湘教版九年级数学下册 第1章 单元检测试卷 含答案
湘教版九年级数学下册第一章测试题(附答案)
湘教版九年级数学下册第一章测试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.下列函数不属于二次函数的是（）A. y＝(x－1)(x＋2)B. y＝(x＋1)2C. y＝1－x2D. y＝2(x＋3)2－2x22.已知关于的函数是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）．A. B. C. D.3.抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为( )A. y=-x2B. y=-x2+1C. y=x2-1D. y=-x2-14.如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A. y=（x﹣1）2B. y=（x+1）2C. y=x2+1D. y=x2+35.某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A. y＝（x﹣40）（500﹣10x）B. y＝（x﹣40）（10x﹣500）C. y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]D. y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]6.若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（）A. m＜2B. m＞2C. mD. m7.二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图像与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：①m=3；②当∠APB=120°时，a= ；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥正确的是（）A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④8.将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A. y=(x-2)2B. y=(x+2)2C. y=x2-2D. y=x2+29.下列函数关系中，不可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A. 圆的半径和其面积变化关系B. 我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系C. 掷铅球水平距离与高度的关系D. 面积一定的三角板底边与高的关系10.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（）A. 1.6＜x1＜1.8B. 1.8＜x1＜2.0C. 2.0＜x1＜2.2D. 2.2＜x1＜2.411.如图，已知抛物线y=x2+3x−4 ，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（-2，0）, （2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m,则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.12.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y= x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定二、填空题（共8题；共8分）13.某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过________s，火箭到达它的最高点．14.请写出一个开口向下，且顶点坐标为（-3，2）的抛物线解析式________.15.如果函数y=（m﹣2）x2+2x+3（m为常数）是二次函数，那么m取值范围是________．16.如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是________．17.对于二次函数y=x2﹣3x，当x=﹣1时，y=________ ．18.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为________．19.已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是________．20.已知关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2，抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a ﹣5与x轴的两个交点分别为位于点（2，0）的两旁，若|x1|+|x2|=2 ，则a的值为________．三、解答题（共3题；共15分）21.已知一抛物线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣5），且抛物线对称轴为直线x=2，求该抛物线的解析式．22.下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．23.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，－1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．四、综合题（共4题；共53分）24.已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6．（1）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？（4）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．25.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），请回答以下问题．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标________；（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为________；（3）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是________．26.定义：在平面直角坐标系中，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线.例如：抛物线的伴随直线为直线.抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为B(-1,0)和C（点C在点B的右侧）.（1）若直线l是y=2，求该抛物线对应的函数关系式.（2）求点D的坐标（用含m的代数式表示）.（3）设抛物线的顶点为M，作OA的垂直平分线EF，交OA于点E，交该抛物线的对称轴于点F.①当△ADF是等腰直角三角形时，求点M的坐标.②将直线EF沿直线l翻折得到直线GH，当点M到直线GH的距离等于点C到直线EF的距离时，直接写出m的值.27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．答案一、单选题1. D2. A3.D4.B5. C6. A7. D8. A9.D 10.C 11.B 12. C二、填空题13. 16 14. 15.m≠2 16.x＜﹣1或x＞4 17.4 18.﹣19.2≤m≤8 20.-1三、解答题21.解：∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点（﹣1，0），由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（5，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即：y=a（x+1）（x﹣5），把B（0，﹣5）代入得：﹣5=﹣5a，∴a=1．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x﹣522.解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．23.解：设二次函数的解析式为，因为图象过（0，0)点，所以，所以，所以此二次函数的解析式为．四、综合题24.（1）解：∵a=2＞0，∴抛物线的开口向上，∵y=2x2﹣4x﹣6=2（x﹣1）2﹣8，∴抛物线对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣8）（2）解：令y=0，2x2﹣4x﹣6=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），令x=0，则y=﹣6，所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣6），作出函数图象如图所示（3）解：x＜1时，y随x的增大而减少（4）解：函数图象与x轴的交点设为A、B，则AB=3﹣（﹣1）=3+1=4，设与y轴的交点坐标为（0，﹣6），则OC=6，所以，函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积= AB•OC=×4×6=1225.（1）（3，0）（2）x1=﹣1，x2=3（3）x<-1或x＞326.（1）解：由题意，得A的坐标为．∵抛物线经过点B（－1，0），∴解得：∴该抛物线的对应的函数关系式为（2）解：∵抛物线经过点，∴，∴．将该抛物线配方，得，∴对称轴是直线，∴点D的坐标为（2m，）（3）解：①当，且∠AFD=90°时，则△ADF是等腰直角三角形，∴AD=2AE，∴，∴，∴当时，，∴点M的坐标为（，）．当，∠AFD=90°时，则△ADF是等腰直角三角形，∴AD=2AE，∴，∴，∴当时，，∴点M的坐标为（，）．当时，EF>AE．此时△ADF不是等腰直角三角形．综上所述：点M的坐标为（，）或（，）②设GH交y轴于G，则GA=AE=EO= ，抛物线顶点M为（m，）．∵，∴，∴，或，解得：或或．27.（1）【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根，∴x1+x2=b，x1x2=6由已知得（x2﹣x1）2=25又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24∴b2﹣24=25解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点，∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上.。
九年级下册数学单元测试卷-第1章 二次函数-湘教版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第1章二次函数-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、把抛物线向上平移个单位，得到的抛物线是（）A. B. C. D.2、函数与y=-mx2+m(m≠0)在同一直角坐标系中的大致图像可能是（）A. B. C. D.3、在如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①a＜0，b＞0，c＞0；②b2﹣4ac=0；③＜c；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，你认为其中正确的结论有（）A.1条B.2条C.3条D.4条4、已知二次函数的图象如图所示，下列说法①；②；③图象关于直线对称；④；⑤当时随的增大而增大，其中正确的个数是（）A.2B.3C.4D.55、如图，在二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，你认为其中正确的是（）A.a＞0B.c＞0C.b 2﹣4ac＜0D.一元二次方程ax 2+bx+c＝0有两个相等实根6、已知抛物线（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，有下列结论：①；②若，则；③．其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.37、如图，抛物线y=ax2+bx+c，OA=OC，下列关系中正确的是（）A.ac+1=bB.ab+1=cC.bc+1=aD. +1=c8、对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是（）A. B. C. D.19、已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x …﹣10 1 2 …y …﹣31 3 1 …A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时，y＞0 D.方程ax 2+bx+c=0的正根在2与3之间10、抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（）A.（﹣2，0）B.（2，0）C.（0，﹣2）D.（0，2）11、二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A.t≥﹣1B.﹣1≤t＜3C.﹣1≤t＜8D.3＜t＜812、已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1， y1）和点B（x2， y2）为其图象上的两点，且y1<y2，（）A.若x1<x2，则x1+x2﹣2＜0 B.若x1<x2，则x1+x2﹣2>0 C.若x1＞x2，则a（x1+x2-2）＞0 D.若x1＞x2，则a（x1+x2-2）<013、已知二次函数的解析式为（、、为常数，），且，下列说法：①；②；③方程有两个不同根、，且；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）．A.1B.2C.3D.414、抛物线的对称轴是（）A.直线B.直线C.直线D.直线15、若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1）、（-1，0），则y=a+b+c的取值范围是( )A.y＞1B.－1＜y＜1C.0＜y＜2D.1＜y＜2二、填空题(共10题，共计30分)16、已知点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y1， y2， y3的大小关系是________.17、小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上找到三点（－1，y1），（，y2），（－3，y3），则你认为y1， y2， y3的大小关系应为________．18、已知函数y=ax2-2x+2，当1＜x＜4时，y＞0恒成立，则a的取值范围是________．19、若二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=2，则b的值为________。
九年级数学下册第一章《二次函数》单元测试题-湘教版(含答案)
