高斯光束的传输变换
2.7 高斯光束的传输 本节利用高斯光束的复参数表示法和ABCD 定律简洁地处理基模高斯光束在自由空间和通过近轴光学元件的传输变换。
2.7.1 光线传输矩阵 光线传输矩阵法就是以几何光学为基础，用矩阵的形式表示光线的传输和变换的方法。该方法主要用于描述几何光线通过近轴光学元件和波导的传输，也可用来处理激光束的传输。 任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离L 均匀空间的变换 我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L 的传输，如图2-22所示，假定光线从入射参考面P 1出发，其初始坐标参数为r 1和θ1，传输到参考面P 2时，光束参数变为r 2和θ2，由几何光学的直进原理可知
图2-22 近轴光线通过长度L 均匀空间的传输
1
2112θθθ=+=L
r r （2.7.1）
这个方程组可表示成下述矩阵形式
???? ?????? ?
?=???? ??1122101θθr L r
（2.7.2）
即可用一个二阶方阵来描述光线在均匀空间中传输距离L 时所引起的坐标变换
???
?
??=???? ??101L D C B A （2.7.3） 2. 近轴光线通过薄透镜的变换
如图2-23所示，近轴光线通过一个焦距为f 的薄透镜。设透镜的两个主平面（此处为两参考面P 1和P 2）间距可忽略，入射透镜前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r 2和θ2，由透镜成像公式，可写成如下关系式
图2-23 光线通过薄透镜的变换
f
r r r 1121
2-
==θθ （2.7.4）
表示成下述矩阵形式
???? ??????
??-=???? ??11221/101θθr f r （2.7.5）
则薄透镜的传输矩阵为
???
? ??-=???? ??1/101
f
D C B A （2.7.6）
这里设会聚透镜f>0,发散透镜f<0。
3. 近轴光线经过不同折射率的界面
如图2-24所示，近轴光线经过一个界面发生折射。设光线由折射率n 1的介质射入折射率为n 2的介质，入射界面前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r 2和θ2，由折射定律，可写成如下关系式
图2-24 光线通过界面的变换
12
121
2θθn n r r =
= （2.7.7） 在界面发生折射的传输矩阵为
????
?
??=???? ??21001
n n D C B A （2.7.8）
表3-1为一些光学元件的传输矩阵。其中曲率半径为R 的凹面镜与焦距f=R/2的薄透镜对近轴光线的传输矩阵是相同的，两者是等效的。
当光线通过由n 个光学元件组合而成的复杂光学系统，依光线通过顺序，各元件的传输
矩阵分别为，M 1,M 2,…,M n ，入射系统前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r n 和θn ,则有
???? ??=?
??
? ??1112θθr M M M r n n n （2.7.9） 由n 个光学元件组合而成的复杂光学系统的传输矩阵为
12M M M D C B A n =???
? ?? （2.7.10）
2.7.2 高斯光束的基本性质和q 参数 由（2.
3.16），（2.3.33）和（2.3.19）式，沿z 向传输的基模高斯光束均可表示以相同的形式
]))
(2([)
(002
2)
(),,(Φ++
--
=
z R r z k i z w r e
e z w c z y x U （2.7.11）
其中C 为常数因子，222y x r +=，其他参量分别表示为
2
0022
0)(1)(
1)(z z w w z w z w +=+=πλ （2.7.12）
])(1[])(1[)(2022
0z z
z z w z z R +=+=λπ
（2.7.13）
λ
π2
0w z =
（2.7.14）
式中z 0成为高斯光束的瑞利长度或共焦参数，w(z),R(z)分别为z 处光斑半径和等相位面的曲率半径。若已知高斯光束腰斑大小w 0
（或共焦参数z 0）及其位置，可由式（2.7.12）和(2.7.13)确定与束腰相距z 处的光斑半径w(z) 和等相位面曲率半径R(z)，从而可以确定整个高斯光束的结构，并由式（2.7.11）得到空间任意一点处的场强。同样，若已知轴上z 处w(z)和R(z)，则可以确定高斯光束腰斑大小和位置，从而确定整个高斯光束。
另外，还可引用高斯光束的复曲率半径-q 参数来描述高斯光束。将（2.7.11）式中与r 有关的因子放在一起
)
(]
)()(1[20022)
(),,(Φ+---=
kz i z w i z R r ik
e
e z w c z y x U πλ （2.7.15）
定义一个新的复参数q(z)
)
()(1)(12
z w i z R z q πλ
-= （2.7.16）
则式（2.7.11）可写为
)()
(12002)
(),,(Φ+--=
kz i z q r ik
e e z w c z y x U
（2.7.17）
参数q(z)称为高斯光束的复曲率半径，它将描述高斯光束基本特征的两个参数w(z)和R(z)统一在一个表达式中，是表征高斯光束的又一个重要参数。已知坐标z 处的q(z)可很方便的求出该处的w(z)和R(z)，从而确定整个高斯光束的结构。
若以q 0=q(0)表示腰斑z=0处的q 参数值，此位置R(0)→∞,w(0)=w 0，由式（2.7.16）有
020
0iZ w i q ==λ
π
（2.7.18）
其中λ
π20
0w Z =。
上述介绍的三组参数都可以用来表征高斯光束，但利用q 参数研究高斯光束的传输变换更为简便。
2.7.3 高斯光束的传输变换
某光学系统对傍轴光线的变换矩阵为???
?
