固体物理(第5课)晶格振动一维单原子链

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3.1 一维单原子链

3.1 一维单原子链

一维无限原子链 —— 每个原子质量m,平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n+1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n+1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时,两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后,相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩-卡门(Born-Karman)周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长,所有原子是等价的,每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限,形成的链不是无穷长,链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系,即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下,格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性,晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程,最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质

晶格的热振动经典一维单原子链格波

晶格的热振动经典一维单原子链格波

0

Q2

0
0

Q3


d N 1 0
0 dN


QN 1 QN

解:Qq (t) Qqeit
引入“格点傅里叶变换”能实现这个目标!
Qq Qq*
q 取哪些值? 1st-BZ !《固体理论》-第一章 周期性结构
(李正中)
28
把格点傅里叶变换写成矩阵?
q1 =/= q2
1 =/= 2
but
un(q1) = un(q2)
(q1) = (q2)
q1 = 2 / na + q2
只需挑出第一布里渊区(1st BZ)进行计算
20
两个重要的极限情况
长波极限 短波极限
21
长波极限

c q —— 回到连续介质中弹性波的色散关系
2121考察结果考察结果qq11uunnqq22qq11只需挑出第一布里渊区只需挑出第一布里渊区11ststbzbz进行计算进行计算2222两个重要的极限情况两个重要的极限情况长波极限长波极限短波极限短波极限2323长波极限长波极限2424相邻原子之间的作用力格波传播速度连续介质的弹性模量和介质密度长波极限下一维单原子晶格格波可以看作是弹性波晶格可以看成是连续介质长波极限情况伸长模量2525一个波长内包含许多原子晶格看作是连续介质短波极限下相邻两个原子振动的位相相反而长波极限下相邻两个原子之间的位相差短波极限短波极限2626长波极限下短波极限下相邻两个原子振动位相差短波反映微观结构短波反映微观结构2727问题二
1
第一出发点
牛顿力学模型
m
d 2un dt 2

(un1 un1 2un )

3.1一维晶格振动

3.1一维晶格振动
时,它实际代表2N个方程的联立方程组。具有下面的格波解: i t 2 na q
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组:
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程,若原子链有N个原子,则有N个方
程,上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解:
nq Aei (t naq )
其中ω,A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链,可以看作是最简单的复式 晶格:每个原胞含有两个不同的原子P、Q,质量为m和M,且 m<M。相邻原子间距均为a,(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用,r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u(r)为原子间的互作用势能。

一维单原子链晶格振动解析步骤

一维单原子链晶格振动解析步骤

一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一,用于描述晶体中原子的振动行为。

在这个模型中,原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。

通过对一维单原子链的晶格振动进行分析,可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。

下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤:第一步:建立模型首先,我们要建立一维单原子链的模型。

假设晶格常数为a,原子间距为a/2,一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。

原子间的相互作用由弹簧模型描述,即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。

这个模型是一个简单的原子链模型,可以通过它来研究晶格振动的基本性质。

第二步:求解运动方程接下来,我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。

假设第n个原子的位移为Un(t),那么根据牛顿第二定律,可以得出该原子的运动方程为:m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中,Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数,-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。

第三步:假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题,我们可以假设原子的位移满足解的形式为:Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中,An是振幅,k是波数,ω是角频率,n是原子的编号。

将这个解代入到运动方程中,可以得到关于角频率ω和波数k的关系式,即声子色散关系。

声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系,是描述晶体中声子性质的重要工具。

第四步:得到声子色散关系将解的形式代入运动方程,我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。

具体地,我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为:ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。

从这个关系式可以看出,一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式,它们的能量随波数的变化方式不同。

