《图论》第6章-图的着色

第六章 图的着色
➢ 图的着色包括对边、顶点和平面区域的着色。本 章主要讨论简单图的顶点着色。
[例] 6种化学制品，某些不能 放在同一仓库。用矩阵表 示,例如(a , b)=1表示a和b 不能放在同一仓库。 问：最少需要几个仓库？
a 0 1 0 1 0 1
b
0 1 1 1 0
c
0 1 0 1
d
0 1 1
e
0 1
f
0
abcd e f
1
第六章 图的着色
a 0 1 0 1 0 1
b
0 1 1 1 0
c
0 1 0 1
d
0
1
1
e
0 1
f
0
abcd e f
a
f
b
ecຫໍສະໝຸດ d[解]以该矩阵为邻接矩阵构造图如上所示。给图的顶
点染色使得相邻点具有不同颜色，最少需要3种颜 色。
2
6.1 色数
[着色] 图 G=(V,E) 的一个 k 顶点着色指用 k 种颜色对G 的各顶点的一种分配方案。若着色使得相邻顶点 的颜色都不同，则称该着色正常，或称G存在一个 正常的 k 顶点着色（或称一个 k 着色）。此时称G 为 k-可着色的。
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6.1 色数
① 若v1~ v5 的着色数 4，则 v0 最多邻接4
种颜色的顶点，给 v0 着以第5 种颜色得 到G 的一种5-着色方案。
② 否则 v1~ v5 分别被着以颜色 c1~c5 ，则
v5
v0
v1
V-{v0}按着色可被划分成V13（着色c1或 v4 c3的顶点） 、V24 （着色c2或c4的顶点） 和V5 （着色c5的顶点）。设G13和G24分
[证明] 设 (G)=k，由推论1，有vV，使得 deg(v) k-1
又： deg(v) 故： k-1 或 (G)-1 即： (G) +1 ➢ 推论2给出了色数的一个上限，但很不精确。 [例] 二部图可二染色，但是可以相当大。
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6.1 色数
[Hajós猜想] 若G是 k 色图, 则G包含 Kk 的一个同胚图。 (1961)
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6.1 色数
[五色定理] (1890, Heaword) 任何简单平面图都是 5-可着色的。 [证明]设简单平面图G=(V, E)，对 n=|V| 作归纳。
n 5时容易讨论结论成立。 设 n = k1时，结论成立。 当 n = k 时，由[定理5-1-8]简单平面图G至少有一个顶点 的度小于6。故可设 v0V，deg(v0) 5。设G=Gv0，由归 纳假设，G是5-可着色的。给G固定一种5-着色方案,再将 v0 加回G得到G，在此情况下讨论 v0 的着色。 (1) 若deg(v0) 4，则 v0 最多邻接4种颜色的顶点，给 v0 着以第 5 种颜色得到G 的一种5-着色方案。 (2) 否则deg(v0) = 5，设 v0 的邻接点按逆时针排列为v1, v2, v3, v4, v5, 如图所示。
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6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
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6.1 色数
[推论1] k 色图至少有 k 个度不小于 k-1 的顶点。 [证明] 设 k 色图G的 k-临界子图为G，由定理G 的最
小度 k-1，故G的最小度 k-1，即G的
任何顶点的度不小于 k-1。又G为 k 色图，其中至 少有 k 个顶点。
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6.1 色数
[推论2] 对G=(V, E)， =max{deg(vi)|viV}，则 (G) +1。
6.1 色数
⑤ (G)=2的充要条件是: (a) |E|1；(b) G中不存在边数为奇 数的回路。（此时G为二部图）
[证明] 必要性显然。充分性： 由 (a) |E|1知 (G)2。 对G中的某一连通分支，找到其一棵生成树，对顶点做二 染色。加上任意一条余树枝，得到对应的唯一回路。由 (b) 知该回路长度为偶数， 该余树枝两个端点染的是不同颜色， 添加该余树枝后仍然可以保持原来的二染色。加上所有余 树枝，得到图G，二染色仍得到保持，即(G)=2。
[四色猜想] 任何平面图都是 4-可着色的。 ➢ 由于存在着不可3-着色的平面图K4，4色问题若可
证明，将是平面图色数问题的最佳结果。
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6.1 色数
[定理6-1-2] 如果平面图G有Hamilton回路，则G的域是 4-可着色的。
[证明] 平面图G的一条Hamilton回路将G的域分割成两 部分：被封闭的H-回路包围部分和在H-回路之外 部分。每一部分中只能出现两域相邻的情况，否 则同一部分内三个域的交点将不在H-回路上，引 起矛盾。将两部分的域分别以2着色，得到G的一 种4着色方案。
G1为G的真子图，与临界图的定义矛盾。
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6.1 色数
[定理6-1-1] k-临界图G=(V, E), =min{deg(vi)|viV}, 则 k-1。
[证明]反证法：设G是一个 k-临界图且 <k-1。又设 v0V，deg(v0)= 。由 k-临界图的定义，Gv0 是
(k1)可着色的，在一种 k1着色方案下，Gv0 的 顶点可按照颜色划分成 V1,V2, …, Vk-1 共 k1块， 块Vi中的顶点被涂以颜色 ci。由于deg(v0)< k1，v0 至少与其中一块Vj不邻接即与Vj中的任何顶点不邻 接。此时可将 v0 涂以颜色 cj，从而获得对G的一种 k1着色方案，与G的色数是 k 矛盾。
[色数] 使 G=(V, E) k-可着色的最小 k 值称为G的色数， 记为 (G)。若 (G)=k，称G为 k 色图。
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6.1 色数
[例] 三色图
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6.1 色数
[特殊图的色数] ① 零图：(G)=1 ② 完全图 Kn：(G)=n ③ G是一条回路：(G)=2 若|V|是偶数 (G)=3 若|V|是奇数 ④ G是一棵非平凡树： (G)=2 ⑤ (G)=2的充要条件是: (a) |E|1；(b) G中不存在边数为奇 数的回路。（此时G为二部图） ⑥ 若G1、G2为G的两个连通分支，则 (G)=max{(G1), (G2)} 5