??D C B A ，某高斯光束入射该光学系统前的q 参数值为q 1，出射高斯光束的q 参数值为q 2，则有
D
Cq B
Aq q ++=
112
（2.7.19）
成为高斯光束传输变换的ABCD 定律。现通过两个简单例子说明其有效性。 1. 高斯光束在自由空间的传输
高斯光束在自由空间传输时，其w(z)和R(z)服从（2.7.12）和（2.7.13）式，将其代入q 参数定义式（2.7.16），可推导出
z q z w i z q +=+=02
)(λ
π
（2.7.20）
其中q 0为z=0点的复曲率半径，设光束由z 1处传输到z 2，z 1和z 2出的q 参数分别为q 1和q 2，则有
1
0112022)()(z q z q q z q z q q +==+==
则
L q z z q q +=-+=11212)(
（2.7.21）
L 为z 1和z 2之间的距离。该式与将自由空间光线变换矩阵代入（2.7.19）式所得的结果相同。 2. 高斯光束经过薄透镜的变换
如图2-25，一高斯光束经过一薄透镜变换后变成另一高斯光束，设入射光束到达透镜前表面时等位面M1的曲率半径为R 1，光斑半径为w 1，出射高斯光束离开透镜后表面的等位面M2的曲率半径为R 2，光斑半径为w 2，有
图2-25高斯光束经过薄透镜的变换
21w w =
（2.7.22）
同时规定沿光传输方向的发散球面波曲率半径R 为正，汇聚球面波R 为负，由透镜成像公式，我们有
F
R R 11121=- （2.7.23）
其中F 为透镜焦距。由（2.7.22）式变换可得
F w i R w i R 1)1()1(
22
2211=---πλπλ （2.7.24）
即
F
q q 11121=- （2.7.25）
将薄透镜的变换矩阵代入（2.7.19）式所得的结果与（2.7.25）式相同
利用q 参数分析高斯光束传输，形式简洁，对于复杂的光学系统，也可很方便地求出各处的q 参数，从而求出该光束的参数特征。
2.7.4高斯光束的聚焦
在实际应用中，如激光打孔、激光切割和焊接中需要将激光束进行聚焦，聚焦一般采用透镜或凹面镜，从这两者的变换矩阵可以看出，它们的效果是一致的，这一节主要讨论高斯光束通过薄透镜的聚焦。一个理想的透镜并不改变高斯光束横向场分布，即高斯模经过透镜后仍将保持为相同阶次的模，但透镜将改变光束参数w(z)和R(z)。
如图2.26所示，设束腰半径为w 0的高斯光束入射到焦距为F 的薄透镜，束腰与透镜的距离为l ,经由透镜出射的高斯光束束腰半径变为w 0′，其束腰与透镜的距离变为l ′。同时假设入射光束和出射光束束腰处的q 参数分别为q 0和q 0′。
图2-26高斯光束的聚焦
由前面介绍，光线从入射光束束腰处传输到出射光束束腰处的传输矩阵
???? ?
?---+-=???? ?????? ??-???? ??=???? ??F l F F ll l l F l l F l D C B A /1/1/''/'11011/101
10'1
（2.7.26）
将其代入高斯光束传输变换公式（2.7.19），并利用012
0iZ w i q ==λ
π，可求得
2
0022
2012
0''1)'1()''()]'1)(1(1)''[()]'1()'')(1[('10101w i
R F
l Z F ll l l F l F l F F ll l l iZ F l F Z F ll l l F l q πλ-=-+-+--+-+----+-=
（2.7.27）
利用R 0′=∞,可得到
2
2
022
)()()('λ
πw
F l F F l F l +--+= （2.7.28）
2
2
2220
2
0)(1)1('λπw F F l w w +-= （2.7.29）
（2.7.28）式和（2.7.29）式揭示了物方和像方高斯光束之间的关系。下面我们对透镜的聚焦
特性进行讨论。 1. F 一定时，按照（2.7.29）式可画出w 0′与l 的变化关系，如图2-27。
图2-27 F 一定时， w 0′随l 的变化关系
将（2.7.29）式对l 求一阶偏导
2
/322010
0])([)
('F l Z l F F w l w -+-=?? （2.7.30）
其中λ
π20
01w Z =
当l
2
010
2
20
0)
/(1)
/(1'F Z w F w w w +=
+=
λπ (2.7.31)
此时不论F 为多大，只要F>0，总有w 0′> w 0，总有一定的会聚效果。
当l>F 时，l w ??/'0<0，w 0′随l 增大而减小，当l →∞时，由(2.7.28)和(2.7.29)式，有
w 0′→0，l ′→F 一般情况下，l>>F 时有
)
()
/(1'220
00l w F
w l w F
w πλπλπλ=
+≈
，F l ≈' （2.7.32）
式中w(l)为入射在透镜表面上高斯光束光斑半径。若同时满足l>>Z 01时，有
00'w l
F
w =
（2.7.33）
当入射高斯光束腰斑离透镜距离较大时，l 越大，F 越小，聚焦效果越好 当l=F 时，这时w 0′取得最大值
0'w F
w πλ=
，F l =' （2.7.34）
只有当F 图2-28 l 一定时w 0′随F 的变化关系 将（2.7.29）式对F 求一阶偏导， 2 /322 012 0100])([) ('F l Z F l l Z w F w -+-+=?? (2.7.35) 当F=R(l)时，w 0′取得最大值 )(])/(1['2/120100l w Z l w w =+= (2.7.36) 式中的R(l)和w(l)分别是入射高斯光束在透镜处等相位面的曲率半径和光斑半径。当F 时，w 0′随F 减小而单调减小。当F=R(l)/2时，w 0′=w 0，只有当F ) ('0l w F w πλ≈ （2.7.37） 当F>R(l)时，w 0′随F 增加而单调减小，在此范围无聚焦作用。 2.7.5 高斯光束的匹配 某些应用场合，需要将激光谐振腔产生的高斯光束注入到另外一个光学系统(谐振腔、光波导和干涉仪等)，将涉及到高斯光束的匹配问题。这些光学系统都有自己的本征模，在模式匹配的情况下，激光谐振腔产生的单模高斯光束只会激发起该光学系统一个相对应的单 模，而不激起系统的其它模式。这时激光器输出的基模能量将完全转化为该光学系统中基模的能量。