GRE数学葵花宝典

Quantitative Reasoning
Arithmetic 算术
1.integer (whole number): 整数
* positive integer：正整数，从1开始，不包括0。

GRE不考nature number
2.odd & even number 奇数与偶数
奇+奇=偶，奇+偶=奇…
若干个整数相乘，只有都是奇数的情况下，其乘积才会是奇数…
只要乘数中有一个偶数，乘积一定是偶数。

例1：若a2+b2=c2，其中a, b, c为整数，下面哪个不能是a+b+c的值？
(A) 2 (B) 1 (C) －2 (D) 4 (E) 6
解题思路：主要用两种方法，一是代数法，二是推导法。

一略。

推导法：就是通过推导判断a+b+c的值是o（奇数）还是e（偶数）。

若c2为e，则c一定为e，且a2+b2也一定为e，故a2和b2一定是同o或同e；当同o时，a和b一定为o，因此a+b+c相当于o+o+e，结果为e；当同e时，a和b一定为e，三个e相加结果一定为e，∴答案不可能是B。

同理，若c2为o，则c一定为o，且a2+b2也一定为o，故a2和b2一定一个是o另一个是e，当a2为o、b2为e 时，a一定为o、b一定为e，因此a+b+c相当于o+e+o，结果为e；当a2为e、b2为o时，a一定为e、b一定为o，因此a+b+c相当于e+o+o，结果仍为e，∴答案仍不可能是B。

PS：考试时没必要全部情况都做判断，只判断一种情况得出结果即可。

例2：若a-b是偶数，a/b是偶数，下面那一个选项一定是奇数？
(A) a/2 (B) (a-b)/2 (C) (a+b)/2 (D) (a+2)/2 (E) b/2
解题思路：首先，此题问的是“一定是奇数”，因此只要选项中有反例就不能选，因此用代数法做容易错选为C，故应采用推导法解题。

推导法：∵a-b为e，∴a和b同e或同o；又∵a/b为e，即a相当于b*e ，
∴a一定为e（任何正整数乘以一个偶数结果仍为偶数），∴b也一定为e，∴a相当于e*e；又∵任何一个e都是2的倍数，∴a一定为4的倍数，即a相当于4n，n=1, 2, 3……n。

将a=4n代入各选项，即可判断答案为D。

3.prime number & composite number 质数与合数
*A prime number is a positive integer that has exactly two different positive divisors,1 and itself.
如2；3；5；7；11；13；17；19……
* A composite number is a positive integer greater than 1 that has more than two divisors.
问：从1-10000中，质数多还是合数多？答：从1-10000中合数的量远大于质数，因为除了2以外的所有偶数都是合数，而类似9、15、21、25、27……等很多奇数也是合数。

* The numbers 1 is neither prime nor composite, 2 is the only even prime number.
1既不是质数也不是合数，最小的合数是4，2是最小的质数，也是唯一的偶质数。

4.factor(divisor) & prime factor 因子和质因子
* 一个数能被哪些数整除，这些数就叫它的因子（因数、约数）。

* 因子里的质数叫质因子（数）。

* 把一个数完全分解成质数相乘的形式叫做分解质因数。

prime factor是factor的子集，二者数目的差距可能会很大，即factor的个数可能远大于prime factor
负因子就是在正因子前加个负号，8有4个负因子，分别是-1、-2、-4、-8。

multiple 整数倍数；multiply 乘
如：10是2的倍数；ten is multiple of two
2是10的因子；two is factor of ten
10能被2整除；ten is divisonable by two
297有98个factors和1个prime factor。

297能被2、22、23、24……297和1共
98个数整除，但其质因数只有2。

大数怎么办？如1225有几个因子？先分解质因数，将每个质因子的指数加1后相乘（是指数相乘而不是乘幂）所得结果即为该数的因子个数。

1225=52*72，则1225的因子个数为(2+1)*(2+1)=9个。

1225的因子个数为单数个，说明1225一定是某个数的完全平方数。

1225的因子个数分别是：1、1225、5、245、7、175、25、49和35。

在找因子时，为了避免遗漏，建议成对找，最后落单的35就是1225的平方根。

例1：If n=4p, where p is a prime number greater than 2, how many different positive even divisors does n have, including n?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 8
解题思路：代数法。

p取3即可。

例2：If the integer n has exactly three positive divisors, including 1 and n, how many positive divisors does n2 have?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 9
解题思路：代数法。

