第六章近独立粒子的最概然分布
第六章近独立粒子的最概然分布
第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式33d d d d d d d d d 2x y z x y z x y z L V n n n p p p p p p h π⎛⎫== ⎪⎝⎭h ，证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d VD m hπεεεε=。
解：用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量：sin cos ;sin sin ;cos x y z p p p p p p θϕθϕθ===对动量积分，得在p 到d p p +范围内量子态数为：2233d sin d d 4d Vp Vp V p p h hθθϕΩ==⎰⎰⎰π 自由粒子的能量动量关系为：22p mε=，因此2,d p m p p md εε==得体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，粒子的量子态数为：()132232()d 2d VD m hεεεε=π6.2证明，一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()2d d 2L mD h εεεε=解：一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为：d d d xx x p n h=在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内的量子态数为2d x L n p h=将能量动量关系：22p mε=，代入，即得()122d d 2L m D h εεεε⎛⎫= ⎪⎝⎭6.3证明二维自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()222L D d md hεεε=π。
解：二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为：3d d d d d d x yx y x y p p n n h=动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为cos ,sin x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为d d d V p p θ=在面积2L 内，在p 到d p p +，θ到d θθ+范围内，自由粒子可能的状态数为-22d d h L p p θ 对d θ积分，可得面积2L 内，p 到d p p +范围内，二维自由粒子可能的状态数为：2-22d L h p p π 将能量动量关系：()-122m p ε=，代入，即有()2-2d 2d D L h m εεε=π6.4在极端相对论情形下 cp ε=，试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d V p p h π 将cp ε=带入，得V 内在能量ε到d εε+内，量子态数为：()()-32d 4d D V ch εεεε=π6.5系统有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '。
热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布
al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l
l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l
l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
第六章近独立粒子的最概然分布
近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。
而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。
μ空间：设粒子的自由度为r 。
经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。
粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。
热力学与物理统计第六章03
在py到py+dpy可能的py有dny个
在pz到pz+dpz可能的pz有dnz个
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到 pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
p
p p
由于不确定关系， xp h 。
第六章 近独立粒子的最概然分布
自由粒子的量子描述 首先讨论一维自由粒子，设粒子处于长度为L的一维 容器中，那么粒子可能的运动状态为 粒子运动应该满足周期性边界条件，粒子的德布罗 意波波长满足 那么，波矢满足 动量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
能量为
nx就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数
考虑三维自由粒子，设粒子处在边长为L的容器内
2
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在ε到ε+dε能量范围内自由粒子的量子 态数
D(ε)单位能量间隔内可能的状态数，称为态密度
第六章 近独立粒子的最概然分布
一维线性谐振子的经典描述及其μ 空间 质量为m的粒子在弹性力F=-Ax的作用下，将沿x轴 在原点附近做简谐振动，称为线性谐振子。振动 的圆频率为 粒子运动状态有坐标x和与之共轭的动量p来描述
第六章 近独立粒子的最概然分布
通常情况下，为了形象的描述粒子的运动状态，用 这2r个变量为直角坐标，建立一个2r维空间，我们 成为μ空间。粒子在某一时刻的运动状态与μ空间 中的一个点相对应。当粒子的运动状态随时间变化 时，粒子在μ空间的代表点发生相应的移动，描画 出一条轨迹。
第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章_近独立粒子的最概然分布
