正余弦定理复习(整理好的)

B
A
b
a
B
一解
两解
一解
无解
a
b
C a A b
C a B
A
a<bsinA 无解
a=bsinA
一解 C
C
a
b
B2 B1 bsinA< a < b 两解
b
a B 一解
A
A
ab
(2)若A>90º ，又可有下形式：
C b A a<b 无解 C b a B a C b A a=b 无解 B a
A a>b
B
b2 c 2 a 2 解：∵ cos A ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
a 2 b2 c 2 ∵cosC ＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
c sin A (∵sinC＝ ≈0.5954,∴ a
∴
C≈36°,
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2
在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝
82°28′，解这个三角形.
解：由
c 2 a 2 b2 2abcosC
，得 c≈4.297.
b2 c 2 a 2 ∵ cos A ≈0.7767， ∴ A≈39°2′, 2bc
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′. A=39°或141°(舍).)
sinB 5
5.
A 2 在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos 2
，试判断此
三角形的类型.
解：∵sinB·sinC＝cos2
A 2
, ∴sinB·sinC＝ 1 cos A
2
∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］ 将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC 代入上式得 cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1 又0＜B，C＜π ，∴－π ＜B－C＜π ∴B－C＝0 ∴B ＝C 故此三角形是等腰三角形.
AB AC AB AC
练习
1.在△ABC中，b CosA=a cosB，则三角形为( C ) A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA＝acosB, b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 b a 2bc 2ac
一解
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2 2 2 2 cos A 即 a b c 2bc cos A 2bc
b c a 2ac cos B
2 2 2
c a b 2ab cosC
2 2 2
c2 a2 b2 cos B 2ca a2 b2 c2 cosC 2ab
2．余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
举例
例1在Δ ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
Ac BC AB 13 1 16 13 cosC 2 AC BC 13 2 13 1 13 2 26 sinC 1 13 13
2 2 2 2
A
B
sin B tan C 2 3. cos B
2. 在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC
为
为
钝角三角形 ；若a2=b2+c2，则△ABC
直角三角形
；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜
锐角三角形
a2+b2，则△ABC为
。
3. 在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形 为
等腰三角形
。
4. 在△ABC中，BC=3，AB=2，且 sinC 2 ( 6 1) ， A= 120° 。
-4 -2
4
3
2
1
C
2 4 6 8
AB AC BC cos A 2 AB AC
2
2
2

2 365
∴ A≈84°.
解法二：∵ ∴ cosA＝
AC ＝(–2，–4). AB＝(–8，3)，
=
( 8 ) ( 2 ) 3 ( 4 ) 73 2 5 2 ,∴ A≈84°. 365
无解 a b sin A 一 解( 直 角) a bsinA bsinA a b 二 解(一 锐, 一 钝) a b 一 解( 锐 角)
(1)若A＜90º ，又可有下表：
a≥b
C
a＞bsinA
C
a＜ b a＝bsinA
C
a＜bsinA
C
b
A
a
B
b
A
a
B A
b
a
6 .在ABC中, BC 1, B

3
,
当ABC的面积为 3时, tan C _____ .
解 : SABC
1 1 3 AB BC sinB AB 1 3 AB 4. C 2 2 2
2 2 2
AC AB BC 2 AB BC COSB 1 16 1 2 4 1 13 AC 13. 2
B 45, 求角A。
的三边，若abc=16 ，求三角形的面积. 5.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝ 1，BC＝4，求边BC上的中线AD的长. 6.在⊿ABC中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,试确定⊿ABC的形状。 7.△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的 对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断 该三角形的形状．
复习
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比
a b 相等，即 sin A = sinB
c = =2R（R为△ABC外接圆半径） sinC
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它 的边和角。（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各 种情况:
小结
b2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 2bc cos A cos A 2bc
余弦定理及其应用
b c a 2ac cos B
2 2 2
源自文库
c a b 2abcosC
2 2 2
c 2 a 2 b2 cos B 2ca a 2 b2 c 2 cosC 2ab
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2,∴a2＝b2,∴a＝b， 故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵bcosA＝acosB 又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B 故此三角形是等腰三角形. 返回
作
1.在△ABC中，A=60°,a=4
业：
,b=4 ,求角B.
2.在 ABC中, 角A, B, C的对边为a, b, c, 若a 3 , b 2 ,
3 3.在△ABC中，若 tan A , C 120, BC 2 3, 求AB. 4 4.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形
a sinC (∵sinA＝ ≈0.6299∴ c
，
例 3 Δ ABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(－2，8)、
C(4，1)，求角A.
解法一：
B
8 7
∵ |AB| ＝
[6 ( 2)] 2 (5 8) 2 73
2 2
6
5
A
|BC| ＝ ( 2 4) (8 1) 85 |AC| ＝ (6 4) 2 (5 1) 2 2 5