频率特性的概念.

5.1 频率特性的概念
一、定义：
线性系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。
二、特点：
设系统的闭环传递函数
b0 s m b1s m1 ... bm G( s) ............(n m) n n 1 a0 s a1s ... an
输入r(t)=Arsinwt，则 ：
L1 (s ) L2 (s )
6、穿越频率 wc
对数幅频特性曲线与频率轴交点的频率，即： L(wc) = 0 1 L2 (c ) 20 lg 6 20 lg c 0 c 6
24
L(w) 20lg5 –20db/dec
0
1 30 1 6
w
25
（二）典型环节的波德图
w
A(w)
G(jw)
n G(j ) 2 2 (j ) 2n (j ) n
A( ) G ( j ) 1
P(w)
P
n 2
(n 2 ) 2 (2 n ) 2
2
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
10
2 n ( ) G ( j ) arctg 2 n 2
斜率： L(10 ) L( ) 20lg(10 ) - 20lg
20dB/dec
穿越频率wc : 令 L(w)=0，即：20lgw = 0 ∴ wc = 1 它的对数幅频特性与积分环节以0dB线成镜象对称； 其对数相频特性与积分环节以0度线成镜象对称。 29
L(w) 0 0.1
0
8
5.2 典型环节的频率特性
一、频率特性的几何表示法
频率特性谱图，幅相频率特性曲线，对数频率特性 曲线等。
二、典型环节的频率特性谱图 ( ) 频率特性G( jw)的A(w)—w、 特性曲线图的
总称。
9
以振荡环节为例：
n G( s) 2 2 s 2n s n
2
2
设某系统的对数幅频特性为：
L( ) 20[lg 5 lg 1 900 2 ]
则可以作出以下两条渐近线：
低频段：w << 1/30 时， 900w2 << 1 可 忽略，于是 2
lg 1 900 0
∴ L(w) 可近似取：
L1 () 20 lg 5
22
高频段：w >> 1/30 时，900w2 >>1 ，故1可忽 略。
16
三、典型环节的幅相频率特性
频率特性 G( jw) 在复平面上为一复数矢量，则 当 w = 0 →∞变化时，矢量的端点在复平面内形 成的轨迹 — 奈奎斯特(Nyquist)图，也叫做幅相 图、极坐标图。 以振荡环节为例：
1 1 G( s) 2 2 G( j ) T s 2Ts 1 1 T 2 2 j 2T
3、对数幅频曲线的斜率
频率每变化一个十倍频程时对数幅值 L(w) 变化 的分贝数。 例：某对数幅频曲线为 L( ) 20 lg 以十倍频程表示的斜率： L(10 ) L( ) 20 lg 10 20 lg 20dB / dec
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4、渐近线
对数幅频特性可以用渐近线近似表示
d( dA( ) 0 dt 1
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
dt
2
) 0
m (r ) n 1 2 , Am
1 2 1 2
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由m (r ) n 1 2 2 可知：
① ζ >0.707，没有峰值，A(w)随w的增加呈单调衰 减； ② ζ ≤0.707，才发生谐振，有峰值。
]
其中，Ac A r A( )， ( ) t ( )
4
结论：
线性系统在正弦输入信号作用下，其稳态响应仍 是一个正弦函数，其频率与输入信号相同，幅值 Ac是输入信号的A(w) 倍，相角 (比输入信号 ) 的相角移动了 ( )
Ac A( ) Ar
称为输出正弦信号与输入正弦信号的 幅值比（幅频特性）。 信号的相位差（相频特性）。
+ 20dB/dec 1
w
-20
理想微分环节
( )
90 0
w
30
3、惯性环节和一阶微分环节
1 1 惯性环节： G( s) , G( j ) Ts 1 Tj 1 1 A( ) , ( ) arctgT 2 2 1 T
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1 T
6
例1：设系统单位反馈控制系统的开环传递函数为： 10 GK ( s ) s 1 当系统作用有输入信号 r(t) = sin(t+300)时，求 系统的稳态输出。
10 解： 闭环传递函数G ( s ) s 11 10 10(11 j ) 110 10 G ( j ) 2 j 2 2 2 2 j 11 11 11 11 2
1、比例环节 L(w)(dB)
20lgk
G( s) K , G( j ) K
L( ) wk.baidu.com 20 lg A( ) 20 lg K
0
w
( ) 00
00
90
( )
w
26
2、积分环节
1 1 1 G( s) , G( j ) j s j 1 A( ) , ( ) 900
lg 1 900 lg 30 L2 ( ) 20[lg 5 lg 30 ]
2
20 lg 6 20 lg
求高频段的斜率：
L2 (10) L2 () 20dB
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5、转折频率 ws
两条渐近线相交处的频率，也叫交接频率。即：
1 20 lg 5 20 lg 5 20 lg 30s s 30
对数相频特性曲线的横坐标按lgw分度，单位 为弧度/秒(rad/s)； 纵坐标仍按相角的度数线性分度。
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L( ) 20 lg A( )( dB)
60 40 20 0
0.1 0.2
1 2
10
w
( )
20
0
-20 -40
0.1 0.2
1 2
10
w
20
2、不论起点如何，只要角频率变化10倍，即 w2/w1=10，横坐标的间隔距离就是一个单位长 度，叫做一个“十倍频程”，以“dec”表示。
2
2
低频渐近线：当w << 1/T 时， L(w) ≈ – 20lg1 =0, 为一条与横轴重合的直线。
2
对于稳定系统，si 为负数，则当 t →∞时 ， Ciesit →0 ，系统的稳定输出为：
C(t) de
jt
d e
*
jt
(t )
Ar Ar Ar d [G(s) 2 (s j )]s- j [G(s) ]s- j G( j ) 2 s (s- j ) 2j Ar * d G ( j ) 2j
10 1 A( ) , ( ) arctg 11 122
又已知 Ar = 1 ，
r 30
0
10 Ac Ar A( ) 122 1 C r ( ) 30 arctg 11 10 1 0 C (t ) sin( t 30 arctg ) 11 122
Ar C ( s) G ( s) R( s) G ( s) 2 s 2
1
令 G(s)
K (s gi )
m
(s s )
j j 1
i 1 n
C(s)
K (s gi )
m
(s s )
j j 1
i 1 n
Ar 2 s 2
进行部分分式展开得：
110 2 10 2 10 A( ) G ( j ) ( 2 ) ( ) 11 2 112 2 112 2 10 10 ( ) arctg arctg arctg 110 110 11
7
由已知r(t)=sin(t+30°)，得 w=1
5
( ) ( ) t 称为输出正弦信号与输入正弦
三、频率特性
G( j ) A( j )e j ( )
• 系统的频率(响应)特性也是系统数学模型的 一种表达形式。 • 系统的频率特性实际上是当 s=jw 时系统的 传递函数，所以频率响应特性是系统传递函 数的一种特殊情况。
1 A(n ) 2
(n )

