李雅普诺夫
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
带系数的李雅普诺夫函数
带系数的李雅普诺夫函数带系数的李雅普诺夫函数在动力系统理论中扮演着重要的角色。
它是一种能够刻画动力系统稳定性与不稳定性的函数，可以用来分析非线性系统的演化行为。
本文将详细介绍带系数的李雅普诺夫函数的概念、性质和应用，以及它在实际问题中的指导意义。
首先，我们来了解一下李雅普诺夫函数的基本概念。
带系数的李雅普诺夫函数是对一般形式的李雅普诺夫函数进行了扩展，引入了系数的概念。
它的定义形式如下：$$V(x,t)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i(t)v_i(x)$$其中，$x$是系统状态，$t$是时间，$\alpha_i(t)$是随时间变化的系数，$v_i(x)$是一组与状态变量$x$有关的函数。
带系数的李雅普诺夫函数可以用来描述系统在不同状态下的稳定性。
带系数的李雅普诺夫函数具有一些重要的性质。
首先，它是非负的，即$V(x,t)\geq0$，且仅在$x$达到系统平衡点时取到零值。
其次，它的导数对时间的变化是非正的，即$\frac{dV(x,t)}{dt}\leq0$，这意味着李雅普诺夫函数的值在系统演化过程中会趋于稳定。
最后，带系数的李雅普诺夫函数还满足一个重要的性质，即对于任意非负的常数$\kappa$，存在一个常数$\tau$使得$\frac{dV(x,t)}{dt}\leq-\kappa V(x,t)$，这意味着系统在某个时间尺度上会以指数速度趋于稳定。
带系数的李雅普诺夫函数在实际问题中具有广泛的应用。
首先，它可以用来判断系统的稳定性。
通过计算带系数的李雅普诺夫函数及其导数，可以判断系统是否会收敛到某个平衡点或周期轨道。
其次，带系数的李雅普诺夫函数还可以用来设计稳定控制策略。
通过调整系数$\alpha_i(t)$，可以使系统的稳定性得到改善，从而实现对非线性系统的控制。
此外，带系数的李雅普诺夫函数还可以应用于信号处理、机器学习等领域，用于分析和识别复杂的动态模式。
总之，带系数的李雅普诺夫函数是一种重要的非线性分析工具，它能够深入理解系统的演化行为和稳定性特性。
李雅普诺夫定理
李雅普诺夫定理
李雅普诺夫定理，也被称为Cauchy-Lipshitz定理，是著名的数
学家Lipshitz在1815年提出的一个定理。
它说明偏导数的连续性，
以帮助解决微积分的解析问题。
它将有限的函数和无穷的函数进行了
明确界定，要求有限的函数在某一点上到其他处逐渐变化，以便它们
可以在某个区间中连续。
李雅普诺夫定理源自1811年法国数学家Augustin Louis Cauchy 提出的定理，Cauchy定理断言偏导数的连续性，即一定连续的函数的
可导函数也是连续的。
Lipshitz的定理与Cauchy定理大致相同，但它扩展了它的定义，要求函数比Cauchy定理定义的要复杂点，它的可导
函数也必须是更复杂的函数。
这一原则也为解决几何的问题提供了解
决办法，因为它有助于理解几何形状的不变性。
李雅普诺夫定理提供了系统解决对微积分问题的方法，它决定了
函数性质，并且揭示了更多函数之间的关系。
它也是数学中一个重要
的定理，它为广泛应用于科学和工程计算研究中的微分方程奠定了基础。
得出李雅普诺夫定理一个宝贵的结论，可以改善科学家们计算函
数的能力，可以针对更复杂的函数提供更强的近似。
因此，李雅普诺
夫定理在数学领域具有重要的意义，它已经广泛应用在科学和工程中。
李雅普诺夫方法
pn1 pn2
pnn
的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为：
为实对称矩阵 P
① 若 i 0 (i 1, 2, , n，) P为正定；
②若
i i
0 0
i为偶数时 i为奇数时
(i 1, 2, ，, n)P为负定；
③若 ④若
i 0 （i 1, 2, i 0 (i n)
，n ，1)P为正半定；
二、李雅普诺夫第二法
又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着 能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程， 直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。
不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于 是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基 本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信 息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。
i 0 i 0 i 0
i为偶数 i为奇数 (i n)
，P为负半定。
