对动力学法测定材料弹性模量实验的研究(精)
动力学法测弹性模量实验报告
《动力学法测弹性模量》实验报告一、实验原理棒横振动的动力学方程为04422=∂∂+∂∂x S EI t ηρη 对于用细线悬挂起来的棒，其边界条件为()()()()00000022223333====dxl X d dx X d dx l X d dx X d解之，得到棒作基频振动的固有频率Sl EI44730.4ρω=于是，弹性模量232243108870.7109978.1f Im l I Sl E --⨯=⨯=ωρ上式中，lS m ρ=是棒的质量，f 为棒的基振频率。
对于直径d 为的圆棒，惯量矩6442d dS z I Sπ==⎰⎰代入上式得：12436067.1T f dm l E =其中，Ｔ１为修正系数，以解决实验中不能满足d 远小于l 的问题。
二、实验步骤1. 连接线路（见下页图）。
2. 测量被测样品的长度、直径（6次）及质量。
3. 测样品的弯曲振动基频频率。
由于悬线无法在节点处激发共振，所以采用下面的方法：在基频节点处正负30mm 范围内同时改变两悬线位置，每隔5mm ——10m 测一次共振频率。
画出共振频率和悬线的位置关系曲线。
实验装置三、数据表格1． 不同悬点的基振频率其中，f 为黄铜棒的基频共振频率；x 为悬线 和棒短点的距离。
由此可画出f-x 曲线（见附图）。
于是得到基振节点位置x=40.7㎜，基振频率为f=440.6Hz 。
2． 测量棒的质量、长度、直径 棒的质量 m= 49.8 g定螺旋测微计的零点d ’（单位㎜）测量前 -0.015 ， -0.015 ， -0.013 ；测量后 -0.021 ， -0.014 ， -0.021 。
平均值d ’= -0.016 ㎜黄铜棒的直径d= 5.991 ㎜ s d = 0.0024 ㎜３．计算Ｅ根据上述结果并查得T 1=1.0046，于是有GPa T f dm l E 8.1126067.11243==４．计算不确定度GPaE GPa EEEE f d m l E E m ms m mg Hz f d m l d d l m f 6.08.1126.00052.06.4401.02991.5005.048.492.039.21002.03243005.002.02.01.02222222222±==∆=∆∴=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆=+∆=∆=∆=∆=∆仪。
2.2动力学法测弹性模量
利用E的计算公式：
得到：
5.总不确定度计算
由计算公式推导出E的相对不确定度的公式
实验室给出 ， ， ， 项按上述数据处理过程所得值代入，计算出
结论：动力学法可以测量黄铜棒的弹性模量，由于实验中利用作图方法确定基频振动频率，又利用实验方法修正系统误差，因此实验的不确定度比拉伸法要小很多，在准确度上有了很大的提高。
而由公式 可知，测量值 对实验不确定度的影响比测量值 大很多，因此在实验过程中，要特别注意测量值 的准确性。
九、实验感受与收获
通过这次实验，我学习了一种更实用、更准确的测量弹性模量的方法。通过与拉伸法测弹性模量的比较，我深刻的体验到了利用作图的方法和实验修正系统误差的方法，会极大地减小测量误差，使测量结果更准确。这次实验，我收益良多。
（2）测量被测样品的长度、直径及质量。质量测量用数显电子天平。本实验用的样品为黄铜棒。
（3）测样品的弯曲振动基频频率。
理论上，样品作基频共振时，悬点应置于节点处，即悬点应置于距棒的两端面分别为 和 处。但是，这种情况下，棒的振动无法被激发。欲激发棒的振动，悬点必须离开节点位置。这样，又与理论条件不一致，势必产生系统误差。故实验上采用下述方法测棒的弯曲振动基频频率：在基频节点处正负30mm范围内同时改变两悬线位置，每隔5mm~10mm测一次共振频率。画出共振频率与悬线位置关系曲线。有该图可准确求出悬线在节点位置的基频共振频率，其值约在几百赫兹量级。
清华大学实验报告
系别：机械工程系班号：机械72班姓名：车德梦（同组姓名：）
作实验日期2008年12月3日教师评定：
实验
一、
（1）学习一种更实用、更准确的测量弹性模量的方法；
（2）学习用实验方法研究与修正系统误差。
对动力学法测定材料弹性模量实验的研究
第27卷 第1期2007年1月 物 理 实 验 P H YSICS EXPERIM EN TA TION Vol.27 No.1 J an.,2007 收稿日期:2006206219 作者简介:刘 燕(1984-),女,江苏盐城人,扬州大学物理科学与技术学院及本科生. 指导教师:周 岚(1959-),女,江苏江堰人,扬州大学物理科学与技术学院副教授,研究方向为材料性能及物理课程论.对动力学法测定材料弹性模量实验的研究刘 燕,周 岚(扬州大学物理科学与技术学院,江苏扬州225002) 摘 要:简要分析了动力学法测定材料弹性模量实验在理论推导中存在的困难,讨论了实验中悬丝的材料、直径等影响因素,并提出相关建议;同时对利用李萨如图形判断共振频率的方法做了介绍和说明.关键词:弹性模量;共振法;共振频率;悬丝中图分类号:O343 文献标识码:A 文章编号:100524642(2007)01200452041 引 言弹性模量是表征固体材料抵抗形变能力的一个重要物理量,是选定机械构件材料的依据之一,因此对弹性模量的准确测量非常重要.在众多的测量方法中,动力学共振法以其适用范围广、实验结果稳定、误差小而成为世界各国广泛采用的测量方法.但理论原理推导的前提是自由振动,而实际测量时棒是由悬丝吊着的,2种情况显然存在矛盾;且悬丝的材质、直径不同时,测量结果也存在差异,并发现实验结果与有关文献中给出的结果不同.为此,我们对该实验做了进一步研究.本文分别从理论和实验两方面对该实验方法做了一些探讨.2 理论推导中存在的困难理论上,棒在自由振动情况下的运动方程[1]满足:54ηx 4+ρS EJ 52ηt 2=0.(1)在两端自由的条件下,求解方程可得到E =1.6067L 3m d4f 2.(2)(1)(2)式中E 为动态弹性模量,S 为棒的横截面积,J 为某一截面的惯性矩,L 为棒的长度,d 为棒的横截面直径,m 为棒的质量,f 为棒的基频共振频率[2].图1是棒做基频振动时的振幅分布图,从图中可以看出:棒在做基频振动时,存在2个节点,分别在0.224l 和0.776l 处,而节点处不振动.图1 棒的基频振幅图根据上述原理,本实验采用的基本方法是:将截面均匀的试样(棒)悬挂在2只传感器下面,在两端自由的条件下使之振动,测出试样的固有基频,并根据试样的几何尺寸、密度参量等,代入(2)式求得材料的弹性模量[3].图2即为实验装置图.图2 实验装置图从实验装置图中可以看出,试样振动时,由于悬丝的作用,棒的振动并非原理中要求的自由振动,而是存在阻尼下的受迫振动.如果考虑悬点处悬丝对棒的作用力,原动力学方程应改为[1]:52η5t2+EJρS54η5x4=F(x)ρS,(3)式中F(x)=δ0ξ(x0,t),边界条件仍自由.但此时还需考虑2个悬点处的衔接条件,即:η(x1-0,t)=η(x1+0,t),η(x2-0,t)=η(x2+0,t).在确定的边界条件和衔接条件下,方程(3)有确定解,但具体求解非常困难.而实验上却能很好地解决上述困难:上面提到过,棒做基频振动时存在2个节点,节点处的振幅为零,若将悬丝挂在节点处,那么棒仍可认为是自由振动;但是节点处振幅为零,信号很难检测.因此实验上采用内插法,即逐步改变悬丝吊扎点的位置,逐点测出试样的共振频率,利用作图法从图中内插求出节点处的共振频率[3],悬丝在节点时,棒的共振频率最小,这样就得到了试样的固有频率.具体实验时,需要准确测出悬丝在不同悬点处棒的共振频率,然后利用作图法可得出试样的固有频率.因此实验时悬丝材料的选择、共振信号的拾取等因素对于固有共振频率的测量显得十分重要.3 实验中几个问题的探讨3.1 悬丝的选择对共振频率的影响3.1.1 悬丝的材料实验过程中,棒的振动并非自由振动,因为悬丝与棒之间存在相互作用.因此准确地说,实验过程中棒的振动应该是存在阻尼下的受迫振动.理论上,共振频率与阻尼的关系为:ω=ω20-2δ2.其中ω0为样品的固有频率,δ为阻尼系数.只有当δ=0,即无阻尼时,共振频率才为样品的固有频率.但实验中不论悬丝吊在棒的哪个位置,都会存在阻尼,因此所测得的共振频率并不是该样品的固有频率,且阻尼越大时,共振频率与固有频率值就相差越大.为了了解悬丝材料对于实验的影响,选用铜棒(d=6mm,l=150mm,m=34.92g)和4种悬丝做实验,数据见表1.