《有理数及其运算》全章复习与巩固(基础)知识讲解

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第8讲 有理数及其运算(基础)

第8讲 有理数及其运算(基础)

《有理数及其运算》全章复习【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类:(1)按定义分类:(2)按性质分类:要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;(2)有理数“0”的作用:作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负,是一个中性数2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.0C要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如.(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可.(3)多重符号的化简:数字前面“”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负. 4.绝对值: (1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 数a 的绝对值记作.(2)几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离. 要点二、有理数的运算 1 .法则:(1)加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.(2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .(3)乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0.(4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a ÷b=a ·(b ≠0) . (5)乘方运算的符号法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.(6)有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行; ③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:-[-(-3)]=-3,-[+(-3)]=3.(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: , .2.运算律:(1)交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ; ②乘法交换律:ab=ba ; (2)结合律: ①加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律:(ab )c=a(bc) (3)分配律:a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒π--a 1b2(3)9-=3(3)27-=-数比较法.要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式(其中1≤,是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:200 000=.【典型例题】类型一、有理数相关概念1.若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)平方;(5)立方,等于它本身.则这个数分别为(1)________;(2)________;(3)________;(4)________;(5)________.举一反三:【变式】(1)的倒数是;的相反数是;的绝对值是.-(-8)的相反数是;的相反数的倒数是_____.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是 _ ;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是.(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m/min.(4) 若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则____ .2.已知|x|=|﹣3|,则x 的值为.3.在下列两数之间填上适当的不等号:________.举一反三:【变式】有理数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,下列各式正确的是()10na⨯10a<n5210⨯321-321-321-21-=++)(323bacd2005200620062007A .a+b<0 B . a ﹣b <0 C . a•b>0 D . >0类型二、有理数的运算4.计算:.举一反三:【变式】计算:(1) (2)类型三、数学思想在本章中的应用5.(1)数形结合思想:有理数a 在数轴上对应的点如图所示,则a ,-a ,1的大小关系.A .-a <a <1B .1<-a <aC .1<-a <aD .a <1<-a (2)分类讨论思想:已知|x|=5,|y|=3.求x-y 的值. (3)转化思想:计算:举一反三:【变式】若a 是有理数,|a|-a 能不能是负数?为什么?11(2)(2)22-⨯÷⨯-()20064261031-+--⨯-3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭类型四、规律探索6.将1,,,,,,…,按一定规律排列如下:请你写出第20行从左至右第10个数是________.【巩固练习】一、选择题 1.的相反数是( ) A .2016B .﹣2016C .D .2.如图,四个有理数在数轴上的对应点M ,P ,N ,Q ,若点M ,N 表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是( )A .点MB . 点NC . 点PD . 点Q3. 在-(-2),-|-7|,-|+1|,|-)511(-|32+,中,负数的个数是 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4.据有关资料显示,2011年遵义市全年财政总收入202亿元,将202亿用科学记数法可表示( )A .2.02×210人B .202×810人C .2.02×910人D .2.02×1010人 5.若-1<a<0,则a ,2a ,a1从小到大排列正确的是( ) A .a 2<a<a 1 B .a <a 1< a 2 C .a 1<a< a 2 D .a < a 2<a16.在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )12-1314-1516-A .6B .-6C .-1D .-1或6 7.a,b 两数在数轴上的位置如图,则下列正确的是( )A . a+b>0B . ab>0C .ba>0 D .a-b>0 8.已知有理数a ,b 在数轴上对应的两点分别是A ,B .请你将具体数值代入a ,b ,充分实验验证:对于任意有理数a ,b ,计算A , B 两点之间的距离正确的公式一定是( ) A .a b - B .||||a b + C .||||a b - D .||a b - 二、 填空题9.计算:23×()2= .10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为:(规定向上为正,向下为负,单位:厘米)+3,0,-1,+5,-4,+2,-3,-2,那么这里0的含义是___________.11.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米,用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米. 12.7=x ,则______=x ; 7=-x ,则______=x . 13.已知实数a , 在数轴上如下图所示,则|1|-a = .14.若|a-2|+|b+3|=0,则3a+2b= . 15.()221---= .16.观察下列各式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗?根据你发现的规律回答:32016的个位数字是 .三、 解答题 17.计算:(1)222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭(2)4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯-- (3)21-49.5+10.2-2-3.5+19(4)323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18.已知a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数,且x 的绝对值为3,求2x 2-(ab-c-d)+|ab+3|的值.19.居民用电计费实行“一户一表”政策,以年为周期执行阶梯电价,即:一户居民全年不超过2880度的电量,执行第一档电价标准为0.48元/度;全年用电量在2880度到4800度之间(含4800),超过2880度的部分,执行第二档电价标准为0.53元/度;全年用电量超过4800度,超过4800度的部分,执行第三档电价标准为0.78元/度.小敏家2014年用电量为3000度,则2014年小敏家电费为多少元?20.先观察下列各式:11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;…;1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,根据以上观察,计算:1111447710+++⨯⨯⨯ (1)20052008+⨯的值.。

有理数及其运算复习精选教学PPT课件

有理数及其运算复习精选教学PPT课件

口答题
(-2)+(-10) (-31)-12
5+(-17) 23-(-10)
(-28)+0 (-10)-(-12)
3、有理数的乘法: 两数相乘,同号得正,异号得负, 绝对值相乘
任何数与0相乘,积仍为0 倒数:乘积为1的两个有理数互为倒数
4、有理数的除法 :
求法:整数、分数、小数 法则一:两数相乘,同号得正,异号 得负,
敞开心胸,便会云蒸霞蔚,快乐将永远伴随着你!
3、在数轴上,点A表示的数是4,则到点A的距离是5的数 是_________
9或-1
绝对值:1、定义: 在数轴上,一个数所对应 的点与原点的距离
2、性质: ①正数的绝对值是它本身
②负数的绝对值是它的相反数 ③0的绝对值还是0
3、比较大小
巩固练习(三)
1、绝对值是4的数有_2__个,分别是__4_和_-_4____;
我开始虚伪,听着谎言却装做一无所知;我学会窥探,四处打听如蛇之祟行,而十分看轻自己; 我的故事越编越好,好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采,只为让他多留一分钟。
最后,我打他一巴掌。干脆痛快,出手的瞬间,像那位绝望的母亲,远远掷出她的高跟鞋。掷中没有?并不重要。 有多爱,就有多不舍;有多温柔,就有多暴烈,爱得唇边有血,眼中有泪,胸口有纠缠的爱与恨,爱到如连体婴般骨肉相连。割爱,就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住,收不下,却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭,我是夜深街上,追逐汽车的女子。而我无声的哭泣,他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼,不慕荣利。假如你喜欢武侠小说,你没有必要愧对红楼梦; 假如你喜欢的人突然销声匿迹,你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去;假如你的朋友不幸,你没有必要怨天尤人;假如你认为张曼玉艳美绝俗,你没有必要眼馋肚饱虐待老婆;假如你已经身心交病,那就去教堂忏悔,没有必要仇视别人的平庸;坦然面对心融神会,快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人,就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外,而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会,如:赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐,助人为乐一介不取的快乐,一片至诚去感化恶人的快乐,热心被人误解依然如故的快乐,信实可靠的服务态度为目的的快乐,尽责任吃苦耐劳的快乐,因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐,使人的容貌永远那么牵挂,一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神,快乐无处不有,唯有胸襟开阔的人,才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作,摄影、观鸟,我们仍然兴复不浅,乐不可支。人生苦短,岁月如流,乐天知命,为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额,为眼前一时的顿挫心胆俱碎?为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱?岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地,无妄之灾,荣 华富贵,香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年,短则数十寒暑,又有何值得耀武扬威的,不过是烟云过眼矣?人生如月,月满则亏,凡事岂能尽人意,但求于心无愧。无愧我心,则恩同再造,那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉,快乐起来吧!芸芸众生,绿水青山,名胜古迹,

《有理数》有理数及其运算PPT课件

《有理数》有理数及其运算PPT课件

分数集合:{-0.314,25%,22,-4 1,0. 3,2 3,…};
7
3
5
非正整数集合:{ -2, 0, …}.
知3-讲
导引:要严格按照各类数的概念进行填写,非负有 理数包含正有理数和0;非正整数包含负整 数和0.
(来自《点拨》)
总结
知3-讲
(1)非负有理数一定是有理数,它包含正有理数和0, 不要误认为是除负有理数以外的任何数;
知2-讲
解:(1)沿顺时针方向转了 12圈记作-12圈; (2)-0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g; (3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米 可能有150 g的误差,即每袋大米的净含量最多 是10 kg+150 g,最少是10 kg-150 g.
(来自教材)
知2-练
C.-6,0.5,0
D.0,6,9
(来自《典中点》)
知识点 2 具有相反意义的量
知2-导
议一议 生活中你见过其他用负数表示的量吗?与同 伴进行交流.
知2-导
“加分与扣分” “上涨量与下 跌量” “零上温度与零下温度”等 都是具有相 反意义的量.为了表 示具有相反意义的量,我们可把 其中一个量规定为正的,用正数 来表示,而把与这个量意义相反 的量规定为负的,用负数来表示. 例如,把上涨3.3%记为+3.3%, 那么下跌0.6%就记为-0.6%.
如果答对题所得的分数用正数表示,那么你 能写出每个队答题得分的情况吗?试完成下表:
答对题的得分 答错题的得分 未回答题的得分
第一队
+6
第二队
-2
知识点 1 正数和负数
知1-讲
1.定义:大于0的数叫做正数,在正数前面加上 符号“-”(负)的数叫做负数.

北师大版(2012)数学七年级上册第2章《有理数及其运算》单元复习课件

北师大版(2012)数学七年级上册第2章《有理数及其运算》单元复习课件

画一条水平直线,在直线上取一点表示0,并把这个点
叫原点,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方
向为正方向,就得到下面的数轴.
.
.
.
.
数轴像什么? ——像一个平放的温度计!
探究新知
数轴的画法:
1.画:画一条水平直线;
2.取:在直线上取一点表示0(原点);
3.定:规定直线上向右的方向为正方向;
4.选:选取某一长度作为单位长度.
探究新知
知识点 2
正数和负数的概念
具有相反意义的量
用正数和负数可以表示具有相反意义的量
• 判断一个数是正数还是负数的方法:从符号上判断,即只含有“+”
或省略符号的数(0除外)是正数,正数前面有“-”的数是负数,
从数的性质上判断,即所有大于0的数都是正数,所有小于0的数都
是负数.
为了表示具有相反意义的量,我们把其中一个量规定为正的,用正数来表
的单位长度建立数轴;(2)在数轴上找出所给数相
对应的点,先通过这个数的符号确定它所对应的点在
数轴上原点的哪一边,再在相应的方向上确定它所对
应的点与原点相距几个单位长度,然后画出点即可.
利用数轴比较有理数大小的三个步骤:
(1)画数轴;
(2)定顺序,确定点在数轴上的左右顺序,标出各
点;
(3)定大小,根据数轴上两个点表示的数,右边的
示;而把与这个量意义相反的量规定为负的,用负数来表示.
我们把正整数、0和负整数统称为整数;
正分数和负分数统称为分数.
探究新知
正整数
整数与分数统称为有理数
整数

负整数
有理数
正分数
分数
负分数

有理数及其运算(复习课)-教学课件

有理数及其运算(复习课)-教学课件
有理数及其运算(复 习课)
目录Biblioteka • 有理数的概念 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的复习题与解析
01 有理数的概念
定义与性质
定义
有理数是可以表示为两个整数之 比的数,包括整数、分数和十进 制数。
性质
有理数具有封闭性、传递性和有 序性等基本性质。
有理数的分类
01
正数
大于0的有理数,包括正整数和正分数。
02
负数
小于0的有理数,包括负整数和负分数。
03

既不是正数也不是负数的有理数。
有理数的表示方法
01
02
03
分数表示
如$frac{a}{b}$,其中$a$ 是分子,$b$是分母,且 $b neq 0$。
小数表示
如$a.bc$,其中$a$是整 数部分,$bc$是小数部分 。
在科学中的应用
在物理学中,有理数被广泛应用 于描述速度、加速度、距离等物
理量。
在化学中,有理数可以用来表示 化学反应中的比例关系和平衡常
数。
在工程学中,有理数被广泛应用 于设计、施工和计算等方面。
05 有理数的复习题与解析
基础题
总结词
掌握有理数的基本概念 和性质
题目1
判断正误:所有的有理 数都是整数。
运算技巧
拆项法
将复杂的混合运算拆分成更简单 的部分,便于计算。
凑整法
通过调整运算顺序或添加适当的项 ,使计算结果更易于观察和计算。
逆向思维法
在解决某些复杂问题时,从结果出 发,逆向推导,简化计算过程。
04 有理数的应用
在数学中的应用
01
有理数是数学中基本的概念之一,是代数、几何等领域 的基础。