九年级数学下册第一章《二次函数》单元测试题-湘教版（含答案）一、单选题1．二次函数y=（x-3）2+1的最小值是（ ）A ．3B ．-3C ．1D ．-12．将二次函数 2(1)y x =- 的图象向左平移1个单位长度， 再向上平移2个单位后， 所得图象 的函数解析式是（ ）A ．2(2)2y x =-+B ．2(2)2y x =--C ．22y x =-D ．22y x =+3．抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是（ ） A ．直线 1x =- B ．直线 1x = C ．直线 2x = D ．直线 2x =- 4．已知二次函数 223y x x =-++ ，当x≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y≥3B ．y≤3C ．y ＞3D ．y ＜35．如果抛物线 ()22y a x =+ 开口向下，那么 a 的取值范围为（ ）A ．2a >B ．2a <C ．2a >-D ．2a <-6．二次函数y=x 2-2x+2的图象顶点在第（ ）象限.A ．一B ．二C ．三D ．四7．在下列函数中，其图象与x 轴没有交点的是（ ）A ．y=2xB ．y=﹣3x+1C ．y=x 2D ．y= 1x8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()20A -，和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a b c->；②241b ac -=；③14a =；④21cb =-．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．函数 2y ax 3ax 1(a 0)=++> 的图象上有三个点分别为 ()1A 3y -， ， ()2B 1y -， ，31C y 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，则 1y ， 2y ， 3y 的大小关系为( ) A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．1y ， 2y ， 3y 的大小不确定10．已知a ，b 是抛物线y ＝（x ﹣c ）（x ﹣c ﹣d ）﹣3与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则|a ﹣c|+|c ﹣b|化简的结果是（ ）A ．b ﹣aB ．a ﹣bC ．a+b ﹣2cD ．2c ﹣a ﹣b二、填空题11．二次函数 ()2223y x =-+- 的对称轴是直线 ．12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 ()m y 与水平距离 ()m x 之间的关系为 ()215312y x =--+ ，由此可知铅球推出的距离是 m ． 13．二次函数()223y mx mx m =+--的图象如图所示，则m 的取值范围是 ．14．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，△ADE=△B=α，DE 交AC 于点E ，且cosα= 45.下列结论： ①△ADE△△ACD ； ②当BD=6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8； ④0<CE≤6.4.其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题15．如图，在△ABC 中，△B=90°，AB=12，BC=24，动点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 以每秒4个单位长度的速度向终点C 移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t （s ）如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．16．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积，17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（1，3）三点．求这个二次函数的解析式．18．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。
湘教版九年级下第一章反比例函数单元检测题及答案
湘教版九年级下册第一章反比例函数单元检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1、反比例函数y ＝xn 5 图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A 、－2 B 、－1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y ＝x k（k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）．A 、（2，－1）B 、（－21，2）C 、（－2，－1）D 、（21，2） 3、已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ）4、若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）．A 、成正比例B 、成反比例C 、不成正比例也不成反比例D 、无法确定5、一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝xk 满足（ ）． A 、当x ＞0时，y ＞0 B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小C 、图象分布在第一、三象限D 、图象分布在第二、四象限6、如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ 交双曲线y ＝x1于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时， Rt △QOP 的面积（ ）．A 、逐渐增大B 、逐渐减小C 、保持不变D 、无法确定7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V 在一定范围内满足ρ＝Vm ，它的图象如图所示，则该 气体的质量m 为（ ）．A 、1.4kgB 、5kgC 、6.4kgD 、7kg8、若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）．A 、y 1＞y 2＞y 3B 、y 1＜y 2＜y 3C 、y 1＝y 2＝y 3D 、y 1＜y3＜y 2Q p x y o t /h v /(km/h) Ot /h v /(km/h) O t /hv /(km/h) O t /h v /(km/h) O A ． B ． C ． D ．9、已知反比例函数y ＝xm 21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）．A 、m ＜0B 、m ＞0C 、m ＜21D 、m ＞21 10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）．A 、x ＜－1B 、x ＞2C 、－1＜x ＜0或x ＞2D 、x ＜－1或0＜x ＜2二、填空题（每小题3分，共30分）11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式为 .12、已知反比例函数xk y =的图象分布在第二、四象限，则在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变”）．13、若反比例函数y ＝xb 3-和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ ．14、反比例函数y ＝（m ＋2）xm 2－10的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为 ．15、有一面积为S 的梯形，其上底是下底长的31，若下底长为x ，高为y ，则y 与x 的函数关系是 ．16、如图，点M 是反比例函数y ＝xa （a ≠0）的图象上一点， 过M 点作x 轴、y 轴的平行线，若S 阴影＝5，则此反比例函数解析式为 ．17、使函数y ＝（2m 2－7m －9）x m 2－9m ＋19是反比例函数，且图象在每个象限内y 随x 的增大而减小，则可列方程（不等式组）为 ．18、过双曲线y ＝x k （k ≠0）上任意一点引x 轴和y 轴的垂线，所得长方形的面积为______．19. 如图，直线y ＝kx(k ＞0)与双曲线xy 4=交于A （x 1，y 1）， B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1＝___________．20、如图，长方形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B （－320，5），D 是AB 边上的一点， 将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 ．三、解答题（共60分）21、（8分）如图，P 是反比例函数图象上的一点，且点P 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，求这个反比例函数的解析式．22、（9分）请你举出一个生活中能用反比例函数关系描 述的实例，写出其函数表达式，并画出函数图象．举例：函数表达式：23、（10分）如图，已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是双曲线y ＝x k 在第一象限内的分支上的两点，连结OA 、OB ．（1）试说明y 1＜OA ＜y 1＋1y k ； （2）过B 作BC ⊥x 轴于C ，当m ＝4时，求△BOC 的面积．24、（10分）如图，已知反比例函数y ＝－x8与一次函数 y ＝kx ＋b 的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的 纵坐标都是－2．求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积．25、（11分）如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝xk的图象交于M 、N 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．26、（12分）如图， 已知反比例函数y ＝xk 的图象与一次函 数y ＝a x ＋b 的图象交于M （2，m ）和N （－1，－4）两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）求△MON 的面积；（3）请判断点P （4，1）是否在这个反比例函数的图象上， 并说明理由．。
湘教版2019-2020学年九年级数学下学期第1章 二次函数单元测试卷(含答案)
湘教版九年级数学下册 第1章 二次函数 测试题时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝ax 2＋bx ＋cC ．y ＝2t 2＋1D ．y ＝x 2＋1x2．抛物线y ＝－(x －2)2＋3的顶点坐标是( )A ．(－2，1)B ．(2，3)C ．(2，－3)D ．(－2，－3)3．将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝(x ＋1)2－13B ．y ＝(x －5)2－3C ．y ＝(x －5)2－13D ．y ＝(x ＋1)2－34．关于抛物线y ＝x 2－2x ＋1，下列说法错误的是( ) A ．开口向上B ．与x 轴有两个重合的交点C ．对称轴是直线x ＝1D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小5．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞46．点P 1(－4，y 1)，P 2(－3，y 2)，P 3(1，y 3)均在二次函数y ＝x 2＋4x －m 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 2＞y 1>y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 3>y 1＞y 27．如图①，一只兔子在草地上跳跃的路径呈抛物线形，建立如图②所示的平面直角坐标系，跳跃时兔子重心的高度变化y (米)关于水平距离x (米)的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ，则兔子此跳的水平距离为( )A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米8．如图，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，则tan ∠CAB 的值为( )A.12B.55C.255D ．2第8题图 第9题图 第10题图9．已知反比例函数y ＝kx 的图象如图所示，则二次函数y ＝2kx 2－4x ＋k 2的图象大致为( )10．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是( )A ．2a －b ＝0B ．a ＋b ＋c ＞0C ．3a －c ＝0D ．当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形二、填空题(每小题3分，共24分)11．点A (－2，a )是抛物线y ＝x 2上一点，则a ＝________．12．若函数y ＝(m －1)x 3－|m |＋6的图象是抛物线，则m 的值为________．13．二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数的表达式为________________．14．抛物线y ＝kx 2－5x ＋2与x 轴有交点，则k 的取值范围是________________． 15．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．16．如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形ABCD 的边上．若设AE ＝x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数表达式为______________．第16题图 第18题图17．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．18．如图，抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2＋4都经过x轴上的A，B两点，两条抛物线的顶点分别为C，D.当四边形ACBD的面积为40时，a的值为________．三、解答题(共66分)19．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：求：(1)(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．20．(8分)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的表达式；(2)求△AOB的面积．21.(8分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．22．(10分)已知△ABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20.(1)写出△ABC 的面积y 与BC 的长x 之间的函数表达式，并求出面积为48时BC 的长； (2)当BC 的长为多少时，△ABC 的面积最大？最大面积是多少？23．(10分)已知抛物线y ＝x 2－px ＋p 2－14.(1)若抛物线与y 轴交点的坐标为(0，1)，求抛物线与x 轴交点的坐标； (2)求证：无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点； (3)若抛物线的顶点在x 轴上，求出此时顶点的坐标．24．(10分)2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 的高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k 米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．(1)当k ＝4时，求这条抛物线的表达式；(2)当k ＝4时，求运动员落水点与点C 的距离；(3)图中CE ＝194米，CF ＝214米，若跳水运动员在区域EF 内(含点E ，F )入水时才能达到训练要求，求k 的取值范围．25．(12分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)与x轴相交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC.(1)求抛物线的表达式．(2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①如图，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D10．D 解析：∵抛物线与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b2a ＝1，∴2a ＋b ＝0，∴选项A 错误；当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b ＋c＜0，∴选项B 错误；∵点A 的坐标为(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，而b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，∴选项C 错误；当a ＝12，易得b ＝－1，c ＝－32，∴抛物线的表达式为y＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E ，把x ＝1代入得y ＝12－1－32＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)，∴AE ＝2，BE ＝2，DE ＝2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ADB 为等腰直角三角形，∴选项D 正确．