高三数学解析几何单元测试题
2021届高考数学一轮复习：第09章 平面解析几何 检测B卷 单元检测(人教版A)(解析版)
平面解析几何 章节验收测试卷B 卷姓名班级准考证号1．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（ ）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线 【答案】B 【解析】在ABC ∆中，∵sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，由正弦定理可得：BCACλ=， 当1λ=时，BC AC =，过AB 的中点作线段AB 的垂面β， 则点C 在α与β的交线上，即点C 的轨迹是一条直线， 当2λ=时，2BC AC =，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，设BD h =，2AD a =，则22BC CD h =+， 在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，以AD 的中点为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，则22()CA x a y =++，22()CD x a y =-+，222()CB x a y h =-++，∴22222()2()x a y h x a y -++=++，化简可得2222516393a h x a y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭.∴C 的轨迹是圆． 故选：B ．2．已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．24-B ．14-C ．36-D ．33-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3，又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =u u u u r u u u u r ，1220x x ⇒+=…①联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k=-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④． 由③④可得2112k =，∵k 0<．∴3k =. 故选：C ．3．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c=2,213PF F S ∆=，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ） A ．5π B ．4π C ．6π D ．3π 【答案】D 【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（， 可得1222PF PF a -==，可得a=1，22213b =-可得渐近线方程为：3y x =，可得双曲线的渐近线的夹角为3π， 故选D.4．已知,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-,且满足MA MB ^,则MA BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围为（ ） A ．[]3,4 B ．9,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,9D ．9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-为其左焦点.MA MB ^，则有0MA MB ⋅=u u u r u u u r.2()MA BA MA MA MB MA ⋅=⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设(,)M x y ，则223(1)4x y =-.222222211(1)(1)3(1)24(4)444x MA x y x x x x =++=++-=++=+u u u r .由[2,2]x ∈-，得221(4)[1,9]4MA x =+∈u u u r .故选C.5．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==， 12BB =，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ）A ．2B ．3C ．1D ．12【答案】C 【解析】将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使MP AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，13AD =，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，3BE =，所以11PC =. 故选C .6．下列命题中：①若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；②将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ③“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件； ④已知()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则直线200x x y y R +=与该圆相交.其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】对于①，若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；故①正确；对于②，将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故②错误；对于③，“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件，故③正确； 对于④，因为()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则20022x y R +<，所以圆心()0,0到直线200x x y y R +=的距离d R =>，所以该直线与该圆相离，故④错误，故选C.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为l ，圆()22:4C x y b +-=与l 交于第一象限A 、B 两点，若3ACB π∠=，且3OB OA =，其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．3 C．5D．3【答案】D 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为：b y x a =圆()22:4C x y b +-=的圆心坐标为()0,b ，半径为23ACB π∠=Q ABC ∆∴是边长为2的等边三角形∴2AB =，圆心到直线by x a=又2AB OB OA OA =-= 1OA ∴=，3OB = 在OBC ∆，OAC ∆中，由余弦定理得：2223414cos cos 62b b BOC AOC b b+-+-∠=∠==，解得：b =圆心到直线b y x a =c ab ==3c e a ∴===本题正确选项：D8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的焦距为2c ，直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-；以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于,M N两点，若MN =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．35 B ．53C ．3D ．13【答案】C 【解析】双曲线的渐近线的方程为b y x a=±， ∵直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-，∴直线l 的方程为2a c y x b b=-，即20ax by c --=，∵双曲线的右焦点为(),0c ，其到l的距离d c a ==-，又∵半径为c 的圆Ω与直线l 交于,M N两点且MN =， ∴()22259c a c c -+=，化简得2251890c ac a -+=，即()()3530c a c a --=， 得3c a =或35c a =，即3ce a==或35（舍去），故选C.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线b y xa =±b =，则||AF b =，所以||OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1ba=，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±. 10．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.11．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 是直线：3220x y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]10max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()124【答案】D 【解析】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 3220x y +-=上任一点，可得31y x =， 可得312x y x x +=+-， 当0x ≤时，[]31112OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭；当03x <<时，[]31123OP x ⎛⎛=+-∈ ⎝⎝⎭； 当3x ≥[]3113OP x ⎛=-++≥ ⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++Q ，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4Q 点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]max OP ∴=()4正确． 则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ．12．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 为12PF F V 的内心，若121212MPF MPF MF F S S S =+V V V 成立，则双曲线的离心率为( )A ．4B ．52C ．2D ．53【答案】C 【解析】如图，设圆M 与12PF F V 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点E 、F 、G ，连接ME 、MF 、MG ， 则12ME F F ⊥，1MF PF ⊥，2MG PF ⊥，它们分别是12MF F V ，1MPF V ，2MPF V 的高， 111122MPF rS PF MF PF ∴=⨯⨯=V ，222122MPF rS PF MG PF V =⨯⨯=121212122MF F rS F F ME F F =⨯⨯=V ，其中r 是12PF F V 的内切圆的半径．121212MPF MPF MF F S S S =+V V V Q1212224r r rPF PF F F ∴=+ 两边约去2r得：121212PF PF F F =+121212PF PF F F ∴-=根据双曲线定义，得122PF PF a -=，122F F c =2a c ∴=⇒离心率为2ce a== 故选：C ．13．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠4π=，则双曲线的离心率为______.【答案】3 【解析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ，如下图：由圆的切线性质可知：1ON F M ⊥,ON a =，由三角形中位线定理可知：22AF a =，21AF F M ⊥，在12Rt AF F ∆中，2211222AF F F AF b =-=，在2Rt AF M ∆中，12F MF ∠4π=，所以2MA a =，222F M a =，由双曲线定义可知：122F M F M a -=，即222b a a +-=，所以b =，而c =所以c ，因此ce a==即双曲线的离心率为.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】13【解析】由题意知：P ，Q 关于原点对称，可设(),Q m n ，(),P m n -- 又(),0A a ，(),0F c ，则,22a m n M -⎛⎫-⎪⎝⎭ (),FQ m c n ∴=-u u u r ，,22a m n FM c -⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r Q Q ，F ，M 三点共线 //FQ FM ∴u u u r u u u u r()22n a m m c n c -⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭，整理可得：13c a = 即椭圆C 的离心率：13e =本题正确结果：1315．已知椭圆2243x y +=1的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点M ，设M 的坐标为()00,x y ，若12l l ⊥，则下列结论序号正确的有______．①204x +203y ＜1②204x +203y ＞1③04x +03y ＜1 ④2200431x y +>【答案】①③④ 【解析】()()121,0,1,0F F -，因为12l l ⊥，120MF MF =u u u u r u u u u rg ，所以()()()()0000110x x y y --⨯-+-⨯-=即22001x y +=，M 在圆221x y +=上，它在椭圆的内部，故2200143x y +<，故①正确，②错误； O 到直线143x y +=的距离为3412155⨯=>，O 在直线143x y+=的下方， 故圆221x y +=在其下方即00143x y +<，故③正确；22220000431x y x y +≥+=，但222200004,3x x y y ==不同时成立，故22220000431x y x y +>+=，故④成立，综上，填①③④．16．已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且ABF ∆的重心坐标为11(,)23，则FA FB AB-=__________．【答案】17【解析】设点A (),A A x y ,B (),B B x y ,焦点F(1,0),ABF ∆的重心坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭,由重心坐标公式可得1132A B x x ++=,0133A B y y ++=，即1=2A B x x +，=1A B y y + ， 由抛物线的定义可得()22=114A BA B A B y y FA FB x x x x --+-+=-=, 由点在抛物线上可得22=4=4A A B By x y x ⎧⎨⎩，作差2244A B A B y y x x -=-，化简得4=4+A B AB A B A By y k x x y y -==-，代入弦长公式得=--A B A B y y y y ，则17FA FB AB-=，17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+， 以k-替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，2222124||1313k k PQ k k --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭u u u r 221602301396k k =≤++， 当2219k k =时，即33k =±时取等号， max 230||PQ =u u u r ， 又||10AB =u u u r，max23023310λ==，∴λ取得最大值时的PQ 的长为230． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1PQ FQ λ=.