垂径定理及推论
圆的垂径定理及推论知识点与练习(最新整理)
圆的垂径定理及其推论知识点与练习（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
若CE=DE ，AB 是直径，则⌒ AC=⌒AD ；⌒ BC=⌒ BD②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
若⌒ AC=⌒ AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC=⌒BD ④圆的两条平行弦所夹的弧相等。
若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒FC=⌒ GD 特别提示：①垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径 平分弦 知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．（3）垂径定理及推论的应用：它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”；②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的， 31圆的半径为2cm ，求AB 的长。
解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由题意得，∵⌒ AB= ×360º=120º31∴∠AOB=120º，∴∠AOC=60º,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60º，OA=2，∴OC =OA=1，∴AB=2AC=2=22122OC AO 3故AB 的长为23练习一、选择题1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）A 、CM=DMB 、∠ACB=∠ADBC 、AD=2BD D 、∠BCD=∠BDCGA A（1题图） （2题图） （3题）2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m ，∠CAD=30°，则大棚高度CD 约为（ ）A 、2.0mB 、2.3mC 、4.6mD 、6.9m3、如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为（ ）A 、4cmB 、5cmC 、6cmD 、8cm4、半径为2cm 的圆中，有一条长为2cm 的弦，则圆心到这条弦的距离为（ ）A 、1cmB 、 cmC 、 cmD 、2cm5、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A 、∠COE=∠DOEB 、CE=DEC 、OE=BED 、⌒ BC=⌒ BD（题5）（题6）6、如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）A 、9cmB 、6cmC 、3cmD 、1cm 二、填空题1、如图1中有 对全等的直角三角形；有 个等腰三角形；有 条相等的弧。
证明垂径定理和垂径定理的推论
证明垂径定理和垂径定理的推论1. 什么是垂径定理？嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在几何界特别重要的概念——垂径定理。
说到这，很多同学可能会想：“这是什么鬼东西？”别急，听我慢慢给你捋一捋。
简单来说，垂径定理就是在一个圆里，如果你从圆心往外画一条垂直于圆周的直线，这条线与圆的交点就是我们所说的“垂径”。
这听起来简单吧？但其实这背后蕴藏着很多神奇的数学秘密。
1.1 定理的具体内容那么，垂径定理的具体内容是什么呢？在一个圆中，假设我们有一个点P，假如我们从这个点出发，往圆心画一条直线，直到它碰到圆周，我们叫这个点为A。
接下来，点P到点A的直线垂直于点A到圆心的直线。
那么根据垂径定理，我们就知道这条线段就是一个垂径！是不是觉得这个定理挺神奇的？我觉得它就像一把打开几何大门的钥匙，让我们看到了一个崭新的世界。
1.2 实际应用好啦，别光听我唠叨，咱们说说这玩意儿有什么用。
你可能会问：“我这辈子也不会用到几何啊！”可是，谁能说得准呢？比如说你要设计一个游乐场，想把过山车的轨道设计得又稳又安全，垂径定理可是可以帮你确保轨道的结构强度哦！所以，别小看这些数学定理，它们就像是我们生活中的隐形助手，时时刻刻在为我们服务。
2. 垂径定理的证明说完了定理，接下来就是那个让人头疼的——证明！别担心，我会把它说得简单易懂。
首先，我们可以画一个圆，标记出圆心O，以及任意的点A和P。
然后，从点P出发，画一条垂直于OA的直线，设它与圆交于点B。
根据几何的性质，我们知道，点B 到点O的距离等于点A到点O的距离，这样一来，我们就能证明这两条线段的关系。
2.1 证明的细节我们接下来用一些三角形的性质来帮忙。
设O是圆心，OA是半径，PB是我们所说的垂径。
根据三角形的性质，三角形OAP和三角形OBP是相似的，因为它们有一个公共角OAP和一个直角。
这就意味着它们的对应边成比例，从而可以得出PB的长度与OA是相等的。
啊哈，证明完成了！是不是觉得其实也没那么难？2.2 证明的意义证明完毕之后，咱们再来思考一下这个定理的意义。
垂径定理
垂径定理1.弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等，则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
2.垂径定理及推论：（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦（5）平行弦夹的弧相等。
