刚体运动学解析
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2 SPOB SPAC 2 S□OBCA SPOA SPBC
SPOA
SPBC
1 2
S□OBCA
SPOB
SPOC
SPBC
1 2
S□OBCA
SPOA
SPBC
SPOB SPOC SPOA 或 SPOA SPOB SPOC
② 物理关系：
若P点绕OC轴角速度大小为ω 线速度大小 v＝ω×(P到OC的垂直距离) v 是P绕OA速度v1 和绕OB速度 v2 的合成
i
ri ω 即 ri 在ω上的投影 ri ω zi
ω方向即 z 方向，J// 方向
J mi xi2 yi2 zi2 ω zi zi
i
mi
xi2
yi2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
2 i
zi2
i
mi xi2 yi2
i
xi2 yi2 ri 是质元Δmi 到转轴的垂直距离
J mi xi2 yi2 miri2
v1 =ω1×(P到OA的垂直距离) = 2SΔPOA v2 =ω2×(P到OB的垂直距离) = 2SΔPOB
方向：v1 与 v2 反向
v v1 v2 2SPOA 2SPOB 2SPOC
= OC×(P到OC的垂直距离)
比较 v＝ω×(P到OC的垂直距离)
v =OC×(P到OC的垂直距离)
将矢量OA和OB按平行四边形法则合成矢量OC
• 两个转动在C点产生速度的大小分别为：
v1 r11 v1 2SOCA
v2 r22
v2 2SOCB
r2 r1
v1 v2 S□OBCA
• 两个转动在C点产生速度的方向分别为： ω1 v1 垂直平面向外 ω2 v2 垂直平面向里
v1 和 v2 抵消 C 点不动
J mi ri ω ri mr1 ω r1 mr2 ω r2
i
mr1 ω r1 m-r1 ω -r1
2mr1 ω r1
ω 与r1 夹角为α 大小 ω r1 l sin 方向垂直平面向外
r1 与(ω×r1) 垂直 大小 r1 ω r1 l 2 sin
矢量不仅有大小和方 向，还需服从平行四 边形合成法则
有限大角位移不是矢量
角速度是矢量 瞬时角速度与无限小的角位移相联系
证明角速度的合成服从平行四边形法则
刚体中，各质元线速度 v 等于角速度ω乘以它到转轴的垂直距
离r⊥
v =ωr⊥
设刚体绕不动点 O 同时参与角速度分别为ω1和ω2 的两个转动 ω1：转轴 OA，长度等于ω1大小 ω2：转轴 OB，长度等于ω2大小
刚体转动时，尽管单位时间内各点的位移各各不同，但各 点所转过的角度却是全都一样的 在转动中，应当用角度来描述刚体的运动 通过一个共同的角位移、角速度、角加速度来描述刚体 的转动
一般运动 刚体的一般运动可分解为平动与转动
刚体的一般运动＝平动＋转动
角速度
角速度ω矢量：右手法则规定ω的方向，矢量长短表明转动快慢 • 但不是一切具有大小和方向的量都是矢量 有限大角位移的合成 与转动的先后次序有 关，不服从交换律
只要先肯定了刚体作平动，刚体的运动也就归结为质心的运动
转动
刚体中有某根确定的直线始终保持不动，整个刚体绕这根直线 转动－刚体的定轴转动；这根直线称为转动轴
• 定轴转动情况下，轴上所有各点都保持不动 • 刚体各点的速度、加速度一般是各各不同的
根本谈不上“刚体的速度、加速度” ✓ 应当将“刚体的运动”与“刚体内各点的运动”区分 开来
OC 即，OC轴长等于ω大小
两步证明 角速度的合成服从平行四边形法则
§3
刚体定轴转动
定轴转动的动力学 与质点动力学相对应
角动量和角速度的关系
v ωr
把刚体看成质点组
J mi ri vi mi ri ω ri
i
i
A B C A C B A BC
mi ri ri ω ri ωri
§2 刚体运动学
平动
固联在刚体上的任一条直线，在各时 刻的位置始终保持彼此平行的运动
平动和转动
• 刚体各点在同一时刻具有同样的速度和加速度 －刚体的速度、加速度
