弹性力学与有限元法习题集模板
弹性力学及有限元习题参考答案(赵均海、汪梦甫)汇编
(1,1)
4
(0,0)
5
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号
③
2
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5
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6
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④
2
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3
(2,1)
6
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元
②
1
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K11
K K 21
K31
1
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K12
K 22
K32
0
1
-1
1
-1
0
1
0
-1
0
-1
1
K13
K 23 (i 1, j 2, m 3)
（3）主方向：
l（ − ) + + = 0
+ ( − ) + = 0
+ + ( − ) = 0
2 + 2 + 2 = 1
第一主方向：将1 = −46 MPa 及个分量代入上式，有：
101l + 40 = 0
0
0
0
0
5 2
7 17
0
0
0
0
5 12
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17
0 12 2
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0 12 5
34
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0
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弹性力学试题及答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量，200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学及有限单元法_河海大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
弹性力学及有限单元法_河海大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.建立平衡微分方程时，用到了下列哪些假定（）、（）。
参考答案:连续性_小变形2.有限单元法中的单元仍然满足（）、（）、（）、（）的理想弹性体。
参考答案:完全弹性_均匀性_各向同性_连续性3.应力边界条件是指在边界上（）之间的关系式。
参考答案:应力与面力4.面力是指分布在物体的力。
参考答案:表面上##%_YZPRLFH_%##表面5.位移是指一点的移动。
参考答案:位置6.线应变（或正应变）以为正。
参考答案:伸长7.极坐标系下的几何方程有（）。
参考答案:3个8.极坐标系下的平衡微分方程有（）。
参考答案:2个9.应力是指上的内力。
参考答案:单位面积##%_YZPRLFH_%##单位截面10.地面的沉陷与地基的弹性模量无关。
（）参考答案:错误11.弹性力学问题中，仅对位移分量要求单值。
（）参考答案:错误12.在小边界上按圣维南原理列写的三个边界条件是方程。
参考答案:代数##%_YZPRLFH_%##积分13.在大边界上按精确的应力边界条件，列出的两个边界条件是方程。
参考答案:函数14.精确的应力边界条件可理解为，边界上的应力分量应等于对应的。
参考答案:面力分量15.当体力为常量时，按应力求解可简化为按求解。
参考答案:应力函数16.常体力，是指。
参考答案:体力是常量##%_YZPRLFH_%##体力等于常量##%_YZPRLFH_%##体力为常量17.体力是指分布在物体的力。
参考答案:体积内##%_YZPRLFH_%##体积18.在弹性力学中，可以应用叠加原理。
参考答案:正确19.逆解法先假设应力分量的函数形式进行求解。
参考答案:错误20.应力的量纲与面力的量纲是一样的。
参考答案:正确21.弹性力学中应力的符号与面力的符号规定，在正、负坐标面上是一致的。
参考答案:错误22.弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定是一样的。
参考答案:错误23.小变形假定可简化（）、（）为线性方程。
弹性力学与有限元法习题集.. 共72页
试检验这些应力公式是否满足变形协调方程 ？
2019/7/20
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答案 返回
8.下图示梁作用有分布载荷q (x)，体力忽略不计，已知 ，其中 M（x）为梁的截面弯矩，I为截面惯性矩。试根据单元体的平衡 方程式，求应力 。6. 题答案由：源自xu x，
y
v y
2x 2y 2xy
y2 x2 yy
，
xy
v x
u y
x 2u
y xy
，
2 x 3u
y2 xy2
y 2v
x xy
，
2 y
x 2
3v yx 2
6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2x
y2
2x2y
2xy
xy
2019/7/20
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答案 返回
7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
应力分量表达式为，x4q a3x3y2x3y5 6a2xy，y qx4ya33 34ay12
弹性力学与有限元法习题集 与参考答案
2019/7/20
单丽君
大连交通大学
2009年10月
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第一章 第二章
第三章
参考试卷
第四章 第五章
2019/7/20
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第一章习题与答案
1. 有限单元法的含义？ 2. 有限单元法的解题思路？ 3. 有限单元法的优点？
2019/7/20
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x y 2 1 E x y 2 1 E 8 q 3 3 a 2 a 2 x y 2 1 5 a 4 y 4 5 6 a 2 y 2
有限元习题与答案【范本模板】
习题2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理. 解 错误!应力是某截面上的应力在该处的集度。
○，2 应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变.X U Xx ∆∆=ε表示在x 轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变.○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：Txz yz xy z y x x w z u zv y w y u x v z w y vx u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=γγγεεεε错误!物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=666564636261565554535251464545434241363534333231262524232221161514131211αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡xz yz xy zz yy xx γγγεεε错误!虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为:若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能. 2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。
错误! 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙. 错误! 完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。
弹性力学试题及答案讲解
弹性⼒学试题及答案讲解弹性⼒学与有限元分析复习题及其答案⼀、填空题1、弹性⼒学研究弹性体由于受外⼒作⽤、边界约束或温度改变等原因⽽发⽣的应⼒、形变和位移。
_2、在弹性⼒学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应⼒的正负号规定相适应。
3、在弹性⼒学中规定，切应变以直⾓变⼩时为正，变⼤时为负，与切应⼒的正负号规定相适应。
4、物体受外⼒以后，其内部将发⽣内⼒，它的集度称为应⼒。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应⼒在其作⽤截⾯的法线⽅向和切线⽅向的分量, 也就是正应⼒和切应⼒。
