固体物理(第5课)晶格振动一维单原子链

一维单原子链（一维布喇菲晶格） 3.1 一维单原子链（一维布喇菲晶格） 1. 运动方程:简谐近似下的振动 （简谐振动）
原 质 ： 子 量 m 原 标 ： 子 号 n 平 间 ： 衡 距 a 纵 位 ：n 向 移 x 向 右 xn > 0 向 左 xn < 0
1.简谐近似 简谐近似
f ≈ −βδ 常 数 β： 系 δ a ＝ ′ −a δ ： ， 引 >0 f <0 吸 力 δ ： ， 斥 <0 f >0 排 力
β
2π 可 看 当 加 时 原 的 移 n无 何 别 或 可 以 出 q增 ， 子 位 x 任 区 ， 者 以 a 2π 认 频 为 的 中 含 q′ = q+ 为 率 ω 波 包 着 ⋅l(l∈Z 不 的 长 )个 同 波 。 a
波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，
长波近似
qa ω(q) = 2 sin m 2 q 当 →0 即 →∞ ： ， λ 时
利用欧拉公式可将三角函数表示为e指数形式。
续 质 的 谐 面： e 连 介 中 简 平波 A i(ωt−νx) 波 A 格 ： ei(ωt−qna)
π 2 ν 波 ， ： 数 λ (1 ) π 2 q： 矢 大 为 ， 向 波 传 方 波 ，小 方 沿 的 播 向 λ 可 任 实 ν 取 意 数 π (2) π − <q≤+ ， 只 取 立 且 可 分 值 a a
第3章 晶格振动和晶格的热学性质 章
晶体原子不是静止状态，而是在作热运动。 晶体中的粒子在其平衡位置附近作微振动，而且由于 晶体内原子间存在相互作用力，因此各个原子的振动 不是孤立的，而是相互联系的。 整个晶格可以看作是一个互相耦合的振动系统，这个 系统的运动通常称为晶格振动。 晶格振动不仅对晶体的比热、热传导、热膨胀有影响， 而且和晶体的电学性质、光学性质、介电性质也有密 切联系。 利用晶格振动理论可对它们进行统一描述。
β
m
为格波的最高频率，试证它的振动模式总数是N。 (提示： 采用反证法，假设已知振动模式总数为N)
2 π π ⋅ l (l ∈Z)， 在 空 长 内 只 取 个 Qq = q 间 度 q 能 N 值 Na a a N N ∴的 分 密 为 = ， q 线 布 度 2 π 2π a β qa π π ω sin - ≤q< Q =2 m 2 a a
原子振动具有波料二象性，波动形式是晶格振动波， 是一种机械波。粒子形式是声子，不是实际粒子。 晶格振动波： 一是分析晶体中晶格振动的模式数， 二是计算振动波的色散关系，即波动频率—波数的关 系。 声子的种类和晶格振动波的模式数一一对应。 声子的能量—动量关系与晶格振动波的色散关系也 是一一对应。
晶格振动和声子
波的数学形式可以表示为波动函数
r f (r,t)
波动函数形式复杂，某一种特殊的波，有一些基本 的传输模式，对固体中的振动模型，可以采用最简单 的一维单原子链的振动模型。 一维晶体中长度为a的原胞中只含有一个质量为m的 球，它们被弹性系数为k的弹簧联起来，某一个球随 时间作纵向振动，所有球都会振动。
弹性波（纵波）的振动
短波
当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长 已不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则 ω是q的正弦函数．周期为２π/a。
3.1.4 周期性边界条件
波恩－ 波恩－卡门 周期性边界 条件
x1 = xN+1 ⇒Aei(ωt−qa) = Aei[ωt−q(N+1)a] ⇒e−iqNa =1
x： 续 质 任 点位 连 介 中 意 的置 (3 ) 格 的 置 na： 点 位
3.1.3 晶格振动的色散关系
dt2 将 n代 上 若 现 果 下 成 x 入 式 发 如 有 式 立
2 2 qa
m
d2xn
= β(xn+1 + xn− −2xn) 1
t xn = Aei(ω −qna)
β
ω(q) ≈
β
m
⋅ q ⋅a ⇒
ω(q)
q
=
β
m
⋅ a =常 波 u 数 即 速 =常 数
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 此时波长比原子间隔大很多 此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速： ： 固体中纵波的波速 ：杨氏模量 Y =常数 u= ρ 质的 线密 度 ρ：物 Y
β
色散曲线（振动频谱） 色散曲线（振动频谱）
ω =ν ⋅ q 弹 介 波 性 质
2 π qa 期 数 周 为 ←倒 原 长 易 胞 度 ω(q) = 2 sin 周 函 ， 期 m 2 a 2 π 若 ′ = q+ ⋅ l(l ∈Z) ω(q) ω(q′) ⇒xn(q) = xn(q′) (xn = Aei(ωt−qna) ) q ， ＝ a π π 将 限 在－ ， ← 一 里 区 q 制 第 布 渊 + a a
例题
例题1：试证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子 晶格链，每单位频率间隔的振动模式数为
2N 4β 2 −ω ρ(ω) = π m
− /2 1
例题2：已知由N个相同原子组成的一维单原子链，晶格格 波为
ρ(ω) =
2N
π
(ω −ω )
2 m
1 2 − /2
式 ω =2 中 m
在简谐近似下， 在简谐近似下，一维单原子链中原子的振动是频率为 ω的平面波，称之为格波。 的平面波，称之为格波。
比较