（1）若点P 的坐标为()2,3，求椭圆C 的方程及λ的值；（2）若45λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；103λ=（2）37⎢⎣⎦【解析】（1）因为2PF 垂直于x 轴，且点P 的坐标为()2,3， 所以2224a b c -==，22491a b +=， 解得216a =，212b =，所以椭圆的方程为2211612x y +=.所以()12,0F -，直线1PF 的方程为()324y x =+， 将()324y x =+代入椭圆C 的方程，解得267Q x =-，所以126210726327P Q F Q x x PQ FQ x x λ+-====--+. （2）因为2PF x ⊥轴，不妨设P 在x 轴上方，()0,P c y ，00y >.设()11,Q x y ，因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得20b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （方法一）因为()1,0F c -，由1PQ FQ λ=得，()11c x c x λ-=--，211by y aλ-=-，解得111x c λλ+=--，()211b y a λ=--，所以()21,11b Q c a λλλ⎛⎫+-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 因为点Q 在椭圆上，所以()222221111b e aλλλ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭-，即()()()2222111e e λλ++-=-，所以2(2)2e λλ+=-，从而222e λλ-=+. 因为45λ≤≤，所以21337e ≤≤.7e ≤≤， 所以椭圆C的离心率的取值范围⎣⎦.19．已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>1x =（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）由直线1x =，得椭圆过点⎛ ⎝⎭，即221314a b +=，又2c e a ===，得224a b =， 所以24a =，21b =，即椭圆方程为2214x y +=.（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，由222222644(14)(44)1664160k m k m m k ∆=-+-=-++>， 得2214m k <+. 由122814kmx x k +=-+，设AB 的中点M 为()00,x y ，得024114kmx k=-=+，即2144k km +=-， ∴0021144m y kx m k k=+==-+. ∴AB 的中垂线方程为()1114y x k k+=--. 即134y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故AB 的中垂线恒过点3,04N ⎛⎫⎪⎝⎭. 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x C y 13+=：，如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝﹣3于点D （﹣3，m ）．（1）求m 2+k 2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l 过定点． 【答案】（1）2；（2）见解析 【解析】（1）设直线l 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），由题意，t ＞0，由方程组22y kx tx y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3k 2+1）x 2+6ktx+3t 2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k 2+1＞t 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系得1226kt x x 3k 1+=-+，所以1222ty y 3k 1+=+， 由于E 为线段AB 的中点，因此E E223kt tx y 3k 13k 1，=-=++， 此时E OE E y 1k x 3k ==-，所以OE 所在直线的方程为1y x 3k=-，又由题意知D （﹣3，m ），令x ＝﹣3，得1m k=，即mk ＝1， 所以m 2+k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2+k 2取最小值2． （2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为1y x 3k=-， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得22G 3k 13k 1⎛⎫ ++⎝，，又221E D 3k 3k 13k 1，，，⎛⎫⎛⎫- ⎪⎝⎭++⎝， 由距离公式及t ＞0得22222229k 1|OG |((3k 13k 13k 1+=+=+++，()22219k 1OD 3k +⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，2222223kt t 9k 1OE 3k 13k 13k 1⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k （x+1），所以直线l 恒过定点（﹣1，0）．21．已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ，B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ，求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=（2）见证明【解析】（1）设(),P x y ，由动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F=2212x y +=.（2）设AB 的直线方程为1x my =+，则NF 的直线方程为()1y m x =--，联立()12y m x x ⎧=--⎨=⎩，解得()2,N m -，∴直线ON 的方程为2m y x =-，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222my y m +=-+，设AB 的中点为()00,M x y ，则120222y y my m +==-+， ∴002212x my m =+=+，∴222,22m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =-⋅=-++， ∴点M 在直线ON 上，∴ON 平分线段AB .22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>P的坐标为2⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1624 【解析】 （1）由已知2c e a ==，又222a b c =+，则2a b =. 椭圆方程为222214x y b b +=，将)2代入方程得1b =，2a =，故椭圆的方程为2214x y +=；（2）不妨设直线AB 的方程x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，∴0CA CB ⋅=u u u r u u u r，由11(2,)CA x y =-u u u r ，22(2,)CB x y =-u u u r得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()2212121(2)(2)0ky y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍）， 则直线l 恒过点6(,0)5.∴1211||22ABCS DC y y ∆=-== 设211(0)44t t k =<≤+，则ABC S ∆=在1(0,]4t ∈上单调递增， 当14t =时，ABC S ∆取得最大值1624.。
高中数学解析几何测试题(答案版)
高中数学解析几何测试题(答案版)高中数学解析几何测试题(答案版)第一部分：平面解析几何1. 已知平面P1：2x + 3y - 4 = 0和平面P2：5x - 7y + 2z + 6 = 0，求平面P1和平面P2的夹角。
解析：首先，我们需要根据平面的一般式方程确定法向量。
对于平面P1，法向量为(n1, n2, n3) = (2, 3, 0)，对于平面P2，法向量为(n4, n5,n6) = (5, -7, 2)。
根据向量的内积公式，平面P1和平面P2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 * n4 + n2 * n5 + n3 * n6) / √[(n1^2 + n2^2 + n3^2) * (n4^2 + n5^2 + n6^2)]代入数值计算，得到cosθ ≈ 0.760，因此夹角θ ≈ 40.985°。
2. 已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)和D(10, 11, 12)，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。
解析：要判断四边形ABCD是否为平行四边形，我们需要比较四边形的对角线的斜率。
四边形ABCD的对角线分别为AC和BD。
根据两点间距离公式，我们可以计算出AC的长度为√99，BD的长度为√99。
同时，我们还需要计算坐标向量AC = (6, 6, 6)和坐标向量BD = (9, 9, 9)。
由于AC和BD的长度相等，且坐标向量AC与坐标向量BD的比值为1∶1∶1，因此四边形ABCD是一个平行四边形。
第二部分：空间解析几何3. 已知直线L1：(x - 1) / 2 = y / 3 = (z + 2) / -1和直线L2：(x - 4) / 3= (y - 2) / 1 = (z + 6) / 2，判断直线L1和直线L2是否相交，并说明理由。
解析：为了判断直线L1和直线L2是否相交，我们可以通过解方程组的方法来求解交点。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）本题求椭圆的方程只需确定一个未知数，建立一个方程即可，利用椭圆定义及焦点三角形,结合余弦定理可解：由，得，由余弦定理得，（Ⅱ）表明点在线段DE中垂线上，利用韦达定理列等量关系，求出与的关系，再根据判别式大于零，可解出的取值范围试题解析：（1）由，得，由余弦定理得，∴所求的方程为．（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得，由，得①又设中点为，，得②将②代入①得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系2.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____．【答案】，．【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程为．【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．3.如图，为外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，，且，为线段的中点，的延长线交于点，若，则__________；_________．【答案】，．【解析】由切割线定理，∴，，再由相交弦定理，∵是的中点，∴，，则．【考点】1．切割线定理；2．相交弦定理．4.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；5.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．【答案】【解析】由已知及圆的弦切割线定理得，，又知点P是CD的中点，所以，再由相交弦定理得；故答案为：．【考点】圆的性质．6.已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．7.已知双曲线（，）的焦距为，若、、顺次组成一个等比数列，则其离心率为．【答案】【解析】根据题意，有，即，式子两边同时除以，得，结合双曲线的离心率的取值范围，可求得．【考点】双曲线的离心率．8.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．【答案】【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．【考点】椭圆的离心率．9.点M（χ，）是抛物线χ2=2P（P＞0）上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线（）的准线方程是，因为点到该抛物线的焦点的距离为，所以，解得：，所以该抛物线的方程是，因为点是抛物线上的一点，所以，所以点到坐标原点的距离是，故选D．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程．10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为，则为的中点．因为点的坐标为，所以，，所以，即，所以抛物线的方程为，此时，，所以直线的方程为，将其代入抛物线方程可得，，解得或，所以或，所以的面积为，故应选．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点作的垂线，垂足为，则为的中点，然后利用点的坐标为，可求出，进而得出抛物线的方程，从而得出直线的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点的坐标，即可求出的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线的方程．11.已知、、c为正数，（1）若直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）25；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用两直线垂直得到关于正数的关系，再利用基本不等式进行求解；（2）先对不等式左边的每个括号进行因式分解，再利用基本不等式进行证明．试题解析：（1）由已知，有：即：、为正数，当且仅当时取等号，此时：故当时，的最小值是25．（2）、、c为正数，【考点】基本不等式．12.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．【解析】（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．【考点】1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．13.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为．双曲线的右焦点为，所以，即，即，过作准线的垂线，垂足为，则，即，设，则代入，解得．故应选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．14.已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，设，，则可得则，由此可求直线的方程；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得，则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离，则，然后再根据基本不等式即可求出结果．试题解析：（1）因为，故设，，则故则因此直线的方程为；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离则今则，故．【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．点到直线的距离公式；2．基本不等式．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，由此可实现极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）由直线参数方程的标准形式（即参数的几何意义），直线过点，直线上的标准参数方程为，把它代入圆的方程，其解满足，．试题解析：（1）由得，又，则有，配方得圆的标准方程为．（2）直线的普通方程为，点在直线上的标准参数方程为，代入圆方程得：．设对应的参数分别为，则，，于是．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P ，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大．试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得，．化简得，，所以，．当时，，所以．因为点为的中点，所以的坐标为，则．直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为．（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为．【考点】直线与椭圆位置关系17.选修4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为。
