华东师大数学分析习题解答1

《数学分析选论》习题解答

第 一 章 实 数 理 论

１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ∉=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=⊂∞

→n n n a S a lim ,}{使；

（２）存在严格递减数列ξ=⊂∞

→n n n a S a lim ,}{使．

证明如下：

（１） 据假设，ξ>∈∀a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1

Λ==

εn n n 相应地S a n ∈∃,使得

Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ．

因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞

→n n a lim .

（２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取

Λ,3,2,,1min 1=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ，

就能保证

Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □

２．证明§1.3例６的（ⅱ）．

证 设B A ,为非空有界数集，B A S ⋃=，试证：

{}B A S inf ,inf m in inf =．

现证明如下．

由假设，B A S ⋃=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何

B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有

{}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥⇒≥．

另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有

S A S x inf inf inf ≥⇒≥；

同理又有S B inf inf ≥．由此推得

{}B A S inf ,inf m in inf ≤．

综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □

３．设B A ,为有界数集，且∅≠⋂B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤⋂； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥⋂． 并举出等号不成立的例子．

证 这里只证（２），类似地可证（１）．

设B A inf ,inf =β=α．则应满足：

β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有．

于是，B A z ⋂∈∀，必有

{}βα≥⇒⎭

⎬⎫

β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ⋂的一个下界．由于B A ⋂亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥⋂成立．

上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设

)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则，

这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而，故得

{}{}B A B A inf ,inf m ax inf >⋂． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集

{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,，

证明：

（１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．

证 这里只证（２），类似地可证（１）．

由假设，B A inf ,inf =β=α都存在，现欲证β+α=+)(inf B A ．依据下确界定义，分两步证明如下：

１）因为,,,,β≥α≥∈∈∀y x B y A x 有所以B A z +∈∀，必有

β+α≥+=y x z ．

这说明B A +β+α是的一个下界．

２）B y A x ∈∈∃>ε∀00,,0，使得

2,2

00ε

+β>ε+

α>y x ．

从而ε+β+α>+∈+=∃)(,0000z B A y x z 使得，故B A +β+α是的最大下界．于是结论 B A B A inf inf )(inf +=+ 得证． □

５．设B A ,为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集

{}B b A a ab c AB ∈∈==,，

证明：

（１）B A AB sup sup )sup(⋅=； （２）B A AB inf inf )(inf ⋅=． 证 这里只证（１），类似地可证（２）．

⎪⎩

⎪

⎨⎧

⋅≤≤≤=≥≥∈∈∃∈∀,sup sup ,

sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ⋅是AB 的一个上界．

另一方面，B b A a ∈∈∃>ε∀00,,0，满足

ε->ε->B b A a sup ,sup 00，

故)(000AB b a c ∈=∃，使得

εε-+-⋅>])sup sup ([sup sup 0B A B A c ．

由条件，不妨设0sup sup >+B A ，故当ε足够小时，εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为

一任意小正数．这就证得B A sup sup ⋅是AB 的最小上界，即 B A AB inf inf )(inf ⋅= 得证． □

*

６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．

证 用反证法．倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性，则必存在两个正元素F ∈βα,，使序列}{αn 中没有一项大于β．于是，}{αn 有上界（β就是一个），从而由完备性假设，存在上确界λ=α}sup{n ．由上确界定义，对一切正整数n ，有α≥λn ；同时存在某个正整数0n ，使α-λ>α0n ．由此得出

α+<λ≤α+)1()2(00n n ，

这导致与0>α相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □

７．试用确界原理证明区间套定理． 证 设{}],[n n b a 为一区间套，即满足：

0)(lim ,

1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞

→n n n n n a b b b b a a a ΛΛΛ．

由于{}n a 有上界k b ，{}n b 有下界k a （+∈N k ），因此根据确界原理，存在

{}{}β≤α=β=α且,inf ,sup n n b a ．

倘若β<α，则有

Λ,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ，

而这与0)(lim =-∞

→n n n a b 相矛盾，故ξ=β=α．又因Λ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ，

所以ξ是一切],[n n b a 的公共点．

对于其他任一公共点Λ,2,1,],[=∈ηn b a n n ，由于

∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ，

因此只能是η=ξ，这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点． □

８．试用区间套定理证明确界原理．

证 设S 为一非空有上界的数集，欲证S 存在上确界．为此构造区间套如下：令 ],[],[011M x b a =，其中M S S x ,)(0∅≠∈Θ为S 的上界．记2

1

11b a c +=

，