应⼒及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性⼒学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性_________6、平⾯问题分为平⾯应⼒问题和平⾯应变问题。
7、已知⼀点处的应⼒分量⼕x =100 MPa，⼆y =50 MPa，X^1O 50 MPa，则主应⼒G = 150MPa，35 16 。
~2 = 0MPa，-冷=&已知⼀点处的应⼒分量，⼆x=200 MPa,⼆y=0MPa ,“*400 MPa，则主应⼒G = 512 MPa，⼆2 =-312 MPa，： 1 = -37° 57'。
9、已知⼀点处的应⼒分量，；「x=：-2000MPa，⼕y =1000 MPa, xy*400 MPa，则主应⼒⼕⼫1052MPa，⼕2⼆-2052 MPa ,：计-82° 32'。
10、在弹性⼒学⾥分析问题，要考虑静⼒学、⼏何学和物理学三⽅⾯条件，分别建⽴三套⽅程。
11、表⽰应⼒分量与体⼒分量之间关系的⽅程为平衡微分⽅程。
12、边界条件表⽰边界上位移与约束，或应⼒与⾯⼒之间的关系式。
分为位移边界条件、应⼒边界________________条件和混合边界条件。
13、按应⼒求解平⾯问题时常采⽤逆解法和半逆解法。
14、有限单元法⾸先将连续体变换成为离散化结构，然后再⽤结构⼒学位移法讲⾏求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
按应力求解平面应变问题的相容方程：
将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
其中，A，B，C，D为常数。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ；（2）在区域内的相容方程 ；（3）在边界上的应力边界条件 ；（4）对于多连体的位移单值条件。
6、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
解：将应力函数 代入相容方程
可知，所给应力函数 能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
， ，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边， ， ， ， ， ；
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2） （1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 ， ， （1分）。
5、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
试题及其答案--弹性力学与有限元分析.(DOC)
如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。
① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
弹性力学试题及答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是12。
5、弹性力学的根本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、一点处的应力分量100=x σ，50=y σ，5010=xy τ ，那么主应力=1σ150，=2σ0，=1α6135' 。
8、一点处的应力分量， 200=x σ，0=y σ，400-=xy τ ，那么主应力=1σ512 ，=2σ-312 ，=1α-37°57′。
9、一点处的应力分量，2000-=x σ，1000=y σ，400-=xy τ ，那么主应力=1σ1052 ，=2σ-2052 ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化构造，然后再用构造力学位移法进展求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两局部。
15、每个单元的位移一般总是包含着两局部：一局部是由本单元的形变引起的，另一局部是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两局部：一局部是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不一样的，即所谓变量应变；另一局部是与位置坐标无关的，是各点一样的，即所谓常量应变。
弹性力学与有限元分析试题答案
最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、 填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学试题及标准答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量，200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
--弹性力学与有限元分析试题及参考答案
弹性力学与有限元分析试题及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy xxy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s f m l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。
为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。
此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。
上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xy C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。
试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ 得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
弹性力学及有限元法 复习题
3、如图3所示平面问题的四边形单元，材料参数为 ， ，试通过编制程序确定单元的刚度矩阵，写出Matlab程序代码。
图3四边形单元
第一章
1、已知某材料为理想弹性体，弹性体内一点的应力状态为 MPa,假设某表面的外法线方向余弦为 ，求该表面的法向和切向应力；该点的应力不变量、主应力、最大剪应力，并绘制摩尔圆。
2、以y轴或z轴为例，推导平衡微分方程（要求写清详细的推导过程）
3、从理想弹性体中取出一微元体，见下图，试以向yOz面投影为例，推导几何方程。
（a）一端固支，一端简支（b）两端固支
4、如图4所示的一个平面梁系统，梁的材料为 Pa，梁的截面见图4，作用力 ，总长度为1.5m，等分为15个轴段。试有限元法求解各节点的挠度，并绘制平面梁变形曲线。
图4一端固支，一端简支的平面梁系统
5、如图4所示，平面应力问题， cm，单元厚度 mm，弹性模量 MPa，泊松比 。 ，且各节点位移、单元应力、单元应变，约束处的支反力。列出Matlab和ANSYS分析程序
7、如下图所示处于平面应力状态的薄板结构，在P点区域作用有面力F，请标示出该结构的应力及位移边界条件
第二章
1、一点处的应力状态由应力矩阵给出，如下
MPa
如果 GPa， ，求单位体积的应变能密度。
2、对于平面应变状态 MPa， MPa， MPa，画出与三个主应力相对应的三个摩尔圆；求最大剪应力的位置和数值；计算等效的von Mises应力值，并与最大剪应力的二倍进行比较。
（要求写出程序代码）
图2平面梁单元受均布力作用
clear
symsx;
symsL;
symsP;
Nvi=1-3*(x/L)^2+2*(x/L)^3;
弹性力学与有限元分析试题及其答案
2021年度弹性力学及有限元分析复习题及其答案(绝密试题)一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，及正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，及切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
及物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的根本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，那么主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，那么主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，那么主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量及体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移及约束，或应力及面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化构造，然后再用构造力学位移法进展求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两局部。
15、每个单元的位移一般总是包含着两局部：一局部是由本单元的形变引起的，另一局部是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