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系：
力学描述 系统微观 经典描述 粒子运 几何描述 态的描述 动状态 定域系 系统运动状 的描述 量子描述 量子态 玻色系 态的描述 非定域系 费米系 分布 定域系 最概然 等概率 与微 玻色 分布 原理 观态 费米系 关系
由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近 独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其 它粒子的运动状态无关。 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 用能部分，而只是各粒子的动能之和。
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述：
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； ②如何求出概率分布——这是核心； ③如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8两章作准备，研究解决前两个问题。
2．本章研究的系统：
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法：
基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
方法：
深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵 守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果 粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的 描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经 典描述。
《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲
《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲习题6.1试证明，在体积V内，在；到「d；的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：D（；）d ；：^2^2m ；场；h证明：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。
在六维相空间，相体积兀d.二dxdydzdp x dp y dp z内的微观量子态为：d dxdydzdp x dp y dp zh3「h3体积V =L3内，动量在范围 P x ~ P x dP x,P y ~ P y dP y,P z ~ P z dP z的自由粒子量子态数。
dxdydzdp x dp y dp z Vdp x dp y dp z VP2sin ^dPd^d :对积分，可得体积V = L3内自由粒子动量大小在P~ P dP范围的量子态2二二VP2 sinrdPd 闭，VP2dP'二h30 0 h3由；哙进行变量代换：PS/，dP5）l2；“代入上式可得：在体积V内，在；到；d；的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：2兀V “3；1；D（；）d 32m 2；2d ；h其中D（J为在；到「d；的能量范围内单位能量间隔的量子态数，称为量子态密度证毕习题6.2试证明，对子一维自由粒子，在长度L内，在；到「d；的能量范围内，量子态数为:2L C m证明：一维粒子局域于宏观长度 L 内运动，其能量值和动量值是准连续 的。
在二维相空间，相体积兀 d 二dxdp x 内的微观量子态为:d . dxdp x在长度x 二L 内，动量在范围P x ~巳• dP x 的自由粒子量子态数。
dxdp xLdp x对P x 在范围-P -dP ~ -P 及P ~ P dP 积分，可得在长度X = L 内，自由粒子 动量大小在P ~ P dP 范围的量子态习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在；到「d ；的能量范围内，量子态数为证明：二维粒子局域于宏观面积 L 2内运动，其能量值和动量值是准连续 的。
第六章：近独立粒子的最概然分布 热力学统计物理汪志诚
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
1－d线性谐振子 自由度： 1 相空间维数：2 位置：x
动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 能量： 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆：
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积：
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度： 1 空间维数：2
位置：x
动量：p mx
p2 1 2 2 m x 能量： 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子 自由度：2
空间维数：4
z
, 位置：
p r 2 动量： p r 2 sin 2
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积：
0 x L px
2 px px 2m 2m
V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动 量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选 则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
（2）三维自由粒子： 分解 自由度：r 3, r 6 位置：x y z 投影
动量：p x mx p y my
三个2－d子相空间
热力学与统计物理教案：第六章 近独立粒子的最概然分布
为随机事件 A 出现可能性的客观量度，称为事件 A 发生的概率 PA ：
lim PA
N
NA N
PA 0 ， A 不可能发生； PA 1， A 肯定发生
显然 0 PA 1 。事实上，试验的次数不可能无限多，但是，只要试验次数足够多，我们就可
