高等代数课外习题 第七章 线性变换
高等代数与解析几何第七章习题线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵习题习题判别下列变换是否线性变换1设是线性空间中的一个固定向量,Ⅰ,,解：当时,显然是的线性变换；当时,有,,则,即此时不是的线性变换;Ⅱ,；解：当时,显然是的线性变换；当时,有,,则,即此时不是的线性变换;2在中,Ⅰ,解：不是的线性变换;因对于,有,,所以;Ⅱ；解：是的线性变换;设,其中,,则有,;3在中,Ⅰ,解：是的线性变换：设,则,,;Ⅱ,其中是中的固定数；解：是的线性变换：设,则,,;4把复数域看作复数域上的线性空间,,其中是的共轭复数；解：不是线性变换;因为取,时,有,,即;5在中,设与是其中的两个固定的矩阵,,;解：是的线性变换;对,,有,;习题在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换;证明表示恒等变换,,；并说明是否成立;证明：在中任取一个向量,则根据,及的定义可知：,,；, ,；,,,即,故;因为,,所以;因为,,所以;因为,,所以;习题在中,,,证明;证明：在中任取一多项式,有;所以;习题设,是上的线性变换;若,证明;证明：用数学归纳法证明;当时,有命题成立;假设等式对成立,即;下面证明等式对也成立;因有,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立; 习题证明1若是上的可逆线性变换,则的逆变换唯一；2若,是上的可逆线性变换,则也是可逆线性变换,且;证明：1设都是的逆变换,则有,;进而;即的逆变换唯一;2因,都是上的可逆线性变换,则有,同理有由定义知是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得;习题设是上的线性变换,向量,且,,,都不是零向量,但;证明,,,线性无关;证明：设,依次用可得,得,而,故；同理有：,得,即得；依次类推可得,即得,进而得;有定义知,,,线性无关;习题设是上的线性变换,证明是可逆线性变换的充要条件为既是单射线性变换又是满射线性变换,即是一一变换;证明：已知是可逆线性变换,即存在;若,则两端用作用即得,因此是单射线性变换;若任取,则存在,使得,即是满射线性变换;已知既是单射线性变换又是满射线性变换,即双射;现定义新的变换：,定有,且有,规定,有,同时有,即有;由定义知是可逆线性变换;习题设是上的线性变换,证明1是单射线性变换的充要条件为；2是单射线性变换的充要条件为把线性无关的向量组变为线性无关的向量组;证明：1已知是单射线性变换,对,则有,由单射得,即;已知,若,则有,得,即得,故是单射;2已知是单射线性变换;设线性无关,现证也线性无关;令,整理有,而是单射,有,已知线性无关,所以,故也线性无关;已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组;若,则有,并一定有;否则若,则说明向量线性无关,而表示把线性无关的向量组变为线性相关的向量组,与条件矛盾;而由可得,即是单射线性变换;习题设是中全体可逆线性变换所成的子集,证明关于线性变换的乘法构成一个群;超范围略习题设,是上的线性变换,且证明1若,则；2若,则;证明：1因为,;所以,从而或;又因为;故;2因为,,所以;习题设与分别是数域上的维与维线性空间,是的一个有序基,对于中任意个向量,证明存在唯一的线性映射,使,;证明：先证明存在性;对任意的,有唯一的线性表达式我们定义显然有,;现验证为到的一个线性映射;1对任意的向量,因为,由定义得;2对任意的,因为,由定义得; 所以为到的一个线性映射;再证唯一性：若另有到的一个线性映射,也使得,;则对任意向量,一定有;由在中的任意性,可得;习题设与分别是数域上的维与维线性空间,是线性映射;证明是的子空间,是的子空间;又若有限,证明;这时称为的零度,称为的秩;证明：1先证与分别为与的子空间,对,,有,所以,故为的子空间；同理,对,,则,使,,所以所以为的子空间.2再证因有限,不妨设,,在中取一个基,再把它扩充为的一个基,则是像空间的一个基.事实上,对,存在,使得;设,则有即中的任意向量都可由线性表示;现证向量组线性无关：设,有,即,所以向量可由向量组线性表示,进而有,整理有,又因线性无关,所以必有,因此线性无关,即为的一个基,故;习题证明关于定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间;证明：现证明定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法都是从到的线性映射;事实上,对,,有故为到的线性映射;同理,对,,有,,故为到的线性映射;另外线性映射的加法与数量乘法显然满足：1结合律：；2交换律: ；3存在零线性映射,对,有；4对,有负线性映射,使得；5；6；7；8;其中,所以关于定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间;习题证明：;证明：设为维线性空间,为维线性空间,即,;取定的一组基和的一组基;令为到的如下映射：,其中为在基与基下的矩阵;这样定义的是到的同构映射;事实上,1若,,且,则有,;由于,对每一个都有,故有,即是单射;2,令;则存在唯一的线性映射使得,并且由此可见,是满射;3对,,有,,其中即有,,所以,故有,所以是到的同构映射;进而有;习题习题求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵：1的线性变换,,其中为固定矩阵;求,在这个基下的矩阵；2设是线性空间的线性变换,求在基下的矩阵；36个函数：,,,,,的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间;求微分变换在基下的矩阵;解：1由,的定义直接可得：,,,; 所以在这个基下的矩阵为;,,,;所以在这个基下的矩阵为;2由直接可得：,,,………………………,………………………;所以在基下的矩阵为：;3由微分运算性质直接可得：,,,,,;所以微分变换在基下的矩阵为：;习题设是的一个基,,,,;已知线性无关;证明：1 存在唯一的线性变换,使,；21中的在基下的矩阵为；31中的在基下的矩阵为;证明：1因为线性无关,所以也是的一个基;故对的一个基及个向量,定存在唯一的线性变换,使,;2 由已知条件有,,其中与都是的基,所以可逆,且有,进而有;再由1得,所以在基下的矩阵为;3 类似有,所以在基下的矩阵为;习题在中,定义线性变换为,,,其中,,;1求在基下的矩阵；2求在基下的矩阵;解：1由定义知,, 所以有;故在基下的矩阵为：;2类似有;故在基下的矩阵为：;习题在中,线性变换在基,,下的矩阵是;求在基下的矩阵;解：已知,,则有;即在基下的矩阵为：;习题设数域上3维线性空间的线性变换在基下的矩阵为1求在基下的矩阵；2求在基下的矩阵；3求在基下的矩阵;解：1由已知可得,,;所以在基下的矩阵为：;2由已知可得,,;所以在基下的矩阵为：;3由已知可得,,;所以在基下的矩阵为：;习题在维线性空间中,设有线性变换与向量使,但;证明：在中存在一个基,使在该基下的矩阵为;证明：由习题知：维线性空间的向量组,,,线性无关,且有个向量,即构成的一组基,而线性变换作用此基有：,,……………,;故在基,,,下的矩阵为：;习题设是数域上维线性空间的全体线性变换组成的数域上的线性空间,试求,并找出中的一个基;求证：任取的一组基,令为到的映射：,其中;由引理及定理知为同构映射,即;所以它们的维数相同,而,故;现取,,使得,即,;已知,是的一组基,故,为的一组基;习题证明：与维线性空间的全体线性变换都可交换的线性变换是数乘变换;证明：在某组确定的基下,数域上的维线性空间的线性变换与数域上的阶方阵间建立了一个双射,因为与一切阶方阵可交换的方阵为数量矩阵,所以与一切线性变换可交换的线性变换必是数乘变换;习题设是维线性空间的一个线性变换,如果在的任意一个基下的矩阵都相同,则是数乘变换;证明：设在基下的矩阵为,只要证明为数量矩阵即可;设为任意可逆矩阵,令,则也是的一组基,且在这组基下的矩阵为,依题意有;特别地,当取时,计算可得;再取,由可得,即为数量矩阵,所以是数乘变换;习题证明：与相似,其中是的一个排列;证明：用依次表示这两个矩阵,取一个维线性空间及其一组基,对于矩阵,存在的线性变换,使得,由此可得;因为与是在不同基下的矩阵,所以与相似;习题如果可逆,证明与相似;证明：因为,所以与相似;习题如果与相似,与相似,试判断下列叙述是否正确如果不正确,请举反例,否则给出证明;1与相似；2与相似；3与相似;答：1正确;证明：由于与相似,与相似,因此存在可逆阵,,使得,,从而有,其中,所以与相似;2不正确;反例：设,,则有,使,,即,故与相似；再取,则与显然相似;但,;设,且满足,即,计算得,即得,故不可逆;所以与不相似;3不正确;反例：取同2,有,, 两矩阵秩不同;显然,与不相似;习题习题设是数域上线性空间,是的线性变换;如果是的特征值,则对任意多项式,是的特征值,且的属于的特征向量也是的属于的特征向量;证明：设为的属于的特征向量,即,则对任意自然数,有;事实上,当时,显然成立;假设时,有成立;现证时也成立,即;故由数学归纳法得式对任意自然数均成立;设,则有,即;习题对复数域上线性空间上的下述线性变换,求出它的特征值与特征向量,判断是否可以对角化,在可对角化时,求出过度矩阵,并计算;已知在的一个基下的矩阵为1；2；3；4;解：1设在基下的矩阵为,矩阵的特征多项式为;所以的特征值为,;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;可以对角化;取的两个线性无关的特征向量,,即,其中为由;2设在基下的矩阵为,且当时,有,于是矩阵的特征多项式为,所以的特征值为;求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,,因为的属于特征值的两个线性无关的特征向量为,所以以中任意非零向量为其特征向量;当时,矩阵的特征多项式为,所以的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;可以对角化;取的两个线性无关的特征向量,,即,其中为由;3设在基下的矩阵为,矩阵的特征多项式为;所以的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;由于找不到的三个线性无关的特征向量,故不可对角化;4设在基下的矩阵为,矩阵的特征多项式为;所以的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,,,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;可以对角化;取的四个线性无关的特征向量,,,,即,其中为由基到基的过渡矩阵;且有;习题证明：是矩阵的特征值的充要条件是矩阵为奇异阵; 证明：设非零向量为矩阵的属于特征值的特征向量,则有,整理得,因,所以齐次线性方程组有非零解,故系数行列式;反之亦然;习题设,求;解：矩阵的特征多项式为;所以的特征值为;对,解齐次线性方程组,得基础解系；对,解齐次线性方程组,得基础解系；对,解齐次线性方程组,得基础解系;令,有,进而有,故;习题设是4维线性空间的一个基,线性变换在这个基下的矩阵为;1 求在一个基下的矩阵,其中2求的特征值与特征向量；3求一可逆阵,使为对角阵;解：1由条件有,令,则线性变换在基下的矩阵为;2因为线性变换的特征多项式为;所以线性变换的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,,所以的属于特征值的线性无关的特征向量为,;全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的线性无关的特征向量为;全部特征向量为;最后求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的线性无关的特征向量为;全部特征向量为;3因为,所以所求的可逆矩阵为,于是有;习题1设是线性变换的两个不同特征值,是分别属于的特征向量;证明：不是的特征向量；2证明：如果线性变换以中每个非零向量作为它的特征向量,则是数乘变换;证明：1因为,,所以;假设是线性变换的属于特征值的特征向量,即,且有,整理可得;由于线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关,因此,于是得,这与题设矛盾,因而不是的特征向量;2任取的一个非零向量,设;再任取的一个向量,若或,则显然有；若,则由假设也是特征向量,设;如果,则由1知,不是的特征向量,这与题意矛盾;故,即仍有;这就说明的任意两个特征值都相等,故为数乘变换;习题设是的线性变换;证明：1的行列式为零的充要条件是至少有一个特征值为零；2如果是可逆线性变换,则其特征值一定不为零；又如果是的特征值,则必是的特征值;证明：1设线性变换在一组基下的矩阵为,是的所有特征值,则有,所以的行列式为零至少有一个;2反证法设可逆线性变换有一个特征值为,而是它的一个特征向量,即有;用作用的两边得,;这与矛盾,故可逆线性变换的特征值一定不为零;设为的属于特征值的一个特征向量,即;由于可逆,得,进而有,即,也可写成,故必是的一个特征值;习题设,是阶方阵;证明：1；2如果,则,即相似的矩阵必有相同的迹；3设,;验证：与有相同的特征多项式,但与不相似;证明：1设,为任意两个阶方阵,则主对角线上的元素为,,;它们的和为;同样,的主对角线上的元素的和为;故;2根据1可得; 即相似的矩阵必有相同的迹;3因为,所以其特征多项式为；又因为,所以其特征多项式为,故与有相同的特征多项式;现设矩阵,使得成立,展开有,,即得;解得;所以是不可逆的,故与不相似;习题设的线性变换的互不相同的特征值为;如果在每一个特征值的特征子空间中取基,恰构成全空间的一个基;证明：必可对角化;证明：设特征值的特征子空间的基为,,则有,,,即每一个,都是的特征向量;又知,恰构成空间的一个基,即得有个线性无关的特征向量,所以必可对角化;。