弹 振 的 谐 动 簧 子 简 振 ： d2x 2 K F = −Kx ⇒m 2 = −Kx 令 ＝ ω dt m d2x +ω2x = 0 其 为 x = Acos(ω +ϕ) ， 解 ： t 2 dt 连 介 中 简 平 波 续 质 的 谐 面 ：
前言
固体中热现象研究
能量守恒定律 热的本质：大量微观粒子无规则运动的宏观表 现。
气体热能量的定量计算气体的内能就是气体分子无 规则运动体现的热能量。 固体热能量：位置固定，晶格振动。 原子振动对固体比热容的贡献是主要来源。其次金 属中的电子在接近0k时有重要作用，铁磁体中的自 旋波对比热容也有影响。
例题1 例题 解 答
β a qa ω sin sin q ⇒ ∴ =2 =2 m 2 m 2
2 1/ 2 qa a β β m ω dq cos ⋅ d q = a⋅ ⋅ 1− dω = 2 m 2 2 m 4β 2 1/ 2 ω cos qa = 1−sin2 qa = 1− m 2 4β 2
β
β a qa ω sin sin q Q =2 =2 2 m m 2 当 波 ω 为 时 其 应 振 模 数 ∴ 格 的 变 ω+dω ， 对 的 动 式 ＝
当 波 q变 q +d q时 其 应 振 模 数= 格 的 为 ， 对 的 动 式 Na Na 2⋅ d q 即 ρ(ω) dω = 2⋅ dq 2 2 π π
ω =ν ⋅ q 其 q = 中
2 π
2 2 π 2π π 其 ω= 中 = =v =2 πγ λ T λ v
ω =ν ⋅ q
其中q = 2π
λ
(波 ) ν = Y ρ 矢
λ
ν= Y ρ
上式是弹性波纵波的公式， ω是圆频率， v是波速， ρ是介质密度，Y是扬氏弹性模量。 如果介质无穷长，q可取任意值，如果介质有长度为L， 则将形成驻波，L=n·λ/2，即1/λ = n / 2L。所以q只能取分 立值，q=2π/ λ= n π / L。
1 2 − /2

dω
− /2 1
2N 4β 2 dω⇒ρ(ω) = −ω π m
作业： 作业： 习题3.1(P82) 1 习题3.1(P82) 习题3.2(P82) 2 习题3.2(P82)
说 明
晶格的振动是简谐波，其波长由q确定，而q又取决于 倒易矢量，每个倒易矢量都与晶格点阵中的一族晶面垂 直，且代表这族晶面的面间距。 故q的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着格波波长 为na/l，na代表了某方向的晶体的长度，且格波与晶面 垂直。 可见晶体边长是格波的l倍，这里采用了波恩-卡门周期 性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件比驻波的要求更加宽松。
= β(xn+1 + xn−1 −2xn) = m m d2xn dt
2
d2xn dt2
= β(xn+1 + xn−1 −2xn)
运动方程的解
由 个 子 成 一 原 链 有 个 样 方 N 原 组 的 维 子 中 N 这 的 程 d2xn m 2 = β(xn+1 + xn−1 −2xn ) dt 设 程 解 ： n = Aei(ω(−qna) 方 的 为 x 幅 A： 振 −iω e = cosω−i sin ω ： 动 角 率 ω 振 的 频 qna： 第 原 振 的 相 子 n个 子 动 位 因
爱因斯坦：固体比热容理论，将n个原子的振动简 化为3n个谐振子，量子化假设，得到了比热容温度公 式。 玻恩和卡门：原子振动以晶格波的形式存在，创立 了晶格动力学。 德拜：简化了上述理论。 晶格动力学被应用到热力学性质，热传导，电导、 介电、光学和X射线衍射等方面。 声子：晶格振动波的能量量子。
晶格动力学
β
ω m Qdω = a⋅ ⋅ 1− m 4β
β
2 1/ 2
dq
− /2 1
Na Na 1 β d q = 2⋅ ∴ ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2 2 a m π π 2N 4β 2 = −ω π m
− /2 1
m Fra Baidu bibliotek ⋅ 1− 4β
l 2 2 l π π qN ∴ a = 2 ⋅ l l ∈Z ⇒q = ⋅ l = ⋅ = b⋅ π Na a N N N N π π Q− < q ≤ + ⇒− < l ≤ + l只 取 个 同 整 能 N 不 的 数 a a 2 2
在由N个原胞构成的一维单原子链中，q只能取N个不同 的分立值，这个数目等于链中含有的原胞数。
′ ′ δ = (rn+1 −rn) −(rn+1 −rn) ∴f = −β(xn+1 − xn) = r′+1 −r +1 −(r′ −r ) = xn+1 − xn n n n n
简谐近似下的运动方程
n号 子 受 ： 原 的 力 ＝ β f左 － (xn − xn−1) ＝ β f右 － (xn+1 − xn ) Qf左 f右 向 反 与 方 相 ∴f = f左− f右
（简谐振动） 简谐振动）
x 2 ω π x Acosωt − = Acosω − = Acosω − x = Acos(ω −νx) t t t u λ u ω 2π /T 2π 2 π = = 令＝ ， 数 波 ν u λ /T λ λ
Ae
i(ω − x) t ν
m = 2β[1−cos(qa)] = 4βsin ⇒ ω 2
ω(q) = 2
qa 则 足 动 程 满 振 方 sin m 2 和 这 关 称 色 关 或 散 线 ω q的 种 系 为 散 系 色 曲 . 2 π ω in q = a l： (q)m = 0 当 q = π (2l +1： (q)m = 2 β ) ω ax a m l ∈Z