N取4即可。

例3：What is the greatest prime factor of 2100 - 296?
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 11
解题思路：2100 - 296 = 296 * (24 - 1) = 296 * 15，296只有一个质因数2，15有3和5两个质因数，因此5为最大的质因数。

例4：A positive integer n is said to be “prime-saturated” if the product of all the different positive prime factors of n is less than the square root of n. What is the greatest two-digit prime-saturated integer?
(A) 99 (B) 98 (C) 97 (D) 96 (E) 95
解题思路：选项验证法。

将5个选项依次分解质因数，相乘后与每个数的平方根进行比较。

5.the greatest common divisor(G.C.D) & the least common multiple(L.C.M)
最大公约数：也叫最大公因数。

指两个或多个整数共有约数（因数）中最大的一个。

列举法：列出每个整数的全部因数，最大的公共因数即为最大公约数。

质因数分解法：将每个整数进行质因数分解，公共质因数的最低次幂乘幂的乘积即为最大公约数。

如求216、384和210的最大公约数：216=23*33，384=27*3，210=2*3*5*7，公共质因数为2、3，最低次幂均为1，即三个数的最大公约数为2*3=6。

若求216与384的最大公约数，则为23*3=24。

最小公倍数：指两个或多个整数最小的共有倍数。

质因数分解法：将每个整数进行质因数分解，每个（所有）质因数最高次幂乘幂的乘积即为最小公倍数。

如求216、384和210的最小公倍数：216=23*33，384=27*3，210=2*3*5*7，全部质因数分别为2、3、5、7，其中质因数2的最高次幂为7，3的最高次幂为3，5和7的最高次幂均为1，因此三个数的最小公倍数为27*33*5*7=。

若求216与384的最小公倍数，则为27*33=。

例1：If M is the least common multiple of 90, 196, and 300, which of the following is NOT a factor of M?
(A) 600 (B)700 (C) 900 (D) 2,100 (E) 4,900
解题思路：用最小公倍数的质因数分解法求出M，然后用M除以每个选项，不能被整除的选项即为本题答案。

例2：下面选项中哪一个是最小的能被1~7都整除的正整数？
(A) 420 (B)210 (C) 840 (D)630 (E) 700
解题思路：该题实际上就是求1~7的最小公倍数。

例3：Let S be the set of all positive integers n such that n2 is a multiple of both 24 and 108. Which of the following integers are divisors of every integer n in S?
Indicate all such integers.
(A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 72
先读懂题：题意为集合S = {n | n ∈positive integer, and n2is the common multiple of 24 and 108}，问哪个选项能够整除S中的所有元素，或S中的所有元素能被哪个选项整除。

解题思路：∵n2为24与108的公倍数（不一定是最小），∴先求24与108的最小公倍数，对两个数进行因式分解，得出24=23×3，108=22×33，即L.C.M=23×33，∴n2至少能被23×33整除；又∵n2不可能包含奇数次幂的质因子（能够成为一个数平方的数，其质因子的次幂一定是2的倍数），∴n2的最小值为24×34，∴n的最小值为22×32，∴S={36, 72, 108, 216…}。

因此，能够整除36的选项即为本题正确答案。

6.decimals & fractions 小数和分数
*相关词汇：recurring decimal（循环小数）；terminating decimal（有限小数）；numerator（分子）；denominator（分母）；improper fraction（假分数）；mixed number （带分数）。

*整数位与分位：后面加s的是整数位（小数点前面的某位），加th或ths的是分位（小数点后面的某位），如tens是十位数，而tenth是十分位。

*What is the fractional part of ….这样的表达法意为“谁的几分之几”
*小数和分数的互相转换：
例1：0.373737…= ?（将其转换成一个分数）
解题思路：设x=0.373737…①，则100x=37.3737…②，②-①=99x=37，∴
x=37/99
例2：Which of the following fractions has a decimal equivalent that is a terminating decimal?
(A) 10/189 (B) 15/196 (C) 16/225 (D) 25/144 (E) 39/128
解题思路：用计算器直接算感觉更快。