一维原子链的晶格振动方程

一维原子链的晶格振动方程

一维原子链的晶格振动方程晶体是由原子或分子组成的周期性排列的结构,其内部的原子或分子通过振动相互作用,从而产生晶格振动。

晶格振动方程描述了一维原子链中原子的振动行为,对研究固体物理和材料科学具有重要意义。

一维原子链的晶格振动方程可以通过简化模型来描述。

我们假设原子链中的原子质量相同,且原子间的相互作用力为弹簧力。

在平衡位置附近,原子的位移可以用小量近似表示,即位移量远小于原子间距。

此时,可以利用胡克定律,将原子间的相互作用力近似为线性弹簧力。

根据胡克定律,弹簧的力与其伸长(或缩短)的长度成正比,且方向与伸长(或缩短)的方向相反。

对于一维原子链中相邻两个原子,其相互作用力可以表示为:F = -k(x - a) - k(x + a)其中,F为相互作用力,k为弹簧常数,x为原子的位移量,a为原子间距。

根据牛顿第二定律,物体的加速度与作用力成正比,与物体的质量成反比。

在一维原子链中,每个原子的加速度与相邻原子的相互作用力有关,可以表示为:m(d^2x/dt^2) = -k(x - a) - k(x + a)其中,m为原子的质量,d^2x/dt^2为原子的加速度,t为时间。

将上述方程进行简化,可得:d^2x/dt^2 = -k/m * (2x - a - a)化简后得到:d^2x/dt^2 = -2k/m * (x - a/2)这就是一维原子链的晶格振动方程。

从中可以看出,原子的加速度与位移量成正比,且与原子间距和弹簧常数有关。

当原子受到外力作用时,晶格振动方程可以进一步进行修正。

一维原子链的晶格振动方程可以通过求解微分方程得到解析解,也可以通过数值模拟方法进行计算。

对于周期性边界条件下的一维原子链,可以采用傅里叶变换的方法,将晶格振动分解为一系列特定频率的波动模式。

晶格振动在固体物理和材料科学中具有广泛的应用。

通过研究晶格振动,可以揭示物质的热力学性质、电子结构和传热传电等基本行为。

此外,晶格振动还与声学性质、热导率、热膨胀和热容等宏观性质密切相关,对于材料的设计和优化具有重要意义。

固体物理05-晶格振动

固体物理05-晶格振动

周期性边界条件(Born-Karman边界条件)
包含N个原子的环状链。当系统移动N个原子后,振动情况完全复原。
i t naq u ( q ) Ae 格波解: n
周期性边界条件要求: e
iNaq
1

2 qn Na
n 为整数
周期性边界条件(Born-Karman边界条件)
b1 b 2 b 3 * N1 N 2 N 3 N
每个q 点有3n支模式,总共有3nN支模,正好是nN个 原子的全部自由度,即已包含所以得振动模式。
Pb的格波谱
无光学模 Why?
Cu的格波谱
光学支 金刚石的振动谱
声学支


1.分别画出 M=m, 1.5m, 2m 的一维双原子链的色散关系图。
上述方程有 解的条件是:


m 2 2 2 cos aq
2 cos aq M 2
2
0
最后解得方程:

2
( M m) Mm

( M m ) 2 4 Mm sin 2 aq

β(M m) 4 Mm 2 sin aq 1 1 2 Mm ( M m)
u ( x, q ) Ae i t qx
连续介质波中的x表示为空间中的任意一点,而晶格中的格波只 能取na格点的位置。在格波中将aq改变2π的整数倍,原子的实 际振动没有任何不同。可以将q的取值范围限制在:


a
q

a
第一布里渊区
q 取第一布里渊区外的值,不能提供新的波解。
对于格波白色和黑色的这两种波动解是等价的(只在离散 的晶格上有振动),但对连续介质波来说,这两个波是不 一样的。

固体物理一维单原子链ppt课件

固体物理一维单原子链ppt课件

方程解和振动频率
设方程组的解
naq — 第n个原子振动位相因子
得到
格波方程
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系,即振动频谱 格波的意义
连续介质波
波数
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
—— 简谐近似下,格波是简谐平面波 —— 格波的波形图
&原子位移和简正坐标的关系: 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移