若刚体不作平动，则根本谈不上“刚体的速度、加速度” 一般地说“刚体的速度、加速度”是无意义的
• 在刚体作平动的情况下，只要知道了刚体内随便那一点的运动情 况，就知道了整个刚体的运动情况 质心运动定理确定刚体质心的运动，从而给出整个刚体的平动
i
i
令 miri2 I 叫做刚体绕定轴的转动惯量
i
• I 反映刚体质量相对于转轴的分布情况 • 同样质量的刚体，由于形状不同，其转动惯量因而不同
J// = Iω
p = mv
I 对应于m，二者都是惯性大小的量度
如何计算转动惯量？
对于质量连续分布的物体
m d m
若密度为ρ
I r2 d m r2 dV
i
J 与ω一般不在同一方向上
P168 例3 刚体由固联在一无质量刚性杆两端的质点 1 和 2 组成（质量m1 = m2 = m），杆长2l，在其中点 O 处与刚性轴 ZOZ’ 成α角斜向固联。 此刚体以角速度ω 绕轴旋转，求角动量的大小和方向。
取O点为参考点 两质点位矢分别为 r1和r2， r1＝-r2 角速度ω 沿OZ方向
刚体中，两不动点 O 和 C 的联线也不动 OC 是轴线 第一步，证明合成矢量OC为转轴方向
第二步，证明绕OC轴转动的ω大小等于OC轴长
取刚体内任一P点（简单起见，取P点在OAB平面内）
① 几何关系：
SPOB
SPOC
SPBC
SOBC
1 2
S□OBCA
过 P 点作 OB 和 AC 垂线 EF
S□OBCA OB EF OB EP PF
1) 均匀细棒绕垂直通过质心转轴的转动惯量
长l，质量m，线密度η= m/l
-l/2
dm dx
O
I x2 d m m x l / 2 2 d x m x3 l / 2 ml 2
方向与杆垂直 J 2ml 2 sin
转动惯量
刚体绕定轴转动的动力学问题
角动量沿转轴 (ω) 方向的分量 J//
取转轴方向为 z J// = Jz 取 ri (xi, yi, zi)，ri 的ω分量为 zi
J mi ri ri ω ri ω ri ri ri ri2 xi2 yi2 zi2
SPOA
SPBC
1 2
S□OBCA
SPOB
SPOC
SPBC
1 2
S□OBCA
SPOA
SPBC
SPOB SPOC SPOA 或 SPOA SPOB SPOC
② 物理关系：
若P点绕OC轴角速度大小为ω 线速度大小 v＝ω×(P到OC的垂直距离) v 是P绕OA速度v1 和绕OB速度 v2 的合成
i
ri ω 即 ri 在ω上的投影 ri ω zi
ω方向即 z 方向，J// 方向
J mi xi2 yi2 zi2 ω zi zi
i
mi
xi2
yi2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
2 i
zi2
i
mi xi2 yi2
i
xi2 yi2 ri 是质元Δmi 到转轴的垂直距离
J mi xi2 yi2 miri2
v1 =ω1×(P到OA的垂直距离) = 2SΔPOA v2 =ω2×(P到OB的垂直距离) = 2SΔPOB
方向：v1 与 v2 反向
v v1 v2 2SPOA 2SPOB 2SPOC
= OC×(P到OC的垂直距离)
比较 v＝ω×(P到OC的垂直距离)
v =OC×(P到OC的垂直距离)
将矢量OA和OB按平行四边形法则合成矢量OC
• 两个转动在C点产生速度的大小分别为：
v1 r11 v1 2SOCA
v2 r22
v2 2SOCB
r2 r1
v1 v2 S□OBCA
• 两个转动在C点产生速度的方向分别为： ω1 v1 垂直平面向外 ω2 v2 垂直平面向里
v1 和 v2 抵消 C 点不动
J mi ri ω ri mr1 ω r1 mr2 ω r2
i
mr1 ω r1 m-r1 ω -r1
2mr1 ω r1
ω 与r1 夹角为α 大小 ω r1 l sin 方向垂直平面向外
r1 与(ω×r1) 垂直 大小 r1 ω r1 l 2 sin