故选D.11．4 12.－1 13.y ＝－x 2－2x ＋3 14.k ≤258且k ≠015．0 16.y ＝2x 2－4x ＋4 17.2218．0.16 解析：∵抛物线y ＝ax 2－4和y ＝－ax 2＋4都经过x 轴上的A ，B 两点，∴a ＞0，∴点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－2a a ，0，⎝⎛⎭⎫2a a ，0.又∵抛物线y ＝ax 2－4和y ＝－ax 2＋4的顶点分别为C ，D ，∴点C ，D 的坐标分别是(0，－4)，(0，4)，∴CD ＝8，AB ＝4aa，∴S四边形ACBD＝S △ABD ＋S △ABC ＝12AB ·OD ＋12AB ·OC ＝12AB ·CD ＝12×8×4aa＝40，解得a ＝0.16.19．解：(1)将(－1，－5)，(0，1)，(2，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2＋4x ＋1.(4分) (2)由(1)知y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3，∴其图象的顶点坐标为(1，3)．(6分)当x ＝4时，m ＝－2×16＋16＋1＝－15.(8分)20．解：(1)设二次函数的表达式为y ＝a (x －2)2＋1，(1分)将点O (0，0)代入得4a ＋1＝0，解得a ＝－14，∴二次函数的表达式为y ＝－14(x －2)2＋1.(4分)(2)∵抛物线y ＝－14(x －2)2＋1的对称轴为直线x ＝2，且经过原点O (0，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(4，0)，(6分)∴S △AOB ＝12×4×1＝2.(8分)21．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋2)2＋m 经过点A (－1，0)，∴0＝1＋m ，∴m ＝－1，(2分)∴抛物线的表达式为y ＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3，(3分)∴点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－2.又∵点B ，C 关于对称轴对称，∴点B 的坐标为(－4，3)．∵y ＝kx ＋b 经过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1.∴一次函数的表达式为y ＝－x －1.(5分) (2)由图象可知，满足(x ＋2)2＋m ≥kx ＋b 的x 的取值范围为x ＜－4或x ＞－1.(8分) 22．解：(1)由题意得y ＝12x (20－x )＝－12x 2＋10x ，(2分)当y ＝48时，即48＝－12x 2＋10x ，解得x 1＝12，x 2＝8，∴当△ABC 的面积为48时，BC 的长为12或8.(5分)(2)∵y ＝－12x 2＋10x ＝－12(x －10)2＋50.(8分)∴当x ＝10，即BC ＝10时，△ABC 的面积最大，最大面积为50.(10分)23．(1)解：对于抛物线y ＝x 2－px ＋p 2－14，将x ＝0，y ＝1代入得p 2－14＝1，解得p ＝52.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－52x ＋1.令y ＝0，得x 2－52x ＋1＝0，解得x 1＝12，x 2＝2，则抛物线与x 轴交点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0与(2，0)．(3分)(2)证明：∵Δ＝p 2－4⎝⎛⎭⎫p 2－14＝p 2－2p ＋1＝(p －1)2≥0，∴无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点．(6分)(3)解：抛物线顶点的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，2p －1－p 24.(7分)∵抛物线的顶点在x 轴上，∴2p －1－p 24＝0，解得p ＝1.∴此时顶点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.(10分)24．解：(1)设抛物线的顶点为M .∵k ＝4，∴M 的坐标为(3，4)，点A 的坐标为(2，3)．设抛物线的表达式为y ＝a (x －3)2＋4，则3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.故抛物线的表达式为y ＝－(x －3)2＋4.(3分)(2)由(1)知当k ＝4时，y ＝－(x －3)2＋4.当y ＝0时，即0＝－(x －3)2＋4，解得x 1＝1，x 2＝5.∴运动员的落水点为(5，0)，故当k ＝4时，运动员落水点与点C 的距离为5米．(6分)(3)设抛物线表达式为y ＝a (x －3)2＋k ，将点A (2，3)代入可得a ＋k ＝3，即a ＝3－k .(7分)若跳水运动员在区域EF 内(含点E ，F )入水，则当x ＝194时，y ＝4916a ＋k ≥0，即4916(3－k )＋k ≥0，解得k ≤4911.当x ＝214时，y ＝8116a ＋k ≤0，即8116(3－k )＋k ≤0，解得k ≥24365.(9分)∴24365≤k ≤4911.(10分)25．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (b 、c 为常数)与x 轴相交于点A (－1，0)、B (3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.(3分)(2)①∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴P (1，－4)，C (0，－3)．设直线BC 的表达式为y＝kx ＋m ，将B (3，0)，C (0，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋m ＝0，m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－3.∴直线BC 的表达式为y＝x －3.(5分)如图，设对称轴直线x ＝1交BC 于点E ，则E (1，－2)，∴PE ＝－2－(－4)＝2，∴S △PBC ＝12PE ·OB ＝12×2×3＝3.(8分)②存在．(9分)设P 点的坐标为(1，t )，由①可知E (1，－2)，∴PE ＝|t ＋2|，∴S △PBC ＝12OB ·PE ＝32|t ＋2|，∴32|t ＋2|＝6，解得t ＝2或t ＝－6，∴P 点的坐标为(1，2)或(1，－6)，即存在满足条件的点P ，其坐标为(1，2)或(1，－6)．(12分)。
湘教版数学九年级下《第一章二次函数》单元检测试卷含答案
2018-2019学年度湘教版数学九年级下册单元检测试卷班级姓名第1章单元测试卷一、选择题(每小题4分，共40分)1．[2018·上海]下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是()A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的2．抛物线y＝x2＋2x＋1的顶点坐标是()A．(0，－1) B．(－1，1)C．(－1，0) D．(1，0)3．把二次函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是()A．y＝－3(x－2)2＋1B．y＝－3(x＋2)2－1C．y＝－3(x－2)2－1D．y＝－3(x＋2)2＋14．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是()A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是(0，3)D．顶点坐标是(1，－2)5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A．4 m B．3 mC．2 m D．1 m6．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是( )A．x<－2 B．－2<x<4C．x>0 D．x>47．[2018·长沙]若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x02－16)，则符合条件的点P( )A．有且只有1个 B．有且只有2个C．有且只有3个 D．有无穷多个8．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0<x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是()A BC D9．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是()A．600 m2B．625 m2C．650 m2D．675 m210．[2018·深圳]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是()A．abc＞0B．2a＋b＜0C．3a＋c＜0D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根二、填空题(每小题4分，共24分)11．将二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝(x－h)2＋k的形式为__ __．12．若二次函数y ＝(m ＋1)x 2＋m 2－9的图象经过原点且有最大值，则m ＝____．13．顶点为(－2，－5)且过点(1，－14)的抛物线的解析式为__ __． 14．如图，用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD (篱笆正好用完)．设AB 边长为x m ，则菜园的面积y (m 2)与x (m )的关系式为__ __(不要求写出自变量x 的取值范围)．15．[2018·广西]将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为_ __．16．[2018·泸州]已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(其中x 是自变量)，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为__ __．三、解答题(共86分)17．(12分)已知在同一平面直角坐标系中，正比例函数y ＝－2x 与二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象交于点A(－1，m )．(1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．18．(12分)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A(－1，2)，B(0，－1)，C(1，－2)三点．(1)求二次函数的解析式； (2)画出二次函数的图象．19．(12分)[2018·宁波]已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. (1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．20．(12分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的纵坐标为－3，对称轴为直线x ＝1，且抛物线过点(－1，0)．(1)求抛物线的关系式；(2)画出函数的图象，并利用图象回答：当x 为何值时，y >0？当x 为何值时，y <0?21．(12分)[2018·随州]如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝1.直线y ＝－x ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于C ，D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3.求证：(1)2a ＋b ＋c ＞0； (2)a －b ＋c ＜0.22．(12分)街心花园某商场经营某种品牌童装，购进时的单价是60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售该品牌童装获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(3)若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于76元且不高于80元，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？23．(14分)已知抛物线y＝－mx2＋4x＋2m与x轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且1α＋1β＝－2.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴为直线l，抛物线与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形(保留作图痕迹)，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一、1．C2．C3．C4．D 【解析】∵b2－4ac＝22－4×(－1)×(－3)<0，∴抛物线与x轴没有交点；∵a＝－1<0，∴抛物线开口向下；当x＝0时，y＝－3，∴抛物线与y轴的交点坐标是(0，－3)；通过配方或直接利用顶点坐标公式，易得其顶点坐标为(1，－2)．故选D.5．A 【解析】∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x的一部分，∴水喷出的最大高度就是y＝－x2＋4x的顶点的纵坐标．∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴顶点坐标为(2，4)，∴水喷出的最大高度为4 m.6．B7．B 【解析】 ∵对于任意非零实数a ，抛物线y ＝ax 2＋ax －2a 总不经过点P (x 0－3，x 02－16)，∴x 02－16≠a (x 0－3)2＋a (x 0－3)－2a ， ∴(x 0－4)(x 0＋4)≠a (x 0－1)(x 0－4)， ∴(x 0＋4)≠a (x 0－1)， ∴x 0＝－4或x 0＝1，∴点P 的坐标为(－7，0)或(－2，－15)．8．D 【解析】 每个阴影小正方形的边长为x2，面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，故阴影部分的总面积为y ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝x 2，∵0<x ≤10，∴y ＝x 2的图象只是位于第一象限内的0<x ≤10的部分，而不是整个抛物线，故选D.9．B 【解析】 设矩形的一边长为x m ，则其邻边为(50－x )m .若面积为S ，则S ＝x (50－x )＝－x 2＋50x ＝－(x －25)2＋625.当x ＝25时，S 的最大值为625.10．C二、 11． y ＝(x －2)2＋112． －3 【解析】 ∵二次函数的图象过原点，∴m 2－9＝0，解得m ＝3或m ＝－3.又m ＋1<0，∴m ＝－3.13． y ＝－x 2－4x －9 【解析】 设y ＝a (x ＋2)2－5， 则a (1＋2)2－5＝－14，解得a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)2－5，即y ＝－x 2－4x －9.14． y ＝－12x 2＋15x 【解析】 ∵AB 边长为x m ，而菜园ABCD 是矩形菜园，∴BC ＝12(30－x )m ，菜园的面积＝AB ·BC ＝12(30－x )·x ， ∴y ＝－12x 2＋15x .15. y ＝12(x －4)2＋3 【解析】 y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x 2－12x )＋21 ＝12[(x －6)2－36]＋21 ＝12(x －6)2＋3，故y ＝12(x －6)2＋3向左平移2个单位后， 得到新抛物线的解析式为y ＝12(x －4)2＋3.16． 