高三数学解析几何试题
高三数学解析几何试题1.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】均为直线，其中平行，可以相交也可以异面，故A不正确；m，n⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，选D。
2.已知圆的圆心在直线上，则；圆被直线截得的弦长为____________.【答案】2；8.【解析】标准方程为，可得圆心把圆心坐标代入直线方程中得；即圆心为，圆心到直线的距离，所以弦长等于故答案为2；8.【考点】1.圆的标准方程；2.弦长公式.3.若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且．给出如下四个结论：①圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【答案】B【解析】因为椭圆和椭圆的焦点相同且．，所以，，∴①③正确；又，，∴④正确，故选B．【考点】椭圆的简单性质．4.已知双曲线C：，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦，则点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1．【答案】-16【解析】设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P ，关于点Q的对称点P1则Q为PP的中点，由中位线定理可得，，，由双曲线的定义可得1，则．故答案为：﹣16．【考点】双曲线的简单性质．5.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为χ轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或．【解析】（Ⅰ）利用，代入曲线的方程可得曲线的直角坐标方程，消去可得直线的普通方程；（Ⅱ）先将直线的参数方程代入曲线的方程可得，再利用参数的几何意义可得实数的值．试题解析：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是ρ=4cos化为直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为：（5分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，圆心到直线的距离，∴∴（10分）解法二：把（是参数）代人方程得∵∴∴∴（10分）【考点】1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．6.选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线，，与曲线交于（不包括极点）三点．（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与的值．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）的值为2，的值为．【解析】（1）依题意先表示出，，，根据三角函数公式得．（2）把两点的极坐标，化为直角坐标为，又因为经过点的直线方程为，所以．试题解析：（1）依题意，，．则．（2）当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，是经过点且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，所以．【考点】1、极坐标与直角坐标；2、参数方程．7.如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切线交的延长线于，已知．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）由弦切角定理及已知条件可得，然后由等角对等弧，等弧对等弦使问题得证；（2）易证得∽，根据三角形相似可得比例相等，从而可证得．试题解析：（1）∵与⊙相切于点，∴．又，∴，∴．（2）∵四边形内接于⊙，∴，又，∴∽．∴，即，∴．【考点】1、弦切角定理；2、圆周角定理；3、三角形相似．8.已知为椭圆内一定点，经过引一弦，使此弦在点被平分，则此弦所在的直线方程是 .【答案】【解析】由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为，且设弦的两端点坐标为，，则，两式相减得．∵，∴，∴，∴此弦所在的直线方程为．【考点】直线与椭圆的位置关系.【思路点睛】设出两个交点的坐标，将它们代入椭圆的方程，将两个式子相减得到有关相交弦的中点与相减弦所在直线的斜率关系，求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．在解决直线与圆锥曲线相交关于相交弦的问题时，一般利用将交点坐标代入圆锥曲线的方程，两个式子相减得到中点与斜率的关系．9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线（t为参数），（为参数）．（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若上的点P对应的参数方程为，Q为上的动点，求PQ中点M到直线的距离的最小值．【答案】（Ⅰ）为圆心是，半径是1的圆．为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆；（Ⅱ）．【解析】第一问将所给的参数方程消参，得到相应的普通方程，利用所得的普通方程可以判断出方程所对应的曲线的类型，第二问根据题中所给的参数值，求得点的坐标，设出动点的坐标，利用中点坐标公式求得，将直线方程化成平面直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式化简，利用三角函数的性质得出其最小值为．试题解析：（Ⅰ）．为圆心是，半径是1的圆．为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当时，，故，为直线，M到的距离显然，取得最小值．【考点】参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，动点到定直线的距离的最值．10.已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相切，点是直线上的两点，且，，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）运用椭圆的离心率和椭圆的关系和点满足椭圆方程，即可解得的值，进而得到椭圆的方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件，利用判别式等于，求解实数的值，在由点到直线的距离公式和直角梯形的面积公式即可求得四边形的面积．试题解析：（1）依题意，设椭圆的方程为．因为，又，所以，又点在该椭圆上，所以．解得，．所以椭圆的方程为．将直线的方程，代入椭圆的方程中，得,由直线与椭圆仅有一个公共点可知，，化简得，．设，，又因为，所以．故四边形的面积为．【考点】椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线问题．【方法点晴】本题主要考察了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，着重考查了直线与圆锥曲线的位置关系及应用，把直线方程与圆锥曲线方程联立，根据方程的根与系数的关系是解答此类问题的常用方法和关键，但此类问题思维量和计算量较大，平时主要方法的积累和总结，本题的解答中，把直线的方程代入椭圆的方程，利用的值，利用点到直线的距离公式和，利用梯形的面积公式，从求解四边形的面积．11.（2015秋•通渭县校级期末）抛物线y=x2在点（﹣1，1）处的切线方程为．【答案】2x+y+1=0【解析】直接求出抛物线在点（﹣1，1）处的导数，即切线的斜率，由直线方程的点斜式写出切线方程，化为一般式．解：由y=x2，得：y′=2x，∴y′|x=﹣1=﹣2，所以，抛物线y=x2在点（﹣1，1）处的切线方程为y﹣1=﹣2（x+1），即2x+y+1=0．故答案为2x+y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．12.在极坐标系中，设曲线和相交于点，则＝___________．【答案】【解析】曲线和的直角坐标方程分别为和，把代入方程，得，所以．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相交弦长．13.（2015秋•栖霞市期末）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（0，﹣），（0，），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．（1）求顶点C的轨迹λ的方程，并判断轨迹λ为何种曲线；（2）当m=﹣时，设点P（0，1），过点P作直线l与曲线λ交于E，F两点，且=，求直线l的方程．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）令C点坐标为（x，y），QC 直线AC，直线BC的斜率，利用AC，BC所在直线的斜率之积等于m，求出轨迹方程，分类讨论图形．（2）求出曲线C的方程，通过直线l的斜率不存在时，以及斜率垂直时，直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，设E（x1，y1），F（x2，y2），通过得，以及韦达定理求解直线l的方程．解：（1）令C点坐标为（x，y），则直线AC的斜率，直线BC的斜率，所以有，化简得，．所以当m=﹣1时，λ表示以（0，0）为圆心，为半径的圆，且除去两点；当m ＜﹣1时，轨迹λ表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去两点；当﹣1＜m ＜0时，轨迹λ表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去两点； 当m ＞0时，轨迹λ表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去两点．（2）由题意知当时曲线C 为，当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．设直线l 的方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0． 设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），由得，x 1=﹣3x 2． 由韦达定理得，，所以，，消去x 2，解得，所以直线l 的方程为．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．14. 已知直线l ：y ＝x ＋，圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆E ：＋＝1(a>b>0)的离心率e ＝，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． （1）求椭圆E 的方程；（2）已知动直线l 1 (斜率存在)与椭圆E 交于P ，Q 两个不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝1，若N 为线段PQ 的中点，问：在x 轴上是否存在两个定点A ，B ，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在两定点，，使得直线与的斜率之积为定值．【解析】（1）由椭圆的离心率可列方程，直线被圆所截弦长等于椭圆短轴长，则可列方程求得，从而求得，得到椭圆标准方程；（2）先假设直线，与椭圆方程联立可求得长度（用表示），在利用点到直线的距离求得三角形边上的高，从而利用面积为求得的关系，又因为为中点，所以可用来表示其坐标，并且可求得其轨迹方程，然后再假设坐标，表示出的斜率，并且使斜率之积为定值，从而求得坐标． 试题解析：(1)设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，由题意得e ＝，∵b ＝1，∴a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆E 的方程为(2)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m. 则消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. x 1＋x 2＝，x 1.x 2＝.|PQ|＝.|x 1－x 2|＝原点O 到直线l 1的距离d ＝，则S △OPQ ＝|PQ|.d ＝＝1，∴2|m|.＝1＋4k 2，令1＋4k 2＝n ，∴2|m|.＝n ，∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2. ∵N 为PQ 中点，∴x N ＝＝，y N ＝＝，∵1＋4k 2＝2m 2，∴x N ＝，y N ＝.∴假设x 轴上存在两定点A(s ，0)，B(t ，0)(s≠t)，则直线NA 的斜率k 1＝，直线NB 的斜率k 2＝，∴k 1k 2＝＝＝.当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝，则s ＝，t ＝.综上所述，存在两定点A(，0)，B(，0)，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值. 【考点】点到直线的距离，离心率，两点间距离，求动点的轨迹方程．15. 若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m= ．【答案】【解析】利用离心率公式，建立方程，即可求得双曲线的实轴长． 解：∵，且m ＞0，∴，解得或（舍去）．故答案为：【考点】双曲线的简单性质．16. 如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．（1）求证：； （2）求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】对于问题（1）主要利用两次切割线定理，再结合等量代换即可证明结论；对于问题（2），可由（1）的结论并结合直角三角形的射影定理及等面积法即可得到所求. 试题解析：（1）由以为圆心为半径作圆，而为正方形，所以为圆的切线，依据切割线定理得 另外圆以为直径，所以是圆的切线，同样依据切割线定理得，故． （2）连结，因为为圆直径，所以，由得又在中，由射影定理得，【考点】1、切割线定理；2、直角三角形的射影定理．17. 如图所示，在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．【答案】【解析】令，则，，则，∴，，∴，∴，故答案为．【考点】椭圆的定义．18.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.【考点】1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.19.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且则的值为（）A．2B．C．3D．【答案】A【解析】画出图象如下图所示，依题意可知四边形为菱形，所以,设，则，且，解得,则.【考点】1.双曲线；2.向量运算.【思路点晴】有关圆锥曲线的题目，由图双曲线的方程已经知道了，那么我们就先按题意将图形画出来，这是做圆锥曲线题目的时候第一步要做的.由于题目中，也就是平行四边形的对角线相互垂直，所以可以判断它为菱形，这样它的一组邻边就相等，设出点的坐标，然后解出点的坐标，题目就解决出来了.20.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，选D.【考点】双曲线的离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21.圆的圆心到直线的距离为1，则a=A．B．C．D．2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得，解得，故选A．【考点】圆的方程、点到直线的距离公式【名师】直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．22.设是坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，且是椭圆上不同的两点。
