北航有限元分析与应用试题库

1． 证明3结点三角形单元的插值函数满足ij j i i y x N δ=),(，及1=++m j i N N N 。 2． 图示3三结点三角形单元，厚度为t ，弹性模量为E ，泊桑比ν＝0。试求：插

值函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单位刚度矩阵K e

。

3． 以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列）元

素的总和为零。

4． 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。

m m j j i i l x l x l x x ++= m m j j i i l y l y l y y ++=

5． 写出题5图所示三角形单元的插值函数Ni ，Nj ，Nm 以及应变矩阵B 。

6． 题5图中单元在jm 边作用有线性分布的面载荷（x 方向），试求结点载荷问题。 7． 证明常应变三角形单元发生在刚体位移时，单元中将不产生应力。

8． 求图示二次三角形单元在1 4 2边作用有均布侧压g 时的等效结点载荷，假设

结点坐标已知，单元厚度为t 。

9． 验证用面积坐标给出二次（三角形）单元的插值函数的N 1～N 6满足∑==6

~11i i N

10． 二维单元在xy 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋

转时怎样？单元旋转180o 后单元刚度矩阵与原来的相同吗？单元作上述变化时，应力矩阵S 如阿变化？

11． 图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元○

1按局部编码i ，j ，m 的单元刚度矩阵K ○

1和应力矩阵S ○1为 K ○1=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------5.55.15.95.15.15.135.45.75.45.134012016626608 S ○1=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----5.15.05.15.102103000030300 按图中单元○

2的局部编码写出K ○2，S ○2。 12． 图示为二次四边形单元，试计算x N ∂∂1和y N ∂∂2在自然坐标为(1/2,1/2)的点

Q 的数值（因为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几何形状）。

13． 图示为一次三角形单元，试计算x N ∂∂4和y N ∂∂4在点P(1.5 ,2.0)的数值。

14． 垂直悬挂的等截面直杆受自重作用，截面积为A ，长度为l ，质量密度为ρ。

如图一维杆单元求解杆内的应力分布，问应采用多少结点的单元？在什么位置有限元结果可以达到解析解的精度？给出它们的数值。

15．有中心椭球孔的矩形板，两侧边受线性分布的侧压P，如图所示如何利用对称面条件减少求解的工作量，并画出计算模型，列出计算步骤。