1 【解析】 ∵二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(其中x 是自变量)， ∴对称轴是直线x ＝－2a2a ＝－1. ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＞0.∵－2≤x ≤1时，y 的最大值为9， ∴x ＝1时，y ＝a ＋2a ＋3a 2＋3＝9， ∴3a 2＋3a －6＝0，解得a ＝1或a ＝－2(不合题意，舍去)．故a ＝1. 三、17. 解：(1)∵点A(－1，m )在函数y ＝－2x 的图象上， ∴m ＝2.(2分)∴点A 的坐标为(－1，2)． ∵点A 在二次函数的图象上， ∴－1－2＋c ＝2， 解得c ＝5.(6分)(2)∵二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋5， ∴y ＝－x 2＋2x ＋5＝－(x －1)2＋6，∴对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，6)．(12分)答图18. 解：(1)∵函数经过A(－1，2)，B(0，－1)，C(1，－2)三点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，c ＝－1，a ＋b ＋c ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －1.(6分) (2)作图如答图．(12分)19. 解： (1)把(1，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，32代入抛物线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2－x ＋32.(6分)(2)抛物线的解析式为y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位，解析式变为y ＝－12x 2.得到新抛物线顶点在原点．(12分)20. 解：(1)由题意，得⎩⎨⎧c ＝－3，－b 2a ＝1，a －b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的关系式为y ＝x 2－2x －3.(6分) (2)画出函数图象如答图所示． 当x <－1或x >3时，y >0； 当－1<x <3时，y <0.(12分)答图21. 证明： (1)∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＋c＝2a－2a＋c＝c＞0.(6分)(2)∵抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－1，0)右侧，∴当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0.(12分)22. 解：(1)根据题意得，y＝200＋(80－x)×20＝－20x＋1 800，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝－20x＋1 800(60≤x≤80)．(2)w＝(x－60)y＝(x－60)(－20x＋1 800)＝－20x2＋3 000x－108 000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式w＝－20x2＋3 000x－108 000.(3)根据题意得76≤x≤80，w＝－20x2＋3 000x－108 000的对称轴为x＝－3 0002×（－20）＝75，∵a＝－20＜0，∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤80时，w随x的增大而减小，∴x＝76时，w有最大值，最大值＝(76－60)(－20×76＋1 800)＝4 480(元)．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4 480元．23. 解：(1)由题意得α，β是方程－mx2＋4x＋2m＝0的两根，由根与系数的关系可得，α＋β＝4m，αβ＝－2.∵1α＋1β＝－2，∴α＋βαβ＝－2，即4m－2＝－2，解得m＝1.故抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋2.(6分)(2)存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小．∵y＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点D的坐标为(2，6)．又∵抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，2)，点E与点C关于对称轴对称，∴点E的坐标为(4，2)，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，则点D′的坐标为(－2，6)，点E′的坐标为(4，－2)，连接D′E′，交x轴于点M，交y轴于点N，答图此时，四边形DNME的周长最小，且最小周长等于D′E′＋DE，如答图所示．延长E′E，D′D交于一点F.在Rt△D′E′F中，D′F＝6，E′F＝8，∴D′E′＝D′F2＋E′F2＝62＋82＝10，设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG＝4，EG＝2，∴DE＝DG2＋EG2＝42＋22＝25，∴四边形DNME的周长的最小值为10＋2 5.(14分)。
九年级下册数学单元测试卷-第1章 二次函数-湘教版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第1章二次函数-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p．那么该抛物线的顶点的坐标是（）A.（0，－2）B.C.D.2、如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞时，x＞2；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正确的序号是（）A.①②④B.②③④C.②④D.③④3、二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的顶点是（）A.（﹣1，2）B.（﹣1，﹣2）C.（1，2）D.（1，﹣2）4、下列函数中，当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A.y＝x 2B.y＝xC.y＝x+1D.5、将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A. B.C. D.6、当二次函数y=x2+4x+9取最小值时，x的值为（）A.﹣2B.1C.2D.97、如图，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A、B两点，頂点为点M．則下列说法不正确的是（）A.a＜0B.当x=﹣1时，函数y有最小值4C.对称轴是直线=﹣1 D.点B的坐标为（﹣3，0）8、下列函数是二次函数的是（）A.y=3x﹣4B.y=ax 2+bx+cC.y=（x+1）2﹣5D.y=9、如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.410、抛物线与轴的交点的坐标是（）A. B. C. D.11、抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（）A.（1，1）B.（﹣1，1）C.（1，3）D.（﹣1，3）12、二次函数y=x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A.向左平移2个单位，向下平移2个单位B.向左平移1个单位，向上平移2个单位C.向右平移1个单位，向下平移1个单位D.向右平移2个单位，向上平移1个单位13、抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度14、把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. B. C. D.15、如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：；；；若，是抛物线上两点，则，其中正确的有A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、抛物线y=x²+2x-3与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，如图．在这个新图象上有一点P，能使得S△ABP=6，则点P的坐标为________.17、如图，P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y=0相切时，点P的坐标为________．18、已知抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为________.19、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣；③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④4ac﹣b2＞8a其中正确的结论是________.20、定义：给定关于x的函数y，对于函数图像上任意两点（x1， y1）（x2， y2），当x1﹤x2时，都有y1﹤y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下列函数：① y = 2x；② y =-x＋1；③ y = x2（x＞0）；④，是增函数的有________（填上所有正确答案的序号）.21、如图，⊙O的半径为2，C1是函数y= x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是________．22、设抛物线y= +8x-k的顶点在x轴上，则k=________．23、抛物线表达式C：，已知点A(0，2)，点P是抛物线上一点，若Rt△AOP有一个锐角正切值为，则点P的坐标________．24、在二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中：①b2﹣4ac＜0；②＞0；③abc＞0；④a﹣b﹣c＞0，说法正确的是________ （填序号）．25、已知点（1，4），（a，4）是二次函数y=x2﹣4x+c的图象上的两个点，则a的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．27、已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C （E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．28、已知二次函数y＝x2﹣4x+3.①求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；②求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；③直接写出y＞0时x的范围29、在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2（单位：件/时），y1、y2与工作时间x（小时）之间大致满足如图所示的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一部分．（1）根据图象回答： 调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x（小时）的取值范围是； 说明线段AB的实际意义是．（2）求出调试过程中，当6≤x≤8（3）时，生产甲种产品的效率y1（件/时）与工作时间x（小时）之间的函数关系式．（3）调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z（件）与生产甲所用时间m（小时）之间的函数关系式．30、已知二次函数的图象经过点，顶点为．求这个二次函数的解析式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、B5、D6、A7、B8、C9、C10、D11、A12、C13、D14、D15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
湘教版九年级数学下册第1章达标检测卷 含答案
第1章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列函数中，是二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 2－1 2．抛物线y ＝(x －1)2＋1的顶点坐标为( )A ．(1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，1)D ．(－1，－1)3．二次函数y ＝－x 2＋2kx ＋2的图象与x 轴的交点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对4．将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )A ．y ＝－2(x ＋1)2－1B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2－1D ．y ＝－2(x －1)2＋35．二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如图所示，当y ＜0时，自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ．x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞36．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，y 3为二次函数y ＝x 2＋4x －5图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 1＞y 3＞y 27．函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是()A．6 sB．4 sC．3 sD．2 s9．抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b的值是()A．－5B．4或－4C．4D．－410．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是()二、填空题(每题3分，共24分)11．抛物线y＝－x2＋15有最________点，其坐标是________．12．如图，二次函数的图象与x轴相交于点(－1，0)和(3，0)，则它的对称轴是直线________．13．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2 022的值为________．14．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形钢架模型中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形钢架模型的面积S(单位：cm2)随x的变化而变化．则S与x之间的函数关系式为________________．15．若a，b，c是实数，点A(a＋1，b)，B(a＋2，c)在二次函数y＝x2－2ax＋3的图象上，则b，c的大小关系是b________c.16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…－1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是______________．17．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元．经市场调查发现，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg；销售单价每涨1元，月销售量减少10 kg，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为______元时，获得的月利润最大．18．如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列结论：①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的有________个．