线性变换练习题参考答案
第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1.设鸟送，3是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换仃在这组基下的矩 阵是A=(a j 最3，口=x 11x %+2x 8炉V 则仃在基833V l下的矩阵B= 「001、T ，AT,而可逆矩阵T=010满足B=T,AT,ua 在基£132d 3下的坐标为♦0- &'Ax 2.2 .设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间P n 的线性变换仃：仃(与=人3"P n ,则仃,(0)={"A Z=0』w P n },dim (a -1(0))=n —r,dim 二(P n )=r.n 3.复矩阵A=(a j ).的全体特征值的和等于Z a ii ，而全体特征值的积等于i =1 IAJ.4 .设仃是n 维线性空间V 的线性变换，且仃在任一基下的矩阵都相同，则仃为__数乘一变换.5 .数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间L(V)为工2维线性空间，它与P n>n 同构.6 .设n 阶矩阵A 的全体特征值为入口2,…，4,f(x)为任一多项式，则f(A) 的全体特征值为f(1),f(2),,f(n ).7 .设A 」13i,则向量*'是A 的属于特征值4的特征向量.摩2)⑺0 -1相似，则k =』2 1」9 .设三阶方阵A 的特征多项式为f(?Q=73-2K 2-2九+3,则|A|=)10 .n 阶方阵A 满足A 2=A,则A 的特征值为0和1.f 18.右A =—1<0 01)<011 .线性空间R3上的线性变换为A(X I,X2,X3)=(K十2X3,3X2+3X3,X2—2x i),「102、变换A在基a=(1,0,0)"2=(0,1,0),S=(0,0,1)下的矩阵为033.「21。
」二、判断题1 .设。
是线性空间V的一个线性变换，口1,0(2，…R s W V线性无关，则向量组仃包工虫%)，…，仃Q s)也线性无关.(错)2 .设仃为n维线性空间V的一个线性变换，则由仃的秩+仃的零度=n,有V=D(V)㊉仃」(0).(错)未必有V=G(V)@<T-1(0).3 .在线性空间R2中定义变换。
高代第7章习题参考答案
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案电子教案
高等代数(北大版)第7章习题参考答案第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
第七章 线性变换 基础训练和答案.doc
第七章线性变换基础训练和答案%1.对下列的线性空间和线性变换，求线性变换0在给定基下的矩阵，并判断它们是否可逆. 1.V = P，的一组基为0 =（i.o.o）, 6r2 =（o,i,o）, a3 =（0,0,1）.对任意的a = （x p x2,x3）G P3线性斐换'为oc = （2X| —羽—易，一工| + 2私一尤3，—工| —尤＞+ 2易）.X22.V = P[x]n的一组基为1,、,一,••・, ——，线性变换为求导运算疚对任意的f（x）eP[x]n,2! （〃一1）!仁/u）=r（x）.（3 一3、3.V = P2x2的一组基为环，琮,&],乌，A= ；G P2x2,对任意的X e P*2,[-2 4 ）.M/X = AX .%1.对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基.%1.求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量，并判断它们是否可以对角化.若可以对角化，求线性空间的一组基，使得该变换在此基下的矩阵为对角形.%1.判断1.设V是数域P上的n维线性空间，工/£ L（V）,若线性无关则％ ,•--/ %，•••，•，/ %也线性无关.2.若二/0, •：/%,...,.：/%线性无关，则0,《也线性无关.3.若一个线性变换有一个特征值为零，则该线性变换不可逆.4.一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向景必线性无关.5.一个线性变换的特征值了空间一定是该线性变换的不变了空间.6.若线性变换可逆，则它可以对角化.7.若一个线性变换可以对角化，则它必可逆.8.可逆线性变换的特征值均非零.9.一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.n维线性空间上的线性变换..‘7可以对角化的充要条件是n个互不相同的特征值.11.n维线性空间上的线性变换「7可以对角化的充要条件是二/有n个线性无关的特征向量.12.n维线性空间V上的线性变换./可以对角化的充要条件是V有一组以二/TKJ特征向量作成的基.13.若n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.14.若n阶矩阵A与B有相同的特征值，则它们相似.15.若n阶矩阵A与B相似，则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16.如果4为A的特征值,则人也为疽的特征值.17.设矩阵A可逆，且4为A的特征值，则!也是A的特征值.a\2 a\3a 22 %3，则在基《+勺,勺,勺下 a 32^33/K 的特征值为&则18. 设A 是n 阶矩阵，满足A 2 + 2A + 3£ = 0,则A 必可以对角化.19. 设L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间，弓,《2，...，4是Ker,_-/的基,腐,是Im._r/ 的基则《，笑,…,4, 0\,伉‘•••‘Os 是V 的基.20, 设J /G L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间,是Kerr/的基,*,腐,...,同是ImK 的基则r^s-n. %1. 填空&1. 设KEL®),逐基 ％2，乌下的矩阵为人=。
高等代数第7章习题参考答案
第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1) 在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2) 在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3) 在P中，A；4) 在P中，A；5) 在P[] 中，A；6) 在P[] 中，A其中P是一固定的数；7) 把复数域上看作复数域上的线性空间，A。
8) 在P中，A X=BXC其中B,CP 是两个固定的矩阵.解1) 当0时, 是;当0时, 不是。
2) 当0时, 是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0), k 2时, k A( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0) ,A(k ) k A( ) 。
4)是.因取(x1,x2,x3), (y1,y2,y3), 有A( ) = A(x1 y1,x2 y2,x3 y3)= (2x1 2y1 x2 y2,x2 y2 x3 y3,x1 y1)= (2x1 x2,x2 x3,x1) (2y1 y2,y2 y3,y1)= A + A ，A(k ) A(kx1,kx2 ,kx3)(2kx1 kx2 ,kx2 kx3,kx1)(2kx1 kx2 ,kx2 kx3,kx1)= k A( ) ，故A是P 上的线性变换。
5) 是.因任取f(x) P[x], g(x) P[x],并令u(x) f (x) g(x) 则A(f (x) g(x))= A u(x)=u(x 1)= f(x 1) g(x 1)=A f(x)+ A(g(x))，再令v(x) kf (x)则A(kf (x)) A(v(x)) v(x 1) kf(x 1) k A(f(x))，故A为P[x] 上的线性变换。
6)是.因任取f(x) P[x], g(x) P[x]则.A(f(x) g(x))=f(x0) g(x0 ) A(f(x)) A(g(x))，A(kf (x)) kf (x0 ) k A(f (x)) 。
7)不是，例如取a=1,k=I ，则A(ka)=-i , k( A a)=i, A( ka) k A(a) 。
高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解析
第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。
因对于，有，，所以。
（Ⅱ）；解：是的线性变换。
设，其中，，则有，。
（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。
（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。
（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。
因为取，时，有，，即。
（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。
解：是的线性变换。
对，，有，。
习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。
证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。
证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。
因为，，所以。
因为，，所以。
因为，，所以。
习题7.1.3在中，，，证明。
证明：在中任取一多项式，有。
所以。
习题7.1.4设，是上的线性变换。
若，证明。
证明：用数学归纳法证明。
当时，有命题成立。
假设等式对成立，即。
下面证明等式对也成立。
因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。
习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。
证明：（1）设都是的逆变换，则有，。
进而。
即的逆变换唯一。
（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。
习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。
证明，，，线性无关。
证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。
nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。
nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。
4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。
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第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
(完整版)高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数_李海龙_习题第7章线性变换
