线代18答案 线性代数试题库
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苏州大学《线性代数》课程（第十八卷）答案 共3页 院系 专业
一、选择题：（15%）
（1）d (2) b (3) a (4) b (5) c 二、填空题：（15%） 1、 6 2、 ()k k T
1,5,
1为任意常数 3、0
4、 2，线性无关，正交
5、 10
三、（8%）解： D=
11
10000
01000
1
000121=Λ
ΛM M M
M M ΛΛ
Λn a a a （从第一行起，每一行加到下一行）
（10%）
四、（10%）解：()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=000021102001411122212112Λb A （3%）
其导出组的基础解系为(),1,1,0T
-=η （3%）
原方程组的一个特解为()T
0,2,
20=μ （2%）
方程组的全部解为ημc X +=0，其中c 为任意常数 （2%）
五、（15%）解：由321,,ααα线性相关得0)1)(2(2
3
1
2211
112=-+=++++=b b b b b b b
A
（3%） 当2-=b 时， ()→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=Λ3033221111123
21
βααα⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--600011101112
β 不能由 321,,ααα线性表示，所以2-=b 舍去 （3%）
当1=b 时，()→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ3333222211113
21
βααα⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛000000001111（3%）
β 能由 321,,ααα线性表示，所以1=b （3%）
=β213221121, )1(k k k k k k ααα++--为任意常数 （3%）
六、（15%）解：（1）)5()1(3
2
23
00
01
2--=-----=
-λλλλλλA I
特征值：5 ,122,1==λλ （3%）
对于()⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=000000110220220000,11ΛA I λλ
特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011ξ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1102ξ
对应于12,1=λ的所有特征向量2211ξξk k + 21, k k 不全为0 （4%）
对于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000110001220220004,52Λλ，特征向量⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1103ξ
对应于5 2=λ的所有特征向量33ξk 0 3≠k （3%）
（2）易知321,,ξξξ两两正交，将其单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011η，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110212η，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=110213η
（3%）
()⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=Λ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-==511 ,2121021210
001
,,321ηηηQ （2%） 七、（10%）证明：由A A =2
得 0)(=-E A A 一方面，n E A r A r ≤-+)()(
另一方面，n E r E A A r E A r A r ==-+≥-+)())(()()( 所以得n E A r A r =-+)()(。
八、（12%）解：由已知得A 有三个不同的特征值，所以可以对角化。 （2%）
令()⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==121 ,121011101,,321αααP （1%）
13311---Λ=⇒Λ=⇒Λ=P P A P P A AP P 131133)2(22---Λ-Λ=Λ-Λ=⇒-=P P P P P P B A A B （3%）
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-121101121
21
1
P
（3%） ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=104852524021B （3%）