高斯光束的传输变换

2.7 高斯光束的传输 本节利用高斯光束的复参数表示法和ABCD 定律简洁地处理基模高斯光束在自由空间和通过近轴光学元件的传输变换。

2.7.1 光线传输矩阵 光线传输矩阵法就是以几何光学为基础，用矩阵的形式表示光线的传输和变换的方法。该方法主要用于描述几何光线通过近轴光学元件和波导的传输，也可用来处理激光束的传输。 任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离L 均匀空间的变换 我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L 的传输，如图2-22所示，假定光线从入射参考面P 1出发，其初始坐标参数为r 1和θ1，传输到参考面P 2时，光束参数变为r 2和θ2，由几何光学的直进原理可知

图2-22 近轴光线通过长度L 均匀空间的传输

1

2112θθθ=+=L

r r （2.7.1）

这个方程组可表示成下述矩阵形式

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1122101θθr L r

（2.7.2）

即可用一个二阶方阵来描述光线在均匀空间中传输距离L 时所引起的坐标变换

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101L D C B A （2.7.3） 2. 近轴光线通过薄透镜的变换

如图2-23所示，近轴光线通过一个焦距为f 的薄透镜。设透镜的两个主平面（此处为两参考面P 1和P 2）间距可忽略，入射透镜前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r 2和θ2，由透镜成像公式，可写成如下关系式

图2-23 光线通过薄透镜的变换

f

r r r 1121

2-

==θθ （2.7.4）

表示成下述矩阵形式

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11221/101θθr f r （2.7.5）

则薄透镜的传输矩阵为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1/101

f D C B A （2.7.6）

这里设会聚透镜f>0,发散透镜f<0。

3. 近轴光线经过不同折射率的界面

如图2-24所示，近轴光线经过一个界面发生折射。设光线由折射率n 1的介质射入折射率为n 2的介质，入射界面前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r 2和θ2，由折射定律，可写成如下关系式

图2-24 光线通过界面的变换

12

121

2θθn n r r =

= （2.7.7） 在界面发生折射的传输矩阵为

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21001

n n D C B A （2.7.8）

表3-1为一些光学元件的传输矩阵。其中曲率半径为R 的凹面镜与焦距f=R/2的薄透镜对近轴光线的传输矩阵是相同的，两者是等效的。

表3-1 一些光学元件的传输矩阵

距离为L 的均匀介质

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛101L 折射率n ，长度L 的均匀介质

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛10/1n L 折射率突变的平面

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛21/001n n

折射率突变的球面

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-21212/01

n n Rn n n 焦距f 的薄透镜

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-1/101f 曲率半径R 的球面反射镜

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1/201

R 平面反射镜

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1001 直角全发射棱镜

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---10/21n d 当光线通过由n 个光学元件组合而成的复杂光学系统，依光线通过顺序，各元件的传输

矩阵分别为，M 1,M 2,…,M n ，入射系统前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r n 和θn ,则有

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛1112θθr M M M r n n n （2.7.9） 由n 个光学元件组合而成的复杂光学系统的传输矩阵为

12M M M D C B A n =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ （2.7.10）

2.7.2 高斯光束的基本性质和q 参数 由（2.

3.16），（2.3.33）和（2.3.19）式，沿z 向传输的基模高斯光束均可表示以相同的形式

]))

(2([)

(002

2

2)

(),,(Φ++

--

=

z R r z k i z w r e

e z w c z y x U （2.7.11）

其中C 为常数因子，2

2

2

y x r +=，其他参量分别表示为

2

0022

0)(1)(

1)(z z w w z w z w +=+=πλ （2.7.12）

])(1[])(1[)(2022

0z z

z z w z z R +=+=λπ

（2.7.13）

λ

π2

0w z =

（2.7.14）

式中z 0成为高斯光束的瑞利长度或共焦参数，w(z),R(z)分别为z 处光斑半径和等相位面的曲率半径。若已知高斯光束腰斑大小w 0

（或共焦参数z 0）及其位置，可由式（2.7.12）和(2.7.13)确定与束腰相距z 处的光斑半径w(z) 和等相位面曲率半径R(z)，从而可以确定整个高斯光束的结构，并由式（2.7.11）得到空间任意一点处的场强。同样，若已知轴上z 处w(z)和R(z)，则可以确定高斯光束腰斑大小和位置，从而确定整个高斯光束。

另外，还可引用高斯光束的复曲率半径-q 参数来描述高斯光束。将（2.7.11）式中与r 有关的因子放在一起

)

(]

)()(1[20022)

(),,(Φ+---=

kz i z w i z R r ik

e

e z w c z y x U πλ （2.7.15）

定义一个新的复参数q(z)

)

()(1)(12z w i z R z q πλ-= （2.7.16）

则式（2.7.11）可写为

)()

(12002)

(),,(Φ+--=

kz i z q r ik

e e z w c z y x U

（2.7.17）

参数q(z)称为高斯光束的复曲率半径，它将描述高斯光束基本特征的两个参数w(z)和R(z)统一在一个表达式中，是表征高斯光束的又一个重要参数。已知坐标z 处的q(z)可很方便的求出该处的w(z)和R(z)，从而确定整个高斯光束的结构。

若以q 0=q(0)表示腰斑z=0处的q 参数值，此位置R(0)→∞,w(0)=w 0，由式（2.7.16）有