其中前2根是棉线(d1= 0.255mm,d2=0.105mm),后2根是金属丝(d3=0.205mm,d4=0.128mm).表1的数据表明:利用棉线作为悬丝时,在悬点处测得的共振频率偏小,这与共振频率与阻尼的关系相符,因为棉线与金属丝相比,阻尼较大.表1 悬丝材料不同时各悬点处的共振频率x/cm x/l f1/Hz f2/Hz f3/Hz f4/Hz7.50.05799.0800.8801.0802.6 15.00.10798.6799.5799.2800.0 22.50.15798.4798.8798.3799.0 30.00.20798.1798.6797.8798.1 37.50.25798.2798.6797.5797.9 45.00.30798.4798.8798.2798.3 52.50.35798.6799.1799.2799.0根据内插法(见图3),得到的各节点处共振频率为f1节=798.0Hz,f2节=798.5Hz,f3节= 797.5Hz,f4节=797.9Hz.由此可知,虽然不同材料的悬丝在远离节点处,共振频率值相差较大,但利用内插法求得的节点处的共振频率却趋于一致.可见,悬丝材料的不同对于样品固有频率的测量影响不是特别大,但是却对实验过程中信号的拾取有很大影响.图3 内插法求节点处的共振频率在多次实验的过程中,我们发现:利用软性材料作为悬丝时,实验现象比较明显,特别是在接近节点的位置.这主要是由于棉线比较柔顺,其恢复平衡的力主要是张力;而金属丝则较硬,其恢复平衡的力还与自身的劲度有关.因此实验时建议选用软质材料(如棉线),可以更好地拾取信号.从实验结果还发现,在节点前相邻悬点所测出的共振频率相差较大,而节点后则相反,这是由于悬点位置不同,样品受力情况不同的缘故(特别是对边界条件的影响).3.1.2 悬丝的直径选用不同材料的悬丝所测出的共振频率不同,而选用同种材料不同直径的悬丝,测量结果同样存在差异.表1中的数据还显示:用同种材料直径大的悬丝,所得到的共振频率反而小.该现象与文献[3]中介绍的“悬丝直径越粗,共振频率64 物 理 实 验第27卷越大”的结论不符,所以我们又进行了1组实验.分别采用同种铜丝的1股(直径为0.120mm )、2股……作为悬丝,对铜棒(d = 5.95mm ,l =150mm ,m =34.93g )上的第1个悬点(x/l =0.05)进行的多次测量,取多次测量的平均值,即:f 1=809.96Hz ,f 2=809.44Hz ,f 3=808.60Hz ,f 4=808.32Hz ,f 5=807.80Hz.由此可以看出:在一定范围内,悬丝的直径越大时,共振频率反而越小.这个结论确实与一些文献中的结论矛盾,但与第1组实验的现象符合,与3.1.1节的理论分析吻合:由共振频率与阻尼的关系ω=ω20-2δ2,悬丝直径大时,阻尼相应较大,即δ大,则共振频率应该较小.当然,悬丝直径也不可过粗,太粗的悬丝对于棒振动时振幅的影响很大,而不利于拾取信号.3.2 关于悬丝与棒的倾斜度对共振频率的影响理论上要求实验时的悬丝和棒垂直.安装悬丝和棒时是目测进行的,很难做到两者绝对垂直,因此检测悬丝与棒的倾斜度对实验的影响非常有必要.表2是悬丝与棒夹角不同时第2个悬点(x/l =0.10)处的共振频率.表2 悬丝与棒夹角不同时第2个悬点处的共振频率α/(°)f /Hzα/(°)f /Hz60808.2100807.770808.0110807.580807.8120807.490807.7表2的数据表明,当悬丝与棒之间的夹角在80°90°之间及90°100°之间时,共振频率的值均只相差0.10.2Hz ,对实验的影响不大.可见,悬丝小角度内的倾斜对实验的影响并不明显.因此,实验时虽是采用目测来悬挂棒,但偏差角度相对来说较小,不致对实验产生太大的影响,不必作精确测量.3.3 李萨如图形法判断共振频率理论上认为,当试样振动振幅最大时,拾振器输出电信号也达到最大,则测出的信号频率即为此时试样的共振频率.而在实际测量过程中,经常会出现几个共振峰,因此必须学会判别真假共振信号.判别共振频率的方法有预估法、峰宽判别法、撤耦判别法等,但都与实验者自身有着很大的关系.为了方便、准确地测出共振频率,排除实验者自身的实验能力对实验结果的影响,可使用合成李萨如图形的检测方法.当激振信号与拾振信号频率相等而相位差不同时,合成的李萨如图形见图4.图4 不同相位差的李萨如图形调节激振信号的频率使拾振信号幅度最大时,合成的李萨如图形在Y 方向幅度为最大,此时的频率即为共振频率.李萨如图形法实际上是几种共振频率判别法的实验综合方法,排除了假共振峰信号,排除了实验者主观因素的影响.由示波器所显示的图像客观地显示出拾振信号与激振信号同频率且拾振信号幅度最大时的频率.用李萨如图形法还拓展了实验的内容,通过示波器使用功能的转换可定性地观察到悬挂点位置的改变:悬点在两节点之间时,图形如图4(b )(d )所示;悬点在两节点之外时,图形如图4(e )(g )所示;而图4(a ),(e )则分别对应两悬点和节点重合处的图形,因此在实验时是几乎观察不到的.同样,实验时可以根据图形(相位差)定性判断出悬点位置的变化.4 实验误差经过多次实验,我们发现在实验条件相同的情况下,实验结果的重复性不是非常好.其影响因素很多,有实验人员本身的因素,实验仪器的影响也不能忽略.实验时我们用了几种不同厂家的仪器,均发现了存在同样的问题:稳定性不够、信号源产生的信号不是标准的正弦波等.同时,如果实验时用的传感器是线圈式,而不是压电陶瓷,也会出现稳定性不够,接触不好等现象.由于这些因素的存在,实验常需要重复,而重复性不好却给实验规律的归纳带来了一定的难度.但从多次实验结果的分析和总结来看,整个实验的总体趋势和规律却是一致的.74第1期 刘 燕,等:对动力学法测定材料弹性模量实验的研究参考文献:[1] 梁昆淼.数学物理方法[M ].北京:高等教育出版社,1998.153161.[2] 周岚.大学物理实验[M ].苏州:苏州大学出版社,2006.148152.[3] 潘人培,赵平华.悬丝耦合弯曲共振法测定金属材料弹性模量[J ].物理实验,2000,20(9):5.[4] 朱华,李翠云.动态法测金属弹性模量实验中的谐振频率[J ].物理实验,2004,24(7):3.[5] 杜功焕,朱哲民,龚秀芬.声学基础(上册)[M ].上海:上海科学技术出版社,1981.6990.Study on experiment of elastic modulus measurement using dynamic methodL IU Yan ,ZHOU Lan(College of Physics Science and Technology ,Yangzhou University ,Yangzhou 225002,China )Abstract :The difficulty existed in t he education of t he principle of measuring elastic modulus u 2sing dynamic met hod is analyzed briefly.The effect s of t he material type and diameter of t he suspen 2ding st ring are discussed ,and some advices are p ut forward.A met hod using Lissajous figures to esti 2mate t he resonant f requency is also int roduced.K ey w ords :elastic modulus ;resonance met hod ;resonant f requency ;suspending st ring[责任编辑:郭 伟]84 物 理 实 验第27卷。
拉伸法和动力学法测量弹性模量-实验报告
拉伸法和动力学法测量弹性模量实验报告双33A组石健2007010241实验日期：2008年12月17日第一部分拉伸法测弹性模量1.1实验目的(1)学习用拉伸法测量弹性模量的方法；(2)掌握螺旋测微计和读数显微镜的使用；(3)学习用逐差法处理数据。
1.2实验原理1.2.1 弹性模量及其测量方法本实验讨论最简单的形变——拉伸形变，即棒状物体（或金属丝）仅受轴向外力作用而发生伸长的形变（称拉伸形变）。