则:
原子坐标和简正坐标的线性变换
—— 线性变换为么正变换
Q简正坐标: 动能和势能的形式都有平方和的形式.
原子位移
为实数 ,则:
……(1)
—— N项独立的模式,具有正交性
……(2) ——正交性
证明1):
……(1)
同时可写为:
N个原子头尾相接形成一个环链,保持了所有原子等价的特点
N很大,原子运动近似 为直线运动 处理问题时要考虑到 环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后,第N+n个原子的位移 则有 要求
—— h为整数
波矢的取值范围
波矢 h — N个整数值,波矢q —— 取N个不同的分立值 每个波矢在第一布里渊区占的线度
采用波恩-卡曼边界条件:
波矢q:
x1

2h1 N1a1b1

x1

h1 N1
x2

2h2 N 2 a2b2

x2

h2 N2
x3

2h3 N3a3b3

x3

h3 N3
波矢空间一个点占据的体积

一维单原子链

一维单原子链

第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2a一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系qv p ω=2.21∑=qqQ 221∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑••=qiqna q n t Q Nmt ,)e (1)(μ∑∑∑′−′−′=nq qinaq q .q ina q .,t Q t QN T )e ()e (21∑∑∑′+′−′=q nq q ina qq .q .,Nt Q t Q)(e1)()(21∑∑′−′′=q qqq qq t Qt Q,)()(21,..δ∑−=qqqt Qt Q)()(21..∑=qqqt Qt Q)()(21.*.)()(*t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示:势能∑−=qinaqq n eQ Nm 1μ∑−−−='')1('11q aq n i q n e QNm μ∑−−=nn n U 21)(21μμβ1(')'(')','1{[1]}()2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e emNβ−++==+−−∑∑}2{2∑−−−−=qiaq iaq qq e e Q Q mβ{1cos()}q qqQ Qaq mβ−=−∑代入上式,得:*{1cos()}qqqU Q Q aq mβ=−∑利用)}cos(1{22aq mq −=βω2*12q q q qU Q Q ω=∑2221∑=qq q Q U ω系统势能所以2221∑=qq q Q U ω哈密顿量2221()2q q qqH T U Q Q ω=+=+∑ ——系统复数形式的简正坐标ti q q q eA Nm Q ω=势能动能∑=qq Q T 221 1()[()()]2Q q a q ib q =+)]()([21)(*q ib q a q Q −=∑=qq Q T 2212221∑=qq q Q U ω∑>+=22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=222)]()([21q q q b q a U ω能量本征值qq n n qωε=)21(+=2()/exp()()2qq n q q n Q H ξϕωξ=−=本征态函数一个简正坐标对应一个谐振子方程,波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数。

3.1一维晶格振动 固体物理研究生课程讲义

3.1一维晶格振动  固体物理研究生课程讲义

A 2 cos aq B 2 m 2
对于声学支格波:
A 2 cos(aq)
BA
2
m
2 A
π q π
2a
2a
cos( aq ) 0, A
2
M
, 所以2
m
2 A
0,
A 0 BA
声学支格波,相邻原子都是沿着同一方向振动的。
q 0, cosaq 1; 0 A B A
长声学波,相邻原子的位移相同,原胞内的不同原子以相 同的振幅和位相作整体运动。因此,可以说,长声学波代表了 原胞质心的运动。
2
2 sin aq
m
2
2.色散关系

q ,aຫໍສະໝຸດ max2; m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
若A,B不全为零,必须其系数行列式为零,即:
2 cos aq m 2 2
M 2 2 0 2 cos aq
2 {(m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq }
mM
2 o
mM
m M
m 2 M 2 2mM
cos
2aq
1 2
2 A
mM
m M
m 2 M 2 2mM
解:设最近邻原子间的恢复力系数为,则:
m
..
xn
xn
xn1
xn
x n1
xn Ae i t naq

