厚壁圆筒应力分析

当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态 传热状态下，三向热应力的表达式为： 传热状态下，三向热应力的表达式为：
（详细推导见文献[11]附录）
22
过程设备设计
1 − ln K r K r2 + 1 Eα∆t t 周向热应力 σ θ = − 2 2(1 − µ ) ln K K − 1 ln K r K r2 − 1 Eα∆t t − 径向热应力 σ r = + 2 2(1 − µ ) ln K K − 1 Eα∆t 1 − 2 ln K r 2 t 轴向热应力 σ z = − 2 2(1 − µ ) ln K K − 1
一、压力载荷引起的弹性应力
二、温度变化引起的弹性热应力
5
过程设备设计
一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力 、轴向（经向） 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以， 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以， 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布， 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
（2-29）
11
过程设备设计
e. 平衡、几何和物理方程综合 求解应力的微分方程 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 将式（2-28）中的应变换成应力 中的应变换成应力 将式 并整理得到： 并整理得到：
d 2σ r dσ r r 2 +3 =0 dr dr
解该微分方程，可得 σ r 的通解。将 σ r 再代入式（2-26） 解该微分方程， 的通解。 再代入式 得 σθ 。
r
dr
n1
过程设备设计
3.3.1 弹性应力 有一两端封闭的厚壁圆筒（ ），受到内压和外压 有一两端封闭的厚壁圆筒（图2-15），受到内压和外压 ）， 的作用，圆筒的内半径和外半径分别为 的作用，圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro，任意点的半 径为r。以轴线为 轴建立圆柱坐标 轴建立圆柱坐标。 径为 。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中 的三向应力。 的三向应力。
σθ min = pi
2 K2 −1
z
pi σz = K 2 −1
σ r min = 0
σ r min = 0
r
σ r max = − p 0
σ
σ r max = − p i
σ z = − p0
rK2
K2 −1
θ min
= p0
K2 +1 K 2 −1
2K 2 σθ max = − p0 K 2 −1
（2－38）
23
过程设备设计
∆t
筒体内外壁的温差， ∆t =t i −t 0
R0 K ——筒体的外半径与内半径之比 K = R i
R0 Kr——筒体的外半径与任意半径之比， K r = r
厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， Eα∆t 表中 Pt = 2(1 − µ )
厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。
径向应力
（2-34）
轴向应力
p i Ri2 − p 0 R02 σz = R02 − Ri2
称Lamè（拉美）公式
14
过程设备设计
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受力 情况 位 应 力 分 析 置
仅受内压 仅受外压 po=0 pi=0 任意半径 r 内壁处 外壁处 任意半径 r 内壁处 r=Ri r=Ro r=Ri 处 处
2 Ro 1− K 2 −1 r 2
外壁处 r=Ro
− po
K 2 +1 − po 2 K −1
σr
σθ
pi
− pi
K +1 Pi 2 K −1
2
0
2 pi 2 K −1
− po K 2 Ri2 1− 2 r2 K −1 − po K 2 Ri2 1+ 2 K −1 r 2
dσ r σθ −σ r = r dr
θ
2
=0
（2-26） ）
8
c. 几何方程 (位移－应变） 位移－ 位移 应变）
m'1 n' 1
w+d +dw +d
m
1
n
1
m' w m n
n'
d θ
r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
9
过程设备设计
c. 几何方程（续） 几何方程（
径向应变
(w + dw) − w = dw εr =
分析方法： 分析方法：
静不定问题，需平衡、几何、物理等方程 静不定问题，需平衡、几何、 联立求解。 联立求解。
3
过程设备设计
3.3.1 弹性应力
p0
po pi pi
a. po
b.
r
d r + dr dr
m1 m1 n1 m n pi n
r
θ θ
m
Ri Ro c. d.