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC图1⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ）A 3cmB 2.5cmC 2cmD 1cm2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O 到弦BC 的距离是( )A 、1.5B 、2C 、2.5D 、33、（2011年浙江杭州五模）如图，圆O 过点Ｂ、Ｃ，圆心Ｏ在等腰直角ABC∆的内部，090,1,6BAC OA BC ∠===，则圆O 的半径为（ ） Ａ、13 Ｂ、１３ Ｃ、６ Ｄ、213AOB C第3题图 4、（2011年浙江杭州六模）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4π-8 B . 8π-16 C.16π-16 D. 16π-325.（2011年重庆江津区七校联考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB 弧），点O 是这段弧的圆心，AB =120m ，C 是AB 弧上一点，OC ⊥AB 于D ，CD =20m ，则该弯路的半径为________米6. （2011浙江慈吉 模拟）如图，△ABC 内接于⊙O , ∠B=42°, 则∠OCA=__________.7．（2011年杭州市西湖区）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的宽口AB 是 mm ．8.（2011年北京中考）一个圆形花圃的面积为300лm 2，你估计它的半径为 （误差小于0.1m ）9.（2011年北京四中中考模拟19）在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆，（1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点；C A B OC A BO 第4题O C B A 第6题图 B A 8mm 第7题D C B A O 第5题图（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；10.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB＝6，CD＝8，则弦AC的长为__________．AB与CD间距离为。
垂径定理及推论证明方法
垂径定理及推论证明方法一、垂径定理的内容。
1.1 垂径定理简单来说就是在圆中，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这就像是一个圆里的“公平分配原则”，直径就像一个公正的裁判，只要它垂直于弦，就会把弦和对应的弧都平均分成两份。
1.2 例如，我们有一个圆，画一条弦AB，再画一条直径CD，让CD垂直于AB于点E。
那么根据垂径定理，AE就等于BE，弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
这就好像把一块圆形的蛋糕（圆），用一把垂直于蛋糕中间一条线（弦）的长刀（直径）切开，两边的蛋糕（弧）和中间的线（弦）都被平均分开了。
二、垂径定理的证明方法。
2.1 我们可以利用等腰三角形的性质来证明。
连接圆心O与弦AB的两个端点A和B，这样就形成了两个等腰三角形，即△OAB。
因为OA = OB（圆的半径都相等，这是圆的基本性质，就像一个家族里的兄弟姐妹都有相同的地位一样），直径CD垂直于AB，根据等腰三角形三线合一的性质（这可是三角形里的一个“法宝”性质），就可以得出AE = BE，从而证明了垂径定理平分弦这一部分。
2.2 对于平分弧的证明，我们可以利用圆的对称性。
圆是一个非常对称的图形，就像一个完美的圆形镜子，任何一条直径都是它的对称轴。
因为直径CD垂直于弦AB，那么沿着直径CD对折这个圆，弧AC和弧BC会完全重合，弧AD和弧BD也会完全重合，这就证明了直径平分弦所对的两条弧。
这就好比把一张圆形的纸沿着直径对折，两边的图案（弧）会严丝合缝地重合在一起，这就是圆的对称性在起作用。
2.3 从全等三角形的角度也能证明。
在前面连接OA、OB后，在Rt△OAE和Rt△OBE中，OA = OB（半径），OE是公共边，根据HL（斜边直角边）定理，可以得出这两个直角三角形全等。
全等三角形对应边相等，所以AE = BE。
而且全等三角形对应角相等，那么对应的圆心角相等，圆心角相等所对的弧就相等，也就证明了弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
人教版初三数学上册垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
【垂径定理】
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
【注】
（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
【垂径定理的推论】
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧；
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧；
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论：
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦 (不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心。
5.3垂径定理
5.3 垂径定理
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一
些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ●O
OE CD
D CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
例3 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC
C
A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
归纳总结 A
M
C
D
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
总结： 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距， 或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件.
符号语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
A⌒C =B⌒C,
⌒⌒ AD =BD.
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相 互转化,形成整体,才能运用自如.
