曲线的凹凸性讲解
曲线的凹凸 极值
曲线的凹凸极值曲线是数学中一个重要的概念，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域都有广泛的应用。
曲线的凹凸性和极值是曲线分析的重要内容，它们有助于我们更好地理解和把握曲线的性质和规律。
在之前的文章中，我们讨论了曲线的凹凸性和极值的基本概念，以及如何判断和求解极值问题。
接下来，我们将进一步探讨曲线凹凸性与极值之间的关系，以及如何利用这些概念解决实际问题。
一、曲线凹凸性与极值的关系1.凹凸性的判断曲线的凹凸性可以通过二阶导数来判断。
设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点x处的凹凸性如下：-当f''(x)>0时，曲线在点x处凸向上；-当f''(x)<0时，曲线在点x处凸向下；-当f''(x)=0时，曲线在点x处可能为极值点或拐点。
2.极值点的判断设f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，那么极值点满足以下条件：-当f'(x)=0时，x为极值点的必要条件；-当f''(x)<0时，x为极大值点；-当f''(x)>0时，x为极小值点。
二、曲线凹凸性与极值的实际应用1.优化问题在实际问题中，我们常常需要寻找函数的极值点，以求解最优化问题。
例如，在经济学中，我们可能需要求解最大利润或最小成本的问题；在工程学中，我们可能需要求解最小能耗或最大效益的问题。
通过研究曲线的凹凸性和极值，我们可以找到最优解对应的参数值。
2.物理力学在物理力学领域，曲线的凹凸性和极值有着重要的应用。
例如，在弹性力学中，曲线凹凸性对应着物体的应变情况，极值点则对应着应力集中现象。
通过分析曲线的凹凸性和极值，我们可以更好地了解和预测物体的力学性能。
3.经济学与金融学在经济学和金融学领域，曲线凹凸性和极值有助于我们分析和预测市场走势。
例如，在股票市场中，股价走势图可以看作是一条曲线，通过研究曲线的凹凸性和极值，我们可以判断股价的波动趋势，从而为投资决策提供依据。
《函数曲线的凹凸性》课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
函数的凹凸性ppt课件
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
14
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
当
x
0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2x恒成立1
a 即
a
1
x2 1
1
x 1
(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
2
2
作
DC
x
轴交
f
(x)
于
D（
x1
2
x2
,
yD )
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f
( x1
2
x2
)
yC
f (x1) f (x2 ) 故④不正确 2
11
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
12
定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ： 如 果 对 任 意 x , x R 都 有 12
f
(
x 1
x 2
)
1
f (x ) f (x ) 则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函
《曲线凹凸与拐点》课件
曲线凹凸的计算方法
定义法
通过定义凹凸性，利用二阶导数正负来判断。如果二阶导数大于0，则曲线在相 应区间内是凹的；如果二阶导数小于0，则曲线在相应区间内是凸的。
切线法
通过切线斜率判断。在某点处做切线，如果切线斜率在相邻两点之间由负变正， 则该点为拐点。
拐点的计算方法
定义法
根据拐点的定义，即函数在某点的左 右极限不相等，来确定拐点。
具体应用
在气候学中，通过研究气候数据的曲线凹凸性，可以更好地理解气候变化的规律和趋势 。在金融学中，通过研究股票价格的拐点，可以更好地把握股票市场的变化和趋势。
导数符号变化法
通过判断函数在某点附近左右两 侧导数的符号变化来确定是否为
拐点。
二阶导数测试法
通过判断二阶导数的符号变化来确 定是否为拐点。如果二阶导数在某 点处从正变为负或从负变为正，则 该点为拐点。
切线方向变化法
通过观察曲线在某点处的切线方向 是否发生变化来确定是否为拐点。 如果切线方向发生改变，则该点为 拐点。
导数法
通过求函数的二阶导数，并令其为0 ，解出相应的x值，再判断该点是否为 拐点。
曲线凹凸与拐点计算中的注意事项
初始判断
在计算前应先大致判断 函数的形态，以便选择
合适的计算方法。
精确度要求
对于实际应用，应考虑 计算结果的精确度，选 择合适的数学工具和算
法。
拐点判断
在确定拐点时，应同时 考虑左右极限，避免误
拐点是曲线上的一个点，在该点处曲线的切线方向发变符号
在拐点处，曲线的导数由正变负或由 负变正。
拐点处凹凸性改变
拐点处切线方向变化
在拐点处，曲线的切线方向发生变化 ，由上升变为下降或由下降变为上升 。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
曲线的凹凸性与拐点
曲线上的
七、作业
知识回顾 Knowledge Review
若函数上连续在内具有一二阶导数则1若果在内有2若果在内有拐点三拐点拐点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
yoxFra bibliotekox
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
那么称 f (x)在 I上的图形是凹的。
二、曲线凹凸的判定
观察：
y
y
o
x
凹：切线的的斜率递增 f (x) 递增，即 f (x) 0
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则
（1）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的.
