高数上册第3章

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高等数学上册第3章

三.一元函数积分学3-1.不定积分与定积分的概念与性质一．原函数与不定积分1-1.定义为任意常数数的任意一个确定的原函是其中记作的不定积分称为的原函数的一般表达式上的原函数在区间为则称设C x f x F Cx F dx x f x f C x F x f b a x f x F b a x x f x F ,)()(,)()(,)()()(),()()(),(),()('⎰+=+∈=1-2.性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=±=±+=+===的常数是不为则有以下性质在所讨论的区间上连续与以下均设被积函数0,)()(.4)()())()((.3)()(;)()('.2)()();()')('.(1,)()(k dx x f k dx x kf dxx g dx x f dx x g x f Cx f x df C x f dx x f dxx f dx x f d x f dx x f x g x f 二.定积分1.原始定义本部分详见教材2.几何意义梯形面积的负值其几何意义是表示曲边时当梯形的面积其几何意义是表示曲边时当上的连续函数对于在区间,0)(,0)()(],[≤≥x f x f x f b a3.性质))(()(),,(],[)(.8)()()()(],,[)()(,],[)(.7)()(),()(.6)()()(.5,)()(.4)()())()((.30)(.2)()(.1,)(),(,111a b f dx x f b a b a x f dx x g dx x f x g x f b a x x g x f b a x f dx x g dx x f ba x g x f dx x f dx x f dx x f k dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f dx x f dx x f dx x f x g x f ba b a ba b a ba b a bc c a b a ba ba b a b a aa b a ab -=∈<<∈≤≤≤≤+==±=±=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ξξ使下面的等式成立则至少存在一点上连续在区间设积分中值定理加强版：则使且至少存在一点上连续在区间积分中值定理：若则比较定理：若为常数则有以下性质在讨论的区间上可积均设以下除特别声明外4.存在定理4-1.定积分存在定理⎰⎰ba ba dx x fb a x f x f b a x f 存在则且只有有限个间断点上有界在区间设存在则上连续在区间设)(,,],[)(.2)(,],[)(.14-2.原函数存在定理上必存在原函数则在区间上连续在设],[,],[)(b a b a x f5.变限积分称为变上限定积分为自变量的函数定义了一个以有以下关系上可积在区间对上可积在区间设,],[,)()(,],[)(],,[,],[)(x b a x dt t f x x a x f b a x b a x f xa ⎰∈=Φ∈类似的，可以定义变下限定积分，这里不再赘述求导法则详见第二章知识点6.牛顿——莱布尼兹定理)()(|)()(,)()(,],[)(a F b F x F dx x f x f x F b a x f b a b a -==⎰则有的一个原函数是上连续在区间设3-2.不定积分与定积分的计算一.基本积分公式详见教材二.不定积分的基本积分方法1.第I 类换元法(凑微分法)⎰⎰+==Cx F x d x f dx x x f ))(())(())(()('))((ϕϕϕϕϕ2.第II 类换元法(换元积分法)的函数代回成的反函数积分之后再以其中右边表示对则有换元公式且具有连续导数连续设x x t t x t dt t t f dx x f t t t x x f x t )()())('))((()(,0)(')(')(,)()(ψψϕϕϕϕϕψ===≠==⎰⎰3.分部积分法 ⎰⎰⎰⎰-=-=dxvu uv dx uv vdu uv udv v u x v x u ''),,()(),(或则有分部积分公式函数以下简称均有连续导数设注:口诀“反对幂指三”先说到哪个类型的函数，哪个类型的函数就要留下来，剩下的函数去凑微分三.定积分的基本积分方法与不定积分类似，定积分的基本积分方法与不定积分的大体相同，但与不定积分的基本积分方法有区别注:定积分在换元时，积分上下限应该跟着换，直接将新的上下限写在积分号上即可四.几个有用的定积分公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧------===+∞-∞=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--的正奇数为大于当为正偶数，当华里士公式则有为周期的连续函数内是以在区间设则有上是个连续的奇函数在区间设则有上是个连续的偶函数在区间设1,1.32 (2)3.1,2.21.....12.1cos sin .4)()(,),()(.30)(,],[)(.2)(2)(,],[)(.1202000n n n n n n n n n n xdx xdx dx x f dx x f T x f dx x f a a x f dx x f dx x f a a x f n n Ta a T a a a a a πππ3-3.