或对每个选项的分母进行分解质因数，质因数只有2和5的整数可被除尽。

7.consecutive numbers 连续数
例1：In an increasing sequence of 10 consecutive integers, the sum of the first 5 integers is 560. What is the sum of the last 5 integers in the sequence?
(A) 585 (B) 580 (C) 575 (D) 570 (E) 565
解题思路：10个连续数，第6个数比第1个数大5，第7个数比第2个数大5…因此，后5个数之和比前5个数之和大25。

例2：If n is an integer greater than 6, which of the following must be divisible by 3?
(A) n(n+1)(n-4) (B) n(n+2)(n-1) (C) n(n+3)(n-5)
(D) n(n+4)(n-2) (E) n(n+5)(n-6)
解题思路：因为问的是must be，因此该题不宜采用代数法。

应根据连续数的特性解题。

即每3个连续整数中就有一个数是3的倍数，每3个连续整数之和一定是3的倍数。

因此n(n+1)(n+2)中一定有3的倍数。

若n是3的倍数，5个选项都成立；若n+1是3的倍数，则(n+1)±3m（m为自然数）仍是3的倍数，即n+4和n-2均为3的倍数，因此排除B、C、E三个选项；若n+2是3的倍数，则(n+2)±3m（m为自然数）仍是3的倍数，故排除选项D。

扩展：
每4个连续数中肯定有一个数是4的倍数。

n个连续整数的乘积能被n!整除。

8.divisibility & remainder整除及余数问题
*一个数是否能够被5整除，只要看它的最后一位（是0或5）。

* 一个数是否能够被4整除，只要看它的后两位（是否是4的倍数）。

∵整个数可以看作是后两位之前的数（即从百位数开始起，之前的所有数）×100+后两位数，而100是4的倍数，∴后两位之前的数一定是4的倍数，只要后两位也是4的倍数，整个数就一定是4的倍数。

* 一个数是否能够被8整除，只要看它的后三位（是否是8的倍数）。

* 一个数能否被3整除，取决于各位之和能否被3整除。

* 一个数能否被9整除，取决于各位之和能否被9整除。

* 0能被所有数整除。

* 余数包括0，如24除以6，商为4余数为0。

比如：17除以5，商为3，余数为2；若以小数表示，则商为3.4。

即3和3.4都是商。

余数=除数×商的小数部分；被除数=除数×商的整数部分+余数。

例：If s and t are positive integers such that s/t=64.12, which of the following could be the remainder when s is divided by t?
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 20 (E) 45
解题思路：余数r=0.12t=3t/25（将0.12写成分数形式），即t=25r/3，∵t为positive integer，∴r必须为3的倍数。

Algebra代数
1.Quadratic equations: 一元二次方程
ax2+bx+c=0, x1,2= a ac
b b
2
4 2-
±
-
但一般更常用的是因式分解法：
x2-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0 x1=3, x2=-1
所有的一元二次方程所对应的函数图像是抛物线，抛物线的对称轴方程式x=-b/2a。

2.Simultaneous linear equations: 多元一次方程组
* 基本方法：消元法。

例1：3x+y=5 (1)
2x+y=4 (2)
(1)－(2)，消去y，得x=1, y=2
* 注意：并不是任何二元一次方程组都有唯一解。

例2：3x+y=5 (1)
6x+2y=10 (2)
上述方程有无穷多组解。

因此，方程的数量须等于未知数的数量，此时多元一次方程有唯一的一组解。

3. Simultaneous quadratic equations: 二元二次方程组
一般只考如下形式：
a 1x+
b 1y=
c 1 (1)
a 2x 2+
b 2x+a 3y 2+b 3y=
c 2 (2)
即其中一个方程为一次。

这种形式等价于一元二次方程，把（1）代入（2）即可。

4. Inequalities: 不等式
*不等式部分不会像中国高考那样考推导、证明，注意两边乘以或除以负数变号等最基本原则即可。

5. Arithmetic sequence: 等差数列
通项公式：a n =a 1+(n-1)d （d 为公差）
等差数列求和：s n = (a 1+a n )n/2
等差数列数的个数：n = (a n -a 1)/d +1
例：小于100的正整数中有多少个是3的倍数？
解题思路：小于100的正整数中最小的3的倍数是3，3之后每加一次3所得的结果都是3的倍数，直到99。