第七章 线性变换7.1线性映射1.令123()(,,)x x x σξ=是3R 的任意向量,下列映射σ哪些3R 是到自身的线性映射？（1）()σξξα=+，α是3R 的一个固定向量；（2）123233()(2,,)x x x x x x σξ=-++-；（3）222123()(,,)x x x σξ=； （4）12()(cos ,sin ,0)x x σξ=．结果：由定义可判断 （１）当0α=时，是；当0α≠时，不是． （2）是 （3）不是 （4）不是．2.设V 是数域F 上一个一维向量空间,证明V 到自身的一个映射σ是线性映射的充要条件是:对于任意V ξ∈,都有()a σξξ=，这里a 是F 中一个定数.证： 必要性：设0α≠是V 的一个基，由σ是V 到自身的线性映射，有()V σα∈．设()a σαα=（a 是F 中的一个定数）．所以，V ξ∀∈，有()V σξ∈，而k ξα=（k 是F 中的任意数），则有()()k σξσα=()k σα=()k a α==()a k α=a ξ．充分性a 是F 中的一个定数，∴V ξ∀∈，都有唯一确定的V 中的向量a ξ，使得()σξ=a ξ．12,Vξξ∀∈及12,a a F∈，1122()a a σξξ+=a 1122()a a ξξ+=1a 1()a ξ+22()a a ξ=11()a σξ+ 22()a σξ．∴σ是V 到自身的线性映像．3.令()Mn F 表示数域F 上一切n 阶矩阵所成的向量空间.取定()A Mn F ∈．对任意()X Mn F ∈,定义()X AX XA σ=-.(i) 证明:σ是()Mn F 到自身的线性映射. (ii) 证明: 对于任意,,()X Y Mn F ∈,()()()XY X Y X Y σσσ=+证明：（见常用方法例1）４.令4F 表示数域F 上四元列空间.取 1151112331811397A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭对于4F ξ∈,令()A σξξ=.求线性映射σ的核和像的维数.解：先求ker()σ的维数．1234x x x x ξ⎛⎫⎪ ⎪∀=∈⎪ ⎪⎝⎭ker()σ，由核的定义，有()σξ＝0A ξ=．即1151112331811397--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭12340000x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，()Ker σ就是齐次线性方程组的解空间，由解空间的维数定理，得dim ()Ker σ=解空间的维数＝４－秩A ＝４－２＝２，再求Im()σ的维数．4F ξ∀∈，取4F 的标准基1,ε2,ε3,ε4,ε有:1k ξ=12k ε+23k ε+34k ε+4,ε()σξ=A ξ=A 1(k 122k εε+3k +34k ε+4)ε=1k (A 12)k ε+(A 23)k ε+(A 34)k ε+(A 4),ε∴Im()σ=1234(,,,)L A A A A εεεε1234(,,,)L A A A A =, (i A 是A 的第i列)，故dimIm()σ=秩A =2．5.设V 和W 都是数域F 上向量空间,且dim V n =.令σ是V 到W 的一个线性映射.我们如此选取V 的一个基：121,,,,,,s s n ααααα+使得12,,,s ααα是ker()σ的一个基.证明:(i) 1(),,()s n σασα+组成Im()σ的一个基；(ii) dimker()dimIm()n σσ+=.证: (i)V ξ∀∈,有1k ξ=12k α+2s k α++s α+1s k +1s α+n k ++,n α(σ1)k ξ=(σ1)α(s k σ++s α）+1s k +(σ1)s α+ n k ++(σ),n α1,,s αα是()Ker σ的基，∴1(),,()s σασα =0，故(σ)ξ=1s k +(σ1)s α+++n k (σ),n α (σ1),,s α+ (σ)n α是Im()σ的生成元，下证它们也是Im()σ基，1s k +(σ1)s n k α+++(σ)n α=0，∴σ(1s k +1s nk α+++)n α=0,即：1s k +1s n k α+++nα∈()Ker σ，1s k +1s n k α+++n α=1k 1S k α++S α， 1k 1S k α++S α1s k +-1s n k α+--n α=0，由1,,s αα，1,,S n αα+是V 的基，有1k S k ===1s k +n k ===0，所以，(σ1),,s α+(σ)n α是Im()σ的基．(ii)由题设 dim ()Ker σ=s ,由(i)得dimIm()σ=n s -∴dim ()Ker σ+dimIm()σ=n6.设σ是数域F 上n 维向量空间V 到自身的一个线性映射.12,W W 是V 的子空间,并且12V W W =⊕.证明:σ有逆映射的充要条件是12()()V W W σσ=⊕．证明：设1,,r αα是1W 的基，1,,r n αα+是2W 的基，则1,,r αα，1,,r n αα+是V 的基．若σ有逆，则1()σα,,()r σα, 1(),,()r n σασα+也是V 的基，这是因为，若11()()r r k k σασα++=11()()0r r n n k k σασα++++=．则1(σ-11()())n n k k σασα++=0，11k α+0n n k α++=，由1,α，n α是基，有：1k =n k ==0．，那么，1(),,()r σασα是1()W σ的基，1(),,()r n σασα+是()n W σ的基，因此，V =1()W σ⊕()n W σ．反之，若V =1()W σ⊕()n W σ，因为V =1()W σ⊕()n W σ⊆()V σ，且显然有()V V σ⊆，∴()V V σ=，即σ为满射．设：1,,n ββ为V 的基，由σ为满射，所以，∃1,,n r r V ∈，使得：11()r σβ=，,()n n r σβ=而且1,,n r r 线性无关．这是因为若110n n k r k r ++=，有(σ11)0n n k r k r ++=，即11()()0n n k r k r σσ++=，110n n k k ββ++=，∴1k n k ===0．下证σ为单射，,V ξη∀∈，有11n n a r a r ξ=++，11n n b r b r η=++，那么，11()n n a a σξββ=++，11()n n b b σηββ=++，若()σξ=()ση，则有ξη=．综上，σ为双射，从而σ有逆．7.2线性变换的运算1.举例说明,线性变换的乘法不满足交换律. 解：以本节第2题可得()(())f x τσ'(())f x τ='()xf x =，()(())f x στ(())xf x σ='()()f x xf x =+，故τσστ≠．2.在[]F x 中,定义:()'(),:()()f x f x f x xf x στ.这里'()f x 表示()f x 的导数,证明,,στ都是V 的线性变换,并且对于任意正整数n 都有1n n n n σττσσ--=.证：(),()(),,f x g x F x a b F∀∈∈，有(()())af x bg x σ+='(()())af x bg x +''()()af x bg x =+(())(())a f x b g x σσ=+，(()())af x bg x τ+(()())x af x bg x =+()()axf x bxg x =+(())(())a f x b g x ττ=+． ∴,στ为()F x 的线性变换．利用数学归纳法证：1n n n n σττσσ--=，当1n =时，()()f x σττσ-=()(())()(())f x f x σττσ-='(())(())xf x f x στ-='()()f x xf x +'()xf x -=()f x 111(())f x σ-=⋅，∴111σττσσ--=． 当2n =时，22()()f x σττσ-=22()(())()(())f x f x σττσ-=2(())xf x σ-'()(())f x τσ=='""2()())()f x xf x xf x +-= '2()f x =2(())f x σ，∴．假设1n -时，结论成立，即：111(1)n n n n σττσσ----=-．而()()n n f x σττσ-=()()()()n n f x f x σττσ-=11(())((()))n n f x f x σσττσσ---=1'1'(()())(())n n xf x f x f x στσ--+-=1(())n f x σ-+1'[(())n xf x σ--1'(())]n f x τσ-=1(())n f x σ-+1'1'[(())(())]n n f x f x σττσ---=1(())n f x σ-+11'[](())n n f x σττσ---=1(())n f x σ-+2(1)n n σ--'(())f x =1(())n f x σ-+1(1)n n σ--(())f x =1(())n n f x σ-．∴n n nn σττσσ-=．3.设V 是数域F 上一个有限维向量空间.证明,对于V 的线性变换σ来说,下列三个条件是等价的:(i)σ是满射;(ii)ker()0σ=;(iii)σ非奇异. 当V 不是有限维时,(i),(ii)是否等价?提示：参照7.1习题第6题中充分性的证明． 4.设(),L V V σξ∈∈,并且1,(),,()k ξσξσξ-都不等于零,但()0k σξ=.证明:1,(),,()k ξσξσξ-线性无关.证明：用反证法，若1,(),,()k ξσξσξ-线性相关，则存在F 中不全为零的数，011,,,,k a a a -使得：1011()k k a a a ξσξσ--+++()0ξ=，假设i a 是011,,,,k a a a -中第一个不为零，因而有 ：11()()0i k i k a a σξσξ--++=，则111(()())k i ik i k a a σσξσξ----++0=，有：11()()k ki i a a σξσξ-++221()0k i k a σξ---++=，由于()0k σξ=，∴122()()k k i σξσξ+--==0=， 从而1()0k i a σξ-=，但1()0k σξ-≠，∴0i a =，这与0i a ≠矛盾，故1,(),,()k ξσξσξ-线性无关．5.设()L V σ∈.证明(1) Im()ker()σσ⊆当且仅当20σ=；(2) 23ker()ker()ker()σσσ⊆⊆⊆； (3)23Im()Im()Im()σσσ⊇⊇⊇.证明：(1) Im()()Ker σσ⊆(Im()){0}(())σσσσξ⇔=⇔0=2(Im()){0}(())0()0σσσσξσξ⇔=⇔=⇔=2σθ⇔=,(2) 设ξ∈()i Ker σ()0i σξ⇒=，而1()(())i iσξσσξ+= (0)0σ==⇒ξ∈1()i Ker σ+ ∴()i Ker σ⊆`()i Ker σ+．(3) ξ∈1Im()i σ+，则存在η使得1()i σηξ+=⇒(())i σσηξ=⇒ξ∈Im()iσ，∴Im()i σ1Im()i σ+⊇6.设12{(,,,)|}n n i F x x x x F =∈是数域F上n 维行空间,定义12121(,,,)(0,,,,)n n x x x x x x σ-=.(1) 证明:σ是nF 的一个线性变换，且20σ=；(2) 求ker()σ和Im()σ的维数．证明：(1),nF ξη∀∈,,a b F ∈,且12(,,,)n x x x ξ=，12(,,,)n y y y η=，a b ξη+=11(,,)n n ax by ax by ++，()a b σξη+=1111(0,,,)n n ax by ax by --++=11(0,,,)n ax ax -+11(0,,,)n by by -=11(0,,,)n a x x -+11(0,,,)n b y y -=()()a b σξση+∴σ为nF 的线性变换．又因为σ12(,,,)n x x x =121(0,,,,)n x x x -，2σ12(,,,)n x x x =12(0,0,,,)n x x -，,1n σ-12(,,,)n x x x =1(0,0,,)x ， n σ12(,,,)n x x x =(0,0,,,0)12(,,,)n x x x θ=，∴nσθ=．(2) 显然，()Ker σ={(0,0,,)a |a F ∈}，dim ()1Ker σ=，dimIm()1n σ=-．7.3线性变换和矩阵1.令[]n F x 表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，:()'()f x f x σ.求σ关于以下两个基的矩阵:(1) 21,,,,n x x x ,(2)2()()1,,,,2!!nx c x c x c n ---.解（1）(1)0100nx x σ=⋅+⋅++⋅，()1100nx x x σ=⋅+⋅++⋅，,1()0100n n nx x nx x σ-=⋅+⋅++⋅∴σ关于基1,,,nx x 的矩阵为0100000200000000000n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（它的阶数为1n +）．（2）同理，σ关于基2()()1,,,2!!nx c x c x c n ---的矩阵为010000000001000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭2.设F 上三维向量空间的线性变换σ关于基123{,,}ααα的矩阵是1511520158876-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．求σ关于基112321233123233422βαααβαααβααα=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 的矩阵.设1232ξααα=+-．求()σξ关于基123,,βββ的坐标.