《有理数及其运算》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《有理数及其运算》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《有理数及其运算》全章复习与巩固【知识网络】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类:(1)按定义分类:(2)按性质分类:要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;(2)有理数“0”的作用:2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如π.(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号即可.(3)多重符号的化简:数字前面“-”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负.4.绝对值:(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.数a的绝对值记作a.(2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.要点二、有理数的运算1 .法则:(1)加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .3)乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0.4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·1b(b≠0) .5)乘方运算的符号法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.6)有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行;③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:-[-(-3)]=-3,-[+(-3)]=3.(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: 2(3)9-=, 3(3)27-=-.2.运算律:(1)交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ; ②乘法交换律:ab=ba ;(2)结合律: ①加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律:(ab )c=a(bc)(3)分配律:a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法.要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式(其中1≤10a <,n 是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:200 000=5210⨯.【典型例题】 类型一、有理数相关概念1.若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)平方;(5)立方,等于它本身.则这个数分别为(1)________;(2)________;(3)________;(4)________;(5)________.【答案】(1)0; (2)1和-1;(3)正数和0;(4)1和0;(5)-1、0和1【解析】根据定义,把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.举一反三:【变式】(1)321-的倒数是 ;321-的相反数是 ;321-的绝对值是 . -(-8)的相反数是 ;21-的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是 _ ;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是 .(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m /min .(4) 若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,则=++)(323b a cd ____ . 【答案】(1)35-; 213; 213;-8;2 (2)降价5.8元,70.2 元;(3)33.7510⨯;(4)3;2.如果(x -2)2+|y -3|=0,那么(2x -y )2005的值为( ).A .1B .-1C .22006D .32005【思路点拨】利用非负数的性质,求出y ,x 的值再代入计算.【答案】A【解析】 因为(x -2)2,|y -3|都是非负数,且(x -2)2+|y -3|=0, 所以由非负数的性质先求出x=2, y =3的值,代入得: (2x -y )2005=12005=1.【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性.3.在下列两数之间填上适当的不等号:20052006________20062007. 【思路点拨】根据“a-b >0,a-b =0,a-b <0分别得到a >b ,a =b ,a <b ”来比较两数的大小.【答案】 <【解析】解法一:作差法 由于20052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯,所以2005200620062007< 解法二:倒数比较法:因为2006112007112005200520062006=+>+=所以2005200620062007< 举一反三:【变式】比较大小:(1)199-________0.001; (2)23-________-0.68 【答案】(1)< (2)>类型二、有理数的运算4.(1)(﹣12)﹣5+(﹣14)﹣(﹣39)(2)﹣32÷(﹣3)2+3×(﹣2)+|﹣4|(3)()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (4)()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案与解析】解:(1)(﹣12)﹣5+(﹣14)﹣(﹣39)=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8(2)﹣32÷(﹣3)2+3×(﹣2)+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3(3)()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =×60﹣×60﹣×60 =10﹣25﹣8=﹣23(4)()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=﹣×[(﹣)÷(﹣)﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24(5)231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3124575512416543415⎛⎫⎛⎫=⨯-++-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭14575524242412540434⎛⎫=-+⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭12705633012540=-++-+ 1121403912040=-+=举一反三:【变式】计算:(1)11(2)(2)22-⨯÷⨯- (2)()20064261031-+--⨯- 【答案】解:(1)111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= (2)()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想在本章中的应用5.(1)数形结合思想:有理数a 在数轴上对应的点如图所示,则a ,-a ,1的大小关系.A .-a <a <1B .1<-a <aC .1<-a <aD .a <1<-a(2)分类讨论思想:已知|x |=5,|y |=3.求x -y 的值.(3)转化思想:计算:3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭ 【答案与解析】解:(1)将-a 在数轴上标出,如图所示,得到a <1<-a ,所以大小关系为:a <1<-a . 所以正确选项为:D .(2)因为| x |=5,所以x 为-5或5因为|y |=3,所以y 为3或-3.当x =5,y =3时,x -y =5-3=2当x =5,y =-3时,x -y =5-(-3)=8当x =-5,y =3时,x -y =-5-3=-8当x =-5,y =-3时,x -y =-5-(-3)=-2故(x -y )的值为±2或±8(3)原式=33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”.举一反三:【变式】若a 是有理数,|a |-a 能不能是负数?为什么?【答案】解: 当a >0时,|a |-a =a -a =0;当a =0时,|a |-a =0-0=0;当a <0时,|a |-a =-a -a =-2a >0.所以,对于任何有理数a ,|a |-a 都不会是负数.类型四、规律探索6.将1,12-,13,14-,15,16-,…,按一定规律排列如下:请你写出第20行从左至右第10个数是________. 【答案】1200- 【解析】 认真观察可知,第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,……,所以第20行有20个数,从第1行到第20行共有1+2+3+…+20=210个数,所以第20行最后一个数的绝对值应是1210;又由表中可知,凡是分母是偶数的分数是负数,故第20行最后一个数是1210-,以此类推向前10个,则得到第20行第10个数是1 200 .拔高:类型一、有理数相关概念7.已知x与y互为相反数,m与n互为倒数,|x+y|+(a-1)2=0,求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值.【思路点拨】 (1)若有理数x与y互为相反数,则x+y=0,反过来也成立.(2)若有理数m与n互为倒数,则mn=1,反过来也成立.【答案与解析】解:因为x与y互为相反数,m与n互为倒数,(a-1)2≥0,所以x+y=0,mn=1,a=1,所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010=a2-(0+1)a+02009+(-1)2010=a2-a+1.∵a=1,∴原式=12-1+1=1【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.举一反三:【变式1】选择题(1)已知四种说法:①|a|=a时,a>0; |a|=-a时, a<0.②|a|就是a与-a中较大的数.③|a|就是数轴上a到原点的距离.④对于任意有理数,-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4(2)有四个说法:①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是()A.①② B.③④ C.②④ D.①②(3)已知(-ab)3>0,则()A.ab<0 B.ab>0 C.a>0且b<0 D.a<0且b<0(4)若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0,则(x+1)(y-3)(z+5)的值是()A .120B .-15C .0D .-120(5)下列各对算式中,结果相等的是( )A .-a 6与(-a)6B .-a 3与|-a|3C .[(-a)2]3与(-a 3)2D .(ab)3与ab 3【答案】(1)C ;(2)C ;(3)A ;(4)D ;(5)C【变式2】明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”,能搜索到与之相关的结果个数约为4680000,这个数用科学记数法表示为 .【答案】64.6810⨯.8. 在下列两数之间填上适当的不等号:99100-________100101-. 【思路点拨】在a 、b 均为正数的条件下,根据“1a b >,1a b =,1a b <分别得到a >b ,a =b ,a <b ”来比较两数的大小.【答案】 >【解析】解法一:作差法:99100--(100101-) =99100991011001001010010110110010100-⨯+⨯-+==>⨯, ∴99100100101->-. 解法二:作商法:由于99100991019999110010110010010000÷=⨯=<,所以99100100101<. 再根据两个负数,绝对值大的反而小,得到:99100100101->-. 【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用.举一反三:【变式】在下列两数之间填上适当的不等号.1111111-_________111111111-. 【答案】> (提示:倒数法较简便)类型二、有理数的运算9.(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷-()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯ 【答案与解析】 解:(1)原式21111143622332412=-++-= (2)原式543421215239=-⨯⨯⨯=- (3)原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=- (4)原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-= (5)1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-举一反三: 【变式】 (1)225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯-- (2)23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯ 【答案】 解:(1)225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯-- 251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯ 20(3)3=-- 2033=-+ 123=(2)23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯ 955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯ 5951()()942817224=-⨯++=-10.先观察下列各式:11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭; 11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;…;1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,根据以上观察,计算: 1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值. 【答案与解析】 解:原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 1113200812007320086692008⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⨯= 【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭的形式,然后再进行计算. 举一反三:【变式】用简单方法计算: 120180148124181++++ 【答案】解:原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯类型三、数学思想在本章中的应用11.(1)数形结合思想:已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,且|a|>|b|,求|a|-|a+b|-|b-a|的值.A.2b+a B.2b-a C.a D.b(2)分类讨论思想:已知a是任一有理数,试比较|a|与-2a的大小.(3)转化思想:1 (999)35⎛⎫-÷-⎪⎝⎭.【答案与解析】解:(1)从数轴上a、b两点的位置可以看出a<0,b>0,且|a|>|b|,所以|a|-|a+b|-|b-a|=-a+a+b-b+a=a.(2)a可能是正数,0或负数,这就需要分类讨论:当a>0时,|a|=a>0,-2a<0,所以|a|>-2a;当a=0时,|a|=0,-2a=0,所以|a|=-2a;当a<0时,|a|=-a>0,-2a>0,又-a<-2a,所以|a|<-2a.综上所述:当a≥0时, |a|≥-2a;当a<0时,|a|<-2a.(3)1(999)(10001)(35)35⎛⎫-÷-=-+⨯-⎪⎝⎭(1000)(35)1(35)34965=-⨯-+⨯-=.【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”.类型四、规律探索12.下面两个多位数1248624…,6248624…都是按照如下方法得到的:将第1位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位;若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是().A.495 B.497 C.501 D.503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的?当第1个数字是1时,将第1位数字乘以2得2,将2写在第2位上,再将第2位数字2乘以2得4,将其写在第3位上,将第3位数字4乘以2的8,将8写在第4位上,将第4位数字8乘以2得16,将16的个位数字6写在第5位上,将第5位数字6乘以2得12,将12的个位数字2写在第6位上,再将第6位数字2乘以2得4,将其写在第7位上,以此类推.根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和.【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…,后面6248循环,所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4=495,所以选A.【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并表示出来.举一反三:【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示,则排在第10行从左边数第3个位置上的数是()A.1B.1C.1D.1【巩固练习】一、选择题1.下列判断正确的个数有( )(1)任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等.(2)若两个有理数互为相反数,则这两个数互为倒数.(3)如果两个数的绝对值相等,那么这两个有理数也相等.A .0个B .1个C .2个D .3个2.下列各数中最大的是( ).A .23B .-32C .(-3)2D .(-2)33. 在-(-2),-|-7|,-|+1|,|-)511(-|32+,中,负数的个数是 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4.据有关资料显示,2011年遵义市全年财政总收入202亿元,将202亿用科学记数法可表示( )A .2.02×210人B .202×810人C .2.02×910人D .2.02×1010人 5.若-1<a<0,则a ,2a ,a1从小到大排列正确的是( ) A .a 2<a<a 1 B .a <a 1< a 2 C .a 1<a< a 2 D .a < a 2 <a 16.在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A .6B .-6C .-1D .-1或67.a,b 两数在数轴上的位置如图,则下列正确的是( )A . a+b>0B . ab>0C .ba >0 D .a-b>0 8.已知有理数a ,b 在数轴上对应的两点分别是A ,B .请你将具体数值代入a ,b ,充分实验验证:对于任意有理数a ,b ,计算A , B 两点之间的距离正确的公式一定是( )A .a b -B .||||a b +C .||||a b -D .||a b -二、 填空题9.对某种盒装牛奶进行质量检测,一盒装牛奶超出标准质量2克,记作+2克,那么-3克表示_____.10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为:(规定向上为正,向下为负,单位:厘米)+3,0,-1,+5,-4,+2,-3,-2,那么这里0的含义是___________.11.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米,用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米.12.7=x ,则______=x ; 7=-x ,则______=x .13.已知实数a , 在数轴上如下图所示,则|1|-a = .14.若|a-2|+|b+3|=0,则3a+2b= .15.()221---= .16.观察下列算式:23451=+⨯ ,24462=+⨯,25473=+⨯,24846⨯+=,请你在观察规律之后并用你得到的规律填空:250___________=+⨯.三、 解答题17.计算: (1)222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭ (2)4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--(3)21-49.5+10.2-2-3.5+19 (4)323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18.已知a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数,且x 的绝对值为3,求2x 2-(ab -c -d )+|ab+3|的值.19.某地的气象观测资料表明,高度每增加1km ,气温大约下降6℃,若该地地面温度为18℃,高空某处气温为-48℃,求此处的高度.20.先观察下列各式: 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;...;1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,根据以上观察,计算:1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值.【答案与解析】一、选择题1.【答案】A2.【答案】C【解析】只有A 、C 两项的结果为正,只要比较23、(-3)2的大小即可.由23=8,(-3)2=9,可知:(-3)2最大.3.【答案】 C【解析】负数有三个,分别是:-|-7|,-|+1|,)511(-+4.【答案】D5.【答案】C【解析】由-1<a<0可知2a 为正数,而其它两数均为负数,且| a |<a1,所以a >a 1,所以a 1<a< a 2.6.【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17.【答案】D【解析】由图可知,a 、b 异号,且b 的绝对值较大.8.【答案】D【解析】按正负对a ,b 分类讨论.二、填空题9.【答案】低于标准质量3克10.【答案】水位无变化11.【答案】1.02×1014 12.【答案】7,7±± 13.【答案】1-a【解析】由图可知:a-1<0,所以 │a-1│=-(a-1)=1- a14.【答案】0【解析】∵|a-2|+|b+3|=0,∴a-2=0,b+3=0,即a=2,b=-3.∴3a+2b=6-6=0;15.【答案】-5【解析】()221415---=--=-16.【答案】 24852450⨯+=【解析】观察可得规律为:2(4)4(2)n n n ⨯++=+三、解答题17.【解析】解: (1) 原式14929(6)9=-+⨯+-÷ 4918(6)949185485=-++-⨯=-+-=-(2) 原式1111115 11[2(9)]11112 232366⎛⎫=---⨯⨯--=--⨯⨯=--=- ⎪⎝⎭(3)原式=[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]=50.2-55=-4.8(4) 原式=322 33519422519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2794319162700 8251943258⎛⎫=-⨯-⨯+=-⨯=⎪⎝⎭18.【解析】解:将ab=1,c+d=0,|x|=3代入所给式子中得:2×32-1+|1+3|=21.所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=2119.【解析】解:18(48)116km --=则此高空比地面高11km,又地面高度应为0,所以此高空处的高度为11 km.20.【解析】解:原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=。

