2016-2017第一学期《高等数学》试卷a及答案

2016 ～ 2017 学年第 一 学期 《高等数学》

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、1lim 1n

n n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭

2

e - ． 2、曲线3221

x y x =+的渐近线方程为 2y x = ．

3、(1)(2)y x x x x =⋅-- 有 2 个不可导点．

4、曲线ln cos (0)4

y x x π

=≤≤

的弧长为 1) ．

5、0x >时，微分方程()2d d 0x y x e x x y +-=的通解为y = ()x y x e C =+ ． 二、选择题（每小题3分，共15分）

1、设()f x 在(),-∞+∞ 内可导，且()f x 严格单调增加，则（ D ） (A) ()0f x '> (B) ()0f x '-≤ (C) ()f x -单增 (D) ()f x --单增

2、设2()()f x f x x '''+=,(0)0f '= 则（ C ）． (A) (0)f 是()f x 的一个极大值 (B) (0)f 是()f x 的一个极小值 (C) ()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点

(D) (0)f 不是()f x 的极值点，()0,(0)f 也不是曲线()y f x =的拐点 3、若()f x 的导函数是cos x ，则()f x 有一个原函数为（ D ）． (A) sin x x + (B) cos x x + (C) sin x x - (D) cos x x -

4、设有反常积分11d (1)x I x x +∞=+⎰，120d (1)x

I x x =+⎰，则（ B ）．

(A) 1I 与2I 都收敛 (B) 1I 收敛，2I 发散 (C) 1I 与2I 都发散 (D) 1I 发散，2I 收敛

5、微分方程23(1)x y y y x e '''+-=+的特解形式可设为（ B ）． (A) *()x y ax b e =+ (B) *()x y x ax b e =+ (C) *2()x y x ax b e =+ (D) *3()x y x ax b e =+

三、计算题（每小题6分，共36分）

1、讨论函数2

1sin ,0,()0,0x x f x x

x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩ 在0x =处的连续性、可导性． 解 因为20

1

lim ()lim sin

0x x f x x x

→→==(0)f = 所以()f x 在0x =连续*-

因为 0()(0)

lim x f x f x

→-201

sin

lim

x x x x

→=01lim sin 0x x x →==(0)f '=

所以 ()f x 在0x =可导

2、设()y y x =是由方程21y x y e -+=所确定的隐函数，求(0)y ''． 解 方程两边同时对x 求导，得到2y

dy dy

x e dx dx

-

= 所以

21y

dy x

dx e =

+ 22

(

)dy d d y

dx dx

dx =2

2(1)2(1)y y

y dy e xe dx e +-=

+ 当 0x =时，解得0y =，

0x dy dx

==

所以 202

24(0)12x d y

y dx

=''==

=

3、设,

[1,0],()cos ,(0,1],x x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩

求1()()d x F x f t t -=⎰，[1,1]x ∈-的表达式．

解 当10x -≤≤时，21

1

11()()d d 22

x x

F x f t t t t x --===

-⎰⎰， 当01x <≤时，1

()()d x

F x f t t -=⎰0

1

d cos d x t t t t -=+⎰⎰1

sin 2

x =-

， 所以21

11

,1022

()()d 1sin ,012

x x x F x f t t x x -⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎪-<≤⎪⎩⎰

4、求 1cos 20

5

6

sin lim

56

x

x t dt

x x -→+⎰

.

解 0()lim ()x f x g x →1cos 20560sin lim 56

x

x t dt x x -→=+⎰ 2450sin(1cos )sin lim x x x x x →-⋅=+2450(1cos )lim x x x

x x

→-⋅=+22

4501()2lim 0x x x

x x →⋅==+ 所以当0x →时，按从低阶到高阶的顺序排列为：(),()g x f x 5、求

1

30

22

arctan d (1)

x x x +⎰

．

解 令tan x t =则

1

2

443300022

arctan d sec cos sec (1)x

t x tdt t tdt t x π

π

==+⎰⎰⎰

44

sin sin 18

2

t t

tdt π

π=-=

+

-⎰ 6

、求微分方程4y ''=满足初始条件(1)0,(1)1y y '==的特解． 解 令y p '= 则dp y dx

''=

原方程化为：

4dp

dx

=得

21x C =+ 即221()p x C =+

把(1)1y '=代入上式得到：10C = 所以

4dy

x dx

= 原方程的通解是：521

5

y x C =+

把(1)0y =代人上式得到：21

5

C =-

所以特解为：51

(1)5

y x =-

四、（本题满分12分）求2x y e -=的单调区间、凹凸区间、极值点以及曲线2

x y e -=

的拐点．

解 2

2x y xe -'=-， 2

2

2

22242(21)x x x y e x e x e ---''=-+=- 令0y '= 解得10x =，