二次函数动轴与动区间问题

二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般 分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设 f (x )=ax 2 + bx + c (a

0)，求 f (x )在x ［m ，n ］上的最大值与最小值。

b 4a

c - b 2 b 分析：将 f (x ) 配方，得顶点为 - ， 、对称轴为 x = -

2a

4a

2 a

当a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在［m ，n ］上 f (x )的最值：

(1)当- b

m ，n 时，f (x ) 的最小值是 f - b

= 4ac -b ，f (x ) 的最大值是

2a

2a 4a

f (m ) 、f (n ) 中的较大者。

由 f (x ) 在m ，n

上是增函数则 f (x ) 的最小值是 f (m ) ，最大值是 f

(n )

n 上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f (m ) ，最小值是 f

(n )

当a 0时，可类比得结论。

二、例题分析归类： (一)、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往 往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定， 区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。 1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定 区间上的最值”。

例 1. 函数 y = -x 2 + 4x - 2 在区间［0，3］上的最大值是 ________ ，最小值是 _______ 。

解：函数y =-x 2 +4x -2=-(x -2)2 + 2是定义在区间［0，3］上的二次函数，其对称轴方 程是x =

2 ，顶点坐标为(2，2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的

最大值为 f (2) = 2 ，最小值为 f (0)=-2。

练习. 已知2x 2 3x ，求函数 f (x )= x 2 + x + 1的最值。

2)当-2b a

m ，

n 时

若- b

m ，

2a

b

，由 f ( x ) 在

m ，

解：由已知2x 2 3x ，可得0 x 3，即函数 f (x )是定义在区间0， 3

上的二次函

数。

将二次函数配方得 f (x )=

x + 1

+ 3，其对称轴方程x =-1 ，顶点坐标- 1 ，

2 4 2 2

f (0) = 1，最大值为 f

3

=19

2、轴定区间变 二次函数是确定的，

但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值”。 例2. 如果函数 f (x )=(x -1)2 +1定义在区间

t ，t +1上，求 f (x )的最小值。

解：函数 f (x )=(x -1)2 +1，其对称轴方程为x = 1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上。

4

，且

图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间

0， 内，如图 2 所示。函数 f ( x ) 的最小值为

如图 1 所示，若顶点横坐标在区间

t ， 得最小值 f (x )min = f (t )=(t -1)2 +1。

如图 2 所示，若顶点横坐标在区间

t ，

时，函数取得最小值 f (x )min = f (1) =1。 如图 3 所示，若顶点横坐标在区间

t ， 函

数取得最小值 f (x )min = f (t +1)=t 2 +1 (t -1)2

+1,t 1 1, 0t

1 t + 1 t 0

t + 1左侧时，有 1 t ，此时，当x = t 时，函数取

t +1上时，有t 1t +1，即0t 1。当x =1

t +1右侧时，有t +11，即t 0。当x =t +1时，

综上讨论， f (x )min =

图2

当a 0时 f (x )max

f ( m )，- b 1( m + n )(如图1)

2a 2

f ( x )

f (x )mi f

(n )，- b 1(m + n )(如图2)

min

f ( n )，- b n (如图3)

2a

f ( m )，- b m (如图

5) 2a

f ( n )，- b n (如图

6) 2a

f (m ) ，

当a 0时 f (x )max

f (- )，m - n (如图7) f ( x )min

2a 2a f ( m )，- b m (如图

8) 2a

f (n ) ， - b 1(m +n )(如图9) 2a 2

- b 1(m +n )(如图10)

2a 2

f (x )=x -2x +3，当x

[t ，t +1](t R )时，求 f (x )的最大值．

例3. 已知

f ((t 1))=当t t

-21

t +时3

，

，f (x )

max

= f (t +1) = t + 2

． (2)当t ≤1≤t +1，

即0≤t ≤1时，．

根据对称性

，若t + t +1 1即

2时， f (x )max = f (t )=t -2t +3

22

t + t +1 1 1 若 2

2 即 2

f (x )max = f (t +1) = t + 2

t 2 +2,t 1

2 1

t 2 - 2t + 3,t

2

观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？ 这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间 的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它 的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨 论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称 轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个 理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

，当 解：由已知可求对称轴为x =1

时，

3)当t +1

1即t 0时， f (x )max = f (t )=t -2t +3 综上， f (x )max

，m - 2b a n (如图4)