解：已知σ关于基123{,,}ααα的矩阵为1511520158876A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为231342112T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1652431111T ---⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，设σ关于基123,,βββ的矩阵为B ，则有1B T AT -==100020003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，设ξ关于123,,βββ的坐标为123(,,)x x x ，()σξ关于123,,βββ的坐标为123(,,)y y y ，则有112233y x y B x y x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξ关于123,,ααα的坐标为(2,1,1)-，所以123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1211T -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，所以123y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1211BT -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭580-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭． 3.设12{,,,}n γγγ是n 维向量空间V 的一个基11,,1,2,,nnj ij i j ij i i i a b j nαγβγ=====∑∑并且12,,,n ααα线性无关,又设σ是V 的一个线性变换,使得(),1,2,,j j j nσαβ==.求σ关于基12{,,,}n γγγ的矩阵.解 ：由已知，有12(,,,)n ααα12(,,,)n r r r A =（A 可逆）， 12(,,,)n βββ12(,,,)n r r r B =，12((),(),,())n r r r σσσ=112((),(),,())n A σασασα-=112(,,,)n A βββ-112(,,,)n r r r BA -=，故σ关于基12,,,n r r r 的矩阵为1BA -．4.设,A B 是n 阶矩阵,且A 可逆,证明,AB 与BA 相似. 证：11111()()()()AB AB AA A BA A A BA A -----===，∴BA 与AB 相似．5.设A 是数域F 上一个n 阶矩阵.证明,存在F 上一个非零多项式()f x 使得()0f A =.证：F 上所有n 阶矩阵作成F 上的向量空间()n M F ，其维数是2n ．所以，0I A =，22,,,n A A A 一定线性相关，∴存在不全为零的数：2012,,,n a a a a F∈，使得222012n n a I a A a A a A ++++0=，设()f x 222012nn a a x a x a x =++++，因系数不全为零，∴()0f x ≠且有()0f A =．6.证明,数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换σ是一个位似(即单位变换的一个标量倍)必要且只要σ关于V 的任意基的矩阵都相等.证 设12{,,,}n ααα为V 的任意一个基，由()i i i k σαα=(1,2,,)i n =，σ关于基12{,,,}n ααα的矩阵为kA k ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，反之，若σ关于基12{,,,}n ααα的矩阵为A ，则有()i i ik σαα=(1,2,,)i n =，设V ξ∈，有1122n n k k k ξααα=+++,而11()()()n n k k σξσασα=++=11()n n k k k αα++k ξ=，即σ是一个位似．7.令()Mn F 是数域F 上全体n 阶矩阵所成的向量空间.取定一个矩阵()A Mn F ∈.对于任意()X Mn F ∈,定义()X AX XA σ=-由7.1习题3知σ是()Mn F 的一个线性变换.设1n a A a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭是一个对角形矩阵.证明,σ关于()Mn F 的标准基{}ij E (6.4,例5)的矩阵也是对角形矩阵,它的主对角线上的元素是一切i ja a -.证明：具体计算一下当3n =时的情形，然后推而广之．8.设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换.证明,总可以如此选取V 的两个基12{,,,}n ααα和12{,,,}n βββ,使得对于Ｖ的任意向量ξ来说,如果1ni ii x ξα==∑则1()ri ii x σξβ==∑，这里0r n ≤≤是一个定数.证：设12,,,n ααα是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，σ是V 的线性变换，则12(),(),,()n σασασα是Im()σ的生成元，设dimIm()r σ=，显然，0r n ≤≤是一个定数，不妨设12(),(),,()n σασασα是Im()σ的一个基，则1,,r n αα+是ker()σ的基，即1()()0r n σασα+===．令11()βσα=，22()βσα=，,()r r βσα=，因为Im()V σ⊆,所以1β，2β，,r β是V 中线性无关向量组，将基扩充为V 的基，1{β，2β，,r β，1,,}r n ββ+，这样得到了两个基，并且Vξ∈来说，1122n n x x x ξααα=+++，1122()()()()r r x x x σξσασασα=++++11()()r r n n x x σασα++++1122()()()r r x x x σασασα=+++1122r r x x x βββ=++7.4不变子空间1.设σ是有限维向量空间V 的一个线性变换.而W 是σ的一个不变子空间,证明,如果σ有逆变换,那么W 也在1σ-之下不变.证一 （1）若{0}W =,则W 在1σ-之下不变，因为零空间在任何线性变换下不变．（2）若{0}W ≠，设12,,,r ααα为W 的一个基，由已知，有()W W σ⊆，于是，12(),(),,()r σασασαW ∈．可以证明12(),(),,()r σασασα也是W 的一个基，即有()W W σ=，因此，W α∈，存在W β∈，使得()σβα=⇒1()σαβ-=W ∈，故W 在1σ-之下不变．证二 因()W W σ⊆，dim ()dim W W σ≤,若V 是有限维向量空间，则dim ()dim W W σ=，∴()W W σ=，从而有1()W W σ-=，故W 在1σ-之下不变．2.设,στ是向量空间V 的线性变换,且σττσ=．证明Im()σ和ker()σ都在τ之下不变. 证：Im(){()|}x x V σσ=∈，(){|,()0}Ker x x V x σσ=∈=，Im()y σ∀∈，则x V ∃∈使得()x y σ=，则有()y τ=(())x τσ ()x τσ==()x στ=(())x στ∈Im()σ∈，∴(Im())τσ⊆Im()σ，x ∀∈()Ker σ，则有()0x σ=，(())x στ=(())0x τσ=，∴()x τ∈()Ker σ，即(())Ker τσ⊆()Ker σ，由不变子空间的定义得，Im()σ和()Ker σ都在τ之下不变．3.令σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换,并且满足条件2σσ=．证明:（i ）ker(){()|}V σξσξξ=-∈； （ii ）ker()Im()V σσ=+；（iii ）如果τ是V 的一个线性变换,那么ker()σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ=．证：（i ）V ξ∈,由σ使V 的一个线性变换，且2σσ=，有(())σξσξ-=2()()0σξσξ-=，∴()ξσξ-∈()Ker σ，即：{()|}V ξσξξ-∈⊆()Ker σ反之，设()Ker ησ∈⇒()0ση=⇒()ηηση=-，又V η∈，∴()ηηση=-{()|}V ξσξξ∈-∈⇒()Ker σ{()|}V ξσξξ⊆-∈，故()Ker σ{()|}V ξσξξ=-∈（ii ）设V ξ∈，有()()ξξσξσξ=-+，但()ξσξ-∈()Ker σ，()Im()σξσ∈，∴ξ∈()Ker σIm()σ+，即()V Ker σ⊆Im()σ+，又由于()Ker σIm()V σ+⊆，故有()V Ker σ=Im()σ+，设α∈()Ker σIm()σ，则有α∈()Ker σ，因而()0σα=且α∈Im()σ，因而V β∃∈，使得()σβα=,而2()()ασβσβ==()0σα==，综上知，()V Ker σ=Im()σ⊕．（iii ）充分第2题已证，现证必要性．对于V ξ∈由（i ）知()ξσξ-∈()Ker σ，因()Ker σ在τ之下不变，所以(())τξσξ-∈()Ker σ，所以((()))()()0στξσξστξστσξ-=-=，∴()()στξστσξ=（*）,()σξ∈Im()σ，而Im()σ在τ之下不变，所以，()τσξ∈Im()σ，这样，存在V η∈，使得，()ση=()τσξ，代入（*）得()στξ2()ση=()ση=()τσξ=，∴σττσ=．4.设σ是向量空间V 的一个位似．证明,V 的每一个子空间都在σ之下不变． 证：设W 是V 的任一子空间，定义:k σξξ（k 为F 中的常数），对V ξ∀∈⇒()k W σξξ=∈（子空间对数乘运算封闭），又()()W σξσ∈，∴()W W σ⊆故V的任一子空间在τ之下不变．5.令S 是数域上F 向量空间V 的一些线性变换所成的集合．V 的一个子空间W 如果在S 中每一线性变换之下不变,那么就说W 是S 的一个不变子空间.S 说是不可约的,如果S 在V 中没有非平凡的不变子空间.设S 不可约,而φ是V 的一个线性变换,它与S 中每一线性变换可交换.证明φ或者是零变换,或者是可逆变换．证：φ使V 的一个线性变换，且与S 中任一个线性变换可交换，则由本节第3题（iii ）知Im()φ和()Ker φ在S 中任一个线性变换之下为不变子空间．但由题设S 没有非平凡的不变子空间，所以Im()φ和()Ker φ只能是V 的平凡子空间，有（1）若{0}V =，则Im()φ=()Ker φ{0}=，（2）{0}V ≠，()Ker V φ=，此时，φ为零变换；Im()V φ=，则()Ker φ{0}=，此时，φ为可逆变换，故φ或者是零变换，或者是可逆变换．7.5本征值和本征向量1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量: (i) 320131571-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭; (ii) 457149405-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭;(iii)3660203126⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ 解 (i) ()A f x xI A =-2(1)(2)x x =--,A 的特征根是1与2 ,属于1 的特征向量是齐次线性方程组()123000x I A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的非零解,(),,,,0a a a a R a ∈≠．属于2 的特征向量是齐次线性方程组()1230200x I A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的非零解,()2,,,,0a a a a R a --∈≠． (ii) 实特征根为1，其相应的特征向量是(),2,,0a a a a ≠．(iii) 特征根为: 0,2,3．属于0 的特征向量是()2,0,0a a a -≠；属于 2 的特征向量是54,,,03a a a a ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭；属于3 的特征向量是(),0,0a a a -≠．2.证明:对角形矩阵1n a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与1n b b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似必要且只要1,,n b b 是1,,n a a 的一个排列.