如果不匹配，将激起系统中多种模场的能量，降低了耦合系数，增加了损耗。 如图2-29，两个谐振腔个产生一高斯光束，光束Ⅰ和Ⅱ的束腰半径分别为w 0和w 0′，在其间适当位置插入一个适当焦距的透镜后，光束Ⅰ和Ⅱ互为共轭光束，则该透镜实现两个腔的高斯模匹配。现需要确定两高斯光束束腰与透镜的距离l 和l ′及透镜焦距F 的关系 图2-29 高斯光束的匹配 由（2.7.26）式可得，光线从光束Ⅰ束腰处传输到光束Ⅱ束腰处的传输矩阵为 ???? ? ?---+-=???? ??F l F F ll l l F l D C B A /1/1/''/'1 （2.7.38） 光束Ⅰ和Ⅱ的束腰的q 参数q 1和q 2分别为 012 1iZ w i q ==λ π （2.7.39） 022 02'iZ w i q ==λ π （2.7.40） 将（2.7.38）（2.7.39）（2.7.40）代入高斯光束传输变换公式（2.7.19），计算可得 ??? ? ???-±=--±=-202002 0200' ''Z F w w F l Z F w w F l （2.7.41） 其中Z 0称为匹配特征长度。 λ π' 0002010w w Z Z Z = = （2.7.42） 当w 0和w 0′给定时，（2.7.41）式中包含三个未知量l ，l ′及F ，其中一个可任意选择。如给定一个F ,只要F> Z 0，可以计算出一组，l 和l ′及透镜焦距F ，从而可以确定两个腔的相对位置及其各自与透镜的距离。如果给定两个腔的相对位置，即两个束腰之间的距离 '0l l l += （2.7.43） 这时，F 不能任意选择，须由（2.7.41）和（2.7.43）可解出唯一一组l ，l ′及F 。 2.7.6 高斯光束的准直 许多应用场合，需要改善光束的方向性，即压缩光束的发散角，通常称为光束的准直问 题。我们讨论薄透镜对高斯光束发散角的影响，随后讨论望远镜准直系统。 由（2.3.37）式，腰斑半径w 0的基模高斯光束远场发散角与束腰半径成反比。 22w πλθ= （2.7.44） 可见，为了压缩高斯光束的发散角，应该使高斯光束束腰半径扩大，与聚焦情况相反。 束腰半径为w 0的高斯光束入射到焦距为F 的薄透镜，由（2.7.34）式，当l=F 时，出射光束的束腰半径w 0′取得最大值 0'w F w πλ= （2.7.45） 此时，相应发散角为 F w w 002'2'2== πλ θ （2.7.46） 对于焦距一定的薄透镜，当l=F 时，w 0′取得最大值，θ′达到最小值。这种情况下，透 镜焦距F 越长，θ′越小。另外，由（2.7.）式可见，出射高斯光束的发散角不仅与薄透镜的焦距有关，还与入射高斯光束的束腰半径w 0有关，w 0越小，准直效果越好。由此我们得到一个启发，先用一个短焦距透镜将高斯光束强聚焦，以获得很小的束腰半径，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向性，如图2-30所示，这就是望远镜准直系统。 图2-30 望远镜准直系统 束腰半径为w 0的高斯光束入射到焦距为F 1的薄透镜L 1进行聚焦，由（2.7.32）式，当l>>F 1时得到一个极小束腰半径的光束，有 ) ('1 0l w F w πλ= （2.7.47） 式中w(l)为入射在透镜L 1表面上高斯光束光斑半径。聚焦光斑正好在L 1焦面上，也在长焦距透镜L 2（焦距F 2）的后焦面上，则由（2.7.34）式，出射光束的束腰半径为 ' 02 0w F w πλ= " (2.7.48) 若以2θ，2θ′和2θ″分别表示入射高斯光束、经L 1聚焦后的高斯光束和经L 2准直后的光束的发散角，则该望远镜准直系统对高斯光束的准直倍率为 220 012)(1)(w l M w F l w F M πλθθ+==''= ' (2.7.49) 其中M= F 2/ F 1,为望远镜的放大倍率，即几何压缩比。望远镜对高斯光束的准直倍率总比对 普通傍轴光线的几何压缩比高。望远镜对高斯光束的准直倍率不仅取决于望远镜本身的结构参数，还与高斯光束的束腰半径及其与L 1的相对距离有关。l 越大，w(l)越大，准直效果也越好。 2.7.7 高斯光束的自再现与稳定球面腔 在激光谐振腔内，高斯光束从某一参考面出发时的光束参数为q,腔内往返一周后的光束参数为q ′,由（2.7.19）式可有 D Cq B Aq q ++= ' (2.7.50) 式中A ，B ，C ，D 为往返一周传输矩阵元素。稳定腔内任一高斯模往返一周后应能自现其身，即自再现条件 q q =' (2.7.51) 于是有 D Cq B Aq q ++= (2.7.52) 利用传输矩阵的特性AD-BC=1,可解得 B D A i B A D q 2)(4212+-±-= (2.7.53) 按照q 参数定义式（2.7.16），可求解得到该高斯模在该参考面的波面曲率半径和光斑半径 A D B R -= 2 (2.7.54) 22) (42D A B w +-= πλ (2.7.55) 这样就可以求得谐振腔内任意部位的光束参数。 由(2.7.55)式，腔内存在真实高斯模的条件必须满足 4)(2<+D A 或12 1<+< -D A （2.7.56） 这是谐振腔的稳定性条件。 以谐振腔内反射镜R 1表面为参考面，求得往返传输矩阵为 ? ???? ? ??+--- -- - =???? ??212212 12122 242412242221R R L R L R L R R R R L R L L R L D C B A （2.7.57） 将矩阵元素A 和D 代入（2.7.56）式，得到 1)1)(1(02 1<-- R L （2.7.58） 这就是我们所熟知的谐振腔稳定性条件（2.3.15）式。 实验三 高斯光束的透镜变换实验 一 实验目的 1.熟悉高斯光束特性。 2.掌握高斯光束经过透镜后的光斑变化。 3.理解高斯光束传输过程. 二 实验原理 众所周知，电磁场运动的普遍规律可用Maxwell 方程组来描述。对于稳态传输光频电磁场可以归结为对光现象起主要作用的电矢量所满足的波动方程。在标量场近似条件下，可以简化为赫姆霍兹方程，高斯光束是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，它可以足够好地描述激光光束的性质。