周期为2π的周期函数转换为傅里叶级数
以2l为周期的函数的傅里叶级数
以2l为周期的函数的傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
a0 nπx nπx f ( x ) (an cos bn sin ), 2 n1 l l
(3)
1 l nπx an f ( x )cos dx , l l l 1 l nπx bn f ( x )sin dx , l l l
以2l为周期的函数的傅里叶级数
x
2 n x a 2 n x a 2 sin |0 sin |a n a n a 2
4 n sin n 2
以2l为周期的函数的傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
a0 4 n n x n x sin cos f ( x ) an cos 2 a 2 n 1 l n 1 n
(1) 如果f ( x )为奇函数, 则有
n 0,1,2,, n 1,2,3,.
(4)
nx f ( x ) bn sin , l n 1
2 l n x 其中系数 bn f ( x )sin dx , 0 l l
以2l为周期的函数的傅里叶级数
( n 1,2,)
§9.4 傅里叶级数
三、以2l为周期的函数的傅里叶级数
设 f (x)是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换:
πx l y 或 x y, l π
就可以将 f 变换成以 2π 为周期的关于变量 y 的函数
l f x f π
y ( y ).
以2l为周期的函数的傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
( 2) 如果f ( x )为偶函数,
则有
a0 nx f ( x ) an cos , 2 n 1 l
2 l n x 其中系数 an f ( x )cos dx 0 l l
高等数学(下册)第7章第7讲周期为2π的函数的傅里叶级数
(an
cos nx bn
sin nx), x C
.
8
二、周期为 2π的函数展开成傅里叶级数
2. 傅里叶级数的收敛性
定理7.12 （收敛定理，狄利克雷充分条件）
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数.如果 f (x) 满足条件：
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点,
如果定义[0, ]上的函数 f (x) 满足收敛定理的条件, 那么 f (x) 也可以展开
成傅里叶级数.根据延拓方式不同, 分别可以展开成正弦级数和余弦级数.
(1) 在区间 ( ,0) 内补充函数 f (x) 的定义, 使 f (x) 延拓为( , ) 内的
f (x),
奇函数
F
(x)
0,
f (x),
f
(x)
x， x 0， 0， 0 x .
将 f (x) 展为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.
P40 例 7.39
在函数 f (x) 的间断点 x (2k 1) (k 0,1,2,) 处, 傅里叶级数收敛于 - 3π .傅里叶级数的和函数如图所示.
2
y
- 2π - π
O-
π 2
( x), [ f (x
0)
f (x 0)],
x [0, ]且x为f (x)的连续点; x [0, ]且x为f (x)的间断点.
注
实际上,
系数计算公式为 an
2
0
f (x) cosnxdx， n 0,1,2,;
bn 0,
n 1,2,.
因此“奇延拓”+“周期延拓”的步骤可以省略.
18
二、周期为 2π的函数展开成傅里叶级数
一般周期的傅里叶级数
2, 1 x 0,
f
(
x)
x3
,
0 x 1,
3 则f (x)的Fourier级数在x 1处收敛于____2_____.
解
S(1)
f (1 0) 2
f
(1
0)
2 1 2
3 2
.
说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处)
其中 bn
f (x)sin n x d x
0
2
2 x sin n x 2 2 cos n x 2
n
2 n
20
4
n2
2
(1)n
1
f
(x)
x
1
8
2
k 1(2k
1 1) 2
cos
(2k
1) x 2 (0
x
2
)
内容小结
周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式
f (x) a0 2
(x 间断点)
其中
1 l
l
l
f
(x) cos
n
l
x
d
x
1 l
f (x) cos nπx dx l
, n N;
bn
1 l
l
l
f
(
x)
sin
nπx l
dx
或
1 l
2 0
l
f
(x) sin
nπx l
dx
,n Z;
f
(x)
~
a0 2
n1
an
cos
nπ l
x bn
sin
nπ l
x.