（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据
1．渐近稳定基本判定定理 ：
x = f (x,t)
设系统的状态方程为
，且其平衡状态为
x，e 如0 果存在
一个具有连续一阶偏导数的标量函数
，并且V (满x,足t) 条件：
（1）V ( x,t) 为正定；
平衡状态 x是e 稳定的几何解释：
从球域 S(内) 任一点出发的运动 都不超越球域 S( )。
一个二维状态空间中零平衡 状态 xe 0 是稳定的几何解释 如右图 。
如果 与 t0无关，称为是
一致稳定，定常系统是一致 稳定的。
上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定。
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据1. 概述在控制论与系统论中，稳定性是一个重要的概念。
在研究动态系统的稳定性时，我们常常需要使用稳定性判据来判断系统的稳定性。
而在离散条件下，李雅普诺夫稳定判据就是一个常用的方法。
2. 李雅普诺夫稳定判据的定义李雅普诺夫稳定判据是由俄罗斯数学家亚科夫•伊万诺维奇•李雅普诺夫在稳定性理论中提出的一种判据。
它用于判断差分方程系统在离散条件下的稳定性。
3. 离散条件下的稳定性在离散条件下，系统的状态是以离散的时间点进行更新的。
这种情况下，我们常常需要研究系统的稳定性，即系统在经过一定次数的状态更新后，是否能趋向于某一稳定状态，或者在一定范围内波动。
而李雅普诺夫稳定判据就是用来判断这种系统的稳定性的一种方法。
4. 李雅普诺夫稳定判据的原理李雅普诺夫稳定判据的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
对于一个给定的系统，如果存在一个 Lyapunov 函数，满足对系统的任意状态进行更新后，Lyapunov 函数的值都会减小，那么系统就是稳定的。
5. Lyapunov 函数的选择在使用李雅普诺夫稳定判据时，选择合适的Lyapunov 函数是至关重要的。
一般来说，Lyapunov 函数的选择是根据系统的特点来确定的。
常见的 Lyapunov 函数包括二次型函数、指数型函数等。
不同的Lyapunov 函数对系统的稳定性判断有不同的适用条件和效果。
6. 李雅普诺夫稳定判据的应用李雅普诺夫稳定判据在控制论与系统论中有着广泛的应用。
通过使用李雅普诺夫稳定判据，我们可以对离散条件下的系统进行稳定性分析，为系统的设计与控制提供理论支持。
7. 结论离散条件下的李雅普诺夫稳定判据是系统稳定性分析中的重要工具，通过对系统的 Lyapunov 函数进行构造和分析，我们可以判断系统是否稳定，并为系统的设计与控制提供理论依据。
希望本文的介绍对您有所帮助。
基于离散条件下的李雅普诺夫稳定判据，我们将进一步探讨该方法的具体应用和细节，以及其对控制系统和动态系统的实际意义。
李雅普诺夫第一方法和第二方法
李雅普诺夫第一方法和第二方法李雅普诺夫第一方法，也称为不动点迭代法或迭代法。
这种方法基于一个重要的定理，即如果函数g(x)在给定区间[a,b]上连续，并且对于这个区间上任意的x，都有g(x)在[a,b]内的闭区间上有g(x)∈[a,b]，那么在这个区间上存在唯一的不动点c，满足c=g(c)。
所谓不动点，即函数g(x)的值等于其自变量x的值。
李雅普诺夫第一方法的核心思想是通过迭代计算不动点c的近似值，即x_n+1=g(x_n)，不断逼近真实的解。
迭代的过程中，从一个初始值x_0开始，通过将x_0代入g(x)得到新的近似值x_1，再将x_1代入g(x)得到新的近似值x_2，以此类推，直到达到预定的精度要求或者迭代次数时停止迭代。
具体地，李雅普诺夫第一方法的步骤如下：1.选择一个合适的初始值x_0。
2.根据迭代公式x_n+1=g(x_n)计算x_1,x_2,...,x_n，直到满足停止条件。
3.如果满足停止条件，则该迭代过程收敛于不动点c，并且c是非线性方程的实根的一个近似解。
李雅普诺夫第二方法，也称为牛顿迭代法，是一种更加高效的求解非线性方程的数值计算方法。
牛顿迭代法的基本思想是利用函数的局部线性近似来逼近非线性方程的根。
根据泰勒级数展开，可以将非线性方程f(x)=0在一些近似解x_n的邻域中展开成一个一次项和高阶项的级数。
利用一次项的值来逼近非线性方程的解，可以得到迭代公式x_n+1=x_n-f(x_n)/f'(x_n)，其中f'(x_n)代表函数f(x)在x_n处的导数值。
具体地，李雅普诺夫第二方法的步骤如下：1.选择一个合适的初始值x_0。
2.根据迭代公式x_n+1=x_n-f(x_n)/f'(x_n)计算x_1,x_2,...,x_n，直到满足停止条件。
3.如果满足停止条件，则该迭代过程收敛于非线性方程的实根，并且x_n是方程的一个近似解。
与李雅普诺夫第一方法相比，李雅普诺夫第二方法的优点在于收敛速度更快。
人物：俄国数学家李雅普诺夫
第4章稳定性与李雅普诺夫方法
4.3 李雅普诺夫第二法
3、希尔维斯特判据
设实对称阵
p11 p12
P
p21
p22