高三数学解析几何试题
高三数学解析几何试题1.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）以为直径的圆经过定点：，证明见解析【解析】第一问根据椭圆的离心率和对应的弦长，求出对应的的值，从而得出椭圆的方程，第二问设出两点的坐标，从而求得直线和直线的方程，从而求得点的坐标，从而写出以为直径的圆的方程，根据点在椭圆上，以及曲线过定点的条件，从而求得所过的定点的坐标．试题解析：（Ⅰ）设，∵直线斜率为时，，∴，∴∴，∵，∴．∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）以为直径的圆过定点．设，则，且，即，∵，∴直线方程为：，∴，直线方程为：，∴，以为直径的圆为即，∵，∴，令，，解得，∴以为直径的圆经过定点：．【考点】椭圆的方程，曲线过定点问题．2.已知圆C的方程为，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【答案】【解析】在直线上至存一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，解之得，故的最大值为．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．圆与圆的位置关系．3.参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是（）A．圆和直线B．直线和直线C．椭圆和直线D．椭圆和圆【答案】D【解析】由题可知，由参数方程可得，极坐标方程，两端同时乘以，可得，由于，化简可得；【考点】•简单曲线的极坐标方程 椭圆的参数方程4.（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为．（Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标以及为等边三角形，列出a与b的关系式，解出a和b的值，从而得出椭圆的标准方程；第二问，通过短轴长为2，得到椭圆的标准方程，再讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率存在时，与椭圆的方程联立，消参，得出、，利用向量垂直的充要条件，列出表达式，解出k的值，从而得到直线的方程．试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为．根据题意知, 解得,故椭圆的方程为．（Ⅱ）容易求得椭圆的方程为．当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意;当直线的斜率存在时,设直线的方程为．由得．设,则对任意都成立，因为,所以,即,解得,即．故直线的方程为或．【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．5.（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在实数使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a和c的值，再利用计算b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到、，由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即，代入和，解出k的值．试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，所以，故所求椭圆C的方程为．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点，，将直线的方程代入，并整理，得．（*）则，．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即．又，于是，解得，经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．6.已知双曲线（，）的离心率为，若抛物线（）的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则．【答案】【解析】,所以双曲线的渐近线方程为，又抛物线的焦点坐标为，由点到直线的距离公式得.【考点】双曲线、抛物线的几何性质.7.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点的直线与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形可得，，再根据直线与圆相切可得的一个关系式，解方程组可得的值．（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．设，根据可得间的关系式．可解得．将其代入椭圆方程可得的关系式，根据的范围可得的范围．试题解析：解：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离（*）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，，代入（*）式得，∴，故所求椭圆方程为（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：，∴，∴．设，，则，由，当，直线为轴，点在椭圆上适合题意；当，得∴．将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，，所以，综上可得．【考点】1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系问题．8.已知椭圆，斜率为1的直线交E于A，B两点，若AB的中点为P，O为坐标原点，则直线OP的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设交点、中点，把A、B两点坐标代入椭圆方程，用点差法可得，因此，故B为正确答案．【考点】1、斜率的求法；2、中点弦问题．9.已知是直线上一动点，是圆C：的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（）A．3B．C．D．2【答案】D【解析】圆的方程可化为，因为四边形的最小面积是，且此时切线长为，故圆心到直线的距离为，即，解得，又，所以．【考点】直线与圆的位置关系．【思路点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，解决本题时先求圆的半径，四边形的最小面积是，转化为三角形的面积是，求出切线长，再求的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值．10.已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．与的取值有关【答案】B【解析】因为，所以，所以，即，所以，故选B．【考点】1．双曲线的几何性质；2．共线向量的性质．11.若直线与曲线相交于两点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，满足条件的斜率存在，直线过点，且在图中阴影中，此时的倾斜角范围为，故选B．【考点】直线与双曲线的位置关系．12.椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2），恒过定点．【解析】（1）因为，左焦点到的距离，解得，，，所以椭圆的方程为；（2）设，联立直线方程与椭圆方程得：，根据直线与圆锥曲线的位置关系得：，，因为为直径的圆过椭圆右顶点，所以，将坐标代入结合根与系数的关系化简得：，解得或都满足，分析两种情况，时，，恒过点，当时，，恒过点．试题解析：（1）由题意得：e＝＝，①左焦点（－c，0）到点P（2，1）的距离为＝，②由①②可解得c＝1，a＝2，b2＝a2－c2＝3．∴所求椭圆C的方程为＋＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx＋m代入椭圆方程得，（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0．∴x1＋x2＝－，x1x2＝，且y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点A2（2，0），∴·＝0．∴（x1－2，y1）·（x2－2，y2）＝（x1－2）（x2－2）＋y1y2＝（x1－2）（x2－2）＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝（k2＋1）x1x2＋（km－2）（x1＋x2）＋m2＋4＝（k2＋1）·－（km－2）·＋m2＋4＝0．整理得7m2＋16km＋4k2＝0．∴m＝－k或m＝－2k都满足Δ＞0．当m＝－2k时，直线l的方程为y＝kx－2k＝k（x－2），恒过定点A2（2，0），不合题意，舍去．当m＝－k时，直线l的方程为y＝kx－k，即y＝k（x－），恒过定点（，0）．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、直线系过定点．【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，利用向量研究垂直关系和直线系恒过定点问题，属于难题．解题时一定要注意涉及直线与圆锥曲线的位置关系时，联立方程组，得一元二次方程后，根据根与系数的关系得：，，待用；过定点问题，需将两参数化为一个，转化为直线系，得出所求定点．13.已知F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点，A为右顶点，B为上顶点），则该椭圆的离心率是______．【答案】【解析】把x c代入椭圆方程求得y=±，∴|PF|=，∵OP∥AB， PF∥OB，∴△PFO∽△ABO，∴，求得b=c，∴e=．【考点】椭圆的离心率．14.已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）y=（x﹣4）．【解析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，求出直线的斜率，即可得到所直线方程．试题解析：（Ⅰ）由条件椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（Ⅱ）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得k2＜，x 1+x2=，由又点A，B的中点横坐标为．可得解得k2=，即有k=±．y=（x﹣4）．直线l的方程：y=（x﹣4）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)直接写出直线、曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)．【解析】（Ⅰ）两式相加消去参数，即得直线的普通方程，利用二倍角公式和进行求解；（Ⅱ）设出椭圆上点的参数坐标，再利用点到直线的距离公式和配角公式、三角函数的性质进行求解．试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为，因为，所以，则，即曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）∵曲线的直角坐标方程为，即，∴曲线上的点的坐标可表示为.∵，∴，∴的最小值为，的最大值为.∴，即的取值范围为.【考点】1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.点到直线的距离公式．16.如图,以的边为直径作圆,圆与边的交点恰为边的中点,过点作于点．（I）求证：是圆的切线；（II）若,求的值．【答案】. （I）见试题解析；（II）【解析】（Ⅰ）由//,可得,所以是⊙的切线.（Ⅱ）根据.是的中点,可得,.再由,所得在直角三角形中,；在直角三角形中,. 故.试题解析：（Ⅰ）如图,连接.因为是的中点,是的中点,所以//.因为,所以,所以是⊙的切线.（Ⅱ）因为是⊙的直径,点在⊙上,所以.又是的中点,所以. 故.因为,所以. 在直角三角形中,；在直角三角形中,.于是.【考点】圆的性质.17.已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）+2．【解析】（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．可得极坐标分别为：，．（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．【考点】参数方程化成普通方程．18.已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．（1）求抛物线C的标准方程；（2）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．【答案】（1）;（2）时，不是“稳定点”;时，与无关.【解析】（1）过抛物线的焦点且和抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦长等于.所以得底,高为.根据面积可求得的值.从而可得抛物线方程. （2）设出直线方程,与抛物线方程联立,消去可得关于的一元二次方程.由题意可知其判别式大于0,由韦达定理可得两根之和,两根之积.从而可求得.注意讨论的正负.试题解析：（Ⅰ）由题意，，，抛物线C的标准方程为．（Ⅱ）设，设直线的方程为，联立得，，，，由对称性，不妨设，（ⅰ）时，，同号，又，，不论取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”；（ⅱ）时，，异号，又，，仅当，即时，与无关，【考点】直线与抛物线的位置关系问题.19.设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，，为坐标原点，且的面积分别为，则（）A．2B．3C．6D．9【答案】B【解析】由题意可知，设，则，由得，即，又在抛物线上，所以，，所以，故选B.【考点】1.向量的坐标运算；2.抛物线的标准方程与性质；3.三角形面积公式.【名师】本题考查向量的坐标运算、抛物线的标准方程与性质、三角形面积公式，中档题.向量与圆锥曲线的相关知识融合，是最近高考命题的热点，解题思路上由向量运算得到坐标之间的关系或几何元素之间的关系，然后再根据圆锥曲线相关的知识经过运算求解.20.若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为．【答案】【解析】若, 则.直线上存在点可作和的两条切线、等价于直线与圆有公共点,由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.【考点】点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.21.已知为椭圆上一点，是焦点，取最大值时的余弦值为，则此椭圆的离心率为______.【答案】【解析】由已知由于为椭圆上一动点，所以当是短轴端点时，有最大值，所以，解得，故答案填.【考点】1、椭圆的几何性质；2、离心率.22.已知椭圆的左焦点和右焦点，上顶点为，的中垂线交椭圆于点，若左焦点在线段上，则椭圆离心率为．【答案】【解析】由题意知，设，则，所以，故，易求得，代入椭圆方程得，解得，所以．【考点】椭圆离心率23.过双曲线的左焦点作圆⊙的切线，且点为，延长交双曲线右支于点，若为的中点，，则双曲线的离心率为（ ) A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为，依题意可得，，则∴，即.【考点】双曲线的几何性质．【名师】在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．(2)求曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令＝0，即得两渐近线方程＝0. 24.选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P．（1）求证：PM2=PA·PC；（2）若⊙O的半径为，OA=OM，求：MN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）做出辅助线连接，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即且，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论；（2）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即，代入所给的条件，得到要求线段的长．试题解析：（1）连结，则，且为等腰三角形，则，，，．由条件，根据切割线定理，有，所以．（2），在中，．延长交⊙于点，连结．由条件易知∽，于是，即，得．所以．【考点】与圆有关的比例线段．25.选修4-1：几何证明选讲如图, 已知为圆的直径,为圆上一点, 连接并延长使,连接并延长交圆于点,过点作圆的切线, 切点为.（1）证明：；（2）若,求的长度.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）连接，然后由直径的性质结合已知条件推出，从而可利用切割线定理证明得结果；（2）首先利用切割线定理求得的长，从而利用勾股定理求得的长．试题解析：（1）连接,为圆的直径,.是圆的切线, 是圆的割线,（2）是圆的切线,是圆的割线,.,得.【考点】1、直径的性质；2、切割线定理．26.已知圆截直线所得弦长为6，则实数的值为（）A．8B．11C．14D．17【答案】B【解析】圆，圆心，半径．故弦心距．再由弦长公式可得；故选B．【考点】直线与圆的位置关系．27.选修4-1：几何证明选讲如图，是的直径，是的切线，交于点.（1）过做的切线，交与点，证明：是的中点；（2）若，求的大小.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）连接，然后利用弦切角定理证得是等腰三角形，再结合直径的性质可使问题得证；（2）首先利用三角函数的定义得到的表达式，然后根据线段间的关系建立方程求解即可．试题解析：（1）证明：连接，∵是的切线，也是的切线，∴弦切角，∴是等腰，，∵是的直径，∴.∴是的外心，即是的中点.（2）解：，中，,，∴；解方程的，∴锐角.【考点】1、弦切角定理；2、直径的性质；3、三角函数的定义．28.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.【答案】（1）的普通方程，的极坐标方程;（2）.【解析】（1）因为为参数，所以利用，消元得到曲线的普通方程，并根据公式，以及代入得到曲线的极坐标方程；（2）联立曲线和的极坐标方程，并消去得到的三角函数，利用，计算三角函数值，并且得到的值.试题解析：（1）消去参数得到的普通方程，将，代入的普通方程，得到的极坐标方程.（2）曲线的公共点的极坐标满足方程组，若，由方程组得，由已知，可解得，根据，得到，当时，极点也为的公共点，在上，所以.【考点】1.参数方程与普通方程以及极坐标方程的互化；（2）极坐标方程的综合应用.29.已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】渐近线方程为,故选C．【考点】双曲线．30.选修4 - 1：几何证明选讲如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。