以用 NA 来表示事件发生的概率。如掷一质量均匀的硬币，若只掷少数几次，正面向上和背 N
统计物理中讨论的系统是由大量微观粒子组成的，大约有1023 数量级。描述大量粒子组
成的系统的宏观性质的物理量称为宏观量，描述单个粒子性质的物理量称为微观量。 粒子（指微观粒子）的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动
规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学规律，对粒子运动状态 的描述称为量子描述。当然，从本质上讲，微观粒子遵从量子力学规律，不过在一定极限条 件下，经典理论还是有意义的。 粒子运动状态的经典描述
相体积。 统计物理中的几个例子
（1）自由粒子
当自由粒子在三维空间中运动时，其自由度 3 ，所以相空间是 6 维的，粒子在任一时刻 的位置由坐标 x, y, z 确定，共轭的动量分别为 px mx ， py my ， pz mz ，
相空间坐标分别为 x, y, z, px , py , pz 。
微观粒子服从量子力学规律。
波粒二象性： 粒子 波
， p k
, p 粒子量，
,
k
波量
普朗克常量 h 1.0551034 J S ， 2
量纲： T E L P M
海森堡不确定关系 qp ~ h
经典：粒子沿轨道运动。
量子：无轨道， x, p 不能同时确定。
量子态——量子力学中微观粒子的运动状态。 量子态数的计算，量子态的描述
第六章 近独立粒子的最概然分布教案资料
第六章近独立粒子的最概然分布教案资料第六章近独立粒子的最概然分布教案资料热力学与统计物理课程教案热力学与统计数据物理课程教案授课内容(教学章节):第六章近独立粒子的最概然分布主讲教师：教材分析:从本章开始着重阐述物质微观运动状态的描述以及微观运动的规律，玻耳兹曼系统和玻色系统费米系统等，即统计物理学部分。
内容难度、深度均超出了前四章。
用到了较多的数学知识、原子物理学和统计物理学的概念。
因此，在本章教学中紧密结合先前知识对难点加以分解，同时引导学生用新的思维方式研究物质的微观运动。
教学目标:知道微观粒子运动状态的经典描述和量子描述，掌握系统微观运动状态的描述，理解分布和微观状态的概念及其关系，掌握玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的区别和联系，理解与之对应的三种分布并会推导。
知道等概率原理，经典极限条件等。
培养学生用统计学和数学建模等方法探讨物理问题。
教学重点与教学难点:教学重点：系统微观运动状态的描述、分布与微观状态的概念、玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其分布。
教学难点：玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其三种分布的推导和物理意义。
教学内容6.1粒子运动状态的经典描述6.2粒子运动状态的量子描述6.3系统微观运动状态的描述6.4等概率原理6.5分布和微观状态6.6玻耳兹曼分布6.7玻色分布和费米分布6.8三种分布的关系教学方法与手段以讲授为主，结合多媒体教学，三种分布及其关系采用讨论法展开教学。
课后作业6.16.26.36.46.5小论文1、在量子力学中全同粒子既然不能分辨，那么如何来描述系统的微观运动状态？2、满足经典极限条件时玻色分布和费米分布在形式上都过渡到玻耳兹曼分布的形式，其物理意义是否相同？教材与参考资料教材：热力学与统计物理汪志诚高等教育出版社主讲教师：1授课地点授课班级热力学与统计物理课程教案第六章近独立粒子的最概然分布6.1粒子运动状态的经典描述首先了解如何叙述粒子的运动状态。
热力学统计物理第六章近独立粒子及其最概然分布22P课件
L nx ,
nx 0,1,2,
又 ：k x
2
kx
2
L
nx , nx
0,1,2,
代入德布罗意关系式：px kx
px
2
L
nx
因此，一维自由粒子的量子数：1 nx
nx
px2 2m
2 22
m
nx2 L
nx 0,1,2,
b.三维
2
px L nx
N
E i
i 1
二.经典物理中微观运动状态的描述
1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）
2）描述方式： 相空间中N个点。
三.量子物理中微观运动状态的描述
1）不可分辨 （物质波的非轨道几率运动）
2）描述方式： a.对于某一个粒子的各个量子态 b.对应于每一个量子态的粒子数
3）.玻色子与费米子 a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子。 如：电子、质子、中子等。
py
2
L
ny
pz
2
L
nz
nx 0,1,2,
量子数：3个
nx , ny , nz
n
p2 2m
p
2 x
p
2 y
2m
pz2
2 22
m
nx2
n
2 y
nz2
L3
简并度：6
.量子状态数与态密度
例五、求V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
b）玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子。 如：光子、Л介子等。
c）泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立的费米子 的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
第六章近独立粒子的最概然分布
它可表述为：
n 对一种随机现象做 次独立试验，每次试验只计指定的事件发生与否. 已知在每次试验时发生指定事件的概率为 p ,求在 n 次试验中有 μ 次
发生指定事件的概率。
2009-4-16
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物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
个基本事件之和，则发生事件 A 的概率为
p ( A) = nA
N
这种说法叫做概率的古典定义。
2009-4-16
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物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
例：在容器中有 N 个理想气体分子，设想把容器划分为等容积的两部分，
n 求有且仅有 个分子出现在左边的概率.