垂径定理及其20个推论
垂径定理及其20个推论垂径定理及其20个推论是几何学中的基本定理，它描述了圆与其内接三角形的关系。
下面是垂径定理及其20个推论的详细解释：垂径定理：在一个圆中，任意一条直径与其上的任意一条弦垂直。
推论1：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的两个直角三角形互为相似三角形。
推论2：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边等于圆的半径。
推论3：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边的平方等于两直角边的乘积。
推论4：在一个圆中，任意两条垂直的弦所对的弧互补。
推论5：在一个圆中，两条交叉的弦所对的四个弧互补。
推论6：在一个圆中，一条弦和其所对的弧上的两个角互补。
推论7：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。
推论8：在一个圆中，两条相交弦所对的角相等。
推论9：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弧所对的角。
推论10：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弦所对的弧所对的角。
推论11：在一个圆中，两条相交弦所对的角等于其所对的弧所对的角。
推论12：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。
推论13：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等。
推论14：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等。
推论15：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等于圆的半径。
推论16：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等于圆的半径。
推论17：在一个圆中，两个相对的角所对的弦的平方等于两个相对角的余弦的差的平方。
推论18：在一个圆中，一条弦所对的角等于其所对的弧所对的角。
推论19：在一个圆中，一条弦所对的角互补。
推论20：在一个圆中，一条弦所对的角是其所对的弧的一半。
垂径定理的5个结论
垂径定理的5个结论垂径定理是解决圆与直线之间关系的一项重要定理，它有着广泛的应用。
下面将从五个不同的角度，详细介绍垂径定理的五个结论。
一、定理1：切线垂直于半径根据垂径定理的第一个结论，圆的切线垂直于过切点的半径。
这一结论可以通过简单的几何推理得出。
设圆的半径为r，切点为A，切线为l，连接圆心O与切点A，假设在切点A处引出一条过切点A 的直径AB，连接OB。
由于OA=OB=r，所以AB是圆的直径。
根据定理，AB垂直于切线l。
因此，切线l垂直于过切点A的半径OA。
二、定理2：半径平分弦垂径定理的第二个结论表明，过圆心的半径可以平分弦。
这一结论也可以通过几何推理来证明。
设圆的半径为r，弦的两个端点为A、B，连接圆心O与弦的中点M。
根据定理，OM垂直于弦AB。
又因为OM=r，所以OM是圆的半径，即OM=OA=OB=r。
因此，OM平分弦AB。
三、定理3：半径垂直于弦垂径定理的第三个结论是，过圆心的半径垂直于弦。
这一结论可以通过定理2的推论得出。
根据定理2，过圆心的半径OM平分弦AB。
因为OM平分弦AB，所以OM垂直于弦AB。
因此，过圆心的半径垂直于弦。
四、定理4：垂直弦的两条半径相等定理4指出，如果两条半径分别垂直于同一条弦，那么这两条半径的长度相等。
设圆的两条半径分别为OA和OB，弦为AB，连接OA和OB。
根据定理，OA垂直于弦AB，OB垂直于弦AB。
因为OA=OB=r，所以垂直弦的两条半径相等。
五、定理5：垂直弦的两条半径互为中线垂径定理的第五个结论是，如果两条半径分别垂直于同一条弦，那么这两条半径互为弦的中线。
设圆的两条半径分别为OA和OB，弦为AB，连接OA和OB，垂直弦的两条半径分别为OC和OD。
根据定理，OA垂直于弦AB，OB垂直于弦AB，所以OC=OD=r。
因此，垂直弦的两条半径互为弦的中线。
垂径定理有着五个重要的结论：切线垂直于半径、半径平分弦、半径垂直于弦、垂直弦的两条半径相等、垂直弦的两条半径互为中线。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧; 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等;垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等;2：在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等;圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径;推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形; 点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r,点P 到圆心O 的距离为d,则有： d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外;过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆;2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆;3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心; 直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,具体如下：1相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点； 2相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线, 3相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离;如果⊙O 的半径为r,圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角; 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点;推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心; 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个; 切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角; 即：∵PA 、PB 是两条切线∴PA PB =；PO 平分BPA ∠ 圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等;即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P ,A∴PA PB PC PD ⋅=⋅推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项; 即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如右图;即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦; 如图：12O O 垂直平分AB ;即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点∴12O O 垂直平分AB 圆的公切线1公切线的长：12Rt O O C ∆中,221AB CO == 2外公切线的长：2CO 是半径之差；2CO 是半径之和三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆;2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心; 圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种;如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种; 如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交; 2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距; 3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和r,圆心距为d,那么两圆外离⇔d>R+r 两圆外切⇔d=R+r 两圆相交⇔R-r<d<R+rR ≥r 两圆内切⇔d=R-rR>r 两圆内含⇔d<R-rR>r 4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦; 圆内正多边形的计算1.正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；2.