因此，此题相当于求a 1=3，a n =99，d=3的等差数列的个数n 。

∴n=(99-3)/3+1=33。

由于此题数小好算，也可以直接求解。

100以内的最大的3的倍数是99，所以3n ≤ 99，n ≤ 33，n 取最大值33即可。

6. Geometric sequence: 等比数列
a n =a 1q n-1
s n =a 1·q q n
--11 （q 为公比）
当∣q ∣<1且n 为无穷大整数时，s n =q a -11
，因为q n 趋近于0。

例1：+++32212
121…∞21=? s n =1。

∵a 1=1/2，q=1/2，∴s n =(1/2)/(1-1/2)=1。

例2：0.373737…=? (将其转换成一个分数)
该题前面已经有过解题思路，在此可以用等比数列的思路解题。

0.373737…可看作是0.37+0.0037+0.000037+…，相当于求a 1=0.37，q=0.01，n 趋向于无穷大的等比数列的和s n 。

∴s n =0.37/(1-0.01)=37/99。

7. Sets: 集合
例1：全班50个人，选音乐课的有20人，选体育课的有18人，两课都选的有5人，问两课都没选的几人？
50-20-18+5
例2： A marketing firm determined that, of 200 households surveyed, 80 used neither Brand A nor Brand B soap, 60 used only Brand A soap, and for every household that used both brands of soap, 3 used only Brand B sop.（每出现一个使用两个品牌的家庭就对应着出现三个只使用B 品牌的家庭，即两个品牌都用的家庭/只使用B 品牌的家庭=1/3） How many of the 200 households surveyed used both brands of soap?
(A) 15 (B)20 (C)30 (D)40 (D)45
80+60+4x=200 → x=15
例3：五个人排队，甲不能在首位，乙不能在末位，有几种不同的排法？ 解题思路：此题相当于求甲在首位、乙在末位的补集，即用全部排法减去甲在首位和乙在末位的排法。

p(5, 5)-p(4, 4)-p(4, 4)+p(3, 3)=78。

之所以加p(3, 3)是因为多减了一次。

如果再加一个限定条件，如丙不能在中间，则答案为：p(5, 5)-
p(4, 4)-p(4, 4)- p(4, 4)+p(3, 3) +p(3, 3) +p(3, 3)-p(2, 2)=64。

Geometry几何
1.lines & planes 直线与平面
* 两直线平行并为第三条直线所截后，相应角的关系。

* 直线与平面的关系。

相交、平行、垂直（相交的特殊情况）。

例1：If P and Q are different points in a plane, the set of all points in this plane that are closer to P than to Q is
(A)the region of the plane on one side of a line
(B)the interior of a square
(C)a wedge-shaped region of the plane
(D)the region of the plane bounded by a parabola
(E)the interior of a circle
解题思路：这种题问的挺白痴的。

与同一平面上的两点P、Q距离相等的点的集合全部在这两点连线后所组成的线段的中垂线上，那距离P点更近的点的集合就是中垂线的和点P之间这片区域中所有的点。

例2：If n distinct planes intersect in a line, and another line L intersects one of these planes in a single point, what is the least number of these n planes that L could intersect?
(A) n (B) n－1 (C) n－2 (D) n/2 (E)(n－1)/2
解题思路：∵L与n个平面中的一个平面相交于一点，L作为直线可以无限长，∴最多能与n-1个平面相交，否则L与n个平面相交的那条线平行，就不可能与任何一个平面相交于一点。

2.Triangles 三角形
* 勾股定理：a2+b2=c2。

* 构成三角形的条件：两边之和大于第三边。

* 三角形内部边和角的关系：大边对大角。

三角形面积：(a×h)/2
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

3.Quadrilaterals 四边形
* parallelogram(平行四边形)：面积=a×h；周长=2(a+b)
* rectangle(矩形)：面积=a×h=a×b；周长=2(a+b)
* square(正方形)：面积=a2；周长=4a
* trapezoid(梯形)：面积=(a+b)×h/2
4.Circles 圆
* 面积=πR2
* 周长=2πR=πD
（R为radius；D为diameter）
arc 弧
central angle 圆心角
sector 扇形
如上图所示：有arc ABC和arc ADC两个弧，central angle也有两个，分别是角ABC=50°和角ADC=310°，sector同样也有两个。

