高考高中数学方差PPT
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( 1 8 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .1 4 0 0 0 0
10
E X 2 1 0 0 0 0 . 4 1 4 0 0 0 . 3 1 8 0 0 0 . 2 2 2 0 0 0 . 1 1 4 0 0 D X 2 ( 1 0 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 8 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
E X 1 1 2 0 0 0 . 4 + 1 4 0 0 0 . 3 + 1 6 0 0 0 . 2 + 1 8 0 0 0 . 1 = 1 4 0 0
D X 1 ( 1 2 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 6 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X 1
O 5 6 7 8 9 X2
（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？
第二名同学的成绩更稳定.
3
2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性？
（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差
（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？
（3）随机变量 X 的方差
随机变量 X 的方差.其算术平方根 D X 为随机变量X的标
准差，记为 X
4
3、对方差的几点说明 （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值
偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标
准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1
x2
…
xi
P p1 p2 …
pi
…
xn
…
pn
则 (xi EX)2 描述了 xi (i1,2,...,n)相对于均值 E X
的偏离程度. n
而 DX (xi EX)2 pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画
i1
了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
5
（二）、公式运用
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , E X 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
2
1、定性分析
除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？
（1）分别画出 X 1 , X 2 的分布列图.
P
P
0.5
0.5
0.4
0ຫໍສະໝຸດ Baidu4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
第二步得 DXnp(1p)
7
3、方差的性质
（1）线性变化 平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差
D(aXb)a2DX
（2）方差的几个恒等变形
n
DX (xi EX)2 pi i1 E(XEX)2 EX2(EX)2
注：要求方差则先求均值
8
4、应用举例 （1）计算 例4．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、 方差和标准差.
1
探究:
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
X 1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数 X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
+ (2 2 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .l= 1 6 0 0 0 0 .
因为 E X 1E X 2,D X 1D X ，2所以两家单位的工资均值相等， 但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资 相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就选择乙单位．
6
2、两个特殊分布的方差
（1）若 X 服从两点分布，则 DXp(1p)
（2）若 X ~B(n, p) ，则 DXnp(1p)
（2）证明提示：
n
第一步求
k2Cnk pk(1p)nk n(n1)p2 np
k0
n
2np kCnkpk(1p)nk 2 n 2 p 2 k0
n
n p n2p2 Cnkpk(1p)nk 2 2 k0
奎屯
EX=2 ; DX=1.98
3. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中
任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个
零
件
直
到
取
得
正
品
为
止
．新疆 王新敞 奎屯
求
在
取
得
正
品
之
前
已
取
出
次
品
数的期望与方差．
EX=0.3 ；DX=351/1100
12
6
6
X DX1.71 9
（2）决策问题 例5．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
获得相应职位的概率P1
1200 0.4
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2
0.4 0.3 0.2 0.1
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
X1
2 34 5 6
.
1
1
P6
;6
1 6
1 6
1 6
1 6
从而 E X 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 .5
666666
D X(13.5)21(23.5)21(33.5)21(43.5)21
6
6
6
6
(53.5)21(63.5)212.92
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
10
9
DX1 (i8)2P(X1i) 1.50 , DX2 (i8)2P(X2i) 0.82
i5
i5
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
11
（三）、练习
1 .已知~ B n ,p ,E 8 ,D 1 .6，则 n , p 的值分别是（ D ）
A．100和0.08 B．20和0.4 C. 10和0.2 D. 10和0.8
2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出
200件商品，设其中次品数为X，求EX，DX
新疆 王新敞
10
E X 2 1 0 0 0 0 . 4 1 4 0 0 0 . 3 1 8 0 0 0 . 2 2 2 0 0 0 . 1 1 4 0 0 D X 2 ( 1 0 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 8 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
E X 1 1 2 0 0 0 . 4 + 1 4 0 0 0 . 3 + 1 6 0 0 0 . 2 + 1 8 0 0 0 . 1 = 1 4 0 0
D X 1 ( 1 2 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 6 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X 1
O 5 6 7 8 9 X2
（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？
第二名同学的成绩更稳定.
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2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性？
（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差
（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？
（3）随机变量 X 的方差
随机变量 X 的方差.其算术平方根 D X 为随机变量X的标
准差，记为 X
4
3、对方差的几点说明 （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值
偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标
准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1
x2
…
xi
P p1 p2 …
pi
…
xn
…
pn
则 (xi EX)2 描述了 xi (i1,2,...,n)相对于均值 E X
的偏离程度. n
而 DX (xi EX)2 pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画
i1
了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
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（二）、公式运用
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , E X 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
2
1、定性分析
除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？
（1）分别画出 X 1 , X 2 的分布列图.
P
P
0.5
0.5
0.4
0ຫໍສະໝຸດ Baidu4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
第二步得 DXnp(1p)
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3、方差的性质
（1）线性变化 平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差
D(aXb)a2DX
（2）方差的几个恒等变形
n
DX (xi EX)2 pi i1 E(XEX)2 EX2(EX)2
注：要求方差则先求均值
8
4、应用举例 （1）计算 例4．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、 方差和标准差.
1
探究:
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
X 1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数 X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
+ (2 2 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .l= 1 6 0 0 0 0 .
因为 E X 1E X 2,D X 1D X ，2所以两家单位的工资均值相等， 但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资 相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就选择乙单位．
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2、两个特殊分布的方差
（1）若 X 服从两点分布，则 DXp(1p)
（2）若 X ~B(n, p) ，则 DXnp(1p)
（2）证明提示：
n
第一步求
k2Cnk pk(1p)nk n(n1)p2 np
k0
n
2np kCnkpk(1p)nk 2 n 2 p 2 k0
n
n p n2p2 Cnkpk(1p)nk 2 2 k0
奎屯
EX=2 ; DX=1.98
3. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中
任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个
零
件
直
到
取
得
正
品
为
止
．新疆 王新敞 奎屯
求
在
取
得
正
品
之
前
已
取
出
次
品
数的期望与方差．
EX=0.3 ；DX=351/1100
12
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X DX1.71 9
（2）决策问题 例5．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
获得相应职位的概率P1
1200 0.4
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2
0.4 0.3 0.2 0.1
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
X1
2 34 5 6
.
1
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P6
;6
1 6
1 6
1 6
1 6
从而 E X 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 .5
666666
D X(13.5)21(23.5)21(33.5)21(43.5)21
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(53.5)21(63.5)212.92
X2
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P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
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DX1 (i8)2P(X1i) 1.50 , DX2 (i8)2P(X2i) 0.82
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因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
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（三）、练习
1 .已知~ B n ,p ,E 8 ,D 1 .6，则 n , p 的值分别是（ D ）
A．100和0.08 B．20和0.4 C. 10和0.2 D. 10和0.8
2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出
200件商品，设其中次品数为X，求EX，DX
新疆 王新敞