弹性力学与有限元分析试题及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题地应力分量存在地必要条件，并考虑下列平面问题地应力分量是否可能在弹性体中存在.资料个人收集整理，勿做商业用途（1）By Ax x，Dy Cx y，Fy Ex xy；（2）)(22y xA x，)(22y xB y，Cxy xy；其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数.解：应力分量存在地必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内地平衡微分方程xyyxxyyyxx；（2）在区域内地相容方程02222yx yx；（3）在边界上地应力边界条件sflms f ml ysxy yxs yx x；（4）对于多连体地位移单值条件.资料个人收集整理，勿做商业用途（1）此组应力分量满足相容方程.为了满足平衡微分方程，必须A=-F ，D=-E.此外还应满足应力边界条件.资料个人收集整理，勿做商业用途（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2.上两式是矛盾地，因此，此组应力分量不可能存在.资料个人收集整理，勿做商业用途2、已知应力分量312x C Qxyx，2223xy C y，y x C yC xy2332，体力不计，Q 为常数.试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3.解：将所给应力分量代入平衡微分方程0xyyxxyyyxx得23033322322212xy C xy C xC yC xC Qy即230333222231xy C C yC Q xC C 由x ，y 地任意性，得23030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C ，32Q C ，23Q C 3、已知应力分量q x，q y，0xy，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程.解：将已知应力分量q x，q y，0xy，代入平衡微分方程0Y xyX yxxyyyxx可知，已知应力分量q x，q y，0xy一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足.按应力求解平面应力问题地相容方程：yx xyxyxy yx 22222)1(2)()(将已知应力分量q x，q y，0xy代入上式，可知满足相容方程.按应力求解平面应变问题地相容方程：yx xyxyxyyx2222212)1()1(将已知应力分量q x，q y，0xy代入上式，可知满足相容方程.4、试写出平面问题地应变分量存在地必要条件，并考虑下列平面问题地应变分量是否可能存在.（1）Axy x，3By y，2Dy C xy；（2）2Ay x ，y Bx y2，Cxy xy；（3）0x，0y ，Cxy xy ；其中，A ，B ，C ，D 为常数.解：应变分量存在地必要条件是满足形变协调条件，即yx x yxyyx 22222将以上应变分量代入上面地形变协调方程，可知：（1）相容.（2）C By A 22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C.（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则0x，0y，0xy（1分）.5、证明应力函数2by 能满足相容方程，并考察在如图所示地矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0b ）.解：将应力函数2by 代入相容方程24422444yyxx可知，所给应力函数2by 能满足相容方程.由于不计体力，对应地应力分量为b yx222，022xy，2yx xy对于图示地矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上地面力分别为：上边，2h y，0l ，1m，0)(2h yxyxf ，0)(2h yyyf ；下边，2h y，0l ，1m ，0)(2h yxyx f ，0)(2h yyy f ；左边，2l x，1l ，0m ，b f l xxx2)(2，0)(2l xxyy f ；右边，2l x，1l ，0m ，b f l xxx 2)(2，0)(2l xxyy f .l/2l/2h/2h/2yxOOx b 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右地均布面力2b.因此，应力函数2by能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）地问题.资料个人收集整理，勿做商业用途6、证明应力函数axy 能满足相容方程，并考察在如图所示地矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0a ）.解：将应力函数axy 代入相容方程24422444yyxx可知，所给应力函数axy 能满足相容方程.由于不计体力，对应地应力分量为022yx，022xy，ayx xy2对于图示地矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上地面力分别为：上边，2h y，0l ，1m ，a f h yxyx2)(，0)(2h yyyf ；下边，2h y ，0l ，1m ，a f h yxyx 2)(，0)(2h yyy f ；左边，2l x ，1l ，0m ，0)(2l xxxf ，a f l xxyy 2)(；右边，2l x，1l ，0m ，0)(2l xxx f ，a f l xxyy 2)(.可见，在左右两边分别受有向下和向上地均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左地均布面力 a.因此，应力函数axy 能解决矩形板受均布剪力地问题.资料个人收集整理，勿做商业用途7、如图所示地矩形截面地长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量.解：根据结构地特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0x.由此可知l/2l/2h/2h/2yxO22yx将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式)()(,21x f y x f yx 将上式代入应力函数所应满足地相容方程则可得)()(424414dxx f d dxx f d y2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶地水压力和自重作用，如图 2.14所示.若按一个单元计算，水地容重g ，三角形平面构件容重g ,取泊松比v =1/6，试求顶点位移和固定面上地反力.资料个人收集整理，勿做商业用途解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3建立坐标)0,0(3)3,0(20,21:a a xoy （1）求形函数矩阵：aa a a 60321a b b a b 303321ac a c c 220321图（2.14）形函数:)(21y c x b a AN i i i i233221aa a A所以：ay ax Na y N a xN 32132321形函数地矩阵为：ay a xay ax ay a x a y a xN NN Nmji321302003210302（2）刚度矩阵333231232221131211KKKK K K K K KKesr sr s r sr s r s r s r sr rsb bc c c b b c b c c b c c b b AEtK21212121142125213531416122aE A Et t 可得：40035353415093532211EKEK251035343127273323531233E KEK215251935313EK41253535323EK431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353E Ke（3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：Teu a00022水压力和构件厚分别为：10tgh p TTet l q h q h q R 032031020306000001自重为W 与支座反力：Ty x y x e W R R W W R R R 330333112所以：Ty x y x eW R h q R W h q W R R R33363303011由eeeRa K得到下列矩阵方程组：3336300030301122W R h q R W h q W R R u y x y x 化简得：431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353E Ke364035353022W h q u E可得：EW E h q u 363567022将22u 代入下式：333425135025103533031122W R h q R W R R u E y x y x 固定面上地反力：ahga gh q 330从而可得支座反力为：43221234120303011h q W Rh q W R W h q R WR y x y x 这是y 地线性方程，但相容方程要求它有无数多地解（全柱内地y 值都应该满足它），可见它地系数和自由项都应该等于零，即资料个人收集整理，勿做商业用途0)(414dxx f d ，)(424dxx f d 这两个方程要求ICx Bx Axx f 231)(，KJx Ex Dxx f 232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响地一次项和常数项后，便得2323)(ExDxCx BxAxy 对应应力分量为22yxgyEDx B Ax y xy26)26(22CBx Axyx xy2322以上常数可以根据边界条件确定.