使用高斯光束的复参数表示和ABCD 定律能够统一而简洁的处理高斯光束在腔内、外的传输变换问题。 在缓变振幅近似下求解赫姆霍兹方程，可以得到高斯光束的一般表达式： ()2 2 2() [ ]2() 00 ,() r z kr i R z A A r z e e z ωψωω---= ? （6） 式中，0A 为振幅常数；0ω定义为场振幅减小到最大值的1的r 值，称为腰斑，它是高斯光束光斑半径的最小值；()z ω、()R z 、ψ分别表示了高斯光束的光斑半径、等相面曲率半径、相位因子，是描述高斯光束的三个重要参数，其具体表达式分别为： ()z ωω=（7） 000()Z z R z Z Z z ?? =+ ??? （8） 1 z tg Z ψ-= （9） 其中，2 00Z πωλ =，称为瑞利长度或共焦参数（也有用f 表示）。 （A ）、高斯光束在z const =的面内，场振幅以高斯函数2 2() r z e ω-的形式从中心向 外平滑的减小，因而光斑半径()z ω随坐标z 按双曲线： 22 00 ()1z z Z ωω-= （10） 规律而向外扩展，如图四所示 高斯光束以及相关参数的定义 图四 （B ）、 在（10）式中令相位部分等于常数，并略去()z ψ项，可以得到高斯光束的等相面方程： 2 2() r z const R z += （11） 因而，可以认为高斯光束的等相面为球面。 （C ）、瑞利长度的物理意义为：当0z Z = 时，00()Z ω=。在实际应用中通常取0z Z =±范围为高斯光束的准直范围，即在这段长度范围内，高斯光束近似认 一、课程设计题目： 用matlab 仿真光束的传输特性。 二、任务和要求 用matlab 仿真光束通过光学元件的变换。 ① 设透镜材料为k9玻璃，对1064nm 波长的折射率为1.5062，镜片中心厚度为3mm ，凸面曲率半径，设为100mm ，初始光线距离透镜平面20mm 。用matlab 仿真近轴光线（至少10条）经过平凸透镜的焦距，与理论焦距值进行对比，得出误差大小。 ② 已知透镜的结构参数为101=r ，0.11=n ，51=d ，5163.121=='n n （K9玻璃），502-=r ，0.12=' n ，物点A 距第一面顶点的距离为100，由 A 点计算三条沿光轴夹角分别为10、20、30的光线的成像。试用Matlab 对以上三条光线光路和近轴光线光路进行仿真，并得出实际光线的球差大小。 ③ 设半径为1mm 的平面波经凸面曲率半径为25mm ，中心厚度3mm 的平凸透镜。用matlab 仿真平面波在透镜几何焦平面上的聚焦光斑强度分布，计算光斑半径。并与理论光斑半径值进行对比，得出误差大小。（方法：采用波动理论，利用基尔霍夫—菲涅尔衍射积分公式。） 2、用MATLAB 仿真平行光束的衍射强度分布图样。（夫朗和费矩形孔衍射、夫朗和费圆孔衍射、夫朗和费单缝和多缝衍射。） 3、用MATLAB仿真厄米—高斯光束在真空中的传输过程。（包括三维强度分布和平面的灰度图。） 4、（补充题）查找文献，掌握各类空心光束的表达式，采用费更斯-菲涅尔原理推导各类空心光束在真空中传输的光强表达式。用matlab 对不同传输距离处的光强进行仿真。 三、理论推导部分 将坐标原点选在透镜中心处，θ1=arcsin(y1/r),由n1*sinθ1=n2*sinθ2可得出θ2=arcsin(n1/n2)*(y1/r)，由几何关系可得到θ=θ2－θ1，则出射光线的斜率k=tan(θ2－θ1),当入射直线y=y1时，x1=d－(r－(y r )，并设出射直线为y=k*x+b;由直线经过（x1,y1）即可求2^ )2^1 出b值，从而就可以求出射直线。由单透镜焦点计算公式1/f=－(n-1)*(1/r1－1/r2)可求得f=193.6858。 成绩评定表 学生姓名吴宪班级学号1109020117 专业光信息科学 与技术课程设计题目拉盖尔高斯光束经 透镜传输光场计算 评 语 组长签字： 成绩 日期20 13 年12 月 27 日 学院理学院专业光信息科学与技术 学生姓名吴宪班级学号1109020117 课程设计题目拉盖尔高斯光束经透镜传输光场计算 实践教学要求与任务: 要求： 1）角向节线0，径向节线2的拉盖尔高斯光束（共焦参数=12000倍波长）通过薄透镜； 2）薄透镜（前置圆形光阑）焦距=1500倍波长，光腰在透镜处； 3）光阑半径=120倍波长。 任务： 1）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后时的轴上光强变化，分析焦点变化； 2）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的径向光强变化，计算截断参数； 3）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后的径向–轴向光强变化； 4）撰写设计论文。 工作计划与进度安排: 1. 第一周教师讲解题目内容、任务和论文要求，学生查阅资料，星期四提出设计方案； 2. 第一周星期四到第二周星期三（包括星期六星期日）完成设计； 3. 第二周星期四上交论文； 4. 星期四教师审查论文，合格者星期五论文答辩。 指导教师： 2013年月日专业负责人： 2013年月日 学院教学副院长： 2013年月日 目录 摘要 (4) 设计原理 (5) 一．普通球面波的传播规律 (5) 二．高斯光束的基本性质及特征参数 (6) 三．柯林斯（Collins）公式 (7) 四．基模高级光束的特征参数 (6) 计算结果10 一. 计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的轴上光强变化，分析焦点变化 (10) 二. 计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的径向光强变化，计算截断参数 (11) 三．