2
14
3、一般地，将A(w)在某一频率下达到最大值的现 象叫做“谐振”。 发生谐振的频率叫做“谐振频率”，用wr表示，也 可用wm 表示 。 该最大值叫做“谐振峰值”，用A(wr)或Am(w)表 示。 峰值 Am 以及峰值频率 wm 可运用极值条件求得：
G( jw)为复数，设其幅值 |G( jw)| = A(w) 相角
G (jw) (w)
j ( )
则：G( j ) A( )e
, G( j ) A( )e
j ( )
3
从而得： d
Ar Ar j ( ) A( )e ，d * A( )e j ( ) 2j 2j

L( ) 20 lg A( ) 20lg
1

20lg , ( ) 900
对数幅频特性的斜率：
令2 101， 则：
L(2 ) L(1 ) L(101 ) L(1 ) 20 lg( 101 ) 20 lg 1 20dB / dec
2 n arctg 2 1 ( ) n
令 w = 0→∞一系列数值，可求出相应的A 、φ ， 从而绘出不同ζ 时的幅频，相频曲线。
11
A(w)
0
1
0.71
0.5
0 .2
1
0
wn
w
12
( )
0
wn
w


2
ζ =1

0.2
0.7
13
可见： 1、当 w = 0 →∞时，振荡环节的幅频从1 开始 最终衰减为0，阻尼比较小时有峰值存在。而相 频则由 0 → 2、当 w = wn 时，
穿越频率wc： w=1时，L(w)=0，因此wc=1
27
L(w) 20 – 20db/dec 0 w
积分环节
0 90
0.1
1
( )
w
28
理想微分环节
G(s)=s , G( jw)=jw
A( ) , ( ) 900 L( ) 20 lg A( ) 20 lg , ( ) 900
C1 C2 Cn d d* C(s) ... s s1 s s2 s sn s jw s jw
求拉氏反变换得：
C (t ) C1e C2e ... Cn e de
s1t s2t sn t
jt
d e
* jt
（si 为系统的闭环特征根。）
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2T A( ) , ( ) arctg 2 2 2 2 2 2 1 T (1 T ) (2T ) 1
当 0时， A(0) 1, (0) 0
j
1 当 n时， T 1 A(n ) , (n ) 90 2
Ar Ar j [t ( )] C (t ) A( )e A( )e j[t ( )] 2j 2j
e Ar A( )[ 2j Ar A( ) sin[ t ( )] e Ac sin ( )
j [t ( )]
j [t ( )]
w→∞
1
当 时， A() 0， ()
A(wn) , wn
A1 ,w1 A2 ,w2
1
w=0
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四、典型环节的对数频率特性
利用半对数坐标系绘制系统的幅频和相频特性， 称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线—— 波德图，或波德曲线。 （一）波德图概念 1、对数幅频特性曲线的横坐标按lgw分度，单位 为弧度/秒(rad/s)； 纵坐标按 L( ) 20 lg 线性分度，单位是分贝 A( ) (dB)。