高二物理竞赛一维单原子链的振动课件

高二物理竞赛一维单原子链的振动课件

C
Si
Ge
W计算 (eV/atom) 7.58
4.67
4.02
W实验 (eV/atom) 7.37
4.63
3.85
第n个原子的运动方程:
mm&&n b mn 1 mn 1 2mn
试解
mn Aei w t naq
—— 格波方程
mw2Aei wt naq b Aei wt n 1 aq Aei wt n 1 aq 2Aei wt naq
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§1、一维单原子链的振动
m分m子&轨&道n 由原子b的m2sn 、12px 、m2npy和1 2pz轨2m道n的线性组 合组成,称为sp3 杂化轨道。
12
n
N N+2
N+n
fqn ——b 简m约n 区 mn 1
b mn mn 1
b mn 1 mn 1 2mn
一、运动方程及其解 晶L=体N中a 所—有—原晶子体共链同的参长与度的同一频率的简谐振动称为
线a 性变换a系数正交条件:
只考虑最近邻原子间的相互作用:
fn
b mn mn 1 b mn mn 1 b mn 1 mn 1 2mn
1、杂化轨道 轨道杂化:在成键过程中,由几个能量接近的原子
轨道重新组合成成键能力更强的新分子轨道的现象。
以金刚石为例:
C原子的基态为:1s22s22p2
1s
1s
+4 eV
12
n
N N+2 N+n
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
e iNaq 1
m m 周期性边界条件(Born-Karman边界条件)

03-02一维单原子链讲解

03-02一维单原子链讲解

Solid State Physics



能量本征值

本征态函数
—— 将电子的运动和离子的运动分开
晶格具有周期性,晶格的振动具有波的形式 —— 格波
西 格波的研究
南 科
—— 先计算原子之间的相互作用力
技 大
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程,最后求解方程

Solid State Physics

体 物
一维无限原子链 —— 每个原子质量m,平衡时原
理 子间距a
—— 原子之间的作用力
Solid State Physics
固 体 物 理
玻恩-卡曼(Born-Karman)周期性边界条件
一维单原子晶格看作无限长,所有原子是等 价的,每个原子的振动形式都一样
实际的晶体为有限,形成的链不是无穷长, 西 链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述
南 科 技 大 学
Solid State Physics
格波
格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
西
南 科
—— 两种波矢q1和q2的格波中,原子的振动完全相同



Solid State Physics
固 体 物 理
—— 相邻原子的相位差取值
波矢的取值
—— 第一布里渊区
西

科 技
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题
大 学
—— 其它区域不能提供新的物理内容
固 体 物 理
简谐近似 —— 振动很微弱,势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
西



固体物理 5_2一维单元子链

固体物理 5_2一维单元子链

2 q h Na
波矢的取值范围

a
q

a
q 取N个不同分立值
N N h 2 2
h — N个整数值
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N N h 2 2 2 q h Na
结论:
h — N个整数值
q 取N个不同分立值
晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数
,q 数目=独立振动模式数
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } —— 声学波 mM (m M ) 2 1 (m M ) 4mM 2 2 {1 [1 sin aq] 2 } —— 光学波 mM (m M ) 2
q q a
2n Ae

a
i[t ( 2 n1) aq ]
dU f un1 un d
d 2U ( 2 )a dr
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用,第n个原子受到的作用力
(un1 un ) (un un1 ) (un1 un1 2un )

1 2
( ) min ( ) max
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
( ) min ( ) max —— 不存在频率为此区间的格波