（2）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
4）判断二阶导数在上述点左右两侧的符号，确定曲 线的凹凸区间和拐点。
五、应用举例
例判断函数 f (x) 2x3 3x2 36x 25的凹凸区间与拐点.
六、小结
1.凹凸的定义：曲线与弦的位置关系 点和弦上点的位置关系 2.凹凸的判定：二阶导数的符号；
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
2 (2,3)
3 (3,)
y
-
不存在
+
0
-
y f (x)
拐点
(2, 20 )
9
拐点
(3, 4)
结论：(,2],[3,)是曲线的凸区间,[2,3]是
曲线的凹区间； 拐点为 (2, 20), (3,4).
9
例 求曲线 y x 4 的凹凸区间和拐点
（学生练习）
例 求曲线 y earctanx的凹凸区间和拐点
y 1 x
P
x
O
点P 沿着曲线无限地远离原点时,
点P与一条定直线C 的距离趋于零, 则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时,
称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时,
称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
ytanx
说明:
(1)直线 y y 0 是曲线 y f (x) 的水平渐近线
x0
2.曲线凹凸的判别
y=f(x)
X
观察图形中切线的斜率变化情况.
f (x) 0Y
在图1中,
Y
f (x) 0
当 x1 x2 时,
O 1 2
X
tan1tan2, 图1
2 1
X
O
图2
即 f ( x ) 是单调增加的;
在图2中,当 x1 x2 时,tan1tan2,
即 f ( x ) 是单调减少的.
三、函数的分析作图法
例 作 y 1 x 3 x 的图象 3
解(1)定义域 x(,), 并 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2) y x2 1, 得驻点 x11,x21.
y 2x, 令 y 0 得 x 0.
函数曲线的凹凸性
那么 x x0 就是 y f (x) 的一条铅直渐近线 .
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) b 或 lim f (x) b (b 为常数)
x
x
解 Df (,).
f ( x) 5 x 2 的零点为 2 ，不存在的点为0。
33 x
5
将 f 的符号与 f 的单调性列表如下：
x (-, 0)
0
(0, 2/5) 2/5 (2/5, +)
f
+
不存在
-
0
+
f
连续
连续
f 在 ( , 0]上 单 调 增 ； 在[0, 2]上 单 调 减 ； 在[ 2 , )
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
例4 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
那么 y b 就是 y f (x) 的一条水平渐近线 .
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条:
y , y .
2
2
3.斜渐近线 如果 lim [ f (x) (ax b)] 0
x
或 lim [ f (x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x
方法1:
设函数f (x)在x0的邻域内二阶可导 ,且f (x0 ) 0,
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
9
1
y 10(x2)13 10
9
9
1 0[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0 ; x 2 2 时 y 不存在
(3)列表
1
y 10(x2)13 10
9
9
10[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0; x 2 2 时 y 不存在
x
(, 2) 2 (2,3) 3 (3, )
f (x)
0
0
f(x) f (x)
0
极大值
拐点
32 27
( 1 , 16 ) 3 27
y
极小值
0
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
1
x
3
3
yx3x2x1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
凸的
单增
yf(x)
极
凹的
拐 点
大 值
0
拐点
(3, 26) 9
极小值
3
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐近 y线 2;
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,得 垂 直 渐 近 线 x 0 .