证 ：若相似，则有相同的特征根，而特征根12,,,n a a a 或12,,,n b b b 相同，只有次序的不同，所以12,,,n b b b 是12,,,n a a a 的一个排列，设12,,,n b b b 是12,,,n a a a 的一个排列，令,1,2,,i i k b a i n==，令i a 与i b 所在的数域为F ，{}1,,n γγ是n F 的一个基，作线性变换σ，使得()i i i r a r σ=（1,2,,i n =），有1((),,())n r r σσ11(,,)n n a r r a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，于是有1((),,())n k k r r σσ11(,,)k n k k k k a r r a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭=11(,,)k k k n b r r b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，因此，上述两个矩阵是线性变换σ在两个基下的矩阵，因而是相似的．3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个实矩阵且1ad bc -=．证明：(i) 如果||2trA >，那么存在可逆实矩阵T ,使得11T AT λλ--⎛⎫=⎪⎝⎭．这里R λ∈且0,1,1λ≠-．(ii) 如果||2trA =且A I ≠±，那么存在可逆实矩阵T ，使得11101T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭或1101-⎛⎫⎪-⎝⎭．(iii) 如果||2trA <,则存在可逆矩阵T 及R θ∈,使得1cos sin sin cos T AT θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭证明 ：设σ是R 上 二维向量空间V 的线性变换，12,αα是V 的一个基，σ关于这个基的矩阵为A ，()A f x xI A =-2()x a d x A =-++2()1r x T A x =-+，(i)如果|()|2r T A >，则()A f x 有两个不同的实根12,λλ，有根与系数的关系，知121λλ=，故两个根可表为1,λλ（0,1,1λ≠-）．设12,ξξ为1,λλ相应的特征向量，即11()σξλξ=,221()σξξλ=,现证12,ξξ也是V 的一个基，若11220k k ξξ+=（1）则有1122()()0k k σξσξ+=，21120kk λξξλ+=，211220k k λξξ+= （2），（2）减（1）得，211(1)0,k λξ-=因为0,1,1λ≠-10ξ≠，所以210,λ-≠从而10k =，因此20k =，则：12,ξξ为V 的一个基，σ关于基12,ξξ的矩阵为100λλ-⎛⎫⎪⎝⎭，故存在可逆阵T ，使得1T AT -=100λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭．(ii)如果|()|2r T A =,那么，()A f x 有二重根1或1-，设相应的本征向量为ξ，即()σξλξ=，将ξ扩充为V 的一个基，{},ξα，于是，有((),())σξσα(,)ξα=0Y K λ⎛⎫⎪⎝⎭，所以A 与0Y K λ⎛⎫ ⎪⎝⎭相似，它们有相同的特征根，有k λ=，即σ关于基{},ξα的矩阵为0Y λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故存在可逆阵Q ，使得1Q AQ -=0Y λλ⎛⎫⎪⎝⎭（11λ=-或），若0Y =，则有1Q AQ -=00λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因11λ=-或，所以A I =±，这与假设矛盾，故0Y ≠，令S =1100Y -⎛⎫⎪⎝⎭，则11S Q AQS --=10λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取T QS =，则有1T AT -=101λ⎛⎫⎪⎝⎭（11λ=-或）．(iii) 利用题中提示证之． 4. 设令,,b c a c a b a b c A c a b B a b c C b c a a b c b c a c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(i) 证明，,,A B C 彼此相似;(ii) 如果BC CB =，那么,,A B C 的特征根至少有两个等于零.证明（i ） 存在可逆矩阵11223T PP =，使得111T AT C -=，所以A 和C 相似，同理，存在可逆矩阵21323T P P =，使得122T AT C -=，所以B 和C 相似，由相似矩阵的对称性，传递性知A 、B 、C 彼此相似．(ii)A 、B 、C 彼此相似,∴它们有相同的特征多项式，即()A f x =()B f x ()C f x =，有因为BC CB=，∴可得222a b c ab bc ca++=++，即有2220a b c ab bc ca ++---=(1),()A f x xI A=-x b ca c x ab abx c---=------32()x a b c x =-++-22(a b +2)c ab bc ca x +---+333(3)a b c ab ++-,由（1）得()A f x =32()x a b c x -++2[()]x x a b c =-++，∴A 的特征根为：12λλ=0=，3a b c λ=++，故A 、B 、C 的特征根至少有两个等于零．5.设A 是复数域C 上一个n 阶矩阵. (i) 证明:存在C 上n 阶可逆矩阵T 使得11**0**0**T AT λ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(ii) 对n 作数学归纳法证明,复数域C 上任意一个n 阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵12**0*0n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似,这里主对角线以下的元素都是零.证：(i)设V 是复数域C 上的一个n 维向量空间，σ是V 的一个线性变换，A 是σ在基12{,,,}n ααα下的矩阵，则A 的特征多项式()A f x 在C 内总有特征根，设1λ是A 的一个特征根，令属于1λ的特征向量为1ξ，则111()σξλξ=，将1ξ扩充为V 的一个基12{,,,}n ξξξ，设由12{,,,}n ααα到12{,,,}n ξξξ的过渡矩阵为T ，故有1T AT -=1121222200n n n nn b b b b b b λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，这里12(,,,)i i ni b b b 是()i σξ在基12{,,,}n ξξξ下的坐标(1,2,,)i n =．(ii) 1,1n =时，命题显然成立．2,设1n >时，且命题对1n -来说成立．考虑n 阶矩阵的情形，设A 是C 上任一n 阶矩阵，则由(i)可知存在可逆矩阵1P，使得 2221112n n nn b b P P b b -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=2n λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，令1100P T P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P 可逆，且1P AP -=2*0n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，综上证明 ，对于一切n ，原命题成立．6.设A 是复数域C 上一个n 阶矩阵,1,,n λλ是A 的全部特征根(重根按重数计算).(i) 如果()f x 是C 上任意一个次数大于零的多项式,那么1(),,()n f f λλ是()f A 的全部特征根.(ii) 如果A 可逆,那么0,1,2,,,i i n λ≠=,并且111,,n λλ--是1A -的全部特征根.证：(i)任取一次数0>的多项式，1011()n n n n f x a x a x a x a --=++++，由第 5 题知，1T AT -=1*0n Bλλ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，1()()T f A T f B -==1()()n f f λλ*⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 即1()f λ,,()n f λ是()f A 的全部特征根．(ii)1T AT -1*0n B λλ⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭，∴12n A B λλλ==，由A 可逆，∴120n A λλλ=≠，所以，0i λ≠(1,2,,)i n =．设A 对应的线性变换为σ，则1σ-为A1-对应的线性变换．11(σσσσι--==单位变换），设σ的属于i λ的本征向量为i α(1,2,,)i n =．即()i i i σαλα=，1(())i σσα-=1()()i i σσαα-=，1(())i σσα-=1()i i σλα-=1i i ii λααλ=，∴i i λα是1σ-的属于1i λ特征向量，0i λ≠，∴i α是1σ-的属于1i λ本征向量，即11λ-，12,,λ-1n λ-是1σ-全部特征值．因此11λ-，12,,λ-1n λ-是A1-全部特征根．7.令010000100001100A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是一个n 阶矩阵.(i)计算 231,,,n A A A -;(ii)求A 的全部特征根.解：利用矩阵乘法，可设n i i in nO I A I O -⨯⎛⎫=⎪⎝⎭，1,2,,,i n =．因为10000100()1000110n A x x f x x x x--==---，所以A 的全部特征值为22cossin k k k i n n ππλ=+，1,2,,1k n =-．8.令12,,,n a a a 是任意复数,行列式1231211122341`n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ---=叫做一个循环行列式.证明:12()()()n D f f f ωωω=这里是全部次单位根. [提示:利用6,7两题的结果.]证明：设01000001000000110000A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，利用第7题(i) 可得112()n n f A a I a A a A -=+++=1231212341n n n a a a a a a a a a a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，第7题(ii) A 的特征根为全部n 次单位根1ω，2ω，,n ω，再由第6题(i)的结论可得1()f ω，2()f ω，,()n f ω，为()f A 的特征根．但()()f A f x 的常数项为(1)()(1)n n f A D-=-，于是由根与系数的关系知：1()f ω()n f ω=(1)(1)n n D --=D ，从而D =1()f ω()n f ω．9.设是复数域上阶矩阵.证明,与有相同的特征根,并且对应的特征根的重数也相同. （略）7.6 可以对角化的矩阵1.检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化.如果可以对角化,求出过渡矩阵T.解 利用推论7.6.6判断：(i) 不能对角化．(ii) 不能对角化．(iii) 可以对角化．4125003111T ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1230T AT -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 2.设460350,361A ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭求10A求10.A解：可以判定A 可以对角化120110101T --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 1211T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1211A T T --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以 10101211A T T --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=101211T T -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭结果略）3.设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换.