pn1
p1n
,
pij
p ji
pnn
i 为其各阶顺序主子式，即
1 p11 ,
2
p11 p21
p12 , p22
,n P
矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：
22
4.3 李雅普诺夫第二法
(1)若 i 0 (i 1, 2, , n)， 则 P 正定；
要条件是整个状态空间只有一个平衡点。
线性系统：渐近稳定 大范围渐近稳定 非线性系统：一般小范围渐近稳定
6
4. 不稳定
4.1.2 稳定性的几个定义
对于某个实数 和任意
，在超球域
内始终存在状态 ，使得从该状态开始的运动轨迹要 突破超球域 。
7
4.1.2 稳定性的几个定义
此三个图分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
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4.3 李雅普诺夫第二法
说明： （1）V (x) 0 ，则此时 V (x) C，系统轨迹将在某个曲面上，
而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。 （2）V (x)不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 V (x) 相C 交，
但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。
x0
x0
（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！
于是知系统在原点处不稳定。
33
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 （1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数； （2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定 或者不稳定； （3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的 结论是一致的；
李雅普诺夫方程 p矩阵计算方法
李雅普诺夫方程是控制理论中的重要概念，它描述了线性时不变系统的稳定性。
在实际控制系统中，我们经常需要对这些系统进行稳定性分析和设计。
而在进行李雅普诺夫方程的求解和稳定性分析时，p矩阵计算方法是一个非常实用的工具。
1. 李雅普诺夫方程的基本概念李雅普诺夫方程是对线性时不变系统进行稳定性分析的一种方法。
其数学表达式为Ax+xA^T<0，其中A是系统的状态方程矩阵。
这个方程描述了系统的状态变量随时间的演化，以及系统的稳定性和收敛性。
在实际应用中，我们常常需要对系统进行稳定性分析，以确保系统的可控性和可靠性。
2. p矩阵计算方法的原理和应用p矩阵计算方法是一种用于求解李雅普诺夫方程的有效工具。
其基本思想是将系统的状态方程矩阵A表示为p矩阵和一些辅助矩阵的组合，然后利用这些矩阵的性质和结构来求解李雅普诺夫方程。
这种方法不仅简化了计算过程，还提高了计算的精确度和稳定性。
3. p矩阵计算方法的优势和局限p矩阵计算方法在实际应用中有许多优势。
它可以有效地求解大规模系统的李雅普诺夫方程，提高了计算效率和精度。
这种方法可以直观地反映出系统的结构特性，有利于工程应用和分析。
然而，这种方法也存在一些局限性，比如对初始猜测值的选择比较敏感，需要一定的经验和技巧。
4. 个人观点和思考从我的角度来看，p矩阵计算方法是一个非常实用的工具，可以帮助工程师和研究人员更好地理解和分析控制系统的稳定性。
在实际工程中，我也经常应用这种方法来进行系统设计和调试。
当然，我也意识到这种方法在某些情况下存在局限性，需要不断地学习和探索新的方法来完善自己的技能。
总结：通过本篇文章的阐述，我们对李雅普诺夫方程和p矩阵计算方法有了更深入的理解。
这不仅有助于我们在工程实践中应用这些理论知识，还能够提高我们对控制系统稳定性分析的能力和水平。
希望通过不断的学习和实践，我们能够更好地应用这些方法，为控制系统的设计和应用做出更大的贡献。
李雅普诺夫方程和p矩阵计算方法是控制理论中非常重要的概念，它们在实际控制系统的稳定性分析和设计中起着至关重要的作用。
第四章李雅普诺夫稳定性理论
即:
(1) p11 0,
(1)2 p11 p21
p12 0, ,(1)n p22
p11 p12 p1n
p21
p22
p2n
0
pn1 pn2 pnn
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第29页/共73页
例 判断下列二次型函数的正定性。
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
其平衡状态满足
(
)，并设在原点邻域存在
V (x,t)
x f (x,t)
，假定状态空间原点作为平衡状态
