北航有限元分析与应用试题库
有限元分析与应用详细例题
试题1：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较：1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。
一．问题描述及数学建模无限长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无限长的地基看着平面三角形的底边受固定支座约束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。
二．建模及计算过程1. 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算下面简述三节点常应变单元有限元建模过程（其他类型的建模过程类似）：进入ANSYS【开始】→【程序】→ANSYS →ANSYS Product Launcher →change the working directory →Job Name: shiti1→Run设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural → OK选择单元类型单元是三节点常应变单元，可以用4节点退化表示。
ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options… →select K3: Plane Strain →OK→Close (the Element Type window)定义材料参数材料为钢，可查找钢的参数并在有限元中定义，其中弹性模量E=210Gpa，泊松比v=。
ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural→Linear→Elastic→Isotropic→input EX:, PRXY:→ OK生成几何模型生成特征点ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints →In Active CS→依次输入四个点的坐标：input:1(0,0),2(3,0),3(6,0),4(3,5),5(0,10),6(0,5)→OK生成坝体截面ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPS →依次连接1,2,6;2,3,4;2,4,6;4,5,6这三个特征点→OK网格划分ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) Global: Set →input NDIV: 1→OK →(back to the mesh tool window)Mesh: Areas, Shape: Tri, Free →Mesh →Pick All (in Picking Menu) → Close( the Mesh Tool window)模型施加约束分别给下底边和竖直的纵边施加x和y方向的约束ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural →Displacement→ On lines→选择底边→OK→select:ALL DOF → OK给斜边施加x方向的分布载荷ANSYS 命令菜单栏: Parameters→Functions →Define/Edit→1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数：1000*{X}；3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters→Functions →Read from file：将需要的.func文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply→Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table (来自用户定义的变量)→OK →选择需要的载荷参数名→OK分析计算ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS→OK(to close the solve Current Load Step window) →OK结果显示确定当前数据为最后时间步的数据ANSYS Main Menu: General Postproc →Read Result→Last Set查看在外力作用下的变形ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results→Deformed Shape→select Def + Undeformed→OK查看节点位移分布情况Contour Plot→Nodal Solu…→select: DOF solution→Displacement vctor sum→Def + Undeformed→OK查看节点应力分布情况Contour Plot→Nodal Solu…→select: Stress→XY shear stress→ Def + Undeformed→OK退出系统ANSYS Utility Menu: File→ Exi t…→ Save Everything→OK 三．结果分析三节点常应变单元（6个节点，4个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力图，节点应变图六节点常应变单元（6个节点，4个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力图，节点应变图分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算结果比较单元划分方案变形大小应力大小应变大小值的比较分析三节点三角形单元DMX:SMX:DMX:SMN:2778SMX:8749DMX:SMN:SMX:1.最大变形值小；2.最大应力值小；3.最大应变值小。
北航有限元第3讲弹性问题有限元方法2
构造位移函数： 对u,v分别利用节点条件：
对于一般四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。
N—单元形状函数矩阵 qe —单元节点位移矩阵
特例：4节点矩形单元
矩形单元的重心坐标
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。
单元集成：系统的总势能 变分处理：系统的平衡方程（组） 应用位移边界条件求出节点位移 由节点位移求出单元的应变、应力
Step 1. 几何离散——采用3节点三角形单元
体力：重力（密度 ）
ห้องสมุดไป่ตู้
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
厚度：t p
表面力
单位体积力
Step 2. 单元分析——构造单元位移函数
矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用。更为一般的方法是通过等参变换将局部 自然坐标系内的规格化矩形单元变换为总体坐 标系内的任意四边形单元（包括高次曲边四边 形单元）。
