垂径定理及推论

2.3 垂径定理
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径 对折，重复几次，你发现了什么？ 由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
A
弧 ：AD=BD,AC=BC
C
·O
E B
D
垂径定理
垂直于弦的直径 平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧.
C
题设
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
O
结论
E A
B
｛（3）平分弦
D
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
C
垂径定理
C A
M 证明：作直径MN垂直于弦AB
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
O
∴CA⌒⌒MM＝＝DB⌒ ⌒MM，
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
N
即 A⌒C＝B⌒D
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
M
A
B
O
C
D
M
例题精析：
自学 ：“小教材” P39 例1
垂
径
定
理
+ 勾
股 定
A
理
C
O
rd
E
h
D
有哪些等量关系？
d+h=r
r2 d 2 (a)2 2
在a，d，r，h
B 中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量
例1、在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点． 求证：AC＝BD．
O．
E
A 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
C
DB
MN=( C )
A.2 B.4 C.6 D.8
A
MG
N B
DE
H
FC
O
O
E A
几何语言：
D
①直线CD过圆心 ②CD⊥AB
B
③ ④
A⌒E=B⌒E
AD= BD
⑤
⌒
AC=
⌒
BC
垂径定理的推论1
① 直线过圆心 ③ 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E
A
B
D
已知：CD是⊙O直径，AB是弦，CD平 分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
例2、已知:△ABC中,∠A=900,以AB为半径 作⊙A交BC于D,AB=5,AC=12.求CD的长.
A
B EDC
方法小结：解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件．
巩固练习：
《名师》 P41 T1~T4
思考1：
如图， ⊙O的直径AB=16，P是OB的 中点， ∠APC=30O，求CD的长。
E
思考2：
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E，F是弧AC上任一点，AF的延长 线交DC的延长线于点G，
求证： ∠AFD＝ ∠GFC
已知，矩形ABCD与⊙O相交于 M,N,F,E.若AM=2,DE=1,EF=8.则
平分弦（不是直径）的直径 垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
提升感知！
知 二 得 三
① 直线过圆心 ② 垂直于弦
位置关系
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧 数量关系
⑤ 平分弦所对的劣弧
C
·O
ຫໍສະໝຸດ Baidu
E
A
B
D
垂径定理的推论2
如圆图，的A两B、条CD平是行⊙O弦的所两条夹弦的，弧且A相B∥等CD．，求
证：弧AC=弧DE