基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
r2 z 00(x ,y ,z ) k(z ) arctg 2R f
表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面
2 2 0 R(z ) z 1 z
式中ω0和ω(z)分别为基模光腰半径和z处光斑半径。在z方向和y 方向的远场发散角 2 ( z ) 2 m lim m 2m 1 2m 1 0 z z 0 2n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0
激光原理：7-2高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
一、球面波的R参数 R(z)=z
R(z):等相位面曲率半径
R(z) z
0
z
二、ABCD定律
若某元件的光学变换矩阵为 CA
B D
，则通过此元件
前、后的球面波R参数和高斯光束q参数满足关系。
R AR B CR D
q Aq B Cq D
R、q:通过元件前的参数 R、q:通过元件后的参数
q2 q1 L
近轴情况 R2 l2 发散(+) 会聚(-)
1 11 R2 R1 F
1 q2
1 R2
i
w22
1 11
R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
7.2 高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
例1：某高斯光束共焦参数为f=1m，将焦距F=1m的凸 透镜置於其腰右方l=2m处，求经透镜变换后的像光束 的焦参数f及其腰距透镜的距离l。
7.2 高斯光束的传输规律
三、球面波R参数的传输规律
1、传播L距离
R=R+L
传播L距离的光学变换矩阵
R 1 R L R L 0 R1
或 R=R(z)=z
R=R(z)=z
R-R=z-z=L ∴R=R+L
第7章 高斯光束
T
1 0
L 1
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
7.2 高斯光束的传输规律
2、通过透镜
q Fq Fq
1 0
透镜的光学变换矩阵
T
1
1
q
1 q 0 1 q 1
q 1 q
Fq F q
3.11 光线传播矩阵与ABCD公式
小结：高斯光束与普通球面波的区别与联系
联系： 要将高斯光束用复曲率半径（q参数）表示，则 q的变换规律与普通球面波波阵面曲率半径R的变换 规律相同，例如： 通过自由空间L时的传输 普通球面波 R1 0 z1
R2 0 z2 R2束 q1 q(0) z1
1 q i 2 R
1 1
r1
r1
B D
AR1 B CR1 D
一、高斯光束在空间的传输规律
1. 普通球面波 当光线在自由空间中行进距离L时：
A B 1 L TL , C D 0 1 R1 L R2 R1 L 1
当光线通过焦距为F的薄透镜时：
1 A B TF 1 C D F 0 , 1 R1 0 FR1 R2 1 F R 1 R1 1 F
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束 用q参数（复曲率半径）描述，也符合ABCD公式：
Aq( z1 ) B q ( z2 ) Cq( z1 ) D
小结：高斯光束与普通球面波的区别与联系
区别：
1. 高斯光束是变曲率中心的球面波：
f2 R( z ) z z
2. 高斯光束波阵面上能量分布不均匀（高斯分布）； 3. 高斯光束的传输规律与普通球面波不同。
q2 q(0) z2 q2 q1 ( z2 z1 )
小结：高斯光束与普通球面波的区别与联系
通过薄透镜变换 普通球面波 高斯光束 用ABCD公式 普通球面波 高斯光束
AR1 B R2 CR1 D
1 1 1 R1 R2 F 1 1 1 q1 q2 F
Aq1 B q2 , Cq1 D
3.11 光线传播矩阵与ABCD公式
第三章--高斯光束及其特性讲解学习
1
11
R2(z) R1(z) f
R 2(z)C A R R 1 1 ( (z z) ) D B , C AD B 1 1 /f
0 1
反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系
§3.1 基模高斯光束
球面波的传播规律可以统一写成
R2
AR1 CR1
B D
结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R 来描述，传播规律由变换矩阵确定。
§3.1 基模高斯光束
高斯光束在其传输轴线附近 可近似看作是一种非均匀球面波 曲率中心随着传输过程而不断改变 振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性 等相位面始终保持为球面 强度集中在轴线及其附近
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： ➢ 用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
§3.1 基模高斯光束
11
q(z) R(z)i2(z)
q：复曲率半径