f (0, t) 0 对 x 的连续的一阶偏导数。 xe 0
30
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• 定理1：若(1)
V ( 正定； x,t)
V (x, t) (2)
负定；
则原点是渐近稳定的。
(3) 当
时
,
V ( x, t) x 则系统在原点处是大范围渐近稳定的。
时变： 与t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。
1
x0 xe [(x10 x1e )2 (xn0 xne )2 ]2 9 第10页/共73页
2.渐近稳定
1）是李雅普诺夫意义下的稳定
2）lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
对 x0 s( )
都有lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
10
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初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
❖线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。
常微分方程的李雅普诺夫函数
常微分方程的李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是研究常微分方程稳定性的重要工具。
它能够通过引入一个函数来刻画系统稳定性的特点，对于分析系统的稳定性和发展趋势具有重要意义。
本文将介绍李雅普诺夫函数的定义、性质及应用，以及在常微分方程中的具体应用案例。
一、李雅普诺夫函数的定义李雅普诺夫函数是一个实数函数V(x)，其中x表示系统的状态变量。
若对于任意一个系统状态x(t)，满足以下条件，那么函数V(x)称为李雅普诺夫函数：1. V(x)是正定函数：对于所有的x≠0，V(x)>0；对于x=0，V(x)=0。
2. V(x)是可微函数：V(x)在定义域内可导。
3. V(x)是递减函数：对于系统状态的演化轨迹x(t)，有dV(x(t))/dt ≤ 0。
二、李雅普诺夫函数的性质1. 李雅普诺夫函数的存在性：对于一类稳定系统，通常可以找到一个李雅普诺夫函数来描述其稳定性。
2. 李雅普诺夫函数的唯一性：对于稳定系统，可能存在多个满足条件的李雅普诺夫函数，但它们在系统稳定性的刻画上是等价的。
3. 李雅普诺夫函数的偏导数性质：对于李雅普诺夫函数V(x)，其偏导数∂V/∂x的性质与系统的稳定性密切相关。
- 若∂V/∂x < 0，则系统是渐进稳定的。
- 若∂V/∂x > 0，则系统是不稳定的。
- 若∂V/∂x = 0，则系统的稳定性无法确定。
三、李雅普诺夫函数的应用李雅普诺夫函数在常微分方程的研究中具有广泛应用，下面介绍几个常见的应用案例。
1. 稳定性分析：李雅普诺夫函数可以用于判断系统状态的稳定性。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，可以确定系统的稳定性以及稳定点的性质（渐进稳定、有界稳定等）。
2. 极限周期分析：对于周期系统，李雅普诺夫函数可以用于分析系统周期解的性质。
通过求解李雅普诺夫方程，可以判断周期解的稳定性以及极限周期的存在性。
3. 可解性判定：对于非线性系统，通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以从数学上证明系统的可解性，为求解提供理论基础。
李雅普诺夫判别法
李雅普诺夫判别法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：李雅普诺夫判别法，是数学中一种判别矩阵是否正定的方法。
该方法是由俄国数学家雅科夫利·波格斯坦和罗马诺夫·尼古拉耶维奇提出的，因此被称为李雅普诺夫判别法。
正定矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，通过判别一个矩阵是否正定，可以在实际问题中做出更精准的决策。
正定矩阵在矩阵论中有着重要的地位，它的定义是对于任意非零向量x，都有x^TAX>0成立的矩阵，其中A是一个n×n的矩阵，x为n维列向量，x^T表示x的转置。
这里的正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^TAX>0成立，且如果x^TAX≥0，只有当x=0时，等号成立。
正定矩阵具有很好的性质，比如它的行列式大于0，主对角线元素都是正数。
在实际问题中，我们可能需要判断一个矩阵是否正定，这时就可以使用李雅普诺夫判别法。
该方法的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断矩阵的正定性。
Lyapunov函数是非负函数，一般而言，当函数值为0时，对应的矩阵是正定的，当函数值大于0时，对应的矩阵不是正定的。