补充点: (13 ,0 ),(13 ,0 );
A(1,2), 作图
B(1,6), C(2,1). y
1、 曲线 y e x 的水平渐近线为_______________.
2、 曲线 y 1 的水平渐近线为______________， x1
曲线凹凸性的判断方法
曲线凹凸性的判断方法
曲线凹凸性判断是识别函数曲线处处向量切线方向的重要方法，用于求解微积分、动力学等重要问题，也是检测函数曲线任意点处变化状态的依据。
曲线凹凸性的判断方法有以下几种：
1、利用积分法：将曲线上的每一片分段折线积分，由积分结果得出曲线的凹
凸性，即根据积分结果的符号大小来确定曲线的凹凸性：若积分结果为正，则曲线向上凸出，上升趋势明显；若积分结果为负，则曲线向下凹陷，下降趋势明显。
2、利用微分法：以曲线上任一点为中心，考察它及其附近的某点处方向与曲
线段的夹角大小及趋势，从而判断曲线凹凸性：若夹角大于零，则曲线向上凸出，上升趋势明显；若夹角小于零，则曲线向下凹陷，下降趋势明显。
3、利用数值分析法：画出曲线的网格折线，采用直接数值法求出曲线的凹凸性，即根据曲线上点之间的数值大小比较结果来判断曲线的凹凸性：若曲线点值持续上升，则曲线向上凸出，上升趋势明显；若曲线点值持续下降，则曲线向下凹陷，下降趋势明显。
4、利用图象识别法：观察曲线的图象，根据曲线的连续变化特点来确定曲线
的凹凸性，即观察曲线的拐点位置及方向确定曲线的凹凸性：若拐点持续向上，则曲线向上凸出，上升趋势明显；若拐点持续向下，则曲线向下凹陷，下降趋势明显。
以上便是曲线凹凸性判断的主要方法，各种方法有各种优缺点，在实际应用中，以上四种方法相互之间可以结合使用，以达到合理判断曲线凹凸性的效果，使曲线凹凸性判断得以正确与准确地实现。
4.5函数曲线的凹凸性及其判别
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
( 0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
令 y 0 得
x1 1 , x 2 2 3 , x 3 2 3
从而三个拐点为
(1 , 1 ) ; ( 2 3 ,
1 3 1
1 3 84 3
) ; ( 2 3 ,
1
1 3 84 3
)
1 3
1 因为 8 4 3 , ( 2 3) 1 4
4.5函数曲线的凹凸性及其判别
曲线凹凸的定义
曲线的凹凸的判定
曲线的拐点及其求法
一、曲线的凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2
x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
高等数学-曲线的凹凸性及拐点
曲线的凹凸性和拐点的判别
例3 求曲线 =
解
3
的凹凸区间和拐点.
定义域为(−∞, +∞).
′
=
1
3
3 2
,
″
=−
2
39Leabharlann 2. = 0时， ′ ，′′都不存在.
+
凹
0
凸
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, 0) ，凸区间为(0， + ∞)，
曲线的拐点为 (0,0).
9
″ () = 12 2 − 30 + 12 = 6(2 − 1)( − 2)，
令 ″ ()
= 0，得1 =
+
凹
1
，2
2
0
= 2.
凸
0
+
凹
1
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, )和(2, +∞)，凸区间为
2
1
1 7
( , 2)，曲线的拐点为( , )和(2, −5).
2
2 16
8
02
微分中值定理及导数的应用
第6讲
曲线的凹凸性及拐点
本节内容
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
02 曲线的凹凸性和拐点的判别
2
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
定义3.2
设函数 = ()在开区间(, )内可导，在该
区间内如果曲线位于其任何一点切线的上方，
那么称此曲线在区间(, )内是凹的，区间
区间(, )内具有二阶导数.