七年级数学上册《有理数及其运算》知识点

七年级数学上册《有理数及其运算》知识点

七年级数学上册《有理数及其运算》知识点1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l正数的概念:数轴上0右边的数即比0大的数叫正数,形如+1,+0.5,+10.1,0.001…l负数的概念:数轴上0左边的数,形如-3,-0.2,-100…(负号不能省略).l0既不是正数也不是负数,0是整数也是偶数.①正负数的表示方法:盈利,亏损;足球比赛胜,负;收入,支出;提高,降低;上升,下降;②不投入不支出,不盈也不亏,海平面的海拔,某一个标准或基准….用0表示;2.数轴:概念:规定了原点,正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线,数轴有三要素:原点,正方向,单位长度;画法:首先画一条直线;在这条直线上任取一点,作为原点;再确定正方向,一般规定向右为正,画上箭头,反方向为负方向;最后选取适应的长度作为单位长度;数轴上的点与有理数的关系:任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

有理数的大小比较:在数轴上表示的两个数,右边的数比左边的数大,正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.3.相反数:(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数(在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧,并且到原点的距离相等),0的相反数是0;a,b互为相反数a+b=0;(2)求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数,当原数是多个数的和差时,要用括号括起来再添“-”;下面的a,b即可以是数字,字母,也可以是代数式;(3)一般地,数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数,可以是正数、负数、0.4.绝对值:(1)几何定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值;(2)代数定义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;互为相反数的两个数的绝对值相等.(3)对于任何有理数a,都有a的绝对值≥0,即绝对值非负*;若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数同时为0;(4)比较两个负数,绝对值大的反而小;5.倒数:(1)乘积为1的两个数互为倒数,所以数a(a≠0)的倒数是1/a,0没有倒数;(2)求一个整数的倒数,写成这个整数分之一;求一个小数的倒数,先将其化成分数,再求其倒数;求一个带分数的倒数,先将其化为假分数,再求出倒数.(3)用1除以一个非0数,商就是这个数的倒数.6.有理数的四则运算:⑴加法法则:①同号两数相加,符号不变,把绝对值相加;②异号两数相加,绝对值相等时(即互为相反数的两个数)相加得0;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数;有理数加法运算律:交换律和结合律(互为相反数的可先相加;相加可得整数的可先相加;同分母的分数可先相加;符号相同的可先相加;易于通分的可先相加).⑵减法法则:①减去一个数,等于加上这个数的相反数,依据加法法则②加减混合运算,通过减法法则将减法转化为加法,统一成只含有加法运算的和式;减法没有交换律.⑶乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,把绝对值相乘;②任何数同0相乘,得0;(另外1乘任何数都等于这个数本身;-1乘以任何数都等于这个数的相反数.)③几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数是奇数时,积为负;当负因数的个数是偶数时,积为正.乘法的运算律:交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷除法法则:①两数相除,同号得正,异号得负,把绝对值相除;②0除以任何非0的数都得0.③除以一个数,等于乘上这个数的倒数,即.⑸乘方:①求几个相同因数积的运算,叫做乘方;乘方的结果叫做幂;,表示n个相同因数乘积的运算;②负数乘方要用括号括起来;分数乘方要用括号括起来;当指数是1时,可省略不写;③正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数(奇次幂2n+1,2n-1;偶次幂2n);0的正整数次幂都是0.⑹混合运算:①从左到右的顺序进行;②先乘方,再乘除,后加减;如有括号,应先算括号里面的;7.科学记数法(1)把一个大于10的数表示成的形式(其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1,),这种记数方法叫科学记数法;(2)准确数与近似数:与实际完全相符的数是准确数;与实际相接近的数是近似数;(3)精确度:近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示;一般地,把一个数四舍五入到哪一位,就说这个数精确到了那一位;所以,精确度是描述一个近似数的近似程度的量;(4)有效数字:在近似数中,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字;一共包含的数字的个数,叫做有效数字的个数;投诉。

数学 第二单元 有理数及其运算 知识点汇总

数学 第二单元 有理数及其运算 知识点汇总
3. 数轴上的点与有理数的关系: ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示, 正有理数可用原点右边的点表示, 负有理数可用原点左边的点表示, 0 用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来, 但数轴上的点不都表示有理数, 也就是说,有理数与数轴上的点不 是一一对应关系。 (如, 数轴上的点π 不是有理数) 4. 利用数轴比较有理数的大小: 在数轴上表示的两个数, 右边的数总比左边的数大。 正数都大于 0; 负数都小于0; 正数大于一切负数。
七年级-上册
七年级上册-第二章 有理数及其运算
七年级上册-第二章 有理数及其运算
1.有理数 2.数轴 3.绝对值 4.有理数的加法 5.有理数的减法 6.有理数的加减混合运算 7.水位的变化 8.有理数的乘法 9.有理数的除法 10.有理数的乘方 11.科学记数法
七年级上册-第二章 有理数及其运算
思维导图
七年级上册-第二章 有理数及其运算
正数和负数的概念
⒈正数和负数的概念 负数:比 0 小的数 正数:比 0 大的数 0 既不是正数,也不是负数。 注意: ①字母 a 可以表示任意数,当 a 表示正数时,-a 是负数;当 a 表示负数时,-a 是正数;当 a 表示 0 时,-a 仍是 0。 (如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a, -a 就不能做出简单判断) ②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量, 比如:零上 8℃表示为: +8℃; 零下 8℃表示为: -8℃ 3. 0 表示的意义 ⑴0 表示“ 没有”,如教室里有 0 个人,就是说教室里没有人; ⑵0 是正数和负数的分界线,0 既不是正数,也不是负数。

北师大版七年级数学第二章有理数及其运算复习与巩固

北师大版七年级数学第二章有理数及其运算复习与巩固

有理数及其运算复习与巩固【学习目标】1.理解有理数及其运算的意义,提高运算能力.2.能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小;借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值.3.体会转化、归纳等思想;掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题.4.会用科学记数法表示数.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类:(1)按定义分类:(2)按性质分类:要点进阶:(1)用正数、负数表示相反意义的量; (2)有理数“0”的作用:作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数 表示没有3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示 表示某种状态00C 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负,是一个中性数2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.要点进阶:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如π.(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.要点进阶:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号即可.(3)多重符号的化简:数字前面“-”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负.4.绝对值:(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 数a 的绝对值记作a .(2)几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.要点二、有理数的运算1 .法则:(1)加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.(2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .(3)乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0. (4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a ÷b=a ·1b(b ≠0) . (5)乘方运算的符号法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.(6)有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行; ③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.要点进阶:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:-[-(-3)]=-3,-[+(-3)]=3.(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: 2(3)9-=, 3(3)27-=-. 2.运算律:(1)交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ; ②乘法交换律:ab=ba ;(2)结合律: ①加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律:(ab )c=a(bc)(3)分配律:a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法. 要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式(其中1≤10a <,n 是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:200 000=5210⨯.【典型例题】 类型一、有理数相关概念例1.已知x 与y 互为相反数,m 与n 互为倒数,|x+y |+(a-1)2=0,求a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值.举一反三:【变式1】选择题(1)已知四种说法:①|a|=a 时,a>0; |a|=-a 时, a<0. ②|a|就是a 与-a 中较大的数.③|a|就是数轴上a 到原点的距离. ④对于任意有理数,-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4(2)有四个说法:①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数上述说法正确的是( )A .①②B .③④C .②④D .①②(3)已知(-ab)3>0,则( )A .ab<0B .ab>0C .a>0且b<0D .a<0且b<0(4)若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0,则(x+1)(y-3)(z+5)的值是( )A .120B .-15C .0D .-120(5)下列各对算式中,结果相等的是( )A .-a 6与(-a)6B .-a 3与|-a|3C .[(-a)2]3与(-a 3)2D .(ab)3与ab 3例2.如果m ,n 互为相反数,那么|m+n ﹣2016|=________.类型二、有理数的运算例3.(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷-()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯举一反三: 【变式】 (1)225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--(2)23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯例4.定义一种新运算:x*y=,如2*1==2,则(4*2)*(﹣1)= .举一反三:【变式】用简单方法计算: 120180148124181++++类型三、数学思想在本章中的应用例5.(1)数形结合思想:已知有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示,且|a|>|b|,求|a|-|a+b|-|b-a|的值.A .2b+aB .2b-aC .aD .b(2)分类讨论思想:已知a 是任一有理数,试比较|a|与-2a 的大小.(3)转化思想:1(999)35⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭.类型四、规律探索例6.下面两个多位数1248624…,6248624…都是按照如下方法得到的:将第1位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位;若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是( ).A.495 B.497 C.501 D.503举一反三:【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示,则排在第10行从左边数第3个位置上的数是()A.1132B.1360C.1495D.1660【巩固练习】一、选择题1.如图,检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看,最接近标准的是( )A .B .C .D .2. a b -与a 比较大小,必定为( ).A .a b a -<B .a b a ->C .a b a -≤D .这要取决于b3.下列语句中,正确的个数是( ).①一个数与它的相反数的商为-1;②两个有理数之和大于其中任意一个加数;③若两数之和为正数,则这两个数一定都是正数;④若0m n <<,则mn n m <-.A .0B .1C .2D .34.已知||5m =,||2n =,||m n n m -=-,则m n +的值是( ).A .-7B .-3C .-7或-3D .±7或±35.将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1cm ),刻度尺上的“0cm”、“15cm”分别对应数轴上的 3.6x -和,则( ).A .910x <<B .1011x <<C .1112x <<D .1213x <<6. 如图:数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A 、B 、C 、 D 对应的数分别是整数a,b,c,d ,且b-2a=9,那么数轴的原点对应点是 ( ).A .A 点B .B 点C .C 点D .D 点7.有理数a,b,c 的大小关系如图:则下列式子中一定成立的是( ).A .0a b c ++>B .a b c +<C .a c a c -=+D .b c c a ->-8.记12n n S a a a =+++…,令12n n S S S T n+++=…,称n T 为1a ,2a ,…,n a 这列数的“理想数”.已知1a ,2a ,…,500a 的“理想数”为2004,那么8,1a ,2a ,…,500a 的“理想数”为( ).A .2004B .2006C .2008D .2010二、填空题9.已知a 是有理数,有下列判断:①a 是正数;②-a 是负数;③a 与-a 必有一个是负数;④a 与-a 互为相反数,其中正确的有________个.10.绝对值小于4,而不小于2的所有整数有 .11.一种零件的尺寸在图纸上是0.050.027+-(单位:mm ),表示这种零件加工要求最大不超过________,最小不小于________.12.|﹣0.3|的相反数等于 .13.如图,有理数,a b 对应数轴上两点A ,B ,判断下列各式的符号: a b +________0;a b -________0;()()________a b a b +-0;2(1)ab ab +________0.14.已知,,a b c 满足()()()0,0a b b c c a abc +++=<,则代数式a b c a b c++的值是15.某地探空气球的气象观测资料表明,高度每增加1千米,气温大约降低6℃.若该地地面温度为21℃,高空某处温度为-39℃,则此处的高度是 千米.16.观察下列算式:23451=+⨯ ,24462=+⨯,25473=+⨯,24846⨯+=,请你在观察规律之后并用你得到的规律填空:250___________=+⨯.三、 解答题17.计算:(1)24+(﹣22)﹣(+10)+(﹣13)(2)(﹣1.5)+4+2.75+(﹣5)(3)(﹣8)+(﹣7.5)+(﹣21)+(+3)(4)(﹣24)×(﹣++)18.为了节能减排,近期纯电动出租车正式上路运行.某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元;超出3公里后每公里2元;单程超过15公里,超过部分每公里3元.小周要到离家10公里的博物馆参观,若他往返都乘坐纯电动出租车,共需付车费多少元?19.已知三个互不相等的有理数,即可以表示为1,a+b ,a 的形式,又可表示为0,b a ,b 的形式,且x 的绝对值为2,求200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+的值.20.一粒米微不足道,平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒,甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象,老师组织同学们进行了实际测算,称得500粒大米约重10克.现在请你来计算(1)一粒大米重约多少克?(2)按我国现有人口13亿,每年365天,每人每天三餐计算,若每人每餐节约一粒大米,一年大约能节约大米多少千克?(用科学记数法表示)(3)假若我们把一年节约的大米卖成钱,按2元∕千克计算,可卖得人民币多少元?(用科学记数法表示)(4)对于因贫困而失学的儿童,学费按每人每年500元计算,卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学?(5)经过以上计算,你有何感想和建议?。

2022-2023学年七年级数学上册讲义(北师大版)第17讲-有理数及其运算全章复习与巩固(教师版)

2022-2023学年七年级数学上册讲义(北师大版)第17讲-有理数及其运算全章复习与巩固(教师版)