计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后的径向–轴向光强变化 (12) 目录 1 基本原理 (1) 1.1耦合波理论 (1) 1.2高斯光波的基本理论 (9) 2 建立模型描述 (10) 3仿真结果及分析 (10) 3.1角度选择性的模拟 (10) 3.2波长选择性的模拟 (13) 3.3单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性 (15) 3.4多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性 (17) 4 调试过程及结论 (18) 5 心得体会 (20) 6 思考题 (20) 7 参考文献 (20) 8 附录 (21) 高斯光束经透射型体光栅后的光束传输 特性分析 1 基本原理 1.1耦合波理论 耦合波理论分析方法基于厚全息光栅产生的布拉格衍射光。当入射波被削弱且产生强衍射效率时，耦合波理论分析方法适用耦合波理论分析方法适用于透射光栅。 1.1.1耦合波理论研究的假设条件及模型 耦合波理论研究的假设条件： (1) 单色波入射体布拉格光栅； (2) 入射波以布拉格角度或近布拉格角度入射； (3)入射波垂直偏振与入射平面； (4)在体光栅中只有两个光波：入射光波 R 和衍射光波 S； (5)仅有入射光波 R 和衍射光波 S 遵守布拉格条件，其余的衍射能级违背布拉格 条件，可被忽略； (6)其余的衍射能级仅对入射光波 R 和衍射光波 S 的能量交换有微小影响； (7)将耦合波理论限定于厚布拉格光栅中； 图1为用于耦合波理论分析的布拉格光栅模型。z 轴垂直于介质平面，x 轴在介质平面内，平行于介质边界，y 轴垂直于纸面。边界面垂直于入射面，与介质边界成Φ角。光栅矢量K垂直于边界平面，其大小为2/ =Λ，Λ为光栅周期，θ为入射角。 Kπ 图1布拉格光栅模型 一、课程设计题目: 用matlab 仿真光束的传输特性。 二、任务与要求 用matlab 仿真光束通过光学元件的变换。 ① 设透镜材料为k9玻璃,对1064nm 波长的折射率为1、5062,镜片中心厚度为3mm,凸面曲率半径,设为100mm,初始光线距离透镜平面20mm 。用matlab 仿真近轴光线(至少10条)经过平凸透镜的焦距,与理论焦距值进行对比,得出误差大小。 ② 已知透镜的结构参数为101=r ,0.11=n ,51=d ,5163.121=='n n (K9玻 璃),502-=r ,0.12='n ,物点A 距第一面顶点的距离为100,由A 点计 算三条沿光轴夹角分别为10、20、30的光线的成像。试用Matlab 对以上三条光线光路与近轴光线光路进行仿真,并得出实际光线的球差大小。 ③ 设半径为1mm 的平面波经凸面曲率半径为25mm,中心厚度3mm 的平凸透镜。用matlab 仿真平面波在透镜几何焦平面上的聚焦光斑强度分布,计算光斑半径。并与理论光斑半径值进行对比,得出误差大小。(方法:采用波动理论,利用基尔霍夫—菲涅尔衍射积分公式。) 2、用MATLAB 仿真平行光束的衍射强度分布图样。(夫朗与费矩形孔衍射、夫朗与费圆孔衍射、夫朗与费单缝与多缝衍射。) 3、用MATLAB 仿真厄米—高斯光束在真空中的传输过程。(包括三维强度分布与平面的灰度图。) 4、(补充题)查找文献,掌握各类空心光束的表达式,采用费更斯-菲涅尔原理推导各类空心光束在真空中传输的光强表达式。用matlab对不同传输距离处的光强进行仿真。 三、理论推导部分 将坐标原点选在透镜中心处,θ1=arcsin(y1/r),由n1*sinθ1=n2*sinθ2可得出θ2=arcsin(n1/n2)*(y1/r),由几何关系可得到θ=θ2－θ1,则出射光线的斜率k=tan(θ2－θ1),当入射直线y=y1时,x1=d－(r－r ),并设出射直线为y=k*x+b;由直线经过(x1,y1)即可求出b (y 2^ )2^1 值,从而就可以求出射直线。由单透镜焦点计算公式1/f=－(n-1)*(1/r1－1/r2)可求得f=193、6858。 2.7 高斯光束的传输 本节利用高斯光束的复参数表示法和ABCD 定律简洁地处理基模高斯光束在自由空间和通过近轴光学元件的传输变换。 2.7.1 光线传输矩阵 光线传输矩阵法就是以几何光学为基础，用矩阵的形式表示光线的传输和变换的方法。该方法主要用于描述几何光线通过近轴光学元件和波导的传输，也可用来处理激光束的传输。 任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离L 均匀空间的变换 我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L 的传输，如图2-22所示，假定光线从入射参考面P 1出发，其初始坐标参数为r 1和θ1，传输到参考面P 2时，光束参数变为r 2和θ2，由几何光学的直进原理可知 图2-22 近轴光线通过长度L 均匀空间的传输 1 2112θθθ=+=L r r （2.7.1） 这个方程组可表示成下述矩阵形式 ???? ?????? ? ?=???? ??1122101θθr L r （2.7.2） 即可用一个二阶方阵来描述光线在均匀空间中传输距离L 时所引起的坐标变换 ??? ? ??=???? ??101L D C B A （2.7.3） 2. 近轴光线通过薄透镜的变换 如图2-23所示，近轴光线通过一个焦距为f 的薄透镜。设透镜的两个主平面（此处为两参考面P 1和P 2）间距可忽略，入射透镜前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r 2和θ2，由透镜成像公式，可写成如下关系式 实验二 高斯光束的测量 一 实验目的 1.熟悉基模光束特性。 2.掌握高斯光速强度分布的测量方法。 3.测量高斯光速的远场发散角。 二 实验原理 众所周知，电磁场运动的普遍规律可用Maxwell 方程组来描述。对于稳态传输光频电磁场可以归结为对光现象起主要作用的电矢量所满足的波动方程。在标量场近似条件下，可以简化为赫姆霍兹方程，高斯光束是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，它可以足够好地描述激光光束的性质。使用高斯光束的复参数表示和ABCD 定律能够统一而简洁的处理高斯光束在腔内、外的传输变换问题。 