（1）在(, )内，若 ″ () > 0，那么曲线 = ()在
[, ]上是凹的.
（2）在(, )内，若 ″ () < 0，那么曲线 = ()在
高考数学冲刺曲线的凹凸性考点精讲
高考数学冲刺曲线的凹凸性考点精讲在高考数学中，曲线的凹凸性是一个重要的考点，它不仅是函数性质的重要组成部分，也是解决许多数学问题的关键工具。
对于即将参加高考的同学们来说，深入理解和掌握这一考点至关重要。
一、曲线凹凸性的定义曲线的凹凸性是描述曲线弯曲方向的一种性质。
直观地说，如果一条曲线在某一段上看起来像是向上凸起的，那么就称这段曲线是凸的；如果看起来像是向下凹陷的，那么就称这段曲线是凹的。
从数学定义上讲，设函数 f(x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x₁，x₂，恒有 f(x₁＋ x₂)／2 ＞ f(x₁) ＋ f(x₂)／2，则称 f(x) 在区间 I 上的图形是凸的；如果恒有 f(x₁＋ x₂)／2 ＜ f(x₁) ＋ f(x₂)／2，则称 f(x) 在区间 I 上的图形是凹的。
二、曲线凹凸性的判断方法1、二阶导数法这是判断曲线凹凸性最常用的方法。
设函数 f(x) 在区间 I 上具有二阶导数 f'＇（x)。
如果在区间 I 上 f'＇（x) ＞ 0，则 f(x) 的图形在区间 I 上是凹的；如果 f'＇（x) ＜ 0，则 f(x) 的图形在区间 I 上是凸的。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，其一阶导数 f'（x) ＝ 2x，二阶导数 f'＇（x) ＝ 2 ＞ 0，所以函数 f(x) ＝ x²的图像在其定义域内是凹的。
2、切线法在曲线的某一点处，如果曲线位于切线的上方，则曲线在该点附近是凸的；如果曲线位于切线的下方，则曲线在该点附近是凹的。
三、曲线凹凸性的性质1、若曲线是凹的，则曲线的切线位于曲线的下方；若曲线是凸的，则曲线的切线位于曲线的上方。
2、若函数在某区间上是凹的（凸的），则函数在该区间上单调递增（递减）。
四、曲线凹凸性的应用1、证明不等式利用曲线的凹凸性可以证明一些不等式。
例如，要证明对于任意的x₁，x₂∈ 0, ＋∞），有 x₁＋ x₂ ≥ 2√（x₁x₂) 。
第三章第五讲 曲线的凹凸性
微分中值定理 与导数的应用
第五讲 曲线的凹凸性
函数的凹凸性与拐点
在研究了函数的单调性后, 若不知道曲线的弯曲方向, 仍不能准确描绘曲线 变化的特点. 一般地, 函数单调增加或单调减少都有两种方式, 所以只讨论函数
的单调性是不够的, 还必须讨论它的凹凸性.
y
y
B
•
C
A
o
x
o
x
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A 到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的曲 线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的分界点, 我们称为拐点.
y
y= ƒ(x)
A C•
B
oa c
bx
如右图, 从 A到 C与从C到B的分界点 C(c, ƒ(c))就是曲线的拐点.
注 拐点是曲线上的点, 从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表 示, 不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表示方法不一样.
拐点的求法
定理1 (拐点的必要条件)若函数 y = ƒ(x)在 x0 处的二阶导数 f (x0 ) 存在, 且点 ( x0, f ( x0 )) 为曲线 y = ƒ(x) 的拐点, 则 f ( x0 ) 0
注1 在 f ( x0 ) 存在时, f ( x0 ) 0仅是拐点存在的必要条件而非充分条件. y x4 有 f (0) 0 , 但点 (0, 0) 不是该曲线的拐点.