第17讲有理数及其运算全章复习知识点01有理数的分类(1)按照性质分类:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫负分数正分数分数负整数自然数正整数整数有理数0(2)按照符号分类:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0(3)小数分类:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧→→→数不可化为分数,是有理无限不循环小数可化为分数,是有理数无限循环小数无限小数可化为分数,是有理数有限小数小数和统称为非负数;和统称为非正数.【答案】正数;0;负数;0.知识点02相反数(1)相反数的概念:只有_________不同的两个数叫做互为相反数.(2)相反数的意义:掌握相反数是成对出现的,不能单独存在,从数轴上看,除0外,互为相反数的两个数,它们分别在原点两旁且到原点距离相等.(3)多重符号的化简:与“+”个数无关,有奇数个“﹣”号结果为负,有偶数个“﹣”号,结果为正.(4)规律方法总结:求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”,如a 的相反数是﹣a ,m +n 的相反数是﹣(m +n ),这时m +n 是一个整体,在整体前面添负号时,要用小括号.(5)正数的相反数是____________,负数的相反数是____________,零的相反数是____________.(6)互为相反数的两个数分别在原点的____________,并且到原点的____________相等.【注意】相反数等于它本身的数是_________.知识点03绝对值(1)一般地,数轴上表示数a 的点与的距离叫做数a 的绝对值,记作.【答案】原点;a(2)绝对值的几何意义:0-=a a 的几何意义是到原点的距离;b a -的几何意义是a 到b 的距离.【例】5-的几何意义表示5-到原点的距离;5-x 的几何意义表示x 到5的距离;5+x 的几何意义表示x 到5-的距离.(3)正数的绝对值是,负数的绝对值是,0的绝对值是.即当a>0时,a 是它的;当a<0时,a 是它的;当a =0时,a 是.【答案】本身;相反数;0【注意】①绝对值等于它本身的数是__________.②若a a =,那么a 就是非负数;若a a -=,那么a 就是非正数.【答案】正数和0(4)“若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为0”,即若0=+b a ,则00==b a 且.知识点04有理数的加减乘除及其乘方运算1.有理数的加法法则(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)互为相反数的两个数相加得_____;(如果两个数的和为_____,那么这两个数互为相反数)(4)一个数同0相加,仍得这个数.【答案】0;02.有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的_______,即)(b a b a -+=-.【注意】计算过程中,一定要注意符号.【答案】相反数3.有理数的乘法法则(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.(2)任何数同0相乘,都得0.(3)多个有理数相乘的法则:①几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.②几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.倒数:乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】:①0没有倒数;②倒数等于它本身的数有1和-1.(4)有理数的乘法运算律①乘法交换律:ab ba =;②乘法结合律:()()ab c a bc =;③乘法分配律:()a b c ab ac +=+.4.有理数的除法法则(1)除以一个不为0的数,等于乘以这个数的_______.(2)两数相除(被除数不为0),同号得正,异号得负,并把绝对值相除.【注意】:0除以任何不为0的数,都得0.【答案】倒数5.有理数的乘方(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.考点精析考点一基础知识过关1.有理数按照性质分类可分为整数和______,0是正数还是负数?(□正数□负数□都不是)2.a -一定是负数吗?a 和2a 都是______数,它们具有什么性质?在本章通常会考查什么题型?(试举例说明)3.什么是无理数?写几个无理数.和有理数的区别是什么?4.数轴的三要素是______,______,______.5.数轴上的数的特点:(1)左边的数______右边的数(填>或<);(2)越往左数越______,越往右数越______.6.数轴上计算两点之间的距离的方法是____________,计算两点的重点的方法是____________.7.相反数的性质是:若a 、b 互为相反数,则______.8.绝对值的几何意义是?9.正数的绝对值是______,负数的绝对值是______,0的绝对值是______.10.相反数等于它本身的数有______,倒数等于它本身的数有______,绝对值等于它本身的数有______.11.若a a =,那么a 一定是______;若a a -=,那么a 一定是______.由此我们可以得出若y x y x +=+,那么y x +一定是______;若y x y x --=+,那么y x +一定是______.12.去绝对值的方法是正数直接去,负数_________,0既可直接去亦可______.若y x <,则=-y x ______;若y x <,则=--y x ______.13.绝对值几何意义的应用:(1)对于b x a x -+-有最____值,是多少?_______;(2)对于b x a x ---有最____值,是多少?_______;(3)41++-x x 有最____值,是多少?_______;72--+x x 有最____值,是多少?_______;14.除法是否有分配率?(□有□没得)15.对于数8102013.3⨯,在求精确到哪一位时,是否需要展开?(□需要□不需要)在求有效数字有几个时,是否需要展开?(□需要□不需要)16.计算题要多练习,尤其要注意符号.计算过程中,能够用简便运算的要用简便运算.【答案】略,不解释考点二科学计数法1.2022年4月18日,国家统计局发布数据,今年一季度国内生产总值270178亿元.同比增长4.8%,比2021年四季度环比增长1.3%.把27017800000000用科学记数法表示为()A .142.7017810⨯B .132.7017810⨯C .150.27017810⨯D .140.27017810⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数,确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值大于等于10时,n 是正数,当原数绝对值小于1时n 是负数;由此进行求解即可得到答案.【详解】解:1327017800000000 2.7017810⨯=故选B .2.2021年5月11日上午,第七次全国人口普查主要数据结果正式发布.2020年11月1日零时,全国人口共141178万人,与2010年的133972万人相比,增加了7206万人,增长5.38%;年平均增长率为0.53%.数据141178万用科学记数法表示为()A .51.4112810⨯B .814.112810⨯C .91.4112810⨯D .414.112810⨯【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为10n a ⨯,其中11|0|a ≤<,n 为整数.【详解】解:141178万91411780000 1.4117810==⨯.故选C .3.2020年,新冠病毒全球肆虐,据世界卫生组织公布的数据,截至2022年1月16日,美国累计确诊病例超6670万,这个数据用科学记数法表示为()A .666.710⨯B .90.66710⨯C .96.6710⨯D .76.6710⨯【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.【详解】解:6670万=66700000=6.67×107.故选:D .考点二近似数1.用四舍五入法,按括号内的要求对下列数取近似值.(1)0.008435(保留三个有效数字)≈_________;(2)12.975(精确到百分位)≈_________;(3)548203(精确到千位)≈_________;(4)5365573(保留四个有效数字)≈_________.【答案】0.0084412.9855.4810⨯65.36610⨯【解析】【分析】(1)根据有效数字的定义(对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字)即可得;(2)根据精确度的定义(近似数与准确数的接近程度即近似程度,对近似程度的要求,叫做精确度)即可得;(3)根据精确度的定义(近似数与准确数的接近程度即近似程度,对近似程度的要求,叫做精确度)即可得;(4)根据有效数字的定义(对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字)即可得.【详解】解:(1)保留三个有效数字:0.0084350.00844≈,(2)精确到百分位:12.97512.98≈,(3)精确到千位:5548203548000 5.4810≈=⨯,(4)保留四个有效数字:653655735366000 5.36610≈=⨯,故答案为:0.00844,12.98,55.4810⨯,65.36610⨯.2.截止2021年1月10日14:26,美国新冠疫情累计确诊人数为22699938,精确到万位,用科学记数法表示为()A .22.699938×108B .22.7×1010C .2.27×108D .2.270×107【答案】D【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a ×10n ,其中1≤∣a ∣<10,n 为整数.【详解】解:..77226999382269993810227010=⨯≈⨯.故选:D .3.网聚正能量,构建同心圆.以“奋斗的人民,奋进的中国”为主题的2021中国正能量“五个一百”网络精品征集评选展播活动进入火热的展播投票阶段.截至2021年11月26日18点,“五个一百”活动投票量累计13909615次,数据13909615用科学记数法表示并精确到百万位为()A .80.13910⨯B .71.3910⨯C .80.1410⨯D .71.410⨯【答案】D【解析】【分析】首先精确到百万位,再用科学记数法表示.科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式,其中1≤|a |<10,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.【详解】解:原数精确到百万位为:13909615≈14000000,再用科学记数法表示为:14000000=1.4×107,故选D .4.73.28010⨯精确到______位,有______个有效数字,32845676保留5个有效数字为______.【答案】万四##4 3.2846×107【解析】【分析】近似数精确到哪一位,应当看末位数字实际在哪一位,根据有效数字的定义可得32845676保留5个有效数字的结果.【详解】近似数3.280×107精确到万位,有效数字是3,2,8,0四个,32845676保留5个有效数字为3.2846×107.故答案为:万;四;3.2846×107.考点三有理数的分类1.在数3π,-0.4,120 .,3.14,0.1010010001…(每两个之间多一个0),120%,20212020,100,722这9个数中,有理数有______个.2,把下列各数填入相应的大括号内上:10...010010001.07200926014.3618.03------,,,,,,,,,π.有理数集合:{…};整数集合:{…};非正数集合:{…}.【答案】有理数集合:{1,0,76200926014.3618.031----,,,,};整数集合:{102009260--,,,};非正数集合:{1...010010001.0200914.331------,,,,,π}.3.把下列各数填在相应的集合里:3,﹣1,﹣2,0.5,11,103-,﹣0.75,0,30%,π.负数集合:{…};整数集合:{…};正有理数集合:{…}.【答案】见解析【解析】【分析】根据有理数的定义分类即可.【详解】解:负数集合:{﹣1,﹣2,13-,﹣0.75…};整数集合:{3,﹣1,﹣2,0…};正有理数集合:{3,0.5,110,30%…}.故答案为:﹣1,﹣2,13-,﹣0.75;3,﹣1,﹣2,0;3,0.5,110,30%.考点四数轴上点的距离和中点1.数轴上表示5-和3的两点之间的距离是()A.3B.6C.7D.8【答案】D2.已知点A在数轴上所对应的数为2,点A、B之间的距离为5,则点B在数轴上所对应的数是()A.7B.-3C.±5D.-3或7【答案】D【解析】【分析】根据数轴上与点A的距离为5的分为两种情况,在进行计算即可.【详解】解:当点B在A的左边时,即2﹣5=﹣3,当点B在A的右边时,即2+5=7,故B点所表示的数为﹣3或7.故选:D.3.点A、B、C在同一条数轴上,其中点A、B表示的数分别为﹣3、1.若点B到点C的距离为6,则点A 到点C的距离等于()A.3B.6C.3或9D.2或10【答案】D【解析】【详解】解:∵点A、B表示的数分别为﹣3、1,若点B到点C的距离为6,∴当C在B的左侧时,点C表示的数是1﹣6=﹣5,当C 在B 的右侧时,点C 表示的数是1+6=7,点A 与点C 的距离是﹣3﹣(﹣5)=2或7﹣(﹣3)=10.故选:D .4.数轴上点A 和点B 表示的数分别是-1和3,点P 到A 、B 两点的距离之和为6,则点P 表示的数是()A .-3B .-3或5C .-2D .-2或4【答案】D 【分析】根据AB 的距离为4,小于6,分点P 在点A 的左边和点B 的右边两种情况分别列出方程,然后求解即可.【解答】解:∵AB=|3-(-1)|=4,点P 到A 、B 两点的距离之和为6,设点P 表示的数为x ,∴点P 在点A 的左边时,-1-x+3-x=6,解得:x=-2,点P 在点B 的右边时,x-3+x-(-1)=6,解得:x=4,综上所述,点P 表示的数是-2或4.故选:D .5.数轴上点M 与点N 表示的数分别是5和-2,点P 到点M 、N 两点的距离之和为10,则点P 所在的点表示的数是.【答案】6.5或3.5【分析】根据AB 的距离为7,小于10,分点P 在点A 的左边和点B 的右边两种情况,然后求解即可.【解答】解:∵AB=|5-(-2)|=7,点P 到A 、B 两点的距离之和为10,所以P 点可以等于6.5或-3.56.数轴上点A 表示的数是a ,点B 表示的数是b ,则A 、B 两点的距离是,A 、B 两点的中点是.若a =2,b =-4,那么A 、B 两点的中点是.7.在数轴上,点A ,B 表示的数分别是-3和2,则线段AB 的中点表示的数是()A .32B .34C .43D .31【答案】A【解析】考点五利用绝对值化简--++-的值为().1.有理数a、b、c在数轴上位置如图,则a c a b b cA.2a B.2a+2b-2c C.0D.-2c-+--+的值等于()2.表示a,b,c三个数的点在数轴上的位置如图所示,则代数式a b a c b cA.2a-2b-2c B.-2a C.2a-2b D.-2b【答案】B【解析】【分析】a b,a c-是负数,b c+是正数,根据正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的判断-相反数,0的绝对值是0,进行化简;【详解】解:原式=()()()a b a c b c --+---+⎡⎤⎣⎦,a b a c b c =-+-+--,=2a -.3.如图,化简代数式|b -a |-|a -1|+|b +2|的结果是_______.【答案】3.【分析】根据有理数a 、b 在数轴上的位置,可以得出b-a ,a-1、b+2的符号,进而化简即可.【解答】解:由有理数a 、b 、c 在数轴上的位置,可得,-1<b <0,1<a <2,所以有b-a <0,a-1>0,b+2>0,因此|b-a|-|a-1|+|b+2|=a-b-(a-1)+(b+2)=a-b-a+1+b+2=3,故答案为:3.4.有理数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示:化简:|a +b |-|b -1|-|a -c |-|1-c |=_______.【答案】见试题解答内容【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负,利用绝对值的代数意义化简,去括号合并即可得到结果.【解答】解:根据数轴上点的位置得:b <a <0<c <1,∴a+b <0,b-1<0,a-c <0,1-c >0,则原式=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2.考点六非负数的应用1.已知021=++-y x ,则=x ______,=y ______.【答案】1;-22.已知0332)3(2=--+-y x x ,则=x ______,=y ______.【答案】3;63.已知3-+y x 与2)2(-x 互为相反数,则=-+yx yx 2______.【答案】44.已知03)22(2=-++-y x x ,则=x ______,=y ______.【答案】1;2考点七绝对值的几何意义1.若a 为有理数,则|a -3|+|a +4|的最小值是_______,|a +2|-|a -1|的最大值是_______.【答案】7;32.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法,例如|3-1|可表示为数轴上3和1这两点的距离,而31+即()|31|--则表示3和-1这两点的距离.式子1x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与1所对应的点之间的距离,而()22x x +=--,所以2x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-2所对应的点之间的距离.根据以上发现,试探索:(1)直接写出|8(2)|--=____________.(2)结合数轴,找出所有符合条件的整数x ,235x x -++=的所有整数的和.(3)由以上探索猜想,对于任何有理数x ,46x x ++-是否有最小值?如果有,请写出最小值并说明理由;如果没有,请说明理由.【答案】(1)10(2)-3,-2,-1,0,1,2,和为-3(3)有,10【解析】【分析】(1)根据有理数减法法则计算;(2)分析得到2x -表示x 与2的距离,3x +表示x 与-3的距离,由235x x -++=,确定32x -≤≤,进而解答;(3)设-4表示点A ,6表示点B ,x 表示点P ,则()6410AB =--=,分三种情况:当P 在点A 左侧时,当P 在点B 右侧时,当P 在A 、B 之间时,分别求出最小值解答.(1)|8(2)|--=10,故答案为10;(2)2x -表示x 与2的距离,3x +表示x 与-3的距离,∵235x x -++=,∴32x -≤≤,∴整数x =-3,-2,-1,0,1,2,和为-3-2-1+0+1+2=-3;(3)46x x ++-有最小值10,理由如下:设-4表示点A ,6表示点B ,x 表示点P ,则()6410AB =--=,当P 在点A 左侧时,()46221010x x PA PB PA PA AB PA AB PA ++-=+=++=+-+>,当P 在点B 右侧时,()46210210x x PA PB AB PB PB AB PB PB ++-=+=++=+=+>,当P 在A 、B 之间时,4610x x PA PB AB ++-=+==,∴46x x ++-的最小值为10.3.阅读下面材料:点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ,在数轴上A 、B 两点之间的距离AB =|a -b |.回答下列问题:(1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是,数轴上表示x 和-2的两点之间的距离是;(2)数轴上表示a 和1的两点之间的距离为6,则a 表示的数为;(3)若x 表示一个有理数,则|x +2|+|x -4|有最小值吗?