在缓变振幅近似下求解赫姆霍兹方程，可以得到高斯光束的一般表达式： ()2 2 2 () [ ] 2() 00 ,() r z kr i R z A A r z e e z ωψωω---= ? （6） 式中，0A 为振幅常数；0ω定义为场振幅减小到最大值的1的r 值，称为腰斑，它是高斯光束光斑半径的最小值；()z ω、()R z 、ψ分别表示了高斯光束的光斑半径、等相面曲率半径、相位因子，是描述高斯光束的三个重要参数，其具体表达式分别为： ()z ωω= （7） 000 ()Z z R z Z Z z ?? =+ ??? （8） 1 z tg Z ψ-= （9） 其中，2 00Z πωλ = ，称为瑞利长度或共焦参数（也有用f 表示）。 （A ）、高斯光束在z const =的面内，场振幅以高斯函数2 2 () r z e ω-的形式从中心向外平滑的减小， 因而光斑半径()z ω随坐标z 按双曲线： 2 20 ()1z z Z ωω - = （10） 规律而向外扩展，如图四所示 高斯光束以及相关参数的定义 图四 （B ）、 在（10）式中令相位部分等于常数，并略去()z ψ项，可以得到高斯光束的等相面方程： 2 2() r z const R z += （11） 因而，可以认为高斯光束的等相面为球面。 （C ）、瑞利长度的物理意义为：当0z Z = 时，00()Z ω= 。在实际应用中通常取0z Z =±范 围为高斯光束的准直范围，即在这段长度范围内，高斯光束近似认为是平行的。所以，瑞利长度越长，就意味着高斯光束的准直范围越大，反之亦然。 （D ）、高斯光束远场发散角0θ的一般定义为当z →∞时，高斯光束振幅减小到中心最大值1e 处与z 轴的交角。即表示为： 00 ()lim z z z ωθλπω→∞ == （12） 三、实验仪器 He-Ne 激光器, 光电二极管, CCD ， CCD 光阑，偏振片，电脑 四 实验内容： （一）发散角测量 关键是如何保证接收器能在垂直光束的传播方向上扫描，这是测量光束横截面尺寸和发散角的必要条件。 第三章 高斯光束基本理论 激光由于其良好的方向性、单色性、相干性和高亮度在军事中在已经有了很多应用，激光器发出的光束是满足高斯分布的，因而本章将对高斯光束的基本特性和一些参数进行简单地理论描述。 高斯光束及基本参数 激光器产生的光束是高斯光束。高斯光束依据激光腔结构和工作条件不 同，可以分为基模高斯光束、厄米分布高阶模高斯分布、拉盖尔分布高阶模高斯 分布和椭圆高斯光束等。激光雷达常常使用激光谐振腔的最低阶模00TEM 模。 高斯光束的分布函数： )ex p(),(22 0a r I a r I -= (3-1) 从激光谐振腔发出的模式辐射场的横截面的振幅分布遵守高斯分布，即光能量遵守高斯分布，但是高斯光束不是严格的电磁场方程解，而是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，它可以很好地描述基模激光光束的性质。稳态传输电磁场满足赫姆霍兹方程： ()0,,),,(2=+?z y x E k z y x E （3-2） 式中),,(z y x E 与电场强度的复数表示),,,(t z y x E 间有关系： )exp(),,(),,,(t i z y x E t z y x E ω= （3-3） 高斯光束不是式子(2-3)的精确解，而是在缓变振幅近似下的一个特解。得到 2 20 U(,)exp()11r U r z iz iz Z Z ω= --- （3-4） 是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解 ，它可以变形为基模高斯光束的 场强度复振幅的表达式： 2222002(x,y,z)exp exp (z)(z)(z)2(z)x y x y U U i k z R ω?ωω????????++?? =-+-???? ???????????? ? （3-5） 其中的(z)ω为振幅衰减到中心幅值1/e 时的位置到光束中心的距离，称为光束在 高斯光束传输理论 研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道高斯光束在自由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后高斯光束如何变化。 高斯光束的传输规律 激光光束具有方向性好的特点，光束的能量在空间的分布高度的集中在光的传播方向上，其光束具有一定的发散角，光束分布有着特殊的结构。由球面波构成谐振腔产生的激光束，在它的横截面上，光强是以高斯函数型分布的，称为高斯光束。高斯光束在光学设计中有着广泛的应用。 沿z 轴方向传播的基模高斯光束可以表示为如下的一般形式： ??? ???-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω （1） 其中E 0为常数因子，z f z z f f z f z f z z R R 2 2)(])(1[)(+=+=+== 20)(1)(f z z +=ωω； 222y x r +=； λ π 2= k ； λ πω20=f ； π λωf = 0；（2） ω0为基模高斯光束的腰斑半径；f 为高斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的高斯光束等相位面的曲率半径； 由上式我们可以看出，高斯光束具有下述基本性质： （1）基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数)) (exp(22 z r ω-所描述的规律从中 心（即传输轴线）向外平滑地降落。由振幅降落到中心值的1/e 的点所定义的光斑半径为 2 2 020)( 1)(1)(πωλωωωz f z z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增大 1)(22 2 2=-f z z ωω 高斯光束介绍 通常情形，激光谐振腔发出的基模辐射场，其横截面的振幅分布遵守高斯函数，故称高斯光束。 我们常常会收到客户关于光斑大小的查询，其实问的就是光斑的束腰直径或束腰半径。束腰，是指高斯光绝对平行传输的地方。半径，是指在高斯光的横截面考察，以最大振幅处为原点，振幅下降到原点处的0.36788倍，也就是1/e倍的地方，由于高斯光关于原点对称，所以1/e的地方形成一个圆，该圆的半径，就是光斑在此横截面的半径；如果取束腰处的横截面来考察，此时的半径，即是束腰半径。沿着光斑前进，各处的半径的包络线是一个双曲面，该双曲面有渐近线。