Dirichlet定理 设f (x)在[l, l]或[0, 2l](l 0)
高等数学：第十讲 以2Π为周期的函数展开成傅里叶函数
目录
01 什么是傅里叶级数 02 周期为2π的傅里叶级数 03 方波信号的傅里叶级数分析
01 什么是傅里叶级数
傅里叶级数实质上是下列形式的三角级数
a0
2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
傅里叶 (1768 – 1830) 法国数学家
任何周期信号都可以表示为正弦信号的线性叠加。
02 周期为2π的函数展开成傅里叶级数
定理1. 设 f (x) 是以 2π 为周期的函数 , 能展开成三角级数
傅里叶级数
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx)
①
且如果右端级数可逐项积分, 则有
傅里叶系数
② 正弦信号的幅值分量
02 周期为2π的函数展开成傅里叶级数
定理2 (狄利克雷充分条件) 设 f (x)是周期为2π 的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1 , π x 0
f (x)
1,
0 xπ
将 f (x)展成傅里叶级数。
解 判断函数满足狄利克雷充分条件
y
1
第一步，先求傅里叶系数
a0
1 π
π π
f (x)d x
πO π
x
1
1 π
0
π
(1)
cos
nx
d
x
1 π
π
0
1
cos
nx
d
x
( n 1, 2, )
例题：
0
第二步，写出傅里叶级数
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
以2为周期的函数展开成傅里叶级数解读
当 bn 0(1,2,) 时，级数只含常数项和余弦项，称为余 弦级数.
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一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数
1．三角函数系的正交性 三角函数系{1, cos x, sin x, cox 2 x, sin 2 x,}
①
定理 1 (三角函数系的正交性) 三角函数系 ① 中任意两个不同函数的乘积在[ π, π ]上的积分 等于 0 ,具体地说就是有
cos nxdx 0, sin nxdx 0 (n 1,2,3) , sin kx cos nxdx 0 (k , n 1,2,3) , cos kx cos nxdx 0 (k , n 1,2,3, n k ) , sin kx cos nxdx 0 (k , n 1,2,3, n k ) .
(1) 当 x 是 f ( x) 的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当 x 是 f ( x) 的 间 断 点 时 , 级 数 收 敛 于 这 f (x ) f (x ) 一点左右极限的算术平均数 . 2
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正弦交流电 I ( x) sin x 经二极管整流后( 右图 ) 变为 (2k -1)π x 2kπ , 0, f ( x) 2kπ x (2k 1)π , sin x, k 为整数, 把 f ( x) 展开为傅里叶级数. 例1
由 f ( x) 的傅里叶系数所确定的三角级数 a0 (an cos nx bn sin nx) , 2 n 1
称为 f ( x) 的傅里叶级数.
§8.4 傅里叶(Fourier)级数
π 1 l an= ∫ f ( x) cos n xdx,(n = 0,1,2,L) l −l l π 1 l bn= ∫ f ( x) sin n xdx,(n = 1,2,L) l −l l
例8.4.5设f ( x )是周期为4的函数， 且在[ −2， ]上的表达式为 2 0.当 − 2 ≤ x ≤ 0时； f ( x) = 1， 当0 ≤ x < 2时。 将f ( x )展开成傅里叶级数。
例8.4.1设方波函数y ( x )的周期为2π， 它在[ −π， π ]上的表达式为 − 1,−π ≤ x < 0; y( x) = 1,0 ≤ x < π . 把y ( x )展开成傅里叶级数.
− 2π
y
１
−π
Ｏ
π
－１
2π
x
设 f ( x )是周期为 2的同期函数 ， 它在区间 ( −1,1]上定义为 2 , − 1 < x ≤ 0, f ( x) = 3 则 f ( x )的傅里叶级数在 x = 1处收敛于 x ,0 < x ≤ 1 .
例8.4.3在0 < x < 2π上把f ( x ) = x展开成傅里叶级数。
2.设f ( x )只在[0， π ]上有定义， 有满足收敛定理， 我们可以作以2π为周期的函数 F ( x ), 使得在(0， π )内，F ( x ) ≡ f ( x ), 然后将F ( x )展开成为傅里叶级数， 则在(0， π )上， 该傅里叶级数就是f ( x )在(0， π )上的傅里叶级数， 对于区间端点x = 0, x = π , 可根据 收敛定理判定基收敛性。 由于这里仅给出半个周期定义， 所以在作周期延拓时， 首先需定义[0， π ]上F ( x )的值， 这里可以用两种延拓方法来定义F ( x ) :
傅里叶变换
线性性质
k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
分析性质
f '(x) → iωF(ω);
∫
x
∞
f ( x ) dx →
1 iω
F (ω )
傅里叶变换
位移性质
f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
相似性质
f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) .