若有,请求出最小值;若没有,请说明理由.【答案】(1)4,2x +(2)7或5-(3)有最小值,6【解析】【分析】(1)根据在数轴上A 、B 两点之间的距离为AB =|a ﹣b|即可求解;(2)根据在数轴上A 、B 两点之间的距离为AB =|a ﹣b|即可求解;(3)根据绝对值的几何意义,即可得解.(1)解:()134--=,()22x x --=+故答案为:4,2x +.(2)解:∵16a -=∴7a =或5a =-,故答案为:7或5-.(3)有最小值,6考点八概念辨析1.若两个数之和为负数,则一定是()A .这两个加数都是负数B .这两个加数只能一正一负C .两个加数中,一个是负数,一个是0D .两个加数中至少有一个是负数【答案】D 【解析】【分析】两个数之和为负数有三种情况:两个数都是负数;一正一负,且负数的绝对值大于正数;一个负数,一个是0.【详解】两个数之和为负数有三种情况:两个数都是负数;一正一负,且负数的绝对值大于正数;一个负数,一个是0.由此可知,若两个数之和为负数,则两个加数中至少有一个是负数.故答案为:D .2.下列说法正确的是()A .两个加数之和一定大于每一个加数B .两数之和一定小于每一个加数C .两个数之和一定介于这两个数之间D .以上皆有可能【分析】利用有理数的加法法则判断即可.【解答】解:A 、两个加数之和不一定大于加数,不符合题意;B 、两数之和不一定小于每一个加数,不符合题意;C 、两个数之和不一定介于这两个数之间,不符合题意;D 、以上皆有可能,符合题意,故选:D .3.下说法正确的是()A .0减任何数的差都是负数B .减去一个正数,差一定大于被减数C .减去一个正数,差一定小于被减数D .两个数之差一定小于被减数【分析】可通过举反例说明不正确的,通过分类讨论说明正确的.【解答】解:0减去负数的差就是正数,正数大于被减数0,故A、D都是不正确的;负数减去正数,差一定小于被减数,故选项B不正确;减去一个正数,差一定小于被减数,此选项正确.故选:C.4.关于有理数的减法,下列说法正确的是()A.两个有理数相减,差一定小于被减数B.两个负数的差一定小于0C.两个负数相减,等于他们的绝对值相减D.两个有理数的差是正数,则被减数一定大于减数【分析】根据有理数的减法法则逐一判断即可.有理数的减法法:减去一个数,等于加上这个数的相反数.【解答】解:A、两个有理数相减,差不一定小于被减数,如2﹣(﹣1)=3,故本选项不合题意;B、两个负数的差不一定小于0,如﹣1﹣(﹣4)=3,故本选项不合题意;C、两个负数相减,根据减去一个数,等于加上这个数的相反数,而不是它们的绝对值相减,故本选项不合题意;D、两个有理数的差是正数,则被减数一定大于减数,说法正确.故选:D.5.列说法中正确的有()①同号两数相乘,符号不变;②异号两数相乘,积取负号;③数a、b互为相反数,它们的积一定为负;④绝对值等于本身的数是正数.A.1个B.2个C.3个D.4个【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数,绝对值的性质进行判断便可.【解答过程】解:①同号两数相乘,符号为正号,不是符号不变,该小题说法错误;②异号两数相乘,积取负号,这符合乘法法则,该小题说法正确;③数a、b互为相反数,它们的积不一定为负,如a、b都为0,它们互为相反数,但它们的积为0,不为负,该小题说法错误;④绝对值等于本身的数是非负数,包括正数和0,不一定是正数,该小题说法错误;故选:A.考点九因数符号判断1.a、b是两个有理数,若ab<0,且a+b>0,则下列结论正确的是()A .a >0,b >0B .a 、b 两数异号,且正数的绝对值大C .a <0,b <0D .a 、b 两数异号,且负数的绝对值大【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号,再根据有理数和的符号判断绝对值的大小,进而得出答案.【解答过程】解:∵ab <0,∴a 、b 异号,又∵a +b >0,∴正数的绝对值较大,故选:B .2.已知a +b >0,ab <0,且a >b ,则a 、b 的符号是()A .同为正B .同为负C .a 正b 负D .a 负b 正【解题思路】根据ab <0可得a ,b 异号,再由a >b 即可判断出答案.【解答过程】解;∵ab <0,∴a ,b 异号又a +b >0且a >b ,∴a 正b 负.故选:C .3.若a +b >0,a ﹣b <0,<ba0,则下列结论正确的是()A .a >b ,b >0B .a <0,b <0C .a <0,b >0且|a |<|b |D .a >0,b <0且|a |>|b |【解题思路】直接利用有理数的除法运算、加法、减法运算法则以及绝对值的性质分别分析得出答案.【解答过程】解:∵a ﹣b <0,∴a <b ,∵<0,∴a <0<b ,∵a +b >0,∴|a |<|b |.故选:C .4.在下列各题中,结论正确的是()A .若a >0,b <0,则0>ab B .若a >b ,则a ﹣b >0C .若a <0,b <0,则ab <0D .若a >b ,a <0,则0<ab 【解题思路】根据有理数的乘法法则和除法法则进行判断.【解答过程】解:A .两数相除,异号得负,该选项错误,不符合题意;B .∵a >b ,∴a ﹣b >0,该选项正确,符合题意;C .两数相乘,同号得正,该选项错误,不符合题意;D .∵a >b ,a <0,∴1<,∴>1,该选项错误,不符合题意.故选:B .考点十有理数的计算1.计算下列各题:(1))852()25.1(833)5.6(411---++-+(2)125.0)125.0(413(75.0----++-(3)53)75.2(412(21152-+--+---(4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-+--)611()61(127)65()23(【答案】(1)21-;(2)4;(3)0;(4)125-2.计算下列各题:(1)217()75.2()413(5.0---+-+-(2))321(742)312(731-++-+(3))85.1()432()75.0(85.0-++-++-(4))83.5(32.217.1432.12-+----【答案】(1)1;(2)0;(3)-3;(4)-103.计算:(1)53124(6812-⨯-+-(2)457(36)(9612-⨯-+-(1)【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解.【解答】解:53124(6812-⨯-+-,531(24)(24)(24)6812=-⨯-+⨯--⨯-,2092=-+,229=-,13=.(2)【分析】根据乘法分配律,可得答案.【解答】解:原式457 36()36369612 =-⨯--⨯+⨯163021 =-+ 7=.4.用简便方法计算:(1)1799(9)18⨯-(2)539(6)6-⨯-【分析】原式各项变形后,利用乘法分配律计算即可得到结果.【解答】解:(1)原式111 (100)(9)9008991822 =-⨯-=-+=-;(2)原式1(40(6)24012396=-+⨯-=-=.5.计算:(1)11351()()2641212-+-+÷-(2)11135(()1226412-÷-+-+【答案】(1)8;(2)1 8【解析】【分析】(1)除法变乘法,再用乘法分配律即可求解;(2)先算括号内的,然后再进行除法运算即可.【详解】(1)113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1135(12)26412⎛⎫=-+-+⨯- ⎪⎝⎭1135(12)(12)(12)(12)26412⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- ⎪⎝⎭=6-2+9-5=8;(2)原式=16295181121()()121212121288-+-+⎛⎫⎛⎫-÷=-÷-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6.计算下列各题:(1)312(53137)2(312132022-⨯+÷--⨯⨯-(2))2(432114)2(51224-⨯÷+⨯--÷-(3)32693211()3(32÷-⨯--(4)22022)5.0(3)311()75.0()1(-⨯÷-⨯÷-7.计算:(1)()()5753362964⎛⎫-+-⨯-+- ⎪⎝⎭(2)()()()()224313110.5153232---⨯⨯--+-⨯-÷【答案】(1)-7(2)7【解析】【分析】(1)利用乘法分配律,根据有理数的混合运算法则计算即可.(2)根据有理数的混合运算法则计算即可.(1)原式=753(36)(36)(36)32 964-⨯-+⨯--⨯--28302732 =-+-7=-.(2)原式11224272319⨯⨯+-⨯2⨯=-1412=--+7=.考点十一有理数的运算(含绝对值)1.如果|a|=4,|b|=2,且|a+b|=a+b,则a-b的值是_________.【答案】见试题解答内容【分析】首先根据绝对值的意义求得a,b的值,再由|a+b|=a+b确定出a与b的对应值有两种可能性,然后分别代入a-b,根据有理数的减法法则计算即可.【解答】解:∵|a|=4,|b|=2,∴a=±4,b=±2,∵|a+b|=a+b,∴a+b>0,∴a、b同正即a=4,b=2,或a=4,b=-2.当a=4,b=2时,a-b=4-2=2;当a=4,b=-2时,a-b=4-(-2)=4+2=6.故a-b的值为:2或6.2.如果|a|=4,|b|=7,且a<b,求a+b的值.【分析】先求出ab、的值,再代入计算即可.【解答】解:∵|a|=4,|b|=7,∴a=±4,b=±7,又∵a<b,∴a =4,b =7或a =﹣4,b =7,当a =4,b =7时,a +b =4+7=11,当a =﹣4,b =7时,a +b =﹣4+7=3,因此a +b 的值为3或11.3.已知|a |=2,|b |=3,且|a +b |=|a |+|b |,则a +b 的值为()A .5B .±5C .1D .±1【分析】根据题意,利用绝对值的代数意义确定出a 与b 的值,即可求出原式的值.【解答】解:∵|a |=2,|b |=3,且|a +b |=|a |+|b |,∴a =2,b =3;a =﹣2,b =﹣3,则a +b =±5,故选:B .4.已知||5a =,||3b =,若b a b a --=+,求a -b 的值.【答案】-8或-25.已知||4x =,1||2y =,且0xy <,求x y +的值.【考点】有理数的加法;有理数的乘法;绝对值【分析】根据绝对值的性质可求出x 与y 的值,然后代入x y +即可求出答案.【解答】解:||4x = ,1||2y =,4x ∴=±,12y =±,0xy < ,4x ∴=,12y =-或4x =-,12y =,当4x =,12y =-时,原式142=-72=,当4x =-,12y =时,原式142=-+72=-,综上所述,72x y +=±.6.已知||5a =,||3b =,回答下列问题:(1)由||5a =,||3b =,可得a =,b =;(2)若0a b +>,求a b -的值;(3)若0ab <,求||a b +的值.【考点】有理数的减法;有理数的加法;有理数的乘法;绝对值【分析】(1)利用绝对值的意义即可得出结论;(2)利用已知条件求得a ,b 的值,再代入计算即可;(3)利用已知条件求得a ,b 的值,再代入计算即可.【解答】解:(1)||5a = ,||3b =,5a ∴=±,3b =±.故答案为:5±,3±;(2)0a b +> ,5a ∴=,3b =±,当5a =,3b =时,532a b -=-=;当5a =,3b =-时,5(3)538a b -=--=+=;综上,2a b -=或8.(3)0ab < ,5a ∴=,3b =-或5a =-,3b =.当5a =,3b =-时,|||53|2a b +=-=;当5a =-,3b =时,|||53|2a b +=-+=;||2a b ∴+=.考点十二比较大小(含数轴)1.已知a >0,b <0,且|a |<|b |,则下列关系正确的是()A .b <﹣a <a <﹣bB .﹣a <b <a <﹣bC .﹣a <b <﹣b <aD .b <a <﹣b <﹣a【答案】A【分析】根据:a >0,b <0,|a|<|b|,可得:-a <0,-b >0,-a <b ,据此判断出a 、-a 、b 、-b 的大小关系即可.【解答】解:∵a >0,b <0,|a|<|b|,∴-a <0,-b >0,-a <b ,∴b <-a <a <-b .故选:A .2.有理数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,把a 、b 、-a 、-b 、0按照从小到大的顺序排列,正确的是()A .-a <a <0<-b <bB .a <-a <0<-b <bC .-b <a <0<-a <bD .a <0<-a <b <-b【答案】C【分析】根据正数大于负数和0,0大于负数,两个负数,绝对值大的反而小,即可解答.【解答】解:根据数轴可得:a <0<b ,|a|<|b|,则-b <a <0<-a <b .故选:C .3.若0<m <1,m 、m 2、m1的大小关系是()A .mm m 12<<B .mm m 12<<C .21m m m<<D .m m m<<21【答案】B考点十三比较大小(含绝对值)1.已知a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,x 的绝对值等于2,求223ba cdx x +-+的值.【答案】见试题解答内容【分析】根据a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,x 的绝对值等于2,可以求得a+b ,cd ,x 的值,然后即可求得所求式子的值.【解答】解:∵a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,x 的绝对值等于2,∴a+b=0,cd=1,x=±2,当x=2时,原式=23+1×22-0=8+1×4-0=8+4-0=12;当x=-2时,原式=(-2)3+1×(-2)2-0=-8+1×4-0=-8+4-0=-4,由上可得,原式的值为12或-4.2.若a 与b 互为相反数,c 与d 互为倒数,|m |=2,求代数式3223m cd ba +-+的值.【答案】见试题解答内容【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案.【解答】解:∵a 与b 互为相反数,c 与d 互为倒数,|m|=2,∴a+b=0,cd=1,m=±2,当m=2时,∴原式=0-2+2×23=14;当m=-2时,∴原式=0-2+2×(-2)3=--18,综上所述:代数式的值为14或-18.3.若a 、b 互为相反数,b 、c 互为倒数,并且m 是绝对值等于它本身的数.求bc m ba +++222值.【答案】见试题解答内容【分析】利用相反数,倒数,以及绝对值的意义求出a+b ,cd ,m 的值,代入原式计算即可得到结果.【解答】解:由题意得:a+b=0,bc=1,m 为非负数,则原式=1.4.已知a 、b 互为相反数且a ≠0,c 、d 互为倒数,|m |是最小的正整数,求cd b a m -++2020)(20192的值.【答案】1或-3.【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0,cd=1,|m|=1,再分别代入计算即可.【解答】解:根据题意知a+b=0,cd=1,|m|=1,当m=1时,原式=2×1+0-1=1;当m=-1时,原式=2×(-1)+0-1=-3;综上,原式的值为1或-3.考点十四定义新运算1.对于有理数a 、b ,定义一种新运算“⊗”如下:a b ab b a 2-=⊗,则=-⊗-43()3(_______.2.定义一种新运算“☆”,规则为:m ☆n =mn +mn -n ,例如:2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11,解答下列问题:(1)(-2)☆4;(2)(-1)☆[(-5)☆2].【答案】(1)4;(2)-27.【分析】(1)根据m ☆n=m n +mn-n ,可以求得所求式子的值;(2)根据m ☆n=m n +mn-n ,可以求得所求式子的值.【解答】解:(1)∵m ☆n=m n +mn-n ,∴(-2)☆4=(-2)4+(-2)×4-4=16+(-8)+(-4)=4;(2)∵m ☆n=m n +mn-n ,∴(-1)☆[(-5)☆2]=(-1)☆[(-5)2+(-5)×2-2]=(-1)☆(25-10-2)=(-1)☆13=(-1)13+(-1)×13-13=(-1)+(-13)+(-13)=-27.3.已知a,b为有理数,如果规定一种新的运算“※”,规定:a※b=2b-3a,例如:1※2=2×2-3×1=4-3=1,计算:(2※3)※5=__________.【答案】10.【分析】根据a※b=2b-3a,可以计算出所求式子的值.【解答】解:∵a※b=2b-3a,∴(2※3)※5=(2×3-3×2)※5=(6-6)※5=0※5=2×5-3×0=10-0=10,故答案为:10.4.规定一种新运算a*b=a-b2,则4*[5*(-2)]=__________.【答案】3.【分析】根据a*b=a-b2,可以求得所求式子的值【解答】解:∵a*b=a-b2,∴4*[5*(-2)]=4*[5-(-2)2]=4*(5-4)=4*1=4-12=4-1=3,故答案为:3.考点十五有理数的实际应用1.某天早上,一辆交通巡逻车从A地出发,在东西向的马路上巡视,中午到达B地,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,行驶纪录如下.(单位:km)第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次+15﹣8+6+12﹣4+5﹣10(1)巡逻车在巡逻过程中,第次离A地最远.(2)B地在A地哪个方向,与A地相距多少千米?(3)若每千米耗油0.2升,每升汽油需7元,问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元?【答案】见试题解答内容【分析】(1)根据有理数的加法运算,分别计算出每次距A地的距离,可得离A地最远距离;(2)根据有理数的加法运算,可得正数或负数,根据向东记为正,向西记为负,可得答案;(3)根据行车就耗油,可得耗油量,再根据总价=单价×数量即可求解.【解答】解:(1)第一次距A地:15千米,第二次距A地:15-8=7千米,第三次距A地:7+6=13千米,第四次距A地:13+12=25千米,第五次距A地:25-4=21千米,第六次距A地:21+5=26千米,第七次距A地:26-10=16千米,26>25>21>16>15>13>7,答:巡逻车在巡逻过程中,第6次离A地最远;(2)15-8+6+12-4+5-10=16(千米),答:B地在A地东方,与A地相距16千米;(3)|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60(千米),60×0.2=12(升),12×7=84(元).答:这一天交通巡逻车所需汽油费84元.故答案为:6.2.在抗洪抢险中,解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民,早晨从A地出发,晚上到达B地,约定向东为正方向,当天的航行路程记录如下(单位:千米):+15,-8,+9,-6,+14,-5,+13,-4.(1)B地位于A地的什么方向?距离A地多少千米?(2)若冲锋舟每千米耗油0.6升,油箱容量为30升,求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油?(3)救灾过程中,冲锋舟离出发点A最远时,距A地多少千米?【答案】见试题解答内容【分析】(1)把题目中所给数值相加,若结果为正数则B地在A地的东方,若结果为负数,则B地在A地的西方;(2)先求出这一天航行的总路程,再计算出一共所需油量,减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量;(3)分别计算出各点离出发点的距离,取数值较大的点即可.【解答】解:(1)∵15-8+9-6+14-5+13-4=28,∴B地在A地的东边28千米;(2)这一天走的总路程为:15+|-8|+9+|-6|+14+|-5|+13|+|-4|=74千米,应耗油74×0.6=44.4(升),故还需补充的油量为:44.4-30=14.4(升),答:冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油;(3)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为:。