三、解答题(19题8分，20、21题每题10分，22、23题每题12分，24题14分，共66分)19．已知抛物线y＝3x2－2x＋4.(1)通过配方，将抛物线的表达式写成y＝a(x－h)2＋k的形式．(2)写出抛物线的开口方向和对称轴．20．已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴有两个交点，其坐标分别为(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．(1)求证：4c＝3b2.(2)若该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，试求该二次函数的最小值．21．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点坐标是A(－2，0)．(1)求该二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标．(2)将该二次函数的图象沿x轴向左平移52个单位，求当y<0时，x的取值范围．22．某产品每件的成本是120元，在试销阶段，每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)的关系如下表：x/元130 150 165y/件70 50 35(1)若日销售量y(件)是售价x(元)的一次函数，求y与x的函数关系式．(2)若每日获得利润用P(元)表示，求P与x之间的函数关系式．(3)当每件产品的售价为多少元时，才能使每日获得的利润最大？最大利润为多少？23．如图，有一条双向公路隧道，其截面由一段抛物线和矩形ABCO组成，隧道最高处距地面为4.9 m，AB＝10 m，BC＝2.4 m．现把隧道的截面放在直角坐标系中，有一辆高为4 m、宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道的右壁超过多少米才不至于碰到隧道顶部？(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为两壁)24．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．(2)若P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？答案一、1．B 2．A 3．C4．D 点拨：将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y ＝－2(x －1)2＋3.故选D . 5．A 6．D 7．C 8．A 9．D 10．A 点拨：当0<x ≤1时，y ＝x 2.当1<x ≤2时，设ED 交AB 于点M ，EF 交AB 于点N ，CD ＝x ，则AD ＝2－x .∵在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2， ∴△ADM 为等腰直角三角形，∴DM ＝2－x ，∴EM ＝x －(2－x )＝2x －2，易知S △ENM ＝12(2x －2)2＝2(x －1)2，∴y ＝x 2－2(x －1)2＝－x 2＋4x －2＝－(x －2)2＋2. 故应选A.二、11．高；(0，15) 12．x ＝1 13．2 02314．S ＝－12x 2＋20x 15．＜16．0＜x ＜4 点拨：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x ＝2.∵当x ＝0时，y ＝5，∴当x ＝4时，y ＝5， ∴当y ＜5时，x 的取值范围为0＜x ＜4.17．70 点拨：设销售单价为x 元，月利润为y 元，则y ＝(x －40)·[500－10(x －50)]，即y ＝－10(x －70)2＋9 000(50≤x ≤100)，当x ＝70时，y 有最大值，即获得的月利润最大．18．2 点拨：抛物线开口向下，顶点坐标为(－1，4)，故二次函数y ＝ax 2＋bx＋c 的最大值为4；当x ＝2时，对应的点在x 轴下方，故4a ＋2b ＋c ＜0.二次函数的图象与x 轴的交点为(1，0)，(－3，0)，则抛物线的表达式为y ＝a (x ＋3)(x －1)，将点(0，3)的坐标代入可得a ＝－1，令－(x ＋3)(x －1)＝1，化简可得x 2＋2x －2＝0，它的两根之和为－2.易知当y ≤3时，x 的取值范围为x ≤－2或x ≥0.综上所述，结论①②正确．三、19．解：(1)y ＝3x 2－2x ＋4＝3[x 2－23x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－⎝ ⎛⎭⎪⎫132]＋4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－13＋4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋113. (2)开口向上，对称轴是直线x ＝13.20．(1)证明：由题意，知m ，－3m 是一元二次方程x 2＋bx －c ＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m ＋(－3m )＝－b ，m ·(－3m )＝－c ，∴b ＝2m ，c ＝3m 2，∴4c ＝12m 2，3b 2＝12m 2，∴4c ＝3b 2. (2)解：由题意得－b2＝1，∴b ＝－2，由(1)得c ＝34b 2＝34×(－2)2＝3，∴y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴该二次函数的最小值为－4.21．解：(1)∵把点C (0，－6)的坐标代入抛物线的表达式得c ＝－6，把A (－2，0)的坐标代入y ＝x 2＋bx －6，得b ＝－1. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－x －6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－254.∴顶点D 的坐标为(12，－254)．(2)该二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位得y ＝(x ＋2)2－254的图象． 令y ＝0，得(x ＋2)2－254＝0，解得x 1＝12，x 2＝－92. ∵a >0，∴当y <0时，x 的取值范围是－92<x <12.22．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(130，70)，(150，50)分别代入得解得∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋200.(2)P ＝(x －120)y ＝(x －120)(－x ＋200)＝－x 2＋320x －24 000(120≤x ≤200)． (3)∵P ＝－x 2＋320x －24 000＝－(x －160)2＋1 600，∴当每件产品的售价为160元时，才能使每日获得的利润最大，最大利润为1 600元．23．解：如图，由题意得抛物线的顶点坐标为(5，2.5)，且过点O(0，0)和点C(10，0)，可求出抛物线对应的函数表达式为y＝－110x2＋x.用矩形DEFG表示汽车的截面，设BD＝m m，直线DG交抛物线于点H，交x轴于点M，则AD＝10－m(m)，HM＝－110(10－m)2＋10－m(m)．∴HD＝－110(10－m)2＋10－m＋2.4(m)．由题意得－110(10－m)2＋12.4－m＞4，易得2<m<8.根据公路隧道为双向，汽车宽为2 m，易知m≤3.∴2＜m≤3.故汽车的右侧离隧道的右壁超过2 m才不至于碰到隧道顶部．24．解：(1)联立方程组解得∴点B的坐标为(－1，1)．又∵点C为点B关于原点的对称点，∴点C的坐标为(1，－1)．∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，－1)．设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，把A，B，C三点的坐标分别代入，得解得∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1.(2)①连接PQ.由题易知PQ与BC交于原点O.当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，∵直线BC对应的函数表达式为y＝－x，∴直线PQ对应的函数表达式为y＝x.联立方程组解得或∴点P的坐标为(1－2，1－2)或(1＋2，1＋2)．②如图，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点E，则S四边形PBQC ＝2S△PBC＝2×12BC·PD＝BC·P D.∵线段BC的长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．又易知∠PED＝∠AOC(固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大．∵点P在抛物线上，点E在直线BC上，∴点P的坐标为(t，t2－t－1)，点E的坐标为(t，－t)．∴PE＝－t－(t2－t－1)＝－t2＋1.∴当t＝0时，PE有最大值，此时PD有最大值，四边形PBQC的面积最大．。
第1章 二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)
第1章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A.a＜0B.c＞0C.a+b+c＞0D.方程 ax 2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=32、如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A. B. C. D.3、如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.4、二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①②③④⑤其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC 的面积最小．A.1B.2C.3D.47、如图，二次函数的图象与轴交于两点，点位于、之间，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，点在轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①；②；③（其中为任意实数）；④，其中正确的是（）A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④8、已知抛物线的解析式为y=﹣（x+3）2+1，则它的顶点坐标是（）A.（﹣3，1）B.（3，1）C.（3，﹣1）D.（1，3）9、抛物线y＝x2＋bx＋c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的关系式为y＝x2－2x－3，则b，c的值为( )A.b＝2，c＝2B.b＝2，c＝0C.b＝－2，c＝－1D.b＝－3，c ＝210、如图，已知抛物线的图象与x轴交于两点，其对称轴与x轴交于点C,其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（）A. B. C. D.当时，y 随x的增大而减小11、向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则下列几个时刻高度最高的是（）A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第14秒12、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A. B. C. D.13、已知二次函数的与的部分对应值如下表：…0 1 3 …… 1 3 1 …则下列判断中正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线与轴交于负半轴C.当＝4时，＞0D.方程的正根在3与4之间14、若点P（x，y）的坐标满足方程组，则点P不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15、小明从右边的二次函数y=ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a＜0，②c=0，③函数的最小值为﹣3，④当x＜0时，y＞0，⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2，⑥对称轴是直线x=2．你认为其中正确的个数为（）A.2B.3C.4D.5二、填空题(共10题，共计30分)16、某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为：s=60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行________ 米才能停止．17、已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象的对称轴在y轴的左侧，请写出满足条件的一组a，b的值，这组值可以是a＝________，b＝________．18、如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是________（填序号）19、若抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a=________．20、如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是________．21、二次函数y=ax2−3ax+2(a<0)的图象如图所示，若y<2，则x的取值范围为________.22、二次函数y== 的图象如图,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y= 的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为________.23、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是________．24、已知抛物线经过原点及点（，），且抛物线与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该抛物线的解析式为________．25、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、已知二次函数的图象过点且顶点坐标为，求此二次函数的解析式.28、已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …10 5 2 1 2 …（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）写出y≤5时自变量x的取值范围（可以结合图象说明）．29、将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5化为顶点式y=（x﹣h）2+k，并写出它的对称轴及顶点坐标．30、如图，已知抛物线y=-+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）.（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、D4、C5、B6、C7、C8、A10、B11、B12、B13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。
第1章 二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)