一维单原子链振动

一维单原子链振动
热膨胀、传导和晶格振动的非 3谐效6.0应2密10切23相1关.3。81023 24.9
2
绝热近似
讨论晶体结构时,我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置 上固定不动的,但实际上,物质是在不断运动的,量子力学告诉我 们,即使达到绝对零度,仍具有零点能的振动。
它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。
一维单原子链运动
只考虑最近邻原子间的相互作用:
第n个原子受力
n-2 n-1
n
n+1 n+2
fn n1 n1 2n
第n个原子的运动方程
aa


n-2
n-1
n
n+1
n+2
m
2un t 2

n1 n1 2n
:力常数
强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、 磁性、结构相变等物理性质。
杜隆-珀替经验规律 能量均分原理, 趋于热平衡时,每个自由度的平均(动能)能量为kBT/2。 简谐振子的平均能量为kBT[平均动能+平均势能](从运动方程得出) 对N个原子,共有3N个简正模式,在温度T平衡时,晶格振动贡献 的内能为 1 mol晶体的E 定 3容N比kBT热 但实际上,低温下比热随温度CV的,m降 低3N而kB降低3N。0kB
a
l为整数,则 q 和 q' 描述同一晶格振动状态
例如 波长
q1


2a

2 1
, q2

5
2a

2 2
, q2
q1

2
a
1

4a, 2

4 5

固体物理学3晶格振动

固体物理学3晶格振动

第三章 晶格振动与晶体热力学性质3-1 一维晶格的振动一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解(1)模型:一维无限长的单原子链,原子间距(晶格常量)为a ,原子质量为m 。

用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移,用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。

(2)振动方程和解平衡时,第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =-)(r u 为两个原子间的互作用势能,平衡时为)(0r u ,t 时刻为)()(0r r u r u δ+=)()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332220)(d d 61)(d d 21d d )(000r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=3332220000d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力:⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2332200d d 21d d d d nk r nk r nkx r u x r u r u f 振动很微弱时,势能展开式中忽略掉(δr )二次方以上的高次项---简谐近似。

(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。

) 得: nk nk r nkx x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 022d d r r u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=β()k n kn x x f --=∑β原子的振动方程: ()k n knx x mx--=∑β..只考虑最近邻原子间的相互作用,且恢复力系数相等:()()11..+-----=n n n n x x x x n m x ββ ()11..2+----=n n n x x x nm x β给出试探解:()naq t i n A x --=ωe ])1([1e aq n t i n A x +--+=ω原子都以同一频率ω,同一振幅A 振动,其中naq 表示第n 个原子在t=0时刻的振动相位,相邻原子间的位相差为aq 。