具体来说，对于一个实对称矩阵A，我们可以构造一个Lyapunov 函数V(x)=x^TAx，其中x是n维向量。
如果矩阵A是正定的，则Lyapunov函数V(x)一定是大于0的，且当x=0时，V(x)=0。
这就是判别正定矩阵的基本思路。
如果Lyapunov函数V(x)是大于等于0的，则矩阵A不是正定的。
根据Lyapunov函数的定义，我们可以得到一个重要的结论：如果矩阵A的所有主子式都大于0，且对于每一个n×n的子矩阵H，有det(H)>0，那么矩阵A是正定的。
这是由于正定矩阵的性质所决定的，即对于任意非零向量x，都有x^TAX>0成立。
在工程领域，正定矩阵的应用十分广泛。
在控制系统中，正定矩阵可以用来判断系统的稳定性。
如果系统的状态矩阵是正定的，那么系统就是稳定的。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
李雅普诺夫公式
李雅普诺夫公式李雅普诺夫公式在小学到高中的教材中可不常见呢，这是一个相对高深和复杂的概念。
先来说说啥是李雅普诺夫公式。
简单来讲，它是用于判断系统稳定性的一种工具。
可别被这高大上的说法给吓到啦，咱慢慢理解。
我想起曾经给学生们讲这个概念的时候，有个特别有趣的事儿。
当时在课堂上，我刚提到李雅普诺夫公式，就看到下面一张张迷茫的小脸，那表情仿佛在说：“老师，这是啥外星语言啊？”我心里偷笑，知道这对他们来说确实不容易。
为了让他们能有点头绪，我就举了个例子。
比如说咱们玩跷跷板，两边重量差不多的时候，跷跷板就能比较稳定地上下摆动，不会一下子失控。
但要是一边特别重，那整个跷跷板就乱套啦。
这就有点像李雅普诺夫公式里说的系统稳定和不稳定的情况。
在数学和物理的世界里，李雅普诺夫公式就像是一个神奇的魔法棒，可以帮助我们判断各种系统是不是能稳定地运行。
比如说电路系统，要是电流电压不稳定，那电器可能就会出故障。
再比如机械系统，要是某个零件的运动不稳定，整个机器可能就没法正常工作。
对于学习数学和物理的同学来说，理解李雅普诺夫公式虽然有难度，但一旦掌握了，那可就像是打开了一扇通往神奇世界的大门。
不过，学习的过程可不会一帆风顺。
就像我之前提到的那堂课，学生们一开始都懵懵懂懂的，但随着我一点点地解释、举例，慢慢地，能看到有些同学眼睛里开始有了亮光，好像有点明白了。
这时候我就特别有成就感，觉得自己的努力没有白费。
其实，不仅仅是在数学和物理中，在现实生活里，李雅普诺夫公式的思想也有体现呢。
比如说经济系统，如果供求关系不稳定，市场就可能出现混乱。
总之，李雅普诺夫公式虽然有点难，但只要我们有耐心，多思考，多联系实际，还是能慢慢搞懂它的。
希望同学们在学习的道路上，不要被这样的难题吓倒，勇往直前，说不定哪天就会发现，原来这个看似可怕的公式也不过如此嘛！。
俄国数学家李雅普诺夫简介
俄国数学家李雅普诺夫简介李雅普诺夫是俄国著名的数学家、力学家。
在概率论方面，李雅普诺夫引入了特征函数这一有力工具，从一个全新的角度去考察中心极限定理，在相当宽的条件下证明了中心极限定理，特征函数的引入实现了数学方法上的革命。
下面是小编为大家整理的俄国数学家李雅普诺夫简介，希望大家喜欢!李雅普诺夫简介李雅普诺夫是当时的俄国，也就是现在的俄罗斯非常知名的数学家和力学家。
在李雅普诺夫简介中介绍，李雅普诺夫在一八五七年的六月六日出生于俄国小城雅罗斯拉夫尔，在一九一八年一十一月三日死于俄国的另外一座城市敖德萨。
他在这个多姿多彩的世界上一共生活了六十二年。
在李雅普诺夫那个时代，俄国在数学方面的研究是相当落后的，这种情况直到李雅普诺夫的老师切比雪夫创立了圣彼得堡数学学派以后才慢慢改变。
李雅普诺夫最尊敬的老师切比雪夫创立的圣彼得堡数学学派不仅加速了俄国的数学研究，更是把俄国数学研究带到了世界领先的地位。
当然李雅普诺夫和他的同门师兄马尔科夫立下了汗马功劳。
李雅普诺夫和马尔科夫都是老师切比雪夫最喜爱、最得意的弟子，他们才华横溢是老师创立的圣彼得堡数学学派的骨干力量。
李雅普诺夫简介中经常提到他大名鼎鼎的老师和名声在外的师兄。
李雅普诺夫简介异常的简单，他的一生除了数学、力学外别无他物。
一八七六年进入著名的圣彼得堡大学数学系就读。
接着就是留校教学，进一步的攻读硕士、博士学位，研究他喜爱的数学和力学。
经过多年的扎实研究，他的荣誉也随之而来，成为教授、院士等。
他的一生最显赫的成就在于常微分方程定性理论和天体力学。
李雅普诺夫成就李雅普诺夫出生在十九世纪中叶的俄国中部，而俄国在十九世纪之前，数学水平都比较滞后，圣彼得堡数学学派的出现给这门不发达的学科带来了希望。
李雅普诺夫恰好师承圣彼得堡数学学派创立者——一位比他年长三十六岁的智者，并成为了这位智者最优秀的学生之一。
后来他也加入了该数学学派，成为其中的重要代表。
李雅普诺夫在数学和物理方面都有十分卓越的成就，故而在这两个领域中非常有名。
中心极限定理的李雅普诺夫条件
中心极限定理的李雅普诺夫条件中心极限定理是概率论中的重要定理之一，它描述了一种现象：当独立随机变量的数量足够大时，它们的和或平均值的分布将趋近于正态分布。
这个定理在统计学和概率论的研究中有着广泛的应用，可以用来解释许多实际问题。