令1,,t F λλ∈是σ的两两不同的本征值,i V λ是属于本征值i λ的本征子空间.证明,子空间的和是直和,1tW V V λλ=++是直和,并在σ之下不变. 略（参照定理7.6.5）4.数域 F 上n 维向量空间V 的一个线性变换σ叫做一个对合变换,如果2,σιι=是单位变换.设σ是V 的一个对合变换.证明:(i)σ的本征值只能是1±;(ii)11V V V -=⊕这里1V 是σ的属于本征值1的本征子空间,1V -是σ的属于本征1-值勤的本征子空间.[提示:设V α∈,则()()22ασαασαα+-=+]证：(i)设λ是σ的任一本征值，ξ是属于本征值λ的本征向量，即2()σξλξ=，2σι=，∴2λξξ=，2(1)0λξ-=，由0ξ≠，得21λ=，∴1λ=±，σ的本征值只能是1±，(ii)V ξ∀∈，而1(())2ξξσξ=+1(())2ξσξ+-，1((()))2σξσξ+=1(())2ξσξ+，∴11(())2V ξσξ+∈，同理11(())2V ξσξ--∈，∴11V V V -=+，若11V V η-∈⇒1,V η∈1V η-∈()σηη⇒=()σηη=-0η⇒=，故11V V V -=⊕5.数域F 上一个n 阶矩阵A 叫做一个幂等矩阵,如果2A A =.设A 是一个幂等矩阵.证明.(i) I A +可逆,并且求1()I A -+.(ii)秩A +秩()I A n -=[提示:利用7.4,习题3(ii).] 证：(i)2A A =∴()()()()222A A AI I I A I A I I A =+-=+-=-+，由此可知I A +可逆，且1()2AI A I -+=-．(ii)设σ为F 上n 维向量空间V 的一个线性变换，A 为σ在定基下的矩阵，2A A=⇒2σσ=⇒()0σισ-=又Im α∈()ισ-⇒α=()ισβ-⇒()σα=()()0σισβ-=⇒()Ker ασ∈⇒Im ()ισ-()Ker σ⊆．反之，设ξ∈()Ker σ⇒（由７.4第３题）ξ=()ισξ-⇒Im ξ∈()ισ-⇒()Ker σ⊆Im ()ισ-，故()Ker σ=Im ()ισ-，由因为dimIm()σ=秩A ，dimIm()ισ-=秩()I A -， 所以秩A ＋秩()I A -＝dimIm()σ+dimIm()ισ-=dimIm()σ+dim ()Ker ισ-n =６.数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换σ叫做幂零的,如果存在一个自然数m 使0m σ=.证明:(i)σ是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零; (ii)如是一个幂零变换σ可以对角化,那么σ一定是零变换.证：(i)必要性，设λ为σ的任一本征值，ξ是属于λ的本征向量，则()σξλξ=σ是幂零变换，即存在一个自然数m ，使0mσ=∴V ξ∀∈，0ξ≠，有22()(())()σξσσξσλξλξ===，,()m mσξλξ=,有()0m σξ=，0m λ=0λ⇒=(m 重根)．故幂零变换的本征值都是0充分性 不妨设σ在某个基下所对应的矩阵为A ，由题设A 的特征值为零，因而可推知A 的若当标准行为000*0⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，因此必存在某一正整数m ，使0m A =，故A 必为幂零矩阵，相应的，σ是幂零变换．∴σ是幂零变换⇔它的本征值都是0．(ii)由(i)知0λ=（m 重根），故0Ax =的解向量都是属于0λ=的特征向量，因σ可以对角化，所以有定理7.5.6可知dim n V m r m =-=，即解空间的维数是m ，由此可知0r A ==秩，即σ是零变换．7.设V 是复数域上一个n 维向量空间,S 是V 的某些线性变换所成的集合,而ϕ是V 的一个线性变换,并且ϕ与S 中每一线性变换可交换.证明,如果S 不可约(参看7.4,习题5),那么ϕ一定是一个位似.[提示:令λ是ϕ的一个本征值.考虑ϕ的属于λ的本征子空间,并且利用7.4,习题5的结果.]证：由代数基本定理知，ϕ的特征多项式在复数域C 中至少有一个根．设λ是ϕ的任一本征值，并记λ的本征子空间为V λ，以下证明V λ为S 的不变子空间．设σ为S 的任一线性变换，由于ϕσσϕ=，对V λξ∀∈，因为()V Ker λλισ=-，∴()()0λιϕξ-=．又()(())()()λισσξλσξϕσξ-=-=()(())λσξσϕξ-=()λσξ()0λσξ-=，∴()σξ∈V λ，∴V λ为σ的不变子空间，由于σ的任意性，可得：V λ为S 的不变子空间．S 不可约⇒{}0V λ=或V V λ=．∴对V ξ∀∈，都有()()0λιϕξ-=，()ϕξλξ=，即ϕ是一个位似．8.设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个可以对角化的线性变换.令1,,ιλλ是σ的全部本征值.证明,存在V 的线性变换12,,,ισσσ,使得(i)1122;t t σλσλσλσ=+++(ii)12,t σσσιι+++=是单位变换;(iii),i j σσθ=若,i j θ≠是零变换;(iv)2,1,2,,;i i i t σσ== (v)(),iii V V V λλσ=是σ的属于本征值i λ的本征子,空间, 1,2,,.i t =证：σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个可以对角化的线性变换，所以，由定理7.6.5可知iV λ的维数等于i λ的重数，设其重数为i S ，且12t S S S n +++=，1i ξ，2,,i ξsi ξ是iV λ的基，则11ξ，12,,ξ11s ξ，21ξ，22,,ξ22s ξ，,1t ξ，2,,t ξt ts ξ为V 的一组基，令1,σ2,,tσσ在这组基下的矩阵分别为：110s I σ⎛⎫→⎪⎝⎭，2200s I σ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭, … , 0t t s I σ⎛⎫→ ⎪⎝⎭，而在此基下的矩阵为：1100tt λλσλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，∴11σλσ=+22λσ+t t λσ+．(ii)由(i)知1σ，2σ，,t σ所对应的矩阵之和为I ，所以∴1σ+2σ+(t σιι+=为单位变换）．(iii)故i j σσθ=()i j ≠(iv) 当i j =由(iii)知2(),()i i i i a a a a σσ==所以2i i σσ=(v) 因为()i V V λσ⊆，任给,(),()i i i i i i i a V V a a V V λλσσ∈⊆=⊆，所以()(1,,)i i V V i t λσ==.9.令V 是复数域C 上一个n 维向量空间,,στ是V 的线性变换,且.σττσ= (i)证明,σ的每一本征子空间都在τ之下不变; (ii)σ与τ在V 中有一公共本征向量. 证：(i)设V λ是σ的特征子空间,0λ是σ的一个特征值,任给V λξ∈,则0()σξλξ=.从而00()()()()στξτσξτλξλτξ===.所以0()V λτξ∈,即σ的每一个特征子空间都在τ之下不变.(ii) 由于0V λ是τ的不变子空间,记|V λττ=,在复数域C 上,0τ必有特征根η,并存在非零向量V λα∈使0()ταηα=,故0()()ταταηα==.又0()()σαλα=,所以α即为σ与τ的公共特征向量.。
高等代数北大版习题参考答案
高等代数北大版习题参考答案GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数第7章习题参考包括答案.docx
第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间 V 中，A,其中 V 是一固定的向量；2）在线性空间 V 中，A其中 V 是一固定的向量；3）在 P 中，；A4）在 P 中，A；5）在 P[] 中，A；6）在 P[] 中，A其中 P 是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，。
A8）在 P 中，A X=BXC其中 B,CP 是两个固定的矩阵 .解 1)当0 时,是;当0 时,不是。
2) 当0 时,是;当0 时,不是。
3) 不是 . 例如当(1,0,0) ,k 2 时, k A()( 2,0,0) , A (k ) (4,0,0) ,A(k)k A() 。
4) 是 . 因取( x1 , x2 , x3 ),( y1 , y2 , y3 ) ,有A() = A ( x1y1 , x2y2 , x3y3 )=( 2x1 2 y1x2y2 , x2y2x3y3 , x1 y1 )=( 2x1x2 , x2x3 , x1 ) (2 y1y2 , y2 y3 , y1 )= A+ A，A(k) A ( kx1, kx2,kx3)(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )=k A( )，故A 是P上的线性变换。
5) 是 . 因任取 f (x)P[ x], g( x)P[ x] ,并令u( x) f ( x)g( x) 则A( f (x)g( x)) =A u( x) = u( x 1) = f (x 1) g( x 1) =A f (x) + A ( g(x)) ，再令 v( x)kf (x) 则A(kf ( x)) A (v( x))v( x 1) kf (x1)k A( f (x)) ，故 A 为P[ x]上的线性变换。
6) 是 . 因任取f ( x)P[ x], g(x)P[ x] 则.A( f (x)g( x)) = f ( x0 )g (x0 )A( f (x))A( g(x) )，Akf ( x0 )k A( f (x)) 。
高等代数(下)课外习题--第七章-线性变换
第七章 线性变换一、判断题1、 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ).2、σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m αααL 线性相关, 那么12(),(),,()m σασασαL 也线性相关. ( ).3 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). 4、 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). 5、 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). 6、向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). 7、 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). 8、 σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). 9、设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0).V V σσ-=⊕ （ ）10、n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．( ) 11、.最小多项式是特征多项式的因式. （ ） 12、相似的矩阵有相同的特征多项式 （ ） 13、设nn P A ⨯∈，A 的特征多项式有n 个单根，则存在可逆矩阵nn P T ⨯∈，使AT T1-具有对角形。
（ ）14、若A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，A 的特征值为r λλλ,,,21Λ，则A 可对角化⇔特征子空间的维数之和等于n 。
（ ）15、 A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，则V V =A +A -)0(1。
（F ）二、填空题1、在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.2、 在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是________________.3、0()0I A X λ-=的___________都是A 的属于0λ的特征向量.4、 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλL , 则σ可对角化的充要条件是_____________.5、 矩阵327024005⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征根是______________.6、复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .7、数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.8、设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为________ . 9、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛11是A 的属于特征值 的特征向量． 10、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001011A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1010101k k B 相似，则k = ．11、n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 ．12、设A 是有限维空间V 的线性变换，f (λ)是A 的特征多项式，那么f (A)=________ 13、已知三阶实对称矩阵A 的特征值为1，2-，3，则1-A 的特征值为 。
