基本初等函数的图像与性质
五大基本初等函数性质及其图像
基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12反余弦函数，定义域为[-1，1]，值域为，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14反余切函数，定义域为，值域，为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
基本初等函数的图像与性质
在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。
一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。
它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。
二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。
幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。
3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。
② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。
③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。
2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。
九种基本初等函数图像及性质
九种基本初等函数图像及性质基本初等函数包括一次函数、平方函数、立方函数、根号函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数和正切函数等9种函数。
下面简单介绍它们的图像及性质。
一次函数的图像是一条直线，表达函数的形式为：y=ax+b(a≠0)，其中a表示斜率，b表示函数的截距，函数的性质是其增减性由斜率a决定。
平方函数的图像为一条凹凸不平的抛物线，表达函数的形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，a≠0，此函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。
立方函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a≠0，函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。
根号函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=a√x+b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是常数变动，函数的解析式在a变动时它的单调性也由正负变化。
指数函数的图像是一条右倾的曲线，表达函数的形式为：y=axb，其中a、b为实数，a>0、b≠0，函数的性质是其单调性由a、b的正负决定，是增函数当a>0且b>0时，是减函数当a>0且b<0时。
对数函数的图像是一个右倾的曲线，表达函数的形式为：y=alogx + b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是变数变动，函数的解析式在x变动时它的单调性也由正负变化。
正弦函数的图像是一个周期性的曲线，表达函数的形式为：y=Asin（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质是其单调性由A的正负决定，是增函数当A>0时，是减函数当A<0时。
余弦函数的图像同正弦函数，表达函数的形式为：y=Acos（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质同正弦函数一样。
正切函数的图像为一个弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=tanx，其中x代表，函数的性质是函数的单调性变化于π/2，函数的解析式在x变动到π。
六大基本初等函数图像及其性质(总12页)
六大基本初等函数图像及其性质(总12页)抛物线函数 y = x^2- 图像为开口朝上的抛物线，顶点在原点(0,0)- 奇函数，即f(-x) = -f(x)- 定义域为全体实数，值域为[0, +∞)- 极值点为顶点(0,0)，不存在最大值和最小值- 函数单调递增且无拐点反比例函数 y = 1/x-tu.grid正比例函数 y = x- 图像为平面直线，通过原点(0,0)- 定义域为全体实数，值域为全体实数- 函数单调递增，无拐点- 斜率代表变化率，斜率越大表示变化速度越快，斜率为正则表示函数单调增加，斜率为负则表示函数单调减少指数函数 y = a^x (a>0且a≠1)- 图像为上凸曲线，通过点(0,1)- 定义域为全体实数，值域为(0,+∞)- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值加速增大或减小对数函数y = logₐ(x) (a>0且a≠1)- 反指数函数，图像和指数函数的图像呈镜像关系- 定义域为(0,+∞)，值域为全体实数- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值增长速度逐渐变慢三角函数 y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x)- 正弦函数图像为周期性上下波动的连续曲线，取值范围[-1, 1] - 余弦函数图像为周期性波动的连续曲线，取值范围[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数是周期性函数，周期为2π- 正切函数图像为周期性波动的连续曲线，定义域为实数集合-{(2n + 1)π/2 | n∈Z}，值域为全体实数这些基本初等函数的图像和性质对数学的学习和应用有着重要的作用，掌握这些函数的图像及其性质，有助于理解数学问题的规律，并能够在实际问题中进行分析和求解。
高数总结：基本初等函数图像及其性质
⾼数总结：基本初等函数图像及其性质基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数n4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。
三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[⽆界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上⽅； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ?=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越⼤，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=?m n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a amnm nm yxf x xxx g ?=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [⽆界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式⼦N a log 叫做对数式。
基本初等函数图像及其性质表