左边，0x ，1l，0m ，沿y 方向无面力，所以有)(C xxy右边，b x ，1l ，0m ，沿y 方向地面力为q ，所以有qBb Ab bxxy23)(2上边，0y ，0l ，1m ，没有水平面力，这就要求xy 在这部分边界上合成地主矢量和主矩均为零，即)(00dx y b xy将xy地表达式代入，并考虑到C=0，则有)23(23232BbAbBxAxdx Bx Ax b b 而00)(dx ybxy自然满足.又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y在这部分边界上合成地主矢量和主矩均为零，即0)(00dx y b y，)(00x d x y b y将y地表达式代入，则有02323)26(22Eb DbEx Dx dx E Dx b b22)26(2323EbDbExDxxdx E Dx b b 由此可得2bq A，bq B，0C ，0D ，0E 应力分量为0x,gy bx by q y312,23bx bx q xy虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）地边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用地.资料个人收集整理，勿做商业用途8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势地力，即体力分量可以表示为xV f x，yV f y，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，V yx22，V xy22，yx xy2，试导出相应地相容方程.资料个人收集整理，勿做商业用途证明：在体力为有势力地情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x，y，xy应当满足平衡微分方程yV xyx V yxxyyyxx（1分）还应满足相容方程y f x f yxy x yx 12222（对于平面应力问题）yf xf yxy x yx 112222（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件（1分）.对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件.首先考察平衡微分方程.将其改写为0xVyyV x xyyyxx这是一个齐次微分方程组.为了求得通解，将其中第一个方程改写为yxxyVx根据微分方程理论，一定存在某一函数A （x ，y ），使得yA Vx，xAyx同样，将第二个方程改写为yxyxVy（1分）可见也一定存在某一函数B （x ，y ），使得xB Vy，yByx由此得yB xA 因而又一定存在某一函数y x,，使得y A，xB代入以上各式，得应力分量V yx22，V xy22，yx xy2为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数y x,必须满足一定地方程，将上述应力分量代入平面应力问题地相容方程，得资料个人收集整理，勿做商业用途Vyx Vx Vyyx2222222222221VyxV yxxy yx222222222222222212简写为V24)1(将上述应力分量代入平面应变问题地相容方程，得Vyx Vx Vyyx22222222222211VyxVyxxy yx2222222222222222112简写为V241219、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁地密度为，试用纯三次地应力函数求解.O解：纯三次地应力函数为3223dycxyy bx ax相应地应力分量表达式为dy cx xf yx x6222,gy by ax yf xy y2622,cybx yx xy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程地.现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件.资料个人收集整理，勿做商业用途上边，0y ，0l ，1m，没有水平面力，所以有2)(bx yxy对上端面地任意x 值都应成立，可见b 同时，该边界上没有竖直面力，所以有6)(ax yy对上端面地任意x 值都应成立，可见a 因此，应力分量可以简化为dy cx x62，gy y，cyxy2斜面，tanx y ，sin 2cosl ，cos cos m ，没有面力，所以有0tantan x y xyyx y yx x lmml 由第一个方程，得sin tan 6sin4costan 2sintan 62dx cx cx dx cx 对斜面地任意x 值都应成立，这就要求tan64d c 由第二个方程，得sin sin tan 2cos tan sintan 2gx cx gx cx 对斜面地任意x 值都应成立，这就要求0tan 2g c （1分）由此解得cot 21g c（1分），2cot31g d从而应力分量为2cot2cot gy gx x,gy y,cotgy xy设三角形悬臂梁地长为l ，高为h ，则lh ta n.根据力地平衡，固定端对梁地约束反力沿x 方向地分量为0，沿y 方向地分量为glh 21.因此，所求x 在这部分边界上合成地主矢应为零，xy应当合成为反力glh 21.资料个人收集整理，勿做商业用途cotcotcot2cot2202gh glh dygy gl dyh lxh xglhgh dygy dyh h lx xy21cot21cot2可见，所求应力分量满足梁固定端地边界条件.10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体地密度为1，液体地密度为2，试求应力分量.资料个人收集整理，勿做商业用途解：采用半逆解法.首先应用量纲分析方法来假设应力分量地函数形式.取坐标轴如图所示.在楔形体地任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与g 1成正比（g 是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与g2成正比.此外，每一部分还与，x ，y 有关.由于应力地量纲是L-1MT-2，g 1和g 2地量纲是L-2MT-2，是量纲一地资料个人收集整理，勿做商业用途量，而x 和y 地量纲是L ，因此，如果应力分量具有多项式地解答，那么它们地表达式只可能是gx A 1，gy B 1，gx C2，gy D2四项地组合，而其中地A ，B ，C ，D 是量纲一地量，只与有关.这就是说，各应力分量地表达式只可能是x 和y 地纯一次式.资料个人收集整理，勿做商业用途其次，由应力函数与应力分量地关系式可知，应力函数比应力分量地长度量纲高二次，应该是x 和y 纯三次式，因此，假设资料个人收集整理，勿做商业用途3223dycxyy bx ax相应地应力分量表达式为dy cx xf yx x6222,gy byax yf xy y12226,cybx yx xy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程地.现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足2g1gyxO应力边界条件.资料个人收集整理，勿做商业用途左面，0x ，1l，0m ，作用有水平面力gy 2，所以有gydy xx26)(对左面地任意y 值都应成立，可见62gd同时，该边界上没有竖直面力，所以有2)(cy xxy对左面地任意y 值都应成立，可见c 因此，应力分量可以简化为gy x2，gy byax y126，bxxy2斜面，tan y x ，cos l ，sin2cosm ，没有面力，所以有0tantan y x xy yy x yx x lmm l 由第一个方程，得sin tan 2cos 2by gy 对斜面地任意y 值都应成立，这就要求sin tan 2cos 2b g 由第二个方程，得sin sin4sin tan 6cos tan 2sin 2tan611y g b a by gy byay 对斜面地任意x 值都应成立，这就要求4tan61g ba 由此解得321cot31cot61g g a，22cot21g b 从而应力分量为gy x 2,y g g xg g y 122321cotcot2cot ,22cotgx xy 位移边界条件对称、固定边和简支边上支点地已知位移条件如下：对称轴: 法线转角=0固定边: 挠度=0 (或已知值)边线转角=0 (或已知值)法线转角=0 (或已知值)简支边: 挠度=0 (或已知值)边线转角=0 (或已知值)计算图示四边固定方板方板地边长为l ，厚度为t ，弹性模型量为E ，波松比μ=0.3，全板承受均布法向荷载ｑ，求薄板中地挠度和内力. 资料个人收集整理，勿做商业用途单元划分：为了说明解题方法，采用最简单地网络2×2，即把方板分成四个矩形单元.由于对称性，只需计算一个单元，例如，计算图中有阴影地单元，单元地节点编号为１，２，３，４.此时，单元地a, b 是4l ba 计算节点荷载:由前面地均布荷载计算公式得：Tl l l l l l l l qlR ]21121212[192}{2边界条件：边界23和34为固定边，因此节点2, 3, 4地挠度、边线和法线转角均为零.