参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知道了高斯光束在
某位置处的q参数值，可由下式求出该位置处(z)和R(z)的数值
R 1 (z)R e[q (1 z)],2 1 (z) Im [q (1 z)]
用q0=q(0)表示z=0处的参数值，得出
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： ➢ 用q参数表征高斯光束
u 0 0 ( x ,y ,z ) c 0 0( 0 z ) e x p [ x 2 2 ( z y ) 2 ] e x p { i [ k ( z x 2 2 R ( z y ) 2 ) a r c t g z f] }
u 0 0 ( x ,y ,z ) c 0 0( 0 z ) e x p { i k x 2 2 y 2 [ R 1 ( z ) i 2 ( z ) ] } e x p [ i ( k z a r c t g z f ) ]
高斯光束的传输变换
f1
0 1
r11
4
3.2高斯光束及其q参数 ，高斯光束（英语：Gaussian beam）是横向电场以及辐射照度分布 近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的
条件，在这种情况里，激光在光谐振腔里以TEM00波模传播。
1.稳定腔高斯光束
w(z)
b 2
[1
(
2z b
)2
]
w0
1 ( z )2 f
i
w2 (z)
q(z)称为高斯光束的复数曲率半径.它统一了两 个参数w(z)和R(z)
z=0处,即束腰处,R(0)→∞,w(0)=w0
1 q0
1 R(0)
i
w2 (0)
q0
i w02
iz0
6
2.高斯光束的传输变换
光学系统的传输矩阵ABCD
q2
Aq1 Cq1
B D
1）在自由空间的传输
r2 r1
2 1 n1 / n2
A B 1 0 C D 0 n1 / n2
3
4.曲率半径为R的球介质面 5.曲率CA半DB径 为n2R1nR2n1的n球1 0/ n2反 射面
CA
DB Leabharlann 1 2/R10
6.复合光学系统
CA
比如
B D
M
n
M
2
M1
r22
1 1/
f2
10
1 0
d 1
1 1/
l F l'F
w0
w0 ' w0 '
w0
F 2 Z02
F
2
Z
2 0
Z0
w0w0 '
高斯光束的传输变换
U 00 (x, y, z)
=
c
−ik r 2 [ 1 −i λ ]
e e 2 R( z) πw2 ( z) −i(kz+Φ)
w( z )
（2.7.15）
定义一个新的复参数 q(z)
1 = 1 −i λ q(z) R(z) πw2 (z)
任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离 r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变 换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离 L 均匀空间的变换
我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L的传输，如图 2-22 所示，假定光线从入射参考 面P1出发，其初始坐标参数为r1和θ1，传输到参考面P2时，光束参数变为r2和θ2，由几何光 学的直进原理可知
图 2-26 高斯光束的聚焦 由前面介绍，光线从入射光束束腰处传输到出射光束束腰处的传输矩阵
⎜⎜⎝⎛ CA
DB ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛10
1l'⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
−
1 1/
F
10⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 0
1l ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛1−−1l/' /FF
l
+ 1
l'−ll' / −l/F
F
⎟⎟⎠⎞
（2.7.26）
w0 ' ≈ w0π
λF
= λF ， l'≈ F
1 + (λl / πw02 )2 πw(l)
（2.7.32）
第4章 高斯光束
l （1） F
当l
0随 l 的减小而减小
0(min)
0 时：
0
f 2 1 ( ) F
l
F F 1 f
2
F
f
（共焦参量）
f ）与腰位置 z
( z )
0 R( z ) z
3. 高斯光束的 q 参数
x2 y2 0 x2 y2 u00 ( x , y , z ) c exp 2 exp i k ( z ) ( z ) (z) (z) 2 R( z )
可将基模高斯光束看作具有复数波面曲率半径的球面波光束
1 1 i q(z) R(z) 2 (z)
光腰处：
1 1 Re R( z ) q( z ) 1 I 1 m 2 (z) q( z )
F
R2
Aq1 B q2 Cq1 D
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
3. 实例分析
0
0 c
已知：
0、l、F
A B l
C
求：
l
lC
q0
方法一：
q A qB