广义积分及其计算一.广义积分1.无穷区间上的广义积分就说此广义积分发散存在只要等号右侧有一项不对于该式其中以及可定义类似的反之称此广义积分发散称此广义积分收敛若等号右端的极限存在上的广义积分在区间为称上连续在区间设,,)()()(,)()(,;,),[)()(lim )(,),[)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞++∞→+=+∞=+∞c c b ba ab dxx f dx x f dx x f dx x f dx x f a x f dx x f dx x f a x f 2.无界函数的广义积分则称此广义积分发散有一个不存在若等号右端的积分只要对于上式则应分成为瑕点内部的点若在开区间则称此广义积分发散有一个不存在若等号右端的积分只要对于上式则应分成都是瑕点点若点类似的可定义的一个瑕点是若点的一个瑕点称为此时点上的广义积分在区间为称且上连续在区间设,,)()()(,),(,,),(,)()()(,,)(lim )(,)()(,),[)()(lim )(,)(lim ,),[)(000⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=∈+===∞=+--→→→ba c a bc ba x a bx b a b a a ba b bx dx x f dx x f dx x f c b a b a x dx x f dx x f dx x f b a dx x f dx x f x f a x f b b a x f dx x f dx x f x f b a x f ααββ二.对称区间上奇,偶函数的广义积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--∞+∞-∞+∞+∞+∞-+∞=∈±=±=-=∈±=±=-==aa aa aa a dx x f dx x f dx x f x f a c x f c x c x a a x f dx x f dx x f x f a c x f c x c x a a x f dxx f dx x f dx x f R x f dx x f dx x f R x f 00000)(2)(,)(,)(],0[,)(,],[)(.40)(,)(,)(],0[,)(,],[)(.3)(2)(,)(,,)(.20)(,)(,,)(.1则有结论收敛且是偶函数又设的瑕点为外均连续上除在区间设则有结论收敛且是奇函数又设的瑕点为外均连续上除在区间设则有结论收敛又设且为偶函数上连续在设则有结论收敛又设且为奇函数上连续在设注:一个重要的广义积分π=⎰+∞∞--dx e x 23-4.定积分的应用一.定积分在几何上的应用1.平面图形面积⎰⎰⎰=≤-<===-===≥==-===≥==βαθθπαββθαθθd r A r r dy y x y x A d y c y y x y x y x x y x x dx x y x y A b x a x x y x y x y y x y y dc ba )(21)20()(.3))()((,))()()(()(.2))()((,))()()(()(.12121212121212之间曲边扇形面积为与介于两射线极坐标曲线围成的平面图形面积为及与曲线围成的平面图形面积为及与曲线 2.平面曲线弧长θθθθθβαθθβαβαβαd r r s r r r r dx x y s t y b a x x y y dt t y t x s t y t x t t y y t x x b a ⎰⎰⎰+=∈=+=∈=+=∈⎩⎨⎧==)()(')0,)('),((],[),(.3)('1))('(],[),(.2)(')(')0,)('),('(],[,)()(.122222且不同时为连续其中的弧长为极坐标曲线连续其中的弧长为直角坐标且不同时为均连续其中的弧长为参数方程曲线3.旋转体体积dx x y x y x V y x y x y a b b x a x x y y x y y b a dx x y x y V x x y x y b x a x x y y x y y b aba ))()((2))()(,0(,),(),(.2,))()(()0)()((,),(),(.112121*********-=≥≥>====<-=≥≥====⎰⎰ππ转体体积为轴旋转一周所形成的旋围成的图形绕曲线转体体积为轴旋转一周所形成的旋围成的图形绕曲线4.旋转曲面面积b a dx x f y S x x f y b a b a <+==⎰,)('12)(],[2π转曲面面积为轴旋转一周所形成的旋绕的弧段上的曲线在区间5.在区间[a,b]上平行截面面积A(x)为已知的立体体积 ⎰<=ba b a dx x A V ,)(6.函数平均值⎰-=∈b adx x f a b f b a x f b a x )(1],[)(],,[上的平均值为在区间函数设二.定积分在物理上的应用10322,,24,,)(,,,,:,100,0,4,:302102002200+============⎰⎰⎰⎰⎰⎰t x dt t dx t v tdt dv dtdt a x dtx d dt dv a dt dx v x v t t a x tx v tx x x 解得得由题意可得到运动方程积分对速度解析式再次进行解得得由题意可得到速度解析式行一次积分解：对加速度解析式进即析式连续积分两次求得运动方程可由加速度解所以我们知道由高中物理知识分析写出质点的运动方程坐标为初速度时初始条件为已知轴运动设质点沿着引例。

