高数上册第3章
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f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1) f (0)
f (2 ) x1
( x2 2 x1 x2 ,0 1 x1 )
x1 f ( )(2 1 ) 0 (1 2 )
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
三、柯西(Cauchy)中值定理
例4. 证明不等式 x ln(1 x) x ( x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
5. 设 f ( x) 0 , f (0) 0证明对任意x1 0, x2 0 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 证：不妨设 0 x1 x2 f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 )
第三章 微分中值定理 与导数的应用
中值定理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理 推广 泰勒中值定理
柯西中值定理
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
第一节
第三章
中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
思路: 利用b逆向a 思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令a=x0，b=x0+x，则
y f ( x0 x)x (0 1)
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例3. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
方法: 欲证 x I时f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I ,使 f ( x0 ) C0 .
自证: arctan x arccot x , x ( , )
2
及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
分析: F (b) F (a) F()(b a) 0 a b
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f ( x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
例2. 设 f ( x) C[0, ], 且在( 0, )内可导, 证明至少存 在一点 ( 0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
证:
故在[ a , b ]上取得最大值
M 和最小值 m . 若M=m,则
因此
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
y
o
y
1 o 1 x
1x
y
o 1x
2) 定理条件是充分的不是必要的. 本定理可推广为
要证 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0
F(b) F(a)
( )
(x) f (b) f (a) F(x) f (x)
F(b) F(a)
证:
作辅助函数 ( x)
f (b) F(b)
f (a) F(x) F (a)
f
(x)
则( x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且
提示: 由结论可知, 只需证
即
f ( x )sin x x 0
设 F ( x ) f ( x )sin x
验证F ( x )在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
二、拉格朗日中值定理
y
y f (x)
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
(a) f (b)F(a) f (a)F(b) (b)
F(b) F(a)
由罗尔定理知, 至少存在一点
使
即
f F
(b) (b)
f F
(a) (a)
f ( F (
) )
.
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F( )(b a), (a , b) 一定相同
费马(fermat)引理
且
存在
(或 )
证: 设
则
0 0
y o x0 x
证毕
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
y y f (x)
o a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F(t)
y
f (t)
d y f (t) d x F (t)
y
f (b)
f (a)
oF (a) F ( )
F(b) x
例6. 设
至少存在一点
使
证: 结论可变形为
证明
设F ( x) x2 , 则f ( x), F ( x)在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a) .
证:
问题转化为证 f ( ) f (b) f (a) 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作辅助函数
(
14
x) f
4( x2)(b4)f(b4a)3
f (a)
x
ba
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b), 由罗尔定理知至少存在一点
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim f (x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例1. 证明方程 正实根 .
证: 1) 存在性 .
有且仅有一个小于1 的
设f ( x) x5 5x 1,则 f ( x)在 [0 , 1 ] 连续 , 且
f (2 ) x1
( x2 2 x1 x2 ,0 1 x1 )
x1 f ( )(2 1 ) 0 (1 2 )
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
三、柯西(Cauchy)中值定理
例4. 证明不等式 x ln(1 x) x ( x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
5. 设 f ( x) 0 , f (0) 0证明对任意x1 0, x2 0 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 证：不妨设 0 x1 x2 f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 )
第三章 微分中值定理 与导数的应用
中值定理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理 推广 泰勒中值定理
柯西中值定理
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
第一节
第三章
中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
思路: 利用b逆向a 思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令a=x0，b=x0+x，则
y f ( x0 x)x (0 1)
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例3. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
方法: 欲证 x I时f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I ,使 f ( x0 ) C0 .
自证: arctan x arccot x , x ( , )
2
及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
分析: F (b) F (a) F()(b a) 0 a b
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f ( x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
例2. 设 f ( x) C[0, ], 且在( 0, )内可导, 证明至少存 在一点 ( 0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
证:
故在[ a , b ]上取得最大值
M 和最小值 m . 若M=m,则
因此
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
y
o
y
1 o 1 x
1x
y
o 1x
2) 定理条件是充分的不是必要的. 本定理可推广为
要证 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0
F(b) F(a)
( )
(x) f (b) f (a) F(x) f (x)
F(b) F(a)
证:
作辅助函数 ( x)
f (b) F(b)
f (a) F(x) F (a)
f
(x)
则( x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且
提示: 由结论可知, 只需证
即
f ( x )sin x x 0
设 F ( x ) f ( x )sin x
验证F ( x )在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
二、拉格朗日中值定理
y
y f (x)
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
(a) f (b)F(a) f (a)F(b) (b)
F(b) F(a)
由罗尔定理知, 至少存在一点
使
即
f F
(b) (b)
f F
(a) (a)
f ( F (
) )
.
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F( )(b a), (a , b) 一定相同
费马(fermat)引理
且
存在
(或 )
证: 设
则
0 0
y o x0 x
证毕
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
y y f (x)
o a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F(t)
y
f (t)
d y f (t) d x F (t)
y
f (b)
f (a)
oF (a) F ( )
F(b) x
例6. 设
至少存在一点
使
证: 结论可变形为
证明
设F ( x) x2 , 则f ( x), F ( x)在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a) .
证:
问题转化为证 f ( ) f (b) f (a) 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作辅助函数
(
14
x) f
4( x2)(b4)f(b4a)3
f (a)
x
ba
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b), 由罗尔定理知至少存在一点
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim f (x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例1. 证明方程 正实根 .
证: 1) 存在性 .
有且仅有一个小于1 的
设f ( x) x5 5x 1,则 f ( x)在 [0 , 1 ] 连续 , 且