14复变函数的极限与连续

然后，利用教材24页定理2，分别求两个函数u(x,y)和 v(x,y)的极限，即
lim f (z) lim f (z) lim u(x, y) i lim v(x, y)
zz0
xx0 y y0
xx0 y y0
xx0 y y0
例
lim
zz0
|
z
||
z0
|
因为|z|在整个复平面上连续
P27,6
14
记作
lim f (z) A
zE , zz0
2
• z→z0的路径无穷，不能都列举
lim f (z) A lim f (z) A 0
zE , z z0
zE , z z0
lim
zz0
f1(z)
f2 (z)
A1 A2
lim
zz0
f1(z) f2 (z)
A1 A2
A2
0时，lim zz0
| f (z) f (z0 ) |
则称函数 w f在(z) 点连z0续 ，若 在E 中f (z每) 一点都 连续，则称 f (在z)E连续.
5
• 定理：复变函数f(z)在点z0=x0+y0连续的 充要条件是实部和虚部的两个二元函数 在点(x0,y0)都连续。
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与数学分析中的连续函数一样，我们可类似 地证得以下定理
lim
zz0
f (z)
不存在或存在但
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
只需验证 z
z0
在某方向上
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
或存在某方向 (x, y) (x0, y0) 时，有
lim
xx0
u(
x,
y)
u(
x0 ,
y0
)
或
lim
xx0
v(
x,
y)
wenku.baidu.comv(
x0 ,
y0
)
y y0
y y0
11
证明argz在原点和负实轴不连续
c
os
x x2
y2
arg
z0
arccos
x0 x0
arccos(1)
所以分段定义的二元函数argz在y=0且x<0这些点处不连续
综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处 连续。
f(z)=|z|的连续性？
f (z) x2 y2 是复变实值函数，是x,y的二元连续函数， 因此在整个复平面上连续。
定理1 若函数 f (与z) 函数 均g(z在) 点 连续z0，
则
f (和z) g(z) 在点f (z)g连(z续) ．进一步z0，
如果
，那么 在g点(z0) 连0 续。
f (z) g(z)
z0
7
定理2 函数 f (在z) 简单曲线 或C者有界闭区域 上连E续，则
⑴ f (在z) 它上为有界函数；
zE , z
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函数在某点处连续性的判别
基本解法：
(1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是
否连续
若都连续，则f(z)在z0连续 若不连续，则
f(z0)无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在
⑵ f (在z) 它上能取到最大值与最小值；
⑶ f (在z) 它上一致连续，即对任意的
在 ， (使) 当0
或z1者, z2 E 且
有 | z1 z2 |
| f (z1) f (z2 ) |
,存 0 z1, z2时C，
8
定义：如果对于任给定常数 A ，0 存 在 ( A，) 使0当 ， z E 0 | 时z ，z0 有|
f1 ( z ) f2(z)
A1 A2
3
• 复变函数在一点的极限可用两个二元实 函数在一点的极限来讨论，即
lim f (z) A lim Re f (z) Re A
zz0
Re zRe z0 Im zIm z0
且 lim Im f (z) Im A Re zRe z0 Im zIm z0
4
定义：设函数w f在(z)复平面上已给点集E上确定， 为z0 E 的一个聚点，且 z0 ，E如果对任意 ，存0在 ( )，使0当 且z E 时| z， 有z0 |
§1-4 复变函数的极限和连续
一、复变函数的极限 二、复变函数的连续性
1
定义：设函数 w f在(z)复平面上已给点集E上
确定，A为E 的一个聚点， 为z0一复常数，
如果对任意 , 存 在 0
，使当 ( ) 且0
时，有z E
0 | z z0 |
| f (z) A |
则称当z 在E 中趋于 时z0 , w 趋 f于(z极) 限A ，
x 0 x2 y2
x0 0 x02 02
即当x x0且 y 0 时，函数的极限值等于在点(x0,0)处 的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在 正实轴连续。
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(2) argz在z=0点无意义，因此不连续
(3) 在y＝0，x<0的半直线上
可是
lim
xx0 y0
arc
P26,4 证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实 轴上不连续性。
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函数极限的求法和极限不存在的判别法
方法1：当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一 点处连续的定义来求极限。即
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
方法2：当不能判断f(z)在z0点是否连续时，
首先，把f(z)写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。
由于
arg
z
arccos
x2
arccos
x y2
x
( y 0)
是分段定义的二元函数
( y 0)
x2 y2
当y>0或y<0时，显然是连续的。只要考虑y=0上的点函数
argz是否连续即可。
(1)由于当x0>0时有
lim
x x0
arc
c
os
y0
lim arccos
xx0 y0
x arccos x2 y2
则称当z在E 中| 趋f (z于) |时A
作
z0
趋于无穷大 ，记
f (z)
lim f (z)
zE , zz0
9
定义：如果对于任给定常数ε>0 ，存 在 ( )，使0 当 且z E 时| ，z |有
则称当z
| f (z) |
在E 中趋于无穷大
时
作
趋于
f (z)
，记
lim f (z)