《高等数学(上册)》第三章

证明设 f (x) arcsin x arccos x ，则
f (x) 1 1 0 ， x (1，1) ， 1 x2 1 x2
所以 f (x) C ， x (1，1) ．
又因为 f (0) arcsin 0 arccos0 0 ，所以 f (x) f (0) ，结论得证．
又因为
H (x) F(x)[G(b) G(a)] G(x)[F(b) F(a)] ，
所以
H ( ) F( )[G(b) G(a)] G( )[F(b) F(a)] 0 ．
又因为 x (a ，b) 时，G(x) 0 ，则 G( ) 0 ，G(b) G(a) 0（ G(x) 在[a ，b] 上
设
F ( x)
，
G(x)
是
x
x0
时的无穷小量，即
lim
x x0
F ( x)
lim
xx0
G(x)
0
，且
F (x) ， G(x) 在 (x0 ，x) （或 (x ，x0 ) ）内可导，且 G(x) 0 ，令 F(x0 ) 0 ，
G(x0 ) 0 ，则由柯西中值定理可知
lim
x x0
F (x) G(x)
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2 ) ．假设 f ( ) 0 ，所以 f (x2 ) f (x1) 0 ，而 x1 ， x2 在区间 I 上的选取是任意的，因此 f (x) 在区间 I 上是一个常数．
3.1.2 拉格朗日中值定理
例 4 证明 arcsin x arccos x ， x (1，1) ． 2
例 2 证明 f (x) x(x 2)(x 4)(x 6) 1的导函数 f (x) 有 3 个零点分别位于区间 (0 ，2) ， (2 ，4) ， (4 ，6)

高等数学上册第三章

例2
求
lim
x1
x3 3x 2 x3x2 x1

解
lim
x1
x3 3x 2 x3 x2 x1

lim
x1
(x3 3x 2) (x3x2 x1)

lxim13x32x22x31

lxim1(3(x32x22x3)1)
lim 6x x1 6x
在(1 2)内至少存在一点1 使 f (1)0 1是 f (x)0的一
个实根
在(2 3)内至少存在一点2 使f (2)0 2也是f (x)0的一
个实根 f (x)是二次多项式 f (x)0只能有两个实根分别在区间
(1 2)及(2 3)内
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二、曲线的凹凸性与拐点
一、函数单调性的判定法
函数yf(x)的图象有时上升有时下降如何判断函数的图象在什么范围内是上升的在什么范围内是下降的呢？观察与思考
函数的单调性与导数的符号有什么关系？
动画演示
观察结果函数单调增加时导数大于
f (x)0
nn!!
nneexx
00

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其它类型未定式的定值法未定式0、、00、1、0都可以转化为 “零比零”
型或 “无穷比无穷” 型未定式
例 7 求 lim xnln x (n0)
x0
1
解
lim
x0
xn
ln
x

lim
x0
ln x xn

lim
x0

x nxn1

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三、柯西中值定理
柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a b]上连续 (2)在