函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式)0()(≠+=a b ax x f)0()(≠=k xkx f图像定义域 R R {}0|≠x xR值域 R），（∞+0 必过点）（b ,0），（c 0 )1,(1,--k k ）（）（1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数不是周期函数单调性在R 上单增)2-a b-∞，（为减),2+∞-ab （为增 ）为减，（0-∞）为减，（∞+0为减为增，101<<>a a最大最小值在R 不存在最大最小值开口向上有最小值ab ac y 442min-=不存在最大最小值在R 上不存在最大最小值奇偶性非奇非偶函数为奇函数00≠=b b偶函数为非奇非为偶函数，00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数对称性为常数。
对称，函数图像关于直线任何一点对称；关于图像上t t x a y +=1-对称直线函数图像关于abx 2-= 函数图像关于原点对称； 对称。
直线和关于对称，直线图像关于x y x y -==既不成中心对称也不成轴对称。
渐近线 无 无.00==y x 直线或者直线.0=y 直线)0()(2≠++=a cbx ax x f )10()(≠=a a a x f x且＞0＞a＞a 0＞k ),44[2+∞-ab ac ），（），（∞+⋃∞00-a y =)10(<<a xa y =)1(>a xyO1函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数含绝对值函数解析式)10(log ≠>=a a y xa且)0(≥=x xyba b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像O 1yx)10(log <<=a y xa)1(log >=a y xaOyxxy =11定义域 ()∞+，0[)∞+，00}x |{x ≠R值域R[)∞+，0(][)∞+∞，，ab ab 22--[)+∞-,a b必过点）（0,1()1,1)2,(2,ab abab ab--）（),(,a b b a b a --）（周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数单调性单调递减。
河南专升本六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y=C（其中C为常数）；αy=x y=x2y=x3R R RR[0,+∞)R奇偶奇增[0,+∞)增增(-∞,0]减y y=x2 y=x2x-1O1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ∈(-∞,+∞)，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数；3）当α为正有理数m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0,+∞），n 为奇数时函数的定义域为（-n∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数y =a x(x 是自变量,a 是常数且a >0，a ≠1)，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：y(0,1)Oy =ax(a >1)y =1xy =ax(0<a <1)y(0,1)Oy =1x2.指数函数的性质；1））当a >1时函数为单调增,当0<a <1时函数为单调减；2））不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方；3））当x =0时,y =1,所以它的图形通过(0,1)点。
⎩=*=3.（选，补充）指数函数值的大小比较a ∈N *；a.底数互为倒数的两个指数函数⎛1⎫xf (x )=a x，f (x )= ⎪⎝a ⎭的函数图像关于y 轴对称。
h (x )=3xf (x )=2xy(0,1)b.1.当a >1时，a 值越大，y =a x的图像越靠近y 轴；Ox⎛1⎫xg (x )= ⎪y⎝3⎭⎛1⎫xq (x )= ⎪b.2.当0<a <1时，a 值越大，y =a x的图像越远离y 轴。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2xy =3x y =21xy =1-=x y定义域 R RR [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21xy =O=y xCy =Oxyy在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
五大基本初等函数性质及其图像
五、基原初等函数及其本量战图形之阳早格格创做1.幂函数函数称为幂函数.如，，，皆是幂函数.不统一的定义域，定义域由值决定.如,.但是正在内经常有定义的，且皆通过（1,1）面.当时，函数正在上是单调减少的，当时，函数正在内是单调缩小的.底下给出几个时常使用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3.图1-1-2图1-1-3函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调减少的；当时为单调缩小的，直线过面.下等数教中时常使用的指数函数是时，即.以取为例画出图形，如图1-1-4.图1-1-43.对于数函数函数称为对于数函数，其定义域，值域.当时单调减少，当时单调缩小，直线过（1，0）面，皆正在左半仄里内.取互为反函数.当时的对于数函数称为自然对于数，当时，称为时常使用对于数.以为例画出图形，如图1-1-5.图1-1-54.三角函数有，它们皆是周期函数.对于三角函数做简要的道述：（１）正弦函数取余弦函数：取定义域皆是，值域皆是.它们皆是有界函数，周期皆是，为奇函数，为奇函数.图形为图1-1-6、图1-1-7.图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为.周期，正在其定义域内单调减少的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期.正在定义域内是单调缩小的奇函数，图形如图1-1-9.图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的奇函数，图形如图1-1-10.图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期正在定义域为奇函数，图形如图1-1-11.图1-1-11反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，正在其定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12反余弦函数，定义域为[-1，1]，值域为，为有界函数，正在其定义域内为单调缩小的非奇非奇函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，正在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14反余切函数，定义域为，值域，为有界函数，正在其定义域内单调缩小的非奇非奇函数.图形如图1-1-15.图1-1-15。
(完整版)六大基本初等函数图像与性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