解： p(r, B) = 2 × 3 = 6 5 5 25
1. 5 独立试验序列问题
“独立试验序列问题”是一种有普遍意义的问题的模型。 下面通过一个例子，说明和谓“独立试验序列问题”。
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物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
验中，第
i
种结果出现
ni
次。 比值 ni n
反映了这一结果
出现的机会或可能性
若在实验观测的次数增大时， ni n
趋于稳定： 值 pi
物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
lim ni n→∞ n
→
pi
pi 就叫做第 i 种结果出现的概率。概率也叫或然率或几率。 是否能由上式得 ni = npi ？
第6章 近独立粒子的最概然分布
西北师范大学物理与电子工程学院
6.1
粒子运动状态的经典描述
（2）、线性谐振子（自由度为1）
p2 1 ;能量ε 坐标x;动量p x mx mω2 x 2 2m 2
p
能量椭圆：
p2 x2 1 2ε 2m ε mω2
n=2 n=1 n=0 x
（3）、转子(自由度为2)
坐标θ , φ;动量pθ mr θ , pφ mr sin θ φ;
西北师范大学物理与电子工程学院
6.3
系统微观运动状态的描述
（3)、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统 玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一 个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个 个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处在一个 个体量子态上的粒子数最多只能为1，受泡利不相容原理的限制。
自旋角动量在外磁场方向上的投影Sz只能取两个值： S z 在外磁场方向的投影相应为： Z 在外磁场B中的势能为： μB
e 2m
1 2
e B 2m
将S z 表为S z m S , 描述粒子的自旋状态只 要一个量子数 m s， 1 它只能取两个分立的值 。 2
3
L 量子态数为： dn x dn y dnz dp x dp y dpz 2 π
由测不准关系：pq h 对应μ空间的一个体积元，量子相格。
自由度为r，相格大小为： q1， ，qr p1， ，pr hr
因此dnx dn y dnz 表示：Vdpx dp y dpz除以相格大小 hr而得到的 三维自由粒子在 Vdpx dp y dpz内的量子态数
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
华南师范大学信息光电子科技学院 热力学 第六章近独立粒子的最概然分布
在一条直线上运动。
自由度为2, 空间为4维，
分解为两个二维子空间x px，y py表示， 在一个平面上运动。
自由度为3, 空间为6维，
分解为三个二维子空间x px，y py，z pz表示， 在三维空间运动。
二、几种典型粒子运动的经典描述
（一）自由粒子； （二）线性谐振子； （三）转子；
共2r个变量为直角坐标，构成一个2r维空间，称为空间。
粒子某时刻的力学运动状态（q1, q2,......,qr ; p1, p2,......,pr）
可以用空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的
代表点。当粒子的运动状态随时间改变，代表点相应
地在空间中移动，形成空间中的一条轨道。
目录
❖ 一、μ空间 ❖ 二、几种典型粒子运动的经典描述
（一）自由粒子运动的经典描述
自由粒子是不受力的作用而作自由运动的粒子。
自由粒子在空间运动，自由度为3，位置由x, y, z来确定，
与之共轭的动量为：px mx, py my, pz mz。 m为粒子的质量，自由粒子的能量即为其动能：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
（一）自由粒子运动的经典描述
（二）线性谐振子的经典描述
线性谐振子是质量为 m的粒子在弹性力 F Ax的作用下， 沿x轴在平衡位置附近做简 谐运动。
线性谐振子也是热力学中常用的模型，在一定条 件下，分子内原子的振动、晶体中原子或离子在 其平衡位置附近的振动都可看作简谐运动。
线性谐振子相关经典描述： A m；p mx; 总能量： p2 A x2 p2 1 m 2 x2
k
px
k x
2
热力学-统计物理第六章近独立粒子的最概然分布
又
E N
j 0
nj N
j N p j j
j 0
0 pj 1
p
j
j
1
是个概率。
找到微观粒子系统对能量分布的概率，就可以求出系统的能量。
目的：求出系统在热平衡状态的概率分布。
二、可分辨和不可分辨粒子系统 微观粒子全同性原理 (量子理论)： 微观粒子（位置可以在大范围变化——非定域系） 是不可分辨的。 x x 波粒 二相性 重叠
研究对象的描述——引入何种假设、模型，如何 描述研究对象的运动状态(力学、几何)（第六章前 3节）。
如何求出概率分布——这是核心（第六章后5节）。
如何求出热力学量的统计表达式（七 、八 两章）。
主要内容
系统微观状态的经典描述和量子描述 等概率原理及微观状态分布 玻耳兹曼统计
玻色统计与费米统计
h3大小的相格内只能有一个运动状态；对于有r 个自
由度的粒子，hr相体积内只能有一个状态。所以在相 体积之dw内的量了态数为
dp V L3 ，p p 中的量子态数
，与动量的方向无关，积分之 球极坐 标系变 换
V dn 3 h
4V 2 p sin dpdd 3 p dp. h
空间中的一个 “点”进行描述。
相点：运动状态 相轨道：运动状态的变化 相体积：粒子状态代表点在μ空间所能充斥的范围。
二、 常见粒子微观运动状态描述实例
1、自由粒子
三维空间中，如果是直角坐标， 三个坐标 x, y, z 三个动量 能量 运动状态
, px mx
, py my
pz mz
L
x
即，一个量子态对应粒子相空间一个 h 大小的体积元。 三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元 h3。 则相空间体积 Vdpx dp中量子态数为 y dpz
第六章 近独立粒子的最概然分布 - 副本
2 kx nx L
2 px nx L
L ny
L ny
2 kz nz L
pz 2 nz L
2 ky ny L
2 py ny L
能
量：
2 2 2 2 x nx 2 mL
2 2 2 2 y ny 2 mL
2 2 2 2 z nz 2 mL
相空间 2维 2r 维
p2 A 2 p2 1 能量 是其动能和势能之和 m 2 x 2 x 2m 2 2m 2
中北大学
物理系
以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时 刻运动状态由μ空间中的一点表示。 如果给定振子的能量ε，对应点的轨迹就由如下方程确定：
p2 2 m x2 2 m 2 1
由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所 以量子态不能用相空间的一点来描述，而应用一个体积元， 称为相格,相格的大小为h.