正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::1:1:2OE AE OA =： 3.正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::1:3:2AB OB OA =. 弧长和扇形面积1、弧长公式 n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rn l π= 2、扇形面积公式 lR R n S 213602==π扇 其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,L 是扇形的弧长; 3、圆锥的侧面积 rl r l S ππ=•=221其中L 是圆锥的母线长,r 是圆锥的底面半径; 内切圆及有关计算;1三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等; 2△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=2cb a -+ ; 3S △ABC =)(21c b a r ++,其中a,b,c 是边长,r 是内切圆的半径; 拱高问题1.如图,圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米,拱高CD ＝4米,则拱桥的半径为A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米2.如图,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D 为垂足,OC 与AB相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C 是 的中点,CD 就是拱高．A B SlBAOA B A B。
垂径定理及其推论练习题课件
推论的意义和价值
意义
垂径定理的推论是圆中弦长与圆心到直线的距离和半径之间关系的深刻揭示，对 于解决实际问题中涉及圆和直线的问题具有重要的指点意义。
价值
推论的应用范围广泛，不仅在几何、代数等领域有广泛应用，而且在工程、建筑 、天文等领域也有实际应用价值。例如，在桥梁设计和建造过程中，垂径定理的 推论可用于计算桥梁主跨的长度和拱高，以确保桥梁的安全性和稳定性。
证明的思路和方法
思路
通过构造辅助线，将垂径定理的证明 转化为直角三角形的问题，利用勾股 定理进行证明。
方法
作直径端点与圆心的连线，构造两个 直角三角形，利用勾股定理证明垂径 定理。
证明过程
步骤1
作直径端点与圆心的连线。
步骤2
根据勾股定理，证明垂径定理成立。
步骤3
总结垂径定理的内容和适用范围。
证明中的注意事项
PART 04
垂径定理的练习题
垂径定理的练习题
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PART 05
练习题的解答和分析
解答过程
题目1
解答
题目2
解答
已知圆O的半径为5，弦AB的 长度为8，求弦AB的中垂线与 半径OA之间的夹角。
第一，利用垂径定理计算出圆 心O到弦AB的垂线段OC的长 度为$sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ 。然后，利用直角三角形的性 质，可以求出角COB的大小为 $60^circ$。
垂径定理的重要性
基础几何知识
垂径定理是几何学中的基 础知识点，是进一步学习 其他几何知识的前提。
解决实际问题
垂径定理在实际问题中有 着广泛的应用，掌握它能 够更好地解决实际问题。
培养逻辑思维
学习垂径定理需要严谨的 逻辑思维和推理能力，有 助于培养学生的数学素养 和解决问题的能力。
垂径定理的推论
A
E · O
B
∴ ⊙O的半径为5cm.
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E， CE=1，AB=10，求直径CD的长。
A C E B · O D
已知⊙O的直径是10 cm，⊙O的两 条平行弦AB=6 cm ，CD=8cm，
求弦AB与CD之间的距离。
A
C
6
10 10 8
E
8 . O 6
1 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C
∵ CD⊥AB
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
O · A E D B
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心
满足其中任两 （2）这条直线垂直于弦 条，必定同时 满足另三条 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √
）
判断
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
C
CD过圆心
CD⊥AB
AE=BE AC=BC AD=BD
（1）过圆心 （2）垂直于弦
C
O · A
E D
（3）平分弦
B
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧 讨论：上述五个条件中的任何两个条 件作为题设，是否都可以推出其他三 个结论.
M
垂径定理推论
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MN=( C )
A.2 B.4 C.6 D.8
A
MG
N B
DE
H
FC
O
巩固练习：
《名师》 P41 T1~T4
思考1：
如图， ⊙O的直径AB=16，P是OB的 中点， ∠APC=30O，求CD的长。
E
思考2：
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E，F是弧AC上任一点，AF的延长 线交DC的延长线于点G，
求证： ∠AFD＝ ∠GFC
已知，矩形ABCD与⊙O相交于 M,N,F,E.若AM=2,DE=1,EF=8.则
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
例2、已知:△ABC中,∠A=900,以AB为半径 作⊙A交BC于D,AB=5,AC=12.求CD的长.
A
B EDC
方法小结：解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件．
2.3 垂径定理
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径 对折，重复几次，你发现了什么？ 由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
A
弧 ：AD=BD,AC=BC
C
·O
E B
D
垂径定理
垂直于弦的直径 平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧.
C
题设
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
O
结论
E A
B
｛（3）平分弦
D
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
C
垂径定理
平分弦（不是直径）的直径 垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
提升感知！
知 二 得 三
① 直线过圆心 ② 垂直于弦
位置关系
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧 数量关系
⑤ 平分弦所对的劣弧
C
·O
E
A
B
D
垂径定理的推论2
如圆图，的A两B、条CD平是行⊙O弦的所两条夹弦的，弧且A相B∥等CD．，求
证：弧AC=弧DE
C A
M 证明：作直径MN垂直于弦AB
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
O
∴CA⌒⌒MM＝＝DB⌒ ⌒MM，
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
N
即 A⌒C＝B⌒D
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
M
A
B
O
C
D
M
例题精析：
自学 ：“小教材” P39 例1
垂
径
定
理
+ 勾
股 定
A
理
C
O
rd
E
h
D
有哪些等量关系？
d+h=r
r2 d 2 (a)2 2
在a，d，r，h
B 中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量
例1、在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点． 求证：AC＝BD．
O．
E
A 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
DB
O
E A
几何语言：
D
①直线CD过圆心 ②CD⊥AB
B
③ ④
A⌒E=B⌒E
AD= BD
⑤
⌒
AC=
⌒
BC
垂径定理的推论1
① 直线过圆心 ③ 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E
A
B
D
已知：CD是⊙O直径，AB是弦，CD平 分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C