高数上册第三章微分中值定理和导数的应用习题答案

《高等数学教程》第三章习题答案习题3-1 (A)1. 34=ξ 2. 14-=πξ习题3-2 (A)1. (1)31 (2) 81- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31e e --∞习题3-2 (B)1. n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--2. 连续4. )(a f ''5. )0()1(g a '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0]1)0([210]c o s )([]s i n)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f(3) 处处连续.习题3-31. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f3. )40(,)(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4523<<+++=θθθθx x x x x x x4.)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(412432<<-+---+---+=θθx x x x x x5. )10()(!)1(2132<<+-++++=θn nxx O n x x x x xe6. 645.1≈e7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R8. 121)3(21)2(23)1(-习题3-4 (A)1. 单调减少2. 单调增加3. .),23()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞.),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞.),21()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n7. (1) 凸 (2) 凹（3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹 8. ），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（222),2[]2,(2e+∞-∞ 内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ ），（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 21),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 29,32=-=b a10. a = 3, b = -9, c = 811. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16习题3-4 (B)1. .)1,21(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞.]22,32[]32,2[)2(内单调下降在内单调上升；在πππππππ+++k k k k .],32[),[]32,()3(内单调下降在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2. .1)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根ea e a e a =<<>3. .)2,0(内只有一个实根在π8. .9320时及当=≤k k 9. 在）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 82±=k 习题3-5 (A)1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值.0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值.25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值.205101)512()4(=y 极大值.45)43()5(=y 极大值.0)0()6(=y 极小值 (7) 没有极值. .)()8(1e e e y =极大值.3)1()9(=y 极大值.0)5()1(,18881)21()10(3==-=y y y 极小值极大值2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值.22)2ln 21(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值.2ln )41(,0)1()3(-==y y 最小值最大值3. 提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点所以可证明y '4. .29)1(-=y 最大值5. .27)3(=-y 最小值6. .3)32(,2为极大值==f a7. .21,2-=-=b a8. 长为100m ，宽为5m.9. .1:1:;22,233===h d v h v r ππ 10. .44ππππ++aa ，正方形周长为圆的周长为11. .3843a a h π时，最小体积为锥体的高为=12. .22.1.776小时时间为公里处应在公路右方13. .6000)2(1000)1(==x x14. .45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15. .167080,101利润=p习题3-5 (B)1. 1,0,43,41==-==d c b a 2. x = 1为极小点，y (1) = 1为极小值3. 当c = 1时，a = 0，b = -3，当c = -1时，a = 4，b = 5.4. 296)(23++-=x x x x P5. (1) f (x ) 在x = 0处连续；(2) 当ex 1=时，f (x ) 取极小值；当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 310=x 当时，三角形面积最小7. 323)2()(11)1(032=--=-l x x x x y 8. .1222-≥<b b b b 时为，当时为当 9. 400 10.bc a 2 11. c a e bd L ae bd q -+-=+-=)(4)(,)(2)1(2最大利润eqedd -=η)2( ed q 21)3(==得当η 12. 2)2()4(25)1(=-=t t x 13. 156250元14. (1) 263.01吨 (2) 19.66批/年（3）一周期为18.31天（4）22408.74元15. 2)2()111(1)()1(-+-+=e n n n n M n16. 提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---=习题3-6 (A)1. (1) x = 0, y = 1; (2) x = -1, y = 0; (3) x = -1, x = 1, y = 0 ; (4) x = 1, x = 2, x = -3.2. 略习题3-6 (B)1. ex y e x 1,1)1(+=-=（2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4121,21)5(-=-=x y x2. 略习题3-7 (A)1. k=22. x x k sec ,cos ==ρ3. 02sin 32t a k =4. a a k t 4,41,===ρπ 5. 233)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B)1. 略2. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)2(),2(,332323132323131x a y y a x axyR 曲率圆心3. 8)2()3(22=++-ηξ4. 约1246 (N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为Rmv F 2=]5. 16125)49()410(22=-+--ηπξ 习题3-81.19.018.0<<ξ 2. 19.020.0-<<-ξ 3. 33.032.0<<ξ 4. 51.250.2<<ξ总复习题三一. (1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二. 25)8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--x x x xeyx y 4)1(,)1(4)10()9(2222+++=三. 9)3(0)2(3)1(,7541,6,50,40,31,221,123---e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0)1)0((210)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略四、证明题和应用题 6．)027.0,025.0()2(450449)1(7．)2,2(b a P8．12ln 31,2ln 3121-+ 9．%82.0%13)3(173)2(20)1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p pp10．略。

高数(上)第三章复习题(含参考答案)

高数上第三章复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cotξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限:(1)xe e xx x sin lim0-→-;解2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x . (2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;解 812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(3)xx x x cos sec )1ln(lim20-+→;解 x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→xxx x x x x . 4. 证明不等式：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的.因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x xx xx xx x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x ,也就是221)1ln(1x x x x +>+++.5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2. 因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1); 解122+='x x y ,22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1,ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅,)ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x<e时, f'(x)>0; 当x>e时, f'(x)<0, 所以唯一驻点x=e 为最大值点.因此所求最大项为333max{=.,2}3。