qC
C、RC
q0 i 0 2 z=0 处： A处：q A q0 l
B处：1 qB 1 q A 1 F
A0 exp( ikr ) R
x 2 y 2 z 2 ，光源到点 ( x , y , z ) 的距离
与坐标原点距离为常数 ，是以原点为球心的一个球面，在 这个球面上各点的位相相等，即该球面是一个等相位面。
近轴（ x, y z ，z R ）：
高斯光束q参数的变换规律
Q参数之间存在一定的关系， 如束宽与波前曲率、相位曲 率等之间存在相互影响和制
约。
高斯光束的Q参数可以通过实 验测量或数值计算获得，对于 高精度光学测量和光学系统设
计具有重要意义。
02
高斯光束Q参数的变换规律
Q参数变换的数学描述
数学模型
高斯光束的Q参数可以通过建立数学模型进行描述，包括振幅分布、相位分布、光斑大 小等。
光学传感
利用高斯光束Q参数变换规律，可以实现高灵敏度、 高分辨率的光学传感。
激光雷达
通过高斯光束Q参数变换，可以实现激光雷达的精确 测距和目标识别。
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高斯光束Q参数的变换规律
目录
• 高斯光束Q参数的基本概念 • 高斯光束Q参数的变换规律 • 高斯光束Q参数变换的应用 • 高斯光束Q参数变换的挑战与展望
01
高斯光束Q参数的基本概念
高斯光束的定义
高斯光束是指光束横截面上的光强分 布呈高斯函数形状，即光强最大值在 中心，随着离中心的距离增加而逐渐 减小。
激光加工与制造
在激光加工和制造领域，高斯光束的Q参数变换可用于提高加工精度和稳定性。 通过优化光束质量，可以减小加工过程中的热影响区和畸变，提高加工效率和产 品质量。
04
高斯光束Q参数变换的挑战与展 望
当前面临的主要挑战
精确控制光束质量
高斯光束的Q参数受到多种因素的影响，如波长、光束直 径、光束发散角等，精确控制这些参数以确保光束质量是 当前面临的主要挑战之一。
探索新型变换设备
开发新型的光束变换设备， 如光束质量控制器、高速 调制器等，以提高变换效 率和精度。
研究多维参数变换
研究高斯光束在多维空间 中的Q参数变换规律，以 拓展其在多维光束控制领 域的应用。
高斯光束的传输变换
i
12
R2 为等相位面曲率半径，由球面波球率 曲率半径的变换公式可得：
1 1
11
=
R1
F
i
12
q1
z
F
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q( z )的表达形式：
q z q0 cos
k2 k
z
k k2 sin
k2 k
z
q0
k2 k
sin
k2 k
q
z
1
2
z
Im
1
qz
6.1高斯光束的特征参数
令q0
q(0)，则：1 q0
1
R 0 i 2 0
R0
0 0
q0
i 02
if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题 来灵活选择使用哪种参数。
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
BT DT
A1 A2 A1 C2
C1 B2 C1 D2
B1 A2 B1 C2
D1 D1
B2 D2
A2 C2
B2 D2
A1 C1
B1 D1
其规律同光线传输规律相同，可以推广到任意个光学元件的传输情况。
6.4 高斯光束在透镜波导中的传播
光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为 ABCD，那么经过S个周期后，
普通球面波波前曲率半径在自由空间中的传播规律
R1 z z1
R2
z
z2
z1
z2 z1
R1 z L
当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率
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2.7 高斯光束的传输 本节利用高斯光束的复参数表示法和ABCD 定律简洁地处理基模高斯光束在自由空间和通过近轴光学元件的传输变换。
2.7.1 光线传输矩阵 光线传输矩阵法就是以几何光学为基础，用矩阵的形式表示光线的传输和变换的方法。
该方法主要用于描述几何光线通过近轴光学元件和波导的传输，也可用来处理激光束的传输。
任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离r 及光线与轴线的夹角θ。
将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。
1. 近轴光线通过距离L 均匀空间的变换 我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L 的传输，如图2-22所示，假定光线从入射参考面P 1出发，其初始坐标参数为r 1和θ1，传输到参考面P 2时，光束参数变为r 2和θ2，由几何光学的直进原理可知图2-22 近轴光线通过长度L 均匀空间的传输12112θθθ=+=Lr r （2.7.1）这个方程组可表示成下述矩阵形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1122101θθr L r（2.7.2）即可用一个二阶方阵来描述光线在均匀空间中传输距离L 时所引起的坐标变换⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101L D C B A （2.7.3） 2. 近轴光线通过薄透镜的变换如图2-23所示，近轴光线通过一个焦距为f 的薄透镜。