第八章 平面解析几何(单元总结与测试)
第八章 平面解析几何（单元总结与测试）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的变化范围是( )(A)(0,2π) (B)(0,π)(C)［4π-,4π］ (D)［0,4π］∪［34π,π)2.已知b>0，直线(b 2+1)x+ay+2=0与直线x-b 2y-1=0互相垂直，则ab 的最小值等于( ) （A ）1 （B ）2 （C）（D）3.已知直线l 1与圆x 2+y 2+2y=0相切，且与直线l 2：3x+4y-6=0平行，则直线l 1的方程是( ) (A)3x+4y-1=0 (B)3x+4y+1=0或3x+4y-9=0 (C)3x+4y+9=0 (D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=04．(2013·厦门模拟)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直.l 与C 交于A,B 两点，|AB|＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )(A)18 (B)24 (C)36 (D)485．(2013·福州模拟)若双曲线2222x y a b -=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成7∶5的两段，则此双曲线的离心率为( )(A)986.已知双曲线216y -m 2x 2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47．若PQ 是圆x 2+y 2=16的弦，PQ 的中点是M （1，3），则直线PQ 的方程是( ) （A ）x+3y-4=0 （B ）x+3y-10=0 （C ）3x-y+4=0 （D ）3x-y=08.已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( ) （A ）(x+1)2+(y-1)2=2 （B ）(x-1)2+(y+1)2=2（C）(x-1)2+(y-1)2=2 （D）(x+1)2+(y+1)2=29.已知抛物线y2=2px(p>1)的焦点F恰为双曲线22xa-22yb =1(a>0,b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为( )（A（B1+（C）2 （D）2+10.（易错题）设F1,F2分别是椭圆22xa+22yb=1(a＞b＞0)的左、右焦点,若直线x=2ac上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( )（A）］（B）,1) （C）,1) （D）］二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11．（2012·广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____.12．若k∈R，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．13．已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，则a=____.14．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于______.15.(2012·南平模拟)若点P在直线l1:x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：(x-5)2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为_________.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（13分）设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）.(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若a>-1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.17．（13分）已知动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0倍.（1）试求点C的轨迹方程；（2）已知直线l经过点P（0，1）且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.18．(13分)(探究题)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0),过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为56π,原点到该（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k ，使直线y=kx+2交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D （1，0）？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.19．(13分)(2012·三明模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1),点B 在直线y=-3上，M 点满足MB OA ∥,MB BA MA AB = ,M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)若P 为C 上的动点，l 为C 在P 处的切线，求O 到l 距离的最小值.20.（14分）（预测题）已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2=-y 的焦点是它的一个焦点，又点）在该椭圆上. （1）求椭圆E 的方程;（2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程. 21.（14分）（2012·南平模拟）已知直线l 1:y=2x+m(m<0)与抛物线C 1:y=ax 2(a>0)和圆C 2:x 2+(y+1)2=5都相切，F 是C 1的焦点. （1）求m 与a 的值；（2）设A 是C 1上的一动点，以A 为切点作抛物线C 1的切线l ，直线l 交y 轴于点B ，以FA 、FB 为邻边作平行四边形FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M 所在定直线为l 2，直线l 2与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线C 1于P 、Q 两点，求△NPQ 的面积S 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.直线xsin α-y+1=0的斜率是k=sin α. 又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k ≤1.∴当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是［0，4π］; 当-1≤k<0时，倾斜角的范围是［34π,π).2.【解析】选B.由题意知2b 1a +-·21b =-1,解得a=22b 1b +.所以ab=22b 1b +·b=2b 1b + =1b b +;又因为b>0,故1bb+≥2,当且仅当b=1b,即b=1时取等号.3.【解析】选D.因为l1与l2平行，所以可设直线l1的方程为：3x+4y+c=0,又因为l1与圆x2+y2+2y=0相切，且圆心坐标为（0，-1），半径为1,=1,解得c=9或c=-1，因此l1的方程为3x+4y+9=0或3x+4y-1=0.4．【解析】选C.设抛物线方程为y2=2px(p>0),则|AB|=12=2p,∴p=6. 点P到直线l的距离d=p,∴S△ABP=12•2p•p=p2=36.5．【解析】选C.设双曲线焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0),y2=2bx的焦点F(b2,0),则222bc72b5c2c a b⎧+⎪=⎪⎨-⎪⎪=+⎩,解得c3ba=⎧⎪⎨=⎪⎩,∴e=ca==6．【解析】选C.双曲线的方程可化为2y116-22x1m=1，所以a=14,b=1m,取顶点（0，14），一条渐近线为mx-4y=0.∵15,即m2+16=25,∴m=3.7．【解析】选B.圆心为O（0，0），故直线OM斜率k=3010--=3，因为弦PQ所在直线与直线OM垂直，所以k PQ=13-,其方程为y-3=13-(x-1),整理，得x+3y-10=0.8．【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.【解析】选B.因为两条直线x-y=0与x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以设圆心坐标为P(a,-a),则点P 到两条切线的距离都等于半径,,解得a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.9．【解析】选B.由题意知，p2=c,即p=2c由22222y 2px x y 1a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得b 2x 2-4ca 2x-a 2b 2=0 *由题意知x=c 是方程*的一个根，则有 b 2c 2-4a 2c 2-a 2b 2=0 即c 4-6a 2c 2+a 4=0 ∴e 4-6e 2+1=0 又e>1∴e 2=3++1. 10.【解题指南】根据|F 1F 2|=|PF 2|转化为点F 2到直线x=2a c 的距离小于或等于|F 1F 2|来寻找a,b,c 之间的关系,从而求解.【解析】选B.根据题目条件可知:若直线x=2a c 上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2,则|F 1F 2|=|PF 2|,可转化为点F 2到直线x=2a c 的距离小于或等于|F 1F 2|，亦即2a c -c ≤2c ，解得22c a ≥13，所以e，1）.11．【解析】设2a 、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b=2a,即a=2b,所以b,所以离心率为e=ca =.12．【解析】因为直线y=kx+1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02+12-2a ·0+a 2-2a-4≤0且2a+4>0,解得-1≤a ≤3. 答案：-1≤a ≤313．【解析】因为l 1：(a-2)x+3y+a=0与l 2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直 所以，a(a-2)+3(a-2)=0,解得a=2或a=-3. 答案：2或-314．【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x,-x 2)，根据点到直线的距离公式，得224)33-+,所以当x=23时，d 取得最小值43. 答案：4315.【解析】设曲线C 表示的圆心为C(5，0),由题意可知△PMC 是直角三角形，|CM|=4,当且仅当斜边|CP|最短时，|PM|最小.当CP ⊥l1时,|CP|min,此时|PM|最小且|PM|=4.答案：416．【解析】（1）当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a+2=0，解得a=-2，此时直线l 的方程为-x+y=0，即x-y=0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠-2且a ≠-1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2aa 1++=2+a ，解得a=0，此时直线l 的方程为x+y-2=0. 所以直线l 的方程为x-y=0或x+y-2=0.（2）由直线方程可得M(2aa 1++,0),N(0,2+a),又因为a>-1.故S △OMN =()12a2a 2a 1+⨯⨯++=21a 112a 1++⨯+［()］=()11a 122a 1⨯++++［］≥122⨯［］=2,当且仅当a+1=1a1+,即a=0时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.17．【解题指南】（1）利用直接法列出方程，化简即可.（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】（1）设点C（x,y），则.两边平方，得(x+1)2+y2=2×［(x-1)2+y2］.整理，得（x-3）2+y2=8.故点C的轨迹是一个圆，其方程为（x-3）2+y2=8.（2）由（1），得圆心为M（3，0），半径r=.①若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离d=3≠故该直线与圆不相切；②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+1.由直线和圆相切，得,整理，得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.18．【解析】（1）由ba,12a·b=12,得,b=1,所以椭圆方程是2x3+y2=1. （2）将y=kx+2代入2x3+y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)记P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得（k2+1）x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 ……①又x1x2=293k1+,x1+x2=212k3k1-+,代入①解得k=76-，此时（*）方程Δ>0，∴存在k=76-,满足题设条件. 19．【解析】(1)设M(x,y),B(x,-3),MB=(0,-3-y),BA =(-x,2),MA=(-x,-1-y),AB=(x,-2),∵MB BA MA AB =,∴x 2-4y-8=0,∴曲线C 的方程为：y=14x 2-2. (2)设P(x 0,y 0),∵y ′=12x,∴k=12x 0. 