第1章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A.c＞0B.2a+b=0C.b 2﹣4ac＞0D.a﹣b+c＞02、已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A.当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）B.当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点C.若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D.若a ＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大3、抛物线与y轴的交点坐标为（）A.（7，0）B.（-7，0）C.（0，7）D.（0，-7）4、抛物线的对称轴是（）A.直线B.直线C.直线D.直线5、直角坐标平面上将二次函数y=x2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（）A.（0，0）B.（1，-1）C.（0，-1）D.（-1，-1）6、已知y＝bx﹣c与抛物线y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C.D.7、二次函数图像的顶点坐标是（）A. B. C. D.8、二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A.（1，﹣2）B.（1，2）C.（﹣1，2）D.（﹣1，﹣2）9、已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图像如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1， y1），P2（x2， y2）是抛物线上的点，P3（x3， y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1， y2， y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y2＜y3＜y1C.y3＜y1＜y2D.y2＜y1＜y310、已知关于x的方程|x2+ax|=4有四个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. 或B. 或C.D.11、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b+c，N=a-b+c，P=4a+2b则（）A.M＞0，N＞0，P＞0B.M＞0，N＜0，P＞0C.M＜0，N＞0，P＞0 D.M＜0，N＞0，P＜012、若抛物线y=x2-4x-12与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（）A.24B.36C.48D.9613、下列函数关系中，满足二次函数关系的是（）A.距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系C.等边三角形的周长与边长之间的关系D.圆心角为100°的扇形面积与半径之间的关系14、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a＋c ＜b；④b2－4ac＞0，其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.415、将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能够成等边三角形，那么平移的距离为（）A.1个单位B. 个单位C. 个单位D. 个单位二、填空题(共10题，共计30分)16、已知函数y= (m+3)x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为________.17、如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为________．18、抛物线y=2（x﹣1）2﹣1与y轴的交点坐标是________19、二次函数y=x2+（k+4）x+k的图象与x轴两个交点间的最短距离为________。
湘教版初中九年级数学下册第一单元测试卷含答案解析
第一章 一元二次函数单元测试题（时限：100分钟 总分：100分）班级 姓名 总分 一、 选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为 （ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-- 2. 二次函数2)1(2-+=x y 的最小值是 （ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2 3．在下列函数解析式中，对称轴为直线x =2的二次函数是（ ）A. y =2x +1B.122+=x yC.142+-=x x y D.142++=x x y4．抛物线5)1(22+-=x y 与y 轴交点的坐标是（ ） A.（0，5） B.（0，25） C.（0，7） D.（1，5） 5．要得到函数12+=x y 的图象，应将函数2(2)3y x =--的图象（ ） A.先向下平移3个单位，再向下平移2个单位 B.先向左平移2个单位，再向上平移4个单位 C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D.先向右平移2个单位，再向下平移2个单位6．根据下列表格中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与对应y 值，判断方程02=++c bx ax （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.20c bx ax y ++=2 -0.03 -0.01 0.02 0.04A. 17.66<<xB. 18.617.6<<xC. 19.618.6<<xD. 20.619.6<<x 7. 二次函数22+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）A ．221y x =-- B ．221y x =+C ．22y x = D ．221y x =-8. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为1x =， 则下列结论中正确的是 ( ) A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根 二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分) 9.抛物线32+-=x y 的开口向 ；对称轴为 . 10.已知抛物线322-++=k x x y 经过原点，则k = . 11. 抛物线412+-=x x y 与x 轴有_____个交点；交点坐标为 ______________. 12.抛物线)0)(4)(2(≠-+=a x x a y 的对称轴是直线 . 13.把函数62-=x y 的图象向右平移1个单位，所得图象的解析 式为______________.14.如图，是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A(3，0)，则由图象可知，OA 31yx不等式c bx ax ++2＜0的解集是 .15. 若二次函数c x x y +-=42的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则最小的c为 .16. 函数c bx ax y ++=2的对称轴是2=x ，且经过点P （3,0），则=++c b a _____. 三、解答题(本题共6小题，共44分) 17. （本小题满分7分）抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … －2－1 01 2… y…－4－48…（1）根据上表填空：① 抛物线与x 轴的交点坐标是 和 ；② 抛物线经过点 (-3, )；③ 在对称轴右侧，y 随x 增大而 ； （2）试确定抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式.18. （本小题满分7分） 如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，—6）两点. （1）求这个二次函数的解析式；（2）设二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ， 求△ABC 的面积.19. （本小题满分7分）CBAO y x二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）.（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．20. （本小题满分7分）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．21. （本小题满分8分）图①图②已知二次函数22y x m =+．（1）若点1(2,)y -与2(3,)y 在此二次函数的图象上，则1y 2y （填 “>”、“=”或“<”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点(04)-，，正方形ABCD 的顶点 C , D 在x 轴上， A , B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．22．（本小题满分8分）已知抛物线2(1)21y m x mx m =--++（1m >）． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为2，求m 的值；（3）若一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.九年级数学第一章一元二次函数测试题参考答案一、选择题：1.A ； 2.D ； 3.C ； 4.C ； 5.B ；6.C ；7.D ；8.D二、填空题：9. 向下，y 轴； 10. 3； 11. 一， 1(,0)2； 12. 1x =；13. 2(1)6y x =--； 14. 13x -<<； 15. 5； 16. 0.三、解答题：17.（1）① (-2 ,0), (1, 0)； ② 8; ③增大 （2）依题意设抛物线解析式为 y =a (x +2) (x -1).由点 (0, -4)在函数图象上，得-4=a (0+2) (0-1). 解得 a =2. ∴ y =2 (x +2) (x -1). 即所求抛物线解析式为y =2x 2+2x -4.18.（1）64212-+-=x x y ； （2）6ABC S ∆=. 19. 解：（1）由题意，有0,5,938.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.5,4,1c b a ∴此二次函数的解析式为542--=x x y . ∴9)2(2--=x y ，顶点坐标为(2，-9).（2）先向左平移2个单位，再向上平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y = x 2． 20.解：设金色纸边的宽为x 分米． 根据题意，得（2x ＋6）(2x ＋8)＝80.解得 x 1＝1，x 2＝－8（不合题意，舍去）． 答：金色纸边的宽为1分米．21. 解：（1）1y < 2y .（2）∵二次函数22y x m =+的图象经过点（0，-4），∴m = -4．∵四边形ABCD 为正方形，又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y 轴为它们的公共对称轴， ∴OD=OC ，=BCOE S S 阴影矩形. 设点B 的坐标为（n ，2n ）（n >0）， ∵点B 在二次函数224y x =-的图象上， ∴2224n n =-.解得，122,1n n ==-（舍负）. ∴点B 的坐标为（2，4）. ∴=BCOE S S 阴影矩形=2⨯4=8．22. 解：（1）令0y =，则2(1)210m x mx m --++=.∵2(2)4(1)(1)4m m m ∆=---+=， 解方程，得 222(1)m x m ±=-.∴11x =，211m x m +=-. ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0），（11m m +-，0）. （2） ∵1m >， ∴111m m +>-. 由题意可知，1121m m +-=-.解得，2m =.经检验2m =是方程的解且符合题意. ∴2m =.（3）∵一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，∴方程2(1)21kx k m x mx m -=--++有两个相等的实数根.整理该方程，得 2(1)(2)10m x m k x m k --++++=，∴222(2)4(1)(1)44(2)0m k m m k k k k ∆=+--++=++=+=， 解得 122k k ==-.∴一次函数的解析式为22y x =-+.二次函数二次函数及其图像二次函数（quadratic function ）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
第1章 二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)
第1章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知二次函数y＝ax2＋b x＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A.ac>0B.当x>1时，y随x的增大而增大 C.2a＋b＝1 D.方程a x2＋bx＋c＝0有一个根是x＝32、抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为（）A. B.1 C.0 D.3、二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m ＜n，则a，b，m，n的大小关系是（）A.a＜m＜n＜bB.a＜m＜b＜nC.m＜a＜b＜nD.m＜a＜n＜b4、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A. B. C. D.5、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②b＜0；③y随x的增大而减小；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，上述4个判断中，正确的是（）A.①②④B.①④C.①③④D.②③④6、将抛物线y=2x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A.y=2（x﹣2）2﹣3B.y=2（x﹣2）2+3C.y=2（x+2）2﹣3 D.y=2（x+2）2+37、将函数y=﹣x2+2的图象向右平移3个单位后再向上平移1个单位，得到的图象的函数表达式是（）A.y=﹣（x﹣3）2+3B.y=﹣（x+3）2+3C.y=﹣（x+3）2+1 D.y=﹣（x﹣3）2+18、若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是．A. B. C. D.9、把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A.y=-2（x+1）2+2B.y=-2（x+1）2-2C.y=-2（x-1）2+2 D.y=-2（x-1）2-210、下列图形中，阴影部分的面积为2的有（）个A.4个B.3个C.2个D.1个11、二次函数y＝（x﹣4）2+3 的最小值是（）A.2B.3C.4D.512、已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（）A.-1≤x≤3B.-3≤x≤1C.x≥-3D.x≤-1或x≥313、在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）A. B. C. D.14、描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数，下列说法：①图象经过；②当时，有最小值；③随的增大而增大；④该函数图象关于直线对称；正确的是（）A.①②B.①②④C.①②③④D.②③④15、将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是________.17、如图，直线y= x＋4 与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x 轴交于点C．动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿C－B－A向点A运动(不与C、A重合) ，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．若当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，第二象限内存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形, 则点N的坐标为________18、将抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为________．19、把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________ .20、当m＝________时，函数是二次函数．21、把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是________．22、函数y=ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y=x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y=﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是________ ．23、抛物线上有两点，，若, 则与的大小关系是________.24、二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是________．25、抛物线过点，且，则抛物线的对称轴是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC.（1）求∠PCB的度数（2）若P，A两点在抛物线y=x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标.28、已知：二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；（3）若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．29、如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．30、已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（－2，－5），求此二次函数的解析式。