卷积性质
f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
对称性质
正变换与逆变换具有某种对称性; 适当调整定义中的系数后,可以使对称性更加明显.
傅里叶变换
应用举例
rect( x) → sin 1 ω /(π ω) 2
S1 1
S3 0.75
0.5
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
展开系数:
1 cn = 2L
∫
L
L
exp(i
nπ x ) f ( x)dx L
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出"任何 周期信号都可用正 弦函数的级数表示" 1822年发表"热的 分析理论",首次 提出"任何非周期 信号都可用正弦函 数的积分表示" 返 回
傅里叶级数基本概念
傅里叶级数基本概念傅里叶级数是描述周期性函数的一种数学工具，它是由法国数学家傅里叶在1807年提出的。
它的核心思想是将任意周期为2π的函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶级数的应用非常广泛，涉及到信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
本文将介绍傅里叶级数的基本概念和相关理论。
一、傅里叶级数的定义傅里叶级数是指将一个周期为T的函数f(t)表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
具体来说，对于一个周期为T的函数f(t)，它的傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为直流分量，an和bn为函数f(t)的谐波分量的系数，n为谐波的次数，ω为基频的角频率。
二、傅里叶级数的系数计算傅里叶级数的系数an和bn可以通过函数f(t)在一个周期内的积分计算得到。
具体而言，an和bn的计算公式如下：an = (2/T) * ∫[f(t)*cos(nωt)]dtbn = (2/T) * ∫[f(t)*sin(nωt)]dt其中，积分上限和下限分别为函数f(t)的一个周期的起点和终点。
三、傅里叶级数的收敛性傅里叶级数中的每一项都可以视为一个谐波分量，它们的频率是基频频率的整数倍。
随着谐波次数的增加，谐波的频率也越来越高，对应的周期也越来越短。
在理论上，傅里叶级数包含了无穷多项的谐波分量，但实际应用中，通常只需要考虑到一定的谐波分量。
傅里叶级数的收敛性指的是，当考虑足够多的谐波分量时，傅里叶级数能够逼近原始函数f(t)，即随着谐波次数的增加，傅里叶级数与原始函数之间的误差不断减小。
然而，并不是所有的函数都具有良好的收敛性。
对于一些特殊的函数，傅里叶级数可能无法完全逼近原始函数，或者在某些点上存在收敛性问题。
四、傅里叶级数的频谱图傅里叶级数中的系数an和bn描述了原始函数在不同频率下的强度。
通过对an和bn的幅值进行绘制，可以得到函数f(t)的频谱图。
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
1
∞
f (t) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t), n为正整数
n=1
∞
1 直流分量： a 0 = T1
∫
t 0 + T1
t0
f ( t ) dt
2 t0 +T1 余弦分量的幅度：n = ∫ a f (t ) cos(nω1t )dt T1 t0
2 正弦分量的幅度： bn = T1
sin(ω1t )
4 T1 a1 = ∫ 2 f (t) cos(ω1t)dt T 0 1
4 T1 b = ∫ 2 f (t) sin( ω1t)dt 1 T 0 1
cos(2ω1t )
sin(2ω1t )
∞
令：Fn = Fn e
∞
jϕn
1 − jϕn 1 = (an − jbn ) F−n = F−n e = (an + jbn ) 2 2
jnwt 1
f (t) = F0 + ∑Fne
n=1
+ ∑F−ne
n=1
∞
− jnwt 1
= ∑Fne
n=0
∞
jnwt 1
+ ∑Fne jnw1t
n=−∞
−1
周期函数: f (t) =
7
周期信号的复数频谱 F0
complex frequency spectrum
F = Fn n − F = c0 0
1 = cn 2
8
周期信号的功率特性
1 t0 +T1 2 周期信号f (t )的平均功率 : P = f (t ) = ∫ f (t )dt T1 t0
2
知识1 傅里叶变换
傅里叶变换空间域运算本身在信号处理方面有许多不足之处，如无法显而易见地表示出信号的能量分布状况，而频域为我们提供了不同的视角，使得信号可以通过某些变换（傅里叶变换、离散余弦变换、沃尔什-哈达码变换以及小波变换等）进行分析和处理。
三角级数由三角函数组成函数项级数，即所谓的三角级数，着重研究如何把函数展开成三角函数。
1.三角级数 三角函数系的正交性周期函数反映了客观世界中周期性运动，正弦函数反映了客观世界中周期运动，简谐振动的函数：y = Asin(ωt+ϕ) 就是以ωπ2为周期的正弦函数，其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 表示振幅，ω表示角频率，ϕ为初相。