又∵P(x 0,y 0)在曲线C 上，∴y 0=14x 02-2, ∴l 切：y-y 0=12x 0(x-x 0),即:x 0x-2y+2y 0-x 02=0,∴212=+≥12×2=2,当且仅当：=,即x 0=0时等号成立，此时O 到l 距离的最小值为2.20.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为（0,)，故设椭圆方程为22y a +22x a 2- =1（a>2）.将点)代入方程得22a +21a 2-=1，整理得a 4-5a 2+4=0，得a 2=4或a 2=1（舍）,故所求椭圆方程为2y 4+2x 2=1.（2）设直线BC 的方程为x+m ， 设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),代入椭圆方程并化简得4x2+mx+m2-4=0, 由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,可得0≤m2<8. (*)由x1+x2=,x1x2=2m44-,故|x1-x2.又点A到BC的距离为d=m 3,故S△ABC=12|BC|··22 2m(162m)2+-当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号（满足*式），此时直线l的方程为2±.【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.【变式备选】已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，（1）求椭圆的方程，（2）若坐标原点O到直线l，求△AOB面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意caa⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得.由a 2=b 2+c 2,得b=1.∴所求椭圆方程为2x 3+y 2=1.(2)可得m 2=34(k 2+1).将y=kx+m 代入椭圆方程， 整理得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m 2-3=0. Δ=(6km)2-4(1+3k 2)(3m 2-3)>0 (*)∴x 1+x 2=26km13k -+,x 1·x 2=223m 313k -+.∴|AB|2=（1+k 2）(x 2-x 1)2=(1+k 2)22222236k m 12(m 1)(3k 1)3k 1--++［］ =2222212(k 1)(3k 1m )(3k 1)++-+=22223(k 1)(9k 1)(3k 1)+++ =3+24212k 9k 6k 1++=2212123312369k 6k +≤+⨯+++=4(k ≠0)当且仅当9k 2=21k ,即k=.经检验，k=*）式.当k=0时，. 综上可知|AB|max =2.∴当|AB|最大时，△AOB 的面积取最大值S max=122⨯21.【解析】（1）由已知，圆C 2:x 2+(y+1)2=5的圆心为C 2(0,-1)，半径.由题设圆心到直线l 1:y=2x+m的距离,解得m=-6(m=4舍去).设l 1与抛物线的切点为A 0(x 0,y 0),又y ′=2ax,得2ax 0=2⇒x 0=1a ,y 0=1a .代入直线方程得：1a=2a-6,∴a=16，所以m=-6,a=1 6.（2）由（1）知抛物线C1方程为y=16x2,焦点F（0，32）.设A（x1,211x6）,由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=()211111x x x x36-+.令x=0,得切线l交y轴的B点坐标为（0，211x 6）所以FA=（x1,211x6-32）,FB=(0,211x6-32-),∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边的平行四边形，∴FM=FA+FB =（x1，-3）,因为F是定点，所以点M在定直线y=32-上.（3）设直线MF：y=kx+32,代入y=21x6得21x6-kx-32=0,设P、Q两点横坐标分别为x′1,x′2,得x′1+x′2=6k,x′1·x′2=-9，S△NPQ=12|NF||x′1-x′2|=12×3=,∵k≠0,∴S△PQN>9，即△NPQ的面积S范围是（9，+∞）.。
高中解析几何试题及答案
高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。
答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。
2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。
答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。
3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。
答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。
由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。
又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。
将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。
因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。
4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。
答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。
5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。
答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。
高三数学一轮复习 解析几何单元练习题
高三数学一轮复习 解析几何单元练习题第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定的2．下列方程的曲线关于x =y 对称的是 （ ）A ．x 2－x ＋y 2＝1B ．x 2y ＋xy 2＝1C ．x －y =1D ．x 2－y 2＝13．设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线 D ．双曲线4．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．23B ．23 C ．26 D ．332 5．当θ是第四象限时,两直线0cos 1sin =-++a y x θθ和0cos 1=+-+b y x θ的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合6．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A ．1±B ．21±C ．33±D ．3±8．设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知x ，y 满足0))(1(≤+--y x y x ，则22)1()1(+++y x 的最小值是（ ）A ．0B ．21C ．22D ．211．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，Q 、R 分别是圆41)4(22=++y x 和圆41)4(22=+-y x 上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是 （ ）A ．89B ．85C ．10D ．912．动点P (x ,y )是抛物线y =x 2－2x －1上的点,o 为原点,op 2当x=2时取得极小值,求,op 2的最小值 （ ） Ａ．43116- Ｂ．43611+ Ｃ．43611- Ｄ．43116+第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．将直线220x y +-=绕原点逆时针旋转90︒所得直线方程是 . 14．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________．15．已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为 .16．如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过每个 作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。
解析几何单元测试题及答案
解析几何单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 椭圆的标准方程是哪一个？A. \((x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1\)B. \((x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1\)C. \((x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 0\)D. \((x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1\)2. 点P(-1, 3)到直线3x - 4y + 5 = 0的距离是？A. 2B. 3C. 4D. 53. 抛物线 \(y^2 = 4x\) 的焦点坐标是？A. (1, 0)B. (0, 2)C. (1, 2)D. (2, 0)4. 直线 \(ax + by + c = 0\) 与 \(dx + ey + f = 0\) 平行的条件是？A. \(a/d = b/e\)B. \(a/d = b/e ≠ c/f\)C. \(a/d ≠ b/e\)D. \(a/d = b/e = c/f\)5. 圆心在原点，半径为5的圆的标准方程是？A. \(x^2 + y^2 = 25\)B. \((x-5)^2 + y^2 = 25\)C. \(x^2 + y^2 = 5\)D. \((x-5)^2 + y^2 = 5\)二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)，其长轴的长度为________。
7. 点A(2, -1)关于直线 \(x-y-1=0\) 对称的点的坐标是________。
8. 直线 \(2x - 3y + 1 = 0\) 与 \(x + y - 2 = 0\) 的交点坐标是________。
9. 抛物线 \(x^2 = 6y\) 的准线方程是________。
10. 圆 \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0\) 的圆心坐标是________。
高中数学解析几何测试题(答案版)
解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ）A 、12B 、12- C 、13D 、13-3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．210x y ++=D ．210x y +-=6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．0,4B ．0,2C ．2,4D ．4,27．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ）A.（x －2)2+(y+3)2=12B.（x －2)2+(y+3)2=2C.（x ＋2)2+(y －3)2=12D.（x ＋2)2+(y －3)2=210．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为( )A ．2B ．32C ．12D ．211．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．50x y ++=D ．50x y +-=12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C. ⎡⎢⎣⎦ D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 。
高三数学解析几何习题及答案
数学试卷〔解析几何综合卷〕时间：90分钟，满分：120分一、选择题〔共60分，每小题5分，说明：选做题3选2〕1. 从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n +=中的m 和n,则能组成落在矩形区域{(,)|||11,||9}B x y x y =<<且内的椭圆个数为A.43B. 72C. 86D. 902. 若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．43. 短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为〕A ．3B ．6C ．12D ．244. 以双曲线1322=-x y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是A ．4)2(22=+-y xB ．2)2(22=-+y xC ．2)2(22=+-y xD ．4)2(22=-+y x5. 抛物线241x y =的焦点坐标是 A ．〔161，0〕B ．〔0，161〕C ．〔0，1〕D ．〔1，0〕6. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且34παπ<<，则双曲线的离心率的取值X 围是A ．)2,1(B ．)2,2(C ．〔1，2〕D ．)2,1(7.〔选作〕设21,F F 分别是双曲线1922=-y x 的左右焦点．若点P 在双曲线上,且021=•PF PF =+A ．10B ．102C ．5D ．528. 已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足||||OB OA OB OA -=+，则实数a 的值是A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－29. 直角坐标平面内，过点P 〔2，1〕且与圆 224x y +=相切的直线 A ．有两条 B ．有且仅有一条 C ．不存在 D ．不能确定10. 双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为A ．23B ．2C ．3D ．111. 〔选作〕点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点〞，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点〞 B ．直线l 上仅有有限个点是“点〞 C ．直线l 上的所有点都不是“点〞D ．直线l 上有无穷多个点〔点不是所有的点〕是“点〞12. 6A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．22146x y -=D ．221410x y -= 13. 经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 A ．30x y -+=B ．30x y --= C ．10x y +-=D ．30x y ++=二、填空题〔共30分，每小题5分，说明：选作题4选2，注明所选题号。
高三数学(解析几何)单元测试卷