三维问题的有限元求解过程
• 离散时采用体单元：四面体或六面体 • 求解步骤和平面问题完全一样 • 单元分析的时候将二维扩充到三维
准则1：完备性—包含常应变项和刚体位移项
➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最 高阶导数是m阶，则选取的位移函数至少是 m阶完全多项式。
准则2：协调性—相邻单元公共边界保持位移连
续
➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最 高阶导数是m阶，则位移函数在单元交界面 上必须具有直至(m-1)阶的连续导数，即Cm1连续性。
Step 3. 单元分析——单元势能
有限元期末复习题资料
1、弹性力学与材料力学主要不同在于：研究方法。
2、利用Ansys 进行结构分析时，结果文件是什么文件：jobname.rst文件。
3、在Ansys单元库中，Plane42属于结构实体单元。
4、在一个分析中可能有多个材料特性组，Ansys通过独特的（ C ）来识别每个材料的特性组。
A. 特性B. 说明C. 参考号D. 方法5、载荷包括所有边界条件以及外部或者内部的作用效应，下列不属于Ansys载荷的是（ D ）。
A. DOF约束B. 力C. 体载荷D. 应力【解析】：应力是结果，不是条件。
6、（ B ）什么要求面或者体有规则的形状，即必须满足一定的准则。
A. 自由网格B. 映射网格C. Sweep网格D. 其他7、什么样的载荷独立于有限元网格，即可以改变单元网格而不影响施加的载荷（ C ）。
A. 阶跃载荷B. 有限元模型载荷C. 实体模型载荷D. 斜坡载荷8、有限元法首先把求解出的解是（ D ），单元应变和应力都可以由它来求得。
A. 节点坐标B. 节点自由度C. 节点载荷D.节点位移9、下列不属于Ansys产品当中求解联立方程的方法是（ C ）。
A. 稀疏矩阵直接解法B. 直接解法C. 变分法D. 雅可比共轭梯度法10、下列不属于/post1显示的图形类别的是（ B ）。
A. 等直线图B. 灰度图C. 形状变形图D. 矢量图11、对二维桁架进行强度校核时，选择的单元类型是（ C ）。
A. plane82B. Beam3C. Link2DSPrlD. Shell63δ时，12、δ为板的厚度，b为长度的最小值，当满足8/1<<-b1/80-5/1/1/100这样的板属于（ B ）。
A. 薄膜B. 薄板C. 厚板D. 壳13、下列哪个布尔运算的结果是由每个初始输入的图元的共同部分形成的新图元（ A ）A. 交运算B. 加运算C. 减运算D. 分割14、在整个有限元分析过程中，离散化是分解的基础。
有限元试题及答案
有限元试题及答案 有限元试题及答案 一 判断题（20分）（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
二、填空（20分）1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内；后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。
3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。
4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。
6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。
等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。
7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为{}{}[][]eD B σδ=。
北航有限元分析与应用第一讲
A() (k ) (k )Q 0 x x y y
• 边界条件：
内
B() { k q 0 q上 n
0 上
数值计算方法分类
特点
差分法
优缺点
离散求解域；差分代替微分； 要求规则边界，几何 解代数方程组 形状复杂时精度低
1-5 有限单元法的形成与发展
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变 分原理和加权余量法。 在 1963 年 前 后 ， 经 过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法 就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理 导出的有限元计算公式。 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写成 变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤 求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是 Galerkin 法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
v1 2 Fy12 u
①
1 2
2
X2 ②
①
1
3
Fy22 Fx12
• 节点1沿x方向的位 1 u 移 1 1、其余节点位 F 移全为0时轴向压力v 为： EA EA cos 1
1 1
2
2
②
Fx22
1 y1
Fy23 u
1 1
(
l1
)l1
Fx11
l1
3
Fx23
实例1（单元分析）
• 节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为：
北航有限元分析与应用期末复习题答案
Ni ( x j , y j ) =
N i ( xm , ym ) =
即 另外
Ni + N j + N m =
N i ( x j , y j ) = δ ij
1 (ai + bi x + ci y + a j + b j x + c j y + am + bm x + cm y ) 2∆ 1 [(ai + a j + am ) + (bi + b j + bm ) x + (ci + c j + cm ) y ] = 2∆ 1 (2∆ + 0 ⋅ x + 0 ⋅ y ) = 1 = 2∆
时的等效结点载荷， 假设结点坐标已知， 单元厚度为 t。 解：设三角形面积坐标为 L1、L2、L3，则形函数：
y 5
2
(x2,y2) q 4
N1 = L1 (2 L1 − 1) 、N 2 = L2 (2 L2 − 1) 、N 3 = L3 (2 L3 − 1) N 4 = 4 L1 ⋅ L2 、 N 5 = 4 L2 ⋅ L3 、 N 6 = 4 L3 ⋅ L1
∂u ∂x 0 ∂v {ε } = = 0 y ∂ 0 ∂u ∂x + ∂y ∂x
0 {σ } = [ D]{ε } = 0 0
∴
∴ ∴
单元中不产生应力。
6
8、求图示二次三角形单元在 142 边作用有均布侧压 q
xi yi yj ym
2∆ = 1 x j 1 xm