湘教九年级数学下册第1章检测试卷含答案
第1章检测卷时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝ax 2＋bx ＋cC ．y ＝2t 2＋1D ．y ＝x 2＋1x2．抛物线y ＝－(x －2)2＋3的顶点坐标是( )A ．(－2，1)B ．(2，3)C ．(2，－3)D ．(－2，－3)3．将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝(x ＋1)2－13B ．y ＝(x －5)2－3C ．y ＝(x －5)2－13D ．y ＝(x ＋1)2－34．关于抛物线y ＝x 2－2x ＋1，下列说法错误的是( ) A ．开口向上B ．与x 轴有两个重合的交点C ．对称轴是直线x ＝1D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小5．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞46．点P 1(－4，y 1)，P 2(－3，y 2)，P 3(1，y 3)均在二次函数y ＝x 2＋4x －m 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 2＞y 1>y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 3>y 1＞y 27．如图①，一只兔子在草地上跳跃的路径呈抛物线形，建立如图②所示的平面直角坐标系，跳跃时兔子重心的高度变化y (米)关于水平距离x (米)的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ，则兔子此跳的水平距离为( )A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米8．如图，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，则tan ∠CAB 的值为( )A.12B.55C.255D ．2第8题图 第9题图 第10题图9．已知反比例函数y ＝kx 的图象如图所示，则二次函数y ＝2kx 2－4x ＋k 2的图象大致为( )10．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是( )A ．2a －b ＝0B ．a ＋b ＋c ＞0C ．3a －c ＝0D ．当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形二、填空题(每小题3分，共24分)11．点A (－2，a )是抛物线y ＝x 2上一点，则a ＝________．12．若函数y ＝(m －1)x 3－|m |＋6的图象是抛物线，则m 的值为________．13．二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数的表达式为________________．14．抛物线y ＝kx 2－5x ＋2与x 轴有交点，则k 的取值范围是________________． 15．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．16．如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形ABCD 的边上．若设AE ＝x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数表达式为______________．第16题图 第18题图17．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．18．如图，抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2＋4都经过x轴上的A，B两点，两条抛物线的顶点分别为C，D.当四边形ACBD的面积为40时，a的值为________．三、解答题(共66分)19．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：求：(1)(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．20．(8分)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的表达式；(2)求△AOB的面积．21.(8分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．22．(10分)已知△ABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20.(1)写出△ABC 的面积y 与BC 的长x 之间的函数表达式，并求出面积为48时BC 的长； (2)当BC 的长为多少时，△ABC 的面积最大？最大面积是多少？23．(10分)已知抛物线y ＝x 2－px ＋p 2－14.(1)若抛物线与y 轴交点的坐标为(0，1)，求抛物线与x 轴交点的坐标； (2)求证：无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点； (3)若抛物线的顶点在x 轴上，求出此时顶点的坐标．24．(10分)2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 的高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k 米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．(1)当k ＝4时，求这条抛物线的表达式；(2)当k ＝4时，求运动员落水点与点C 的距离；(3)图中CE ＝194米，CF ＝214米，若跳水运动员在区域EF 内(含点E ，F )入水时才能达到训练要求，求k 的取值范围．25．(12分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)与x轴相交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC.(1)求抛物线的表达式．(2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①如图，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D10．D 解析：∵抛物线与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b2a ＝1，∴2a ＋b ＝0，∴选项A 错误；当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b ＋c＜0，∴选项B 错误；∵点A 的坐标为(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，而b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，∴选项C 错误；当a ＝12，易得b ＝－1，c ＝－32，∴抛物线的表达式为y＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E ，把x ＝1代入得y ＝12－1－32＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)，∴AE ＝2，BE ＝2，DE ＝2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ADB 为等腰直角三角形，∴选项D 正确．故选D.11．4 12.－1 13.y ＝－x 2－2x ＋3 14.k ≤258且k ≠015．0 16.y ＝2x 2－4x ＋4 17.2218．0.16 解析：∵抛物线y ＝ax 2－4和y ＝－ax 2＋4都经过x 轴上的A ，B 两点，∴a ＞0，∴点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－2a a ，0，⎝⎛⎭⎫2a a ，0.又∵抛物线y ＝ax 2－4和y ＝－ax 2＋4的顶点分别为C ，D ，∴点C ，D 的坐标分别是(0，－4)，(0，4)，∴CD ＝8，AB ＝4aa，∴S四边形ACBD＝S △ABD ＋S △ABC ＝12AB ·OD ＋12AB ·OC ＝12AB ·CD ＝12×8×4aa＝40，解得a ＝0.16.19．解：(1)将(－1，－5)，(0，1)，(2，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2＋4x ＋1.(4分) (2)由(1)知y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3，∴其图象的顶点坐标为(1，3)．(6分)当x ＝4时，m ＝－2×16＋16＋1＝－15.(8分)20．解：(1)设二次函数的表达式为y ＝a (x －2)2＋1，(1分)将点O (0，0)代入得4a ＋1＝0，解得a ＝－14，∴二次函数的表达式为y ＝－14(x －2)2＋1.(4分)(2)∵抛物线y ＝－14(x －2)2＋1的对称轴为直线x ＝2，且经过原点O (0，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(4，0)，(6分)∴S △AOB ＝12×4×1＝2.(8分)21．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋2)2＋m 经过点A (－1，0)，∴0＝1＋m ，∴m ＝－1，(2分)∴抛物线的表达式为y ＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3，(3分)∴点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－2.又∵点B ，C 关于对称轴对称，∴点B 的坐标为(－4，3)．∵y ＝kx ＋b 经过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1.∴一次函数的表达式为y ＝－x －1.(5分) (2)由图象可知，满足(x ＋2)2＋m ≥kx ＋b 的x 的取值范围为x ＜－4或x ＞－1.(8分) 22．解：(1)由题意得y ＝12x (20－x )＝－12x 2＋10x ，(2分)当y ＝48时，即48＝－12x 2＋10x ，解得x 1＝12，x 2＝8，∴当△ABC 的面积为48时，BC 的长为12或8.(5分)(2)∵y ＝－12x 2＋10x ＝－12(x －10)2＋50.(8分)∴当x ＝10，即BC ＝10时，△ABC 的面积最大，最大面积为50.(10分)23．(1)解：对于抛物线y ＝x 2－px ＋p 2－14，将x ＝0，y ＝1代入得p 2－14＝1，解得p ＝52.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－52x ＋1.令y ＝0，得x 2－52x ＋1＝0，解得x 1＝12，x 2＝2，则抛物线与x 轴交点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0与(2，0)．(3分)(2)证明：∵Δ＝p 2－4⎝⎛⎭⎫p 2－14＝p 2－2p ＋1＝(p －1)2≥0，∴无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点．(6分)(3)解：抛物线顶点的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，2p －1－p 24.(7分)∵抛物线的顶点在x 轴上，∴2p －1－p 24＝0，解得p ＝1.∴此时顶点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.(10分)24．解：(1)设抛物线的顶点为M .∵k ＝4，∴M 的坐标为(3，4)，点A 的坐标为(2，3)．设抛物线的表达式为y ＝a (x －3)2＋4，则3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.故抛物线的表达式为y ＝－(x －3)2＋4.(3分)(2)由(1)知当k ＝4时，y ＝－(x －3)2＋4.当y ＝0时，即0＝－(x －3)2＋4，解得x 1＝1，x 2＝5.∴运动员的落水点为(5，0)，故当k ＝4时，运动员落水点与点C 的距离为5米．(6分)(3)设抛物线表达式为y ＝a (x －3)2＋k ，将点A (2，3)代入可得a ＋k ＝3，即a ＝3－k .(7分)若跳水运动员在区域EF 内(含点E ，F )入水，则当x ＝194时，y ＝4916a ＋k ≥0，即4916(3－k )＋k ≥0，解得k ≤4911.当x ＝214时，y ＝8116a ＋k ≤0，即8116(3－k )＋k ≤0，解得k ≥24365.(9分)∴24365≤k ≤4911.(10分)25．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (b 、c 为常数)与x 轴相交于点A (－1，0)、B (3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.(3分)(2)①∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴P (1，－4)，C (0，－3)．设直线BC 的表达式为y＝kx ＋m ，将B (3，0)，C (0，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋m ＝0，m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－3.∴直线BC 的表达式为y＝x －3.(5分)如图，设对称轴直线x ＝1交BC 于点E ，则E (1，－2)，∴PE ＝－2－(－4)＝2，∴S △PBC ＝12PE ·OB ＝12×2×3＝3.(8分)②存在．(9分)设P 点的坐标为(1，t )，由①可知E (1，－2)，∴PE ＝|t ＋2|，∴S △PBC ＝12OB ·PE＝32|t ＋2|，∴32|t ＋2|＝6，解得t ＝2或t ＝－6，∴P 点的坐标为(1，2)或(1，－6)，即存在满足条件的点P ，其坐标为(1，2)或(1，－6)．(12分)。