中心极限定理的李雅普诺夫条件是指随机变量的独立性和同分布性。
独立性是指随机变量之间的取值不会相互影响，而同分布性是指随机变量具有相同的概率分布。
这两个条件是中心极限定理成立的基础，没有这两个条件，中心极限定理就不成立。
李雅普诺夫条件是中心极限定理的一个重要的充分条件。
它要求随机变量的矩存在，并且随着随机变量的数量增加，矩的阶数也要增加。
矩是描述随机变量分布特征的重要指标，它可以用来计算随机变量的均值、方差、偏度和峰度等。
当随机变量的矩存在且阶数增加时，说明随机变量的分布趋于稳定，符合中心极限定理的要求。
李雅普诺夫条件的证明比较复杂，需要使用数学分析的方法。
首先，我们假设随机变量的矩存在，即存在一个正数M，使得随机变量的绝对值的阶数小于等于M。
然后，我们定义一个函数f(x)，表示随机变量的概率密度函数。
根据矩的定义，我们可以得到f(x)的矩生成函数，即f(x)的各阶导数在x=0处的值。
接下来，我们使用泰勒展开定理，将f(x)在x=0处展开成幂级数。
根据矩的定义，我们可以得到幂级数的各项系数与随机变量的矩之间的关系。
最后，我们使用数学分析的方法，证明幂级数的收敛性和收敛速度，从而得到李雅普诺夫条件的成立。
中心极限定理的李雅普诺夫条件在实际应用中有着重要的意义。
它可以用来解释许多实际问题，例如投掷硬币、掷骰子、抽样调查等。
当随机变量的数量足够大时，根据中心极限定理，我们可以使用正态分布来近似描述随机变量的分布，从而进行统计推断和预测。
这在金融、经济、医学、工程等领域都有着广泛的应用。
总之，中心极限定理的李雅普诺夫条件是中心极限定理成立的充分条件之一。
它要求随机变量的矩存在，并且随着随机变量的数量增加，矩的阶数也要增加。
李雅普诺夫第一方法原理及特点
李雅普诺夫第一方法原理及特点嘿，你知道李雅普诺夫第一方法吗？这可真是个超级有趣的东西啊！就好像是一把神奇的钥匙，能打开好多未知世界的大门呢！
李雅普诺夫第一方法的原理啊，简单来说，就是通过研究系统的平
衡点附近的动态特性来判断系统的稳定性。
比如说，就像你走路的时候，要知道自己脚下的路稳不稳，能不能放心大胆地往前走。
它的特点呢，那可不少！它就像是一个超级敏锐的探测器，能察觉
到系统微小的变化。
比如说，天气的变化，一开始可能只是一点点微风，但它就能察觉到这可能会引发一场暴风雨。
我记得有一次，在课堂上，老师给我们详细讲解李雅普诺夫第一方法，同学们都听得特别认真，还不时地提出问题呢。
“老师，这个方法
在实际中有啥用啊？”有个同学好奇地问。
老师笑着回答：“那用处可
大啦！比如在控制工程中，它能帮助我们设计出更稳定的系统。
”大家
恍然大悟。
还有一次，我和几个朋友一起讨论这个方法，有人说：“哎呀，这
个好难理解啊！”另一个人就说：“别急嘛，慢慢来，就像爬山一样，
一步一步来。
”这让我一下子就明白了，学习李雅普诺夫第一方法也不
能着急，要一点一点去钻研。
你说，李雅普诺夫第一方法是不是特别神奇？它就像是隐藏在数学
世界里的一个宝藏，等待着我们去发掘。
我觉得啊，它对于我们理解
和研究各种系统的稳定性真的太重要啦！无论是在工程领域，还是在科学研究中，都有着不可替代的作用。
所以啊，我们可得好好去学习和掌握它呀！。
李雅普诺夫中心极限定理条件
李雅普诺夫中心极限定理
李雅普诺夫中心极限定理（Lyapunov Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，它对独立同分布随机变量序列的和的分布进行了刻画。
该定理的基本条件如下：
1. 独立性：随机变量序列{X1, X2, ..., Xn} 必须是独立的，即Xi与任何其他Xi+j（i≠j）相互独立。
2. 同分布性：所有随机变量Xi具有相同的分布，即对于任意的自然数i，Xi的分布函数与Xi+k的分布函数相同（k≠0）。
3. 有限均值和方差：每个随机变量Xi都有有限的数学期望（均值）μ和方差σ²，即E(Xi) = μ且Var(Xi) = σ²< ∞。
4. 第三或更高阶矩的适当条件：为了保证标准化后的和趋向于标准正态分布，还需要更高级别的矩存在并且满足一定的条件，通常需要李雅普诺夫积分条件得到满足，但一般在经典中心极限定理中并不特别强调这一点。
总结来说，如果有一列独立同分布且具有有限均值和方差的随机变量序列，那么当序列长度趋于无穷时，其算术平均的标准化版本（即除
以标准差并乘以sqrt(n)之后的结果）将依分布收敛到标准正态分布。
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A
f x
x x1e
x1 f2
x2 f2
1 0
0 1
x1 x2 x0 0T
求近似线性系统的特征根：－1，+1， 所以系统在平衡状态x1e不稳定
第三步：将系统在平衡状态x2e附近线性化
f
0 1
A x xx2e 1
（11）
平衡状态为
。
如果存在一个标量函数 ，它满足：
1)
对所有x都具有连续的一阶偏导数。
2) 是正定的，即当
。
3) 沿状态轨迹方向计算的时间导数 足下列条件：
分别满
①若 为半负定，那么平衡状态 称稳定判据。