北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习:第8讲第2章《有理数及其运算》全章复习和巩固(含答案)

北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习:第8讲第2章《有理数及其运算》全章复习和巩固(含答案)

《有理数及其运算》全章复习与巩固【学习目标】1.理解有理数及其运算的意义,提高运算能力.2.能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小;借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值.3.体会转化、归纳等思想;掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题.4.会用科学记数法表示数.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类:(1)按定义分类:(2)按性质分类:要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;(2)有理数“0”的作用:2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如.(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可.(3)多重符号的化简:数字前面“”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负.4.绝对值:(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 数a 的绝对值记作.(2)几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.π--a要点二、有理数的运算1 .法则:(1)加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.(2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .(3)乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0.(4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a ÷b=a ·(b ≠0) . (5)乘方运算的符号法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.(6)有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行; ③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:-[-(-3)]=-3,-[+(-3)]=3.(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: , . 2.运算律:(1)交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ; ②乘法交换律:ab=ba ;(2)结合律: ①加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律:(ab )c=a(bc)(3)分配律:a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,1b2(3)9-=3(3)27-=-正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法.要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式(其中1≤,是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:200 000=.【典型例题】 类型一、有理数相关概念1.若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)平方;(5)立方,等于它本身.则这个数分别为(1)________;(2)________;(3)________;(4)________;(5)________.【答案】(1)0; (2)1和-1;(3)正数和0;(4)1和0;(5)-1、0和1【解析】根据定义,把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.举一反三:【变式】(1)的倒数是 ;的相反数是 ;的绝对值是 . -(-8)的相反数是 ;的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是 _ ;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是 .(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m /min .(4) 若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,则____ . 【答案】(1); ; ;-8;2 (2)降价5.8元,70.2 元;(3);(4)3; 10na ⨯10a <n 5210⨯321-321-321-21-=++)(323b a cd 35-21321333.7510⨯2.(2018•杭州模拟)已知|x|=|﹣3|,则x 的值为 . 【思路点拨】根据题意可知|x|=3,由绝对值的性质,即可推出x=±3. 【答案】±3.【解析】解:∵|﹣3|=3,∴|x|=3,∵|±3|=3,∴x=±3.【总结升华】本题主要考查绝对值的性质,关键在于求出3和﹣3的绝对值都为3. 3.在下列两数之间填上适当的不等号:________. 【思路点拨】根据“a-b >0,a-b =0,a-b <0分别得到a >b ,a =b ,a <b ”来比较两数的大小.【答案】 <【解析】解法一:作差法由于,所以 解法二:倒数比较法:因为所以 【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用.200520062006200720052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯2005200620062007<2006112007112005200520062006=+>+=2005200620062007<举一反三:【变式】(2018•宁德)有理数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,下列各式正确的是( )A .a+b <0B . a ﹣b <0C . a•b>0D . >0【答案】B . 类型二、有理数的运算4.(2019•厦门)计算:.【思路点拨】原式先计算乘方运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.【答案与解析】解:原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2.【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序,先乘方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里边的,同级运算从左到右依次进行计算,然后利用各种运算法则计算,有时可以利用运算律来简化运算.举一反三:【变式】计算:(1) (2)【答案】解:(1) (2)11(2)(2)22-⨯÷⨯-()20064261031-+--⨯-111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-=()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想在本章中的应用5.(1)数形结合思想:有理数a 在数轴上对应的点如图所示,则a ,-a ,1的大小关系.A .-a <a <1B .1<-a <aC .1<-a <aD .a <1<-a(2)分类讨论思想:已知|x|=5,|y|=3.求x-y 的值.(3)转化思想:计算: 【答案与解析】解:(1)将-a 在数轴上标出,如图所示,得到a <1<-a ,所以大小关系为:a <1<-a . 所以正确选项为:D .(2)因为| x|=5,所以x 为-5或5因为|y|=3,所以y 为3或-3.当x =5,y =3时,x-y =5-3=2当x =5,y =-3时,x-y =5-(-3)=8当x =-5,y =3时,x-y =-5-3=-8当x =-5,y =-3时,x-y =-5-(-3)=-23135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭故(x-y )的值为±2或±8(3)原式= 【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”.举一反三:【变式】若a 是有理数,|a|-a 能不能是负数?为什么?【答案】解: 当a >0时,|a|-a =a-a =0;当a =0时,|a|-a =0-0=0;当a <0时,|a|-a =-a-a =-2a >0.所以,对于任何有理数a ,|a|-a 都不会是负数.类型四、规律探索6.将1,,,,,,…,按一定规律排列如下:请你写出第20行从左至右第10个数是________.【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述,然后归纳总结,寻找规律.【答案】 33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭12-1314-1516-1200-【解析】 认真观察可知,第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,……,所以第20行有20个数,从第1行到第20行共有1+2+3+…+20=210个数,所以第20行最后一个数的绝对值应是;又由表中可知,凡是分母是偶数的分数是负数,故第20行最后一个数是,以此类推向前10个,则得到第20行第10个数是. 【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并将规律表示出来.【巩固练习】一、选择题1.(2019•益阳)的相反数是( )A .2019B .﹣2019C .D .2.(2018•菏泽)如图,四个有理数在数轴上的对应点M ,P ,N ,Q ,若点M ,N 表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是( )A .点MB . 点NC . 点PD . 点Q3. 在-(-2),-|-7|,-|+1|,|-)511(-|32+,中,负数的个数是 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4.据有关资料显示,2011年遵义市全年财政总收入202亿元,将202亿用科学记数法可表示( )A .2.02×210人B .202×810人C .2.02×910人D .2.02×1010人5.若-1<a<0,则a ,2a ,a1从小到大排列正确的是( ) A .a 2<a<a 1 B .a <a 1< a 2 C .a 1<a< a 2 D .a < a 2 <a1 12101210-1200-6.在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A .6B .-6C .-1D .-1或67.a,b 两数在数轴上的位置如图,则下列正确的是( )A . a+b>0B . ab>0C .ba >0 D .a-b>0 8.已知有理数a ,b 在数轴上对应的两点分别是A ,B .请你将具体数值代入a ,b ,充分实验验证:对于任意有理数a ,b ,计算A , B 两点之间的距离正确的公式一定是( )A .a b -B .||||a b +C .||||a b -D .||a b -二、 填空题9.(2018•湖州)计算:23×()2= .10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为:(规定向上为正,向下为负,单位:厘米)+3,0,-1,+5,-4,+2,-3,-2,那么这里0的含义是___________.11.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米,用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米.12.7=x ,则______=x ; 7=-x ,则______=x . 13.已知实数a , 在数轴上如下图所示,则|1|-a = .14.若|a-2|+|b+3|=0,则3a+2b= .15.()221---= .16.(2019春•江苏校级期末)观察下列各式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗?根据你发现的规律回答:32019的个位数字是 .三、 解答题17.计算:(1)222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭ (2)4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--(3)21-49.5+10.2-2-3.5+19 (4)323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18.已知a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数,且x 的绝对值为3,求2x 2-(ab-c-d)+|ab+3|的值.19.(2018•顺义区一模)居民用电计费实行“一户一表”政策,以年为周期执行阶梯电价,即:一户居民全年不超过2880度的电量,执行第一档电价标准为0.48元/度;全年用电量在2880度到4800度之间(含4800),超过2880度的部分,执行第二档电价标准为0.53元/度;全年用电量超过4800度,超过4800度的部分,执行第三档电价标准为0.78元/度.小敏家2018年用电量为3000度,则2018年小敏家电费为多少元?20.先观察下列各式: 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;...;1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,根据以上观察,计算:1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值. 【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】解:∵﹣与只有符号不同,∴﹣的相反数是.故选:C .【解析】∵点M ,N 表示的有理数互为相反数. ∴原点的位置大约在O 点,∴绝对值最小的数的点是P 点,故选C .3.【答案】 C【解析】负数有三个,分别是:-|-7|,-|+1|,)511(-+4.【答案】D5.【答案】C 【解析】由-1<a<0可知2a 为正数,而其它两数均为负数,且| a |<a 1,所以a >a1,所以a1<a< a 2. 6.【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17.【答案】D【解析】由图可知,a 、b 异号,且b 的绝对值较大.8.【答案】D【解析】按正负对a ,b 分类讨论.二、填空题9.【答案】2.【解析】23×()2=8×=2.10.【答案】水位无变化11.【答案】1.02×101412.【答案】7,7±±【解析】由图可知:a-1<0,所以│a-1│=-(a-1)=1- a14.【答案】0【解析】∵|a-2|+|b+3|=0,∴a-2=0,b+3=0,即a=2,b=-3.∴3a+2b=6-6=0;15.【答案】-5【解析】()221415---=--=-16.【答案】1【解析】解:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,……,∵2019÷4=504,∴32019的个位数字与第4个数的个数数相同,是1.故答案为:1.三、解答题17.【解析】解: (1) 原式1 4929(6)9 =-+⨯+-÷4918(6)949185485 =-++-⨯=-+-=-(2) 原式1111115 11[2(9)]11112 232366⎛⎫=---⨯⨯--=--⨯⨯=--=- ⎪⎝⎭(3)原式=[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]=50.2-55=-4.8(4) 原式=322 33519422519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2794319162700 8251943258⎛⎫=-⨯-⨯+=-⨯=⎪⎝⎭18.【解析】解:将ab=1,c+d=0,|x|=3代入所给式子中得: 2×32-1+|1+3|=21.所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=2119.【解析】解:根据题意得:2880×0.48+(3000﹣2880)×0.53=1446(元),则2018年小敏家电费为1446元.20.【解析】解:原式11111111111 1343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=。