六大基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
基本初等函数性质与图像
基本初等函数性质与图像（1）2.17.1，6.17.1（2）3.1log4.2，1.1log4.2（3）4.23.0，4.24.0 （4）3.07.1，1.28.0解：（1）函数x y 7.1=在R 上是增函数 ∵ 6.12.1< ∴ 6.12.17.17.1<（2）函数x y 4.2log =在 上是 函数 ∵ ∴（3）作函数x y 3.0=和函数x y 4.0=的图像 令4.2=x如图（4）∵ 17.17.103.0=> 18.08.001.2=< ∴ 3.07.1 1.28.0变式训练1 比较大小：（1）2.07.0-，4.07.0- （2）2.1log 2.0，3.1log 2.0 （3）2.1log 2.0，2.1log 4.0 （4）9.0log 2.0，3.0log 1.21.设312.0212,)31(,3log ===c b a ，则（A ）c b a <<（B ）a b c <<（C ）b a c <<（D ）c a b <<2. 22113333333422y x ;y x ;y x y x y x y x x ;,;;y ---=======①②③④⑤⑥⑦如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①3.下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )Ａ．112132y x y x y x y x -====①,②,③,④ Ｂ．13212y x y x y x yx -====①,②,③,④Ｃ．12312y x y x y x yx -====①,②,③,④ Ｄ．112132y x yx yx y x -====①,②,③,④B4、已知10a -<<，则（ ）Ａ1(0.2)()(2)2aa a >> Ｂ1(2)(0.2)()2a aa >>Ｃ1()(0.2)(2)2aa a >> Ｄ1(2)()(0.2)2aaa >>5. 若2log 0a <，1()12b>，则 ( ) A ．1a >，0b > B ．1a >，0b < C. 01a <<，0b > D. 01a <<，0b <【答案】D6、幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是（ ）Ａ[)1,-+∞ Ｂ[)0,+∞ Ｃ(),-∞+∞ Ｄ(),0-∞7.（2011·山东高考）若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为：（A ）0 （B ）3（C ）1 （D 8.下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( )A .2log y x =B . 1y x =C .1()2x y =- D .13y x =9. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）A.2+5()y x x R =-∈B.3-()y x x x R =+∈C.)(3R x x y ∈= D. )0,(1≠∈-=x R x xy 【答案】C10. 设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ）A.312y y y >> B. 213y y y >> C. 132y y y >> D. 123y y y >>【C11．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A.)0(1≠∈=x R x xy 且 B.)()21(R x y x ∈= C.)(R x x y ∈= D.)(3R x x y ∈-=12、已知ƒ(x )在R 上是奇函数,且满足ƒ(x ＋4)＝ƒ(x ),当x ∈(0,2)时,ƒ(x )＝2x 2,则ƒ(7)等于 （ ）A －2 B 2 C －98 D 98 A10．设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，b x x f x -+-=221)(（b 为常数），则=)1(f （ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】A例1、若231++<x x a a ()1,0≠>a a 且，求：x 的取值范围。
基本初等函数图形及特性
a是有理数q/p＞0， p为偶数
［0，＋∞） a<0且|a|为偶数
（－∞，0）∪（0，＋∞）
（0，＋∞） a是有理数q/p＞0， p为偶数 （－∞，＋∞） a是有理数q/p＞0， q为偶数 ［0，＋∞） a是有理数q/p＞0， p、q均为奇数 a是有理数q/p＜0， p为偶数 （0，＋∞） a是有理数q/p<0， p为偶数 (0，＋∞） a是有理数q/p<0， q为偶数 a是有理数q/p＜0， （－∞，0）∪（0，＋∞） p为奇数 a是有理数q/p<0， p、q均为奇数 （－∞，0）∪（0，＋∞） (0，＋∞） （－∞，＋∞） ［0，＋∞）
基本初等函数
项目 名称 公式 定义域 值域 图形 特性 备注
常值函数
y=c
为常数）
(c
c
与x轴平行
a是正整数或零时
（－∞，＋∞）
a>0且a为奇数
（－∞，＋∞）
a是负整数
（－∞，0）∪（0，＋∞） a>0且a为偶数 a<0且|a|为奇数
［0，＋∞） a是有理数q/p，当|q|为偶数时，xa偶 函数， a是有理数q/p，当|q|、|p|均为奇数 a 时，x 奇函数， a 当|a|为偶数时，x 偶函数， 当|a|为奇数时，xa奇函数， 当a＞0时，在［0，＋∞）上严格单 调增加；当a＜0时，严格单调减少。 当a＞0且a为偶数时，在（－∞，0] 上单调减少；当a＞0且a为奇数时， 在（－∞，0]上单调增加； 当a＜0且|a|为偶数时，在（－∞，0) 上单调增加；当a＜0且|a|为奇数时， 在（－∞，0）上单调减少； 当 a是有理数q/p＞0，在（－∞，0] 上单调增加；a是有理数q/p＜0，在 （－∞，0）上单调减少.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
力。以函数的图像为载体，重点考查函数
的性质等有关知识。数形结合是重要的数
学思想，并且是高考考查的重点。
知识梳理一
一、中学基本初等函数
1.一元一次函数
3.指数函数
2.一元二次函数
4.对数函数
5．幂函数
7．绝对值函数
6.三角函数
8．分式函数
9．根式函数
10.三次函数
② 画图：把题目中涉及的基本条件在图像中反映 出来，特别是一些特殊点、特殊线以及图像的 变化规律等。
③ 求解：根据题目所要求的结论结合图像特点直 观判断、分析并求解，即数形结合综合求解。
数形结合思想
• 1.数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略, 它包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”. “以形助数”即是借助形的生动性和直观性来阐 明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数” 为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的 性质，应用数轴直观表达不等式组的解 集. “以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性 来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以 “形”为目的，如二分法确认方程根的分布，曲 线方程可以精确地阐明曲线的几何性质.