高斯光束的传输特性，是在远处沿传播方向成特定角度扩散，该角度即是光束的远场发散角，也就是一对渐近线的夹角，它与波长成正比，与其束腰半径成反比，计算式是：2*波长/（3.1415926*束腰半径），故而，束腰半径越小，光斑发散越快；束腰半径越大，光斑发散越慢。光斑描述如下图： 我们用感光片可以看到，在近距离时，准直器发出的光在一定范围内近似成平行光，距离稍远，光斑逐渐发散，亮点变弱变大；可是从光纤出来的光，很快就发散；这是因为，准直器的光斑直径大约有400微米，而光纤的光斑直径不到10微米。同时，对于准直器最大工作距离的定义，往往可理解为该准直器输出光斑的共焦参数，该参数与光斑束腰半径平方成正比，与波长成反比，计算式是：3.1415926*束腰半径*束腰半径/波长。所以要做成长工作距 离（意味着在更长的传输距离里高斯光束仍近似成平行光）的准直器，必然要把光斑做大，透镜相应要加长加粗。 我们对于准直系统的计算，理论根据就是高斯光束的传输特性计算式。对于线度远大于输入光斑的透镜来讲，该输入光可视为点光源，其远场发散角就是该点光源的“边沿线”夹角；于是我们可根据透镜的具体参数，简单的用几何光学的方法计算该准直系统的光斑大小和最大工作距离。 而从高斯函数，我们可以计算当通光孔径多大时，光能的损失是多少。并不是通光区直径等于或略大于光斑直径时，光能就可以完全通过，事实上，此时的损耗高达0.6dB。简单的估计，是让通光直径是光斑的2倍或以上。 激光光束漂移特性研 究综述 激光准直中光束漂移的特性研究综述 引言：从产生的原因来看，激光光线主要存在三种不同类型的漂移，分别是：激光器本身发射的激光存在光线漂移；固定激光发射器的调整装置存在机械位移，导致激光光线缓慢漂移； 空气扰动或折射率不均匀造成的光线漂移或者光线弯曲。而针对这三种漂移提出的补偿方案也有很多。本文将从实用性、价格因素以及可操作性三个方面分析各种方案总结并提出最佳方案。 一、光漂的抑制 双光束准直法：采用特别设计的光学系统，将激光器发出的光束分成两束光，且当激光束发生光漂时，这两束光朝相反的方向变化，其能量中心即两路光的对称中心线不变，用具有双光电座标的检测靶检测出这条中心线的相对位置，以此作为基准线，从而起到抑制光漂的作用。 优点：受大气扰动的影响小，光束漂移小，准直基线的稳定性较好，精度达到10-6 缺点：所用元件较多，调整困难。 单模光纤法: 激光束经显微镜聚焦，将光点耦合进入单模光纤，光纤出射端位于准直物镜的焦点上，使出射光为准直光束，即采用一根光纤建立新的光发射基准。理论计算表明，光束经单模光纤后，其模式重新分布，激光束的平漂、角漂只会影响耦合效率，不会影响出射光强分布。精度达到1.5x10-6 优点：，此方法可以完全消除光漂，而且，在保证单模传输情况下，通过光纤后的光束质量也有提高；成本相当低。 缺点：由于机械装置的漂移，长时间后光束会偏离光纤，需重新耦合。 固定点补偿法：采用两个或多个光靶来实时测量激光的漂移量，然后据此对测量值进行修正以实现补偿。 缺点：，光漂监测和测量不能同时进行，使得各测量点的光漂相关性降低。光线弯曲和大气抖动的影响造成的误差会随着测量距离的增加而增大。 莫尔条纹激光准直法：激光器、空间滤波器、扩束镜和锥镜形成无衍射光，利用无衍射光所形成的、不随传播距变化的贝塞耳函数光环作直线基准Z轴。该光圆环光栅相迭，产生的莫尔条纹被CCD采集后存储于计算机。被测物移动过程中相对贝塞耳函数中心线的偏移将会改变莫尔条纹，计算机根据莫尔条纹中心的二维偏移量就可以直接测量出贝塞耳函数光束中心与圆环光栅中心的距离。从 matlab仿真光束的传输特性 一、课程设计题目： 用matlab 仿真光束的传输特性。 二、任务和要求 用matlab 仿真光束通过光学元件的变换。 ① 设透镜材料为k9玻璃，对1064nm 波长的折射率为1.5062，镜片中心厚度为3mm ，凸面曲率半径，设为100mm ，初始光线距离透镜平面20mm 。用matlab 仿真近轴光线（至少10条）经过平凸透镜的焦距，与理论焦距值进行对比，得出误差大小。 ② 已知透镜的结构参数为101=r ，0.11=n ，51=d ，5163.121=='n n （K9玻璃），502-=r ，0.12=' n ，物点A 距第一面顶点的距离为100，由 A 点计算三条沿光轴夹角分别为10、20、30的光线的成像。试用Matlab 对以上三条光线光路和近轴光线光路进行仿真，并得出实际光线的球差大小。 ③ 设半径为1mm 的平面波经凸面曲率半径为25mm ，中心厚度3mm 的平凸透镜。用matlab 仿真平面波在透镜几何焦平面上的聚焦光斑强度分布，计算光斑半径。并与理论光斑半径值进行对比，得出误差大小。（方法：采用波动理论，利用基尔霍夫—菲涅尔衍射积分公式。） 2、用MATLAB 仿真平行光束的衍射强度分布图样。（夫朗和费矩形孔衍射、夫朗和费圆孔衍射、夫朗和费单缝和多缝衍射。） 3、用MATLAB仿真厄米—高斯光束在真空中的传输过程。（包括三维强度分布和平面的灰度图。） 4、（补充题）查找文献，掌握各类空心光束的表达式，采用费更斯-菲涅尔原理推导各类空心光束在真空中传输的光强表达式。用matlab对不同传输距离处的光强进行仿真。 三、理论推导部分 将坐标原点选在透镜中心处，θ1=arcsin(y1/r),由n1*sinθ1=n2*sinθ2可得出θ2=arcsin(n1/n2)*(y1/r)，由几何关系可得到θ=θ2－θ1，则出射光线的斜率k=tan(θ2－θ1),当入射直线y=y1时，x1=d－(r－)2^1 (y r )，并设出射直线为y=k*x+b;由直线经过 ^ 2 （x1,y1）即可求出b值，从而就可以求出射直线。由单透镜焦点计算公式1/f=－(n-1)*(1/r1－1/r2)可求得f=193.6858。 高斯光束传播 激光束腰和分布 为了获得高斯光束光学的精确原理和限制，有必要理解激光束输出的特性。在TEM（横模和纵模为0）模式下，光是从激光开始辐射，就像一个含有高斯横截发光剖面的完美平面波，如下图显示。高斯形状被激光内部的尺寸或者某种光学序列的限制光圈在某个直径处被截断。为了指定和论述激光光束的传播特性，我们必须给它的直径下一些定义。普遍被采用的定义是光束发光（最强烈）峰值，轴向或者数值的地方的直径衰减1/e2（13.5%）。 高斯光束剖面图( TEM00 模式) 衍射效应使光在传播过程中向横向传播。因此它不可能有一个被精确校准的光束。