第二章有理数及其运算复习课课件北师大版数学七年级上册

第二章有理数及其运算复习课课件北师大版数学七年级上册
数为 ±2022 .


2.一个数的倒数的相反数是3,则这个数为
.

3.在数轴上,到原点距离为2个单位长度的点所表示的数

±2

.
+
4.若a、b互为相反数,c、d互为倒数,|m|=2,求 +m-

3cd的值.
解:因为a、b互为相反数,
所以a+b=0.
因为c、d互为倒数,
所以cd=1.
示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离是9,求这两个
数.若数轴上表示这两数的点位于原点同侧,求这两个数.
解:若在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,则这两个
数到原点的距离分别是3和6,所以这两个数是-3, 6或-6,3.
若在数轴上表示这两数的点位于原点的同侧,则这两个数到原
点的距离分别是9和18,所以这两个数是-18,-9或18,9.
(2)异号相加:①若a>0,b<0,则a+b > 0;②若a<0,
b>0,则a+b < 0.
6.有理数减法法则:减去一个数,等于 加
相反数 .
上这个数的
7.有理数乘法法则:两个数相乘,同号得 正
,异号得
负 ,再把绝对值相 乘 .
8.有理数除法法则:两个数相除,同号得 正
,异号得
负 ,再把绝对值相 除 ;除一个数(不是0)等于 乘以 这
个数的 倒数 .
9.有理数混合运算的运算顺序:先 乘方 ,后 乘除 ,
最后算 加减 ,有括号的先算括号里面的.加减法统一成 加
法,乘除法统一成 乘 法.
·导学建议·
以问题形式引导学生回顾、归纳本章所学知识,让学生在
思考、交流的过程中进一步巩固所学知识.
有理数的有关概念

鲁教版有理数及其运算总复习ppt课件.ppt

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总比左边的数大; 正数都大于0,负数都小于0;
正数大于一切负数; 2)两个负数,绝对值大的反而小。 即:若a<0,b<0,且︱a︱>︱b︱,
则a < b.
利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 例、比较-5和-8的大小 解: 因为|-5|= 5, | -8 | = 8
5<8 所以 -5 > -8
1.若|x|-|y|=0,则(D )
A.x=y
B.x=-y
C.x=y=0
D.x=y或x=-y
2.有理数a,b在数轴上对应位置如图所示,
则a+b的值为( B )
A.大于0 C.等于0
B.小于0 D.大于a
3.若 1 a 1 a, 则a一定是C
2
2
A.负数
B.正数
C.非正数 D.非负数
4 .|x|=1,则x与-3的差为( C )
负数更小! 零无倒数!
10.下列结论正确的是( B ) A.若|x|=|y|,则x=-y × X=2,y=-2,满足
有理数总复习
一、有理数的基本概念
1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数
二、有理数的运算
加、减、乘、除、乘方运算
一、有理数的基本概念
1.负数:在正数前面加“—”的数;
0既不是正数,也不是负数。
判断: 1)a一定是正数; × 2)-a一定是负数; × 3)-(-a)一定大于0;× 4)0是正整数。 ×
3)乘法交换律
ab=ba
4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) 5)分 配 律 a(b+c)=ab+ac

有理数及其运算知识总结

有理数及其运算知识总结

有理数及其运算知识总结一、重点知识归纳及讲解1、正数和负数的概念比0大的数叫做正数;在正数前面加上“-”号的数叫做负数;0既不是正数,也不是负数.为了突出数的符号,可以在正数前面加“+”号,一般地“+”号往往省略不写,但负数前面的“-”号不能省略.对于正数和负数的概念,不能简单地理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数.2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数:正数、负数和零也统称为有理数.整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数;正数包括正整数和负整数;负整数包括负整数和负分数.到目前为止,我们学过的数细分有五类:正整数、正分数、零、负整数、负分数,因为有限小数和无限循环小数可以化为分数,所以把有限小数和无限循环小数都看作分数.有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为 1的分数,但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.通常把正整数和零统为非负数;负数和零统称为非正数;正整数和零统称为非负整数,即为自然数;负整数和零统称为非正整数.3、数轴的概念及画法规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴的概念中包含有三层含义:一是说数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;二是说数轴具有原点,正方向和单位长度三要素,三者缺一不可;三是说数轴原点的选定,正方向的取向、单位长度大小的确定,是根据实际需要规定的.画数轴的步骤:(1)画一条直线,一般画成水平的直线;(2)在直线上选取一点为原点,用实心点表示,在原点下边标上0;(3)用箭头表示正方向,一般规定向右为正;(4)选取适当的长度为单位长度,用细短线画出,并在下边标上对应的数.4、相反数的概念如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数,特别地,0的相反数是0.在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,且与原点的距离相等,这就是相反数的几何意义.一般地,数a的相反数是-a,这里a表示任意一个数,可以是正数、负数或零,还可以代表任意一个代数式,表示或求一个数的相反数,只要在这个数的前面添上一个“-”号就可以了.相反数是成对出现的,不能单独存在,单独的一个数不能说是相反数;不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数,只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.5、绝对值的概念在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值,数a的绝对值记作“|a|”.正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,这就是绝对值的代数意义,也可表示为:6、绝对值的有关性质(1)对任意有理数a,都有|a|≥0;(2)若|a|=0,则a=0;(3)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(4)若|a|=b(b>0),则a=±b;(5)若|a|+|b|=0,则a=0且b=0;(6)对任意有理数a,都有|a|=|-a|.7、有理数大小的比较法则在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;正数都大于 0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小 .8、有理数加法法则同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加 .异号两数相加,绝对值相等时和为 0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并把较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0相加,仍得这个数.9、有理数加法运算律加法交换律: a+b=b+a加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)10、有理数减法法则对于有理数的加减混合运算中的减法,可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。