实际问题中，除了正弦波外，还会遇到非正弦函数的周期函数，反映了较复杂的周期运动，如周期为T 的矩形波，就是一个非正弦函数的例子，所以，可以将周期函数展开成由 简单的周期函数例如三角函数组成的级数，具体就是说，将周期为T = ωπ2的函数用一系列以T 为周期的正弦函成的级数来表示，即为：()()∑∞=++=10sin n n n t n A A t f ϕω（1）其中，A0、A1和n ϕ（n = 0,1,2...）都是常数。
周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明确的，就是把一个比较复杂的周期运动看成由许多不同频率的简谐震动的叠加。
在电工上，这种展开称为谐波分析。
其中A0称为f(t)的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波；)2sin(21ϕω+t A 称为二次谐波，等等。
当然，也可以将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得：t n A t n A t n A n n n n n n ωϕωϕϕωsin cos cos sin )sin(+=+并且令002A a =，n n n A a ϕsin =，n n n A b ϕcos =，lπω=（T=2l ），则（1）式的右端可以改写成：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++10sin cos 2n n n l t n b l t n a a ππ（2） 形同（2）式的级数称为三角级数，其中0a 、n a 、n b （n = 0,1,2...）都是常数。
常见傅里叶变换公式
常见傅里叶变换公式
1. 傅里叶级数公式:
设函数 f(t) 周期为 T，可以表示为以下和式：
f(t) = a0 + ∑ [an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)]
其中, ω = 2π/T，an 和 bn 是函数 f(t) 的傅里叶系数。
2. 离散傅里叶变换 (DFT) 公式:
函数 f(n) 可以通过以下公式表示为频域的离散复数表示：
F(k) = ∑ [f(n) * exp(-2πikn/N)]
F(k) 表示频域的复数系数，N 是离散样本的总数，k 表示频域的离散频率。
3. 反离散傅里叶变换 (IDFT) 公式:
若已知频域复数系数 F(k)，则原函数 f(n) 可以通过以下公式还原：
f(n) = (1/N) * ∑ [F(k) * exp(2πikn/N)]
N 表示离散样本的总数，n 表示时域的离散时间。
注意：上述公式描述了常见的傅里叶变换和反变换的原理，但并未提及具体的数学表达式符号。
sinwt绝对值的傅里叶级数
sinwt绝对值的傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期函数分解为一系列正弦函数和余弦函数的和，通过这种分解可以得到原函数的频率成分和振幅。
对于一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = a0/2 + ∑[an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)]其中an和bn分别是傅里叶级数中的系数，ω = 2π/T是角频率。
我们下面将对周期函数sin(wt)的傅里叶级数进行推导。
首先，对于sin(wt)函数来说，其周期为2π/w。
根据傅里叶级数的公式，我们可以将其展开为：sin(wt) = a0/2 + ∑[an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)]对于此处的周期函数，我们可以计算出a0和bn的值，因为对于偶函数sin(wt)来说，其bn为0。
而a0可以通过计算周期函数在一个周期内取值的平均值得到，即：a0 = (2/w) * ∫[0,w] sin(wt) dt对于sin(wt)函数而言，它可以看作是奇函数，即满足f(-t) = -f(t)。
根据这个性质，可以得出：a0 = 0因此，sin(wt)的傅里叶级数简化为：sin(wt) = ∑[bn*sin(nωt)]接下来我们来计算bn的值。
根据傅里叶级数的公式，可以计算bn的表达式为：bn = (2/T) * ∫[0,T] sin(wt) * sin(nωt) dt但是由于sin函数乘法的特殊性质，上述积分在不同的情况下有不同的结果。
当n = 1时，积分结果为T/2；当n ≠ 1时，积分结果为0。
因此，对于sin(wt)而言，我们可以得到：bn = (2/T) * (T/2) = 1最终，sin(wt)的傅里叶级数可以表示为：sin(wt) = ∑[sin(nωt)]这是因为系数bn的值为1，an的值为0，进一步简化了傅里叶级数的表达式。
通过对周期函数sin(wt)的傅里叶级数的推导，我们可以发现，该函数的傅里叶级数中只包含了一系列sin函数的和，而没有cos函数的存在。
傅里叶变换与傅里叶级数
重温傅里叶—笔记篇本文记录得大多就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明、(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明)重温傅里叶—笔记篇一、傅里叶级数＄关于三角函数系得正交性:三角函数系包括:1, ｃoｓｘ, sinx , coｓ２ｘ, ｓin 2x, ……cos nx, ｓin ｎx, ……“正交性"就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在(－π, π) 区间内得积分为0。