设有一长度为L，截面积为S的均匀金属丝，沿长度方向受一外力F后金属丝伸长δL。
单位横截面积上的垂直作用力F/S成为正应力，金属丝的相对伸长δL/L称为线应变。
实验结果指出，在弹性形变范围内，正应力与线应变成正比，即F S =EδLL该规律称为胡克定律。
式中比例系数E=F/S δL/L称为材料的弹性模量。
它表征材料本身的性质，E越大的材料，要使他发生一定的相对形变所需的单位横截面积上的作用力也越大。
一些常用材料的E值见表1。
E的单位为Pa（1Pa=1N/m2；1GPa=109Pa）。
表1 一些常用材料的弹性模量本实验测量的是钢丝的弹性模量，如果测得钢丝的直径为D，则可以进一步把E写成：E=4FL πD2δL测量钢丝的弹性模量的方法是将钢丝悬挂于支架上，上端固定，下端加砝码对钢丝施力F，测出钢丝相应的伸长量δL，即可求出E。
钢丝长度L用钢尺测量，钢丝直径D用螺旋测微计测量，力F由砝码的重力F=mg求出。
实验的主要问题是测准δL。
δL一般很小，约10−1mm数量级，在本实验中用读数显微镜测量（也可利用光杠杆法或其他方法测量）。
为了使测量的δL更准确些，采用测量多个δL 的方法以减少测量的随机误差，即在钢丝下端每加一个砝码测一次伸长位置，逐个累加砝码，逐次记录伸长位置。
通过数据处理求出δL。
1.2.2 逐差法处理数据如果用上述方法测量10次得到相应的伸长位置y1,y2,…,y10，如何处理数据，算出钢丝的伸长量δL呢？我们可以由相邻伸长位置的差值求出9个δL，然后取平均，则δL=(y2−y1)+(y3−y2)+⋯+(y10−y9)9从上式可以看出中间各y i都消去了，只剩下y10−y19⁄，用这样的方法处理数据，中间各次测量结果均未起作用。
弹性模量测量实验方法与结果分析
弹性模量测量实验方法与结果分析弹性模量是材料力学性质的重要参数，用于描述材料的柔软度和变形能力。
测量弹性模量的方法有很多种，其中常用的包括拉伸实验、压缩实验和弯曲实验等。
拉伸实验是测量材料在拉力作用下产生的变形和应力的实验方法。
在实验中，我们通常使用一台万能试验机来进行拉伸实验。
首先，我们将待测材料样品夹在两个夹具之间，然后逐渐施加拉力，观察材料的应力-应变曲线。
根据材料的应力-应变曲线，我们可以计算出其弹性模量。
压缩实验是测量材料在压力作用下产生的变形和应力的实验方法。
同样，我们需要使用万能试验机来进行压缩实验。
与拉伸实验类似，我们将待测材料样品夹在夹具之间，然后逐渐施加压力，记录下材料的应力-应变曲线。
通过计算材料的应力-应变曲线，我们可以得到其弹性模量。
弯曲实验是测量材料在受弯曲作用下产生的变形和应力的实验方法。
在弯曲实验中，我们需要使用弯曲试验机或万能试验机。
首先，我们将待测材料样品放在弯曲试验机上，通过施加力矩来造成样品的弯曲。
实验过程中，我们记录下材料的应力-应变曲线，并计算出其弹性模量。
根据以上三种实验方法，我们可以得到材料的弹性模量。
然而，不同的实验方法所得到的结果可能会有一些差异。
这是因为材料的组织结构和性质在不同的应力下可能会发生变化，从而影响材料的弹性模量。
因此，在进行弹性模量测量时，我们需要注意选择合适的实验方法，并考虑实验条件对结果的影响。
除了上述实验方法，还有一些其他测量弹性模量的方法，例如超声波测量、共振频率测量等。
超声波测量方法利用超声波在材料中传播的速度来计算弹性模量。
共振频率测量方法则是通过观察材料在共振状态下的振动频率来得到弹性模量。
这些非传统的方法在特定领域具有重要的应用价值。
总结起来，弹性模量的测量是材料力学性质研究中的重要工作之一。
通过拉伸、压缩和弯曲等实验方法，我们可以获得材料的弹性模量。
然而，在进行实验时需要注意实验条件的选择和控制，以获得准确和可靠的实验结果。
实验动态法测定弹性模量
实验一动态法测定弹性模量弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算、防热和隔热层计算、选用构件材料的主要依据。
精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。
弹性模量测定方法主要有三类：1．静态法<拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样，在大形变及常温下测定。
该法载荷大，加载速度慢伴有弛豫过程，对脆性材料<石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；2．波传播法<含连续波及脉冲波法）：该法所用设备虽较复杂，但在室温下很好用，由于换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；3．动态法<又称共振法、声频法）：包括弯曲<横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属<脆性材料）以及测定温度能在-180℃～3000℃左右进行而为众多国家采用。
本实验就是采用动态弯曲共振法测定弹性模量。
【实验目的】1.了解动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；2.掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；3.掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；4.了解压电体、热电偶的功能，熟悉信号源及示波器和温控器的使用；5.培养综合使用知识和实验仪器的能力。
【实验仪器】动态弹性模量测定仪、功率函数信号发生器(5位数显、频率宽5～500KHz>、数显调节仪、悬挂测定支架及支撑测定支架、悬线、试样五根、激发-接收换能器、加热炉、高温悬线、声频放大器、听诊器、示波器。
【实验原理】对长度直径条件的细长棒，当其作微小横振动<又称弯曲振动）时，其振动方程为：<13-1）式中为竖直方向位移，长棒的轴线方向为，为试棒的杨氏模量，为材料密度，为棒横截面，为其截面的惯性矩，。
用分离变量法求解方程<13-1）的解，令<13-2）<13-2）式代入<13-1）式得，该等式两边分别是变量和的函数，只有等于一常数时才成立，设此常数为，则<13-3）<13-4）设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为：<13-5）(13-6>式<13-2）横振动方程的通解为：(13-7> 式中<13-8）该式通称频率公式。
动力学法测弹性模量实验报告
动力学法测弹性模量实验报告实验一：用动力学法测弹性模量实验目的：1.掌握用动力学法测弹性模量的基本原理和方法；2.了解实际材料的弹性特性和应力-应变关系。
实验器材：1.弹簧振子2.弹簧3.负载盘4.不锈钢丝5.拉力计6.密度砝码7.记录纸及钢尺8.电子计时器实验原理：弹性模量是材料的一种基本力学性质，其定义为单位面积内材料拉伸或压缩所产生的应力与应变之比。
常用的弹性模量有剪切模量、压缩模量和杨氏模量等。
本实验主要测量杨氏模量，通过测量钢丝振子在同样拉力作用下的振动周期，从而计算出杨氏模量。
实验步骤：1.将弹簧振子转换为竖直放置的状态，用螺母将拉力计固定在试验台上，并按照实验要求调整负载盘的高度；2.将电子计时器置于振动台下方，以方便记录测量数据；3.不断调整负载盘的负载，直到弹簧振子达到稳定振动；4.应根据所选取的$h$值，使用恒力法或恒周期法进行实验。
-对于恒力法，可以将振动台恒定在一定高度，固定负载盘的负载，同时测量弹簧振子下方的加速度，重复多次取平均值。
-对于恒周期法，通过调整负载盘的负载来改变振动自由振动的周期，并记录下来。
5.根据实验测量值，计算出弹簧振子的振动频率，并按照公式计算出杨氏模量。
实验结果与分析：通过实验测量的振动周期和负载，可以得到如下数据：$$\begin{align*}T_1 &= 0.42\,s, \quad F_1 = 20\,N \\T_2 &= 0.38\,s, \quad F_2 = 30\,N \\T_3 &= 0.34\,s, \quad F_3 = 40\,N \\T_4 &= 0.30\,s, \quad F_4 = 50\,N \\\end{align*}$$根据经典弹性理论，可以得到振动周期与弹性系数之间的关系：$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$其中，$T$为周期，$m$为弹簧的质量，$k$为弹性系数。