边界12和14为对称轴，因此θx1 =0、θy1 =0.于是，在4个节点和12个位移分量中,只有一个待求地未知量1w .资料个人收集整理，勿做商业用途结构地代数方程组：这是一个单元地计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵.引入支承条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元素.于是结构地代数方程为：16)681(15815821201120qlw l D w k lD 资料个人收集整理，勿做商业用途同此解出04100148.0D ql w .其中32309158.0)1(12EtEt D 内力:利用式(4-2-6)可求得方板中点力矩为：由表看出，网格越密，计算结果越接近于精确答案.还可看出，位移地精度一般比内力地精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出地，而内力则是根据位移间接求出地.资料个人收集整理，勿做商业用途第三章平面问题有限单元法习题答案3-2图示等腰直角三角形单元，设=1/4，记杨氏弹性模量E ，厚度为t ，求形函数矩阵[N]、应变矩阵[B]、应力矩阵[S]与单元刚度矩阵[K]e.资料个人收集整理，勿做商业用途【解】：ijmj imi j ji mm i j i m j m i i m j j m i m j i j m m j ix x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a ,,,,,,aj(0,a)aac a a b a aa a a ac b a a a c a a b a a mmmj j j i i i 0,0,0*0*0,00,00**0000,0,0*00*02mjim j i N N N N N N N000),,()(21m j i y c x b a AN i i ii 221001010121aa a Ayxayxy x ay x a Na yx a ay ax aaN a y ay x a N a x y ax a N m j i 000001)(1)00(1)00(122221000310131031001310311103)411(2412100141141411411)4121)(411()411()1(2210011011)21)(1()1(EE E E D321B B B Baa c a ab a aa a a a cb a a ac a a b a a mmmj jj i i i 0,0,0*0*0,000,00**0000,0,0*00*0211011010100001000111110011011000110000110000100212aBaB aB a a a aB b c c b AB mjii i i i i1003101310E D1101101010000100011aB11011313001*********11110100001000110003101310aE a E BD S 1003101310E D11111010000100011aB42311124111331300111011011011013100320211101101010000100011000310131101101010000100011022Et at aE tAB D BKTTe3-3正方形薄板，受力与约束如图所示，划分为两个三角形单元，=1/4，板厚为t ，求各节点位移与应力.【解】：yP 34242311124111331300111011011011013100320Et tAB D BKTe0000000000000000003001310001101100011011001003130031114200111324201Et K4211310024131100111001001303100031013000111001000000000000000000202Et K4211310241311001140023113042011310240111120041300311142001113242021Et KKK 载荷向量：000000P R1001414004040042000000004211310241311001140023113042011310240111120041300311142001113242013344332211P v u Et P v u v u v u v u Et 101414041PEt PEt v u 05010015330050000044332211Et P v u v u v u v u 10003101310E D111101010000100011a B1101110001000010111aB12BB31201010003101325000000110111000100001011000310131033221111atPatPEtP aE v u v u v u BD 1002101031013200500011111000100001110310131022334422atP atP Et P aE v u v u v u BD 3-4三角形单元i,j,m 地j ，m 边作用有如图所示线形分布面载荷，求结点载荷向量.【解】：面力移置公式：tdsp NRTe其中：mjim j i N N N N N N N000),,()(21m j i y c xb a AN i i ii 426,132,62*63*2352,426,26*22*5165,363,213*56*6mmmj j j i i i c b a c b a c b a 213431402212165136122121Aj(6,3)i(2,2)m(5,6)1q 2q yxo)46(131)342(131)321(131y x N y x N y x N mj i 所以:yx yx yx y x yx y x N460342033004603420321131载荷分布函数：0)6(3)(121y q q q p积分函数：])6,5[(213x x y dyy q q q yxyx y x yx yxyxttdsy q q q yx y x yx yxyx y xRe3100)6(3)(460463420034233003211310)6(3)(464634200342330032113112163121dyy q q q y y y y t dyy q q q y yyy yy yy tRe)6(3)(133130013313263130026313000013*3100)6(3)(473160473163283420032834200013*3101216312163dyy q q q q y y q q q q y tdyy q q q q y y q q q q y tRe63121212126312121212))(36(*30))(36(*60027100)3)(2(*133130)3)(2(*26313013*310126323122126312631212632312212631263129292331)(321)36(3)(3)36(299331)(621)36(6)(6)36(q q y yq q yyq q dyy y q q dy y q q q q yyq q yyq q dy y y q q dy y q q 所以:210210031002182902990027100)3)(2(*133130)3)(2(*26313013*310121212126312121212q q q q tq q q q t dyy q q q q y y q q q q ytRe3-5图示悬臂深梁，右端作用均布剪力，合力为P ，取=1/3，厚度为t ，如图示划分四个三角形单元，求整体刚度方程.资料个人收集整理，勿做商业用途【解】：13524612341000420248410012102112)311(23121001311310311311)3121)(311()311()1(22100011011)21)(1()1(EE E E D10420248E D1111101000010001B53411235211442400211011011011024200416211101101010000100011020410241101101010000100018Et t E tAB D B KTTe534112352114424002110110110110242004164321Et KKKK0000000000000000000000000000000000000000000000400042020000010011100000000000000000000000000000410053120000210035140000010011100000200024041K534112352114424002110110110110242004164321Et KKKK00000000000000000000000000000000000000000000001011000100000424002000001253004100001435002100000000000000000000000000002420040000010110001162Et K00000000000000000000000000000000000000000000000080008404000002002220000000000000000000000000000082001062400004200610280000020022200000400048081612Et KK80844000020022200000000000000000000000000000820010624000042006102800000200222000004000480800000000000000000000000000000000000000000000000000001643Et KK808440200222000000000000000000000000000008200186248404420061228222002002220000040004808000000008200106240000420061028000002002220000040004808164321Et K K K K K算例2：正方形薄板平面应力问题地求解已知图示正方形薄板，沿其对角线承受压力作用，载荷沿厚度为均匀分布，P=20kN/m.