(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(—π,π)上积分都为0)。
不同频率(但都就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(－π, π)上积分恒为０。
同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在(－π,π)上积分才就是0、三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(—π,π)上得积分恒为π,“１”在这个区间上得积分为2π。
＄上公式！①当周期为2π时:式(１):上式成立得条件就是ｆ(x)满足狄立克雷充分条件:１。
在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点;２. 任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就是一样得)式(1)第一行中得a0／2 就就是f(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f(x)就是连续函数得情况成立;如果ｆ(x)不连续,则应表示成“(１／２)×［f(x—０)+ｆ(ｘ+0)］”,即ｆ(x)左右极限得算术平均。
下面得类似情况都就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。
第三、四行中,n得取值都就是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。
②当周期为2L时(这也就是最一般得情形):式(2):第一行中得a0/2 就就是f(x)得周期平均值;第三、四行中,n得取值都就是:１,2,3,４,……ｎ,……(都为正,且不包含0)。
周期为2π的周期函数转换为傅里叶级数
（1）在区间 [ , ] 连续或只有有限个第一类间断点；
（2）在区间[ , ] 只有有限极值点，
则函数f (x)的傅里叶级数收敛，且
（1）当是连续点时，级数收敛于f (x) ；
（2）当是间断点时，级数收敛于 f (x 0) f (x 0) 2
本课件由王科设计、开发
a0
1
1
f (x)dx
0
xdx
1
x2 2
0
2
an
1
f (x) cos nxdx
1
x cos nxdx
0
1
x n
sin
nx
1 n2
cos
nx
0
1
n2
(cos
n
1)
0n
2
n2
2, 4, 6L n 1,3,5L
本课件由王科设计、开发
bn
1
f (x) sin nxdx 1
f (x) 4 [sin x 1 sin 3x 1 sin 5x 1 sin( 2n 1)x ]
3
5
2n 1
由收敛定理知函数f (x)在
( x , x k , k 0,1,2 )
范围内与级数相等,即
f (x) 4 [sin x 1 sin 3x 1 sin 5x 1 sin( 2n 1)x ]
bn 0 (n 1,2, )
a0
2
f (x)dx
0
2
(x 1)dx
0
1 x 12 2
0
an
2
0
f (x) cos nxdx 2
(x 1) cos nxdx
0
2 x sin nx 1 cos nx sin nx
f(t)=coswt的傅里叶变换
傅里叶变换是分析周期信号和非周期信号时非常重要的工具，它可以将信号从时域转换为频域，从而揭示信号的频率成分和振幅。
在工程领域和数学领域都有广泛的应用。
f(t)=coswt是一个非周期正弦信号，我们将探讨它的傅里叶变换过程。
文章将从以下几个方面进行讨论：一、f(t)=coswt的傅里叶级数展开我们首先来看f(t)=coswt在一个周期内的波形。
coswt是一个频率为w的正弦信号，其周期为2π/w。
将其进行周期延拓，可以得到其周期延拓后的函数为f(t)=coswt, -∞< t < ∞。
根据傅里叶级数展开公式，我们有：f(t)=coswt=1/2(a0+∑(an*cos(nwt)+bn*sin(nwt)))其中n为正整数，an和bn分别为f(t)在一个周期内的余弦项系数和正弦项系数。
根据傅里叶级数展开的公式，我们可以得到：a0=2/π∫(0 to 2π) coswt dt=2/π∫(0 to 2π) dt=2an=2/π∫(0 to 2π) coswt*cos(nwt) dt=2/π∫(0 to2π)1/2(cos((n+1)wt)+cos((n-1)wt)) dt=0bn=2/π∫(0 to 2π) coswt*sin(nwt) dt=2/π∫(0 to2π)1/2(sin((n+1)wt)-sin((n-1)wt)) dt=-2/π(sin((n+1)wt)-sin((n-1)wt) )/(n+1) -2/π(sin((n-1)wt)-sin((n-1)wt) )/(n-1)=0所以f(t)=coswt的傅里叶级数展开为：f(t)=coswt=1+∑(0)即f(t)=coswt的傅里叶级数展开为其本身。