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湘教版九年级数学下册 第1章 单元检测试卷(120分，90分钟)题 号 一 二 三 总 分得 分一、选择题(每题3分，共30分)1．抛物线y ＝2(x ＋3)2－4的顶点坐标是( )A ．(3，－4)B ．(－3，－4)C ．(3，4)D ．(－3，4)2．将抛物线y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，3) C ．(0，4) D ．(0，7)3．已知函数y ＝12x 2－x －4，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( )A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．－2＜x ＜4(第4题)4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，点C 在y 轴的正半轴上，且OA ＝OC ，则( )A ．ac ＋1＝bB ．ab ＋1＝cC ．bc ＋1＝aD ．以上都不是5．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.146.二次函数y ＝x 2＋x ＋c 的图象与x 轴有两个交点A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1<x 2，点P(m ，n)是图象上一点，那么下列判断正确的是( )A ．当n<0时，m<0B ．当n>0时，m>x 2C ．当n<0时，x 1<m<x 2D ．当n>0时，m<x 17．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 对应的函数表达式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋68．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象大致是( )(第9题)9．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( ) A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s10．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示.x …－3 －2 －1 0 1 …y …－12 －2 4 6 4 …给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)；④当x<0时，函数值y随x的增大而减小．从表中可知，上述说法正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(每题3分，共30分)11．二次函数y＝2x2－x－3的图象的开口向________，对称轴是直线______________，顶点坐标是______________．12.如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线对应的函数表达式是________________．13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取得最大值，为4，当x＝0时，y ＝－14，则此函数关系式是________________．14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是______________．15．已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是____________．16．开口向下的抛物线y ＝a(x ＋1)(x －9)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若∠ACB ＝90°，则a 的值为________．17．如图，某涵洞的截面边缘是抛物线，在图中建立适当的直角坐标系，抛物线对应的函数表达式为y ＝－14x 2，当涵洞水面宽AB 为12 m 时，水面到涵洞顶点O 的距离为________．(第17题) (第18题)(第19题) (第20题)18.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示．下列结论：①2a ＋b ＝0；②a ＋c ＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)；④abc ＞0，其中正确的结论是________(填写序号)．19．如图，把抛物线y ＝12x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为________．20．已知二次函数y ＝(x －2a)2＋(a －1)，(a 为常数)，当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a ＝－1，a ＝0，a ＝1，a ＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线对应的函数表达式是y ＝________.三、解答题(21～22题每题8分，23～24题每题10分，其余每题12分，共60分) 21.已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3(m 是常数)．(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；(2)把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？22．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象经过一次函数y ＝－32x ＋3的图象与x轴、y 轴的交点，并且也经过(1，1)点，求这个二次函数的关系式，并求x 为何值时，函数有最大(最小)值？这个值是多少？23．如图，已知抛物线y ＝12x 2＋bx 与直线y ＝2x 交于点O(0，0)，A(a ，12)．点B 是抛物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E.(1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点C 为OA 的中点，求BC 的长；(3)以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为(m ，n)，求出m 、n 之间的关系式．(第23题)24．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于A、B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F.已知点A的坐标为(－1，0)．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求△EMF与△BNF的面积之比．(第24题)25．某公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一段抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．根据图象提供的信息解答下面的问题：(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元？(利润＝售价－成本)(2)求出一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？(第25题)26．已知：抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．(1)求抛物线对应的函数表达式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为(a，b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．答案一、1.B 2.B3．A 点拨：将函数关系式化为 y ＝12(x －1)2－412，当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小．4．A5．B 点拨：将点(2，0)的坐标代入y ＝ax 2－6x 得0＝a ×22－6×2，解得a ＝3，则y ＝3x 2－6x ＝3(x －1)2－3，∴抛物线顶点坐标为(1，－3)，由勾股定理得所求距离为12＋32＝10.6．C7．D 点拨：根据题意得a ＝－2，所以抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 对应的函数表达式为y ＝－2(x ＋1)(x －3)，即y ＝－2x 2＋4x ＋6.8．C 9.A 10.A二、11.上；x ＝14；⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－31812．y ＝x 2＋2x ＋3 点拨：由题可得：y ＝(x ＋1)2－2，向上平移，得：y ＝(x ＋1)2＋c ，经过点A(0，3)，则：3＝1＋c ，c ＝2，所以新抛物线对应的函数表达式是：y ＝(x ＋1)2＋2＝x 2＋2x ＋3.13．y ＝－2x 2＋12x －14 点拨：本题运用方程思想，根据题意得y ＝a(x －3)2＋4，将x ＝0，y ＝－14代入得－14＝a ×9＋4，解得a ＝－2. ∴y ＝－2(x －3)2＋4，即y ＝－2x 2＋12x －14.14．x 1＝5，x 2＝－2 点拨：抛物线与x 轴交点的横坐标即是对应方程的两根． 15．m ≥－2 点拨：由y ＝x 2＋2mx ＋2＝(x ＋m)2＋2－m 2，得抛物线的对称轴为直线x ＝－m ，∵x ＞2时，y 随x 的增大而增大，∴m ≥－2.16．－13 点拨：本题运用数形结合思想和方程思想，由题易知，△AOC ∽△COB ，∴OC2＝OA·OB＝1×9，OC 2＝9，∴OC ＝3，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，3)或(0，－3)，将其分别代入y ＝a(x ＋1)(x －9)＝ax 2－8ax －9a ，得－9a ＝3或－9a ＝－3，解得a ＝－13或a＝13.又∵抛物线开口向下，∴a ＝－13. 17．9 m 18.①④ 19.27220.12x －1 点拨：可以取a ＝－1，a ＝0时，分别求出抛物线的两个顶点，然后将两个顶点的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，即可求出表达式．三、21.(1)证法一：因为(－2m)2－4(m 2＋3)＝－12＜0，所以关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2＋3＝0没有实数根．所以不论m 为何值，函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象与x 轴没有公共点． 证法二：因为a ＝1＞0，所以该函数的图象开口向上． 又因为y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3＝(x －m)2＋3≥3， 所以该函数的图象在x 轴的上方．所以不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点． (2)解：y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3＝(x －m)2＋3.把函数y ＝(x －m)2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位后，得到函数y ＝(x －m)2的图象，它的顶点坐标是(m ，0)，此时这个函数的图象与x 轴只有一个公共点．所以把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．22．解：对于y ＝－32x ＋3，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝2，把(0，3)，(2，0)，(1，1)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，c ＝3.所以二次函数的关系式为y ＝12x 2－52x ＋3.因为y ＝12x 2－52x ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－ 18，所以当x ＝52时，函数有最小值，最小值为－18.点拨：本题用待定系数法求a ，b ，c ，再通过配方求函数的最值及对应的x 值． 23．解：(1)∵点A(a ，12)在直线y ＝2x 上， ∴12＝2a ， 解得：a ＝6，又∵点A 是抛物线y ＝12x 2＋bx 上的一点，将(6，12)代入y ＝12x 2＋bx ，可得b ＝－1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝12x 2－x.(2)∵点C 是OA 的中点，∴点C 的坐标为(3，6)， 把y ＝6代入y ＝12x 2－x ，解得：x 1＝1＋13，x 2＝1－13(舍去)， ∴点B 的坐标为(1＋13，6)． 故BC ＝1＋13－3＝13－2.(3)∵直线OA 对应的函数表达式为y ＝2x ， 点D 的坐标为(m ，n)，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ，点C 的坐标为(m ，2m)， ∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，2m ， 把⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，2m 代入y ＝12x 2－x ，可得m ＝116n 2－14n ，∴m 、n 之间的关系式为m ＝116n 2－14n. 24．解：(1)由题意，得－(－1)2＋2×(－1)＋c ＝0，∴c ＝3.∴y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点M(1，4)．(2)∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴点B(3，0)． ∴EM ＝1，BN ＝2.易知EM ∥BN ，∴△EMF ∽△BNF. ∴S △EMF S △BNF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EM BN 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. 25．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)． (2)由图象知，抛物线的顶点为(6，4)，∴可设关系式为Q ＝a(t －6)2＋4.又∵图象过点(3，1)，∴1＝a(3－6)2＋4，解得a ＝－13.∴Q ＝－13(t －6)2＋4，即Q ＝－13t 2＋4t －8(t ＝3，4，5，6，7)．(3)由图象可知，M(元)是关于t(月)的一次函数， ∴可设M ＝kt ＋b. ∵点(3，6)，(6，8)在其图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝6，6k ＋b ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝4.∴M ＝23t ＋4.∴W ＝M －Q ＝23t ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t 2＋4t －8＝13t 2－103t ＋12，即W ＝13t 2－103t ＋12(t ＝3，4，5，6，7)．∵W ＝13t 2－103t ＋12＝13(t －5)2＋113.∴当t ＝5时，W 最小值＝113.∴该公司在一个月内最少获利113×30 000＝110 000(元)．26．解：(1)∵抛物线经过坐标原点(0，0)， ∴m 2－1＝0， ∴m ＝±1，∴y ＝x 2＋x 或y ＝x 2－3x.∵当x<0时，y 随x 的增大而减小， ∴y ＝x 2－3x. ∴y<0时，0<x<3.(2)①当BC ＝1时，矩形ABCD 的周长为6. ②∵点A 的坐标为(a ，b)，∴当点A 在对称轴左侧时，矩形ABCD 的一边BC ＝3－2a ，另一边AB ＝3a －a 2， ∴周长L ＝－2a 2＋2a ＋6，其中0<a<32.当点A 在对称轴的右侧时，矩形ABCD 的一边BC ＝2a －3，另一边AB ＝3a －a 2， ∴周长L ＝－2a 2＋10a －6，其中32<a<3.周长存在最大值．当0<a<32时，L ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋132，∴当a ＝12时，L 最大值＝132，A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－54.当32<a<3时，L ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －522＋132，∴当a ＝52时，L 最大值＝132，A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－54.。