注2 f ( x) 不存在的点也有可能成为拐点.
y 3 x 的二阶导数在 x = 0不可导, 但 (0, 0) 是该曲线的拐点.
二阶导数的符号, 确定曲线是否存在拐点, 若存在拐点, 求出拐点.
例 判断曲线 y ( x 1)3 x5 的凸性, 并求其拐点.
《曲线的凹凸与拐点》课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
3.5曲线的凹凸性
例 4 判断 f ( x) x3 x ，x (,)的凹凸性
解：f ( x) 3x2 1 ，得驻点
x1
1, 3
x2
1 3
f ( x) 6x
当 x 0 时, f ( x) 0 。在区间 (0,) ，曲线是凹的，
此区间内唯一驻点 x2
1
是极小值点。（
3
f (
1 ) 3
6 0， 3
与极值的第二充分条件一致）
§4.5曲线的凹凸性
y B
A oa
bx
定义1 设函数 f ( x)在某一区间上的图象是一条连续
光滑曲线,若曲线上任一点的切线总位于曲线下方,则称曲线
在此区间上是凹；反之，若在某区间曲线的切线总位于曲线 上方，则称曲线在此区间为凸的。
定理 设函数 f ( x) 在区间 (a,b)有二阶导数， 1. 若 x (a,b)，恒有 f ( x) 0，则曲线为凹； 2.若 x (a,b)，恒有 f ( x) 0，则曲线为凸。
定义2 曲线上凹与凸的分界点称为拐点。
由定理知：若 f ( x)存在，拐点的必要条件为 f ( x) 0
拐点的几何特征是曲线穿过拐点时，由此点的切线一侧进入另一侧。 综上所述：我们得到判定曲线的凹凸性与曲线拐点的一般步骤为：
（1）求函数的定义域 ；
（2）求 f ( x) ，f ( x) ； （3）求出 f ( x) 0的全部实根及所有使二阶导数不存在的点 （4）检查上述所求点的两侧 f ( x)的符号，确定曲线的凹凸
性和拐点
例1 判断 y e x，x (,)的凹凸性 解： y e x 0曲线弧是凹的，切线是在曲线下方。
例2 判断 y ln x，x (0. )的凹凸性
解：
y
曲线的凸凹性与拐点课件
凸函数的性 质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$， 都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐 点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求 解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况， 是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系， 判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并 找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变 化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性 质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：（1）
y'
1 3
(
x
4)
2 3
y ''
2
(
x
4)
5 3
2
1
9
9 3 (x4)5
y''
(2) 不存在点为 x=4
（3）x=4分定义域成两个区间(-∞，4)，（4，+∞）
y''
当x<4时， 0 ，∴(-∞，4)为凹区间
y''
X>4 时， 0 ，∴（4，+∞）为凸区间
（4）拐点为（4，2）
''
在每个区间上确定 f (x) 的符号，从而确定 y f (x) 的凹凸区间。
''
''
''
（4）若在 f (x) 0 的实根或 f (x) 不存在点两侧，f (x) 异号，
x x 则 ( , f ( )) 是 y f (x) 的拐点。
0
0
（五）布置作业 P118 3(1)、（2）、（4）
1
(x1) 练习3、求 y x 3
3 的凹凸区间与拐点。
解：（1）
y'
1Fra bibliotek(x1)