二、f(t)=coswt的傅里叶变换根据傅里叶变换的定义，信号f(t)=coswt的傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω)=∫(-∞ to ∞) f(t)e^(-jwt) dt带入f(t)=coswt的表达式，我们可以得到：F(ω)=∫(-∞ to ∞) coswt*e^(-jwt) dt根据欧拉公式，可以将coswt和e^(-jwt)表示为复指数形式，得到：F(ω)=1/2∫(-∞ to ∞) (e^(jwt)+e^(-jwt)) * e^(-jwt) dt化简得到：F(ω)=1/2∫(-∞ to ∞) e^(jwt) dt + 1/2∫(-∞ to ∞) e^(-jwt) dt对于第一项∫(-∞ to ∞) e^(jwt) dt，可以使用矩形波函数的傅里叶变换表，得到其傅里叶变换为2π*δ(w-ω)。
周期为2π的周期函数展开成傅里叶级数共21页
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
周期为2π的周期函数展开成傅里叶级 数
46、法律有权打破平静。——马·格林 7、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
以2L为周期的傅氏级数
y
3
2
o
2
3
x
由于 f 是按段光滑函数,故可展开成余弦级数.
因为
a02
sinxdx ,
0
4
2
a10sin xcoxsdx0,
0, n3,5,,
an20sin xconsxd x4n211,n2,4,.
所以
2 1 4
sixnm14m21co2m s x
所以当 x(0,2) 时,由收敛定理 得
f(x)xn 1n4 (1)n1sin n2 x
(ii) 为了把 f 展成余弦级数,对 f 作偶式
周期延拓如下图:
y
8 6 4 2
o2 4 6 8
x
2
则
a0 0 xdx2,
a n 2 20 2 x cn o 2 xd s n x 2 4 2[ 1 ()n 1 ]n , 1 ,2 ,
于是由(1)与(2)式分别得
fx ~ F (t)~ a 2 0 n 1(a nco n lx s b nsin ln x )(3)
l
nx
anlf(x)colsd,n x0,1 ,2, (4)
l
nx
bnlf(x)sin l d,n x0,1,2,
这里(4)式是以 2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数，
解 l 2,满足狄氏充分. 条件k
a012020dx1202kdxk,
4 2 0 2
x 4
an
1 2kconsxdx 0,
20
2
(n1,2,)
bn1202ksin n2xdxnk(1cons)
n2k
当n1,3,5, ,
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an 0 （n1,2,）
bn
2
f(x)sinnxdx 2
0
sinnxdx
0
2
1 n
cosnx
0
2 (1cosn) n
n2本[1课件(由王1)科n设]计、开n04发
n1,3,5 n2,4,6
于是，函数f (x)的傅立叶级数展开式为
f( x ) 4 [s x 1 is n 3 i x n 1 s5 i x n 1s2 i n n 1 ) x ( ]
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bn
1
f(x)sinnxdx
1
xsinnxdx
0
1nxcosnxn12sinnx0
1 ( cosn) (1)n1 (n1,2,3,L)
n
n
于是，函数 f (x)的傅立叶级数展开式为
f(x)42(cox s32c1o3sx512co5sx)
(sixn1sin 2x1si3nx)
一、案例 [矩形波的叠加]
周期函数可表示为f (T+t)=f (t)，T为函数 F (t)的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为
f(x)A siw n (t)
其中A为振幅，w为角频率， 为初相。
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电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成，如下图所示：
n2xsin n x1 ncons xs
in nx 0
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n2 2[ (1)n1] n 04 2
n1,3,5 n2,4,6
由于函数 f (x)在 (,) 上连续，所以
f(x ) 2 1 4 (cx o c3 s 2 3 o x s c5 2 5 o x s )
( x )
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二、 概念和公式的引出
三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和， 称为三角级数。它的一般形式为
f(x)a 20k 1(ancons xbnsinn)x
其中 a0,an,bn(n1,2,) 为常数。
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傅里叶级数 设f (x)是周期为 2 的周期函数，如果