激光光束的传播可以被纯衍射理论精确地预测。异常现象小到在这里可以统统不用去考虑。在非常平常的情况下，光束传播可以小到被忽略。下面的方程精确地描述了光束的传播，由此可以很容易地看出激光光束的能力和限制。 和 即使一个高斯TEM（横模和纵模为0）激光光束波阵面在某个平面可以保持非常的平坦，它也需要弯曲并且通过如下的公式传播 这里的z是当波阵面平坦时从平面上的传播路径，l是光的波长，w是当波阵面平坦时，在平面上1/e2发光轮廓的半径，w(z)是在波传播了距离z以后，1/e2轮廓的半径，R(z)是在波传播了距离z以后，波阵面的曲率半径。在z=0的条件下，R(z)是无穷大的，在某种有限的z的最小值内传播，并且当z进一步增大的时候，趋近于无穷大。Z=0平面标记了高斯腰的位置，或者表示波阵面是平坦的地方，这里w0叫做光束腰半径。 高斯TEM光束的发光分布按如下方式定义 这里的w=w(z)和P是光束的总功率，在所有的相交的部分是等值的。分布形式的恒定性是对在z=0的时候高斯分布预测的特殊结果。如果统一的发光分布在z=0时刻被预测，z=∞时刻的形式将与贝塞尔公式给出的艾利斑（Airy disc）形式相似，这里z值中间的形式将变得非常复杂。 这里假定z远大于pw0 /l，因此1/e2发光轮廓渐渐逼近一个圆锥形的角半径 这个值是一个高斯TEM光束的远场角半径。圆锥的顶点在腰的中心位置，如下图所示。 需要注意的是，在给定l值得条件下，不大可能表示出光束直径的变化和分布， 第四章高斯光束理论一、学习要求与重点难点 学习要求 1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性； 2．理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律； 3．掌握薄透镜对高斯光束的变换； 4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导； 5．理解高斯光束的聚焦和准直条件； 6．了解谐振腔的模式匹配方法。 重点 1.高斯光束的传输特性； 2.q参数的引入； 3.q参数的ABCD定律； 4.薄透镜对高斯光束的变换； 5.高斯光束的聚焦和准直条件； 6.谐振腔的模式匹配方法。 难点 1.q参数，及其ABCD定律； 2.薄透镜对高斯光束的变换； 3.谐振腔的模式匹配。 二、知识点总结 22 ()220020()()112()lim 2r w z z e w z w w R R z z z w z e z w πλλθπ-→∞??=?? ?????? ?? =+? ???????? ? ?===??? 振幅分布：按高斯函数从中心向外平滑降落。光斑半径高斯光束基本性质等相位面：以为半径的球面，远场发散角：基模高斯光束强度的点的远场发散角， ()0 1/2 221 22 22 00()()1()()()1()11()()() ()()w f w z w z R z R z z R z w z i q z R z w z W z R Z w q z if z q z i z πλλπλππλ--??????=+?? ????? ????→??????=+??? ????????? =-→=+=+=+0（或）及束腰位置w 高斯光束特征参数光斑半径w(z)和等相位面曲率半径R(z)， q 参数，将两个参数和统一在一个表达式中，便于研究??????????????? ???? ?? 高斯光束通过光学系统的传输规律 成绩评定表学生姓名吴宪班级学号 专业光信息科学 与技术课程设计题目拉盖尔高斯光束经 透镜传输光场计算 评 语 组长签字： 成绩 日期20 13 年12 月 27 日 学院理学院专业光信息科学与技术 学生姓名吴宪班级学号 课程设计题目拉盖尔高斯光束经透镜传输光场计算 实践教学要求与任务: 要求： 1）角向节线0，径向节线2的拉盖尔高斯光束（共焦参数=12000倍波长）通过薄透镜； 2）薄透镜（前置圆形光阑）焦距=1500倍波长，光腰在透镜处； 3）光阑半径=120倍波长。 任务： 1）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后时的轴上光强变化，分析焦点变化； 2）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的径向光强变化，计算截断参数； 3）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后的径向–轴向光强变化； 4）撰写设计论文。 工作计划与进度安排: 1. 第一周教师讲解题目内容、任务和论文要求，学生查阅资料，星期四提出设计方案； 2. 第一周星期四到第二周星期三（包括星期六星期日）完成设计； 3. 第二周星期四上交论文； 4. 星期四教师审查论文，合格者星期五论文答辩。 指导教师： 2013年月日专业负责人： 2013年月日 学院教学副院长： 2013年月日 沈阳理工激光原理课设 目录 摘要 (4) 设计原理 (5) 一．普通球面波的传播规律 (5) 二．高斯光束的基本性质及特征参数 (6) 三．柯林斯（Collins）公式 (7) 四．基模高级光束的特征参数 (6) 计算结果10 一. 计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的轴上光强变化，分析焦点变化 (10) 二. 计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的径向光强变化，计算截断参数 (11) 三．计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后的径向–轴向光强变化 (12) 3高斯光束的透镜变换实验哦
matlab仿真光束的传输特性
拉盖尔高斯光束经透镜传输光场计算
基于matlab高斯光束经透射型体光栅后的光束传输特性分析(附源程序)
matlab仿真光束的传输特性
高斯光束的传输变换
高斯光束的特性实验
物理光学 第三章
对高斯光束传输理论的一些学习笔记
高斯光束定义
激光光束漂移特性研究综述知识讲解
matlab仿真光束的传输特性
高斯光束传播
北交大激光原理 第4章 高斯光束部分-final
拉盖尔高斯光束经透镜传输光场计算