设泊松比u=0，板厚t=1m ，求此薄板应力.资料个人收集整理，勿做商业用途课本第42页3.7节计算结果如下：变形：76.176.172.388.052.1252.32653321u u v u v v 应力：)/(40.40.2088.021m kN xyy x ；)/(052.1276.122m kN xyy x；)/(08.372.388.023m kN xyy x ；)/(32.172.3024m kN xyy x 1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比0；单元地边长及结点编号见图中所示.求(1)形函数矩阵N(2)应变矩阵B 和应力矩阵S (3)单元刚度矩阵eK1、解：设图1所示地各点坐标为点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0）于是，可得单元地面积为12A2a ，及(1)形函数矩阵N 为(7分)123aa12122121(0a a )a 1(00a )a 1(aa 0)aN x y N x y N x y ；123123N N N NI I I N N N (2)应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为(7分)12a 010-a a-aaB ，220010a aa 0B ，32-a 0100a-aB ；123B B B B 12a00-a a11-a a 22E S ，22000a a1a 02E S ，32-a 000a10-a 2E S ；123123SD B B B S S S (3)单元刚度矩阵eK(6分)111213T21222331323331102113120111100140202002000201111eEt tAK K K KB DB K K K K K K 2、图2（a ）所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载地作用，荷载集度为21/N m ，同时在y 方向相应地两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布地荷载作用.设薄板材料地弹性模量为E ，泊松比0.试求资料个人收集整理，勿做商业用途(1)利用对称性，取图（b ）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同地直角三角形单元.给出可供有限元分析地计算模型（即根据对称性条件，在图（b ）中添加适当地约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）.资料个人收集整理，勿做商业用途(2)设单元结点地局部编号分别为i 、j 、m ，为使每个单元刚度矩阵eK 相同，试在图（b ）中正确标出每个单元地合理局部编号；并求单元刚度矩阵eK .资料个人收集整理，勿做商业用途(3)计算等效结点荷载.(4)应用适当地位移约束之后，给出可供求解地整体平衡方程（不需要求解）.图13①②③④2、解：(1)对称性及计算模型正确(5分) (2)正确标出每个单元地合理局部编号(3分) (3)求单元刚度矩阵eK(4分) (4)计算等效结点荷载(3分)(5)应用适当地位移约束之后，给出可供求解地整体平衡方程（不需要求解）.(5分)如图3.11所示地平面三角形单元，厚度t=1cm ，弹性模量E=2.0*105mpa ，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单元刚度矩阵Ke.资料个人收集整理，勿做商业用途图2j m m mmi ii ij j j 1N /m21N /m 12456对称1011012020031214301201eEt K对称123356322000026121006120146101620212v v u Et tv u u解：此三角形单元可得：2△=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+4v2）a6=1/32*（-8v1+8v3）而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0[B]=1/2△* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8资料个人收集整理，勿做商业用途c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 01 γ 0 1 0.3 0[D]=[E/(1-γ2)]* γ 1 0 =[E/0.91]* 0.3 1 0资料个人收集整理，勿做商业用途0 0 (1-γ)/2 0 0 0.351 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0[S]=[D]*[B]={E/0.91}* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25资料个人收集整理，勿做商业用途0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 01.4 0 -1.4 -0.7 0 0.70 4 -0.6 -4 0 0[K]①=BT*D*B①*t*△={E/36.4}* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7资料个人收集整理，勿做商业用途-0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.350 0 0.6 -1 -0.6 00.7 0 0.7 -0.35 0 01 0 0 0.6 -1 -0.60 0.35 0.7 0 -0.7 -0.350 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7[K]②=BT*D*B②*t*△={E/36.4}* 0.6 0 0 4 -0.6 -4资料个人收集整理，勿做商业用途1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.30.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.53.12 求下图中所示地三角形地单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内地应变和应力，求出主应力及方向.若在单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点地地载荷分量.资料个人收集整理，勿做商业用途解：如图2△=64/3，解得以下参数：a1=19 a2=-2 a3=6；b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；资料个人收集整理，勿做商业用途N1={64/3}*(19-3x-y) N2={64/3}*(-2-3x-3y)N3={64/3}*(6-x+4y)故N=Ni 0 Nj 0 Nm 00 Ni0 Nj0 Nm1 0 1 0 1 0 =0 1 0 1 0 1bi 0 bj 0 bm 0[B]={1/2△}* 0ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0={64/3}*0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -11 γ 0[D]={E/(1-γ2)}*γ 1 00 (1-γ)/21 γ 0 -3 0 4 0 -1 0 单元应力矩阵[S]=[D]*[B]={E/13(1-γ2)}* γ 1 0* 0 -1 0 -3 0 4资料个人收集整理，勿做商业用途0 (1-γ)/2 -1 -3 -3 4 4 -12 1.1-3 -u 4 3u -1 4u2.4单元应力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4* 1.2资料个人收集整理，勿做商业用途(u-1)/2 (3u-3)/2(3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/22.4资料个人收集整理，勿做商业用途1.43.13解：二维单元在x,y 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化.3.14解：令1t，1p ，而E2.0e 011，1/3，210101102E D（0,1）（2,1）x y①②（0,0）（2,0）12312311223300000b b b Nc c c c b c b c b 2NBA单元①2.250.7500.75 2.25000.75D①②0.500.50000100010.500.51B①-1.125-0.75 1.125000.751.0+011*-0.375-2.250.37502.25-0.75-0.37500.3750.75Se ①S DB1.31250.75-0.5625-0.375-0.75-0.3750.752.4375-0.375-0.1875-0.375-2.25-0.5625-0.3750.562500.375*1.0011-0.375-0.187500.18750.3750-0.75-0.37500.3750.750-0.375-2.250.3752.25kee ①单元②：00.500.50B101001010.50.5②00.75 1.1250.75 1.125002.250.375 2.250.3750*1.00110.7500.750.37500.375Se ②0.7500.750.37500.37502.250.3752.250.3750.750.3751.31250.750.56250.3750.375 2.250.75 2.43750.3750.187500.3750.56250.37510.562500.37500.3750.18750.1875ke②由ke①和ke ②扩充KZ （总刚度阵）1.31250.750.56250.3750.750.375000.752.43750.3750.18750.375 2.25000.56250.3751.312500.75000.3750.3750.18750 2.437502.250.37501.01011*0.750.3750.750 2.06250.750.56250.3750.375 2.250kz e 2.250.75 4.68750.3750.18750000.3750.56250.3750.56250000.37500.3750.187500.1875而Re .kz qe ，其中112211Re22Rx Ry Rx Ry ，112200qex y x y ，化简得：112201.312500.7500.11310 2.43750 2.250.596820.750 2.06250.7500.194702.250.754.687510.42432x y x y 则，11220.56250.3750.750.3750.11130.148100.18750.375 2.250.59680.95170.750.3750.56250.3750.19470.17420.3750.3750.18750.42430.0482Rx Ry Rx Ry 3.15如图所示有限元网格，cm a4，单元厚度mm t 1，弹性模量MPa E5100.2，泊松比3.0.回答下述问题：（1）结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小？（2）如何设置位移边界条件才能约束结构地刚体移动？（3）形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵.（4）如果施加一定载荷，拟定求解步骤.(1) (2) （3）资料个人收集整理，勿做商业用途解：1、节点编号如图(2)所示；2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构地刚体移动；3、如图(2)所示各节点地坐标为(以m 为单位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12)资料个人收集整理，勿做商业用途解：单元号 1 2 3 4 56相邻结点1 3 4 5 5 72 2 5 4 6 63436 78对于单元号1：04.0321y y b ；04.0132y y b ；0213y y b ；08.0231x x c ；0312x x c ；08.0123x x c ；对于单元号2：04.0423y y b ；0342y y b ；04.0234y y b ；0243x x c ；08.0432x x c ；08.0324x x c ；对于单元号3：04.0354y y b ；0435y y b ；04.0543y y b ；0534x x c ；08.0345x x c ；08.0453x x c ；对于单元号4：04.0645y y b ；0564y y b ；04.0456y y b ；0465x x c ；08.0654x x c ；08.0546x x c ；对于单元号5：04.0765y y b ；04.0576y y b ；0657y y b ；08.0675x x c ；0756x x c ；08.0567x x c ；对于单元号6：04.0867y y b ；0786y y b ；04.0678y y b ；0687x x c ；08.0876x x c ；08.0768x x c ；平面三角形单元地面积均为1112321x x x 23210032.0m y y y 弹性矩阵均为0112E D12/)1(0003.0191.0100.21113.035.000应变矩阵11)5()3()1(021c b BBB110b c 220c b 220b c 330c b 33b c 2505.125.1225005.125.12002500025033)6()4()2(021c b BBB330b c 220c b 220b c 440c b 44b c 005.125.1200250002502505.125.12250应力矩阵)1()5()3()1(BD SSS2308.192418.84725.27100.1116154.99451.544835.1602418.84725.276154.9002308.190009451.544835.16)2()6()4()2(BD SSS2418.84725.27100.1116154.9002308.190009451.544835.162308.192418.84725.276154.99451.544835.16单元刚度矩阵tA SBKKKT)1()1()5()3()1(3297.07692.03846.05495.07143.03187.1100.181978.23846.01923.03297.03901.27143.03297.0005495.03297.05495.003846.01923.001923.03846.007692.03846.003846.07692.01978.2003297.01978.23297.0t A SBKKKT)2()2()6()4()2(3297.05495.03297.0005495.0100.181923.03846.003846.01923.003846.07692.007692.03846.001978.23297.01978.2003297.07143.03187.13297.07692.03846.05495.03901.27143.01978.23846.01923.03297.0结构刚度矩阵为：。
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单丽君
大连交通大学
2009年10月
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第一章 第二章
第三章
参考试卷 第四章
第五章
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第一章习题与答案
1. 有限单元法的含义？ 2. 有限单元法的解题思路？ 3. 有限单元法的优点？
答案
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y
n 2 y
q ( x) n 2 q ( x) 3 2 n3 2 3 ( y )dy ( n yy ) 2I 2 6I 4 4
dM ( x) Q( x) dx
dQ ( x ) q( x) dx
My Iz
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第三章习题与答案
1 4 6 2 2 2 2 2 4 3x a y a y a y 5 5
2 2 x y 3qxy1 y 2 x 2 Ea 3 2 2 2 x y xy 所以， y 2 x 2 xy
13. 已知某单元，其结点编号为i，j，m，其坐标依次为（2， 2）、（6，3）、（5，6），试写出其形函数Ni，Nj，Nm 及单 元的应变矩阵。
答案
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14. 图示平面应力状态的直角三角形单元及其结点编码，设 试求： （1）形态矩阵[N]； （2）几何矩阵[B]及应力转移矩阵[S]; （3）单元刚度矩阵[k]e
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17. 如图所示单元，在ij边上作用有均布，载荷密度为q，试 单元的等效结点载荷。单元的厚度为t。
答案
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18. 如图所示固端梁受集中力P作用，取 问题计算，求图示单元的结点位移。
1 6
,按平面应力
答案
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1.为满足解答收敛性要求，选择位移模式应满足什么条件？
2.弹性体在进行单元划分时，应注意什么问题？
答案
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3.试说明图示工程实例的约束如何引进整体刚度矩阵？
答案
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4.计算出图示单元节点的编码方式下的三角形ijm的面积Ｓ△ijm的
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1、2题答案
1.