设透镜的两个主平面（此处为两参考面P 1和P 2）间距可忽略，入射透镜前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r 2和θ2，由透镜成像公式，可写成如下关系式图2-23 光线通过薄透镜的变换fr r r 11212-==θθ （2.7.4）表示成下述矩阵形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11221/101θθr f r （2.7.5）则薄透镜的传输矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1/101f D C B A （2.7.6）这里设会聚透镜f>0,发散透镜f<0。
3. 近轴光线经过不同折射率的界面如图2-24所示，近轴光线经过一个界面发生折射。
设光线由折射率n 1的介质射入折射率为n 2的介质，入射界面前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r 2和θ2，由折射定律，可写成如下关系式图2-24 光线通过界面的变换121212θθn n r r == （2.7.7） 在界面发生折射的传输矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21001n n D C B A （2.7.8）表3-1为一些光学元件的传输矩阵。
其中曲率半径为R 的凹面镜与焦距f=R/2的薄透镜对近轴光线的传输矩阵是相同的，两者是等效的。
表3-1 一些光学元件的传输矩阵距离为L 的均匀介质⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101L 折射率n ，长度L 的均匀介质⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10/1n L 折射率突变的平面⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21/001n n折射率突变的球面⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21212/01n n Rn n n 焦距f 的薄透镜⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/101f 曲率半径R 的球面反射镜⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/201R 平面反射镜⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001 直角全发射棱镜⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---10/21n d 当光线通过由n 个光学元件组合而成的复杂光学系统，依光线通过顺序，各元件的传输矩阵分别为，M 1,M 2,…,M n ，入射系统前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r n 和θn ,则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112θθr M M M r n n n （2.7.9） 由n 个光学元件组合而成的复杂光学系统的传输矩阵为12M M M D C B A n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2.7.10）2.7.2 高斯光束的基本性质和q 参数 由（2.3.16），（2.3.33）和（2.3.19）式，沿z 向传输的基模高斯光束均可表示以相同的形式]))(2([)(00222)(),,(Φ++--=z R r z k i z w r ee z w c z y x U （2.7.11）其中C 为常数因子，222y x r +=，其他参量分别表示为200220)(1)(1)(z z w w z w z w +=+=πλ （2.7.12）])(1[])(1[)(20220z zz z w z z R +=+=λπ（2.7.13）λπ20w z =（2.7.14）式中z 0成为高斯光束的瑞利长度或共焦参数，w(z),R(z)分别为z 处光斑半径和等相位面的曲率半径。
若已知高斯光束腰斑大小w 0（或共焦参数z 0）及其位置，可由式（2.7.12）和(2.7.13)确定与束腰相距z 处的光斑半径w(z) 和等相位面曲率半径R(z)，从而可以确定整个高斯光束的结构，并由式（2.7.11）得到空间任意一点处的场强。
同样，若已知轴上z 处w(z)和R(z)，则可以确定高斯光束腰斑大小和位置，从而确定整个高斯光束。
另外，还可引用高斯光束的复曲率半径-q 参数来描述高斯光束。