根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式 乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元素的 代数余子式乘积之和等于零。所以
有限元作业试题及答案.doc
2
答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况,
有限元划分网格的基本原则是:
1、拓朴正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接
2、几何保形原则。即网格划分后，单元的集合为原结构近似
3、特性一致原则。即材料相同，厚度相同
4、单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小
c j二elcm= —a
Ni = l/a2 • a x = x/a
同理可得：Nj二y/a
有限元方法及应用试题
1
答：单元离散（划分、剖分）一单元分析一整体分析
有限元分析的主要步骤主要有：
A结构的离散化
B单元分析。选择位移函数、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据物理方程建立应力
与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系（单元刚度方程）
C等效节点载荷计算
D整体分析，建立整体刚度方程
7、图示三角形ijni为等边三角形单元，边长为1,单位面积材料密度位P,集 中力F垂直作用于nij边的中点，集度为q的均布载荷垂直作用于im边。写出三 角形单元的节点载荷向量。
q:移到m, i点F:移到m, j点重力：移到m, I, j点
要证{8}=0
只需证，Nm = 0
Nm= 1/2A (am+bmx +cmy)
(d)平面三角形单元，29个节点，38个自由度
4、什么是等参数单元？。
如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函
数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。
5பைடு நூலகம்
v(x, y)=
答：不能取这样的位移模式，因为在平面三节点三角形单元中，位移模式应该是呈线性的。
有限元方法理论及其应用考试题目及要求204
南京理工大学机械工程学院研究生研究型课程考试题目及要求课程名称：有限元方法理论及应用考试形式：□专题研究报告□论文□大作业□√综合考试考试题目：“有限元方法理论及应用”理论研讨及上机实验试题及要求：一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。
要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------+----+---------λγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ101101022220123121121321022220101101二、分析与计算（40分）1、图示两个结构和单元相似，单元方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料相同。
两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。
对于下列2种情况，试根据有限元法和力学有关知识来分析论证两个模型求解后对应节点（节点1）的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两个模型面力的合力相等；2）两个模型面力值相等。
（10分）对于（a ）(b)刚度矩阵相等==)3()1(][][K K[]]][[][][)3(0000b 21)2(111111121)1(e B D B V K b c b c b c c c c b b A B x x c y y b y x y x y x A T m m j j i i m jim j i mji m j i mmj j ii=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=-==：平面应力单元刚度矩阵应变矩阵解：21γ-Et结构总的刚度矩阵的组集：(5)外部载荷与约束力：对于第一种情况；（a ）],,,,0,0,0,0,10,0,10,0[][6655Y X Y X R R R R Pt Pt N T--=(b) ],,,,0,0,0,0,10,0,10,0[][6655Y X Y X R R R R Pt Pt N T--=对于第二钟情况：(a) ],,,,0,0,0,0,10,0,10,0[][6655Y X Y X R R R R Pt Pt N T--=(b) ],,,,0,0,0,0,5,0,5,0[][6655Y X Y X R R R R Pt Pt N T--= （6）位移矩阵：有约束条件可知：（7）根据最小势能原理：][]][[N a K = 进行求解（8）位移和应力值的关系：]][][[][a B D =σ )()(][2][a b B B = 对于第一种情况：节点1的位移：Tb T a v u v u )(1,1)(1,1][][=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------------+----+--==2002220110110110112002222112312112131][][2)4()2(γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγEt K K ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-----+---+----+------+-----+--+------++------+--+-----+------+----+---+-----+------==γγγγγλγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγλγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ3022110100000311********21310012000021130012000012026141110112001261222210011141261001210221221260012000120031210000120013210000011122300000102211031][][2)()(Et K K b a ],,,,,,,,,,,[][665544332211v u v u v u v u v u v u a T =0,0,0,06655====v u v u单元（1）的应力值：)()(][2][a b σσ= 对于第二种情况：节点1的位移：Tb T a v u v u )(1,1)(1,1][2][= 单元（1）的应力值： )()(][][a b σσ=2、证明3节点三角形单元满足协调性条件（相邻单元之间位移连续）。
有限元分析试卷
1如图所示的平面，板厚为0.01m，左端固定，右端作用50kg 的均布载荷，对其进行静力分析。
弹性模量为210GPa，泊松比为0.25.