高等数学(上册)第三章教案

第三章：一元函数积分学及其应用教学目的与要求 1．理解不定积分和定积分的概念及性质。

2．掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。

3．会求简单的有理函数的积分。

4．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton ）-莱布尼兹（Leibniz ）公式。

5．了解广义积分的概念。

6．了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。

7．掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法所需学时：20学时（包括：18学时讲授与2学时习题）第一节：不定积分的概念与性质1、原函数概念引例在下列括号中填入适当的函数：（1）(cos =x c x +sin )' （2） (2=x c x +331)' 上例中的问题是：已知)()(x f x F =' 求 )(x F定义1 若在区间I 上，对任意x 有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 是)(x f 在I 上的原函数。

例如：x x sin )(cos -='，则x cos 是x sin -的一个原函数；又x x e e =')(，则x e 是xe 的一个原函数。

原函数存在定理：若)(x f 是连续函数，则)(x f 必有原函数。

由x x e e =')(有x x e e ='+)2(，x x e c e ='+)(，因此可知xe 的原函数不止一个，而是无穷多个。

说明：（1）若)(x f 有一个原函数)(x F ，则)(x f 就有无穷多个原函数c x F +)(（c 为任意常数），即c x F +)(是)(x f 的全部原函数；（2）)(x f 的任意两个原函数之差是一个常数。

设)()(x f x F ='，)()(x f x =Φ'，则有[]0)()()()()()(=-='-Φ'='-Φx f x f x F x x F x 由前面所学定理知 c x F x =-Φ)()(2、不定积分定义 2 在区间I上，函数()f x 的全体原函数的集合，称为()f x 在I上的不定积分，记为()f x dx ⎰,其中“⎰”称为积分号，)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量.由不定积分的定义可知：求()f x 的不定积分就是求()f x 的所有原函数.若()F x 为()f x 的一个原函数，则()=()f x dx F x C +⎰.其中C 为任意常数，称之为积分常数.简言之，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上任意常数C 即可. 例1 求下列不定积分.（1）2x dx ⎰ （2）sin xdx ⎰ （3）x e dx ⎰解（1）因为321()3x x '=，所以313x 是2x 的一个原函数，于是 2313x dx x C =+⎰. （2）因为(cos )sin x x '-=，所以cos x -是sin x 的一个原函数，于是sin cos xdx x C =-+⎰.（3）因为()xx ee '=，所以xe是xe 的一个原函数，于是x x e dx e C =+⎰. 例2 已知某曲线上任意点),(y x 处切线斜率为2x ，并且曲线过点)1,0(，求曲线方程。

同济版高等数学(上册) 第三章课件1

f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号称为积分号 , 称 f x 为被积函数 , f x dx 称为被积表达
6
二、不定积分
第三章一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3

9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.

《高等数学(上册)》课件第三章

高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件？假设满足，找出点．
解函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使

大一上学期同济版高数第三章洛必塔

2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 3) lim 存在 (或为 ) x a F ( x )
证: 无妨假设 f (a) F (a) 0在指出的邻域内任取 , 则在以 a, x 为端点的区间上满足柯西定理条件, 故 f ( x) f ( x) f (a) f ( ) ( 在 x , a 之间) F ( x) F ( x) F (a ) F ( ) f ( ) 3) lim a F ( )
xk
xn
x k 1
用夹逼准则
14
说明:
1) 例6 , 例7 表明 x 时,
ln x ,
e x ( 0)
后者比前者趋于更快 .
例6. lim
例7. lim
ln x x n x
n
x
0
0
(n 0) .
(n 0 , 0) .
x e x
15
说明: 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 . 例如,

x 1
ax 1

解
f 1 lim (2 cos
x 1

x 1
在 x 1 处连续可导。
2 f 1 lim(ax 1) a 1 f 1
x 1
x b) b
于是由连续的充要条件得 a 1 b f 1 2 cos x 2 cos x b b 2 2 f 1 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1
取倒数
转化
0
取对数
00
转化
1

0
0 型
0
lim x x . 例5. 求

高等数学-第3章课件

第二节洛必达法则
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数 f (x) 与 F(x) 都趋于零或都趋于无穷大,那么极限 lim f (x) 可能存在,也可能不存在.通常
xa F(x)
( x )
把这种极限称为 0 或型未定式. 0
一、0 型未定式 0
定理3.2.1 (洛必达法则)
(1) lim f (x) lim g(x) 0 ;
第三节函数单调性的判定法
定理3.3. 1 (函数单调性的判别法) 设函数 y=f (x)在开区间(a,b)的内可导，则 (1) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) >0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调增加; (2) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) <0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调减少.
第五节函数曲线 y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线. 如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凹弧或凹的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凹区间. 如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凸弧或凸的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凸区间.
函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.
定理3.4.1 (极值存在的必要条件) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则必有 f'(x0) =0 . 定义3.4.2 使导数 f'(x)等于零的点 x0 ,称为函数 f(x)的驻点.
定理3.4.2 (极值存在的第一充分条件)
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2 (拉格朗日中值定理) 若函数 f(x) 满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; 则在(a,b)的内至少存在一点 ξ ,使得 f(b) - f(a)= f'(ξ )(b-a)