一、经典描述 设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子 的r个广义坐标q1、q2、…qr和相应的r个广义动量p1、p2、…pr在该 时刻的数值确定，粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数 即 更一般 ε = ε （ q1、q2、…qr ， p1、p2、…pr） ε = ε （qi、pi、λi ） （i = 1、2、…r） λ为非参量
上式给出的能量值是分立的。分立的能量称为能级。
线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为 ħ ，其大小取决于振子的圆频率。
中北大学
物理系
（三）自由粒子 空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边 长为L的方盒子中运动。
y
A' 0 A
在量子力学中粒子的运动满足薛定谔方程：
高教热统答案第六章
第六章 近独立粒子的最概然分布习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量范围内，量 子态数为：εεεεd m h L d D 2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为x dP h L dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222+=⋅+==⇒=于是。
()εεεεd mh L d D 2+= 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D εεε2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量范围内， 量子态数为()επεεmd hL d D 222=证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数。
ϕPdPd hSdP dP h S dn y x 22== (s －面积)因m P 22=ε只与P 有关（P >0）,故对ϕ积分可得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS m 22= ()22hmS D πε=⇒ (s=L 2) 习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp =ε。
试求在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。
解：φθθd dpd p hVdp dp dp h V dn z y x sin 233==由于cp =ε只与p 有关，与θ、φ无关，于是⎰⎰===ππεππφθθεε200322323)(44sin )(hc V dp p h V d dpd p h V d D 以上已经代入了 c d p d cp =⇒=εε于是， 32)(4)(hc V D επε=习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。
假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。
热力学统计物理第六章近独立粒子的最概然分布
若粒子有内部运动, 则 r 更大。如双原子分子, φ, p , pφ
一般地，设粒子的自由度为 r ， 其力学运动状态由粒子 的 r 个广义坐标 q1、q2、…qr 和相应的 r 个广义动量 p1、 p2、… pr 共 2r 个量的值确定。粒子能量ε： ε=ε( q1、q2、…qr ，p1、p2、…pr ) 。 总之，微观粒子运动状态的经典描述是采用粒子的坐 标和动量共同描述的方法。
热统
而 S z （自旋方向取向量子化） 2 e e B e B B ms 所以 z 2m 2m m 即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数 m s
2
13
2 自由粒子 （1）一维自由粒子： 自由运动的粒子被限制在边长为L的一维容器中。波函数 要满足一定的边界条件，采用周期性条件，即
能级为
2
1 ， n 2
px
x
n 0, 1, 2,
热统 21
相邻两个状态之间所夹的面积为
2 1 1 n 1 n ( n 1 ) ( n ) h 2 2 推广之：粒子的一个状态在 空间中占有的体积为相格 hr
② 3D自由粒子：r = 3 , 设粒子处于体积 V 中。状态由 x、 y、z、px、py、pz 确定，μ空间是 6 维的。 粒子能量 ε= ( px2 + py2 + pz2 ) / 2m 动量子空间的半径 p p 2 p 2 p 2 2m x y z
热统
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S=klnW 并且称k 为玻尔兹曼常数。
§6.1 粒子运动状态的经典描述
1.粒子的运动状态
粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。
例如：气体中的分子； 金属中的离子和电子； 辐射场中的光子。
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
pz2 )