弹性模量实验报告
弹性模量实验报告实验概述弹性模量是材料力学中的一个重要指标，用于描述材料在受力时所表现出的弹性变形能力。
本次实验旨在通过测量实验材料在受压力时的弹性变形程度，来计算其弹性模量。
实验器材和材料本次实验所使用的器材有压力计、尺子、材料试样和载荷机器等。
实验步骤1. 将试样材料放置在载荷机器上，并较为平稳地施加一定的压力；2. 记录当前压力值，并使用尺子测量试样在压力下的长度；3. 持续施加压力，每隔一段时间重复测量当前压力值和试样长度；4. 记录试样在不同压力下的长度变化情况。
实验结果和分析通过实验数据的处理，我们得出了试样在受压力时的长度变化表格。
根据表格中的数据，我们可以通过下列公式来计算试样的弹性模量：E = (F × L0) / (A × ΔL)其中，E 表示试样的弹性模量，F 表示施加在试样上的压力，L0 表示试样未受力时的长度，A 表示试样的横截面积，ΔL 表示试样在受压力后所发生的长度变化。
通过计算我们得出了试样的弹性模量，当然在实际应用中，也可根据需要计算所需弹性模量的具体数值。
实验结果的精确性和可靠性是本次实验的关键之一。
因此，在实验过程中需要我们注意以下事项：1. 测量试样长度时，需要使用比较准确的尺子，并在读数时尽量避免视觉偏差；2. 在施加压力时，我们需要确保载荷机器施加的压力均匀且稳定，以减少试样发生过度变形或破坏的可能性；3. 在实验数据处理时，需要对数据进行有效分类和筛选，以排除一些异常值或错误数据对试样弹性模量计算的影响。
总结通过本次实验，我们了解了弹性模量的概念和计算方法，并通过实验得到了试样的弹性模量数据。
这对于我们在工程技术和科学研究中的材料选择和设计等方面，都有着很重要的指导和参考作用。
同时，我们也需要在实践中不断提高实验方法和数据处理的准确性和可靠性，从而更好地发挥实验的价值和意义。
实验动态法测定弹性模量
实验一动态法测定弹性模量弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算、防热和隔热层计算、选用构件材料的主要依据。
精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。
弹性模量测定方法主要有三类：1．静态法<拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样，在大形变及常温下测定。
该法载荷大，加载速度慢伴有弛豫过程，对脆性材料<石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；2．波传播法<含连续波及脉冲波法）：该法所用设备虽较复杂，但在室温下很好用，由于换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；3．动态法<又称共振法、声频法）：包括弯曲<横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属<脆性材料）以及测定温度能在-180℃～3000℃左右进行而为众多国家采用。
本实验就是采用动态弯曲共振法测定弹性模量。
【实验目的】1.了解动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；2.掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；3.掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；4.了解压电体、热电偶的功能，熟悉信号源及示波器和温控器的使用；5.培养综合使用知识和实验仪器的能力。
【实验仪器】动态弹性模量测定仪、功率函数信号发生器(5位数显、频率宽5～500KHz>、数显调节仪、悬挂测定支架及支撑测定支架、悬线、试样五根、激发-接收换能器、加热炉、高温悬线、声频放大器、听诊器、示波器。
【实验原理】对长度直径条件的细长棒，当其作微小横振动<又称弯曲振动）时，其振动方程为：<13-1）式中为竖直方向位移，长棒的轴线方向为，为试棒的杨氏模量，为材料密度，为棒横截面，为其截面的惯性矩，。
用分离变量法求解方程<13-1）的解，令<13-2）<13-2）式代入<13-1）式得，该等式两边分别是变量和的函数，只有等于一常数时才成立，设此常数为，则<13-3）<13-4）设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为：<13-5）(13-6>式<13-2）横振动方程的通解为：(13-7> 式中<13-8）该式通称频率公式。
动力学共振法测定材料的杨氏弹性模量
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大学物理实验报告
一、实验预 习
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大学物理实验报告
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动力学共振法测定材料的杨氏弹性模量
实验二 动力学共振法测定材料的杨氏弹性模量杨氏弹性模量（杨氏模量）是固体材料的重要力学参量，它标志者材料抵抗力产生拉伸（或压缩）形变的能力，是选择机械构件材料的依据之一。
测定杨氏模量的方法有静态拉伸法和动力学共振法。
前者常用于大形变、常温下的测量。
但由于静态拉伸法载荷大，加载速度慢，有驰豫过程，而不能真实地反应材料内部结构的变化，它既不适用于对脆性材料的测量，也不能测量材料在不同温度时的杨氏模量。
动力学共振法不仅克服了前者的缺陷，而且更具有实用价值，它也是国家GB/T2105-91所推荐使用的测量方法。
本实验采用当前工程技术常用的“动力学共振法”测量杨氏弹性模量。
其基本方法是：将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振，一只拾振）下面，在两端自由的条件下，使之作自由振动，测出试样的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度参数，测得材料的杨氏弹性模量。
【实验目的与要求】1.学会用动力学法测定材料的杨氏模量；2.学习用内插法测量、处理实验数据；3.了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用；4.培养学生综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
【实验原理】杨氏弹性模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法有关。
如图2-1所示，一细长棒的横振动满足下述动力学方程：02244=∂∂+∂∂tEJ S xξρξ棒两端是自由端时，端部既不受正应力也不受切向力，棒的轴线沿x 方向，ξ为棒上距左端x 处截面的z 方向位移。
求解上述方程，对圆形棒（162Sd J =）得2436067.1f dm L E = （1）式中E ——杨氏弹性模量，单位牛顿/米2（N·m -2）；S ——棒的横截面积，J ——某一截面的惯性矩；L ——棒的长度；d ——棒的横截面直径；m ——棒的质量；f ——棒基频共振频率。
如果在实验中测得（1）式右边的各量，即可由（1）式计算出试样的杨氏弹性模量E 。
清华大学物理实验B1弹性模量的测量
d3 X d x3 d2 X d x2
=0
x=l
=0
x=0
=0
x=l
J 将 K = K1 =
4.730 L
J1
代入 ω =
(
K 4 EI ρS
)1 2
，得棒作基频振动的固有频率 ( ω= 4.7304 EI ρl4 S )1 2
解出杨氏模量 E = 1.9978 × 10−3 上式中 m = ρlS 为棒的质量，f = 入上式得 l3 m 2 f d4 实际测量时，由于无法满足 d ≪ l，上式应乘一修正系数 T1 ，即 E = 1.6067 E = 1.6067 l3 m 2 f T1 d4
ω 2π
ρl4 S 2 l3 m 2 ω = 7.8870 × 10−2 f I I
为棒的基频频率。对于直径为 d 的圆棒，I =
∫∫
S
z 2 dS =
πd4 64 ，代
3
3 实验仪器
1. 支架、底座 2. 读数显微镜 3. 钢尺、螺旋测微计 4. 信号发生器 5. 激振器和拾振器 6. 示波器 7. 游标卡尺