为在李雅普诺夫意义下稳定。此
②若 为负定；或者虽然 来说，除去 外，对 定的。如果进一步还 的。此称渐近稳定判据。
（2）由系统的传递函数
W s c sI A 1B 1
0
s
1 0
s
0
1
1
1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点s＝－1位于s的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具 有正实部的特征值 2 ＝+1被系统的零点s＝+1对消了，所以在系统的输入输 出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数W（s）不出现零、 极点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W（s）的极点相同，此时 系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。
（6）
在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：
1)如果方程式(6)中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性
系统式(3)在平衡状态 ，是渐近稳定的，而且系统的稳定性与
无
关。
2)如果 A 的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状 态 是不稳定的。
3)如果 A 的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么 原非线性系统的平衡状态 的稳定性将取决于高阶导数项 ，而不能由A 的特征值符号来确定。
V (x) xT x x1
x2
1 0
0 1
x1
x2
x12
x22
0
4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法)
(3) 求 v(x)
v(x) 2x1x1 2x2 x2 2x22
可见只要 x2 0 就有 v(x) 0成立。
下面需要讨论当 x1 0x2 0时 v(x) 0 成立否。
4.3 李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动 方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出 判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。
4.3.1 预备知识 1.标量函数的符号性质
设 为由 维矢量 所定义的标量函数，
有
。
所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：
0
求近似线性系统的特征根：－j，+j，实部为0；所以系统在平衡状
态x2e的稳定性用线性化方程无法判断。
例4.3：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性
x1 x2
x1 2 x2
x2 x14
x2
2
第一步：令 x1 0, x2 0 求得系统唯一的平衡状态 x1 0, x2 0
维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是工的 和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函
，则为定常的非线性系统。
设方程式(1)在给定初始条件
下，有唯一解：
式中，
为表示 在初始时刻
（2） 时的状态； 是从
开始观察的时间变量。
式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件
出
发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。
就有三个平衡状态：
由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其 移到坐标原点 处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。
4.1.2 稳定性的几个定义
若用
表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集
以 为中心 为半径的超球体，那么
，则表示：
式中，
为欧几里德范数。
在n维状态空间中，有：
（5）
4.2.2 非线性系统的稳定性
设系统的状态方程为：
（3）
为其平衡状态； 偏导数。
为与 同维的矢量函数，且对x具有连续的
为讨论系统在 处的稳定性，可将非线性矢量函数 内展成泰勒级数，得：
在 邻域
（4）
式中， 为级数展开式中的高阶导数项。 而
（5）
称为雅可比(Jacohian)矩阵。
若令
，并取式(4)的一次近似式，可得系统的线性化方程：