2简支梁的变形分析
计算分析模型如图1-1 所示, 习题文件名: beam。
NOTE:要求选择不同形状的截面分别进行计算。
梁承受均布载荷：1.0e5 Pa
10m
图1-1梁的计算分析模型
梁截面分别采用以下三种截面（单位：m）：
矩形截面：圆截面：工字形截面：
B=0.1, H=0.15 R=0.1 w1=0.1，w2=0.1，w3=0.2,
t1=0.0114，t2=0.0114，t3=0.007
3 超静定桁架的有限元建模与分析
计算分析模型如图5-1 所示, 习题文件名: truss 。
载荷：1.0e8 N
4平板的有限元建模与变形分析
计算分析模型如图7-1 所示, 习题文件名: plane
0.5 m
0.5 m
板承受均布载荷：1.0e5 Pa。
有限元试题及答案[1]
![有限元试题及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/124aad996bec0975f465e211.png)
一、如图所示的1D 杆结构，试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件，并求出它的所有解答。
注意它的弹性模量为E 、横截面积A解：如图1.1所示的1D 杆结构，其基本变量为 位移 x u 应变 x ε 应力 x σ取微单元体Adx ，其应力状态如图1.2，由泰勒展开式知()⋅⋅⋅⋅⋅+∂∂+⋅∂∂+=+22221dx x dx x dx x x x x σσσσ略去2阶以上的商阶微量知()dx xdx x xx ⋅∂∂+=+σσσ 由力的平衡知0=∑i x ：0=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+A A dx x x x x σσσ即力的平衡方程为：⋅⋅⋅⋅=0dxd xσ① 位移由图1.3知（泰勒展开，略去商阶微量）()dx xu u dx x u xx ⋅∂∂+=+ dxu dxdxdx u dx x uu ABABB A xx x x x ∂=-+-∂∂+=-=∴)(''ε应变 即几何方程为：⋅⋅⋅⋅=dxdu xx ε② 根据虎克定律知⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=dxdu E E xx x εσ③ 由①、②、③知该1D 杆的基本方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====dx du E E dx du dx d x x xx xxεσεσ0 在节点1时位移：00==x x u 在节点2时应力：APlx x==σ即其边界条件为00==x x u on u SAPlx x==σ on P S 由①式知⋅⋅⋅⋅⋅=0c x σ ④ ④代入③解得：dxdu Ec x=0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=10c x Ec u x ⑤ 0c 、1c 为待定系数结合边界条件知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+A P c c x Ec 010解知得APc =0，01=c ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅==EA P E x EA P u A P x xx x σεσ二、设平面问题中的应力问题y a x a a x 321++=σy a x a a y 654++=σ y a x a a xy 987++=τ其中i a （1、2、………9）为常数，令所有体积力为零，对下面特殊情况说明平衡是否满足？为什么？或者i a 之间有什么关系才满足平衡。
船舶考试有限元答案
填空：1有限元分类:线弹性有限元法和非线性有限元元法.2总刚度矩阵奇性处理，如何添加位移约束边界受约束的约束条件通常有零位移和非零位移两种.。
零位移对应于刚性支撑（如支撑杆，铰链连接等）。
非零位移一般有两种情况;一种是弹性支撑；另一种是对于网格中某一应力集中区域进行网格细化时，局部细化区域边界上用粗网格计算得到的节点位移，就是用细网格分析时对应边界点的约束条件。
3有限元模型奇异性分类：（1）总体奇异性，（2）局部奇异性，4位移约束的基本形式有哪些（1）刚性约束，（2）弹性约束，（3）指定位移约束，（4）斜约束5梁元分类，船舶分析如何选择杂交梁元，偏心梁元对于船体模块分析，宁可用杂交元，对于这个层次上的分析，其精确度是相当满意的，只要小心选择一个有效宽度比be/b,使之对于给定的载荷和边界条件来说，这个比是适当的、在单个构件分析或局部应力分析中，可能要求更高的精度，这可以通过采用膜元网格，更详细地将梁和板模型化而得到。
6船舶结构有限元分析层次（1）整船分析，（2）舱段分析，（3）局部有限元分析。
7二次解析法求解如何选取二次网格划分的初始条件先粗后细名词解释：1有限元分析物理实质是用有限个单元体的组合体代替连续体，化无限自由度的问题为有限自由度的问题，数学实质是用有限子域的组合代替一个连续域，化连续场函数的微分方程求解问题为有限个参数的代数方程组的求解问题，有限元方法可以求解许多过去用解析方法无法求解的问题，对于边=边界条件和结构形状都不规则的复杂问题，是应用数学，力学及计算机科学的相互渗透综合利用的边缘科学。
2等参单元先在具有规则形状的单元（区域）上构造位移插值函数，然后把这个具有规则形状的单元通过坐标映射为物理平面上的一个形状比较复杂的单元。