矢量不仅有大小和方 向，还需服从平行四 边形合成法则
有限大角位移不是矢量
角速度是矢量 瞬时角速度与无限小的角位移相联系
证明角速度的合成服从平行四边形法则
刚体中，各质元线速度 v 等于角速度ω乘以它到转轴的垂直距
离r⊥
v =ωr⊥
设刚体绕不动点 O 同时参与角速度分别为ω1和ω2 的两个转动 ω1：转轴 OA，长度等于ω1大小 ω2：转轴 OB，长度等于ω2大小
刚体转动时，尽管单位时间内各点的位移各各不同，但各 点所转过的角度却是全都一样的 在转动中，应当用角度来描述刚体的运动 通过一个共同的角位移、角速度、角加速度来描述刚体 的转动
一般运动 刚体的一般运动可分解为平动与转动
刚体的一般运动＝平动＋转动
角速度
角速度ω矢量：右手法则规定ω的方向，矢量长短表明转动快慢 • 但不是一切具有大小和方向的量都是矢量 有限大角位移的合成 与转动的先后次序有 关，不服从交换律
只要先肯定了刚体作平动，刚体的运动也就归结为质心的运动
转动
刚体中有某根确定的直线始终保持不动，整个刚体绕这根直线 转动－刚体的定轴转动；这根直线称为转动轴
• 定轴转动情况下，轴上所有各点都保持不动 • 刚体各点的速度、加速度一般是各各不同的
根本谈不上“刚体的速度、加速度” ✓ 应当将“刚体的运动”与“刚体内各点的运动”区分 开来
OC 即，OC轴长等于ω大小
两步证明 角速度的合成服从平行四边形法则
§3
刚体定轴转动
定轴转动的动力学 与质点动力学相对应
角动量和角速度的关系
v ωr
把刚体看成质点组
J mi ri vi mi ri ω ri
i
i
A B C A C B A BC
mi ri ri ω ri ωri
§2 刚体运动学
平动
固联在刚体上的任一条直线，在各时 刻的位置始终保持彼此平行的运动
平动和转动
• 刚体各点在同一时刻具有同样的速度和加速度 －刚体的速度、加速度
若刚体不作平动，则根本谈不上“刚体的速度、加速度” 一般地说“刚体的速度、加速度”是无意义的
• 在刚体作平动的情况下，只要知道了刚体内随便那一点的运动情 况，就知道了整个刚体的运动情况 质心运动定理确定刚体质心的运动，从而给出整个刚体的平动
i
i
令 miri2 I 叫做刚体绕定轴的转动惯量
i
• I 反映刚体质量相对于转轴的分布情况 • 同样质量的刚体，由于形状不同，其转动惯量因而不同
J// = Iω
p = mv
I 对应于m，二者都是惯性大小的量度
如何计算转动惯量？
对于质量连续分布的物体
m d m
若密度为ρ
I r2 d m r2 dV
i
J 与ω一般不在同一方向上
P168 例3 刚体由固联在一无质量刚性杆两端的质点 1 和 2 组成（质量m1 = m2 = m），杆长2l，在其中点 O 处与刚性轴 ZOZ’ 成α角斜向固联。 此刚体以角速度ω 绕轴旋转，求角动量的大小和方向。
取O点为参考点 两质点位矢分别为 r1和r2， r1＝-r2 角速度ω 沿OZ方向
刚体中，两不动点 O 和 C 的联线也不动 OC 是轴线 第一步，证明合成矢量OC为转轴方向
第二步，证明绕OC轴转动的ω大小等于OC轴长
取刚体内任一P点（简单起见，取P点在OAB平面内）
① 几何关系：
SPOB
SPOC
SPBC
SOBC
1 2
S□OBCA
过 P 点作 OB 和 AC 垂线 EF
S□OBCA OB EF OB EP PF
1) 均匀细棒绕垂直通过质心转轴的转动惯量
长l，质量m，线密度η= m/l
-l/2
dm dx
O
I x2 d m m x l / 2 2 d x m x3 l / 2 ml 2
方向与杆垂直 J 2ml 2 sin
转动惯量
刚体绕定轴转动的动力学问题
角动量沿转轴 (ω) 方向的分量 J//
取转轴方向为 z J// = Jz 取 ri (xi, yi, zi)，ri 的ω分量为 zi
J mi ri ri ω ri ω ri ri ri ri2 xi2 yi2 zi2