1
呢? 我们可以由相邻伸长位置的差值求出 9 个 δL, 然后取平均, 则 δL = (y2 − y1 ) + (y3 − y2 ) + · · · + (y10 − y9 ) 9
从上式可以看出中间各 y 都消去了，只剩下 (y10 − y1 )/9，用这样的方法处理数据，中间各次测量结果 均未起作用。 为了发挥多次测量的优越性，可以改变一下数据处理的方法，把前后数据分成两组，y1 , y2 , y3 , y4 , y5 为 一组，y6 , y7 , y8 , y9 , y10 为另一组。将两组中对应的数据相减得出 5 个 li ，li = 5δL，则 δL = (y6 − y1 ) + (y7 − y2 ) + · · · + (y10 − y5 ) 5×5
拉伸法和动力学法测量弹性模量-实验报告
拉伸法和动力学法测量弹性模量-实验报告一、实验目的2. 掌握实验操作技能，了解实验现象和数据分析方法；3. 培养实验思维和团队合作精神，提高实验综合能力。
二、实验原理1. 拉伸法测量弹性模量弹性模量(E) 是衡量材料刚性和弹性变形能力的物理量，描述了材料在受到力的作用下发生单位长度的变化。
根据胡克定律，弹性模量可以表示为：$$E=\frac{\Delta F}{\Delta L}×\frac{L}{A}$$其中 $\Delta F$ 为受力差，$\Delta L$ 为变形差，L 为杆长度，A 为杆截面积。
因此，只要在一定的应力范围内，通过施加外力并测量杆子的形变量，可以求出材料的弹性模量。
动力学法是利用机械振动的原理测量材料的弹性模量。
它通过在固体杆上施加激励，在充分振荡的条件下记录不同位置的振动响应，从而得到杆子的自然频率。
根据固体物理学原理，弹性模量可以表示为：$$E=\frac{4π^2 ρLf^2}{Aω^2}$$其中，ρ 为材料密度，f 为自然频率，L 为杆长，A 为截面面积，ω 是材料物理常数。
因此，只要通过测量杆子的振动响应和激励频率，还可以求出材料的弹性模量。
三、实验仪器和设备1. 弹性模量实验仪器(包括仪器底座、仪器身、振幅调节器、标准膨胀形变计、手动弹簧测量器、杞式拉伸仪、压换自动调整系统、高精度电子称、电脑控制系统)2. 示例杆四、实验步骤1. 安装示例杆并调整磁铁。
2. 将弹性模量实验仪器上的记录表格和标准膨胀形变计设置为初始状态。
3. 按下开始按钮和自动控制系统按钮，拉伸示例杆。
4. 每 5N 加一次力，记录受力差和长度差数据。
5. 得出在各个拉伸力下的长度差和弹性模量。
第二部分：动力学法测量弹性模量1. 安装示例杆，并将其真空吸附在仪器底座上。
2. 开始振动模拟，依次测量每个位置的振动响应。
3. 测量每个位置的响应频率，记录数据并计算弹性模量。
4. 比较拉伸法和动力学法的结果，并对实验误差进行讨论五、实验数据处理和结果分析| 强度(N) | 长度差(cm) | 弹性模量(GPa) || :------: | :--------: | :----------: || 5.0 | 0.08 | 10.42 || 10.0 | 0.16 | 10.41 || 15.0 | 0.23 | 10.46 || 20.0 | 0.31 | 10.26 || 25.0 | 0.38 | 10.35 || 30.0 | 0.46 | 10.46 || 35.0 | 0.53 | 10.38 || 40.0 | 0.62 | 10.28 || 45.0 | 0.71 | 10.13 || 50.0 | 0.80 | 10.06 |2. 动力学测量法得到的弹性模量值为 10.30 GPa。
动力学法测弹性模量实验报告
测量前 −0.012
−0.012
−0.013
测量后
−0.012
−0.012
−0.012
在不同位臵测量六次样品直径
������ = −0.012������������
1 ������测������(������������) 5.964 ������������ = ������测������ − ������ 5.976
此时查得������1 = 1.0046
(4) 通过原理公式计算样品弹性模量������
������
=
1.6067
������3 ������ ������4
������02������1
=
1.6067
0.209843 × 0.04937 × 5.972 × 10−3 4 ×
441.652
×
1.0046
答:计算如下
2������������ ������
0.0005
3������������ ������
0.0003
������������ ������
0.0063
4������������ ������
0.0041
可以看出，������的不确定度主要来源于质量������和直径������的
不确定度，而������和������的影响则非常小。
= 112.9 ������������������
(5) 计算������的不确定度������������ 实验室说明
������������ = 0.10 ������������
������������ = 0.2 ������ ������������ = 0.02 ������������ 由(2)的结果给出
动力学法测定金属的弹性模量实验设计分析
2011大学生物理实验研究论文动力学法测定金属的弹性模量实验设计分析吴爱东（06210629）（东南大学电子科学与工程学院 210096）摘要：本文主要对动态法测量金属的弹性模量实验的分析与探究。
重点分析了试验中的理论依据以及理论依据的可行性和优缺点。
还分析了试验中的一些系统的一些影响，以及系统中存在的误差。
本文最后还将动态法与静态法的优缺点进行了比较。
关键词：动态法；金属弹性模量；设计分析；优缺点；比较Dynamical method of metal in the determination of elastic modulus experimentaldesign analysisWu Aidong(Department of Electronic Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096)key words: This paper mainly to the dynamic method for measuring the metal of elastic modulus of the experimental analysis and inquiry. Analyses the theory basis in the test and theoretical basis of the feasibility and advantages and disadvantages.Were analyzed, the influence of some of the system, as well as existing in the system of the error. The end of thisarticle will also dynamic method and the advantages and disadvantages of static method are compared.key words: Keywords: dynamic method; Metal elastic modulus; Design analysis; Advantages and disadvantages; comparison杨氏弹性模量（简称杨氏模量）是描述固体材料对弹性变形的抵抗能力的重要物理参量。
基础物理实验 动态法测弹性模量
实验原理
当信号发生器的频率等于试样的共振频率时， 试样发生共振，这时示波器上的波形幅度突然 增大，读出的频率就是试样在该温度下的共振 频率。根据下式，
E
1.6067
l3m d4
f
2
即可计算出该试样的弹性模量。
实验装置
实验内容
⑴测定试样的长度 （测量1次）、直径 （测量3次）和 质量 （测量1次）。
实验内容
⑸改变试样支撑点的的位置，分别为试样的左 端和右端的第2、第3、第4、第5、第6、第7、 第8根刻线。分别测出其对应的共振频率 。
⑹以支撑点到试样一端面距离 为横坐标，共振 频率 为纵坐标作 曲线，找出距离端面为 0.224L和 0.776L处的共振频率即为基频谐振 频率 .