高考中的解析几何1.已知椭圆M:x 2a +y23=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)求椭圆方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.2.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|MA+MB|=OM·(OA+OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C 在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.3.已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.4.已知中心在原点O ,左焦点为F 1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A ,上顶点为B ,F 1到直线AB 的距离为 77|OB|.(1)求椭圆C 的方程; (2)若椭圆C 1的方程为:x 2m +y 2n =1(m>n>0),椭圆C 2的方程为:x 2m +y 2n =λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆.如图,已知C 2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l 交椭圆C2于两点M,N,试求弦长|MN|的取值范围.5.已知动点C是椭圆Ω:x 2a +y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=94的一条直径(A,B是端点),CA·CB的最大值是314.(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.6.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得QP·TP=PQ·TQ?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.7.如图,已知椭圆x 24+y23=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点.(1)若点G的横坐标为-14,求直线AB的斜率;(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.高考中的解析几何参考答案1.解 (1)因为F (-1,0)为椭圆的焦点,所以c=1. 又b 2=3,所以a2=4,所以椭圆方程为x 2+y 2=1. (2)因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1, 所以直线方程为y=x+1,和椭圆方程联立得到 x 2+y 2=1,y =x +1,消掉y ,得到7x 2+8x-8=0, 所以Δ=288,x 1+x 2=-8,x 1x 2=-8,所以|CD|= 21-x 2|= 2× (x 1+x 2)2-4x 1x 2=24. (3)当直线l 无斜率时,直线方程为x=-1, 此时D -1,3 ,C -1,-3,△ABD ,△ABC 面积相等,|S 1-S 2|=0.当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时,设直线方程为y=k (x+1)(k ≠0), 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),与椭圆方程联立得到 x 2+y 2=1,y =k (x +1),消掉y 得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0, 显然Δ>0,方程有根,且x 1+x 2=-8k23+4k2,x 1x 2=4k 2-123+4k2,此时|S 1-S 2|=2||y 1|-|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k (x 2+1)+k (x 1+1)|=2|k (x 2+x 1)+2k| =12|k |3+4k2=123|k |+4|k |≤2 3|k |·4|k |=2 12= 3 当且仅当k =±32时等号成立 ,所以|S 1-S 2|的最大值为 3. 2.解 (1)MA =(-2-x ,1-y ),MB =(2-x ,1-y ),OM =(x ,y ),OA +OB =(0,2), ∵|MA +MB |=OM ·(OA +OB )+2, ∴ 4x 2+4(1-y )2=2y+2, ∴x 2=4y.∴曲线C 的方程为x 2=4y.(2)设Q x 0,x 02 ,则S △QAB =2 1-x02 ,∵y=x 24,∴y'=12x ,∴k l =12x 0,∴切线l 的方程为y-x 024=12x 0(x-x 0)与y 轴交点M 0,-x 02 ,|PM|=1-x 02.直线PA 的方程为y=-x-1,直线PB 的方程为y=x-1,由y=-x-1,y=1x0x-x02,得x D=x0-2,由y=x-1,y=1x0x-x02,得x E=x0+2,∴S△PDE=12|x D-x E|·|PM|=1-x024,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.3.解由题知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A a22,a ,B b22,b ,P-12,a ,Q-12,b ,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. (1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=1|b-a||FD|=1|b-a| x1-1,S△PQF=|a-b|.由题设可得1|b-a| x1-1=|a-b|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得2=yx -1(x ≠1). 而a +b=y ,所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.4.解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∴直线AB 的方程为x -a +y=1.∴F 1(-1,0)到直线AB 的距离d= a 2+b 2=7b ,a 2+b 2=7(a-1)2.又b 2=a 2-1,解得a=2,b= 3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1. (2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212+y 29=1,①若切线l 垂直于x 轴,则其方程为x=±2,易求得|MN|=2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴,可设其方程为y=kx+b ,将y=kx+b 代入椭圆C 的方程,得(3+4k 2)x 2+8kbx+4b 2-12=0, ∴Δ=(8kb )2-4(3+4k 2)(4b 2-12)=48(4k 2+3-b 2)=0, 即b 2=4k 2+3,(*)设M ,N 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),将y=kx+b 代入椭圆C 2的方程,得(3+4k 2)x 2+8kbx+4b 2-36=0, 此时x 1+x 2=-8kb3+4k2,x 1x 2=4b 2-363+4k2,|x 1-x 2|=4 3(12k 2+9-b 2)3+4k2,∴|MN|= 2·4 3(12k 2+9-b 2)3+4k2=4 6 1+k23+4k2=2 6 1+13+4k2.∵3+4k 2≥3,∴1<1+13+4k 2≤43, 即2 6<2 6 1+3+4k2≤4 2.综合①②,得弦长|MN|的取值范围为[2 6,4 2]. 5.解 (1)设点C 的坐标为(x ,y ),则x 2a+y 2=1.连接CG ,由CA =CG +GA ,CB =CG +GB =CG −GA , 又G (0,2),可得CA ·CB =CG 2−GA2=x 2+(y-2)2-94=a (1-y 2)+(y-2)2-94=-(a-1)y 2-4y+a+74,其中y ∈[-1,1]. 因为a>1,所以当y=42(1-a )≤-1,即1<a ≤3时,取y=-1,得CA ·CB 有最大值-(a-1)+4+a+7=27,与条件矛盾; 当y=42(1-a )>-1,即a>3时,CA ·CB的最大值是4(1-a ) a +74 -164(1-a ),由条件得4(1-a ) a +74 -164(1-a )=31,即a 2-7a+10=0, 解得a=5或a=2(舍去). 综上所述,椭圆Ω的方程是x 25+y 2=1.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),PQ 的中点坐标为(x 0,y 0),则满足x 125+y 12=1,x 225+y 22=1,两式相减,整理得y 2-y 1x 2-x 1=-x 2+x 121)=-x00,从而直线PQ 的方程为y-y 0=-x 0(x-x 0),又右焦点F 2的坐标是(2,0),将点F 2的坐标代入PQ 的方程得-y 0=-x 0(2-x 0), 因为直线l 与x 轴不垂直,所以2x 0-x 02=5y 02>0,从而0<x 0<2.假设在线段OF 2上存在点M (m ,0)(0<m<2),使得以MP ,MQ 为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ 的垂直平分线必过点M ,而线段PQ 的垂直平分线方程是y-y 0=5y 0(x-x 0),将点M (m ,0)代入得-y 0=5y 00(m-x 0),得m=4x 0,从而m ∈ 0,8 .6.解 (1)由题意知c=1,又b=tan60°= 3,所以b 2=3,a 2=b 2+c 2=4,所以椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)设直线PQ 的方程为y=k (x-1)(k ≠0),代入x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),线段PQ 的中点为R (x 0,y 0), 则x 0=x 1+x2=4k 23+4k2,y 0=k (x 0-1)=-3k3+4k2,由QP ·TP =PQ ·TQ 得PQ ·(TQ +TP )=PQ ·(2TR )=0, 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线,直线TR 的方程为y+3k3+4k 2=-1k x -4k 23+4k2 ,令y=0得点T的横坐标t=k23+4k2=13k2+4.因为k2∈(0,+∞),所以3k2+4∈(4,+∞),所以t∈0,14.所以线段OF上存在点T(t,0),使得QP·TP=PQ·TQ,其中t∈0,1.7.解(1)依题意可知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x+1),将其代入x24+y23=1,整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-8k 24k2+3.故点G的横坐标为x1+x22=-4k24k2+3=-14,解得k=±12.(2)假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x轴或y 轴垂直.由(1)可得G-4k24k2+3,3k4k2+3.设点D坐标为(x D,0).因为DG⊥AB,所以3k4k2+3-4k24k2+3-x D×k=-1,解得x D=-k24k2+3,即D-k24k2+3,0.因为△GFD∽△OED,且S1=S2,所以|GD|=|OD|.所以-k24k 2+3--4k24k 2+32+ -3k4k 2+32=-k24k 2+3,整理得8k 2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线AB ,使得S 1=S 2. 8.解 (1)设F (c ,0),由1|OF |+1|OA |=3e |FA |,即1+1=3ca (a -c ), 可得a 2-c 2=3c 2,又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4.所以,椭圆的方程为x 24+y 23=1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0),则直线l 的方程为y=k (x-2). 设B (x B ,y B ),由方程组 x 2+y 2=1,y =k (x -2)消去y ,整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x+16k 2-12=0. 解得x=2或x=8k 2-64k 2+3,由题意得x B =8k 2-64k 2+3,从而y B =-12k4k 2+3.由(1)知,F (1,0),设H (0,y H ),有FH =(-1,y H ),BF = 9-4k 24k 2+3,12k4k 2+3.由BF ⊥HF ,得BF ·FH =0,所以4k 2-94k 2+3+12ky H4k 2+3=0,解得y H =9-4k 212k.因此直线MH 的方程为y=-1k x+9-4k 212k. 设M (x M ,y M ),由方程组y =k (x -2),y =-1x +9-4k 2消去y ,解得x M =20k 2+912(k 2+1).在△MAO 中,∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA|≤|MO|,即(x M-2)2+y M2≤x M2+y M2,化简得x M≥1,即20k2+912(k2+1)≥1,解得k≤-6或k≥6.所以,直线l的斜率的取值范围为-∞,-6∪6,+∞.。
高考数学解析几何部分测试习题
高考数学解析几何部分测试习题10．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+5．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23C ．38 D ．32 6、抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617B ．1615C ．87D ．011、点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22 D ．21(12)设直线l:2x+y+2=0,关于原点对称的直线为l ’，若l ’与椭圆x 2+41y 2=1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△APB 面积为21的点P 的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4(5)设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为(A)2±(B)34±(C)21±(D)43±(6)从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为(A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 901．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）A ．5)2(22=+-y xB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )(A)21 (B) 32(C)（4）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π13．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．5．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7．已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º13．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ⋅＝ .(6)已知双曲线 62x - 32y = 1的焦点为F 1、、F 2，点M 在双曲线上且MF 1 ⊥ x 轴，则F 1到直线F 2 M 的距离为 （A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）65（14）设双曲线21a x 2－21by 2＝1(a>0,b>0)的右交点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，若△PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率e=____________________。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
北京市西城区普通中学 高三数学(理科)解析几何 测试题.docx
北京市西城区普通中学 高三数学（理科）解析几何 测试题一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ） （A ） 210x y --= （B ）210x y -+= （C ）220x y +-=（D ）210x y +-=2．已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为( )（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1 （C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=13． k x k y k>-+-=556122是方程的曲线为椭圆时的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件4．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的实轴长，虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为（ ） （A ）43（B ）53（C ）2 （D ）35．抛物线28x y =在()M 4，2处切线方程为（ ） （A ）x y --=20 （B ）x y +-=20 （C ）x y -+=20（D ）x y ++=206．设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0u u u r u u u r u u u r，则FA FB FC ++=（ ）（A ）9（B ）6（C ）4（D ）3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中横线上.7．已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y -=的焦点相同，那么双曲 线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