第七章-线性变换练习题参考答案
第七章 线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1nii i a =∑ ，而全体特征值的积等于||A .4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．10．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A =),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ++-，变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵为102033210⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.二、判断题1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,,s V ααα∈线性无关，则向量组12(),(),,()s σασασα也线性无关. （错） 2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0).V V σσ-=⊕ （错）未必有1()(0).V V σσ-=⊕3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2R 的一个线性变换. （错）零向量的像是（1,0）4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1(0)σ-＝｛0｝. （正确）σ是可逆的当且仅当σ是双射.5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W σ为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．（正确）7．已知1-=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（ 正确 ）1P AP B -=，P 的列向量为A 的特征向量.8．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．（错）当σ可逆时无关，当σ不可逆时相关.9．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则})(|{)(1αησηασ==-是V 的子空间．（ 错 ）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T AT -成对角形.133313331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331E A λλλλλλ----=---=-+---. 矩阵A 的特征值为12,37,2λλ==-.当17λ=时，解方程组1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'ξ=.当2,32λ=-时，解方程组1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'ξξ=-=-.矩阵A 有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵111110101T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭有1722T AT -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭2．在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ=（1）证明：σ是n P 的线性变换.（2）求()n P σ与1(0).σ-（1）证明：112222(,,,)(0,,,)n n n n x y x y x y x y x y σ+++=++ 221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y σσ=+=+12122((,,,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx σσ== 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x σ==.所以σ是n P 的线性变换.（2）{}2()(0,,,)|,2,,.n n i P x x x P i n σ=∈=. {}111(0)(,0,,0)|.x x P σ-=∈3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=a A 33242111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00020002相似．（1）求b a ,的值；（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有45,46 6.b a b a +=+⎧⎨=-⎩ 所以5,6a b ==.(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335E A λλλλλλ---=--=--- 特征值为1,232,6λλ==.当1,22λ=时，解方程组1231231230,2220,3330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'ξξ==.当16λ=时，解方程组12312312350,2220,330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'ξ=-.因此可取矩阵011102113P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有B AP P =-1.4．令n n P ⨯表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ⨯∈，对任意的n n P X ⨯∈，定义()''X A XA B XB σ=-. 证明σ是n n P ⨯上的一个线性变换.证明：对任意的,,n n X Y P k P ⨯∈∈，有()'()'()''''()(),X Y A X Y A B X Y BA XAB XB A YA B YB X Y σσσ+=+-+=-+-=+()'()'()('')()kX A kX A B kX B k A XA B XB k X σσ=-=-=.因此σ是n n P ⨯上的一个线性变换.。
高等代数习题线性变换
A( X 1 + X 2 ) = λ ( X 1 + X 2 ) ， 其 中 λ 是 A 的 一 个 特 征 根 ， 从 而
λ1 X1 + λ2X 2 = λX 1 + λX 2 ，即 ( λ − λ1 ) X 1 + (λ − λ2 ) X 2 = 0 ，但 X 1 , X 2 线性无关，故
λ − λ1 = 0, λ − λ 2 = 0 ，由此得 λ = λ1 =λ 2 ，与 λ1 ≠ λ2 矛盾，故 X 1 + X 2 不是 A 的
= ( 2 x1 + x2 − x3 , x2 , x3 ) 。 (σ − τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) − τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) − ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
σ 2 ( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1 , x2 , x1 + x2 ) = ( x1, x2 , x1 + x2 ) .∴ σ 2 = σ 。
(2) (σ + τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) + τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) + ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L ＋ k mσ (α m ) = 0 . 两 端 用 σ −1
作 用 得 :
k1α 1 + L ＋ k mα m = 0 . 由已知 α1 ,α 2 , L , α m 线性无关 , 所以 : k1 = k2 = L = k m = 0 . 故 σ (α1 ), σ (α 2 ),L , σ (α m ) 线性无关。
第七章-线性变换-综合练习
第七章 线性变换综合练习一．判断题1.数域上的向量空间的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ F ）2．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( )).3R 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-σ3R 3．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( )[]n R x 2(())()f x f x σ=σ[]n R x 4．两个向量空间之间的同构映射的逆映射还是同构映射. ( )σ1-σ5．取定, 对任意的阶矩阵, 定义,n n A F ⨯∈n n n X F ⨯∈()X AX XA σ=-则是的一个线性变换.σn n F ⨯6．向量空间的可逆线性变换的核是空集.( )V σ)(σKer 7．在向量空间中, 已知线性变换 3R 1231223312313(,,)(,,),(,,)(,0,).x x x x x x x x x x x x x στ=++=则. ( )12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ-=-+-8．设为维向量空间上的线性变换，则．（ ）σn V Im()ker()V σσ+=9．向量空间的两个线性变换,为；2R στ12121(,)(,)x x x x x σ=-12122(,)(,)x x x x x τ=-则（ ）212212()(,)(,).x x x x x στσ-=-+10．在取定基后, 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. （）V 11．数域上的向量空间及其零子空间, 对的每个线性变换来说, 都是不变子空间. （） F V V 12．若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取 21,ααF A 0λ也是的属于的特征向量．（ ）221121,,ααk k F k k +∈A 0λ13． 线性变换的本征向量之和, 仍为的本征向量. （ ）σσ14．属于线性变换同一本征值的本征向量的线性组合仍是的本征向量. （ ）σ0λσ15．线性变换在一个基下可以对角化, 则在任何基下可以对角化. （ ）.σσ16．复数域看作实数域上的向量空间是1维的. ( )17．是向量空间的线性变换, 向量组线性无关,σV 12,,,m αααL 那么也线性无关． ( )12(),(),,()m σασασαL 18．向量空间的线性变换的值域与的核都是的不变子空间． ( )V σIm()σσker()σσ19．若矩阵与具有相同的特征多项式，则与相似． ( )A B A B 20．向量空间中子集构成的一维子空间. ( )n P (){}P a a a a ∈,,,L n P 21．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间为的不变子空ξσλξσ间.（ ）22. 是向量空间的线性变换, 向量组线性相关,σV m ααα,,,21L 那么也线性相关. （ ）)(,),(),(21m ασασασL 23. 为V 上线性变换，为V 的基，则线性无关．σn ααα,,,21L )(,),(),(21n ασασασL 24. 在中，定义变换：，则是的线性变换．（ ）][x P σ)1())((+=x f x f σσ][x P 25. 向量空间中任意两个子空间的并集一定不是的子空间. （ ）V V 26. 向量空间的每一个线性变换都有本征值. （ ）27. 是向量空间的一个变换，,若 ，有，则是的线性变换. （ σV V ∈αV ∈∀ξa +=ξσξσV ）28. 如果阶矩阵可逆，则矩阵与一定相似．（ ）．n A AB BA 29. 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是．n 0||=A 30. 为V 上的非零向量，为V 上的线性变换，则是V 的子空间．ασ})(|{)(1αησηασ==-二、单选题1．维向量空间的线性变换有个不同的特征值，是与对角矩阵相似的（ ）．n V σn σ A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．2．矩阵相似，则下列描述中不正确的是（ ）B A 与A ．； B ． 是数域上的多项式，则；B A =)(x f P ()()B f A f ~C ．；D ．一定相似于对角形矩阵.()()R A R B =B A 与3. 阶矩阵有个不同的特征根是与对角矩阵相似的 ( ).n A n A A ．充分而非必要条件； B 必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4. 令是R 3的任意向量，则映射（ ）是R 3的线性变换。