4
图2-15 厚壁圆筒中的应力
19
过程设备设计
二、温度变化引起的弹性热应力 1、热应力概念 、 2、厚壁圆筒的热应力 、 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 、 4、热应力的特点 、 5、不计热应力的条件 、 6、减小热应力的措施 、
20
过程设备设计
1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束， 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内 所引起的应力，称为热应力。 所引起的应力，称为热应力。 单向约束： 单向约束：
（2－33）
B=
( pi − p0 )Ri2 R02
R02 − Ri2
13
过程设备设计
周向应力
pi Ri2 − p 0 R02 ( pi − p 0 )Ri2 R02 1 σθ = + 2 2 R0 − Ri R02 − Ri2 r2
2 pi Ri2 − p 0 R0 ( pi − p 0 )Ri2 R02 1 σr = − 2 2 R0 − Ri R02 − Ri2 r2
径向应力内壁处为 − pi ，随着 r 增加， 径向应力绝对值 增加， 逐渐减小， 逐渐减小，在外壁处 σ r =0； ； 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布， 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力 和的一半， 和的一半，即
σz =
1 (σ θ + σ r ) = const 2
18
17
过程设备设计
②在数值上有如下规律： 在数值上有如下规律： 有最大值，其值为： 内壁周向应力 σ θ 有最大值，其值为： σ θ max 外壁处减至最小，其值为： 外壁处减至最小，其值为： 内外壁 σ θ 之差为 p i ；
σ θ min
K 2 +1 = pi 2 K −1 2 = pi 2 K −1
第三章 压力容器应力分析
CHAPTER Ⅲ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
第三节 厚壁圆筒应力分析
1
过程设备设计
●3.3 厚壁圆筒应力分析 3.3.1 弹性应力 3.3.2 弹塑性应力 3.3.3 屈服压力和爆破压力 3.3.4 提高屈服承载能力的措施
2
过程设备设计
πRi2 p i − πR02 p 0 p i Ri2 − p 0 R02 σz = = 2 2 π (R0 − Ri ) R02 − Ri2
） ＝ A （2-25）
6
过程设备设计
2、周向应力与径向应力 、 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时， 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 (σ r～ σ θ ) c. 几何方程 (位移－应变，用位移法求解） (位移 应变，用位移法求解） 位移－ d. 物理方程（应变－应力） 物理方程（应变－应力） e. 平衡、几何和物理方程综合 求解应力的微分方程 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数） 求解微分方程，积分，边界条件定常数）
Ri Ro
图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布 （a）内加热 (b)外加热
26
过程设备设计
结论: 结论:
厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： 厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： ① 热应力大小与内外壁温差成正比
K ↑ ， ∆t ↑ ， σ t ↑
② 热应力沿壁厚方向是变化的
③ 内、外壁
σ rt = 0 σ θt = σ zt
厚壁容器： 厚壁容器：
Do / Di > 1.2
应力特征： 应力特征：
a. 应考虑径向应力，是三向应力状态； 应考虑径向应力，是三向应力状态； b. 应力沿壁厚不均匀分布； 应力沿壁厚不均匀分布； c.若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。 若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。 若内外壁间的温差大
0
2K 2 − po 2 K −1
2 Ro 1+ 2 K −1 r 2
pi
σz
1 pi 2 K −1
K2 − po 2 K −1
15
过程设备设计
z
K2 +1 σ θ max = pi K2 −1
2K 2 K 2 −1
)
σ zt
Pt
1−2 ln Kr ln K
− K 22−1
Pt
(
1 ln K
−
2K 2 K 2 −1
)
( P(
Pt
1 ln K
− K 22−1
1 t ln K
− K 22−1
) )
25
过程设备设计
σ
σ
σt θ σ
O
t σ r t z
t σ z t σ r
r
O
t σ θ
r
Ri Ro
过程设备设计
与径比K值有关 值有关。 ③除 σ z 外，其它应力沿壁厚的 不均匀程度 与径比 值有关。 为例， 以 σ θ 为例，外壁与内壁处的 之比为: 周向应力 σ θ 之比为
(σ θ )r = R (σ θ )r = R
0
=Biblioteka Baidu
i
2 K 2 +1
K值愈大不均匀程度愈严重， 值愈大不均匀程度愈严重， 值愈大不均匀程度愈严重 当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服， 当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服， 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
(a)仅受内压
(b)仅受外压
16
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
过程设备设计
结论: 结论:
从图2 17中可见， 从图2-17中可见， 中可见 作用下，筒壁中的应力分布规律： 仅在 内压 作用下，筒壁中的应力分布规律： 均为拉应力（正值）， ①周向应力 σθ 及轴向应力 σ z 均为拉应力（正值）， 为压应力（负值）。 径向应力 σr 为压应力（负值）。
dr dr
（2-27） ）
周向应变
εθ
(r + w)dθ − rdθ =
rdθ
w = r
变形协调方程
dε θ 1 = (ε r − ε θ ) dr r
（2-28） ）
10
过程设备设计
d. 物理方程
1 ε r = [σ r − µ (σ θ + σ z )] E 1 ε θ = [σ θ − µ (σ r + σ z )] E
应力
7
过程设备设计
a. 微元体 如图2 15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、 和纵截面mm 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 所示 mn 成，微元在轴线方向的长度为1单位。 微元在轴线方向的长度为1单位。 b. 平衡方程
(σ r + dσ r )(r + dr)dθ −σ r rdθ − 2σθ drsin
B σr = A− 2 ; r
B σθ = A + 2 r
（2－32）
12
过程设备设计
边界条件为：当 r = Ri 时，σr = − pi ； 当 r = R0 时，σ r = − p0 。
p i Ri2 − p 0 R02 由此得积分常数A和 为 由此得积分常数 和B为： A = R02 − Ri2
24
过程设备设计
表2-2 厚壁圆筒中的热应力
热应 任意半径 r 处 力
σ
t r
圆筒内壁 Kr = K 处 0
Pt
圆筒外壁 Kr =1处 0
pt −
σθ
t
( P(
(
ln K r ln K
+
K r2 −1 K 2 −1
K r2 +1
1−ln K r t ln K
− K 2 −1
) )
)
(
1 ln K
−
σ = −αE∆t
t y
（2－35）
双向约束： 双向约束：
αE∆t ∆t σ =σ = − 1− µ
t x t y
（2－36）
三向约束： 三向约束：
αE∆t σ =σ =σ = − 1− 2 µ
t x t y t z
（2－37）
21
过程设备设计
2、厚壁圆筒的热应力 分析方法： 分析方法： 由平衡方程、几何方程和物理方程，结合边 平衡方程、几何方程和物理方程， 界条件求解 求解。 界条件求解。