曲线的凹凸性讲解

''
在每个区间上确定 f (x) 的符号，从而确定 y f (x) 的凹凸区间。
''
''
''
（4）若在 f (x) 0 的实根或 f (x) 不存在点两侧，f (x) 异号，
x x 则 ( , f ( )) 是 y f (x) 的拐点。
0
0
（五）布置作业 P118 3(1)、（2）、（4）
1
(x1) 练习3、求 y x 3
3 的凹凸区间与拐点。
解：（1）
y'

1

(x
1)
2 3
y'' 2 (x1)53 2 1
3
3 3 (x1)5
y''
(2)
不存在点为x=1
( 3）x=1分定义域成两个区间(-∞，1)，（1，+∞）
y''
当x<1时， 0 ，∴(-∞，1)为凸区间
（二）讲授新课
一、凹与凸的定义
定义：曲线y=f(x)在区间（a,b）内各点处的切线位于曲线下方， 称曲线y=f(x)在区间（a,b）上是凹的，（a,b）是凹区间。如果 切线位于曲线上方，称曲线y=f(x)在区间（a,b）上是凸的， （a,b）是凸区间。
二、凹与凸的判定
凹
y' 从—到+
y' 是增函数
3
由凸变为凹的分界点。
三、拐点：凹与凸的分界点。 注：拐点需将横坐标与纵坐标同时给出
x 例3、求 y ln(1 2) 的凹凸区间与拐点。
y x 解：（1）
'

2x 1
2
y''

2(1 x2) (1 x2)2
y （2）令 '' 0 得 x 1与x 1
（3）x 1与x 1 分定义域成三个区间(-∞，-1)，（-1，1），（1，+∞）
例1、判断下列曲线的凹凸性。
x x ① y 4 2
y x y x 解：
'
4
3 2x
''
12
22
y x x 在(-∞,+∞)上有
''
0，故
y
4
2
在 (-∞,+∞) 上是凹的。
② y ln x
y 解：定义域为（0，+∞）
' 1
x
''
y x
1
2
y''
在（0，+∞）上有 0，故 y ln x 在（0，+∞）上是凸的。
y'' ( y')' 0
凸
y' 从+到—
y' 是减函数
y'' ( y')' 0
定理：设在区间（a,b）上 y f (x) 具有二阶导数，
y''
（1）如果在（a,b）上有 0 ，曲线在区间（a,b）上是凹的；
y''
（2）如果在（a,b）上有 0 ，曲线在区间（a,b）上是凸的。
y''
当x<-1时， 0 ，∴(-∞，-1)为凸区间
y -1<x<1时， '' 0 ，∴（-1，1）为凹区间
y ''
X>1时， 0 ，∴（1，+∞）为凸区间
（4）拐点为 (1, ln 2),(1, ln 2)
e 练习2、求 y x x 的凹凸区间与拐点。
y e e e y e e 解： （1）
练习1、判断下列曲线的凹凸性。
e ① y 1 x
② y x ln x
y e y e 解：①
'

x
''

x
y e 在(-∞,+∞)上有
''
0 ，故
y 1
x
在 (-∞,+∞) 上是凸的。
y y '
② 定义域为（0，+∞） ln x 1
'' 1
y 在(-∞,+∞)上有
''
'

xx
x
''
2
Βιβλιοθήκη Baidu
xx
x (x 2)
x
y ''
（2）令 0 得x=-2
（3）x=-2分定义域成两个区间(-∞，-2)，（-2，+∞）
y''
当x<-2时， 0 ，∴(-∞，-2)为凸区间
y''
X>-2 时， 0 ，∴（-2，+∞）为凹区间
e （4）拐点为 (2,2 2)
例4、求 y 3 x 4 2 的凹凸区间与拐点。
§5 曲线的凹凸性与拐点
（一）新课引入
观察图中两条曲线弧AB都是上升的，但 弧ACB是凹的曲线弧， 弧ADB是凸的 曲线弧，这就是曲线的凹凸性问题。
从图中还可看出，沿弧ACB上各点作 切线，切线总位于曲线下方，而 弧ADB上各点处切线总位于曲线 上方。因此可用曲线与切线的相对 位置关系反映曲线的凹凸性。
y''
x>1时， 0 ，∴（1，+∞）为凹区间
（4）拐点为（1，1）
（四） 课堂小结
本堂课重点讨论了曲线的凹凸性与拐点，下面我们总结一下求 y f (x)
的凹凸区间与拐点的步骤：
''
（1）求出 f (x)
''
''
（2）找出 f (x) 0 的实根或 f (x) 不存在点
''
''
（3）f (x) 0 的实根或 f (x) 不存在点将定义域分成若干个区间，
0，故
y

x ln
x
x在 (-∞,+∞) 上是凹的。
x 例2、判断曲线y
3
的凹凸性。
y x y 解：
'
3
2
''
6x
y x 当x<0时
''
0， 故在（—∞，0）上曲线
y
3
是凸的。
y x 当x>0时
'' 0 ， 故在（0，+∞）上曲线 y
3
是凹的。
，
x 此时点（0，0）为曲线 y
解：（1）
y'

1 3
(
x

4)
2 3
y ''


2
(
x
4)
5 3


2
1
9
9 3 (x4)5
y''
(2) 不存在点为 x=4
（3）x=4分定义域成两个区间(-∞，4)，（4，+∞）
y''
当x<4时， 0 ，∴(-∞，4)为凹区间
y''
X>4 时， 0 ，∴（4，+∞）为凸区间
（4）拐点为（4，2）
x x 思考题：曲线 y a 3 b 2 以（1，3）为拐点，求a,b 。