大范围渐进稳定的必要条件是在整个状态空间只有一个平衡 状态。对于线性系统来说，如果平衡状态是渐进稳定的，则必
然是大范围渐进稳定的。对于非线性系统，使 xe 为平衡状态
的球域 s( ) 一般不大，常称这种平衡状态为小范围渐进稳
定。
不稳定
如果对于某个实数 >0 和任一实数 ，不管 这个实数多么 小，由 s( ) 内出发的状态轨线，至少有一个超出 s( ) ，则称
轨迹 lim t
x
xe
0 ，则此系统的平衡状态 xe 是渐进稳定的。如果
与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态 xe 为一致渐进稳定。
大范围渐进稳定
如果平衡状态 xe 是渐进稳定的，并且从状态空间中所有
初始状态出发的轨线都具有渐进稳定性，即，lim t
x
xe
0
对所有初始点都成立，则称这种平衡状态 xe 大范围渐进稳定。
为半负定．但对任意初始状态 不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳
，则系统是大范围渐近稳定
③若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的。此称不稳定判据。
4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论
1)
是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具
有连续的一阶偏导数。
2)对于一个给定系统，如果 但这并不影响结论的一致性。
表示
当 很小时，则称
则意味着
域
内，便有：
（6）
为 的邻域。因此，若有
，
同理，若方程式(1)的解
位于球
（7） 式(7)表明齐次方程式(1)内初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界 的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。
1．李雅普诺夫意义下稳定 2．渐近稳定 3．大范围渐近稳定 4．不稳定
4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法)
另选一个李氏函数
v(x)
1 2
x1
x2
2
2 x12
x22的稳定性问题。
例4.5：已知非线性状态方程：
，且在
处恒
2．二次型标量函数 二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作
用。
设
为n个变量，定义二次型标量函数为：
（8）
矩阵 P 的符号性质定义如下：
设P 为
实对称方阵，
为由P 所决定的二次型函数。
由此可见，矩阵P 的符号性质与由其所决定的二次型函数
的符号性质完全一致。因此，要判别
如果平衡状态 xe 是稳定的，且当 t 无限增长时，轨线不仅不超出
( ) ，而且最终收敛于 xe ，则称这种平衡状态 xe 渐进稳定。渐进
稳定等价于工程意义上的稳定性。
严格的数学描述： xe 是动力学系统 x f (x,t) 的一个平衡状
态，如果它是稳定的，且从充分靠近 xe 的任意初始状态出发的运动
若 v(x) 0
x2 (t) 0
x2 (t) 0
矛盾
已知条件 x1 0
x1(t) 0
状态方程
x1(t) x2 (t) 0
可见 v(x) 0 不可能成立。 ∴该系统是稳定。
(4) 判断大范围渐进稳定性
x v(x) xT px x
大范围渐进 稳定性
第二步：将系统在平衡状态附近线性化
f1
A
f x
x xe
x1 f2
x1
f1
x2 f2
1 4x13
1 2x2
2
x0
0T
1
0
1 2
x2 x0 0T
第三步：求近似线性系统的特征根：－1，－2 所以系统在平衡点渐进稳定。
（1）
平衡状态
渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
实部。
以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义
上看，往往更重视系统的输出稳定性。
如果系统对于有界输入 稳定。
线性定常系统
所引起的输出 是有界的，则称系统为输出 输出稳定的充要条件是其传递函数：
W s csI A 1 b
若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使：
（3）
成立，则称 为系统的平衡状态。
对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯
一的，例如对线性定常系统：
（4）
当A为非奇异矩阵时，满足
的解
是系统唯一存在的一个
平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。
对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所 确定的常值解．例如系统：
（2）
的极点全部位于s的左半平面。
[例4.1] 设系统的状态空间表达式
为