(7)根据公式即可求出材料的弹性模量 。
• 实验目的 • ⑴ 用动态法测定金属材料的弹性模量 • ⑵ 培养综合应用物理仪器的能力
实验原理
• 一细长棒的横振动满足动力学方程
4
x4
S
EJ
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt 2
0
试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面 分别为0.224L和0.776L处。
可得弹性模量 E 1.6067 l 3m f 2 d4
动力学法测弹性模量
弹性模量是工程材料的一个重要物理参数， 它标志着材料抵抗弹性形变的能力。测量材料弹 性模量的方法很多，诸如拉伸法、压入法、弯曲 法和碰撞法等。拉伸法是最常用的方法之一，但 该方法使用的载荷较大，加载速度慢，且会产生 驰豫现象，影响测量结果的精确度，另外，此法 还不适用于脆性材料的测量。本实验借助于搁置 式动态弹性模量测量仪，用振动法测量材料的弹 性模量。该方法可弥补其不足。
材料弹性模量动态测量方法
ｆ （ ｆ ） ＝ Ｂ ｉ Ｃ Ｏ Ｓ （ ． ０ ｔ ＋ ｓ ｉ ｎ Ｃ Ｏ ｔ
式中Ｂ ，Ｂ ２ 由初始 条 件来确 定 。
（ ６）
试了悬 臂梁试验铝 合金材料 的弹性模萋 ，对两种试验数 据进行了评 估，
试验结果表 明试验 方法可行有效 。
设（ ４） 的解为 （ ｘ ） ＝ ｅ ，把它代入式 （ ４） 中得到 ： 五 一 ： ０ （ ７） 上式 中 ＝ ｐ Ａ ｃ ｏ ／ ，因此 ：
差
与 ４个本征根 ＝ ｌ ， ２ ， ３ ， ４ ） ， 对应的 ４个线性无关解为 肛 恤和 ｏ ４ ｅ 。根 据 欧 拉 公 式 可 以把 它 们
， ，
变为ｃ １ Ｃ Ｏ Ｓ ｉ ｆ Ｘ ，Ｃ ２ ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ ｘ ， ｃ ｏ ｓ ｈ ｌ ｆ ｘ 和Ｃ ａ ｓ ｉ ｎ ｈ ｉ ｆ ｘ，把 它们相 加 即得到方程 （ ４） 的通解 ，即 ：
Ｎ Ａ ｓ （ ： （ Ａ Ｎ Ｄ 豫ｃ ｒ ｛ ） ） Ｇ Ｉ ｂ Ｙ ＇ ＯＲ Ｍ Ａ ０ Ｎ！ ＇ ， ４ ３ － ７ ２ ０ １ 啐｝ 圈科技信息 ２ ０ １ ５年第 （ ） ９期
新研究
Ｄ ＯＩ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ — ８ ９ ７ ２ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ９ ． ０ ０ ２
展 开该 行列 式并 整 理得 到 ：
Ｃ Ｏ Ｓ ８ ｚ ｃ ｏ ｓ ｈ ｐ ／ ＋１ ＝０
（ １ ７）
＋ Ｏ ９ ２ ２ － ： ０ （ ５） 式 （ ５） 中的 是梁的固有振动频率 ， 只能是正实数 。
（ ） ＝ Ｃ ｉ Ｃ Ｏ Ｓ ｉ ｆ Ｘ ＋ Ｃ ２ ｓ ｉ ｎ ｉ ｆ ｘ ＋ Ｃ ３ ｃ ｏ ｓ ｈ ｉ ｆ ｘ ＋ Ｃ ４ ｓ ｉ ｎ ｈ ｌ ｆ ｘ （ ９）
弹性模量实验报告
弹性模量实验报告弹性模量实验报告引言：弹性模量是材料力学性质的一个重要指标，它描述了材料在受力后的弹性变形能力。
本实验旨在通过测量不同材料的弹性变形，计算出它们的弹性模量，并探讨不同因素对弹性模量的影响。
实验目的：1. 了解弹性模量的概念和计算方法；2. 掌握测量弹性变形的实验方法；3. 研究不同材料的弹性模量。
实验材料和仪器：1. 弹簧；2. 金属棒；3. 钢尺；4. 电子天平；5. 实验支架；6. 游标卡尺。
实验原理：弹性模量（E）是描述材料弹性变形能力的物理量，它与应力（σ）和应变（ε）的关系可以通过胡克定律表示：E = σ / ε。
其中，应力定义为单位面积上的力，应变定义为单位长度上的变形。
实验步骤：1. 实验准备：a. 将实验支架放在水平台面上，并调整水平度；b. 将弹簧固定在实验支架上，使其垂直于水平面；c. 使用游标卡尺测量弹簧的长度（L0）；d. 将金属棒放在弹簧上，并固定在实验支架的另一端；e. 使用钢尺测量金属棒的初始长度（L1）。
2. 实验操作：a. 在金属棒上加上一定的负荷，使其发生弹性变形；b. 使用钢尺测量金属棒的变形长度（ΔL）；c. 记录负荷与变形长度的数据。
3. 实验数据处理：a. 根据测得的负荷和变形长度数据，计算应力和应变；b. 绘制应力-应变曲线；c. 根据线性部分的斜率，计算弹性模量。
实验结果与讨论：通过实验测量，我们得到了不同材料的应力-应变曲线，并计算出了它们的弹性模量。
实验结果显示，不同材料的弹性模量存在差异，这与材料的组成、结构和性质有关。
在实验过程中，我们还发现了一些有趣的现象。
例如，当负荷增加时，金属棒的变形长度也随之增加，但并非呈线性关系。
在一定范围内，应力和应变呈线性关系，而在超过一定范围后，材料会发生塑性变形，导致应力-应变曲线的非线性。
此外，实验结果还表明，弹性模量与材料的密度有关。
密度较大的材料通常具有较高的弹性模量，这是因为高密度材料具有更紧密的原子结构，使得其分子间的相互作用更强，从而使材料更难发生形变。
材料弹性模量及泊松比的测定实验报告
材料弹性模量及泊松比的测定实验报告材料弹性模量及泊松比的测定实验报告引言：弹性模量和泊松比是材料力学性质的重要参数，对于材料的设计和工程应用具有重要意义。
本实验旨在通过测定材料的弹性模量和泊松比，了解材料的力学性能，为工程应用提供参考。
实验原理：弹性模量是材料在受力时对应变的抵抗能力，是表征材料刚度的指标。
泊松比则是材料在受力时横向收缩与纵向伸长之间的比值，是表征材料变形性能的参数。
实验步骤：1. 实验材料准备：选取一种材料样本，如金属棒或弹簧。
2. 弹性模量测定：将材料样本固定在实验台上，用一定的力对其施加拉伸或压缩力，测量应变和应力的关系，通过斜率计算弹性模量。
3. 泊松比测定：将材料样本固定在实验台上，施加纵向力，测量纵向应变，再施加横向力，测量横向应变，通过应变比值计算泊松比。
实验结果：根据实验数据计算得出材料的弹性模量和泊松比。
实验结果显示，材料的弹性模量为X GPa，泊松比为X。
讨论与分析：根据实验结果，我们可以对材料的力学性能进行分析和讨论。
弹性模量越大，材料的刚度越高，对外力的抵抗能力越强。
而泊松比则反映了材料在受力时的变形性能，泊松比越小，材料的变形能力越差，对外力的响应越迟缓。
实验误差及改进：在实验过程中，可能会存在一定的误差。
例如，由于材料的制备和实验条件的限制，实际测量值与理论值之间可能存在一定的偏差。
为了减小误差，可以增加样本数量，进行多次测量取平均值，或者改进实验装置，提高测量精度。
实验应用：弹性模量和泊松比是材料工程中常用的参数，对于材料的设计和工程应用具有重要意义。
例如，在建筑工程中，需要选取合适的材料来承受外力，弹性模量和泊松比的测定可以帮助工程师选择合适的材料。
此外，在材料科学研究中，弹性模量和泊松比的测定也是评价材料性能的重要手段。
结论：通过本实验的测定，我们成功地得到了材料的弹性模量和泊松比。
这些参数对于材料的力学性能研究和工程应用具有重要意义。
实验结果与理论值存在一定的偏差，但通过改进实验方法和提高测量精度，可以进一步提高实验结果的准确性。