答：（1）位移模式应包括单元的刚体位移状态和常量应变状态， 满足这个条件的单元为完备单元。 （2）位移模式应保证相邻单元在公共边界处位移是连续的， 这种连续性称为协调性或相容性； 条件（1）是收敛的必要条件，条件（1）+（2）是收敛的 充分条件。 2. 答：（1）单元的大小：重要部位、易发生应力集中、应力位移变 化剧烈部位单元划小些，次重要部位、应力和位移变化比较平缓的 部位单元划大些。 （2）单元形状：应力及位移的误差与单元的最小内角正旋成 反比。 （3）结构厚度和弹性常数有突变时的单元划分：把厚度和弹 性常数有突变线作为单元的分界线，不能使突变线穿过单元。
答案
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学的基本假设？ 答（1）假设物体是线性弹性的； （2）假设物体是连续的； （3）假设物体是均匀的，各向同性的； （4）假设物体的位移和应变是微小的。 2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？ 答：弹性力学平面问题的基本方程包括平衡方程、几何方程和 物理方程。 平衡方程表征：应力与外力的关系。 几何方程表征：应变与位移的关系。 物理方程表征：应力与应变的关系。 3. 虚功原理? 外力在虚位移上所做的虚功W，恒等于应力乘虚应变的 虚变形功（或虚变形能）。
6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2 2 2 x y xy 2 y 2 x xy
答案
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7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
q 3 6 2 y3 3y 1 3 x 3 x y 2 xy a xy ， 应力分量表达式为， y qx 3 5 4a 4a 2 4a
2 xy xy
3qxy1 Ea 3
即应力公式满足相容方程
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8. 题答案
解：
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N 2 S A x dA
( M dM ) y1 M dM dA A1 I I
A1
y1 dA
M dM * Sz I
同理
N 1 S A x dA
' ' d yx dx 在顶面r p上切向内力系的合力：
M I
A1
y1 dA
M * Sz I
取截面下的物体为分离体
X 0
M dM * M * Sz S z ' yx dx 0 I I
3 1 1 y 3y 1 q 3 6 2 3 y y x qx x y 2xy a xy 3 4a 3 E E 4a 2 5 4a
xy
21 21 q xy E E 8a3
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第二章习题与答案
1. 试说明弹性力学的基本假设？
2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？
3. 虚功原理内容？
答案
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4. 工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？
5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？
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6. 题答案
由： x u
x
， y
v y
，
xy
v u x y
2 2 2 x y xy 2 2 y x yy
2 x x 3u 2u ， y 2 xy 2 y xy
值。 5.试证明:三结点三角形单元内任意一点有：
Ni xi N j x j N m xm x
6. “在应用有限元求解弹性力学平面问题时，单元划分得越小 越好” ，这句话对吗？试说明理由。
答案
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7. 试证明平面三角形三结点单元的位移模式：
ux, y a1 a2 x a3 y vx, y a4 a5 x a6 y
2 v 2u 2 x yx x
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7. 题答案
y 3 3y 1 q 3 6 2 3 答： x 1 x y 1 x y 2xy a xy qx 4a 3 4a 2 E E 4a 3 5
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4、5. 题答案
4. 工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？ 答： （1）在几何外形上，它们都是等厚度的平面薄板； （2）在受力状态上，面力都只作用在板边上，且平行于板面， 并且不沿厚度变化，体力也平行于板面，且不沿厚度变化； （3）σz=0 ，εz≠0 。 5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？ （1）在几何形状上，它们都是一个近似等截面的长柱体，它 们的长度要比横截面的尺寸大得多； （2）在受力情况上，它们都只受有平行于横截面，且沿纵向 长度均布的面力和体力。有的在纵向的两端还受有约束。 （3）εz=0，σz≠0
yx
' n * dM S 2 Q( x ) 2 Q( x ) n 2 Q( x ) n 2 2 1 2 y dy ( y ) ( y ) 1 1 dx I I y I 4 2 2I 4
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由剪应力互等定理， yx yx
xy
q 2 2 1 4 6 2 2 2 4 3 x a y a y a y 8a 3 5 5
试检验这些应力公式是否满足变形协调方程 ？
答案
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8.下图示梁作用有分布载荷q (x)，体力忽略不计，已知 ，其中 M（x）为梁的截面弯矩，I为截面惯性矩。试根据单元体的平衡 方程式，求应力 。
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4.题答案
解：
S ijm
1 1 xj 2 1 xm
1 xi
1 y j 1 7 7 13.5 2 1 1 4 ym
yi
1 4
1
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5.题答案
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3.题答案
答：（1）将整体刚度矩阵[K] 中的第1行、第3行、第5行、第 6行的主对角线元素改为1，将 第1行、第3行、第5行、第6行 非对角线元素改为0； （2）为了保持[K]矩阵的对称 性，将第1列、第3列、第5列、 第6列非对角线元素改为0； （3）将1、3、5行对应的载荷 向量改为0。
① ②
答案
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11.试用“*”表示非零子块，用“0”表示零子块，写出图示已 划分单元弹性体的总刚矩阵。
12.图（a）、(b)所示是同一结构的两种不同的网格划分方法， 试计算两图的半带宽，并说明哪种划分方法比较合理，为什么？