弧长/圆周长=扇形面积/圆面积=圆心角/360。

因此若已知圆心角度数和圆半径长度，即可求弧长和扇形面积。

5.Polygons多边形
*多边形内角和：（n-2）180º，∵任何一个多边形都可分为n-2个三角形，
而三角形内角和是180°。

6.Rectangular Solids 长方体
* 体积=a×b×c
* 表面积=2（a×b + b×c + c×a）
7.Cubes 正方体
* 体积=a3
* 表面积=6a2
8.Cylinders圆柱
* 体积=πR2h
* 表面积=2πR2+2πR×h
9.Coordinate Geometry 解析几何（坐标几何）
* 直线的标准方程：y=kx+b ；即斜截式，其中k为斜率slope，b为y轴截距y-intercept
* 斜率的计算：K= (Y2-Y1)/( X2-X1)
* 两点或一点加斜率确定一条直线。

* 两直线垂直，其斜率的乘积为－1。

x2+y2=4，表示以原点为圆心，半径为2的圆。

圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，表示以(a, b)点为圆心，r为半径的圆。

Data Analysis统计
1.arithmetic mean (average) 算术平均值
E=
∑
=
n
i
i
a n1 1
geometric mean 几何平均数：n个数之积的n次方根。

2. median 中位数
* The median is the middle value of a list when the numbers are in order. * 先排序，后取中。

若奇数个，中间那个数为median ；若偶数个，中间两个数的平均数为median 。

3. mode 众数
* The mode of a list of numbers is the number that occurs most frequently in the list.
* A list of numbers may have more than one mode. 数列中最大的数有几个，这个数列就有几个众数。

4. expectation 期望 * 期望就是算术平均值。

5. deviation 偏差
n 个数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，再除以这组数的个数n 。

D=()∑=-n
i i E a n 1
||1
6. variance 方差
n 个数中，每个数与平均数之差的平方之和，再除以这组数的个数n 。

D=()∑=-n
i i E a n 121
7. standard deviation 标准差
标准差也叫标准方差，即方差的平方根。

σ=D
standardization 标准化？（不确定翻译成标准化对不对） The process of subtracting the mean from each value and then dividing the result by the standard
deviation is called standardization. 就是一个数列中的每个数与平均数的差除以标准差所得的结果即为标准化。

设数列中的某个数为n，平均数为m，标准差为d，标准化为s，则s=(n-m)/d，若s>0，则表示为n is approximately（若s除尽，则无需近似修饰）s standard deviation above of the mean. 若s<0，则将above换成below即可。

方差和标准差反应了数据的波动性、离散度。

方差和标准差越大，说明这组数越参差不齐、高低起伏。

一个数列中的每个数加上相同的整数，构成的新数列的mean、median、mode 也均加此整数，但新数列的range、interquartile range、deviation、variance和standard deviation均不变。

一个数列中的每个数乘以相同的整数，构成的新数列的mean、median、mode、range、interquartile range、deviation和standard deviation也均乘以该整数，只有variance乘以该整数的平方。

8.range 范围
* 最大数减去最小数所得的差就是该组数据的范围。

9.quartile四分位数
用三个数将一组数分成四段，每一段数的个数相同。

求法：若为该组数为偶数个，第一步将该组从中间数分成两段，前半段的中位数即为第一个四分位数Q1，整个数列的中位数为第二个四分位数Q2，后半段的中位数为第三个四分位数Q3；若该组数为奇数个，去掉中间的数将该数列分为两段，前半段的中位数即为Q1，整个数列的中位数（即去掉的中间的的数）为Q2，后半段的中位数为Q3。

interquartile range四分位差或四分位间距，即Q3-Q1。

例1：150, 200, 250, n
Which of the following could be the median of the 4 integers listed above?
Ⅰ. 175 Ⅱ. 215 Ⅲ. 235
(A) Ⅰonly (B) Ⅱonly (C) Ⅰand Ⅱonly
(D) Ⅱand Ⅲonly (E) Ⅰ,Ⅱ,and Ⅲ
解题思路：当n为4个数中最大的数时，该组数的median为最大值=225，故排除Ⅲ；当n为4个数中最小的数时，该组数的median为最小值=175，故Ⅰ和Ⅱ都可能为median。