等能面：px2 py2 pz2 2m
等能面是动量空间半径为 2m 的球面。
相空间体积（能量小于或等于ε）：
dxdydz dpxdpydpz
4 V (2m )3/2
3
③线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力 f = -kx 作用下，将在原点附近作圆频率 ω= ������/������ 的简谐振动，称为线性谐振子。
玻
在麦氏速度分布律的基础上，第一次考虑
尔 兹
了重力对分子运动的影响，建立了更全面的玻
曼
尔兹曼分布律，建立了玻尔兹曼熵公式。
dN
n0
(
m
2kT
3
)2
e
(
K
P
)
/
kT dv
x
dv
y dv
z
dxdydz
1877 年玻尔兹曼进一步研究了热力学第二定律的统计解释，
玻尔兹曼写道：“（热力学）第二定律是关于几率的定律，”在
气体中双原子分子的振动，晶体中的原子或离子在平衡位置附 近的振动均可看作是简谐运动。
自由度：1 μ空间维数：2
广义坐标 : q x,
广义动量: p px mx
能量： p2 1 m2x2
2m 2
等能面方程：
p2
2m
x2
2
1
m 2
p
x
等能面是一个椭圆
半长轴: a
2L 2m 8m L
p 2m
L
q
p 2m
②三维空间运动的自由粒子
自由度：3
μ空间维数：6
广义坐标：q1 x q2 y q3 z
广义动量：p1 px mx p2 py my
p3 pz mz
能量：
1 2m
( px2
py2
围成 μ空间中的体积元：
d dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr
3.例子
①一维空间运动的自由粒子
自由度：1
μ空间维数：2 广义坐标 : q x, 广义动量: p px mx
能量： p2
2m
p
等能面方程： p 2m
等能面是一条直线
O
相空间体积（能量小于或等于ε）：1, p2, p3, pr 粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数：
＝ (q1, q2, qr；p1, p2, pr )
如果有外场，粒子的能量还是外场的函数。
μ空间 ——用单粒子的广义坐标和广义动量 q1, q2 , …qr, p1,
p2 , …pr 为直角坐标构成的2r 维空间, μ空间：（q1, q2,qr；p1, p2, pr）
2 m 2
半短轴：b 2m
相空间体积（能量小于或等于ε）：
dxdpx
2 m 2
2m 2
m
④ 转子 双原子分子绕其质心的转动可看作转子。可将二体问题约化为单 体问题，考虑质量为m的质点A被具有固定长度的轻杆系于原点O 时所做的运动：
m
r
质点在直角坐标下的能量：
所以转子的能量为 1 m(r2 r 22 r 2 sin 2 2 )
2
考虑质点和原点的距离保持不变 r 0 ，于是：
1 m(r2 2 r2 sin2 2 )
2
自由度：2
μ空间维数：4
广义坐标 : q1 (0 ~ ), q2 (0 ~ 2 ) 广义动量 : p1 p mr2 , p2 p mr2 sin2
μ空间中的一个点———粒子的一个运动状态； μ空间中的轨迹———粒子运动状态随时间的演化。
(q, p)
代表点：μ空间中的点称为粒子的代表点 相轨迹：随着时间变化，代表点在 μ空间描出的曲线 N 粒子系统, 需N个代表点描述系统的一个微观状态 体积元：各轴上截取dq1 , dq2 , …, dqr , dp1 , dp2 , …, dpr , 则
能量：
1 2I
p
2
1 sin2
p
2
,
I mr2
没有外力的作用下，转子的总角动量 L r p 是一个守恒量，它的
③ 可以分辨：经典全同粒子可以分辨。 具有完全相同属性（质量、电荷、自旋等）的同类粒子称 为全同粒子。
④ 能量是连续的：按照经典力学的观点，在允许的能量范 围内，粒子的能量可取任何值。
2.粒子的运动状态的经典描述
粒子的自由度数：能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目。 自由度为r的一个微观粒子的微观运动状态由2r个广义坐标和广义 动量确定：
第六章 近独立粒子的最概然分布
1860年，麦克斯韦发表了《气体动力论的说明》，第 一次用概率的思想，建立了麦克斯韦分子速度分布律。
经过推导，得到著名 的麦克斯韦速度分布 律为：
dN
N
m
2 kT
3/2
m
(
vx2
v
2 y
vz2
)
e 2kT dvxdvydvz
玻尔兹曼(L. Boltzmann, 1844-1906)
1 m(x2 y2 z2 )
2
用球坐标描述质点的位置
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
x r sin cos r cos cos r sin sin
y r sin cos r cos sin r sin cos z r cos r sin
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述 称为经典描述；
如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述 称为量子描述。
遵守经典力学运动规律的粒子，称为经典粒子。
① 具有“颗粒性”：有一定的质量、电荷等性质。
② 轨道运动：满足牛顿定律. 给定初时刻的 r、p ，可确定其 运动轨迹 (确定性描述)。经典粒子可以被“跟踪”。