高数大一知识点第三章

高数大一知识点第三章第三章是高等数学课程中的重要一章，主要讨论的内容是函数的极限和连续性。

这两个概念是数学分析的基础，对于理解高数课程后续的内容和应用具有重要意义。

1. 函数的极限在第三章中，我们首先学习了函数的极限概念。

函数的极限可以用于描述函数在某一点的“趋势”或者“接近程度”。

通过函数值的无限接近某一特定值，可以得出函数的极限。

在文中我们学习了极限的定义、性质以及如何求解。

首先要掌握的是数列的极限。

数列可以看作是函数在自然数域上的特殊情况，因此掌握了数列的极限求解方法，对后续函数的极限求解有很大帮助。

我们学习了数列极限的夹逼定理、单调有界数列的极限定理以及常见数列的极限求解方法。

接着，我们进一步将极限的概念拓展到函数上。

学习了函数无穷远处的极限，以及两个重要的一致收敛定理：柯西收敛原理和黎曼-斯蒂尔杰斯定理。

这两个定理对于证明函数极限的存在性以及计算极限具有重要意义。

2. 连续性第三章的另一个重要内容是函数的连续性。

连续性是函数的一个重要特征，它决定了函数在给定区间上的行为。

在文中，我们学习了函数的连续性概念以及一些重要的连续性判定定理。

首先，我们需要了解什么是函数的连续性。

一个函数在某一点上连续，意味着函数在该点的函数值与极限值相等。

在连续性的学习中，我们学习了间断点的分类，如可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等等。

学会了如何求解函数的间断点，对于函数在某一区间上的连续性分析具有重要意义。

在掌握了连续性的基本概念以后，我们进一步学习了连续函数的性质和判定定理。

例如，我们学习了闭区间上的连续函数有最大值和最小值，以及介值定理和零点定理等等。

这些定理能够帮助我们分析函数在给定区间上的行为，解决实际问题。

3. 数学建模与应用第三章的最后一个部分是数学建模与应用。

高等数学作为一门应用数学课程，强调将数学理论应用于实际问题的能力。

在第三章中，我们学习了如何利用函数的极限和连续性解决实际问题。

例如，我们可以利用函数的极限求解问题中的最优解、极值点和最大值最小值等。

《高等数学》课件高等数学第三章

（2）f
(x)
3
3
2 x
，当x 1
1时，f
(x)不存在.
（3）列表，点x 1将定义域分为三个小区间：(∞，1，) (1， ∞， ) 如表所示．
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
例10 求 lim( 1 1．)
x0 sin x x
解 ∞ ∞型未定式，所以
lim( 1 1 ) lim x sin x lim 1 cos x lim
sin x
0.
x0 sin x x
x0 x sin x
x0 sin x x cos x
2 x0 cos x cos x x sin x 洛必达法则
高等数学第三章. 第一节
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定理1 拉格朗日〔 Lagrange 〕中值定理
如果函数y f (x)满足下列条件：
（1）在闭区间a, b 上连续；
（2）在开区间(a, b)内可导，
则在开区间(a, b)内至少存在一点 (a b，) 使得函数y f (x)
在该点的导数满足等式
f ( ) f (b) f (a) 或
x
x2
2 洛必达法则
高等数学第三章. 第二节
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例5 求 lim x cos x．
x∞ x sin x
解 0 型未定式，由于对分子、分母同时求导后的极
0
限 lim 1 sin x 不存在，所以不能用洛必达法则求解. x∞ 1 cos x
事实上，lim
x
cos
x
lim
1
1 x
cos
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例11 求 lim x．x x0

精品课件-高等数学(上册)-第3章

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2. 由物理学可知, 在距液体表面深度为h处液体的压强为
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3.3 分部积分法
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于是
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3.4 定积分的概念及性质
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图3-5
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