微分的概念与定义

微分的概念与定义导数与微分的关系

微分的几何意义

微分形式的不变性

•导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。

•微分指明, 当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。

一、问题的提出

实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

20

x

A =0

x 0

x ,

00x x x Δ+变到设边长由的改变量

正方形面积2

0x A =20

2

0)(x x x A −

Δ+=Δ.

)(22

0x x x Δ+Δ⋅=)

1()

2(;,的主要部分且为的线性函数A x ΔΔ.

,很小时可忽略当的高阶无穷小x x ΔΔ:)1(:)2(x

ΔΔ2

)(x Δx

x Δ0x

x Δ0

再例如,.

,03

y x x x y ΔΔ=求函数的改变量时为处的改变量

在点设函数30

3

0)(x

x x y −Δ+=Δ.

)()(333

2

020

x x x x x Δ+Δ⋅+Δ⋅=)

1()

2(,很小时当x Δ.

320

x x y Δ⋅≈Δ∴),()2(x o x ΔΔ的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值

问题: 一般函数y=f(x)是否也有

Δy=f(x+Δx)-f(x)=A Δx+o(Δx)? A 是什么?如何求?

?)(3030x o x A x x x y Δ+Δ=−Δ+=Δ但是

二、微分的定义

定义.

),(,)(,)(),()()()(,,

)(000000000x A dy x df dy x x x f y x A x x f y x A x o x A x f x x f y x x x x f y x x x x Δ⋅=Δ=Δ⋅=ΔΔ+Δ⋅=−Δ+=ΔΔ+===即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果

在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分y dy Δ(微分的实质)

.

)(),(,,)(x x f dy x df dy x x f y Δ′==即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数

由定义知:

;

)1(的线性函数是自变量的改变量x dy Δ;)()2(高阶无穷小是比x x o dy y ΔΔ=−Δ;

,0)3(是等价无穷小与时当y dy A Δ≠dy y Δ∵x

A x o Δ⋅Δ+=)(1).0(1→→x ;

)(,)4(0有关和但与无关的常数是与x x f x A Δ).

(,)5(线性主部很小时当dy y x ≈ΔΔ

三、可微的条件

).

(,)()(000x f A x x f x x f ′=且处可导在点数可微的充要条件是函

在点函数定理

证(1) 必要性,

)(0可微在点x x f ∵),

(x o x A y Δ+Δ⋅=Δ∴,)(x

x o A x y

ΔΔ+=ΔΔ∴x

x o A x y

x x ΔΔ+=ΔΔ→Δ→Δ)(lim lim 00则.A =).

(,)(00x f A x x f ′=且可导在点即函数

(2) 充分性),

()(0x x x f y Δ⋅α+Δ⋅′=Δ从而,)(0α+′=ΔΔx f x

y 即,

)(0可导在点函数x x f ∵),(lim 00x f x

y x ′=ΔΔ∴→Δ),

0(0→Δ→αx ∵),

()(0x o x x f Δ+Δ⋅′=.

)(,)(00A x f x x f =′且可微在点函数∵).

(.

0x f A ′=⇔∴可微可导

例1解.02.0,23

时的微分当求函数=Δ==x x x y x x dy Δ′=)(3

∵.

32

x x Δ=02

.022

02

.023=Δ==Δ=Δ=∴x x x x x

x dy

.

24.0=.

,,x dx dx x x Δ=Δ即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量.)(dx x f dy ′=∴).

(x f dx

dy

′=".

".微商导数也叫该函数的导数之商等于

与自变量的微分即函数的微分dx dy

四、微分的几何意义

)

(x f y =0

x M

N T

dy

y

Δ)

(x o Δ）

x

y

o αx

Δ几何意义:(如图)

.

,对应的增量就是切线纵坐标

坐标增量时是曲线的纵当dy y Δx

x Δ+0P

.

,

,MN MP M x 可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当Δ例: 已知曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y+1=0,

求x=1处的微分.

五、微分的求法

dx

x f dy )(′=求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.

1.基本初等函数的微分公式

xctgxdx

x d xtgxdx x d xdx ctgx d xdx

tgx d xdx x d xdx

x d dx x x d C d csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(sin )(cos cos )(sin )(0

)(221−==−==−==μ==−μμ