因此，等参单元也被称为映射单元。
3结构离散化离散化就是把一个给定的区域离散成有限个具有简单几何形状的单元集合，即用一个有限元网格代替给定的区域。
4带宽5半带宽整体刚度【K】的非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，这种矩阵叫做带状矩阵。
(完整版)北航有限元分析与应用试题库
1． 证明3结点三角形单元的插值函数满足ij j i i y x N δ=),(，及1=++m j i N N N 。
2． 图示3三结点三角形单元，厚度为t ，弹性模量为E ，泊桑比ν＝0。
试求：插值函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单位刚度矩阵K e。
3． 以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列）元素的总和为零。
4． 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。
m m j j i i l x l x l x x ++= m m j j i i l y l y l y y ++=5． 写出题5图所示三角形单元的插值函数Ni ，Nj ，Nm 以及应变矩阵B 。
6． 题5图中单元在jm 边作用有线性分布的面载荷（x 方向），试求结点载荷问题。
7． 证明常应变三角形单元发生在刚体位移时，单元中将不产生应力。
8． 求图示二次三角形单元在1 4 2边作用有均布侧压g 时的等效结点载荷，假设结点坐标已知，单元厚度为t 。
9． 验证用面积坐标给出二次（三角形）单元的插值函数的N 1～N 6满足∑==6~11i i N10． 二维单元在xy 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋转时怎样？单元旋转180o 后单元刚度矩阵与原来的相同吗？单元作上述变化时，应力矩阵S 如阿变化？11． 图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元○1按局部编码i ，j ，m 的单元刚度矩阵K ○1和应力矩阵S ○1为 K ○1=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------5.55.15.95.15.15.135.45.75.45.134012016626608 S ○1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----5.15.05.15.102103000030300 按图中单元○2的局部编码写出K ○2，S ○2。
12． 图示为二次四边形单元，试计算x N ∂∂1和y N ∂∂2在自然坐标为(1/2,1/2)的点Q 的数值（因为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几何形状）。
《有限元》期末考题
一、填空（共10个空，每空2分，共20分）11、有限元法是近似求解连续场问题的数值方法。
2、有限元法将连续的求解域离散，得到有限个单元，单元和单元之间用节点相连。
3、直梁在外力作用下，横截面上的内力有剪力和弯矩两个。
4、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有剪力、弯矩和轴力。
5、进行直梁的有限元分析，梁单元上每个节点的节点位移为挠度和转角。
、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及局部坐标系x´O´y ´下的单元刚度矩阵[K´]e，则单元在整体坐标系xOy下的单元刚度矩阵为 P31 。
7、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及整体坐标系xOy下的单元节点力矩阵{p}e，则单元在局部坐标系x´O´y´下的单元节点力矩阵为 P30 。
8、在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是线性系。
9、弹性力学问题的方程个数有 15个，未知量个数有 15 个。
10、弹性力学平面问题的方程个数有个，未知量个数有个。
11、把经过物体内任意一点各个截面的应力状况叫做一点的应力状态。
12、形函数在单元节点上的值，具有本点为 1 、它点为零的性质，并且在三角形单元的任一节点上，三个形函数之和为 1 。
13、形函数是定义于元内部坐标连续函数。
14、在进行节点编号时，要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能小，以便最大限度地缩小刚度矩阵带宽，节省存储、提高计算效率。
15、三角形单元的位移模式为。
16、矩形单元的位移模式为。
17、在选择多项式位移模式的阶次时，要求所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。
18、单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系。
19、在选择多项式作为单元的位移模式时，多项式阶次的确定，要考虑解答的收敛性，即要满足单元的完备性和协调性的要求。
20、三节点三角形单元内的应力和应变是常数，四节点矩形单元内的应力和应变是线性变化的。
北航有限元第3讲 弹性问题有限元方法(1)