例2：The least and greatest numbers in a list of 7 real numbers are 2 and 20, respectively. The median of the list is 6, and the number 3 occurs most often in the list. Which of the following could be the average of the numbers in the list?
Ⅰ. 7 Ⅱ. 8.5 Ⅲ. 10.5
(A) Ⅰonly (B) ⅠandⅡonly (C) Ⅰand Ⅲonly
(D) Ⅱand Ⅲonly (E) Ⅰ,Ⅱ,and Ⅲ
解题思路：已知条件有共七个数，其中最小和最大数分别为2和20，中位数为6（即第四个数为6），3出现次数最多，可判断出第二个和第三个数都是3，第四和第五个数（以下简称四、五）不重复，∴7+8=15≤四+五≤18+19=37。

将所给的三个平均数代入。

若平均数为7，则四+五=7*7-(2+3+3+6+20)=15，故Ⅰ满足条件要求；以此方法判断Ⅱ和Ⅲ，得出Ⅱ满足Ⅲ不满足。

10.Distributions of data, Random Variables, and Probability Distributions
数据分布、随机变量和概率分布
Distributions of data（数据分布）可以理解为分析一组数据特征的方法。

如对于某个学校某年级的某科考试，既要掌握该年级所有学生的平均成绩和中位数成绩等，又要知道不同分数段的学生所占比例。

数据分布通常可用histogram（直方图，也叫柱状图）表示。

如：
上图相当于将800个电子设备按使用期时长分成了50个intervals，也相当于分成50种类别，每个bar表示该interval中有多少个电子设备，每个bar的area 相当于该interval中的电子设备占总数的比例，所有bars的area加起来等于1。

基于全部bars的顶端可以画出一条曲线，该曲线显示出800个电子设备的分布情况，这个曲线称为分布曲线，也叫做密度曲线和频率曲线。

Random Variables与Probability Distributions：
The Normal Distribution 正态分布
排列组合与概率
1.集合
list与set区别：主要有两个区别，list需要考虑elements的order和repetition，即1, 2, 3, 2、1,2,2,3、1,2,3这3个lists是不同的。

而set的repetition are not counted as additional elements and the order of the elements does not matter. 即{1, 2, 3, 2}与{3, 1, 2}两个sets是相同的。

sets A and B
|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|
如果set A与set B为mutually exclusive，则|A∪B| = |A| + |B|，because A∩B=∅.
2.Permutation & combination: 排列与组合
* P m n=n!/(n-m)!=n*(n-1)*(n-2)…从n开始倒着乘m个数。

从n个元素中挑出m个并进行排列（需要考虑n个元素的内部顺序）的所有情况的数量。

P n n=n!
* C m n=n!/ (n-m)! m!=P m n/m!
从n个元素中挑出哪m个元素（不考虑n个元素的内部顺序）的所有情况的数量。

* C m n=C n-m n；C n n=1；C1n=n
3.Probability: 概率
* 概率的古典定义：P(A)=A所包含的基本事件数/基本事件总数。

找对分子和分母非常重要！
The following are general facts about probability.
•If an event E is certain to occur, then P(E) = 1.
•If an event E is certain not to occur, then P(E) = 0.
•If an event E is possible but not certain to occur, then 0 < P(E) <1.
•The probability that an event E will not occur is equal to 1 - P(E).
•If E is an event, then the probability of E is the sum of the probabilities of the outcomes in E.
•The sum of the probabilities of all possible outcomes of an experiment is 1.
If E and F are two events of an experiment, we consider two other events related to E and F.
•The event that both E and F occur, that is, all outcomes in the set E∩F.
•The event that E or F, or both, occur, that is, all outcomes in the set E∪F.
For events E and F, we have the following rules.
It is common to use the shorter notat ion “E and F”instead of “both E and F occur” and use “E or F” in stead of “E or F, or both, occur.” With this notation, we have the following rules.
例：掷一个骰子，掷出的是个奇数的概率是多少？
解题思路：分母C16，分子C13，即3/6=1/2
4.增长率与下降率
自我变化类：(|新-旧|)/旧。