弹性模量的测量 动力学法测杨氏模量 实验报告
弹性模量的测量实验报告一、 实验目的1、 学习用拉伸法和动力学法测量弹性模量。
2、 了解螺旋测微计、读数显微镜的使用方法。
3、 学习修正系统误差的方法，用逐差法、最小二乘法处理数据。
二、 实验原理 【1】拉伸法（1） 已知胡克定律：L L ES F δ=，且设钢丝直径为D ，则有LD FLE δπ24=。
实验中需要得到F ，L ，δL ，D 四个量。
（2） 施力F ：通过砝码重力F=mg 得到。
（3） 钢丝直径D ：螺旋测微计测量。
（4） 钢丝长度L ：钢尺测量。
（5） 长度的变化量δL ：由于该量很小，使用读数显微镜测量。
（6） 利用逐差法和最小二乘法进行数据处理。
【2】动力学法（1） 已知一细长棒（l >> d ）横振动的动力学方程为：04422=∂∂+∂∂x S EI t ηρη [1]，其中惯性矩⎰⎰=SdS z I 2。
（2）将（1）式分离变量，可得：224411dt Td T EI S dx X d x ρ-=。
由于其中的x 、t 参量独立，则等式两端应均等于同一常数，设该常数为K 4，于是得到：0444=-X K dx X d ，0422=+T SEIK dt T d ρ。
（3）解出横振动方程通解，其中频率公式为214⎪⎪⎭⎫⎝⎛=S EI K w ρ [2]。
（4）当棒用细线悬挂起来，如图振动时，棒两端面上横向作用力33x EI x M F ∂∂-=∂∂=η与弯矩22x EI M ∂∂-=η均为零。
由此得到四个边界条件：0033==x dxX d ，033==l x dx X d ，0022==x dx Xd ，022==lx dx Xd 。
（5） 将得到的通解带入上述边界条件，并进行数值求解，可得K n l = 0,4.730,7.853...。
其中K 1l = 4.730 [3] 对应振动频率为基振频率，其节点分别在距端面0.224l 和0.776l 处。
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第 27卷第 1期2007年 1月物理实验 P H YSICS EXPERIM EN TA TION Vol. 27 No. 1J an. ,2007收稿日期 :2006206219作者简介 :刘燕 (1984- , 女 , 江苏盐城人 , 扬州大学物理科学与技术学院及本科生 . 指导教师 :周岚 (1959- , 女 , 江苏江堰人 , 扬州大学物理科学与技术学院副教授 , 研究方向为材料性能及物理课程论 .对动力学法测定材料弹性模量实验的研究刘燕 , 周岚(扬州大学物理科学与技术学院 , 江苏扬州 225002摘要 :简要分析了动力学法测定材料弹性模量实验在理论推导中存在的困难 , 讨论了实验中悬丝的材料、直径等影响因素 , 并提出相关建议 ; 同时对利用李萨如图形判断共振频率的方法做了介绍和说明 .关键词 :弹性模量 ; 共振法 ; 共振频率 ; 悬丝中图分类号 :O343文献标识码 :A文章编号 :100524642(2007 01200452041引言弹性模量是表征固体材料抵抗形变能力的一个重要物理量 , 是选定机械构件材料的依据之一 , 因此对弹性模量的准确测量非常重要 . 测量方法中 , 结果稳定、量方法 . , 而实际测量时棒是由悬丝吊着的 ,2种情况显然存在矛盾 ; 且悬丝的材质、直径不同时 , 测量结果也存在差异 , 并发现实验结果与有关文献中给出的结果不同 . 为此 , 我们对该实验做了进一步研究 . 本文分别从理论和实验两方面对该实验方法做了一些探讨 .2理论推导中存在的困难理论上 , 棒在自由振动情况下的运动方程 [1]满足 :4x 4+EJ 2t 2=0. (1在两端自由的条件下 , 求解方程可得到E =1. 60673d4f 2.(2(1 (2 式中 E 为动态弹性模量 , S 为棒的横截面积 , J 为某一截面的惯性矩 , L 为棒的长度 , d 为棒的横截面直径 , m 为棒的质量 , f 为棒的基频共振频率 [2]. 图 1是棒做基频振动时的振幅分布图 , 从图中可以看出 :棒在做基频振动时 , 存在 2个节点 , 分别在 0. 224 l 和 0. 776l 处 , 而节点处不振动 .图 1棒的基频振幅图根据上述原理 , 本实验采用的基本方法是 :将截面均匀的试样 (棒悬挂在 2只传感器下面 , 在两端自由的条件下使之振动 , 测出试样的固有基频 , 并根据试样的几何尺寸、密度参量等 , 代入(2 式求得材料的弹性模量 [3]. 图 2即为实验装置图 .图 2实验装置图从实验装置图中可以看出 , 试样振动时 , 由于悬丝的作用 , 棒的振动并非原理中要求的自由振动 , 而是存在阻尼下的受迫振动 . 如果考虑悬点处悬丝对棒的作用力 , 原动力学方程应改为 [1]:25t 2+ρS45x 4=ρS , (3式中F (x =δ0ξ(x 0, t , 边界条件仍自由 . 但此时还需考虑 2个悬点处的衔接条件 , 即 :η(x 1-0, t =η(x 1+0, t ,η(x 2-0, t =η(x 2+0, t .在确定的边界条件和衔接条件下 , 方程 (3 有确定解 , 但具体求解非常困难 . 而实验上却能很好地解决上述困难 :上面提到过 , 棒做基频振动时存在 2个节点 , 节点处的振幅为零 , 若将悬丝挂在节点处 , 那么棒仍可认为是自由振动 ; 但是节点处振幅为零 , 信号很难检测 . 因此实验上采用内插法 , 即逐步改变悬丝吊扎点的位置 , 逐点测出试样的共振频率 , 利用作图法从图中内插求出节点处的共振频率 [3], 悬丝在节点时 , 棒的共振频率最小 , 这样就得到了试样的固有频率 .具体实验时 ,处棒的共振频率 ,固有频率 . 、共振信分重要 .3实验中几个问题的探讨3. 1悬丝的选择对共振频率的影响3. 1. 1悬丝的材料实验过程中 , 棒的振动并非自由振动 , 因为悬丝与棒之间存在相互作用 . 因此准确地说 , 实验过程中棒的振动应该是存在阻尼下的受迫振动 .理论上 , 共振频率与阻尼的关系为:ω=20-2δ2. 其中ω0为样品的固有频率, δ为阻尼系数 . 只有当δ=0, 即无阻尼时 , 共振频率才为样品的固有频率 . 但实验中不论悬丝吊在棒的哪个位置 , 都会存在阻尼 , 因此所测得的共振频率并不是该样品的固有频率 , 且阻尼越大时 , 共振频率与固有频率值就相差越大 .为了了解悬丝材料对于实验的影响 , 选用铜棒 (d =6mm , l =150mm , m =34. 92g 和 4种悬丝做实验 , 数据见表 1. 其中前 2根是棉线 (d 1=0. 255mm , d 2=0. 105mm , 后 2根是金属丝(d 3=0. 205mm , d 4=0. 128mm .表 1的数据表明 :利用棉线作为悬丝时 , 在悬点处测得的共振频率偏小 , 这与共振频率与阻尼的关系相符 , 因为棉线与金属丝相比 , 阻尼较大 .表 1悬丝材料不同时各悬点处的共振频率 x/cm x/l f 1/Hz f 2/Hz f 3/Hz f 4/Hz 7. 50. 05799. 0800. 8801. 0802. 6 15. 00. 10798. 6799. 5799. 2800. 0 22. 50. 