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(2) 当函数f(x)是以 2 为周期的偶函数时，
anb n 210f(fx)(xc)sonisndxxdxx0
(n0,1,2,) (n1,2,)
傅立叶级数只含余弦项，称为余弦级数．
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练习3 [锯齿脉冲信号]
设锯齿脉冲信号函数 f (x)的周期为2 ，它在 [,] 的表达式为 f(x)0x,,0xx0
脉冲矩形波的信号函数f (x)是以 2 为周期 的周期函数，它在[,] 的表达式为
1,x0
f(x)
1,
0x
如右图所示，求此函数的
傅里叶级数展开式。
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解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下:
因为函数f (x)是奇函数，所以f (x) cosnx是奇函数，
因此f (x) cosnx（ ,）上积分为零．于是
如右图所示，将它展开成 傅里叶级数。
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解 函数 f (x)为非奇非偶函数．计算傅立叶系数如下．
a0
1
f (x)dx
1
0
xd x
1
x2 2
0
2
an
1
f(x)cosnxdx
1
xcosnxdx
0
1nxsinnxn12
cosnx 0
n12(cosn1)0n22nn2,41,,36,L5L
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内容简介
自然界的许多现象都具有周期性，如心脏 的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的 电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形 波和三角波以及由空气的周期性振动产生的 声波等等。
5.1 周期为 2 的周期函数展开成傅里叶级数
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
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2
3
( x x ( 2 k 1 ) k Z )
35
2 n 1
由收敛定理知函数f (x)在
( x ,x k,k 0 , 1 , 2 )
范围内与级数相等,即
f( x ) 4 [s x 1 is n 3 i x n 1 s5 i x n 1s2 i n n 1 ) x ( ]
35
2 n 1
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an1
f(x)consdxx
(n0,1,2,3,)
bn
1
f(x)sindxx
(n1,2,3,)
存在，则称它们为函数f (x)的傅里叶系数，由傅
里叶系数组成的三角级数
f(x)a 20k 1(ancons xbnsinn)x
称为傅里叶级数。
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收敛定理 （狄利克雷充分条件） 若周期为 2
的周期函数f (x)满足条件
（1）在区间 [,] 连续或只有有限个第一类间断点； （2）在区间[,] 只有有限极值点，
则函数f (x)的傅里叶级数收敛，且 （1）当是连续点时，级数收敛于f (x) ；
（2）当是间断点时，级数收敛于 f(x0)f(x0) 2
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三、进一步的练习
练习1 [脉冲矩行波]
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注：从以上几个例子可以得出下面ห้องสมุดไป่ตู้论：
(1) 当函数 f (x)是以 2为周期的奇函数时，
bna 1n 1f( x)fs(x in )ncdxxon sd 2 xx 0 0 f(x)sin ndxx(n (n01,1 ,2 ,2 , , ))
傅立叶级数只含正弦项，称为正弦级数．
当 xk 时，傅立叶级数收敛于
f(k0)f(k0) 1 10
2
2
此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示．
当n分别1,2,3,6取时，傅立叶 级数的部分和Sn(x)图形与函数 f (x)的方波逼近的情况，类似 于本章开始演示的图形．
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练习2 [脉冲三角信号]
已知脉冲三角信号f (x)是以2 为周期的周期函数， 它在 [,]的表达式为
f(x)xx11,,0xx0
如右图所示，将函数 f (x)展开成傅里叶级数。
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解 因为函数f (x)是偶函数，所以f (x)sinnx是奇函数，
因此它在（ ,）上积分为零．于是
bn 0 (n1,2,)
a0
2
0
f (x)dx
2
(x1)dx
0
1 x 12 2
0
an2
0
f(x)consdxx20(x1)consdxx