如从2到3增加了百分之多少；从3到2减少了百分之多少。

不同数间比较：(|先-后|)/后。

如1比2少百分之多少；2比1多百分之多少。

（more than之前或后，中文就是比之前或后）
5.简单利息与复杂利息
简单利息：就是只基于初始基数计算的利息。

例如，某账户1月存入本金100$，月利率为3%，到12月该账户连本带利共有多少钱？每个月的利息都是100*3%，故计算公式为V=P(1+t*r%)=100*(1+12*3%)。

复合利息：就是利滚利。

例如，某账户1月存入本金100$，月利率为3%，到了2月账户金额为100*(1+3%)=103，到3月账户金额就为103*(1+3%)=106.09，以此类推。

故计算公式为V=P(1+r%)t。

6.练习题：
<1> 一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。

现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。

求：①两只球都是白色的概率；②两只球颜色不同的概率；③至少有一只白球的概率。

解题思路：
①方法1：分别考虑，分母C15×C14，分子C13×C12，∴P=6/20=3/10
方法2：整体考虑，分母C25，分子C23
②方法1：分别考虑，P=先红后白的概率+先白后红的概率
先红后白的概率，(C12/C15)*(C13/C14)=3/10 (1)
先白后红的概率，(C13/C15)*(C12/C14)=3/10 (2)
P=(1)+(2)=3/5
方法2：整体考虑，分母为从5个中任选2个，即C25；分子为从3个白球中任选1个乘以从2个红球中任选1个，即C13*C12。

∴P=(C13*C12)/C25。

方法3：反向考虑，P=1-两个球都是白球的概率-两个球都是红球的概率
③方法1：正向考虑，P=有1个白球的概率+有2个白球的概率
P=(C13/C12)/C25 + C23/C25=9/10
方法2：反向考虑，P=1-2个都是红球的概率=1-C22/C25=9/10
<2> 从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？
解题思路：反向考虑，即从9个人中任选4个-都是男同学的选法-都是女同学的选法，即C49-C45-C44=120。

<3> 电话号码由四个数字组成，每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数，
求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。

解题思路：概率=P410/(C410)4
<4> 晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？
①3个舞蹈节目排在一起；思路：将3个舞蹈节目看成一个节目，相当于6
个不同节目可排除集中不同的节目单，即P66*P33。

注意不能忘记3个舞
蹈节目的内部排序。

②3个舞蹈节目彼此隔开；思路：5个不同的唱歌节目隔开6个空，三个舞
蹈节目分别插入不同空的插法，即P36*P55。

③3个舞蹈节目先后顺序一定。

思路：∵3个舞蹈节目的顺序已定，且不考
虑是否挨着，∴就无需考虑舞蹈节目的安排，只考虑8个节目中的5个
唱歌节目的排法即可，故结果为P58；也可以反向考虑，即8个节目的全
排列除以3个舞蹈节目的全排列即为3个舞蹈节目顺序已定的排法，故
结果为P88/P33。

<5> 3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？
解题思路：此题若要从信箱的角度考虑，则需要讨论每个邮箱能收到信的情况，容易出错。

因此应从信的角度考虑，因为信是自由项，没有特殊情况需要讨论，即3封不同的信，每封信投入4个信箱都有C14种投法，所以共有43=64种投信方法。

<6> 3个打字员为4家公司服务，每家公司各有1份文件录入，问每个打字员都收到文件的概率？
解题思路：此题属于GRE中难度相当大的题，还是基于古典概率概念解题，寻找分母和分子。

分母与上一题的思路相同，相当于4封信投3个信箱的投法，故分母为(C13)4；分子需要先考虑信的分堆方法，将4份文件分给3个打字员且每个打字员都要分到至少1份文件，也就是1个打字员可以分到两份，另外两个打字员各分1份，即将4份文件分成3堆，其中一堆有两份的分法C24，将3堆
文件分别分3个打字员的分法为P33，故分子为C24*P33。

∴概率= C24*P33/(C13)4=4/9
<7> In the integer 3589 the digits are all different and increase from left to right. How many integers between 4000 and 5000 have digits that are all different and that increase from left to right?
解题思路：根据题意后三位数只能从5~9这五个数中选出三个，又∵后三位数的顺序已定，即选出的3个数无需考虑排序，故有C35个满足题意要求的数。

