高三数学寒假作业五(含答案)

高三数学寒假作业五

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程）

1.已知集合1|12x

A x ⎧⎫⎪⎪

⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

，集合{}|lg 0B x x =>，则A B =______.

2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是______.

3.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.

4.现把某类病毒记作m n X Y ，其中正整数(),6,8m n m n ≤≤可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为______.

5.若双曲线22

22x y a b

－＝1(a >0，b >0)与直线y 无交点，则离心率e 的取值范围是________．

6.等比数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，满足654320S S S -+=，则5S =______.

7.已知1

sin cos 5

αα+=

，0απ<<，则2sin sin 2αα+=______. 8.已知a R ∈，实数x ，y 满足方程22ln 0x x y -+=，则()()2

2

2a x a y -+--的最小值为______. 9.已知函数()3

2

*10,n n n

y a x a x

a

n N +=-≠∈的图像在1x =处的切线斜率为3n a +，且当1n =时其图像过

点()216

,，则7a =______. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点()00,M x y 是椭圆C ：22

163

x y +=在第一象限上的一点，从原点O 向圆

M ：()()22

002x x y y -+-=作两条切线1l ，2l ，若12l l ⊥，则圆M 的方程是______.

11.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()

0f b f a f x b a

-=-，则称0x 是

函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点，已知函数()1

42

x

x f x m +=--在区间[]0,1上存在均值点，

则实数m 的取值范围是______.

12.已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则

12

a b

+的最小值是______.

13.已知ABC ∆中，3AB =，1AC =，且()()31AB AC R λλλ+-∈的最小值为

2

，若P 为边AB 上任意一点，则PB PC ⋅的最小值是______.

14.已知函数()3

2

41f x x ax x =-+++在(]

0,2上是增函数，函数()ln 2ln g x x a x =--，若

3

12,,x x e e ⎡⎤∀∈⎣⎦（e 为自然对数的底数）时，不等式()()125g x g x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是

______.

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.

已知函数2

()12sin (

)4

f x x x π

=+--，

（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间． （2）若方程()0f x m -=在区间[,]4

π

π上有两个不同的

实数解，求实数m 的取值范围．

16.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，2a ，4a ，8a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2n a

n n b a =⋅，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，求n S .

17.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线OA ，OB 所成角为

23

π

，现欲在海岸线OA ，OB 上分别取点P ，Q 修建海堤，以便围成三角形陆地OPQ ，已知海堤PQ 长为6千米.

（1）如何选择P ，Q 的位置，使得OPQ ∆的面积最大； （2）若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤PQ

的

另一侧选取点M ，修建海堤MP ，MQ 围成四边形

陆地.当海堤MP 与MQ 的长度之和为10千米时，求四边形MPOQ 面积的最大值.

18.已知直线l为椭圆

22

1

43

x y

+=的右准线，直线l与x轴的交点记为P，过右焦点F的直线与椭圆交于A，

B两点.

（1）设点M在直线上，且满足MF AB

⊥，若直线OM与线段AB交于点D，求证：点D为线段AB的中点；

（2）设Q点的坐标为

5

,0

2

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，直线BQ与直线l交于点E，试问EA EP

⋅是否为定值，若是，求出这个定

值，若不是，请说明理由.

19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(

)*

231n n S a n N =-∈.

（1）求数列{}n a 的

通项公式；

（2）记()()111n n n n a b a a +=

--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式141

n k

T n >-+都

成立，求实数k 的取值范围； （3）记2

n

n n a c a =

+，是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m c -，1s c -，1t c -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由.