要求单元的外力功，关键是求出单元上的体积力和面 积力等效作用到节点上的力的大小。
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Step 3. 单元集成——应变能
单元等效节点力列阵：
Pe 1 Pe = e P2
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构造单元位移函数： u ( x) = a0 + a1 x
利用节点条件： u ( xi ) = a0 + a1 xi = ui
u ( x j ) = a0 + a1 x j = u j
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1 ∫Ω σ ijδε ij dV = ∫Ω σ ij ⋅ 2 δ ui, j + δ u j ,i dV = ∫ σ ijδ ui , j dV = ∫ (σ ijδ ui ), j dV − ∫ σ ij , jδ ui dV
Ω Ω Ω
分部积分 高斯定理
= ∫ σ ijδ ui l j dA − ∫ σ ij , jδ ui dV
体积力 分布面力 集中力
外力载荷
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3.3 简单杆系问题的有限元求解过程
F
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Step 1: 几何离散——自然离散为2个杆单元 Setp 2: 单元特征分析
构造单元位移函数 应变的表达 应力的表达 单元的应变能 单元的外力功
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Step 3: 单元集成—系统的总势能 Step 4: 变分处理—线性方程组 Step 5: 处理位移边界条件并求解 Step 6: 计算每个单元的应变及应力
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∆ V= – W
弹性势能
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力， 弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 或弹性应变能。 或弹性应变能。
有限元试题和答案
一。
简答题：1.轴对称体上作用正对称形式的载荷时，沿坐标,,r z θ的三个分量(,,)r P r z θ，z (,,)P r z θ和(,,)P r z θθ有何特点？（P85）(,,)r P r z θ和z (,,)P r z θ是偶函数，傅里叶级数展开式中不含sin k θ，(,,)P r z θθ是奇函数，傅里叶级数展开式中不含cos k θ。
2.某单元的节点上，既有位移自由度又有转动自由度，试述此单元的协调性要求？（P27） 在交界面上满足变形协调条件，变形后既不分裂，也不重叠，从而保证了整个结构的位移连续。
3.用泛函变分求解弹性力学的场问题时，为什么只需要考虑几何边界条件？（P179） 泛函求极值与求满足位移及力边界条件的平衡方程的解是完全等价的。
利用变分求解只需要满足位移边界条件，而力边界条件是在求解泛函的极值中自动满足的。
4.写出用位移梯度表示的格林应变张量和阿尔曼西应变张量，并证明他们的参考变形？（P201）格林应变张量1=+2j i k k ij j i i j u u u u E x x x x ∂∂∂∂∂∂∂∂（+） 阿尔曼西应变张量1=+2j i k k ij j i i ju u u u e x x x x ∂∂∂∂∂∂∂∂（-） 5.写出接触问题中的运动学条件和动力学条件？（P225）运动学条件：满足不可贯穿条件，对于两个接触物体，可表示为0ABV V ⋂=动力学条件:要求连个物体接触面的合力为零0ABq q += 二、三角形单元的位移为：012012(cos 1)(sin )(sin )(cos 1)u u x x v v x x θθθθ=+-+-=++-式中0u 和0v 分别为1x 和2x 方向的刚体位移，θ为逆时针绕原点的刚体转角。
计算单元的柯西应变和格林应变。
证明此位移为刚体运动。
（P201） 解：柯西应变:11=cos 1u x εθ∂=-∂，22=cos 1v x εθ∂=-∂，12212=+sin sin 0u v x x εθθ∂∂=-+=∂∂ 格林应变：1111111111=+(cos 1cos 1(cos 1)(cos 1)sin sin )022u u u u v v E x x x x x x θθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-+-+--+=∂∂∂∂∂∂（+）=122121121211==+(sin sin (cos 1)(sin )sin (cos 1))022u v u u v v E E x x x x x x θθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-++--+-=∂∂∂∂∂∂（+）=2222222211=+(cos 1cos 1(cos 1)(cos 1)sin sin )022v v u u v v E x x x x x x θθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-+-+--+=∂∂∂∂∂∂（+）=三 周向有集中载荷作用的悬臂梁，弯曲刚度为EI ，（1）建立梁的总势能表达式，（2）假定瑞利-里茨能为2323w C x C x =+，计算梁的挠度表达式。