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例题1 例题 解 答
β a qa ω sin sin q ⇒ ∴ =2 =2 m 2 m 2
2 1/ 2 qa a β β m ω dq cos ⋅ d q = a⋅ ⋅ 1− dω = 2 m 2 2 m 4β 2 1/ 2 ω cos qa = 1−sin2 qa = 1− m 2 4β 2
′ ′ δ = (rn+1 −rn) −(rn+1 −rn) ∴f = −β(xn+1 − xn) = r′+1 −r +1 −(r′ −r ) = xn+1 − xn n n n n
简谐近似下的运动方程
n号 子 受 : 原 的 力 = β f左 - (xn − xn−1) = β f右 - (xn+1 − xn ) Qf左 f右 向 反 与 方 相 ∴f = f左− f右
爱因斯坦:固体比热容理论,将n个原子的振动简 化为3n个谐振子,量子化假设,得到了比热容温度公 式。 玻恩和卡门:原子振动以晶格波的形式存在,创立 了晶格动力学。 德拜:简化了上述理论。 晶格动力学被应用到热力学性质,热传导,电导、 介电、光学和X射线衍射等方面。 声子:晶格振动波的能量量子。
晶格动力学
一维单原子链(一维布喇菲晶格) 3.1 一维单原子链(一维布喇菲晶格) 1. 运动方程:简谐近似下的振动 (简谐振动)
原 质 : 子 量 m 原 标 : 子 号 n 平 间 : 衡 距 a 纵 位 :n 向 移 x 向 右 xn > 0 向 左 xn < 0
1.简谐近似 简谐近似
f ≈ −βδ 常 数 β: 系 δ a = ′ −a δ : , 引 >0 f <0 吸 力 δ : , 斥 <0 f >0 排 力
β
ω(q) ≈
β
m
⋅ q ⋅a ⇒
ω(q)
q
=
β
m
⋅ a =常 波 u 数 即 速 =常 数
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 此时波长比原子间隔大很多 此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速: : 固体中纵波的波速 :杨氏模量 Y =常数 u= ρ 质的 线密 度 ρ:物 Y
m = 2β[1−cos(qa)] = 4βsin ⇒ ω 2
ω(q) = 2
qa 则 足 动 程 满 振 方 sin m 2 和 这 关 称 色 关 或 散 线 ω q的 种 系 为 散 系 色 曲 . 2 π ω in q = a l: (q)m = 0 当 q = π (2l +1: (q)m = 2 β ) ω ax a m l ∈Z
第3章 晶格振动和晶格的热学性质 章
晶体原子不是静止状态,而是在作热运动。 晶体中的粒子在其平衡位置附近作微振动,而且由于 晶体内原子间存在相互作用力,因此各个原子的振动 不是孤立的,而是相互联系的。 整个晶格可以看作是一个互相耦合的振动系统,这个 系统的运动通常称为晶格振动。 晶格振动不仅对晶体的比热、热传导、热膨胀有影响, 而且和晶体的电学性质、光学性质、介电性质也有密 切联系。 利用晶格振动理论可对它们进行统一描述。
= β(xn+1 + xn−1 −2xn) = m m d2xn dt
2
d2xn dt2
= β(xn+1 + xn−1 −2xn)
运动方程的解
由 个 子 成 一 原 链 有 个 样 方 N 原 组 的 维 子 中 N 这 的 程 d2xn m 2 = β(xn+1 + xn−1 −2xn ) dt 设 程 解 : n = Aei(ω(−qna) 方 的 为 x 幅 A: 振 −iω e = cosω−i sin ω : 动 角 率 ω 振 的 频 qna: 第 原 振 的 相 子 n个 子 动 位 因
x: 续 质 任 点位 连 介 中 意 的置 (3 ) 格 的 置 na: 点 位
3.1.3 晶格振动的色散关系
dt2 将 n代 上 若 现 果 下 成 x 入 式 发 如 有 式 立
2 2 qa
m
d2xn
= β(xn+1 + xn− −2xn) 1
t xn = Aei(ω −qna)
原子振动具有波料二象性,波动形式是晶格振动波, 是一种机械波。粒子形式是声子,不是实际粒子。 晶格振动波: 一是分析晶体中晶格振动的模式数, 二是计算振动波的色散关系,即波动频率—波数的关 系。 声子的种类和晶格振动波的模式数一一对应。 声子的能量—动量关系与晶格振动波的色散关系也 是一一对应。
晶格振动和声子
波的数学形式可以表示为波动函数
r f (r,t)
波动函数形式复杂,某一种特殊的波,有一些基本 的传输模式,对固体中的振动模型,可以采用最简单 的一维单原子链的振动模型。 一维晶体中长度为a的原胞中只含有一个质量为m的 球,它们被弹性系数为k的弹簧联起来,某一个球随 时间作纵向振动,所有球都会振动。