将（2.7.11）式中与r 有关的因子放在一起)(])()(1[20022)(),,(Φ+---=kz i z w i z R r ikee z w c z y x U πλ （2.7.15）定义一个新的复参数q(z))()(1)(12z w i z R z q πλ-= （2.7.16）则式（2.7.11）可写为)()(12002)(),,(Φ+--=kz i z q r ike e z w c z y x U（2.7.17）参数q(z)称为高斯光束的复曲率半径，它将描述高斯光束基本特征的两个参数w(z)和R(z)统一在一个表达式中，是表征高斯光束的又一个重要参数。
已知坐标z 处的q(z)可很方便的求出该处的w(z)和R(z)，从而确定整个高斯光束的结构。
若以q 0=q(0)表示腰斑z=0处的q 参数值，此位置R(0)→∞,w(0)=w 0，由式（2.7.16）有0200iZ w i q ==λπ（2.7.18）其中λπ200w Z =。
上述介绍的三组参数都可以用来表征高斯光束，但利用q 参数研究高斯光束的传输变换更为简便。
2.7.3 高斯光束的传输变换某光学系统对傍轴光线的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B A ，某高斯光束入射该光学系统前的q 参数值为q 1，出射高斯光束的q 参数值为q 2，则有DCq BAq q ++=112（2.7.19）成为高斯光束传输变换的ABCD 定律。
现通过两个简单例子说明其有效性。
1. 高斯光束在自由空间的传输高斯光束在自由空间传输时，其w(z)和R(z)服从（2.7.12）和（2.7.13）式，将其代入q 参数定义式（2.7.16），可推导出z q z w i z q +=+=02)(λπ（2.7.20）其中q 0为z=0点的复曲率半径，设光束由z 1处传输到z 2，z 1和z 2出的q 参数分别为q 1和q 2，则有10112022)()(z q z q q z q z q q +==+==则L q z z q q +=-+=11212)(（2.7.21）L 为z 1和z 2之间的距离。
该式与将自由空间光线变换矩阵代入（2.7.19）式所得的结果相同。
2. 高斯光束经过薄透镜的变换如图2-25，一高斯光束经过一薄透镜变换后变成另一高斯光束，设入射光束到达透镜前表面时等位面M1的曲率半径为R 1，光斑半径为w 1，出射高斯光束离开透镜后表面的等位面M2的曲率半径为R 2，光斑半径为w 2，有图2-25高斯光束经过薄透镜的变换21w w =（2.7.22）同时规定沿光传输方向的发散球面波曲率半径R 为正，汇聚球面波R 为负，由透镜成像公式，我们有FR R 11121=- （2.7.23）其中F 为透镜焦距。
由（2.7.22）式变换可得F w i R w i R 1)1()1(222211=---πλπλ （2.7.24）即Fq q 11121=- （2.7.25）将薄透镜的变换矩阵代入（2.7.19）式所得的结果与（2.7.25）式相同利用q 参数分析高斯光束传输，形式简洁，对于复杂的光学系统，也可很方便地求出各处的q 参数，从而求出该光束的参数特征。
2.7.4高斯光束的聚焦在实际应用中，如激光打孔、激光切割和焊接中需要将激光束进行聚焦，聚焦一般采用透镜或凹面镜，从这两者的变换矩阵可以看出，它们的效果是一致的，这一节主要讨论高斯光束通过薄透镜的聚焦。
一个理想的透镜并不改变高斯光束横向场分布，即高斯模经过透镜后仍将保持为相同阶次的模，但透镜将改变光束参数w(z)和R(z)。
如图2.26所示，设束腰半径为w 0的高斯光束入射到焦距为F 的薄透镜，束腰与透镜的距离为l ,经由透镜出射的高斯光束束腰半径变为w 0′，其束腰与透镜的距离变为l ′。
同时假设入射光束和出射光束束腰处的q 参数分别为q 0和q 0′。
图2-26高斯光束的聚焦由前面介绍，光线从入射光束束腰处传输到出射光束束腰处的传输矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛F l F F ll l l F l l F l D C B A /1/1/''/'11011/10110'1（2.7.26）将其代入高斯光束传输变换公式（2.7.19），并利用0120iZ w i q ==λπ，可求得2002220120''1)'1()''()]'1)(1(1)''[()]'1()'')(1[('10101w iR Fl Z F ll l l F l F l F F ll l l iZ F l F Z F ll l l F l q πλ-=-+-+--+-+----+-=（2.7.27）利用R 0′=∞,可得到22022)()()('λπwF l F F l F l +--+= （2.7.28）22222020)(1)1('λπw F F l w w +-= （2.7.29）（2.7.28）式和（2.7.29）式揭示了物方和像方高斯光束之间的关系。
下面我们对透镜的聚焦特性进行讨论。
1. F 一定时，按照（2.7.29）式可画出w 0′与l 的变化关系，如图2-27。
图2-27 F 一定时， w 0′随l 的变化关系将（2.7.29）式对l 求一阶偏导2/3220100])([)('F l Z l F F w l w -+-=∂∂ （2.7.30）其中λπ2001w Z =当l<F 时，l w ∂∂/'0>0，w 0′随l 减小而单调减小，当l =0时，w 0′取得最小值。