高考数学复习 专题一 第二讲 数形结合思想课件

x＋a－1的简图，依题意知应有
2a≤2－2a，故a≤12.
[答案] (1)(－1,0) (2)－∞ppt精，选12
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解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨 论，导致运算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形有联系， 那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决.
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2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范
围为
()
A．(2,3]
B．[4，＋∞)
C．(1,2]
D．[2,4)
解析：选 C 设y1＝(x－1)2，y2＝logax，则
y1的图像为如右图所示的抛物线．要使对
一切x∈(1,2)，y1<y2恒成立，显然a>1，并
且只需当x＝2时，logax≥1，所以a≤2，
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2．数形结合的途径 (1)通过坐标系“形题数解”： 借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数 化．这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也 是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题 数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是 因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．
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1．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，
lg x，x>0， f(x)＝1－x2，函数g(x)＝0，x＝0，
－1x，x<0，
则函数h(x)＝f(x)－
g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是
A．5
B．7
C．8
D．Hale Waihona Puke Baidu0
()
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解析：选 C 依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同 一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像，结合图像 得，当x∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.
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实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的 点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的 对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概 念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含 有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平 面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆．
[例1]
(1)(2012·北京高考)函数f(x)＝x
1 2
－12x的零点的个数
为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)(2012·天津高考)已知函数y＝|xx2－－11|的图像与函数y＝kx－2
的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
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1
[思路点拨] (1)将函数的零点转化为两个函数y1＝x 2 与y2＝
思想方法概述
角度一
专
第
应用角度例析 角度二
题
二
角度三
一
讲
通法归纳领悟
专题专项训练
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1
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2
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1．数形结合的含义 (1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过 数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法． 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有 助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的 有机结合．
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利用数形结合解不等式或求参数问题
[例2] (1)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．
(2)若不等式|x－2a|≥
1 2
x＋a－1对x∈R恒成立，a的取值范围
是________．
[思路点拨] (1)无法直接求解该不等式，可作出函数y1＝ log2(－x)和y2＝x＋1的图像，采用数形结合思想求解．
(2)若讨论x≥2a或x<2a解比较麻烦，可作出函数y1＝|x－2a|
与y2＝12x＋a－1的大致图像，利用数形结合思想求解．
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[解析] (1)在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)， y＝x＋1的图像，由图可知，x的取值范围是(－1,0)．
(2)作出y＝|x－2a|和y＝
1 2
图2
[答案] (1)B (2)(0,1)∪(p1p,t4精)选
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(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题 转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要 注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解.
(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数 形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.
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(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面， 其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观 性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的， 比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于 数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为 手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的 几何性质．
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(2)通过转化构造“数题形解”：
许多代数结构都有着相应的几何意义，据此，可以将数与
形进行巧妙地转化．例如，将a(a>0)与距离互化；将a2与面积互
化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与
余弦定理沟通；将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三
边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与
直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数
结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体
的)．另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正
是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解
题捷径．
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利用数形结合讨论方程的解或图像交点
12x图像的交点问题求解．
(2)在同一坐标内画出两个函数的图像，利用数形结合求解．
[解析] (1)在同一平面直角坐标系内作
出y1＝x
1 2
与y2＝12x的图像如图1所示，易知，
两函数图像只有一个交点．因此函数f(x)＝
x
1 2
－12x只有1个零点．
图1
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(2)根据绝对值的意义， y＝|xx2－－11|＝x－＋x1－，1x，>－1或1≤x<x－<11.， 在直角坐标系中作出该函数的图像，如图2中实线所示．根据 图像可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．