有限元考试试题
有限元考试试题一、选择题（每题5分，共30分）1、在有限元分析中，我们通常使用什么方法来求解偏微分方程？A.积分法B.差分法C.有限差分法D.有限元法2、下列哪个不是有限元法的优点？A.可以处理复杂几何形状B.可以处理非线性问题C.可以处理大规模问题D.可以处理不稳定问题3、在有限元分析中，我们通常将连续的物理场离散化为一系列的什么？A.有限个点B.无限个小段C.有限个小段D.无限个点4、下列哪个不是有限元分析的基本步骤？A.划分网格B.建立模型C.执行计算D.编写代码5、在有限元分析中，我们通常使用什么来描述物理场的性质？A.偏微分方程B.泛函方程C.常微分方程D.边界条件6、下列哪个不是有限元分析的应用领域？A.结构分析B.流体动力学C.电磁学D.社会科学二、填空题（每题10分，共40分）7、______是一种将连续的物理场离散化为一系列有限个点的方法，是有限元分析的基础。
8、在有限元分析中，我们通常使用______来对物理场进行离散化处理。
9、______是一种求解偏微分方程的数值方法，广泛应用于有限元分析。
10、在有限元分析中，我们通常使用______来描述物理场的性质。
三、解答题（每题20分，共60分）11、请简述有限元分析的基本步骤，并解释其在结构分析中的应用。
12、请说明在有限元分析中，如何处理边界条件，并举例说明。
13、请简述有限元分析的优点和局限性。
有限空间培训考试试题及答案一、选择题1、在有限空间内，以下哪个行为是危险的？A.带压操作B.穿著宽松衣服C.使用电动工具D.所有上述答案：D.所有上述。
在有限空间内，带压操作、穿著宽松衣服和使用电动工具都是危险的。
2、当进入有限空间前，应该进行哪项操作？A.排放内部气体B.测试内部气体C.对内部进行冲洗D.所有上述答案：D.所有上述。
在进入有限空间前，应该进行排放内部气体、测试内部气体并对内部进行冲洗。
3、有限空间内的危险因素不包括以下哪个？A.缺氧B.有毒气体C.电击D.所有上述答案：C.电击。
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1． 证明3结点三角形单元的插值函数满足ij j i i y x N δ=),(，及1=++m j i N N N 。
2． 图示3三结点三角形单元，厚度为t ，弹性模量为E ，泊桑比ν＝0。
试求：插
值函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单位刚度矩阵K e。
3． 以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列）元
素的总和为零。
4． 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。
m m j j i i l x l x l x x ++= m m j j i i l y l y l y y ++=
5． 写出题5图所示三角形单元的插值函数Ni ，Nj ，Nm 以及应变矩阵B 。
6． 题5图中单元在jm 边作用有线性分布的面载荷（x 方向），试求结点载荷问题。
7． 证明常应变三角形单元发生在刚体位移时，单元中将不产生应力。
8． 求图示二次三角形单元在1 4 2边作用有均布侧压g 时的等效结点载荷，假设
结点坐标已知，单元厚度为t 。
9． 验证用面积坐标给出二次（三角形）单元的插值函数的N 1～N 6满足∑==6
~11i i N
10． 二维单元在xy 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋
转时怎样？单元旋转180o 后单元刚度矩阵与原来的相同吗？单元作上述变化时，应力矩阵S 如阿变化？
11． 图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元○
1按局部编码i ，j ，m 的单元刚度矩阵K ○
1和应力矩阵S ○1为 K ○1=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------5.55.15.95.15.15.135.45.75.45.134012016626608 S ○1=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----5.15.05.15.102103000030300 按图中单元○
2的局部编码写出K ○2，S ○2。
12． 图示为二次四边形单元，试计算x N ∂∂1和y N ∂∂2在自然坐标为(1/2,1/2)的点
Q 的数值（因为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几何形状）。
13． 图示为一次三角形单元，试计算x N ∂∂4和y N ∂∂4在点P(1.5 ,2.0)的数值。
14． 垂直悬挂的等截面直杆受自重作用，截面积为A ，长度为l ，质量密度为ρ。
如图一维杆单元求解杆内的应力分布，问应采用多少结点的单元？在什么位置有限元结果可以达到解析解的精度？给出它们的数值。
15．有中心椭球孔的矩形板，两侧边受线性分布的侧压P，如图所示如何利用对称面条件减少求解的工作量，并画出计算模型，列出计算步骤。