<8>
Pat will walk from Intersection X to Intersection Y along a route that is confined to the square grid of four streets and three avenues shown in the map above. How many routes from X to Y can Pat take that have the minimum possible length?
解题思路：根据图例可知，从X走到Y至少走5步，且至少横着走2步，竖着走3步，而一旦2部横着走的走法确定，其它3步一定是竖着走，∴相当于求5步当中有2步横着走的走法，即C25。

同理亦可以求3步竖着走的走法。

数学词汇
例题：If 4 less than 3 times a certain number is 2 more than the number, what is the number?
例句：A is 5 times of B.
A is 5 times as___as B.
There are twice as many boys as girls.
What are the zeros of f(x)= x2-4x+3?
1.数学符号
等于：= equal to, the same as, is
不等：> more than
< less than
≥no less than
≤no more than
加：+ add, plus, more than; sum
减：- minus; subtract; less than; difference
乘：×multiply, times; product
除：÷divide; quotient
绝对值：|…| absolute value
平方：X2square
立方：X3cube
开平方：square root
开立方：3cube root
平行：∥parallel to
垂直：⊥perpendicular to
2.数字前缀
1: uni,mono 2: bi,du,di 3: tri,ter 4: tetra,quad 5: penta,quint
6: hex,sex 7: sept,hapta 8: oct 9: enn 10:dec, deka
3.方程和函数
equation 方程solution, root, zero 解variable 变量constant 常量（数）term 项coefficient 系数
4.数列和集合
arithmetic progression 等差数列
geometric progression 等比数列
set 集合
subset 子集
sequence 序列
term 序列中的项
inclusive 包含序列的首末项
exclusive 不包含序列的首末项
5.排列组合与概率
permutation 排列
combination 组合
probability, possibility 概率
6.数论
common divisior 公约数
common factor 公因子
composite number 合数（质数和1以外的自然数）consecutive integer 连续整数
digit 数字
divide 除以
divisor 除数divisible by 可整除的evenly divisible 可整除的even number 偶数
factor 因子integer 整数irrational 无理数least common multiple 最小公倍数multiple 倍数,公倍数natural number 自然数negative number 负数nonzero 非零
odd number 奇数positive number 正数
prime factor 质因子prime number 质数quotient 商
rational 有理数
real number 实数remainder 余数
whole number 整数
units' digit 个位数tens' digit 十位数hundreds' digit 百位数
2-digit number 两位数
7.单利复利和价格
compound interest 复利
cost 成本
down payment 预付款,现付款interest rate 利率
list price 标价
margin 利润
mark up 涨价
mark down 降价
markup 毛利
profit 利润purchasing price 购买价
retail value 零售价
sale price 销售价simple interest 单利
8.其它代数
addition 加arithmetic mean 算术平均数average 平均数
base 底数
closest approximation 近似
decimal 小数
decimal notation 十进制decimal point 小数点decreased 下降后的decrease …to…从…下降到…decrease by …下降了…define 定义denominator 分母
denote 表示，代表
distinct 不同的expression 表达式
fraction 分数
geometric mean 几何平均数improper fraction 假分数increased 增加后的increase…to …从…增加到…increase by…增加了…
in terms of 用…表达
least possible 最小值maximum 最大值
minimum 最小值
multiply 乘
multiplier 乘数
numerator 分子
per capita 人均
power/exponent 幂/指数proportional to 正比于
proper faction 真分数
ratio 比率
reciprocal 倒数
reduced 降低后的rounded to the nearest tenth 四舍五入到十分位successive, in a row 连续的
tenth 十分位
tenths' digit 十位数
tie 平局
times 几倍
two digits 两个数字
twice as many A as B A是B的两倍
3/2 as many A as B A是B的3/2倍
A is 20% more than
B A比B多20%，(A-B)/B=20%
9.几何
abscissa 横坐标
acute angle 锐角
altitude 高
arc 弧
area 面积
angle bisector 角平分线
bisect 平分
center 中心
chord 弦
circle 圆
circumference 圆周长
circumscribe 外接,外切
clockwise 顺时针
concentric circle 同心圆
cone 圆锥
congruent 全等的
coordinate 坐标
counterclockwise 逆时针
cube 正方体
cylinder 圆柱
decagon 十边形
degree 角度
diameter 直径。