《有理数及其运算》全章复习与牢固(基本)知识讲解

《有理数及其运算》全章复习与牢固(基本)知识讲解

《有理数及其运算》全章复习与巩固【知识网络】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类:(1)按定义分类:(2)按性质分类:要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;(2)有理数“0”的作用:作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示表示某种状态00C表示冰点2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如π.(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号即可.(3)多重符号的化简:数字前面“-”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负.4.绝对值:(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.数a的绝对值记作a.(2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.要点二、有理数的运算1 .法则:(1)加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .3)乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0.4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·1b(b≠0) .5)乘方运算的符号法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.6)有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行;③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:-[-(-3)]=-3,-[+(-3)]=3.(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: 2(3)9-=, 3(3)27-=-. 2.运算律:(1)交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ; ②乘法交换律:ab=ba ;(2)结合律: ①加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律:(ab )c=a(bc)(3)分配律:a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法.要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式(其中1≤10a <,n 是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:200 000=5210⨯.【典型例题】 类型一、有理数相关概念1.若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)平方;(5)立方,等于它本身.则这个数分别为(1)________;(2)________;(3)________;(4)________;(5)________.【答案】(1)0; (2)1和-1;(3)正数和0;(4)1和0;(5)-1、0和1 【解析】根据定义,把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.举一反三:【变式】(1)321-的倒数是 ;321-的相反数是 ;321-的绝对值是 . -(-8)的相反数是 ;21-的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是 _ ;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是 .(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m /min . (4) 若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,则=++)(323b a cd ____ . 【答案】(1)35-; 213; 213;-8;2 (2)降价5.8元,70.2 元;(3)33.7510⨯;(4)3; 2.如果(x -2)2+|y -3|=0,那么(2x -y )2005的值为( ).A .1B .-1C .22006D .32005【思路点拨】利用非负数的性质,求出y ,x 的值再代入计算.【答案】A【解析】 因为(x -2)2,|y -3|都是非负数,且(x -2)2+|y -3|=0, 所以由非负数的性质先求出x=2, y =3的值,代入得: (2x -y )2005=12005=1.【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性.3.在下列两数之间填上适当的不等号:20052006________20062007. 【思路点拨】根据“a-b >0,a-b =0,a-b <0分别得到a >b ,a =b ,a <b ”来比较两数的大小.【答案】 <【解析】解法一:作差法由于20052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯,所以2005200620062007< 解法二:倒数比较法:因为2006112007112005200520062006=+>+=所以2005200620062007< 举一反三:【变式】比较大小:(1)199-________0.001; (2)23-________-0.68 【答案】(1)< (2)>类型二、有理数的运算4.(1)(﹣12)﹣5+(﹣14)﹣(﹣39)(2)﹣32÷(﹣3)2+3×(﹣2)+|﹣4|(3)()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (4)()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 【答案与解析】解:(1)(﹣12)﹣5+(﹣14)﹣(﹣39)=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8(2)﹣32÷(﹣3)2+3×(﹣2)+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3(3)()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =×60﹣×60﹣×60 =10﹣25﹣8=﹣23(4)()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=﹣×[(﹣)÷(﹣)﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24(5)231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3124575512416543415⎛⎫⎛⎫=⨯-++-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭14575524242412540434⎛⎫=-+⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭ 12705633012540=-++-+ 1121403912040=-+=举一反三:【变式】计算:(1)11(2)(2)22-⨯÷⨯- (2)()20064261031-+--⨯- 【答案】解:(1)111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= (2)()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15 类型三、数学思想在本章中的应用5.(1)数形结合思想:有理数a 在数轴上对应的点如图所示,则a ,-a ,1的大小关系.A .-a <a <1B .1<-a <aC .1<-a <aD .a <1<-a(2)分类讨论思想:已知|x |=5,|y |=3.求x -y 的值.(3)转化思想:计算:3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭ 【答案与解析】解:(1)将-a 在数轴上标出,如图所示,得到a <1<-a ,所以大小关系为:a <1<-a . 所以正确选项为:D .(2)因为| x |=5,所以x 为-5或5因为|y |=3,所以y 为3或-3.当x =5,y =3时,x -y =5-3=2当x =5,y =-3时,x -y =5-(-3)=8当x =-5,y =3时,x -y =-5-3=-8当x=-5,y=-3时,x-y=-5-(-3)=-2 故(x-y)的值为±2或±8(3)原式=331 35(7)3577246 14142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯=⎪⎝⎭【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”.举一反三:【变式】若a是有理数,|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解:当a>0时,|a|-a=a-a=0;当a=0时,|a|-a=0-0=0;当a<0时,|a|-a=-a-a=-2a>0.所以,对于任何有理数a,|a|-a都不会是负数.类型四、规律探索6.将1,12-,13,14-,15,16-,…,按一定规律排列如下:请你写出第20行从左至右第10个数是________.【答案】1 200 -【解析】认真观察可知,第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,……,所以第20行有20个数,从第1行到第20行共有1+2+3+…+20=210个数,所以第20行最后一个数的绝对值应是1210;又由表中可知,凡是分母是偶数的分数是负数,故第20行最后一个数是1210-,以此类推向前10个,则得到第20行第10个数是1 200 .拔高:类型一、有理数相关概念7.已知x与y互为相反数,m与n互为倒数,|x+y|+(a-1)2=0,求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值.【思路点拨】 (1)若有理数x与y互为相反数,则x+y=0,反过来也成立.(2)若有理数m与n互为倒数,则mn=1,反过来也成立.【答案与解析】解:因为x与y互为相反数,m与n互为倒数,(a-1)2≥0,所以x+y=0,mn=1,a=1,所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010=a2-(0+1)a+02009+(-1)2010=a2-a+1.∵a=1,∴原式=12-1+1=1【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.举一反三:【变式1】选择题(1)已知四种说法:①|a|=a时,a>0; |a|=-a时, a<0.②|a|就是a与-a中较大的数.③|a|就是数轴上a到原点的距离.④对于任意有理数,-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4(2)有四个说法:①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是()A.①② B.③④ C.②④ D.①②(3)已知(-ab)3>0,则()A.ab<0 B.ab>0 C.a>0且b<0 D.a<0且b<0(4)若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0,则(x+1)(y-3)(z+5)的值是()A .120B .-15C .0D .-120(5)下列各对算式中,结果相等的是( )A .-a 6与(-a)6B .-a 3与|-a|3C .[(-a)2]3与(-a 3)2D .(ab)3与ab 3【答案】(1)C ;(2)C ;(3)A ;(4)D ;(5)C【变式2】明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”,能搜索到与之相关的结果个数约为4680000,这个数用科学记数法表示为 . 【答案】64.6810⨯.8. 在下列两数之间填上适当的不等号: 99100-________100101-. 【思路点拨】在a 、b 均为正数的条件下,根据“1a b >,1a b =,1a b <分别得到a >b ,a =b ,a <b ”来比较两数的大小. 【答案】 >【解析】解法一:作差法:99100--(100101-) =99100991011001001010010110110010100-⨯+⨯-+==>⨯, ∴99100100101->-. 解法二:作商法:由于99100991019999110010110010010000÷=⨯=<,所以99100100101<. 再根据两个负数,绝对值大的反而小,得到:99100100101->-. 【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用.举一反三:【变式】在下列两数之间填上适当的不等号.1111111-_________111111111-. 【答案】> (提示:倒数法较简便)类型二、有理数的运算9.(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷-()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯ 【答案与解析】 解:(1)原式21111143622332412=-++-= (2)原式543421215239=-⨯⨯⨯=- (3)原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=- (4)原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-= (5)1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-举一反三: 【变式】 (1)225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯-- (2)23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯ 【答案】 解:(1)225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯-- 251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯ 20(3)3=-- 2033=-+ 123=(2)23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯ 955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯ 5951()()942817224=-⨯++=- 10.先观察下列各式:11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭; 11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;...;1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,根据以上观察,计算: 1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值. 【答案与解析】 解:原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 1113200812007320086692008⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⨯= 【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭的形式,然后再进行计算. 举一反三:【变式】用简单方法计算: 120180148124181++++ 【答案】解:原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯类型三、数学思想在本章中的应用11.(1)数形结合思想:已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,且|a|>|b|,求|a|-|a+b|-|b-a|的值.A.2b+a B.2b-a C.a D.b(2)分类讨论思想:已知a是任一有理数,试比较|a|与-2a的大小.(3)转化思想:1 (999)35⎛⎫-÷-⎪⎝⎭.【答案与解析】解:(1)从数轴上a、b两点的位置可以看出a<0,b>0,且|a|>|b|,所以|a|-|a+b|-|b-a|=-a+a+b-b+a=a.(2)a可能是正数,0或负数,这就需要分类讨论:当a>0时,|a|=a>0,-2a<0,所以|a|>-2a;当a=0时,|a|=0,-2a=0,所以|a|=-2a;当a<0时,|a|=-a>0,-2a>0,又-a<-2a,所以|a|<-2a.综上所述:当a≥0时, |a|≥-2a;当a<0时,|a|<-2a.(3)1(999)(10001)(35)35⎛⎫-÷-=-+⨯-⎪⎝⎭(1000)(35)1(35)34965=-⨯-+⨯-=.【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”.类型四、规律探索12.下面两个多位数1248624…,6248624…都是按照如下方法得到的:将第1位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位;若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是().A.495 B.497 C.501 D.503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的?当第1个数字是1时,将第1位数字乘以2得2,将2写在第2位上,再将第2位数字2乘以2得4,将其写在第3位上,将第3位数字4乘以2的8,将8写在第4位上,将第4位数字8乘以2得16,将16的个位数字6写在第5位上,将第5位数字6乘以2得12,将12的个位数字2写在第6位上,再将第6位数字2乘以2得4,将其写在第7位上,以此类推.根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和.【答案】A 【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…,后面6248循环,所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4=495,所以选A .【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并表示出来.举一反三:【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示,则排在第10行从左边数第3个位置上的数是( )A .1132B .1360C .1495D .1660【答案】B 提示:观察发现:分子总是1,第n 行的第一个数的分母就是n ,第二个数的分母是第一个数的(n-1)倍,第三个数的分母是第二个数的分母的(1)2n-倍.根据图表的规律,则第10行从左边数第3个位置上的数是111094360=⨯⨯.【巩固练习】 一、选择题 1.下列判断正确的个数有( )(1)任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等.(2)若两个有理数互为相反数,则这两个数互为倒数.(3)如果两个数的绝对值相等,那么这两个有理数也相等.A .0个B .1个C .2个D .3个2.下列各数中最大的是( ).A .23B .-32C .(-3)2D .(-2)33. 在-(-2),-|-7|,-|+1|,|-)511(-|32+,中,负数的个数是 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4.据有关资料显示,2011年遵义市全年财政总收入202亿元,将202亿用科学记数法可表示( )A .2.02×210人B .202×810人C .2.02×910人D .2.02×1010人5.若-1<a<0,则a ,2a ,a 1从小到大排列正确的是( )A .a 2<a<a 1 B .a <a 1< a 2 C .a 1<a< a 2 D .a < a 2 <a16.在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A .6B .-6C .-1D .-1或67.a,b 两数在数轴上的位置如图,则下列正确的是( )A . a+b>0B . ab>0C .ba >0 D .a-b>0 8.已知有理数a ,b 在数轴上对应的两点分别是A ,B .请你将具体数值代入a ,b ,充分实验验证:对于任意有理数a ,b ,计算A , B 两点之间的距离正确的公式一定是( )A .a b -B .||||a b +C .||||a b -D .||a b -二、 填空题9.对某种盒装牛奶进行质量检测,一盒装牛奶超出标准质量2克,记作+2克,那么-3克表示_____.10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为:(规定向上为正,向下为负,单位:厘米)+3,0,-1,+5,-4,+2,-3,-2,那么这里0的含义是___________.11.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米,用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米. 12.7=x ,则______=x ; 7=-x ,则______=x .13.已知实数a , 在数轴上如下图所示,则|1|-a = .14.若|a-2|+|b+3|=0,则3a+2b= .15.()221---= .16.观察下列算式:23451=+⨯ ,24462=+⨯,25473=+⨯,24846⨯+=,请你在观察规律之后并用你得到的规律填空:250___________=+⨯.三、 解答题17.计算: (1)222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭ (2)4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--(3)21-49.5+10.2-2-3.5+19 (4)323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18.已知a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数,且x 的绝对值为3,求2x 2-(ab -c -d )+|ab+3|的值.19.某地的气象观测资料表明,高度每增加1km ,气温大约下降6℃,若该地地面温度为18℃,高空某处气温为-48℃,求此处的高度.20.先观察下列各式: 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭;...;1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,根据以上观察,计算:1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值.【答案与解析】一、选择题1.【答案】A2.【答案】C【解析】只有A 、C 两项的结果为正,只要比较23、(-3)2的大小即可.由23=8,(-3)2=9,可知:(-3)2最大.3.【答案】 C【解析】负数有三个,分别是:-|-7|,-|+1|,)511(-+4.【答案】D5.【答案】C【解析】由-1<a<0可知2a 为正数,而其它两数均为负数,且| a |<a 1,所以a >a 1,所以a1<a< a 2.6.【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17.【答案】D【解析】由图可知,a 、b 异号,且b 的绝对值较大.8.【答案】D【解析】按正负对a ,b 分类讨论.二、填空题9.【答案】低于标准质量3克10.【答案】水位无变化11.【答案】1.02×1014 12.【答案】7,7±± 13.【答案】1-a【解析】由图可知:a-1<0,所以 │a-1│=-(a-1)=1- a14.【答案】0【解析】∵|a-2|+|b+3|=0,∴a-2=0,b+3=0,即a=2,b=-3.∴3a+2b=6-6=0;15.【答案】-5【解析】()221415---=--=-16.【答案】 24852450⨯+=【解析】观察可得规律为:2(4)4(2)n n n ⨯++=+ 三、解答题17.【解析】解: (1) 原式14929(6)9=-+⨯+-÷ 4918(6)949185485=-++-⨯=-+-=-(2) 原式1111115 11[2(9)]11112 232366⎛⎫=---⨯⨯--=--⨯⨯=--=- ⎪⎝⎭(3)原式=[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]=50.2-55=-4.8(4) 原式=322 33519422519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2794319162700 8251943258⎛⎫=-⨯-⨯+=-⨯=⎪⎝⎭18.【解析】解:将ab=1,c+d=0,|x|=3代入所给式子中得:2×32-1+|1+3|=21.所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=2119.【解析】解:18(48)116km --=则此高空比地面高11km,又地面高度应为0,所以此高空处的高度为11 km.20.【解析】解:原式11111111111 1343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=。

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《有理数及其运算》全章复习与巩固(基础)【学习目标】1.理解有理数及其运算的意义,提高运算能力.2.能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小;借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值.3.体会转化、归纳等思想;掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题.4.会用科学记数法表示数.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类:(1)按定义分类:(2)按性质分类:要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;(2)有理数“0”的作用:作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线. 要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如π.(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号即可.(3)多重符号的化简:数字前面“-”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负. 4.绝对值: (1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 数a 的绝对值记作a .(2)几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离. 要点二、有理数的运算 1 .法则:(1)加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.(2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .(3)乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0.(4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a ÷b=a ·1b(b ≠0) . (5)乘方运算的符号法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.(6)有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行; ③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:-[-(-3)]=-3,-[+(-3)]=3.(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: 2(3)9-=, 3(3)27-=-.2.运算律:(1)交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ; ②乘法交换律:ab=ba ;(2)结合律: ①加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律:(ab )c=a(bc) (3)分配律:a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法.要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式(其中1≤10a <,n 是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:200 000=5210⨯. 【典型例题】类型一、有理数相关概念1.若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)平方;(5)立方,等于它本身.则这个数分别为(1)________;(2)________;(3)________;(4)________;(5)________. 【答案】(1)0; (2)1和-1;(3)正数和0;(4)1和0;(5)-1、0和1 【解析】根据定义,把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念. 举一反三:【变式】(1)321-的倒数是 ;321-的相反数是 ;321-的绝对值是 . -(-8)的相反数是 ;21-的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是 _ ;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是 .(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m /min .(4) 若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,则=++)(323b a cd ____ .【答案】(1)35-; 213; 213;-8;2 (2)降价5.8元,70.2 元;(3)33.7510⨯;(4)3; 2.(2015•杭州模拟)已知|x|=|﹣3|,则x 的值为 .【思路点拨】根据题意可知|x|=3,由绝对值的性质,即可推出x=±3. 【答案】±3. 【解析】解:∵|﹣3|=3, ∴|x|=3, ∵|±3|=3, ∴x=±3.【总结升华】本题主要考查绝对值的性质,关键在于求出3和﹣3的绝对值都为3.3.在下列两数之间填上适当的不等号:20052006________20062007. 【思路点拨】根据“a-b >0,a-b =0,a-b <0分别得到a >b ,a =b ,a <b ”来比较两数的大小. 【答案】 < 【解析】解法一:作差法由于20052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯,所以2005200620062007<解法二:倒数比较法:因为2006112007112005200520062006=+>+= 所以2005200620062007<【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用.举一反三: 【变式】(2015•宁德)有理数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,下列各式正确的是( )A .a+b <0B . a ﹣b <0C . a•b>0D . >0【答案】B .类型二、有理数的运算4.(2016•厦门)计算:.【思路点拨】原式先计算乘方运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.【答案与解析】解:原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10 =2.【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序,先乘方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里边的,同级运算从左到右依次进行计算,然后利用各种运算法则计算,有时可以利用运算律来简化运算.举一反三:【变式】计算:(1)11(2)(2)22-⨯÷⨯- (2)()20064261031-+--⨯-【答案】解:(1)111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= (2)()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想在本章中的应用5.(1)数形结合思想:有理数a在数轴上对应的点如图所示,则a,-a,1的大小关系.A.-a<a<1 B.1<-a<a C.1<-a<a D.a<1<-a(2)分类讨论思想:已知|x|=5,|y|=3.求x-y的值.(3)转化思想:计算:31 35()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭【答案与解析】解:(1)将-a在数轴上标出,如图所示,得到a<1<-a,所以大小关系为:a<1<-a.所以正确选项为:D.(2)因为| x|=5,所以x为-5或5因为|y|=3,所以y为3或-3.当x=5,y=3时,x-y=5-3=2当x=5,y=-3时,x-y=5-(-3)=8当x=-5,y=3时,x-y=-5-3=-8当x=-5,y=-3时,x-y=-5-(-3)=-2故(x-y)的值为±2或±8(3)原式=331 35(7)3577246 14142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯=⎪⎝⎭【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”.举一反三:【变式】若a是有理数,|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解:当a>0时,|a|-a=a-a=0;当a=0时,|a|-a=0-0=0;当a<0时,|a|-a=-a-a=-2a>0.所以,对于任何有理数a,|a|-a都不会是负数.类型四、规律探索6.将1,12-,13,14-,15,16-,…,按一定规律排列如下:请你写出第20行从左至右第10个数是________.【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述,然后归纳总结,寻找规律.【答案】1 200 -【解析】认真观察可知,第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,……,所以第20行有20个数,从第1行到第20行共有1+2+3+…+20=210个数,所以第20行最后一个数的绝对值应是1210;又由表中可知,凡是分母是偶数的分数是负数,故第20行最后一个数是1210-,以此类推向前10个,则得到第20行第10个数是1 200 -.【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并将规律表示出来.。

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