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第七章 线性变换一、判断题1、 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ就是3R 的一个线性变换、 ( )、2、σ就是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m ααα线性相关, 那么12(),(),,()m σασασα也线性相关、 ( )、3 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=就是一个线性变换、 ( )、 4、 线性变换在不同基下对应的矩阵就是相似的、( )、5、 相似矩阵不一定就是同一线性变换在不同基下的矩阵、 ( )、6、向量空间V 的线性变换σ的象与核都就是σ的不变子空间、 ( )、7、 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍就是σ的特征向量、 ( )、8、 σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化、 ( )、 9、设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换,则由σ的秩＋σ的零度＝n ,有1()(0).V V σσ-=⊕ ( )10、n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件就是0||=A .( ) 11、、最小多项式就是特征多项式的因式、 ( ) 12、相似的矩阵有相同的特征多项式 ( ) 13、设nn PA ⨯∈,A 的特征多项式有n 个单根,则存在可逆矩阵nn PT ⨯∈,使AT T1-具有对角形。
( )14、若A 就是数域P 上n 维线性空间的线性变换,A 的特征值为r λλλ,,,21 ,则A 可对角化⇔特征子空间的维数之与等于n 。
( )15、 A 就是n 维线性空间V 的一个线性变换,则V V =A +A -)0(1。
(F) 二、填空题1、在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵就是111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵就是_____________、2、 在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵就是________________、3、0()0I A X λ-=的___________都就是A 的属于0λ的特征向量、4、 设V 就是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根就是12,,,t λλλ,则σ可对角化的充要条件就是_____________、5、 矩阵327024005⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征根就是______________、6、复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的与等于________ ,而全体特征值的积等于_______ 、7、数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间,它与________同构、8、设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ,()f x 为任一多项式,则()f A 的全体特征值为________ 、 9、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2231A ,则向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛11就是A 的属于特征值 的特征向量. 10、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001011A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1010101k k B 相似,则k = .11、n 阶方阵A 满足A A =2,则A 的特征值为 .12、设A 就是有限维空间V 的线性变换,f (λ)就是A 的特征多项式,那么f (A)=________ 13、已知三阶实对称矩阵A 的特征值为1,2-,3,则1-A 的特征值为 。
14、21,A A 的最小多项式分别就是)(),(21x g x g ,则矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛2100A A 的最小多项式就是 。
15、设四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为43211,1,1,1λλλλ,则行列式=--E B 1。
三、单选题:1、“有相同的特征多项式”这就是两个矩阵相似的( )条件。
.A 充分 .B 必要 .C 充分必要 D 、 以上都不对2、若线性变换σ与τ就是( ),则τ的象与核都就是σ 的不变子空间。
.A 互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D 、 不可换的3、同一个线性变换在不同基下的矩阵就是( )①合同的; ②相似的; ③相等的; ④正交的。
4、设三阶方阵A 有特征值为2,1,1321=-==λλλ,其对应的特征向量分别就是321,,x x x ,设(),,,123x x x P =,则AP P 1-=( )A 、 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200010001 B 、 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200010001 C 、 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010002 D 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010002 5、设A 为可逆方阵,则A 的特征值( )A.全部为零 B 、不全部为零 C 、全部非零 D 、全为正数6、设A 为n 阶可逆矩阵,λ就是A 的一个特征值,*A 为A 的伴随矩阵,则*A 的特征值之一( )A 、n A 1-λ B 、 A 1-λ C 、 A λ D 、 nA λ7、 设A 、B 为n 阶方阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位阵,则( )。
(A)B E A E -=-λλ (B)A 与B 有相同的特征值与特征向量 (C)A 与B 相似于一个对角矩阵 (D)对任意常数t ,B tE A tE --与相似 8、n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件就是( )。
(A)A 的n 个特征值互不相同 (B)A 可逆(C)A 无零特征值 (D)A 有n 个线性无关的特征向量 9、设可逆矩阵A 有一个特征值为2,则12)31(-A 有一个特征值为( )。
(A)21 (B) 41 (C) 34 (D) 43 10、n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量就是A 与对角阵相似的( )(A)充要条件 (B) 充分而非必要条件(C)必要而非充分条件 (D)既非充分亦非必要条件四、计算题1、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=a A 33242111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00020002相似.(1)求b a ,的值; (2)求可逆矩阵,使B AP P =-1.2、3F 中,线性变换σ关于基)1,1,1(1-=α,)1,0,1(2-=α,)1,1,0(3=α的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121011101A(1)求σ关于标准基321,,εεε的矩阵;(2)设3216αααα-+=,321εεεβ+-=,求)(),(βσασ关于基},,{321ααα的坐标.3、设α就是3R 的线性变换,)2,,2(),,(32132321321x x x x x x x x x x x -++-+=α(1)求)Im(σ的一个基与维数; (2)求)(σKer 的一个基与维数.4、判断矩阵A 就是否可对角化？若可对角化,求一个可逆矩阵T,使成对角形、133313331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5、在线性空间P n 中定义变换σ:122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ=(1)证明:σ就是P n 的线性变换、 (2)求()nP σ与1().o σ-6、已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 10100002与B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000y 0002相似,求x 与y 的值,并求A 的特征向量。
7、 3R 的线性变换σ为12312323123(,,)(2,33,2)x x x x x x x x x x x σ=+++-++求σ的象与核的维数、8、 设三阶实对称矩阵A 的特征值为,11=λ,232==λλ11=λ对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111ξ,（1） 求232==λλ对应的特征向量; （2） 求矩阵A 。
9、设3阶对称矩阵A 的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111ξ,求A 。
10、()3,,ij A a AB O ==设3阶方阵的每行元素之和为且满足其中120120B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭判断矩阵A 就是否可对角化？若可对角化,求一个可逆矩阵T,使成对角形、。
五、证明题1、证明:若某向量组在线性变换下象线性无关,则该向量组也线性无关。
2、[]F x 的两个线性变换为:对任意()[]f x F x ∈,(())(),(())()f x f x f x xf x στ'== 证明:σττσι-=、3、证明:若(),()f g σθσθ==,则()d σθ=,其中()d x 就是[]F x 中多项式()f x 与()g x 的最大公因式。
4、令123(,,)x x x ξ=就是3R 中任意向量,σ就是线性变换:12232()(,,)x x x x x σξ=+-试证σ可逆。
5、设V 的两个线性变换σ与τ就是可变换的。
试证τ的象Im()τ与核()Ker τ都就是σ的不变子空间。
6、若A 就是一个n 阶矩阵,且A 2＝A,则A 的特征值只能就是0与1、1.设A 就是n 阶矩阵,且有n I A r I A r =-++)()(,I A ≠,证明:-1就是A 的特征值. 7、设A 与B 为n 阶矩阵,0≠A ,则AB 与BA 相似。
8、设A 为正定矩阵,证明:1>+E A 。