2 3
y'' 2 (x1)53 2 1
3
3 3 (x1)5
y''
(2)
不存在点为x=1
( 3）x=1分定义域成两个区间(-∞，1)，（1，+∞）
y''
当x<1时， 0 ，∴(-∞，1)为凸区间
'
xx
x
''
2
xx
x (x 2)
x
y ''
（2）令 0 得x=-2
（3）x=-2分定义域成两个区间(-∞，-2)，（-2，+∞）
y''
当x<-2时， 0 ，∴(-∞，-2)为凸区间
y''
X>-2 时， 0 ，∴（-2，+∞）为凹区间
e （4）拐点为 (2,2 2)
例4、求 y 3 x 4 2 的凹凸区间与拐点。
§5 曲线的凹凸性与拐点
（一）新课引入
观察图中两条曲线弧AB都是上升的，但 弧ACB是凹的曲线弧， 弧ADB是凸的 曲线弧，这就是曲线的凹凸性问题。
从图中还可看出，沿弧ACB上各点作 切线，切线总位于曲线下方，而 弧ADB上各点处切线总位于曲线 上方。因此可用曲线与切线的相对 位置关系反映曲线的凹凸性。
3
由凸变为凹的分界点。
三、拐点：凹与凸的分界点。 注：拐点需将横坐标与纵坐标同时给出
x 例3、求 y ln(1 2) 的凹凸区间与拐点。
y x 解：（1）
'
2x 1
2
y''
2(1 x2) (1 x2)2
y （2）令 '' 0 得 x 1与x 1
（3）x 1与x 1 分定义域成三个区间(-∞，-1)，（-1，1），（1，+∞）
练习1、判断下列曲线的凹凸性。
e ① y 1 x
② y x ln x
y e y e 解：①
'
x
''
x
y e 在(-∞,+∞)上有
''
0 ，故
y 1
x
在 (-∞,+∞) 上是凸的。
y y '
② 定义域为（0，+∞） ln x 1
'' 1
y 在(-∞,+∞)上有
''
y'' ( y')' 0
凸
y' 从+到—
y' 是减函数
y'' ( y')' 0
定理：设在区间（a,b）上 y f (x) 具有二阶导数，
y''
（1）如果在（a,b）上有 0 ，曲线在区间（a,b）上是凹的；
y''
（2）如果在（a,b）上有 0 ，曲线在区间（a,b）上是凸的。
y''
当x<-1时， 0 ，∴(-∞，-1)为凸区间
y -1<x<1时， '' 0 ，∴（-1，1）为凹区间
y ''
X>1时， 0 ，∴（1，+∞）为凸区间
（4）拐点为 (1, ln 2),(1, ln 2)
e 练习2、求 y x x 的凹凸区间与拐点。
y e e e y e e 解： （1）
x x 思考题：曲线 y a 3 b 2 以（1，3）为拐点，求a,b 。
例1、判断下列曲线的凹凸性。
x x ① y 4 2
y x y x 解：
'
4
3 2x
''
12
22
y x x 在(-∞,+∞)上有
''
0，故
y
4
2
在 (-∞,+∞) 上是凹的。
② y ln x
y 解：定义域为（0，+∞）
' 1
x
''
y x
1
2
y''
在（0，+∞）上有 0，故 y ln x 在（0，+∞）上是凸的。
y''
x>1时， 0 ，∴（1，+∞）为凹区间
（4）拐点为（1，1）
（四） 课堂小结
本堂课重点讨论了曲线的凹凸性与拐点，下面我们总结一下求 y f (x)
的凹凸区间与拐点的步骤：
''
（1）求出 f (x)
''
''
（2）找出 f (x) 0 的实根或 f (x) 不存在点
''
''
（3）f (x) 0 的实根或 f (x) 不存在点将定义域分成若干个区间，
0，故
y
x ln
x
x在 (-∞,+∞) 上是凹的。
x 例2、判断曲线y
3
的凹凸性。
y x y 解：
'
3
2
''
6x
y x 当x<0时
''
0， 故在（—∞，0）上曲线
y
3
是凸的。
y x 当x>0时
'' 0 ， 故在（0，+∞）上曲线 y
3
是凹的。
，
x 此时点（0，0）为曲线 y
（二）讲授新课
一、凹与凸的定义
定义：曲线y=f(x)在区间（a,b）内各点处的切线位于曲线下方， 称曲线y=f(x)在区间（a,b）上是凹的，（a,b）是凹区间。如果 切线位于曲线上方，称曲线y=f(x)在区间（a,b）上是凸的， （a,b）是凸区间。
二、凹与凸的判定
凹
y' 从—到+
y' 是增函数