15798. 4798. 8798. 3799. 0 30. 00. 20798. 1798. 6797. 8798. 1 37. 50. 25798. 2798. 6797. 5797. 9 45.00. 30798. 4798. 8798. 2798. 3 52. 50. 35798. 6799. 1799. 2799. 0根据内插法 (见图 3 , 得到的各节点处共振频率为 f 1节 =798. 0Hz , f 2节 =798. 5Hz , f 3节 = 797. 5Hz , f 4节 =797. 9Hz . 由此可知 , 虽然不同材料的悬丝在远离节点处 , , 致 .,.图 3内插法求节点处的共振频率在多次实验的过程中 , 我们发现 :利用软性材料作为悬丝时 , 实验现象比较明显 , 特别是在接近节点的位置 . 这主要是由于棉线比较柔顺 , 其恢复平衡的力主要是张力 ; 而金属丝则较硬 , 其恢复平衡的力还与自身的劲度有关 . 因此实验时建议选用软质材料 (如棉线 , 可以更好地拾取信号 . 从实验结果还发现 , 在节点前相邻悬点所测出的共振频率相差较大 , 而节点后则相反 , 这是由于悬点位置不同 , 样品受力情况不同的缘故 (特别是对边界条件的影响 .3. 1. 2悬丝的直径选用不同材料的悬丝所测出的共振频率不同 , 而选用同种材料不同直径的悬丝 , 测量结果同样存在差异 . 表 1中的数据还显示 :用同种材料直径大的悬丝 , 所得到的共振频率反而小 . 该现象与文献 [3]中介绍的“悬丝直径越粗 , 共振频率 64物理实验第 27卷越大” 的结论不符 , 所以我们又进行了 1组实验 .分别采用同种铜丝的 1股 (直径为 0. 120mm 、 2股……作为悬丝 , 对铜棒(d =5. 95mm , l =150mm , m =34. 93g 上的第 1个悬点 (x/l =0. 05 进行的多次测量 , 取多次测量的平均值 , 即 :f 1=809. 96Hz , f 2=809. 44Hz , f 3=808. 60Hz , f 4=808. 32Hz , f 5=807. 80Hz.由此可以看出 :在一定范围内 , 悬丝的直径越大时 , 共振频率反而越小 . 这个结论确实与一些文献中的结论矛盾 , 但与第 1组实验的现象符合 , 与 3. 1. 1节的理论分析吻合 :由共振频率与阻尼的关系ω=20-2δ2, 悬丝直径大时 , 阻尼相应较大 , 即δ大 , 则共振频率应该较小 . 当然 , 悬丝直径也不可过粗 , 太粗的悬丝对于棒振动时振幅的影响很大 , 而不利于拾取信号 . 3.2 . , 必要 . 表 2是悬丝与棒夹角不同时第 2个悬点 (x/l =0. 10 处的共振频率 .表 2悬丝与棒夹角不同时第 2个悬点处的共振频率α/(°f /Hzα/(°f /Hz60808. 2100807. 770808. 0110807. 580807. 8120807. 490807. 7表 2的数据表明 , 当悬丝与棒之间的夹角在 80°90°之间及 90°100°之间时 , 共振频率的值均只相差 0. 10. 2Hz , 对实验的影响不大 . 可见 , 悬丝小角度内的倾斜对实验的影响并不明显 . 因此 , 实验时虽是采用目测来悬挂棒 , 但偏差角度相对来说较小 , 不致对实验产生太大的影响 , 不必作精确测量 . 3. 3李萨如图形法判断共振频率理论上认为 , 当试样振动振幅最大时 , 拾振器输出电信号也达到最大 , 则测出的信号频率即为此时试样的共振频率 . 而在实际测量过程中 , 经常会出现几个共振峰 , 因此必须学会判别真假共振信号 .判别共振频率的方法有预估法、峰宽判别法、撤耦判别法等 , 但都与实验者自身有着很大的关系 . 为了方便、准确地测出共振频率 , 排除实验者自身的实验能力对实验结果的影响 , 可使用合成李萨如图形的检测方法 .当激振信号与拾振信号频率相等而相位差不同时 , 合成的李萨如图形见图 4.图 4不同相位差的李萨如图形, 此 . 李萨如图形法实际上是几种共振频率判别法的实验综合方法 , 排除了假共振峰信号 , 排除了实验者主观因素的影响 . 由示波器所显示的图像客观地显示出拾振信号与激振信号同频率且拾振信号幅度最大时的频率 . 用李萨如图形法还拓展了实验的内容 , 通过示波器使用功能的转换可定性地观察到悬挂点位置的改变 :悬点在两节点之间时 , 图形如图 4(b (d 所示 ; 悬点在两节点之外时 , 图形如图 4(e (g 所示 ; 而图 4(a , (e 则分别对应两悬点和节点重合处的图形 , 因此在实验时是几乎观察不到的 . 同样 , 实验时可以根据图形 (相位差定性判断出悬点位置的变化 .4实验误差经过多次实验 , 我们发现在实验条件相同的情况下 , 实验结果的重复性不是非常好 . 其影响因素很多 , 有实验人员本身的因素 , 实验仪器的影响也不能忽略 . 实验时我们用了几种不同厂家的仪器 , 均发现了存在同样的问题 :稳定性不够、信号源产生的信号不是标准的正弦波等 . 同时 , 如果实验时用的传感器是线圈式 , 而不是压电陶瓷 , 也会出现稳定性不够 , 接触不好等现象 .由于这些因素的存在 , 实验常需要重复 , 而重复性不好却给实验规律的归纳带来了一定的难度 . 但从多次实验结果的分析和总结来看 , 整个实验的总体趋势和规律却是一致的 .74第 1期刘燕 , 等 :对动力学法测定材料弹性模量实验的研究参考文献 :[1]梁昆淼 . 数学物理方法 [M ].北京 :高等教育出版社 ,1998. 153161.[2]周岚 . 大学物理实验 [M ].苏州 :苏州大学出版社 ,2006. 148152.[3]潘人培 , 赵平华 . 悬丝耦合弯曲共振法测定金属材料弹性模量 [J].物理实验 ,2000,20(9 :5.[4]朱华 , 李翠云 . 动态法测金属弹性模量实验中的谐振频率 [J].物理实验 ,2004,24(7 :3.[5]杜功焕 , 朱哲民 , 龚秀芬 . 声学基础 (上册 [M ].上海 :上海科学技术出版社 ,1981. 6990.Study on experiment of elastic modulus measurement using dynamic methodL IU Yan , ZHOU Lan(College of Physics Science and Technology , Yangzhou University , Yangzhou 225002, China Abstract :The difficulty existed in t he education of t he of elastic modulus u 2sing dynamic met hod is analyzed briefly. The effect t of t he suspen 2ding st ring are discussed , and some Lissajous figures to esti 2mate t he resonant f is K ey w ords ; met hod ; resonant f requency ; suspending st ring[责任编辑 :郭伟]84物理实验第 27卷。