线性方程组迭代法习题课1
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线性方程组求解
习题课
一、给定方程组123211*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。
解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为
-1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因为3
5
04J I B λλλ-=+=，得特征值
1230,,22i i
λλλ===-
得(
)12
J B ρ=
> ，由定理知Jacobi 迭代法发散。
对Seidel 迭代法，迭代矩阵为
()1
S B D L U
-=-=
1
20001100.50.511000100.50.5112000000.5---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
显然，其特征值为1230,0.5λλλ===-
故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。
二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，11220a a ≠，
112221120a a a a -≠。证明：解线性方程组的Jacobi
迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明：
121
1111
122221
21
22
0000
00J a a a a B a a a a -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫
⎪==
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭
()2
1221
1122det J a a I B a a λλ-=-，故(
)J B λ= (
)J B ρ=
。
1211111
1221
2212211122000000S a a a a B a a a a a a -⎛⎫-
⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝
⎭ ()12211122det S a a I B a a λλλ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，()12211,211220,S a a B a a λ=，得 ()12211122G a a B a a ρ=
。注意到
(
)()1221
1122
11J S a a B B a a ρρ=
<⇔=< 由定理Jacobi 和Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。
三、对于12313211x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，若用迭代公式
()
()
()
1()k k k x
x
Ax
b α+=+-，k=0，1，2，…
取什么实数范围内的α可使迭代收敛？ 解：迭代公式可写成
()
()()
1k k x
I A x
b αα+=+-
迭代矩阵为B I A α=+。易求出A 的特征值为1和4，故有B 的特征值为1α+和4α+。所以
(){}max 1,14B ραα=++
要收敛，由定理有
()11110141
2B αραα⎧+<⎪<⇔⇔-<<⎨+<⎪⎩。
所以1,02α⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
是迭代收敛。
α
取什么值可使收敛最快？
四、设A 是n 阶非奇异阵，B 为n 阶奇异阵，试证：
()1
A B Cond A A
-≤ 其中，•
是矩阵的算子范数。
证明：
因为
Cond(A)= 1
A A -•，所以本题不等式的证
明可转化为证明
11A A B -•-≥
1A -存在显然。注意到
(
)111I A B A A B A A B ----=-≤•-
为引入向量证明矩阵范数，考虑矩阵B 对应的齐次方程组Bx=0。因为B 是奇异阵，存在非零向量y 满足By=0，用1
A -左乘得1
0A By -=，有
()1y I A B y -=-
两边取范数有
(
)11y I A B y I A B y --=-≤-•
因为0y
≠，得11,I A B --
≥而
11I A B A A B ---≤•-
所以有11A A B -•-≥ 证毕。
五、 设,n n A B R ⨯∈，A 非奇异，对线性方程组
1122A B x b B A x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
有块Jacobi 迭代法
()()
()
()
1112
122
1
k k k k Ax b Bx Ax b Bx ++=-=-
试给出其矩阵迭代格式和块Seidel 迭代格式。 解：Jacobi 迭代公式可写成
()()()()111112220000k k k k A x B x b A B b x x ++⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故有块Jacobi 迭代矩阵格式为
()()()()11
1111122200
k k J k k x x b A C b A x x +--+⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 1
11100000
0J B A A B C B A A B -----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤==⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
块Seidel
()
(
)
()
()
1112
1112
1
k k k k Ax b Bx Ax b Bx +++=-=-