二次函数动轴与动区间问题

二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般 分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设 f (x )=ax 2 + bx + c (a0)，求 f (x )在x ［m ，n ］上的最大值与最小值。

b 4ac - b 2 b 分析：将 f (x ) 配方，得顶点为 - ， 、对称轴为 x = -2a4a2 a当a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在［m ，n ］上 f (x )的最值：(1)当- bm ，n 时，f (x ) 的最小值是 f - b= 4ac -b ，f (x ) 的最大值是2a2a 4af (m ) 、f (n ) 中的较大者。

由 f (x ) 在m ，n上是增函数则 f (x ) 的最小值是 f (m ) ，最大值是 f(n )n 上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f (m ) ，最小值是 f(n )当a 0时，可类比得结论。

二、例题分析归类： (一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往 往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定， 区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。

1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定 区间上的最值”。

例 1. 函数 y = -x 2 + 4x - 2 在区间［0，3］上的最大值是 ________ ，最小值是 _______ 。

解：函数y =-x 2 +4x -2=-(x -2)2 + 2是定义在区间［0，3］上的二次函数，其对称轴方 程是x =2 ，顶点坐标为(2，2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。

函数的最大值为 f (2) = 2 ，最小值为 f (0)=-2。

练习. 已知2x 2 3x ，求函数 f (x )= x 2 + x + 1的最值。

2)当-2b am ，n 时若- bm ，2ab，由 f ( x ) 在m ，解：由已知2x 2 3x ，可得0 x 3，即函数 f (x )是定义在区间0， 3上的二次函数。

将二次函数配方得 f (x )=x + 1+ 3，其对称轴方程x =-1 ，顶点坐标- 1 ，2 4 2 2f (0) = 1，最大值为 f3=192、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值”。

例2. 如果函数 f (x )=(x -1)2 +1定义在区间t ，t +1上，求 f (x )的最小值。

解：函数 f (x )=(x -1)2 +1，其对称轴方程为x = 1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上。

4，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间0， 内，如图 2 所示。

函数 f ( x ) 的最小值为如图 1 所示，若顶点横坐标在区间t ， 得最小值 f (x )min = f (t )=(t -1)2 +1。

如图 2 所示，若顶点横坐标在区间t ，时，函数取得最小值 f (x )min = f (1) =1。

如图 3 所示，若顶点横坐标在区间t ， 函数取得最小值 f (x )min = f (t +1)=t 2 +1 (t -1)2+1,t 1 1, 0t1 t + 1 t 0t + 1左侧时，有 1 t ，此时，当x = t 时，函数取t +1上时，有t 1t +1，即0t 1。

当x =1t +1右侧时，有t +11，即t 0。

当x =t +1时，综上讨论， f (x )min =图2当a 0时 f (x )maxf ( m )，- b 1( m + n )(如图1)2a 2f ( x )f (x )mi f(n )，- b 1(m + n )(如图2)minf ( n )，- b n (如图3)2af ( m )，- b m (如图5) 2af ( n )，- b n (如图6) 2af (m ) ，当a 0时 f (x )maxf (- )，m - n (如图7) f ( x )min2a 2a f ( m )，- b m (如图8) 2af (n ) ， - b 1(m +n )(如图9) 2a 2- b 1(m +n )(如图10)2a 2f (x )=x -2x +3，当x[t ，t +1](t R )时，求 f (x )的最大值．例3. 已知f ((t 1))=当t t-21t +时3，，f (x )max= f (t +1) = t + 2． (2)当t ≤1≤t +1，即0≤t ≤1时，．根据对称性，若t + t +1 1即2时， f (x )max = f (t )=t -2t +322t + t +1 1 1 若 22 即 2f (x )max = f (t +1) = t + 2t 2 +2,t 12 1t 2 - 2t + 3,t2观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？ 这些问题其实仔细思考就很容易解决。