8．已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =________. 9．12P P 是过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 . 10．如图，OA 是双曲线的实半轴，OB 是虚半轴，F 为焦点， 且∠=︒BAO 30，S ABF∆=12633()-，则设双曲线方程是 .三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 11．（本小题满分12分）已知过点)3,3(--M 的直线l 被圆021422=-++y y x 所截得AB 的弦长为54，求直线l 方程。
新版精选2019高中数学单元测试《平面解析几何初步》测试版题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、填空题1．已知两点()3,1A 、()4,1--B 分别在直线013=++y ax 的同侧，则a 的取值范围是 ▲ ；2．若对任意实数k ，由方程(14)(23)(214)0k x k y k +--+-=所确定的直线都过一个定点，则该点的坐标为_______3．设直线l 的方程为30()ax y a a R ++-=∈（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，则l 的方程为____________-（2）若l 不经过第一象限，则实数a 的取值范围为_______________；（3）若l 恒过定点，则这个定点的坐标为_____________4．若过点()2,1P 的直线l 与圆C:222470x y x y ++--=相交于两点A ，B,且60ACB ∠=(其中C 为圆心)，则直线l 的方程为5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为y ＝1a，如图，由已知 AC ＝3，OA ＝2有OC ＝1a＝1，∴a ＝1.6．已知直线12:10,:1(1)l x y l y k x +-=-=+，圆22:1C x y +=，则直线12,l l 将圆C 所围区域分成三部分的充要条件k ∈ ．7．已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围是 ．8．已知圆 C 与直线 0x y -= 及 40x y --= 都相切，且圆心在直线 0x y += 上，则圆C 的方程为___▲___.9．圆1C ：422=+y x 和2C ：0248622=-+-+y x y x 的位置关系是_______ _____．10．已知圆C l ：22(1)(1)1x y ++-=，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －l =0对称，则圆C 2的方程为 ．11．已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ▲ ． 12．设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，则M 点到直线3420x y +-=的最短距离是 .213．已知△ABC 的两个顶点坐标为B (1,4)、C (6,2)，顶点A 在直线x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为21.则顶点A 的坐标为____ __．14．已知点P （3，5），直线l :3x －2y －7=0，则过点P 且与l 平行的直线方程是 ．15．直线10x y +-=与直线20x ay +-=互相垂直，则实数a 的值为 .16．已知直线l 过点(3,4)A -，倾斜角为60，则直线l 的方程为 ．17．若直线y x m =-与圆22(2)1x y -+=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围为__________；18．“3=a ”是“直线022=++a y ax 和直线07)1(3=+--+a y a x 平行”的 ▲ 条件. (选“充分不必要”、 “必要不充分”、 “既不充分又不必要”、 “充要”填写。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明目标可看做线段成比例，即证明思路确定为证明三角形相似：利用切割线定理得：，又由与相似，得；所以（Ⅱ）由（1）知，，与相似，则，所以试题解析：（1）连接，,,为等边三角形，则，可证与相似，得；又，则（2）由（1）知，，与相似，则因为，所以【考点】三角形相似，切割线定理2.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，圆心；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）消去参数即可将的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 2分圆的直角坐标方程, 4分所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为. 6分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离, 8分所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.：的焦点，且抛物线3.（本题满分12分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】第一问要求抛物线的方程，任务就是求的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得，再根据切点在切线上，得，从而求得，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于和切点横坐标的关系式，从而有，利用基本不等式求得最值．试题解析：（Ⅰ）设点，由得，，求导，……2分因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线C1的方程为．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得，由，得，由方程组，解得，所以，点到切线PQ的距离是，所以，，所以，当且仅当时取“＝”号，即，此时，，所以的最小值为．【考点】导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式．4.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程即可；（Ⅱ）首先设出点，然后联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再结合可列出等式并化简即可得到等式，最后结合已知，即可求出参数的取值范围，进而得出椭圆离心率e的取值范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，得．结合，解得，．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得．设．所以，易知，，因为，，所以．即，将其整理为．因为，所以，即，所以离心率．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；5.（本小题满分12分）椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在两个定点，．【解析】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得②，又③，由①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由△=0，得，假设存在，满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．试题解析：（1），，由题设可知，得①又点在椭圆上，，②③①③联立解得，，故所求椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以，得假设存在，满足题设，则由对任意的实数恒成立，所以，解得，或当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．总上，存在两个定点，，使它们到直线的距离之积等于．……12分【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证．6.直线被圆截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.【考点】点到直线的距离.7.（本小题12分）己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。
解析几何的单元测试卷
解析几何的单元测试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 点P(3,4)关于直线y=x的对称点的坐标是：A. (4,3)B. (-3,-4)C. (-4,3)D. (3,-4)2. 若直线l1: y = 2x + 3与直线l2: y = -x + 5平行，则它们的斜率之差为：A. 3B. 1C. 0D. 不存在3. 椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为长半轴和短半轴的长度。
若a=5，b=3，则椭圆的焦点坐标为：A. (±2,0)B. (0,±2)C. (±4,0)D. (0,±4)4. 抛物线y^2 = 4x的准线方程是：A. x = -1B. x = 1C. y = -1D. y = 15. 点A(1,2)和点B(4,6)之间的距离是：A. 2√2B. 3√2C. √5D. 56. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心到直线4x + 3y = 12的距离是：A. 1B. 2C. 3D. 47. 直线l: ax + by + c = 0与圆O: x^2 + y^2 = r^2相切，那么圆心到直线l的距离是：A. rB. r/2C. r√2D. 2r8. 双曲线的渐近线方程为y = ±(1/√2)x，那么双曲线的离心率为：A. √2B. 2C. √3D. 39. 点P(x,y)在圆(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4内部，那么x^2 + y^2的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 直线l1: y = x + 1与直线l2: x - y + 2 = 0的交点坐标是：A. (-3,-2)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)二、填空题（每题3分，共15分）11. 若直线l: x - 2y + 3 = 0与直线l2: 3x + y - 5 = 0垂直，则它们的斜率之积为______。
高中解析几何试题及答案
高中解析几何试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若点P(2,3)在直线l上，则直线l的方程不可能是（）A. 2x-y+1=0B. x+2y-7=0C. 3x-2y+4=0D. 4x+3y-5=02. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=25，圆心C的坐标为（）A. (1,2)B. (-1,-2)C. (3,-2)D. (-3,2)3. 直线2x+y-3=0与x轴的交点坐标为（）A. (3/2, 0)B. (0, 3)C. (3, 0)D. (0, -3)4. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率k为（）A. 1B. -1C. 0D. 无法确定5. 已知点A(1,2)，B(4,6)，则线段AB的中点坐标为（）A. (2,4)B. (3,4)C. (2.5,4)D. (3,3)6. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，则双曲线C的离心率为（）A. √(1+(b/a)^2)B. √(1-(b/a)^2)C. √(a^2+b^2)D. √(a^2-b^2)7. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若点P(1,2)在抛物线C上，则抛物线C的焦点坐标为（）A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,2)8. 已知椭圆C的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，若椭圆C的离心率为e=√3/2，则椭圆C的长轴与短轴之比为（）A. 2:1B. 1:2C. √3:1D. 1:√39. 若直线l的方程为y=kx+b，且直线l过点(1,2)和(2,3)，则直线l的斜率k为（）A. 1/2B. 1C. 3/2D. 210. 已知直线l1: x+y-1=0与直线l2: 2x-y+3=0平行，则直线l1与l2之间的距离为（）A. √5B. 2√5C. √10D. 2√10二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知直线l的方程为3x-4y+5=0，若点P(2,-1)在直线l上，则直线l与x轴的交点坐标为________。
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时杨中学2009届高三数学单元检测卷（8）
解析几何
时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：
个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）
一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.．
1．过点(1,2)P -，倾斜角为135的直线方程为_______________________
2. 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12
, 则m 等于____________ 3. 焦点在y 轴，实轴长等于8，54e =
的双曲线的标准方程为________________ 4. 若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为________________
5. 椭圆122=+y m x 与双曲线122
=-y n
x (0,1>>n m )有公共的焦点1F 、2F ，它们在第一象限的交点为P ，则21F PF ∆的面积S 等于____________
6. 已知直线l 经过两点(2,5)A -，(1,5)B ，则直线l 的方程为 .
7. 设,A B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2, 且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是 .
8. 过点)3,1()3,1(D C 和-，且在圆心在x 轴上的圆的方程是 .
二、解答题：本大题共3小题，满分40分，第9小题12分，第10、11小题各14分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9. 已知圆22
:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得
的弦长为, 求a 的值, 并求过圆心C 且与直线:30l x y -+=垂直的直线的方程.
10. 求与椭圆22
1259
x y +=0y -=的双曲线的标准方程．
11. 若直线)2(-=x k y 与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若AB 的中点的横坐标是5，
求弦AB 的长．。