弹性波(纵波)的振动
β
β a qa ω sin sin q Q =2 =2 2 m m 2 当 波 ω 为 时 其 应 振 模 数 ∴ 格 的 变 ω+dω , 对 的 动 式 =
当 波 q变 q +d q时 其 应 振 模 数= 格 的 为 , 对 的 动 式 Na Na 2⋅ d q 即 ρ(ω) dω = 2⋅ dq 2 2 π π
短波
当q值较大时,即对于短波来说,晶体间隔相对于波长 已不具有连续性,晶体已不能作为连续介质来处理,则 ω是q的正弦函数.周期为2π/a。
3.1.4 周期性边界条件
波恩- 波恩-卡门 周期性边界 条件
x1 = xN+1 ⇒Aei(ωt−qa) = Aei[ωt−q(N+1)a] ⇒e−iqNa =1
β
m
为格波的最高频率,试证它的振动模式总数是N。 (提示: 采用反证法,假设已知振动模式总数为N)
2 π π ⋅ l (l ∈Z), 在 空 长 内 只 取 个 Qq = q 间 度 q 能 N 值 Na a a N N ∴的 分 密 为 = , q 线 布 度 2 π 2π a β qa π π ω sin - ≤q< Q =2 m 2 a a
l 2 2 l π π qN ∴ a = 2 ⋅ l l ∈Z ⇒q = ⋅ l = ⋅ = b⋅ π Na a N N N N π π Q− < q ≤ + ⇒− < l ≤ + l只 取 个 同 整 能 N 不 的 数 a a 2 2
在由N个原胞构成的一维单原子链中,q只能取N个不同 的分立值,这个数目等于链中含有的原胞数。
例题
例题1:试证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子 晶格链,每单位频率间隔的振动模式数为
2N 4β 2 −ω ρ(ω) = π m
− /2 1
例题2:已知由N个相同原子组成的一维单原子链,晶格格 波为
ρ(ω) =
2N
π
(ω −ω )
2 m
1 2 − /2
式 ω =2 中 m
β
色散曲线(振动频谱) 色散曲线(振动频谱)
ω =ν ⋅ q 弹 介 波 性 质
2 π qa 期 数 周 为 ←倒 原 长 易 胞 度 ω(q) = 2 sin 周 函 , 期 m 2 a 2 π 若 ′ = q+ ⋅ l(l ∈Z) ω(q) ω(q′) ⇒xn(q) = xn(q′) (xn = Aei(ωt−qna) ) q , = a π π 将 限 在- , ← 一 里 区 q 制 第 布 渊 + a a
β
2π 可 看 当 加 时 原 的 移 n无 何 别 或 可 以 出 q增 , 子 位 x 任 区 , 者 以 a 2π 认 频 为 的 中 含 q′ = q+ 为 率 ω 波 包 着 ⋅l(l∈Z 不 的 长 )个 同 波 。 a
波长不同,但是位移情况相同,即振动模式是相同的,
长波近似
qa ω(q) = 2 sin m 2 q 当 →0 即 →∞ : , λ 时
利用欧拉公式可将三角函数表示为e指数形式。
续 质 的 谐 面: e 连 介 中 简 平波 A i(ωt−νx) 波 A 格 : ei(ωt−qna)
π 2 ν 波 , : 数 λ (1 ) π 2 q: 矢 大 为 , 向 波 传 方 波 ,小 方 沿 的 播 向 λ 可 任 实 ν 取 意 数 π (2) π − <q≤+ , 只 取 立 且 可 分 值 a a
前言
固体中热现象研究
能量守恒定律 热的本质:大量微观粒子无规则运动的宏观表 现。
气体热能量的定量计算气体的内能就是气体分子无 规则运动体现的热能量。 固体热能量:位置固定,晶格振动。 原子振动对固体比热容的贡献是主要来源。其次金 属中的电子在接近0k时有重要作用,铁磁体中的自 旋波对比热容也有影响。
(简谐振动) 简谐振动)
x 2 ω π x Acosωt − = Acosω − = Acosω − x = Acos(ω −νx) t t t u λ u ω 2π /T 2π 2 π = = 令= , 数 波 ν u λ /T λ λ
Ae
i(ω − x) t ν
β
ω m Qdω = a⋅ ⋅ 1− m 4β
β
2 1/ 2
dq
− /2 1
Na Na 1 β d q = 2⋅ ∴ ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2 2 a m π π 2N 4β 2 = −ω π m
− /2 1
m ω ⋅ 1− 4β
ω =ν ⋅ qω= 中 = =v =2 πγ λ T λ v
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