不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间 的端点或二次函数的顶点取到。

第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它 的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨 论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称 轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

根据这个 理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：，当 解：由已知可求对称轴为x =1时，3)当t +11即t 0时， f (x )max = f (t )=t -2t +3 综上， f (x )max，m - 2b a n (如图4)种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4. 已知x 21，且a -20，求函数 f (x )=x 2 + ax + 3的最值。

解：由已知有-1 x1，a2，于是函数 f (x )是定义在区间-1，1上的二次函数，当-a 即a - 时， f(x)max = f(2)=4a +5；当-a即a - 时， f(x)max = f(-1)=2a +2。

综上所述： f(x)max=-2 a + 2 , a-2 4a + 5 ,a -2(2)函数y =-(x - a 2)2 + a 4 图象的对称轴方程为x = a 2，应分-1 a 21，a 2 -1，a 2 1即将 f (x ) 配方得： f (x )=x + 2+3- 4a二次函数 f (x )的对称轴方程是x = - a顶点坐标为 3- a，图象开口向上3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这 由a2可得x =-a -1，显然其顶点横坐标在区间-1，1的左侧或左端点上。

例5. (1) 求 f(x)= x 2 +2ax +1在区间［-1,2］上的最大值。

(2)求函数 y = -x (x -a )在 x［-1,1］上的最大值。

解：(1)二次函数的对称轴方程为 x =-a ，-2a2，a -2和a 2这三种情形讨论，下列三图分别为1)二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7. 已知函数 f (x )=ax 2 + 2ax +1在区间［-3, 2］上的最大值为4，求实数a 的值。

解： f (x )=a (x +1)2 +1-a ,x[-3,2]1)若a = 0, f (x ) = 1, ，不符合题意。

-2a 2；由图可知 f (x )max4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数， 动区间上的最值”。

已知y =4a (x -a )(a 0),，求u =(x -3) + y 的最小值。

解：将y =4a (x -a )代入u中，得例 6.而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在① ，即 时， ②，即时， 时，a -2；由图可知 f (x )max =f (-1)2)3 2)若a0,则 f (x )max = f (2)=8a +1，由8a +1=4，得a = 38(3)若a0时，则 f (x )max = f (-1)=1-a ，由1-a =4，得a =-33综上知a = 或a =-38x 2例8.已知函数 f (x )= - x + x 在区间［m ,n ］上的最小值是 3 m 最大值是 3n ，求m ，n 的值。

解法1：讨论对称轴中1与m , m + n , n 的位置关系。

2①若 ，则f ( x )max =f (n ) =3n ，解得f (x )min =f (m )=3mm +n f (x )max =f (1)=3n②若 1n ，则 max，无解2 f ( x )min =f (m ) =3m④若，则f (x )max=f (m )=3n，无解f ( x )min =f (n ) =3m综上，m = -4,n = 0解析2：由 f (x ) = - 1 (x -1)2 + 1 ，知3n1 ,n 1 ,，则［m ,n ］(-,1］，2226f ( x ) =f (n ) =3n又∵在［m , n ］上当x 增大时 f (x )也增大所以 max，解得m =-4,n =0f (x )min =f (m )=3m评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避 开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

3例9. 已知二次函数 f(x)=ax 2 + ( 2a -1 )x + 1在区间- 3 ,2上的最大值为3，求实数a 的值。

这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a0与a0两大类五种情形讨论，过程繁 琐不堪。

若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函 数值，再检验其真假，过程就简明多了。

具体解法为：③若 m1m +nf ( x )max =f (1) =3nf (x )min =f (n )=3m ，无解(1)令f(-2a-1)=3，得a=-12a 2此时抛物线开口向下，对称轴方程为x = -2，且-2- 3 ,2故-21不合题意；2(2)令f(2)=3，得a= 1 此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a = 1符合题意；232(3)若f( -3 ) =3，得a =-2232此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a =-2符合题意。

3综上，解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。