2 2 4 x x 0, x 4 x 0, x 0, 解析 方法一 x 0, x2 4x x2 2 x 2 4 x
0 x 4, x 0, 2 x 4. x 2或x 0,
典型例题2（图像法）
以上10种基本初等函数的图像要会画。
知识梳理二
二、基本初等函数的图像的变换 1．平移变换：水平平移和竖直平移
2．对称变换：关于x轴、y轴和原点对称
3．翻折变换： y | f ( x) | 与 y f ( x ) 图像画法 4．伸缩变换：主要指的是三角函数中的周期变换和 振幅变换
解题策略
① 弄清题意，分析涉及哪些基本初等函数或者是 由基本初等函数构成的复合函数。
方法二 数形结合法，
令 y 4 x x 2 ,则(x-2)2+y2=4 (y≥
0)其图象是半圆，在同一直角坐标 系中，分别作出 y 4 x x 2 ,y=x的
图象，如图所示，当0≤x≤2时， 4 x x 2 x; 当2<x≤4时， 4 x x 2 x; 故解集为（2，4］.
f(x-1)<0的解集是
解析 常规方法是分x-1>0,x-1<0 讨论，分别得到不等式，并解之. 如果能根据已知条件作出y=f(x)
.
的图象（奇函数图象关于原点对称）， 则可直观地得到f(x)<0的解为x<-1或0<x<1(见图).
典型例题2
从而f(x-1)<0的解为x-1<-1或0<x-1<1, 即x<0或1<x<2. 答案 {x|x<0或1<x<2} . 【例2】不等式 4 x x 2 x 的解集是
如图分别作出两个函数的图象，
2 y1 x 1, 由 y2 ax. 令y1=y2求出交点横坐标
从图形不难看出当函数y2的图象位于y1图象上方 时，对应的x的取值范围即为原不等式的解. ∴原不等式的解集为
2 a a2 4 a a 4 x x 2 2
代数统一体，永远联系，切莫分离”.可见，数形结
合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方
法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用.
典型例题1
【例1】已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R}，
且在(0,+∞）上单调递增，若f(1)=0,满足 （-1，0）∪（0，1） . x·f(x)<0的x的取值范围是 分析 函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是 不可能的，注意到x·f（x）<0表明自变量与函数 值异号，故可作出f（x）的图象加以解决. 解析 作出符合条件的一个函数图象
a a 4 a a 4 x ,x . 2 2
2 2 1 2
.
典型例题3
2 【例3】关于x的方程sin 2 x 3 cos 2 x a 1在 上有 0 ,
专家系列讲座
镇江市网络同步教学平台
高三数学组
友情提醒
同学们,当老师提问或请同学们练 习时，你可以按播放器上的暂停键思
考或练习，然后再点击播放键。
基本初等函数的图 像和性质
——数形结合思想的应用
江苏省句容高级中学
审稿 镇江市教研室
张艳滨
黄厚忠
高考展望
函数的图像是“形”与“数”的有机
结合。认识图形、画出图形、运用图形是
（草图即可），可知：x·f（x）<0的
x取值范围是（-1，0）∪（0，1）.
典型例题1变式
探究拓展 函数图象是函数对应关系的一种表现
方式，它具有直观、形象、简明的特点.通过绘出
函数图象，依图象确定相关不等式的解集的方 法，称作“图象法解不等式”. 变式训练1 （2009·徐州调研）设奇函数y=f(x) (x≠0),当x∈(0,+∞)时，f(x)=x-1，则不等式
数形结合思想
2.数形结合，是根据数量与图形之间的对应关 系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种 重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，它 可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化， 繁琐的问题条理化，从而，便于找到简捷的解 题思路，使问题得到解决. 3.在运用数形结合思想解题时，关注以下几个 方面：（1）由数想形时，要注意“形”的准 确性，这是数形结合的基础.
数形结合思想 （2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优 势.“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的 运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台 或模式，而“数”才是其真正的主角. 4.数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚 依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难
入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.切莫忘几何
答案 （2，4］ 图象法解不等式具有运算量小，思维，
必须能准确迅速作出相关函数或方程的图象，再
结合具体条件要求分析出结论来.图象法实质是转 化化归思想的应用.
典型例题2变式
变式训练2 解 解关于x的不等式：|x2-1|<ax (a>0). 设y1=|x2-1|, y2=ax (a>0).